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摘要 基于渗流网络的极限定理 摘要 本学位论文主要研究了z d 上b e r n o u l l i 渗流开簇或网络的动态行为以 及局部相依渗流，得到了中心极限定理，大数定律和大偏差定理等极限 定理全文的主要内容分为四章 1 第一章中我们给出了有关渗流理论的基本知识，以及文中主要用 到的几个不等式，这一章的大部分内容取白g r i 1 m e t t ( 1 9 8 9 ) ( 1 9 9 9 ) 2 第二章研究了z d 上b e r n o u l l i 边渗流开簇的随机着色模型：按照 z d 上的边渗流机制随机的选择一个子图，然后给每个开簇上的点随机的 染色，要保证这种不同的开簇上的染色行为是互不相关的，而且同一开 簇上的点被染的颜色是相同的这个模型是h i g g s t r s m ( 2 0 0 1 ) 研究的d a c ( d i v i d ea n dc o l o r ) 模型的推广我们注意到g a r e t ( 2 0 0 1 ) 中对于d a c 模型研究 了诸如大数定律和中心极限定理等极限理论，我们这里采用比g a r e t ( 2 0 0 1 ) 的方法更简单的方法和技巧，直接利用p e n r o s e ( 2 0 0 3 ) 中关于正态估计的 定理，分别就上临界和下临界情形、淬火分布和退火分布情形，证明了 相应的中心极限定理和大数定律 3 第三章中我们研究了在z d 上b e r n o u l l i 点渗流网络上的马尔科夫 链不同于第二章，我们不能直接在渗流开簇上定义马尔科夫链，而是 在无序的渗流图上定义马尔科夫过程我们研究了渗流网络上的马尔科 夫链大偏差理论，并给出了大偏差定理的速率函数的显式表达式此外 我们还利用d o b u r u s h i n 定理证明了中心极限定理 4 第四章我们主要研究二维平面格点z z 上的局部相依渗流，分别 对格点盒子序列中最大开簇和原点0 处的开簇，证明了相应的中心极限 上海交通大学博士学位论文 定理此外我们还对z d 上的局部相依渗流证明了无穷有向开簇的唯一 性定理 关键词：渗流开簇，渗流概率，f k g 不等式，中一1 、5 极限定理，大偏 差定理，局部相依渗流， i i a b s t r a c t l i m i tt h e o r e m sb a s e do np e r c o l a t i o nn e t w o r k s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h ed y n a m i cb e h a v i o r so fr a n d o mp r o c e s s e so n b e r n o u l l ib o n do rs i t ep e r c o l a t i o nc l u s t e r so rn e t w o r k s a sag e n e r a l i z a t i o no ft h e c l a s s i cp e r c o l a t i o np r o c e s s ，l o c a l l yd e p e n d e n tp e r c o l a t i o np r o c e s sa r es t u d i e d l i m i t t h e o r e m s ，s u c ha sc e n t r a ll i m i tt h e o r e m ，l a wo fl a r g en m n b e ra n dl a r g ed e v i a t i o n f o rt h e s er a n d o mp r o c e s s e sa r ep r e s e n t e d 1 i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n t e dt h eb a s i ct h e o r yf o rt h ec l a s s i cp e r c o l a t i o n p r o c e s so i lz d m o r e o v e r s o m ei n e q u a l i t i e sa r eg i v e n 2 i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h er a n d o mc o l o r i n gm o d e lo nb o n dp e r c o l a t i o n c l u s t e r s t h em o d e li sag e n e r a l i z a t i o no fd a c ( d i v i d ea n dc o l o r ) m o d e lg i v e nb y h i i g g s t r s m ( 2 0 0 1 ) t h ed a cm o d e li se a s i l yd e s c r i b e d ：c h o o s eag r a p ha tr a n d o m a c c o r d i n gt ob o n dp e r c o l a t i o n ，a n dt h e np a i n tr a n d o m l ya n di n d e p e n d e n t l yt h e d i f f e r e n tc l u s t e r s ，e a c hc l u s t e rb e i n gm o n o c h r o m a t i c w eg e n e r a l i z et h ed a cm o d e l i nt h es e n s et h a tt h ei n d e p e n d e n tc o n d i t i o ni sw e a k e n e dt ou n c o r r e l a t e a p p a r e n t l y , t h i si sn o ta ne s s e n t i a lg e n e r a l i z a t i o n h o w e v e r ，t h em e t h o d st ot h ep r o o f so fl i m i t t h e o r e m si ng a r e t ( 2 0 0 1 ) c u tn oi c ew i t h o u tt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ec o l o r sp a i n t e d o nd i f f e r e n tc l u s t e r sh a v ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a ld i s t r i b u t i o n s t h e r e f o r e ，w e a p p l yan e wm e t h o dt op r o v et h el a wo fl a r g en u m b e r sa n dc e n t r a ll i m i tt h e o r e m s f o r o u rr a n d o mc o l o r i n gm o d e lu n d e rt h es u b c r i t i c a la n ds u p e r c r i t i c a lc a s e s ，q u e n c h e d l a wa n da n n e a l e dl a w 3 i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h em a r k o vc h a i no ns u p e r c r i t i c a ls i t ep e r c o l a t i o n p r o c e s s e x p l i c i te x p r e s s i o no fs p e e df u n c t i o nf o rl a r g ed e v i a t i o ni so b t a i n e d a n d i i i 上海交通大学博士学位论文 w ea p p l yd o b u r u s h i n st h e o r e mt op r o v eac e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o rt h em a r k o v c h a i nm o d e lo ns u p e r c r i t i c a ls i t ep e r c o l a t i o np r o c e s s 。 4 i nc h a p t e r4 ，w em a i n l ys t u d yt h el o c a l l yd e p e n d e n tp e r c o l a t i o np r o c e s s o nz 2 f o rt h i sm o d e l w ed e f i n et h en o t i o no ft h ec l u s t e r w ep r e s e n tt h ec e n t r a l l i m i tt h e o r e m sf o rt h es i z eo fb i g g e s tc l u s t e ra n dt h es i z eo ft h ec l u s t e ra tt h e o r i g i n i nt h el a t t i c eb o x e ss e q u e n c e s m o r e o v e r ，t e c h n i q u e so fb u r t o n - k e a n e ，d e v e l o p e d e a r l i e rf o ri n d e p e n d e n tp e r c o l a t i o no nz 一i sa d a p t e dt ot h es e t t i n go fl o c a l l yd e - p e n d e n tp e r c o l a t i o no nz df o rd 2 t h eu n i q u e n e s so ft h e o r e mo fi n f i n i t ed i r e c t e d c l u s t e ra tt h eo r i g i ni sp r o v e d k e yw o r d s p e r c o l a t i o nc l u s t e r s ，p e r c o l a t i o np r o b a b i l i t y , f k gi n - e q u a l i t y , c e n t r a ll i m i tt h e o r e m ，l a r g ed e v i a t i o n ，l o c a l l yd e p e n d e n tp e r c o l a t i o n i v 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 茸埘 日期：矽黔f 1 月弘日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密回，在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密l 铆 ( 请在以上方框内打“，) 论文作者签名： = y 彳埘 i 吼扩嘭昭 臌：讹 v 日期：纱瞬【 月了。日 第零章绪论 早在二十世纪四十年代，渗流( p e r c o l a t i o n ) 理论的思想就被f l o r y ( 1 9 4 1 ) 和 s t o c k m a y e r 用于解释高分子溶液变成胶体的行为这可以被视作渗流理论的起源 但是1 9 5 7 年数学上渗流概念的第一次提出，则归功于数学家h a m m e r s l e y 和工程师 b r o a d b e n t ( 1 9 5 7 ) 自那以后，渗流理论引起了众多数学家和物理学家的注意关于 渗流理论的文献层出不穷，大部分可见于数学和统计物理相关刊物上，例如综述性 的文章有b e n j a m i n ia n ds c h r a m m ( 1 9 9 6 ) ，b l a n c h a x da n dg a n d o l f o ( 2 0 0 1 ) ，e s s a m ( 1 9 8 0 ) ， g r i m m e t t ( 1 9 9 4 ) ，h a r aa n ds l a d e ( 2 0 0 0 a ) ( 2 0 0 0 b ) ，i s i c h e n k o ( 1 9 9 2 ) 和s t a n l e y ae t 口 ，( 1 9 9 9 ) 等关于渗流的专著也有很多，如b o l l o b 矗sa n dr i o r d a n ( 2 0 0 6 ) ，g r i m m e t t ( 1 9 8 9 ) ( 1 9 9 9 ) ， k e s t e n ( 1 9 8 2 ) ，l y o n sa n dp e r e s ( 2 0 0 8 ) ，m e e s t e ra n dr o y ( 1 9 9 6 ) ，s a h i m i ( 1 9 9 4 ) 和s t a u f f e r a n da h a r o n y ( 1 9 9 2 ) 等 渗流理论之所以引起众多学者极大的兴趣，是由于其在实际生活中应用广泛， 最常见的奠过于流体在某可渗透媒介中的流动 o 1什么是渗流? 简单地说，渗流是许多实际问题的抽象油或水在有孔介质中的逾渗，火势的 蔓延，疾病的传播，介质和导体混合物的传导特性等都可以用渗流模型来描述， 他们关心的都是一些在给定空间上一些随机分布的对象的连通性问题考虑二维 正方形网格上的渗流问题，我们可以以某个概率p 随机地占据网格上的点( 点渗 流) 或边( 边渗流) ，当两个被占据的点或边相接触时，我们就称其为连通的，互相 连通在一起的所有点或边的集合称为连通集团，我们关心的是渗流所形成的连通 集团的大小很显然地，当概率p 较小时，网格上只会有一些孤立的小的集团( 或 单点，边) ，而当p 较大时( 极限情况下p = 1 ) ，则会形成连通网格边界的无限大集 团研究发现，无限大集团的出现是一个典型的连续相变问题，对无限大的网格， 存在着一个临界渗流概率p c ，当p p 。时，则会存在一个无限大集团，网格是可以逾渗的当 然，在计算机数值模拟中，我们一般都只能处理有限大小的网格，此时，临界值并 不像理论预言的那么确定和尖锐 下面我们用数学语言来阐述究竟什么是渗流考虑图g = ( ve ) ，v 为g 的顶 点集，e 为其所有边所构成的集合设所有边独立地以概率p 开通，1 一p 闭合， 则所有开边构成g 的一个随机子图上面的问题归结为在这个随机子图中是否存 在一条由开边构成的连接中央点和边缘的连通分支图g 的一条路( p a t h ) 是指g 的一个顶点序列v l ，v 2 ，使得对所有的i 1 ，仇和v i + 1 在g 中相邻一条路称 为是开路，如果构成它的所有边 饥，u i + 1 ) 都是开的甩开路相连的点组成的连通 集合称为开簇或开串( o p e nc l u s t e r ) 假设a ，bcv ，则ahb 表示存在开路连接a 中某个顶点和b 中的某个顶点通常如果记号不会产生混淆，以“h 口代表事件 “ h 秒，包含顶点秒的开簇c ( u ) 是所有可以被开路与 连接的顶点全体即 c ( v ) = 缸v ：让h 钞 假设g 是无限图，以0 代替中央点，以昂表示相应的概率测度( 下一章中将详细 给出) ，渗流理论的一个中心同题就是考虑渗流概率 口p ) = 昂( oho o = 昂 l c ( o ) i = 。) 这就是h a m m e r s l e y 和b r o a d b e n t 最早研究的边渗流模型与边渗流相对应的是点 渗流，即所有的边是确定开通的，但点却独立地开或闭分别以相应的概率p 或1 一p 一个开路此时指其上的所有点都是开的 o 2为什么要研究渗流? 渗流是描述无序媒质活动规律的最简单的模型之一很多概率学家或从事统 计物理研究的学者之所以对其抱有极大的研究兴趣，主要是基于以下一些原因( 但 不限于此) ： 1 渗流的一些问题的提出包括模型的建立都是容易的，但要解决这些问题是相当 2 第零章绪论 困难的 2 问题的解决需要分析，几何，离散数学等数学分支的知识的综合 3 物理上的直觉提供了许多漂亮的猜想 4 在研究渗流的过程中发展起来的一些技巧和方法可以用于对一些比较复杂的空 间上的随机过程的研究，这样的一些过程通常是指标为z d 中的点的相依随机变量 族对于这类随机系统的研究，目前还没有什么突破但是人们通过将之与一些已 经被研究的很好的过程的比较，可以得出部分结果有时候，渗流过程就扮演这样 的角色尽管这样与渗流过程作比较的方法得出的结果未必是最好的，但至少为 我们指明了研究的方向例如在研究接触过程等传染病模型时，这样的方法是经 常用到的 5 渗流至少为下列实际问题( 不限于此) 提供了一个简单( 这里是指叙述上的简单) 的模型： ( a ) 传染病的流行传染病的爆发与感染率，易感染者和已感染者之间的关系， 都在不同程度上表现出类似于渗流理论中的临界阈限特征众所周知，接触过程是 粒子系统中一个用来描述疾病传播的很好的模型标准的接触过程是 o ，1 ) 列上的 连续时间的马氏过程，其转移速率是 ， i 入n ( y ) 如果叩( 。) = 0 ， c ( x ，卵) = l y x l _ 1 i 1 如果叮( z ) = 1 ， 这里a 是非负常数，解释为疾病的感染率对于个体z z d ，7 ( z ) = 1 表示被感 染，? 7 ( z ) = 0 表示未被感染。 假设t = 0 时，只有原点处被感染，试问疾病可否以正概率持续传播下去 已经知道，存在临界值k ，使得当a a 。时，有限时间后，疾病就终止了；而当 入 k 时，疾病将以正概率持续传播下去 研究接触过程的方法的之一是图表示法，就是研究图z d 【0 ，。o ) 上作一个适 当的渗流模型详情可见l i g g e t t ( 1 9 8 5 ) ( 1 9 9 9 ) ( b ) 森林火灾的蔓延森林中一棵树被点燃后以某概率向周围的树蔓延，渗流 3 上海交通大学博士学位论文 可用于树林中树之间的距离的最优值的计算 ( c ) 电路中的无序媒介譬如电阻计算一块单纯物质的电阻可能会很简单， 但对于两种物质混合后的有效电阻的研究可能就需要利用渗流的知识 ( d ) 景观生态学。，物理学家可能应用渗透理论来理解和预测这样的问 题t 在某种不导电的媒介中加入多少金属材料( 如黄金等贵重金属) 才能使其导电? 这一结果自然会使我们联想到能量、物质和生物在景观镶嵌体中的运动对于这 些生态学过程而言，是否也存在某种景观连接度临界值，从而产生类型于渗透过 程的突变或阈限现象? 比如说，植被覆盖度达到多少时流动沙丘则可得以固定? 生境面积占有整个景观面积的多少时某一物种才能幸免于生境破碎化作用而长期 生存? ，因此，渗透理论对于研究景观结构( 特别是连接度) 和功能之间的 关系，颇具有启发性和指导意义”一邬建国( 2 0 0 0 ) ( e ) 证券市场现实证券市场中，交易者通过相互作用形成了不同规模、不同 交易偏好的集团或簇，形成的原因有很多例如，接收到同一条传播的信息的交易 者可能会一致采取某个交易行为；某个投资俱乐部会员全体会由于获取相同的消 息或投资建议而成为一个簇；一类投资者出于对某个著名证券分析师的信任而采 纳其建议，形成一个交易簇，等等每个簇的股民在股市交易中的动作倾向一致 每个交易日，一个交易簇独立地选择买入或卖出的概率都是2 ，不参加交易的概 率是1 一o 假设每个人每次参加交易的数额都是相等的，则交易总额与集团的顶点数( s i z e ) 成正比设扎。= 馆：+ 竹i 表示含有s 个顶点的集团数目，其中寸是买入的集团数 目，n i 是卖出的集团数目则市场股票相对价格为 es n 一s n i 。j 一 9 0s 渗流理论中的临界点理论也可以应用到证券市场上，可以将p 视为交易者之 间的连通性，随着p 的增大，渗流簇的规模也不断增大，当p 足够大时，很有可能 会出现市场中大多数投资者都融入同一个簇的情形，这时候这个巨渗流簇中的投 资者的全体发出的指令就会很大，对市场的影响就比较明显，从而引起证券价格 的大幅波动 4 第零章绪论 ( f ) 互联网渗流理论可以用来分析互联网上的随机故障把每个网页看作一 个结点，结点之间的超链接视做边，这样就形成一个巨大的图当某些结点受到恶 意攻击而中断与其有链接的结点的联系时，会不会使得整个互联网陷入瘫痪状态 呢? 这实际上也是一个渗流问题只是这里不同于通常的渗流模型，这里是要考 虑当一小部分结点不通时，会不会使得整个网络被分割成一些小的连通分支 o 3国内外研究现状 关于渗流基本理论的研究 自从1 9 8 0 年k e s t e n 证明了，当d = 2 时，p 。= 1 2 的重要结果，z d 上经典的 b e r n o u l l i 渗流过程得到了充分的重视并被广泛的研究，相继出现了很多有关经典 渗流的著作，例如，k e s t e n ( 1 9 8 2 ) ，s t a u f f e ra n da h a r o n y ( 1 9 9 2 ) ，g r i m m e t t ( 1 9 8 9 ) ( 1 9 9 9 ) 和b o l l o b 矗sa n dr i o r d a n ( 2 0 0 6 ) 等 渗流模型最重要的性质恐怕是相变了，也就是说存在临界值纯f 0 ，1 】，使得当 p p 。时，口p ) o ；当p o ；当p p 。时，口0 ) = 0 前者情形称渗流为上临界的，后者称 为下临界，当p = p c 时称为临界态临界概率既通常被定义为 p c = s u p p ：日0 ) = o ) 临界概率的估计一直是被关注的热点尽管这方面的文章很多，包括物理上 的和数学上的有k a h n ( 2 0 0 3 ) ，k e s t e n ( 1 9 8 0 ) 和w i e r m a n ( 1 9 8 8 ) ( 2 0 0 2 ) 等，但具体的计 算出临界概率是一件非常困难的事情目前数学上，只能处理一维情形和少数二 维情形，参见g r i m m e t t ( 1 9 8 9 ) ( 1 9 9 9 ) 对于很多图上的渗流，甚至连临界概率是不 是非平凡的都不是很清楚b e n j a m i n i 和s c h r a m m ( 1 9 9 6 ) 证明了对于很大一部分的 图上的渗流，都有p c ( g ) 0 时，存在唯一的无 穷开簇，见g r i m m e t t ( 1 9 8 9 ) ( 1 9 9 9 ) ，h i i g g s t r s ma n dj o n a s s o n ( 2 0 0 6 ) ，k e s t e n ( 1 9 8 2 ) 和 n e w m a na n ds c h u l m a n ( 1 9 s 1 ) 但并不是对所有的图，当0 ( p ) 0 时，无穷开簇都是 唯一的g r i m m e t ta n dn e w m a n ( 1 9 9 0 ) 证明了对于正则树x t 上的渗流，并不是对 所有的p ：p p 。，无穷开簇的唯一性都成立考虑到当p = 1 时，无穷开簇必是唯 一的自然地，有下面的定义 p 札：= i n f 切：昂( = 1 ) = 1 ) 显然由定义p u2p 。渗流基本理论的一个主要问题是找出哪些图满足0 p c 0 ， 詈谚( ) 三卜m ，删d 7 上海交通大学博士学位论文 这里形( t ) = w ( 0 + 卜 ，护r d 白举渗流( b o o t s t r a pp e r c o l a t i o n ) 的一般形式定义如下设有图g = ( ke ) ， 0 p 1 为自然数在时刻t = 0 时，g 的顶点独立的以概率p 被占据，以 概率1 一p 空置由此， v 0 = t = o 时刻所有被占据的顶点) 为一个随机集假设我们已经定义了k ，定义 v t + 1 ：= ku “y k ：i 虬nk i r ) ， 这里人乞表示顶点乱的所有邻居也就是说，在t + 1 时刻，空置的点被占据当且 仅当其至少有r 个被占据的邻居 换一种表达，假设有函数 现：vh o ，1 】， 仇( t ) = 1 当且仅当t 时刻顶点i , 被占据由定义，还有吼( u ) = 1 当且仅当吼一l ( u ) = 1 或者t 至少有r 个邻居秽l ，满足侥一1 ( ) = 1 ，i = 1 ，吼称为t 时刻的组 态于是 k = 钍v ：吼( 钍) = 1 ) 所以图g 上的自举渗流产生一个取值于 o ，1 ) 组态序列 仉 铲 显然，一旦7 7 0 确定了，协，t 1 就随之确定对每个t ，有吼+ l 吼因此，或 者存在u ，吼( 钍) = 0 对于所有的t 都成立，或者对每个u v ，存在t ( 口) ，当t2t ( v ) 时，饶( 移) = 1 成立对于后者情形，我们称7 7s p a n n i n g 自然地，人们会关注叼s p a n n i n g 的可能性有多大，即咖0 ) = p ( ns p a n n i n g ) 除非g 很特殊，一般地来说，要计算办( p ) 是很困难的。近来，b a l o g ha n db o l - l o b e s ( 2 0 0 5 ) 研究了礼维超立方体上的自举渗流，对于图序列t g 。) r 证明了存在 p o ( n ) ，和p l ( n ) ，0 p o ( n ) p l ( n ) o 实际上是个马尔可夫过程，昂是其个不变测度简单的说，动态渗流是定义在 图g 的随机子图空间上的以昂为其平稳分布的马氏过程 吼) t o 还可以被看作 最简单的粒子系统，每个边状态的改变速率为 a ( 讹，e ) ： p ，如果吼( e ) = 0 i1 一p ，如果吼( e ) = 1 ， 两个以上的边同时改变状态的概率是0 9 上海交通大学博士学位论文 记皿p 为马氏过程 讯) t o 相对应的概率测度，c ；c 表示事件“在组态仇下无穷 开簇存在”由f u b i n i 定理， ， i 慨口矗t 发生) = 1 ，如果昂( c 0 ) = 1 ， l 皿p ( 舌n 泼生) = 1 ，如果昂( c o ) = 0 h i i g g s t r s m ，p e r e sa n ds t e i f ( 1 9 9 7 ) 主要的工作是试图把上面的。a 8 t 。改为。任意 。他们证明了下面的结论 定理t 对任意图g ，有 ， i 霍p 慨任意t 发生) = 1 ，如果p p c ( v ) ， 1 ( 瓦任意t 发生) = 1 ，如果p p 。时，对于图g = ( z d , e d ) ，对所有的时刻t ，无穷开簇都是唯一的 但是对于树上的动态渗流，当p p c 时，对于所有时刻t ，都存在无穷多个无穷开 簇对于p = p c 的情形，还是不明确 3 关于相依渗流的研究 现有文献所研究的渗流理论无论是无向渗流还是有向渗流，都假设每个边或 点的状态是相互独立的显然，相对于生活实际，这样的假设是令人不满意的渗 流模型为了更能接近实际，有很多修正，可以更加复杂化比如点边都随机化常 用的复杂化方法，一种是注意到点边的开与闭，或许与其所处的位置相关，从而考 虑将p 随机化，得到的渗流模型称为随机环境中的渗流模型或相依渗流( d e p e n d e n t p e r c o l a t i o n ) 由于这类模型更加切合实际，目前研究也比较热门，参见b a l i s t e r ， b o l l o b 毛sa n ds t a c e y ( 2 0 0 0 ) ，h r g g s t r s m ( 1 9 9 7 ) ，h a r r i sa n dm e e s t e r ( 1 9 9 6 ) ，h o f f m a n ( 2 0 0 5 ) 和j o n a s s o n ，m o s s e la n dp e r e s ( 2 0 0 0 ) 等 1 0 第零章绪论 我们知道，经典渗流中边开的概率p 是不依赖于边的位置的，而且是同分布 的但是实际中，事实并非如此例如石油在传输的过程中，我们不能指望管道处 处的开闭概率是一样的可能会受到所在地条件的影响而有所不同相依渗流正 是考虑到了这一点，它是一类点边的开闭与空间位置紧密有关的渗流模型，也可 以称之为随机环境中的渗流 随机环境中的渗流模型的一般提法如下。设图g = ( ke ) ， 恐 。露为一族取值 于【0 ，1 】上的随机变量称 五) 。e 为环境( e n v i r o n m e n t ) 考虑随机环境 五 。e 中 的渗流【，7 。 。e 边e 独立地以概率五开( i e 傀= 1 ) ，以概率1 一x e 闭( i e 魂= 0 ) j o n a s s o n ，m o s s e la n dp e r e s ( 2 0 0 0 ) 中给出了下面的模型考虑图g = ( z a , e d ) 定义 两族独立同分布的随机变量x i i z 和 讥) t z ，具有参数为2 - 1 0 0 0 的几何分布 p ( x a ) = c ( 2 1 0 0 0 ) 口 设0 p 1 ， 昂( e ( ( i ，歹) ，( i + 1 ，j ) ) i so p e n ) = p x ， 和 昂( e ( ( t ，j ) ，( i ，歹+ 1 ) ) 妇o p e n ) = 矽 每个边的开闭是相互独立的这被称为平面上随机拉伸格点上的渗流( p e r c o l a t i o n o nt h er a n d o m l ys t r e t c h e dl a t t i c ei nz 2 1 j o n a s s o n ，m o s s e la n dp e r e s ( 2 0 0 0 ) 对于z 3 上的随机拉伸格点上的渗流证明了有 相变，即下面的定理 定理t 存在p c , 0 p c p c 时，以概率1 存在唯一的无穷开簇，记为( u ) 设y = m ，t 0 ，e ，