（机械设计及理论专业论文）皮带驱动机构非线性动力学研究.pdf

摘要 摘要 以电机、皮带、带轮及其耦合系统为对象，应用机电分析动力学、非线性振动 理论及其数值分析方法研究皮带驱动机构的菲线性动力学问题。 应用拉格朗日方程，得到平方和立方非线性的皮带驱动机构的非线性振动微分 方程，根据非线性振动的多尺度解法，求得系统满足圭共振情况的近似解以及对应 的定常解，分析系统的稳定性，并对其进行数值计算，分析带的长度和横截面积、 外激力、谐调值、系统阻尼等对系统的影响。指出对同一系统主共振的一次近似解 的幅频响应曲线表现为硬刚度特性；二次近似解的幅频响应曲线表现为软刚度特 性。得到系统满足1 ，2 次、1 3 次亚谐共振和2 次、3 次超谮共振情况的近似解以 及对应的定常解，分析了带的长度和横截面积、外激力、谐调值、系统阻尼等对系 统的影响。 基于c o d o l i s 加速度和l a g r a n 西a n 应力公式，利用n e w t o n 定律得到了运动带 的横向振动运动方程。运用多尺度法得到了传送带系统主参数共振和参强联合共振 的近似解。分析了调谐参数、带的横截面积、黏弹性参数、轴向速度不仅影响非平 凡稳态响应的幅值，并且影响其存在区域。 应用拉格朗日方程，建立了受横向和纵向作用的皮带驱动机构的非线性微分方 程。运用多尺度法得到扭转振动的一次近似解，运用数值方法研究了横向和纵向振 动时系统的特性，分析扭转振动对横向和纵向振动的影响。 按照拉格朗日麦克斯韦方程，建立了受皮带非线性弹力和电磁力作用的皮带驱 动机构的非线性振动微分方程。运用数值方法分析了电机对受非线性弹力作用的皮 带驱动机构系统的影响。 图1 5 4 表0 参6 5 关键词：皮带驱动机构：非线性振动；多尺度法；机电耦合；传送带 分类号：0 3 2 1 河北理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t r e g a r d i n ge l e c t r i cm o t o r , b e l t , p u l l e y sa n dt h e i r sc o u p l i n gs y s t e ma so b j e c t s ，w e s t u d yn o n l i n e a rd y n a m i c sp r o b l e m so ft h eb e l td r i v e rm e c h a n i s ms y s t e mb ym e a n so f e l e c t r o m e c h a n i c a la n a l y s i sd y n a m i c s ，n o n l i n e a rv i b r a t i o nt h e o r ya n dn u m e r i c a la n a l y s i s m e t h o d t h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t l lq u a d r a t i ca n dc u b i cn o n l i n e a r i t i e sf o r v i b r a t i o na n a l y s i so f t h eb e l td r i v e rm e c h a n i s mi sd e r i v e db ym e a u so f l a g r a n g ee q u a t i o n a p p l y i n gt h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e sf o rt h en o n l i n e a rv i b r a t i o nt h ea p p r o x i m a t e s o l u t i o n so f 口i i i 蛐r yl e s o n a n c 笼o ft h es y s t e ma r eo b t a i n e d n u m e r i c a lr e s u l t so nt h e i n f l u e n c e so fl e n g t h , c l o s ss e c t i o l la r e ao ft h eb e i t , e x c i t a t i o n , d c t u n i n ga n dd a m p i n go n t h es y s t e ma i _ ea n a l y z e di nd e t a i l t h ef i r s ta p p r o x i m a t es o l u t i o nf o ra m p l i t u d ef r e q u e n c y r e s p o n s ec u r v eo ft h ep r i m a r yr e s o n a n c eo ft h es y s t e mh a sh a r ds t i f f n e s sc h a r a c t e r i s t i c ； t h es e c o n da p p r o x i m a t es o l u t i o nf o ra m p l i t u d ef r e q u e n c yr e s p o n s ea r v eo f t h e 卢噎m a i y r e s o n a n c eo ft h es y s t e mh a ss o f ts t i f f n e s sc h a r a c t e r i s t i c t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no f 1 2 1 3s u b h a r m o n i cr e s o b a n c ea n d2 , 3s u p e r h a r m o n i cr e s o n a n c ea o b t a i n e d n u m e r i c a l a n a l y s i so nt h ei n f l u e n c e so f t h el e n g t h , e r o s $ s e c t i o na r e a , e x t e r n a le x c i t a t i o n , d e t u n i n g , a n dd a m p i n go nt h es y s t e mi sc a r d e do u t b a s e do nc o r i o l i sa c c e l e r a t i o na n dl a g r a n g i a ns t r a i nf o r m u l a , t h eu a n s v e l 辩 v i b r a t i o ns y s t e mo fc o n v e c t i o nb e l t se q u a t i o ng e n e r a l i z e di sd e r i v e db yn e w t o n ss e c o n d l a wi nt h i sp a p e r t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e si sa p p l i e dd i r e c t l yt ot h eg o v e r n i n g e q u a t i o n s , a n da p p r o x i m a t es o l u t i o no fp r i m a r yp a r a m e t e rr e s o n a n c ea n dt h ep a r a m e t r i c w i lf o r c e dr e s o n a n c eo ft h es y s t e ma r eo b t a i n e d t h ed e t u n i n gp a r a m e t e r , c r o s s - s e c t i o n a r e a , e l a s t i ca n dv i s c o e l a s t i cp a r a m e t e r s , a l la x i a lm o v i n gs p e e dh a sas i g n i f i c a n te f f e c to n t h ea m p l i t u d e so f s t e a d y - s t a t er e s p o n s ea n dt h e i re x i s t e n c eb o u n d a r i e s t h en o n l i n e a rd i f f c r e m i a le q u a t i o nf o rv i b r a t i o na n a l y s i so ft h eb e l td r i v e r m e c h a n i s me x c i t e do nt h e d i r e c t i o no fl a t e r a la n da x i a li sd e r i v e db ym e a n so fl a g r a n g e e q u a t i o n , f u n c t i o n t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e si sa p p l i e dd i r e c t l yt ot h eg o v e r n i n g e q u a t i o n s , a n da p p r o x i m a t es o l u t i o ni so b t a i n e d t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h el a t e r a la n d a x i a lv i b r a t i o na f eo b t a i n e db a s e do nn u m e r i c a lm e t h o d 1 1 l ei n f l u e n c e so ft h et o r s i o n v i b r a t i o no f l a t e r a la n da x i a lv i b r a t i o na r ea n a l y z c d e d - a b s u a c t a c c o r d i n gt og e n e r a l i z e dl a g r a n g e - m a x w e l l se q u a t i o n ，t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 3 1 ee s t a b l i s h e dc o n s i d e r i n gt h en o n l i n e a re l a s t i c i t ya n de l e c t r o m a g n e t i s mo ft h eb e l t d r i v e rm e c h a n i s m u s i n gt h en u m e r i c a lm e t h o da n a l y z e st h ei n f l u e n c e so ft h ee l e c t r i c m o t o rf o rt h eb e l td r i v e rm e c h a n i s m f i g u r e1 5 4 ，t a b l e0 ，r e f e r e n c e6 5 k e yw o r d s it h eb e l td r i v e rm e c h a n i s m , n o n l i n e a rr e s o n a n c e , m u l t i p l er e a l e s ， e l e c 缸o m e c h a n i c a lc o u p l i n g , c o n v e c t i o nb e l t s c h i n e s e l i b r a r yc a t a l o g ：0 3 2 1 1 1 1 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 河北理工大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 签名： 日期：a 照立年丝月鱼日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河北理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 签名：坳导师虢弛魄班朔丝日 引言 引言 皮带驱动机构是机械工程中最普遍应用的传动装置。带传动是一种应用十分广 泛的柔性件传动，它具有结构简单、传动平稳、无噪音、能吸振，且在远距离内以 最少构件传递大功率等优点。但是，一般常用皮带传动在传递动力的过程中总体有 弹性滑动，这是带传动的一个严重缺点。很多因素都使皮带传动产生振动，如加工 误差、装配误差及外加随时变化的扭矩等。振动将影响皮带传动的工作可靠性和传 动效率，当振幅过大时将造成传动装置的失效或损坏。皮带驱动机构非线性是客观 存在的，来自于系统的物理、几何、结构、能量耗散以及运动等因素的影响，它的 振动实质上是非线性振动。本文从建立皮带驱动机构的机电耦联动力学模型入手， 得到了皮带驱动机构的非线性振动的数学模型。 机电耦联动力学系统包括电机及其它机械和电力系统相互耦合的复杂系统，涉 及到多个学科的基础领域，包括一般力学、连续力学、振动理论、电磁场理论、电 机理论，以及其形成的交叉学科。机电耦联系统在世界经济发展中占有重要的地 位，广泛存在于工农业生产和科学技术领域。机电之间相互作用规律的研究，需要 解决两方面的问题，一方面是正确地建立机电系统耦联的数学模型。另一方面的问 题是所有机电耦联系统描述的数学方程都是非线性的，所以非线性方程组的定量定 性方法的研究进展，是机电耦联问题研究者们特别关注的问题。 本论文从一个皮带驱动机构机电耦合系统出发，利用l a g r a n g e 和l a g r a n g e - m a x w e l l 方程，建立了动力学模型，运用非线性振动的分析方法，研究其动力学现 象。应用m a t i a b 软件进行数值计算，以验证结论的正确性，并使理论分析、数值模 拟和实验研究相互验证。 河北理工大学硕士学位论文 1 文献综述 1 1 机电耦联动力学的研究综述 机电动力学是将力学与电磁学结合起来，研究运动物体在电磁场中发生相互作 用的规律，它们包含着电机动力学、磁弹性动力学、磁流体动力学、等离子体动力 学、生物系统机电学等广泛的学科领域。机电分析动力学哪是研究机电耦联问题很 有效的工具，它从能量的观点出发，作为统一的方法，可用于建立一般力学与电路 理论，连续介质力学与电磁场理论相耦合的微分方程组系统，研究机电耦联的相互 作用规律。机电耦联动力学系统f 2 】是由电机及其它机械和电力系统相互耦合的复杂 系统，涉及到多个学科的基础领域，包括力学指一般力学、连续力学、振动理论 等；电学包括电磁场理论、电机理论、电路等以及其形成的交叉学科。机电之间相 互作用规律的研究，需要解决两方面的问题，一方面是正确地建立机电系统耦联的 数学模型；另一方面是非线性机电耦联系统的动力学分析 3 1 。所有机电耦联系统描 述的数学方程都是非线性的，所以非线性方程组的定量定性方法的研究进展，是机 电耦联问题的研究者们特别关注的问题。 拉格朗日麦克斯韦方程是机电分析动力学中的基本方程，可用于建立离散动力 学和电路理论的基本方程，是一个很有效的方法。经典的拉格朗日麦克斯韦方程是 基于线性电场能形和磁场能既情况下得到的，文献【4 】考虑到电介质的非线性特 性，磁路饱和的非线性及电损耗的非线性，推广了拉格朗日麦克斯韦方程的应用范 围。这种方法从能量观点出发，作为统一的方法建立了一般力学与电路理论，连续 介质与电磁场理论相耦合的动力系统 5 - 9 。本文从分析线性系统的非线性特性入手， 将一个非线性问题分解成若干个非线性子问题，主要讨论弱非线性问题，可以采用 多尺度法进行近似解析。 机电耦联动力系统在国民经济的发展中占有重要的地位涉及到广泛的工农业生 产和科学技术领域。各种电机占社会总动力能源的9 5 以上，发电机联成的电力 系统，被应用于驱动种类繁多的电动机，在控制系统中用作功率放大的直流电机， 还有船舶及矿山用的发电机组等。交通工具的发展，推动了高能电动车、电气机车 及高速磁浮列车的研制发展。磁浮列车利用强大的电磁力悬浮车体载重利用直线电 机驱动列车前进，配置一套控制磁浮力、拖动力及气隙大小等项目的控制系统，形 成一个机电耦联动力系统。汽轮发电机组及水轮发电机组向超大型发展，在生产、 2 1 文献综述 运行中特有的机电耦联动力学，振动、稳定性问题将会不断地提出来。特别是高 压，大电流的进一步提高，会产生强大的磁场及电场，机组在强大的磁场、电场作 用下会使转子系统的机电耦联振动、稳定性及动强度出现新的问题。由于磁场及电 场强度的提高电机定子壳体的磁应力张量、电应力张量也将增加，电机定子的磁固 耦合振动及稳定性等动力学问题将会提到日程上来。发电机及变压器的母线必须考 虑磁、电耦合动力学题，利用磁流体动力或电流体动力来加速物质以获得推力，应 用于太空方面的机电推进方案也在研究发展之中。机电动力学的研究推动着各种机 电系统向前发展。机电耦联动力学的研究对经济发展和社会进步具有重要的意义。 1 2 非线性系统动力学的研究综述 非线性动力掣1 7 1 研究的数学和力学基础是非线性数学和非线性振动。非线性 振动系统与线性振动系统有本质的区别。在自然界中一切振动都是非线性的，用线 性理论来处理这些问题有时不能准确地解释系统的动力学现象非线性动力学是用 拓扑、解析、数值和实验的方法研究非线性动态系统各种运动状态及其互相转化的 规律，对于有限自由度系统研究的核心问题是分岔和混沌。作为一般力学的分支学 科，非线性动力学韵目标是探索问题的复杂性。科学史表明，重要的研究进展往往 在简单与复杂的交缘处，即复杂系统的简单性和简单系统中的复杂性。非线性动力 系统的典型持征主要表现为： ( 1 ) 在非线性动力学中，叠加原理不在适用，这给非线性动力学的研究带来了很 大的困难，非线性动力学的研究受到了研究方法的限制。 ( 2 ) 在非线性动力学系统中，单频激励可以引起多频响应，在非线性系统中存在 着比线性系统复杂得多的现象，如多重共振、亚谐共振、超谐共振、内共振、组台 共振等，当激励频率从高到低或由低到高连续变化时，非线性系统响应的振幅会出 现跳跃现象，还有和激励频率无关的响应如混沌运动。 ( 3 ) 在线性理论中，往往将其假设为线性阻尼，这样系统的响应会随着时间的增 长而衰减。而在非线性系统中，当有非线性阻尼时，即使没有外激励的作用，系统 有时也会出现周期运动( 极限环) ，如咖d e rp o l 方程的自激振动。 ( 4 ) 非线性动力学系统，响应的频率和激励频率、响应的振幅有关，这构成了非 线性动力学中广泛存在的多解、振幅跳跃、响应滞后等现象。在一定条件下，会出 现“混沌”运动，即使给定初始条件，也无法确定未来任意时刻的状态。 3 河北理工大学硕士学位论文 ( 5 ) 线性系统在确定性激励作用下，只会产生确定性的响应；非线性系统则会产 生类似随机的响应，即使小而有限的激励可以引起大的运动响应。 1 3 皮带驱动机构的研究综述 皮带传动是机械工程中最普遍应用的传动装置之一l l 鄹。带传动是采用承受拉力 的挠性件( 带) 完成传递运动和动力的机械传动。皮带传动机构具有结构简单、传动 平稳、能缓和冲击和过载打滑等独特优点，已广泛应用到工业、农业以及人们的日 常生活中。皮带本身的特点，如几何非线性、粘性阻尼、弹性参数、黏弹性参数、 材质和结构等成为产生非线性振动的原因。研究皮带的非线性振动时，考虑了系统 的物理、几何、结构、能量耗散以及运动等因素的影响1 1 9 - 2 1 。许多学者从不同角度 对带传动进行了理论和实验研究，证明了带传动具有丰富的动力学现象。 s e r g ea b r a t c 2 2 分析了功率传动带与运转中要产生轴向、横向及扭转运动。对适 用于分析皮带自由振动和受迫振动的模型进行了讨论，并讨论了皮带和张力，输送 速度、抗弯刚度、支承柔度，大位移及带和带轮的缺陷造成的影响。文章评述了传 动带振动分析中的技术发展水平，不仅汇聚了许多文献中的论文内容，也给出了一 些新的研究成果。崔道碧【2 3 】建立了考虑具有非线性粘弹性材料的皮带传动系统的扭 转振动方程，应用l a g r a n g c 方程得到系统的运动微分方程，应用多尺度方法对方程 求解，确定了主系统稳态解的幅频响应方程。分析了频率比、阻尼因子、皮带传动 中主、从动轮半径比、激振力矩的幅值等几种参数对幅频响应曲线的影响。系统的 响应曲线呈典型的立方非线性特征，即使粘弹性材料具有硬弹簧系统特性，而主系 统的幅频响应曲线一般地呈软弹簧系统特性。张家驷【2 4 j 在建立常见带传动的动力学 模型基础上，探讨胶带的刚度和干摩擦等效阻尼系数的计算；应用随机理论和频谱 分析方法研究从动带轮瞬时转角和瞬时角速度的变化规律，以及瞬时转角的方差， 并进行定量分析。张有忱【2 5 】应用弹性力学应力与应变的关系，分析了带传动由于带 轮槽变化而产生的附加摩擦力。在同样的初张力下，v 带传动较平带传动能产生更大 的摩擦力。计算带传动都采用了所谓柔韧体摩擦的欧拉公式。成经平瞄l 通过对高速 带传动系统的动力学分析，建立了动力学模型，求出了该振动模型的固有频率，提 出了划分带传动工作区建议，针对高速带传动按动态要求进行设计或振动验算提供 了理论基础，并就高速带装置发生剧烈振动的振因分析及解决提供了有效途径。陈 立群i z t j 采用解析和数值方法得到了一类平带驱动系统非线性振动的幅频特性。考虑 由主动轮、从动轮、张紧轮和张紧臂构成的平带驱动系统基本力学模型，建立了系 4 1 文献综述 统的振动方程。将平均法的基本思想应用于模型化有阻尼多自由度非线性系统的平 带驱动系统，得到了系统的幅频特性，并与用直接数值方法得到的结果进行了比 较。刘莹1 2 5 j 从带传动的基本公式分析入手，得出传动带工作时其拉伸变形不符合胡 克定律的结论。由于传动带工作时的非线性，应力与应变也呈非线性。在传递较大 载荷时，仍有较大的工作潜力，从而为充分发挥带传动的工作能力提供了设计依 据。杨玉萍1 2 9 一o 】应用拉格朗日方程和虚功原理建立了同步带传动纵向振动的运动微 分方程，导出了纵向自由振动的固有频率及当同步带轮有偏心时纵向振动的激励响 应，为选择设计参数提供理论依据。同步带传动的纵向振动的激振力是由带轮的偏 心引起的，其激振响应的振幅与带轮的质径积( 偏心距与回转件质量的乘积) 的大小 成正比。同时建立了同步带传动横向振动的运动方程式，导出了静态时( 带的运动速 度为零) 同步带横向振动的自振频率，并对同步带在运动时横向振动的自振频率进行 了修正。闻欣荣p l j 对带轮系统的振动进行分析，结合疲劳方程，对带的拉力及带早 期断裂原因作了讨论，静态条件下带所受的拉力比实际情况所受的拉力小；由于动 态应力的增加，带的疲劳寿命比在静态时的寿命小几倍。含有动态参数项是对经典 方法中拉力公式的理论修正，所提方法也能提高带寿命预报精确度的计算方法。l z h a n ga n dj w z u l 3 2 哪j 对黏弹性传动带的非线性振动分别进行了自由振动分析和强 迫振动分析，运用多尺度法和摄动法，得到了非线性振动的频率和振幅。在自由振 动分析中，考虑了线性黏弹性微分构成规律和带的几何非线性建立了数学模型，得 到了连续自治回转系统的控制方程。在强迫振动中，建模时考虑了轮的偏心，得到 了连续非自治回转系统的控制方程。对比了有拟静态假设和没有假设两种情况的结 果。研究了弹性参数、黏弹性参数、轴向运动速度和几何非线性对频率和振幅的影 响。分析了参数激励的黏弹性传动带的非线性振动的动态响应和稳定性。研究了弹 性参数、黏弹性参数、轴向运动速度和几何非线性等对频率和振幅的影响。f p e l l i c a n 0 1 3 6 1 从实验和理论上研究了传动带的主共振和参数共振。考虑了对轮的偏心 对其影响，对比了简化模型和实验数据。j m o o n 和j a w i c k e r t l 3 7 应用实验法和解 析法研究了功率传送带系统的非线性振动。通过摄动法可得到近似共振响应的振 幅，比较实验测试和直接数字仿真获得的非线性模型。 以上的研究结果，都证明了带传动具有丰富的动力学现象，皮带本身的特点， 成为产生非线性振动的原因。同时对带的非线性振动进行了研究，并考虑了系统的 物理、几何、结构、能量耗散以及运动等因素的影响。学者们在建模时，大部分都 是采用欧拉公式、胡克定律、拉格朗日方程等进行分析，建立了系统微分方程。 - 5 - 河北理工大学硕士学位论文 断裂和打滑是常见故障，高速带传动更易早期断裂。弹性滑动是皮带两边的弹 性应变不相等所引起的，它是皮带传动中不可避免的物理现象。带的弹性性质是产 生振动主要因素，而其本身又受许多因素影响，如加工误差、装配误差及外加随时 变化的扭矩等。振动会造成带的剧烈抖动、拍击甚至脱落，也会引起从动轴与工作 机械的强烈扭振，致使机械无法正常工作。扭转振动将影响皮带动的工作可靠性和 传动效率，当振动幅值过大时将造成传动装置的失效或损坏 电机是应用于种类繁多的驱动，电机启动后，高速轴与低速轴的角速度均会出 现波动，也就是它们的速度与各自的平均角速度比较，均有所升降。电机对机电耦 联系统的影响是不能忽略的，所以皮带驱动机构的研究有必要考虑电机依据机电 分析动力学i ”和电机学理论，建立了皮带驱动机构的数学模型，该模型考虑了电机 定、转子问气隙磁场、转动惯量及非线性刚度的影响，是一个比较精确的模型。 1 4 本课题的研究的内容和创新点 本文建立了一个由电机、皮带、带轮及其附加件组成的系统，电机作为驱动 源，由于气隙的不均匀产生的电磁力矩为系统提供了线性刚度、平方非线性刚度、 立方非线性刚度项，另外，皮带的线性刚度、非线性弹性参数项和黏性阻尼系数的 影响，会产生平方非线性刚度、立方非线性项，这样便碍到了一个含线性刚度，非 线性刚度，参数项的动力系统的数学模型。应用多尺度法求得系统的平均方程及其 定常解，根据不同的振动情况和频率条件对系统进行动力学研究与分析；同时也用 龙格库塔法进行了一些数值分析。 以n e w t o n 力学为根基的各个动力学分支都涉及到如何就研究对象建模问题， 而不同的研究对象决定了该动力学分支的特色。运用l a g r a n g e 和l a g r a n g e m a x w e l l 方程，建立系统的运动微分方程，其特点是基于系统的能量建立运动微分方程，无 须对系统取分离体进行受力分析。本文基于皮带驱动机构的非线性动力学研究，应 用电机、皮带和带轮组成的系统，由于电机的气隙不均匀会产生复杂的电磁力 ( 矩) ，将其作为驱动力矩作用在转子轴上，从而传到主动轮的轴上。本文的创新点 在于全面考虑了电机的转子的振动特性，其最突出的一个特点就是考虑了机电耦合 效应。针对以往的纯机械系统研究，加入了电磁激发成分，使得整个系统更加完 善，拥有丰富的背景来源，因而与实际联系更加紧密，具有理论和实际应用价值。 6 2 皮带驱动机构的扭转振动 2 皮带驱动机构的扭转振动 2 1 皮带驱动机构的数学模型 设两个刚性轮由具有非线性材质的皮带联接，主动轮上作用有简谐力矩 肘。c o s f 2 ，系统的结构简图如图1 所示。由图l 可知为主动轮半径，2 为从动轮 半径；以为主动轮转动惯量，以为从动轮转动惯量，墨为皮带的线性拉伸刚度， _ | ，为皮带的平方非线性拉伸弹性参数，七为皮带的立方非线性拉伸弹性参数，c 为 r _ = 一 一 粘性阻尼系数。皮带的总长三：2 1 7 ( 生丢乌：+ 旌+ 石酗，x 。= 竿嗍，e 是 l二l 山 带的弹性模量，a 是带的横截面积若皮带轮在运转中皮带的绝对伸长为善，则皮 带所具有的非线性弹性力阁f = 足，善+ k ，七苫2 + 墨蟛3 ，阻尼力f 。= c 善。 坻了 乎j 图i 系统的结构伺图 f i g im o d e l o f t h eb e l td r i v e rs y s t e m 此时系统所具有的动能，势能n f ；要，。岛2 + i 1 ：劈【1 ) y l = ( 2 k x 只一，2 岛) 2 2 + ( 2 k k 。x b 一吒岛) 3 ，3 + ( 2 墨) ( 岛- r , 0 2 ) 4 4 ( 2 ) l a g r a n g e 函数为l = t - i i 振动的耗散函数为 f = ( 2 f ) ( 砖一，2 幺) 2 2 ( 3 ) 把l 。f 代入到拉格朗日方程式，可得到该系统的运动微分方程为 7 - 河北理工大学硕士学位论文 昙尝一盖嗜划删q面列一面+ 丽。朋o 蛄口 旦( 骂丝+ 婴：0 面喷卜两+ 两2 进一步得 以嗣+ 2 k 。，l ( q r , o , ) = - 2 k y r , ( r 1 0 , 一r 2 以) 2 2 k i 机( q r 2 岛) 3 2 q ( q 一吩岛) + 螈s 国 ( 5 ) ，2 岛+ 2 k 。，2 ( r 2 b r 1 只) = 2 k i i r ，2 ( 岛一，2 岛) 2 i - 2 k 。晚( 岛一，2 岛) - i - 2 吼“馥一吒幺) 若令口= 岛一詈岛可以将绝对关于扭振角的b ，岛方程组( 5 ) 转换成关于相对扭振 角口的扭振方程 d + 2 口= - 2 腑一i 2 口2 - k 3 口3 + 向e o s d a ( 6 ) 其中簖= 掣，弘= 掣，毛= 蛳 屯；堡唑倒，毛：堡皿倒( 7 ) 3 1 j ， ： j 。3 ， 。 w 式中( ) 代表对时间求一阶导数，) 代表对时间求二阶导数。 2 2 扭转振动的研究 2 2 1 皮带驱动机构的主共振 2 2 1 1 主共振的平均方程 研究系统的主共振，引入调谐参数盯，由下式确定 q = 0 9 0 + 8 0 ，仃= o ( 1 ) ( 8 ) 利用多尺度法求解式( 6 ) ，首先引入时间尺度t o = ，正= 玎，占是小参数，主共振 的一次近似解为 口( f ，g ) = 佤，正) + 犯。纯，正) ( 9 ) 将式( 6 ) 中的a 、毛、屯和屯前冠以小参数，再将式( 8 ) 和式( 9 ) 代入式( 6 ) ，比 较f 同次幂的系数得 掰口o - i - 2 口o = 0 ( 1 0 ) 8 ! 堕堕矍垫垫塑箜垫壁堡垫 q 2 嘶+ 彩；口一= - 2 d o d 弘r o 一2 芦d o + 向c o s ( 玩毛+ 啊) 一如爵一毛口；( 1 1 ) 方程式( 1 0 ) 的通解为 c 2 彳亿弘唧而+ 彳亿l 一7 矗( 1 2 ) 这里j 是_ 的共轭复数，其中 4 瓴) = 掣以硇) = 掣e ( 1 3 ) 将式( 1 2 代入式( 1 1 ) 得 露q + 嗡2 嘶= 一f 2 觑 彳+ ) + 3 岛彳2 砟懈+ 等弦懈叫， 一乞彳e 蝴- k 2 a 2 8 2 7 嘶一2 k 2 舸+ e c 符号c c 表示共轭复数。 消除永年项的条件为 2 j a ) o ( d , 彳+ 脚) + 3 毛彳2 2 一每弘川_ 0 ( 1 4 ) 将式( 1 3 ) 代入式( 1 4 ) ，分离实虚部，得到下列极坐标形式的平均方程 卜= - p a + 丢豳纰卅 卜啬 去c o s 卅i 四 令( 嵋一) = 矿，上式变为 j 即2 叩+ 去咖伊 b 一去 去c 毋o 回 相应的一次近似解嗍为口( f ) = 口( 功c o s ( 耐一烈硝”。 令q 口= 0 ，d 1 妒：o ，得到方程 j 丢咖矿= 膨 皓c o s p 内+ 卺厂a 乃 9 塑j ! 堡三奎堂堡主堂垡笙奎 两式平方相加得到 p ( 计陆 2 妒一蔓笔 飘 上式为幅频响应方程和相频响应方程。 2 2 1 2 主共振的稳定性 主共振定常解的稳定性就是自治系统在定常解( 口，力( 即奇点) 处的稳定性。因此 采用r o u t h - h u r w i t z 判据来分析主共振的稳定性。 将方程( 1 6 ) 在 力处线性化，形成关于扰动量口和p 的自治微分方程 d l 口= 诎+ ：! l s 伊a 伊 脚= 一等+ 毒雠咖血一赤如班妒i 柳 利用式( 1 7 ) 消去上两式中的舻，可得到 d l 缸= 曲“一+ 鲁矿) 伊 聃：唔一静缸柏 从而得到特征方程 倭 = 0 ( 2 j ) 矛+ 2 以+ 一u ：- ( 8 - 3 - 。一删( 詈一静- o 由于 0 由条件r o u t h - h u r w i t z 判据可得定常解稳定的条件 小( 扣鲁矿肌鲁口2 ) o 。 = 0 ( 4 5 ) 展开得 名+ 2 砧一罢生( 盯一垒奠口z 一孚生a 2 ) ：o ( 4 6 ) 。 4 、4 由于p 0 由条件r o u t h h u r w i t z 判据可得定常解稳定的条件 一3 k 3 a 2 ( 盯一鱼蔓口z 一三蔓a 2 ) o ( 4 7 ) 4 丘k4 0 0 吖 等( 盯一等寸 - 1 7 河北理工大学硕士学位论文 2 2 2 2 数值结果分析 如无特殊声明参数取值为：e = 2 0 0 m p ，m o = 5 0 n m ，a = 4 0 5 r a m 2 ， 以= 1 3 6 0 8 8 4 x 1 0 4 姆m 2 ，以= o 1 7 6 3 3 3 8 k g m 2 ，d l = 1 2 5 m m ，d 2 = 2 8 0 m m ， a t 2 = 6 7 7 4 r a m ，c = 0 2 由式( 4 1 ) 可以计算系统1 2 次亚谐共振的响应曲线，分析不同参数对响应曲线的 影响。 钥雌“时- _ 耐m 图1 5 幅频响应曲线 f i 昏1 5a m p l i t u d ef r e q u e n c yr e s p o n s ec u l t v e 讲 | 位“- q 图1 7 幅频响应曲线 f i l l 7a m p l i t u d ef r e q u e n c yr e s p o n s ec u e 薹 ； 鼍 饵1 t 值m _ d “ 图1 6 幅频响应曲线 f i g 1 6a m p l i t u d e 仵e q u e n c yr e s p o n s e “l r v c 图1 8 力幅响应曲线 f i g 1 8 a m p l i t u d e e x c i t a t i o nr e s p o n s e c u r v e 由图1 5 可知系统的幅频响应曲线存在两个分支解。由图1 6 可知当减小皮带的 立方非线性拉伸弹性参数时，系统的1 2 亚谐共振曲线的两支解之间趋于交宽，振 幅变大。图1 7 为两种不同阻尼值时系统主共振的响应曲线。由图知增大阻尼可以减 小系统的1 2 亚谐共振区，同时上支解的振幅减小，下支解的振幅增大。图1 8 为四 1 8 2 皮带驱动机构的扭转振动 种不同调谐值时系统1 2 亚谐共振力幅响应曲线由图知增大调谐值盯振动幅值增 大，并且共振区间减小。 图1 9 幅频响应曲线 f 嘻1 9a m p l i t u d ef , e q u e n c ym s p 删 应槲碱o _ _ _ h m - 一 图2 0 振幅横截面积响应曲线 f i g 2 0a m p l i t u d ec r o s s - a r e ar e s p o n s ec u r v e 图2 1 振幅常长响应曲线图2 2 幅频响应曲线 f i g 2 1a m p l i t u d el e n g t hr e s p o n s ec u r v ef i 晷2 2a m p l i t u d ef r e q u e n c yr 唧o n s ec u o f v e 图1 9 为三种不同激励幅值时系统主共振的响应曲线。由图知增大激励幅值可以 增大系统主共振的共振区，同时上支解的振幅减小，下支解的振幅增大。图2 0 为振 幅皮带横截面积响应曲线，由图知增大皮带横截面积可以减小系统1 2 亚谐共振的 振幅。图2 1 为四种不同调谐值时系统振幅皮带的总长响应曲线。由图知增大调谐值 盯振动幅值增大，并且共振区间减小。图2 2 为三种不同皮带总长时系统1 2 亚谐共 振的响应曲线。由图知增大皮带总长可以增大系统的振幅和共振区。 1 9 河北理工大学硕士学位论文 2 2 3 皮带驱动机构的l 3 次亚谐共振 2 2 3 11 3 次亚谐共振的平均方程 采用多尺度法，用时间尺度设1 1 3 次亚谐共振的一次近似解为 口( f ，s ) = 口。佤，正) + 蜀亿，五) ( 4 8 ) 研究系统的i 3 次亚谐共振，引入调诣参数盯，由下式确定 q = 3 + e o ，盯= 0 ( 1 ) f 4 外 将式( 4 9 ) 代入式( 3 5 ) 得消除永年项的条件为 一 2 j c o o ( d , a + l a d ) + 6 k 3 a b 2 + 3 k 3 a 2 a + 3 k 3 a 2 b e 吗】= 0 ( 5 0 ) 将式( 3 4 ) 代入式( 5 0 ) ，分离实虚部，得到下列极坐标形式方程 l d 。a = - 朋一等口2 s 砒啊。所 1 口d l = 等针等 等c 喝叫，卿 令( 嵋- 3 国= 伊，上式变为 卜一膨一警 w o 戒如缈 b 叫盯一等2 一面9 k 3 等 o a 刁 相应的一次近似解为u ( f ) 叫咖。s 旦亏燮+ 南c o s 虬( 5 3 ) 令式( 5 2 ) e e o , a = 0 ，d j 妒= o 由此消去矿，得到1 3 次亚谐共振的幅频响应方程 岍( 盯一警告口2 2 = 降 2 c s 这是关于口2 的二次代数方程，解出 a 2 = p 士歹乏( 5 5 ) = 等一q = ( 制岍( 盯一等 2 o 惭， 2 0 2 皮带驱动机构的扭转振动 由于q 0 ，式( 5 5 ) 取正解的条件是p o 且p 2 q ，由此得到l ，3 次亚谐共振 的必要条件 易 0 ，这说明对于硬刚度系统，1 ，3 次亚谐共振发生在 激励频率q 略高于3 ( o o 的频段上。第二个不等式表明增加阻尼可破坏1 3 次亚谐共 振。当上述条件不满足时，方程( 5 1 ) 只有定常解a = 0 。由式( 5 2 ) 可见，此时系统的 一次近似响应与线性系统在远离共振频段的响应相同。 为了进一步讨论1 3 次亚谐共振的必要条件，视式( 5 7 ) 中的b 2 为未知量，解二 次不等式得 2 7 k 3 8 2 一 盯， 4 一仃卜厢c s s ， 不难证明，上式中第二个不等式覆盖了第一个，从而成为l 3 次亚谐共振存在 条件。该条件可以用原始参数表示为 献指卜i - 得消除永年项的条件为 一【2 _ ，扫( d 1 4 + ，厶4 ) + 6 七3 a b 2 + 3 k ，a 2 a + k 3 8 3 p 扣墨】= o ( 6 6 ) 将式( 3 4 ) 代入式( 6 6 ) ，分离实虚部，得到下列极坐标形式的平均方程 f d l a = - p a - 3s 砥明一) 1 执1 r 2 r 3 ( 6 7 ) h = 鲁 等口+ 等州嵋柏叫 令( 喁一) = 伊，上式变为 l d l a = - 1 t a - k 3 b 3s i n 矿 ，瓷矿3 ，屯b ， ( 6 8 ) b 叫盯一学啬 等矗 相应的一次近似解u ( f ) = 口( 日) c 。s ( 3 ( 一妒( 日) ) + 矗c o s d t ( 6 9 ) 令式( 6 8 ) d pd l a = 0 ，b 缈= o ，得到确定对应定常解的代数方程 2 6 2 皮带驱动机构