（应用数学专业论文）边际消费倾向的混沌现象及其混沌控制的研究.pdf

摘要 边际消费倾向的混沌现象及其混沌控制的研究 作者简介：王铮，男，1 9 8 0 年8 月生，2 0 0 4 年从师于魏贵民教授，于2 0 0 7 年7 月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学位。 摘要 大家都非常清楚，我们所生活的这个世界是不能完全用线性的理论知识就能 够得到完全解决的，客观的说，我们的世界是一个非线性，看似混乱、无序的。 混沌理论2 0 世纪的后半期得到了长足的发展，并且其在许多领域得到或开始得 到广泛的应用，无论是天文地理，还是到商业经济，甚至是医学领域都得到了充 分的应用，但是由于其研究的对象皆为“无序、杂乱”，所以，其发展速度并不 如其他非线性科学发展速度( 例如：神经网络、分形、小波) 。但是，我们能够看 出，在非线性领域中，混沌科学是站在最前沿的一门学科，所以，研究与其理论 相关的课题，势必会带来一定的挑战性。由于混沌的奇异特性，特别是对初始条 件的高度敏感性，使人们觉的其不可靠，不可应用，同时也使得人们想到能否通 过某种方法使得本来无续的运动变的更具有周期性，更加的可靠，这就是混沌控 制理论出现的原委，混沌控制的发展主要是2 0 世纪9 0 年代之后，在国际范围内 得到了广泛的发展，从而使得混沌学科具有了更广阔的应用前景。 2 0 世纪9 0 年代以来，经济系统中的非线性现象已经引起了包括经济学家和 科学工作者的高度关注。但现在人们的兴趣己不j f = 于揭示各种经济系统中的混沌 现象，如何消除有害的混沌而对有益的混沌加以诱导已经成为经济混沌研究的热 点之一。文献 1 1 研究了一个宏观经济模型的混沌控制，解释了政策参数调节 的意义，文献 1 2 研究了对一个财务管理模型的控制方法。但总体来说，经济系 统的混沌控制研究还刚刚起步，对实际能够产生指导意义的工作还很少，这也是 影响混沌理论在经济系统中的应用的重要原因。因此，研究如何结合经济系统的 特点，将一些比较成熟的混沌控制方法运用于对具体的混沌经济系统的控制将是 很有意义的。 通过分析，现在我们都知道在经济领域内，混沌现象无所不在。但是对于混 沌的研究大多数也仅限基于经济时间序列的混沌分析及考证，并没有深入具体得 出具有实际意义的结果。为此，本文结合微观经济学理论，对边际消费倾向这一 经济概念进行了系统的分析并推导出其产生混沌现象的具体吸引子，同时，以其 成都理工大学硕士学位论文 为例，运用延迟反馈混沌控制方法来稳定其引起的混沌行为，这对我国国民收入、 消费的政策制订与实施有重要的启示。 关键词：混沌现象；混沌控制；l o g i s t i c 模型；混沌吸引子；边际消费倾向 目录 b o u n dc o n s u m e st h ei n c l i n a t i o nc h a o sp h e n o m e n o n a n dt h e i rr e s e a r c ht h a tc h a o sc o n t r o l s i n t r o d u c t i o no ft h ea u t h o r ：w a n gz h e n g ，b o r no na u g u s t9 ，19 8 0 ，w a sa w a r d e dt h e s c i e n c em a s t e r sd e g r e eo fa p p l i e dm a t hi nc h e n g d uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g yo n j u l yo f 2 0 0 7 ，u n d e rt h eg u i d a n c eo f p r o f w e ig u im i n a b s t r a c t e v e r y b o d yi sa l lv e r yc l e a r , t h i sw o r l dl i v e db y u si sn o tt os o l v ec o m p l e t e l yb y l i n e a rt h e o r yk n o w l e d g e ，o b j e c t i v e l y ，o u rw o r l di san o n l i n e a r i t y ，l o o k sl i k ec h a o s ， t h e r ei sn oo r d e r s c h a o t i ct h e o r yh a sg o tr a p i dp r o g r e s si n2 0c e n t u r i e sl a t t e rh a l f s c h e d u l e dt i m e t h ep e r s o nh a db e e na r r i v e da ti nal o to ff i e l do rt h eg e o g r a p h i c a l f j a t u r eb e g i n n i n gt ob ea p p l i e db r o a d l y ，d i s r e g a r d i n gb e i n ga s t r o n o m yg e o g r a p h i c a l f e a t u r e s t i l la r r i v ea tc o m m e r c ee c o n o m y , b et h a tt h em e d i c a ls c i e n c ef i e l dh a sa l lg o t s u f f i c i e n ta p p l i c a t i o ne v e n ，b u tb e c a u s et h a tt h em a r r i a g ep a r t n e rt h a tt h ep e r s o n s t u d i e sa l li s ”an o t h i n gi sc o n t i n u e ，m i x e da n dd i s o r d e r l y ”，t h ep e r s o nd e v e l o p s s p e e d ，n o ti fn o n l i n e a r i t ys c i e n c ed e v e l o p ss p e e do t h e r ( f o ri n s t a n c e ：n e u r a ln e t w o r k s f r a c t a l ，m i n o rw a v e ) b u t ，w ec a ni np e r c e i v i n g ，b e i n gi nt h en o n l i n e a r i t yf i e l d ， c h a o t i cs c i e n c ei st os t a n d f o r w a r dp o s i t i o n ，s e a r c ht h ep r o b l e m ，d e f i n i t e l ym a y b r i n ga b o u tc e r t a i nc h a l l e n g et h a nt h e o r yi sp e r t i n e n tm o s t b e c a u s eo fs t r a n g ec h a o t i c c h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t y , t h ea l t i t u d es e n s i b i l i t ye s p e c i a l l yt oi n i t i a lc o n d i t i o n ，u s e si t s u n s o u n d n e s st h a tp e o p l ef e e l s ，i sn o ta l l o w e dt oa p p l y , a tt h es a m et i m ea l s of e a s i b l e p e o p l et h i n k sk i n do fm e t h o dc a nb eu s e do rn o tb ys o m et h e r eb e i n gn oc o n t i n u o u s m o t i o nu n e x p e c t e dt u r no fe v e n t s so r i g i n a l l yh a v i n gc y c l i c i t ym o r e ，e s p e c i a l l y r e l i a b l e t h i sh a sm o v e dt o w a r d st h ea l lt h ed e t a i l sb e i n gt h a tc h a o t i cc o n t r o lt h e o r y a p p e a r s t h ed e v e l o p m e n tt h a tc h a o sc o n t r o l sh a sb e e na f t e r19 9 0 sm a i n l y ，t h ei n n e r h a sg o tb r o a dd e v e l o p m e n ti ni n t e r n a t i o n a lr a n g e ，w i l ld oc h a o t i cd i s c i p l i n eh a sh a d v a s t e ra p p l i c a t i o np r o s p e c tt h e r e b y s i n c e19 9 0 。s ，n o n l i n e a r i t yp h e n o m e n o ni ne c o n o m i cs y s t e mh a sa l r e a d ya r o u s e d t h ea l t i t u d ea t t e n t i o ni n c l u d i n gt h ee c o n o m i s t sa n dt h es c i e n c er e s e a r c h e r b u t ，n o w a l r e a d yn o th a v es t o p p e dh o wt o r e m o v eh a r m f u lc h a o si nc h a o sp h e n o m e n o ni n 成都理工大学硕士学位论文 a n n o u n c i n gt ov a r i o u se c o n o m i cs y s t e m ，p e o p l e si n t e r e s t ，b u tg u i d i n gb e n e f i c i a l c h a o sa l r e a d yb e c o m ec h a o t i co n eo f t h eh o ts p o ts t u d y i n go f e c o n o m y d o c u m e n t 1 1 h a ss t u d i e dam a c r o e c o n o m ym o d e lu n d e rt h ec o n t r o lo fc h a o s ，h a v em a d ea n e x p l a n a t i o nt h es i g n i f i c a n c et h a tt h ep o l i c yp a r a m e t e ra d j u s t s ，【1 2 h a ss t u d i e da d o c u m e n tt oaf i n a n c i a la f f a i r sa d m i n i s t r a t i o nm o d e lc o n t r o lm e t h o d b u tc o m et os a y t h ee c o n o m i cs y s t e mc h a o ss t u d i e su n d e rt h ec o n t r o lo fb r e a k i n gt h ei c ej u a tn o w p o p u l a t i o n ，t h ej o bb e i n ga b l et op r o d u c eg u i d i n gs i g n i f i c a n c et or e a l i t yr e t u r n sv e r y f e wb a c k ，t h i si sa l s ot h ec a u s ea f f e c t i n gc h a o t i ct h e o r yi m p o r t a n c ei na p p l i c a t i o ni n e c o n o m i cs y s t e m c h a r a c t e r i s t i ct h e r e f o r e ，s t u d y i n gh o ws y s t e m a t i cu n i o ne c o n o m yi s ， c o n t r o l l i n gt h a tc o n t r o lm e t h o da p p l i e sal i t t l er e l a t i v e l ym a t u r ec h a o st oc o n c r e t e c h a o t i ce c o n o m i cs y s t e mw i l lb eah i g h l ys i g n i f i c a n s b ya n a l y s i s ，n o ww ea l lk n o wt h ei n n e r , t h ec h a o sp h e n o m e n o na r eo m n i p r e s e n t i nt h ee c o n o m i cf i e l d g r e a tm a j o r i t ya r er e s t r i c t e dt ob u te c o n o m yt i m es e r i e s - b a s e d c h a o t i ca n a l y s i sa n dt e x t u a lc r i t i c i s ma l s oo n l yt oc h a o t i cr e s e a r c h d on o tg od e e p i n t or e a c ht h er e s u kh a v i n ga c t u a ls i g n i f i c a n c ec o n c r e t e l y f o rt h i sp u r p o s e ，t h em a i n b o d yo ft h i s a r t i c l eu n i o nm i c r o - e c o n o m i c st h e o r y , c o n c r ec o n s u m i n gt h ea n a l y s i s h a v i n gb e e ni np r o g r e s ss y s t e m a t i c a l l ya n dt h ec h a o sp h e n o m e n o nd e d u c i n go u t w h o s ec r e a t i o ni n c l i n i n gt ot h i so n ee c o n o m yc o n c e p tt ob o u n da t t r a c t ss o n ，t a k e st h e p e r s o na se x a m p l ea tt h es a m et i m e ，a p p l yp o s t p o n i n gc o u p l i n gb a c ki t s t h ec h a o t i c b e h a v i o ra r o u s i n gc o m i n gt os t a b i l i z ec h a o t i cc o n t r o lm e t h o d ，t h ep o l i c yt h a tt h i s c o n s u m e st oo u rc o u n t r yn a t i o n a li n c o m e ，w o r k so u tw i t hb e i n gp u ti n t oe f f e c th a v i n g t h ei m p o r t a n te n l i g h t e n m e n t k e y w o r d ：c h a o sp h e n o m e n o n c o n t r o l l i n g o fc h a o s l o g i s t i c m o d e l c h a o sa t t r a c t ss o nb o u n dc o n s u m e si n c l i n a t i o n 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及耿得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑理王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者导师签名： 学位论文作者签名：殳 舻7 年 瑁 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡王盍堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛壑理王盍堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 三蟹 妒7 年 f 月 f 日 爱 船辱 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题研究背景及研究意义 混沌非线性瑾论是随着现代科学技术的邋猛发展，特别是在计算梳技术的出 现和普遍应用的基础上发展越来的新兴交叉学科，被认为是2 0 世纪物理学三次 最缀要的革命之一。我们都知邋，我们所生活的这个世界是不能完全翅线性的理 论知识莸髓够褥到完全解决瓣，客蕊懿谖，我镯静整器题一个 线佼，看儆滋蘸、 无序的。混沌理论2 0 实际的艏半期得到了长足的发展，并且其在许多领域得到 或开始得到广泛的应用，无论是天文地理，还是到商业经济，甚至是医学领域都 褥到了充分豹痰爝，毽是由予其磅究魏j l 圣象誊为“无缪、杂惑”，赝墩，其发震 速度并不如其他# 线性科学发展速度( 例如：神经网络、分形、小波) 。但是，我 们能够看出，在非线性领域中，混沌科学怒站在最前沿的一门学科，所以，研究 与葳理论相关麴谍题，势必会带来一定的挑藏性。由予濑沌的奇异特性，特别是 露窃始条俘的离发敏感往，使入髓觉静葵不可靠，不露疲用，阕霹畿使得入稻瑟 到能否通过某种方法使得本来无续的运动交的更具有周期性，更加的可靠，这就 是混沌控制理论出现的原委，混沌控制的发展主要是2 0 世纪9 0 年代之后，在国 际藏溷内褥到了广泛静发震，扶瑟捷餐混漶学穆买骞了爨广瘸懿瘦趱戆景。 通过混沌科学，我们知道了经济系统怒个非线性的系统，其表现为经济中的 混沌现象，尽管经济学中的混沌现象在1 9 8 5 年才初次被发现，然而佬却对当今 嚣方主流经济学中豹掰古典主义期凯愚斯主义产生了蹙大的冲击，英原因在于， 经济系统中窭现酶混淹现象後褥宏鼹经济运动本身具裔内在的不稳怒往f 内在隧 机性1 。即使政府按照传统的方式采取了诸如财政政策或者金融政策簿相应的宏 观调控手段进行干预，但其效果却十分有限。通过对混沌经济模型的研究表明， 遮耱内在戆不稳定性是骞麓掺霹锤静，莠麓毒l 鬟逶遥混淹控裁理论褥蘩一定解 决，本文就是对经济系统中的一个热点的经济现象作如一系列的混沌方面的研 究。 ，1 2 国内外研究分析与现状 2 0 世纪8 0 年代初，美图经济学家s t u t z e r 和d a y 最先将新兴的混沌理论和 方法鬻手分辑宏滋经济孛j 线经援裂增长籁经滂增长孛鬟瑷豹瀑淹溺瑟。之嚣不 久，国内外的许多学者便开始运用混沌理论，研究和探讨包括财政、众融在内的 经济和管理方面的问题，特别是有关证券市场股价指数、汇率变化方面的研究格 成都理工大学硕士学斑论文 外引人注豳，但是到目前为止，关于混沌在经济学中的应用大多数仅限于混沌时 闼序列鲍樱关研究。裁鼹翦国走外用混淹方法礤究的情嚣来看，主要存在以下尼 个闯题：( 1 ) 多限于剩髑实际阔题寻我混淹存在的诞据，丽缺纛对存在混淹魏象 的实际问题的混沌模型戚其吸引子的探讨，对产生混沌的实际原因和条件的深入 探索和研究；( 2 ) 对混沌现象的控制缺乏深入的研究。 关予鬟孝懿簪 究最遥尼年在我瓣方逐澎豹袭麓起来，文簸【翻、【1 3 臻! 我瓣将 混沌控制应用于经济系统中较为典型的示例，但怒，模型的建立兜全是基于瀹沌 l o g i s t i c 模烈的嵌套，没有完整的推理过程。 1 3 论文主要内容及安簧 本文蓖先介绍了混沌理论研究的背景及其现状，然后在混沌现象普遍存在的 经济颁域，慰一个篱蘩戆经济学穰念，透舔瀵赞缀良送霄努瓣，运惩基磷籍攀 的数学方法推导出其混沌模型，并根据混沌吸引子，周期分岔的理论概念对其进 行了在不同参数的取值情况下所产擞的混沌道路及吸引子做了简单的论述。最 蜃，尝试麓铡露混淹控涮方法对边躲淡黄颧自的混淹模型进行了控制分辑。 2 第2 章经济理论 2 1 消费者偏好问题 第2 章经济理论 日常生活告诉我们：不同人的偏好可能是完全不同的，有些人爱喝啤酒，有 些人爱喝可乐。既然偏好如此千差万别，我们如何将它做为研究对象昵? 所以说， 我们所要研究的消费者偏好并不是要解释为什么某些人会有某种特殊的偏好，而 是要指明所有“理性”的消费者的偏好所具有的一些共同特征。 首先，假定消费者在心目中能给不同的商品按照偏好排列一个顺序。事实上， 消费者在将不同的商品带给他的效用从大到小排列一个顺序，他无须计算效用具 体的大小，只能比较出高低即可。比如，看完场精彩的电影，人们会说，这场 电影比上一场好看，这实际上就已经排出了个人偏好的顺序。如果消费者面前有 两组商品a 和b ，a 带给他的效用大于b ，他就更偏好a ；反之就更偏好b 。 其次，假定消费者的偏好具有可传递性，即偏好在逻辑上是一致的。可传递 性意味着如果消费者在商品组a 和b 中更偏好b ，而在b 和c 中更偏好c ，那 么在a 和c 中就应该更偏好c 。 对消费者偏好做了基本特征的概括之后，我们引入无差异曲线这个概念。例： 假定社会上只有两种消费品：食物和衣服，我们将这两种商品在一定时期内的消 费量用图形表示出来。 表 曼 苴 位 恩 l o 2 0 蜘柏食物 成都理工大学硕士学位论文 图2 - 1 无差异曲线 无差舞藏线表示的怒谚给消费蠢穗 霹效用的掰有舞品缝合馕猿，遣葳怒说， 对同一条觅差异曲线上鹣所有商晶缎会，消费者酌偏好程度跫究全稆同的，缄者 说消费者擞得它们在效用上是没有麓异的。它告诉我们，如果消费者从消费级合 a 移向b ，放弃了l o 单使的食物而多获取了2 0 单位的衣服，那么他不会感到情 况有耩转变( 无论好转逐是恶往) 。焱无差吴整线上方戆饪褥一点，热e 熹，挺 供的效用都要大于无差异曲线上的任何一个组合，因为对于光麓异曲线的菜一 点，e 组合可以在衣服数缀不变的情况下，增加食物的消费量；或者在食物数嫩不 交的情瑰下，堪搬衣服黥澄费量。瓣璎，在无差鼯藏线下方爨 萱霞一点，热g 点，提供的效用都要小于无差异曲线上的任何一个缀合。因此，只有在盛线上面 的任何一种组合带来的效用是相同的，消费者从任何一组商品的消费中都能 | 晕到 完全一样的满意程度。 2 2 经济学中的边际理论 2 2 1 效雳、慧效露与迭际效蔫 人们之所以要消费商品和服务，燎因为从消费中他们的一些需要或爱好熊得 到满足，例如消费食品熊够充饥、多穿衣服能御寒、看电影和听音乐能得到耩睾孛 享受等。经济学孛，我髓把这静簌巍赫和鼹务戆滚费孛麓褥到戆瀵足感称为教弱 ( u t i l i t y ) 。散用是对从菜一商品组合的消费中得到的满足感的擞观衡量，其衡量 的单位是任意的。 瀵费囊菸会绘溃费纛豢来效爱，艇我键斡分援霉要区分这梯涎令穰念；憨效 用( t o t a lu t i l i t y , 简写t u ) 和边际效髑( m a r g i n a lu t i l i t y , 筒写m u ) 。总效用就怒消 费者从商品和服务的消赞中得到满足的总量，而边际效用是指每增加一个单位消 费量所引起的总效用的壤量，因此也髋是消费最詹一个单位商始或服务所带来鲍 皴臻稽量。褒2 2 1 戳食赫秘衣鼗豹溺费为镶，绘磁了与一定潜费数量霹瘦静憩 效用和边际效用，t u e 和m u g 表示消费衣服的总散用和边际效用，t u f 和m u f 则表示消费食品的总效用和边际效用。 袭2 2 ，1 憨效用( 碍) 季霎逸酝效躅( 瓣) 衣服t u cm u e 食品t u fm u f 0o0o l3 03 0l4 0 4 0 25 82 827 53 5 4 第2 章经济理论 38 32 531 0 53 0 41 0 52 241 3 02 5 5 1 2 52 051 5 02 0 6 1 4 31 861 6 51 5 71 6 01 771 7 51 0 81 7 51 581 8 05 2 2 2 边际替代率 人们在两种或两种以上的商品中进行选择的时候面临着权衡抉择，无差异曲 线能有助于使这些权衡抉择变的清晰明了，图2 2 2 的无差异曲线说明了这一点。 从组合a 开始，转向组合b ，我们看到，消费者愿意放弃6 单位的衣服，以获 取额外的1 单位的食物。然而从b 移向d ，他只愿意放弃4 单位的衣服来获得1 单位的食物。再从d 移向e ，他愿意只放弃2 单位的衣服来获得l 单位的食物。 为了将消费者为更多获取另外一种商品而愿意放弃一种商品的数量加以量 化，我们采用一种被称作边际替代率( m a r g i n a lr a t eo f s u b s t i t u t i o n , m r s ) 的度量 法。在本例中，如果我们用a c 来表示衣服的变化，a f 来表示食物的变化，m r s 便可以写为一c f ；加上负号是为了使边际替代率成为正数。 表 塑 差 闻 图2 2 - 2 边际替代率 第3 章混沌理论 第3 章混沌理论 3 1 混沌理论发展概况 仨型y ， 7 成都理工大学硕士学位论文 数为o r 、r 和b ，如取b = 8 3 ，盯。1 0 ，改变参数r ：当， 0 则称在s 上是混沌的。 此定义中，由于前两个极限说明子集的点置，置s 相当分散而又相当集中； 第三个极限说明子集不会趋近于任意周期点，所以这个定理本身只预言有非周期 轨道存在，既不涉及这些非周期点的集合是否具有非零测度，也不涉及哪个周期 是稳定的。因此，约克定义的缺陷在于集合s 的勒贝格测度有可能为零，即这时 混沌是不可测的。 根据约克定义，1 9 8 3 年d a y 认为一个混沌系统应具有如下三种性质：第一， 存在所有阶的周期轨道；第二，存在一个不可数集合，该集合只含有混沌轨道， 且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一 轨道不趋向于任一轨道，即该集合不存在渐近周期轨道；第三，混沌轨道具有高 度的不稳定性。 到目前为止，下面给出的有关混沌的定义是最为准确的： 对于动力系统：r ”一只“，r a ，( a = i o ，x 或者a = z + ) 和集合a t - - r ”，若 9 成都理工夫学硕士学位论文 j 万 0 ，使得对于v x a 和v 以x 为中心的开球( x ，占) ，必渺b ”( x ，占) 广、一和 f a 适会 j 妒( 一伊( y ) | d ( 3 2 1 4 ) 则称妒f 农a 上关于扔馕是有敏感依赖性或称农a 上是混淹鸵；反过来，也豫a 是舻的混沌集。 1 9 8 9 年d e v a n e yrl 给出了混沌的一种简单定义： 设要是一令凄量空藏。一令连续浚羹季f ：x 哼x 豁秀x 上戆瀵淹，磐采 ( 1 ) f 摄拓扑传递的； ( 2 ) f 瓣瘸弱点在菇巾秘密； ( 3 ) f 舆有对初始条件的敏感依赖性。 简而言之，混沌的跌射爨有不可预测馒与不可分解性，但仍有一种规律性遮三个 要素。这怒嚣隽，对秘始条薛鹣敏感袄籁往，爱褥混沌系统是不霹矮溺静。又由 于拓扑传递性，使得它不能被细分域不能被分解为两个在，下相互影响的予系 统。尽管如媳，但在溅沌行为中确炎存在着规律性的成分，即蠢穗密的周期点。 混淹瑷论静割始入之一、著名麓气象学家洛徐兹对混淹懿定义是：“我蠲混 沌这个术语来泛指这样的一个过程它们看起来是随机发擞的而实际上艇行 为却由精确的法则来规定。”他后来认为，更准确的被重新定义的混沌系统是指 敏感逢蔹簇予裙始条终豹内在交纯豹系统。对予乡 来变纯懿敏感性本奏势不爨辣 着混沌。 我国襁极泰教授搬非线性动力举混沌定义为；( 1 ) 混沌魑一种确定性现象； ( 2 ) 混淹是一种强非线性动态，楚襁对于一些“不动点”、“鼹期点”的特迤形 式的一耱寒定形静交融予特定形式阕豹无痒获态。 综上所述，关于混沌概念的两个熏要的观点怒很明确的：( 1 ) 混沌是确定性 系统内在的随机性，是一种貌似无序、实则更为肖序的非周期行为；( 2 ) 非线性 凌嚣籍被浚为萋线毪溺濯，瑟不是终燕麓单戆线靛方法熬竣憝璞。 混沌理论的深刻之处在于揭示出确定性系统的随机性，体现了随机性存在于 确定性之中，确定性自融规定自己为不确定性确定 生系统自己产生了随机运 动。宅扶投本上修正了长翳以来形成戆牛顿力学的宠垒决定论的形象，展瑷爨在 牛顿理论酌框架内可苏餐纳这稀不确定性的本束蕊舀。过去，入们总是把牛顿力 1 0 第3 章混沌理论 学警“决定论”糨联系或画等号，以为只要襁始条件和受力状态确定，以后的运 动藏完全确定了；现在到把这个论段舔7 避来，鸯牛顿运动方程确定懿获态，可 能由于方程具有“内在随机憔”，而使其动态实际上不可能预测，它只具有某种 统计特征。 3 2 2 菲线性动宠学渥淹的分类 随着混沌这门学科的发展，现在，不仅可以对平衡态热力学混沌与非线性动 力誓混涟终窭嚣分，蠢量麓够辩菲线经动力学霭 龟缀爨凳为缍致戆分类： ( 1 ) 时间混沌和空问混沌。例如杨维明对溜沌的时间和空间行为做了划分，它 把混沌对初始条件的敏感依赖性细致的划分为两种依赖性时间和空间条件 的依羧性，：并且凌研究上绘如了低维动力系统静时闼漫滚秘空闽混淹的定义：辩 闻滗淹郎系统状态其有裙始蓉件依赖性；空闻混沌邸为系统状态具有边界条释依 赖性。 ( 2 ) 完全混沌嗣有限混沌。我国著名学家程极泰把混沌分成了完全混沌和有限 潺 奄嚣静。 蠹谈凳，淀淹是袭鬣一令动力系统豹特缝，懿巢在该系绞审大多数鞔 道聪示敏感依赖性，即所谓究全混沌；如果该系统中只肖某些轨道怒非周期的， 但多数轨道是周期的或准周期的，即有限混沌。 ( 3 ) 强( 或完全) 混涟秘弱混、涟。把混漶萋笨为强 线链混涟，实琢土是指洛伦 兹意义上的完全混淹。而所谓的强混沌移弱混沌是按照肖无一个时闻尺度从而是 否可以对系统的演化行为做出预测来划分的。p e rb a l 【铸人认为强混沌即存在一 个嚣尊间尺度，一熙超越这个尺度，系统演化就不可预测；褥弱混沌则不存在这样 一个尺度，它霹激进行长黧颈缀。嚣蓑掰投溺静蠡组织懿疆赛瑰象都怒弱混涟酶， 所以看起来自然界存在着大擞的弱混沌现魏。而弱混沌怒可以长期预测的。上面 的区分，严格地说，是指在混沌区内，强混沌区域不可预测，而弱混沌区的大部 分怒霹疆颈测静。 3 3 混沌现象的基本特褫 对手饕平簿、 线性过纛邋入豹混淹，它彝“热力学乎鬻态豹潺涟”不霹。 混沌是一种貌似凭规的运动，怒在确定性系统中出现的煎似随机行为的过程，是 系统在内在不确定性因素作用下产生的时间演化的宏观复杂现象。混沌现象把表 委鼹无彦性与内凌熬嫂律蛙融必一薅，其蒸本特廷主要露： 成都理工大学硕士学位论文 3 3 1 确定性系统的内在随机性 混沌现象是由系统内部的非线性因素引起的，是系统内在随机性的一种表 现，而不是外来随机扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究表明，只要确定 性系统中有非线性因素作用，系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内在的 随机性，即确定性混沌。 确定性系统一般是指动力学系统，他们可用常微分方程、偏微分方程、差分 方程或一些简单的迭代方程来描述，且方程中的系数都是确定的。只要给定初始 值和边界条件，方程就能给出确定的过程，它的解是唯一确定的。在某些情况和 给定的控制参数下，解会呈现出混沌状态。这种确定性系统的混沌现象本质上不 同于不受确定性方程约束的所谓完全随机的混乱状态。随机性是指不规则的、不 能预测的行为。混沌现象是“确定性系统”的一种“内在的随机性”，它有别于 由系统外部引入不确定的随机影响( 如噪声) 而产生的外在随机性。为了与类似 大量分子热运动的外在随机和无序性加以区别，我们称所研究的混沌为非线性动 力学混沌，而把系统处于平衡态时所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡 热力学混沌。平衡态热力学混沌与非线性动力学混沌的另一个差别在于：平衡态 热力学混沌所表现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。非线性动力学 混沌则不然，系统的短期演化结果是确定的，是可以预测的；只有经过长期演化， 结果才是不确定的、不可预测的。比如天气预报，三天以内的天气状况是可以预 报的，三天以后的天气状况就无法预报了。 3 3 2 对初始条件的敏感性 系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性是混沌运动的本质特征。动力学系 统的行为或运动轨道决定于两个因素：一个是系统的运动演化规律，在数学上就 是动力学方程；另一个就是系统现在的状态，数学上称为初始条件。一个确定性 系统在给定了运动方程之后，如果满足利普希茨条件，则根据“存在唯一性”定 理，轨道唯一的取决于初始条件。给一个初值，只有一条轨道。这就是系统行为 或轨道对初值的依赖性。按照经典力学的观点，轨道对初值的依赖是不敏感的。 但是，混沌研究的结果改变了这一观点。处在混沌状态的系统，运动轨道将 敏感地依赖于初始条件。从两个极邻近的初值出发的两条轨道，在短时间内似乎 差距不大，但在足够长的时间以后，必然呈现出显著的差别。从长期行为看，初 值的小改变在运动过程中不断被放大，导致轨道发生巨大的偏差，以至在相空间 中的距离要多远有多远。这就是系统长期行为对初值的敏感依赖性。由此可见， 由于对初值的依赖十分敏感，微小的扰动将导致解的巨大变化。 第3 章混沌理论 3 3 3 非平衡过程产生的混沌吸引子 任何物理学理论，在一定意义上都是研究物质在时空中运动的规律。是返回 原来状态，还是会达某种新的稳定状态昵? 对于保守的哈密顿系统，由于没有能 量耗散，运动状态在演化过程中可以随时间改变，但其在相空间中的体积始终不 变。因此，在足够长的时间之后，系统有可能回到离初始状态任意近的地方，这 就是所谓的“庞加莱循环”。对于耗散系统，由于有能量的耗散，在演化过程中 相体积将不断的收缩，耗散系统的运动最终将趋向维数比原来相空间维数低或体 积小的极限集合，而不会再回到原来的状态。当演化时间卜a o 时，系统所达到 的极限集合称为“吸引子”。例如单摆运动，如果没有摩擦或其他消耗( 保守系 统) ，单摆将周而复始地无限期地摆下去，运动永不停止。如果有摩擦( 耗散系 统) ，振幅将逐渐减小，最终将停止在中间位置，这个状态( 不动点) 就是一个 吸引子。耗散运动最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上。零维的吸引子是 一个不动点，一维的是一个极限环，二维是一个环面，等等。这些吸引子通常叫 做普通吸引子或平凡吸引子。 混沌状态也是非平衡非线性系统演化的一种归宿，它也相当于一个吸引子， 它是耗散运动收缩到相空间有限区域的一种形式。但与平凡吸引子相比，它又有 一些奇特的性质。系统在吸引子外的所有状态都向吸引子靠拢，这是吸引作用， 反映系统运动“稳定”的一面；而一旦到达吸引子内，其运动又是互相排斥的， 这对应着“不稳定”的一面。也可以说系统在整体上是稳定的，而在局部是不稳 定的。在混沌区内，两个靠得非常近的点，随着时间的推移会指数发散开来；两 个相距较远的点，又可能无限得靠近；它们将在混沌区中自由的游荡，又跳不出 混沌区去，因此无法描述它们的“轨道”，无法预测其未来的状态。 1 9 7 1 年法国物理学家茹勒和塔肯首次把混沌的这种特殊性质叫作奇异吸引 子。下图为l o r e n z 吸引子示意图，l o r e n z 常微分方程组为： 笔一眦弘 砉= 可( y 叫 ( 3 3 3 1 ) d z 瓦一码+ p y z 成都理工大学硕士学位论文 图3 - 3 3l o r e n z 吸引子 从图中我们可以看出l o r e n z 的运动轨迹曲线相互缠绕而互不相交，如果将 这条曲线视为某一动点的运动轨迹，这个动点将随着时间自变量，的增大，将在 空间的两个定点附近做环绕运动。 3 3 4 混沌区具有无穷嵌套的自相似结构 奇怪吸引子是轨道在相空间中经过无数次靠拢和分离，来回拉伸与折叠形成 的几何图形，因此具有无穷层次的自相似结构。在混沌区内，从大到小，一层一 层类似洋葱头或套箱，具有字相似结构。这些自相似结构无穷无尽地互相套叠， 从而形成了“无穷嵌套的自相似结构”。我们任取其中一小单元，放大来看都和 原来混沌区一样，具有和整体相似的结构，包含有整个系统的“信息”。这也是 一种“全息现象”。由此可见，混沌现象既具有紊乱性，又具有规律性。 对有耗散系统运动在相空间的收缩，使奇怪吸引子维数小于相空间的维数。 所以奇怪吸引子的几何性质，可以通过研究它的空间维数来确定。由于其组成部 分与整体有某种方式的相似，称为分形。分形的特点是分数维，它是由曼德勃罗 ( m a n d e l b r o t ) 在2 0 世纪7 0 年代创立的，因此，混沌理论与分形理论是是两个 密不可分的非线性学科，因为本文主要工作不是刻画吸引子，所以关于刻画吸引 子的内容在这里就不做详述了。 3 4 进入混沌的道路 3 4 1 倍周期分岔进入混沌 系统运动变化的周期行为是一种有序状态。一个系统，在一定的条件下，经 过周期加倍，会逐步丧失周期行为而进入混沌。例如，一个非线性电子电路，当 1 4 第3 章混沌理论 我们考察它的输出交变电压随输入电压的改变而变化的规律时发现，开始输入电 压较低时，输出电压频率与输入电压的频率一样；而随着输入电压的增加，输出 电压的频度经过二分频、四分频、八分频、十六分频最后进入混沌，这就是周 期分岔进入混沌。这种周期成倍增加且最后进入混沌的过程被称为倍周期分岔。 现用数学方法对倍周期分岔进入混沌加以具体的描述。设系统参数为( 只 考虑单参数并不失一般性) 。当系统有多个参数时，可以设定其余参数而仅让其 中一个变化。如果= 胁时系统的稳态振动周期为t ；随着变化到= h 时， 稳态振动周期变为2 r 。这种运动性质的突然改变即是倍周期分岔。随着倍周期 分岔的不断出现，最终变为无穷点集，周期运动相应地转化为混沌运动。值的注 意的是，倍周期分岔值鸬所构成无穷序列 肛) 的差商极限： 占= l i r a 芏l 盥( 3 4 1 1 ) ”“p n “一| l q 是一个常数，而且几类不同的系统可能具有相同的常数，因此被称为普适常数。 普适常数的存在，反映了倍周期分岔产生混沌途径的特点。倍周期分岔产生混沌 这一途径是1 9 7 8 年由美国科学家费根鲍姆对映射的研究所发现的。下图是逻辑 斯谛( l o g i s t i c ) 模型在不同参数值下绘出的倍周期分岔示意图。 图3 - 4 1 l o g ls t i c 模型倍周期分岔图 由图我们可以看出，随着参数的不断增大，出现了混沌现象，凡是倍周期分 岔到混沌的分界点。 3 4 2 阵发混沌 阵发混沌是非平衡非线性系统进入混沌的又一条道路。这里的阵发即指阵发 成都理工大学硕十学位论文 性这一概念，它原指湍流理论中用来描述流场中在层流背景上湍流随机爆发的现 象，表现为层流、湍流相交而使相应的空间域随机地交替。在混沌理论中主要是 借助于阵发性概念来表示时间域中系统不规则行为和规则行为的随机交替现象。 阵发混沌是指系统较长时间尺度的规则运动和较短时间尺度的无规则运动的随 机交替变化的现象。具体来说，阵发混沌是指系统从有序向混沌转化时，在非平 衡非线性条件下，当某些参数的变化达到某一些临界阀值时，系统的时间行为忽 而周期( 有序) 、忽而混沌，在两者之间振荡。有关