（物理电子学专业论文）光子晶体高频结构的研究.pdf

摘要 摘要 光子晶体是从二十世纪八十年代发展起来的- 1 7 新兴学科，它集光学、电磁 学、材料学、能带学于一体，利用其拥有的禁带及缺陷等特性，在信息传输领域 异军突起，吸引了来自各行各业的科研人员对其进行深入研究。光子晶体最大的 特点便是其拥有的能带结构，这使得它具有频率选择的特性。也正因此，光子晶 体自提出至今，已取得了巨大的成就，成为全世界所关注的焦点。 一直以来，高频结构中杂模的存在，对器件的工作产生了极大的负面影响。 如何消除杂模，使高频结构工作在单模下一直是人们所关注的问题。而且，随着 器件频率和功率水平的进一步提高，传统高频结构会出现诸如金属损耗过大、非 工作模式振荡剧烈、电子注通道缩小和功率容量受限等无法解决的困难。 光子晶体由于其拥有的频率选择特性，为解决高频结构的困难提供了可能： 将光子晶体加载到微谐振腔中，可以获得极高的品质因数，并且实现了谐振腔的 单模工作；用光子晶体取代传统波导的金属外壳，可以解决因频率升高而导致电 磁波衰减加剧的问题，从而提高波导的传输性能；通过合理加载光子晶体，使高 频结构在高次单模下工作，这就为解决尺寸共渡及功率受限问题提供了可能。 本论文首先介绍了光子晶体的概念及分析方法，并结合平面波展开法计算出 几种光子晶体的能带结构。然后，根据所得的能带结构图，设计了几种工作于低 次单模或高次单模下的谐振腔。最后，我们将光子晶体加载到矩形栅慢波结构中， 成功实现了慢波结构的单模工作。 关键词：光子晶体，能带结构，高频结构，单模工作 a b s t r a c t a b s t r a c t p h o t o n i cc r y s t a l si san e ws u b j e c td e v e l o p e df r o m8 0y e a r so ft w e n t i e t hc e n t u r y , w l 畦c hs e t so p t i c s ，e l e c t r o m a g n e t i s m ，m a t e r i a ls c i e n c e ，b a n dg a pt h e o r yi no n e t a k i n g a d v a n t a g eo fi t so w nb a n dg a pa n dd e f e c tc h a r a c t e r i s t i c s ，i th a v es p r u n gu pe v e r y w h e r e i nt h ef i e l do fi n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o na n da t t r a c t e dr e s e a r c h e r sf r o ma l lw a l k so fl i f e t 0i t si n - d e p t hs t u d y t h eg r e a t e s tf e a t u r eo fp h o t o n i cc r y s t a l si st h eo w nb a n ds t r u c t u r e ， w h i c hm a k e si th a v eaf r e q u e n c ys e l e c t i v ec h a r a c t e r i s t i c j u s tb e c a u s eo fi t , p h o t o n i c c r y s t a l sh a sm a d et r e m e n d o u sa c h i e v e m e n t ss of a rs i n c et h ei n t r o d u c t i o no fi t , a n d b e c o m et h ef o c u so f w o r l dc j ) n c c l 1 1 a l la l o n g , t h ep r e s e n c eo fm i x e d - m o d ei nh i g h - f r e q u e n c ys t r u c t u r eh a da t r e m e n d o u sn e g a t i v ei m p a c tf o rt h ed e v i c e sw o r k h o wt oe l i m i n a t et h em i x e d - m o d e , s ot h a th i g h - f r e q u e n c ys t r u c t u r ec a nw o r ki ns i n g l e - m o d e , h a sb e e nt h ec o n c e r no f p e o p l e b e s i d e s ，w i t ht h ef r e q u e n c ya n dp o w e r l e v e lo ft h ed e v i c ee x p e c t e dt of u r t h e r e n h a n c e , t h et r a d i t i o n a lh i g h - f r e q u e n c ys t r u c t u r ea p p e a r sm a n yd i f f i c u l t i e sw h i c hc a l l t b es o l v e ds u c ha se x c e s s i v em e t a ll o s s ，v i o l e n to s c i l l a t i o no fn o n - e x p e c t e dm o d e l ， c o n s t r a i n e dc h a n n e lo fd e c t r o nb e a ma n dp o w e rc a p a c i t yr e d u c i n g p h o t o n i cc r y s t a l sh a saf r e q u e n c ys e l e c t i v ec h a r a e t e r s t i c , w h i c hp r o v i d e sa p o s s i b i l i t yt os o l v et h ed i f f i c u l t i e so fh i g h - f r e q u e n c ys t r u c t u r e ：l o a d i n gp h o t o n i cc r y s t a l s i n t ot h em i c r o - c a v i t yc a no b t a i nh i 豇q u a l i t yf a c t o ra n da c h i e v es i n g l e - m o d ew o r k ； u s i n gp h o t o n i cc r y s t a l sw a v e g u i d er e p l a c et h e t r a d i t i o n a lm e t a lw a v e g u i d ec a ns o l v et h e e l e c t r o m a g n e t i cw a v e sw o r s e n i n ga t t e n u a t i o np r o b l e mb e c a u s eo fi n c r e a s i n gf r e q u e n c y , s ot h a ti m p r o v et h et r a n s m i s s i o np e r f o r m a n c eo fw a v e g u i d e ；b yr e a s o n a b l yl o a d i n g p h o t o n i cc r y s t a l st oh i 曲一f r e q u e n c ys t r u c t u r ei no r d e rt oa c h i e v eh i g h - s i n g l e - m o d ew o r k , w h i c hm a k e sp o s s i b i l i t yt os o l v et h ep r o b l e m so fs i z er i d ea n dp o w e rl i m i t e d f o rt h ef i r s t ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h ec o n c e p ta n da n a l y s i sm e t h o d so fp h o t o r t i c c r y s t a l s ，a n du s ep l a n e - w a v ee x p a n s i o nm e t h o do b t a i ns e v e r a lt y p e so f p h o t o n i cc r y s t a l s b a n ds t r u c t u r e t h e n ，a c c o r d i n gt ot h ee n e r g yb a n ds t r u c t u r e ，w ed e s i g ns e v e r a lc a v i t i e s w o r k i n gu n d e rl o w - s i n g l e - m o d eo rh i g h s i n g l e - m o d e f i n a l l y , w el o a dp h o t o n i cc r y s t a l s i n t ot h er e c t a n g u l a rg r a t i n gs l o w - w a v es t r u c t u r e , a n ds u e c e 鹦f u l l ya c h i e v et h et a r g e to f l l s i n g l e - m o d ew o r k a b s t r a c t k e yw o r d s ：p h o t o m cc r y s t a l s ，b a n dg a ps t r u c t u r e ，h i g h f r e q u e n c ys t r u c t u r e ，s i n g l e m o d e i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 当鉴坐 日期：劲“年，月旧 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名到崖丝 导师签 日期： 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 作为微波频段的重要功率源，微波电真空器件因其频率高、功率大的特点， 一直是被人们研究的热点，在现代军事领域和国民经济领域得到了广泛的应用【1 1 。 近年来，在各种新型加速器、微波辐射能定向武器、大功率雷达、新型无线传输 系统等飞速发展的基础上，人们对微波电真空器件的制备和使用方面都提出了更 高的要求。 而作为微波管中实现电子注和高频电磁场互作用从而进行能量交换的场所， 高频结构的性能直接影响到微波管的工作频率、带宽及效率。因此，高频结构是 作为微波管的核心组成部分而存在的，我们要想提高微波管的性能，首先想到的 便是改善高频结构的特性。 由于对器件的使用提出了更高的要求，器件的频率和功率水平也进一步提高， 这导致传统高频结构会出现一些无法解决的困难，比如：频率提高后，高频结构 内的不需要模式由于不能通过金属壁辐射出去而使振荡更加强烈，严重影响微波 管的工作效率和稳定性；另外频率提高所导致的高频结构体积缩小会造成电子注 通道缩小，功率容量受限等一系列问题。 光子晶体的最大特点是拥有频率选择的特性，将光子晶体引入高频结构中， 为突破当前高频结构的发展提供了许多的可能：将光子晶体加载到微谐振腔中， 可以获得极高的品质因数，并且实现谐振腔的单模工作；用光子晶体取代传统波 导的金属外壳，可以解决因频率升高而导致电磁波衰减加剧的问题，从而提高波 导的传输性能；通过设计光子晶体禁带结构，使高频结构在高次单模下工作，这 就为解决尺寸共渡及功率受限问题提供了可能。 1 2 光子晶体介绍 1 2 1 光子晶体概念 光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) ，也叫做光带隙结构( p h o t o n i cb a n dg a ps t r u c t u r e ， 电子科技大学硕士学位论文 简称p b g ) ，其最主要的结构特点是组成物质的介电系数在空间上呈周期性排列。 自从二十世纪八十年代美国贝尔实验室的e y a b l o n o v i t c h 和普林斯顿大学的 s j o h n 分别提出光子晶体和光子带隙结构以来【2 3 1 ，光子晶体不论在理论研究还是 应用方面都取得了巨大的发展。在科技迅速发展的今天，人们已经可以将光子作 为信息的载体，并开始有了用其取代电子的设想。和电子相比，光子具有更大的 信息容量、更快的响应速度、更强的并行能力。而光子晶体拥有类似半导体束缚 电子一样束缚光子的能力，自然被人们用来作为光子信息传输的工具，其广阔的 应用前景使之成为国际学术界的一个研究热点。 1 2 2 光子晶体的特性 光子晶体最基本的特征是光子禁带。频率处于光子禁带的光在光子晶体周期 方向上将不能通过光子晶体，也无法在其中传播。相应的，拥有三维完全禁带的 光子晶体可以在任意方向上阻止光的入射。如果原子自发辐射的光频率刚好处于 光子禁带内，由于原子的场模耦合在光子晶体内被抑制，其自发辐射将会被削弱 甚至消失。 光子晶体的另一个特征是光子局域。当在光子晶体的周期性结构中引入缺陷 使得周期性发生破坏时，在其光子禁带中便会出现频率极窄的缺陷态。与缺陷态 频率一致的光子将会被禁锢在缺陷附近，一旦离开缺陷光就会呈指数衰减。点缺 陷和线缺陷被广泛地应用于光子传输系统中。 光子晶体的最后一个特征是表面态。在光子晶体和空气的交界面处，由于在 组成光子晶体的介质材料一侧形成光子禁带，而在空气的一侧不形成禁带，这使 得本征频率处于光子禁带的光有可能束缚在光子晶体表面进行传播，而一旦偏离 晶体表面，光将会迅速衰减。 1 2 3 光子晶体的计算方法 平面波展开法m 】( p l a n e - w a v ee x p a n s i o nm e t h o d ，简称p w e ) 是研究光子晶 体能带结构时最常用的计算方法之一。利用这种方法，我们只需计算一个光子晶 体原胞就可以得到整个光子晶体的能带结构。应用布洛赫定理，把介电系数和电 磁场用平面波展开，将麦克斯韦方程组化为一个本征方程，求解本证方程便可得 到光予晶体的能带结构。由此可以看出，平面波展开法是十分高效的。 时域有限差分法 7 - 9 1 ( f i n i t e - d i f f e r e n c e st i m e - d o m a i nm e t h o d ，简称f d t d ) 也 2 第一章绪论 是一种计算光子晶体能带结构的重要方法。它基于麦克斯韦方程组在空间上和时 间上的离散化得到差分方程，使得原本连续的电磁场离散成y e e 氏网格分布。这 样，在每个差分网格点上的电磁场都只与它相邻点的电磁场有关。然后我们可以 通过在时间上的不断迭代，求得下一时刻的电磁场分布。 转移矩阵法【lo 。1 ( t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d s ，简称t m m ) 是另一种计算光子能 带结构的重要方法。它将光子晶体划分成众多相互平行的层，利用每一层两侧电 磁场的关系列出矩阵方程。然后将相邻两个层合并为一个，同时它们对应的矩阵 方程也进行合并，从而得到合并后两侧电磁场的关系。下面的工作就是按照这样 不断合并下去，直到矩阵方程能够表示整个光子晶体两侧的情况。由于转移矩阵 法的通用性，使得它可以用来计算任意结构的光子能带结构。 以上三种方法是最常用的计算光子能带结构的方法，具体分析将在第二章详 细给出。除此之外，还有诸如n 阶法【1 2 】( 0 出n ) 、多重散射法f 1 3 1 ( m u l t i p l e s c a t t e r i n g t h e o r y ) 、k k r 1 4 j ( k o r r i n g a - k o l m - r o s t o k e rm e t h o d ) 等方法。这些方法各有优缺点， 在应用时要根据实际场合合理地选用。由于光子晶体的制备非常困难，通常是先 应用这些方法分析得出光子晶体的一些特性，再由实践来验证这些结论。因此， 在光子晶体的研究中，这些分析方法是十分重要的。 1 2 4 光子晶体的应用 光子晶体的提出，建立了光子的能带理论，打开了控制光的传播及光与物质 相互作用的新领域凝聚态物理和光学的交叉领域，创造了一种人工设计的新材 料一光子晶体，为发展新型光子器件奠定了物理基础。 由于光子晶体所具有的类似于半导体的能带结构，以及其对光的控制能力， 光子晶体的应用主要集中在光通信，激光器，集成光学和微波传导等领域。 1 光子晶体光纤【1 5 - 1 6 】 光子晶体光纤是指在石英光纤上周期性排列空气孔，而纤心是一个破坏周期 性的缺陷态。由于是截面排列的二维光子晶体结构，因此光将沿着缺陷态在光纤 中传输。光子晶体光纤拥有很多传统光纤没有的特点，比如在大角度处光的传输 几乎没有损耗；可以对不同频率的光波进行单模传输等。可以断定，在未来的光 通信领域，光子晶体光纤将有更为广阔的前景。 2 性能优良的滤波器【1 7 】 利用光子晶体的频率选择能力可以很好地实现对电磁波的滤波能力。利用光 子晶体制作的滤波器可以有很大的带宽，目前已经可以覆盖从低频( 几乎到。勉) 3 电子科技大学硕+ 学位论文 到红外的范围。而当我们破坏光子晶体的周期结构，引入频率范围极窄的缺陷态 时，处于缺陷态频率的电磁波将几乎无耗地通过光子晶体。根据这个特性，我们 可以制作品质极高，频带极窄的光子晶体滤波器。 3 集成光路 在工作所需的光波频段，如果光子晶体拥有完全的光子禁带，而且在光子晶 体的任意位置都能引入缺陷态。那么，通过合理地设计，我们可以利用光子晶体 缺陷态灵活地处理光波的导通与阻断，制作出满足要求的集成光路。可以说，光 子晶体将在未来集成光路领域发挥举足轻重的作用。 4 光子晶体波导【l s 】 和光子晶体光纤一样，光子晶体波导也是利用缺陷态工作的。处于缺陷态的 电磁波会呈现很强的局域态，因此电磁波将只能沿线缺陷传播，即使通过很大的 转角，电磁波能量也损失得很少。由于光子晶体波导是基于光子禁带导光的，我 们可以设计光子晶体的结构使波导只工作在单模下。当工作频率特别高时，电磁 波在金属波导中传播的衰减加剧，这时可以使用介质光子晶体来取代金属波导， 提高其传输性能。 5 微谐振腔l 1 9 1 由于传统金属谐振腔在光波频段会有很大的能量损耗，造成品质因数偏低， 因此寻求一种低损耗物质来代替谐振腔金属外壳是十分必要的。利用光子晶体引 入缺陷态可以制作出品质因数极高的微谐振腔，并且谐振腔的品质因数会随着光 子晶体层数的增加而增大。根据这个特点，光子晶体微谐振腔可以用来制作高效 率低阀值的激光器，也可以制成高效率发光二极管。 此外，光子晶体还在高性能反射镜，偏振器，光开关，光放大器件等领域中 有应用。随着光子晶体越来越多地被人们所研究和运用，未来科技领域里光子晶 体必将引导一次新的技术革命。 1 3 光子晶体在高频结构中的应用及国内外研究现状 光子晶体是一种频带选择的解决方案。将高频结构的工作频带设计在光子晶 体的禁带之中，高频结构中的电磁波将被很好地束缚在光子晶体内。相比电磁波 在介质中会出现的辐射问题，电磁波由于受到光子晶体周期性结构的反射，场强 集中于电子注附近，辐射也几乎为零，这些都对提高高频结构的耦合阻抗和互作 用率有巨大帮助。 4 第一章绪论 光子晶体也是规避非期望振荡的解决方案。在传统金属波导中，由于金属壁 的存在，电磁波不能透过金属壁向外辐射，因此一些非期望模式在一定条件下会 在金属波导中产生振荡，很大程度地影响了金属波导的工作效率及稳定性。如果 将波导的外壳设计成光子晶体，我们就可以通过适当设计使非期望模式振荡频率 处于光子晶体通带。由于任意处于通带中的电磁波可以透过光子晶体向外辐射， 而不是沿着波导传播，所以非期望模式无从产生振荡。 光子晶体还是解决尺寸共渡及功率受限问题的有效方法。由于现代电子器件 频率的不断提高，高频结构的体积将会越来越小，随之带来的结果就是电子注通 道缩小，功率容量受限等难以解决的问题。为获得相对较大的电子注通道并提高 功率容量而采用的高次模式工作方法，因其高次模式竞争问题的严重而导致难以 实施。这种情况下，我们可以通过加载光子晶体，抑制杂模的振荡，从而实现高 频结构的高次单模工作。 光子晶体在高频结构中的应用最先出现在回旋管谐振结构的设计中【z o 】，它为 解决高次模式竞争问题提供了重要帮助。1 9 9 9 年，l o u i s 等人结合d a n i e l 针对天 线反射面所研究的介质金属混合高阻抗表面光子晶体，在美国军方己有的介质 印刷版慢波电路的基础上，再次开发了利用光子晶体作为基底的印刷版慢波电路 【2 1 1 。2 0 0 4 年，a i m e e 等人加工了用于行波管中电磁波传输的均匀二维光子晶体波 导，并对此结构进行了测试【捌。同年，又有陈治平等人对光子晶体加载栅型慢波 结构进行的研究田j 。 由于国内外只有少数文献涉及到光子晶体高频结构，并且只是作了理论分析， 因此在光子晶体高频结构这个领域，急需更新更全面的研究成果。 1 4 本论文的主要工作 本文主要研究了几种将光子晶体加载到高频系统的结构。通过计算不同结构 光子晶体的能带关系，将有指定能带结构的光子晶体加载到高频系统中，设计出 满足工作频段的光子晶体高频结构。然后将其在h f s s 下进行仿真，并进行适当的 结构改进。 主要内容如下： 1 介绍光子晶体发展现状，对一维到三维光子晶体做了简单介绍。 2 采用分析电子晶体结构的电磁理论法来分析光子晶体的特性，介绍了几种主 要计算方法。 5 电子科技大学硕士学位论文 3 结合平面波展开法，推导出光子晶体能带结构的计算方法，并得出几种典型 光子晶体的能带结构图。 4 研究了应用于微谐振腔的光子晶体缺陷的等效分析方法，计算并设计出工作 于单模情况下的光子晶体缺陷谐振腔。 5 利用光子晶体的禁带特性，结合介质微扰的方法，设计出能抑制模式竞争并 工作于高次单模下的光子晶体谐振腔。 6 将光子晶体加载到矩形栅慢波结构中，对其进行场分析及仿真，得到单模工 作下的光子晶体矩形栅慢波系统相关参数。 6 第一二章光子晶体结构理论分析及计算方法 第二章光子晶体结构理论分析及计算方法 21 光子晶体摹本结构 光子晶体是由介质或者金属周期性排列组成，按照周期性的空间取向，我们 可以把光于晶体分为一维、二维和三维光子晶体( 如图2 - 1 所示) 。 - o - l i o - - o ：! j 蛰 ( a ) 一维( b ) 二维( c ) 三维 图2 - 1 光予晶体空间结构 一维光子晶体在结构上最为简单，易于制各，将两种不同介电常数的平板交 替捧列便可构成一维光子晶体。二维光子晶体的制作比三维要容易得多，但它却 具有三维光子晶体的某些有用特性。在轴向不发生变化，而在横截面内呈周期性 变化的介质棒便是最典型的二维光子晶体。三维光子晶体可以拥有完全禁带，但 制作相当复杂，制作工艺要求很高。 22 光子晶体的禁带理论及缺陷结构 光于晶体的原理可以从类比半导体晶体开始，所| 三【我们可以通过理解电子能 带结构来了解光子晶体的工作原理。 在半导体中，原子是有序的周期性摔列。由于这种周期性的存在，半导体中 会产生周期性的势场。由电子的能带理论知道，电子在一个周期性势场中运动时， 波函数廿满足薛定谔方程： 电子科技火学硕+ 学位论文 i 俨+ 等旧叫) 旧：” ( 2 1 ) 矿( f ) = y ( 尹+ 云) 其中壳为普朗克常数，e 为电子能量，y ( 尹) 表示具有周期性的位能，其周期为 晶格矢量厅，m 为电子的有效质量。 由量子力学的分析可知，e 只有在符合一定条件时方程( 2 1 ) 才能有解，这 就说明e 只有在某些特定值下波函数才存在。因此，电子能量将不连续的存在于 半导体晶体内，从而形成电子能带。电子能量的非连续性分布，说明了只有能量 落在带隙中的电子才能够在半导体晶体中传播。 由于光子晶体结构理论的实质是电磁波在混合介质中传播的问题，和所有电 磁场的分析方法样，它遵循的是麦克斯韦方程组。因此，注意到组成光子晶体 的周期性介质的特点，可以将光子晶体中电磁波的麦克斯韦方程组化简为： m 2 i v 2 + ( + 占( f ) ) 】e ( 尹) 一v v e ( 尹) = 0( 2 2 ) 占( 尹) = e ( p 4 - 舀) 其中占( 尹) 是周期性分布的介电系数，其周期为晶格矢量历。 我们可以看到，其与电子的薛定谔方程很相似。求解方程( 2 2 ) 的结果表明 频率只能取一些特定的值，而在其它频带范围内方程无解。这就说明在介电系数 呈周期性分布的光子晶体中，某些频段的电磁波是被禁止传播的。这些被禁止的 频率区间被称为光子禁带( 如图2 2 ) ，这正是光子晶体的第一个特性。 频 蜜 y 波矢k 图2 - 2 典型光子晶体禁带结构 虽然只有三维光子晶体才可能拥有完全禁带，但从应用的角度来看，具有缺 第二章光子晶体结构理论分析殛计算方法 陷的光子晶体拥有更高的应用价值。在二维或三维的光子晶体中加入或移去一些 介电物质以破坏周期性结构，便可以产生缺陷。与半导体的情况类似，光子晶体 的缺陷态也多半落在禁带内，这便使原来的禁带中出现了突起的能线( 如图2 - 3 ) 。 同缺陷念频率相符的光会被局限在缺陷位置，一旦偏离缺陷将作迅速衰减。 2 附 嗲嗲 电子科技大学硕士学位论文 2 3 光子晶体能带结构的计算方法 由于光子晶体与电子晶体有类似的结构，人们通常采用分析电子晶体结构的 电磁理论方法来分析光子晶体的特性，并取得了和实验一致的结果。我们这里主 要分析三种方法：平面波展开法、时域有限差分法、传输矩阵法。 2 3 1 平面波展开方法 考虑一个晶格常数为a 的二维光子晶体( 如图2 5 ) ，其相对介电系数为t ( 尹) 。 oo 囝 y 啪囝l y 图2 5 二维光子晶体结构 由于电子注是通过与电场互作用实现能量交换的，因此我们着重讨论拥有z 向 电场的t m 模式。我们将t m 模式的电场和磁场表示为： e ( 尹，f ) = ( o o 疋( 尹) ) e 一7 科 ( 2 - 3 ) h ( f ，f ) = ( 致( 芦) ，日，( f ) ，0 ) e 一埘( 2 - 4 ) 代入麦克斯韦方程组得： 譬一譬一j c o 彤墁 苏加c 、72 一a e ：一鲤日。 ( 2 5 ) 2 = 一；一h l ，一1j _ a e ：丝q h h 最后得到只关于臣的方程： 丽1 【丽0 2 芬缈( 2 臣= 。 ( 2 - 6 ) 1 0 第二章光子晶体结构理论分析及计算方法 根据光子晶体的周期性，应用布洛赫定理，将电磁场分量进行傅立叶级数展 开，得到以平面波叠加形式呈现的电磁场。同时，也将介电系数进行傅立叶级数 展开，这时式( 2 6 ) 就化为了本征值为五= ( 缈c ) 2 的本征值求解方程，对应本征 频率的集合就是光子能带【2 4 1 。 虽然介质光子晶体的介电系数只是关于位置尹的函数，但金属光子晶体的介电 系数却与频率有光，因此在处理其本征方程时会有额外的计算量。我们将在第三 章分别讨论这两种光子晶体的能带结构。 平面波展开法不但能够快速、准确地计算出拥有完整周期性的光子晶体能带 结构，而且更能反映光子晶体形成能带结构的物理本质。但是对于周期性结构被 破坏的光子晶体，传统的平面波展开法不能计算其能带结构。 2 3 2 时域有限差分法 我们由微分形式的麦克斯韦旋度方程出发： v 厅：望+ 7 a v 小一警一无 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中西= 以，云= 旃，歹= 以，无= 吒膏。将方程化为直角坐标系下的三 个分量形式，得到： ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 设f ( x , y ，z ，f ) 为直角坐标系下某点的电场或磁场分量，我们取离散形式为： e e 巨 i s 仉 盯 + + + 迥一街吗一街阻一钟 g 占 g = = l l 吗一瑟堡缸堡砂 堡砂峨i堡缸 只 q 皿 b 鼙 b 毫 一 一 一 戤一钟吗一钟阻一酏 叩 叫 叩 哆i诅一缸亟砂 堡钞甄i 哆i 电子科技大学硕十学位论文 f ( x ，y ，z ，t ) = f ( i a x ，歹少，尼z ，n a t ) = f ”( f ，j ，后) ( 2 - 11 ) 将式( 2 1 1 ) 关于时间和空间的一阶偏导取中心差分近似，即： 煎型! 坐兰：担二坐兰二塑 砂 l 脚 每 ( 2 1 2 ) 煎型! i 坐竺：主! 二坐竺二芝 o z | ：t 6 ：z 。!。一三 堑! 苎! ：三：堕lz ：! ! ! ! 盟二：! ! ! ：盟 这样，通过将式( 2 1 2 ) 代入式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) ，我们可以得到电磁场在直 角坐标系下的f d t d 离散形式。 在f d t d 的网格划分中，电场和磁场节点按照y e e 氏网格空间分布( 如图2 6 ) ， 这样，只要给定相应电磁场的初始条件，随着时间的迭代，f d t d 法就将逐步推进 到各个位置各个时刻的场点分布。 x 图2 - 6 y e e 氏网格分布 时域有限差分法的计算量与系统结构的大小成正比。它忽略了光子晶体的周 期性结构，所以能够计算有限大小、任意结构的光子晶体。但也正是由于忽略的 光子晶体的周期性，该方法对于周期性单元众多的光子晶体计算效率较低，需要 1 2 一一 塑三垩堂! 曼堡堕塑墨堡坌堑壁盐塞查垄 大量的计算资源才能够实现。 233 传输矩阵法 我们考虑由两种不同相对介电常数、不同厚度的介质层沿= 向交替排列组成的 一维光子晶体( 如图2 - 7 ) ，周期d = a + a 2t 两种介质对应的折射率分别为n 、n ： 隧 岛 警警 ，” 圈2 - 7 一维光子晶体 当频率为的光沿：向入射进一维光子晶体时，介质中的场是由前向电磁波及 反射电磁波叠加而成。 对于晒波的入射情况，考虑首层介质的两个边界面f 和的切向分量f 、 h 和、日。，在f 处由电场边界条件得： f = e ：+ e ：= e + e ( 2 - 1 3 ) 其中下标f ，r ，f 分别表示沿= 向传播的入射波、反射波和折射波，加上负号 表示方向为叶向。 r 在边界处电磁场满足厅2 j 未幔x 雪t 是电磁波传播方向的单位矢量， n = 如一根据边界面磁场切向分量的连续性条件，在f 处有： 5 j 老( 目一耳埔一岛2 j 未( 一e ) 一q ( 2 _ 1 4 ) 式中岛、b 分别为两侧的电磁波角度。 同样的，在处有： p=譬+e：(2-15) f 2 j 等f 功 c 0 5 b ( 2 - 1 6 ) 叉由电磁波的传输形式，两边界面电场关系为： ；l 电子科技大学硕+ 学位论文 耳= 耳e x p ( j k o n r i a lc o s 9 1 ) ( 2 一1 7 ) f = ee x p ( - j k o n r i a ic o s q ) ( 2 1 8 ) 其中= 国岛风为真空中的波失。联立式( 2 - 1 3 ) 至( 2 1 8 ) ，我们可以得到 电磁波的传输矩阵： ( ；) 2 l 三三三够一j ：s s i 仍n 仍j ( ；) c 2 - ，9 ， 式中仍= k o , z i a ic o s o , ，仇= ，f 鱼啊c o s 0 , 。 y 鳓 这样，我们就能通过传输矩阵把介质两边的电磁波联系起来。传输矩阵是由 介质和电磁波的特性所决定的。 同理，入射波为t i 配i 波时，通过推到也能得到与式( 2 1 9 ) 相同的结果，只是 研2n 1 c o s q 。 对于由两层不同介质构成的一个基本周期，其传输矩阵为： a = c o s 仍c o s 仍一鲁s i i l 鲲s i n 仍一且去c o s 仍如仍+ 去s m 仍c o s 仍， 一- ， 玩咖鲲c 0 s 仍+ 仇c o s 仍如仍】c o s 识c 0 s 仍一罢咖仍血仍 式吣7 2 a 2 c 0 8 = 县螂。 ( 2 2 0 ) 通过层层的计算与合并，我们就可以得到整个光子晶体两侧的电磁场分布关 系。传输矩阵法是一种递推扩展的方法，涉及到了晶体结构的反射、透射系数， 适合计算复杂的晶体结构。 2 3 4 本论文采用的计算方法 以上三种方法各有优缺点，适合领域不同，计算量及计算精度也不同，可以 说三种方法都能很好地计算出光子晶体的能带结构。但对光子晶体的研究是一个 比较新的领域，对其物理意义的理解变得十分必要。由于平面波展开法能够很好 的帮助我们理解光子晶体的结构组成，并且对计算的硬件要求不高，结果也相对 准确，因此本文对光子晶体能带结构的计算采用平面波展开法。 1 4 第三章二维平扳光子晶体能带结构 第三章二维平板光子晶体能带结构 光子晶体捌有的带隙结构是我们应用光子晶体的前提，而我们将光子晶体加 戟到高频系统中，让其发挥选择电磁波和控制电磁波的作用也正是利用了它的光 子能带。在不同的高频系统中，我们对光子晶体能带范围的要求也是不一样的。 我们在应用光子晶体时，必须首先计算出它的能带结构，根据实际情况选取与高 频系统所需频带相符的光子晶体结构，然后将其加载到高频系统中，做进一步联 合仿真分析。由此可见，对光子晶体能带结构的研究是任何光子晶体加载高频系 统所做工作的第一步，具有极为重要的意义。 下图是两种最为典型的二维平板光子晶体结构1 6 】。 ( 曲 彻三角晶格空气柱加载介质腔 图3 - i 二维平板光子晶体 电子科技大学硕士学位论文 31 介质平板光子晶体能带结构 介质平板光子晶体是目前理论及实践中应用最为广泛的一类光子晶体。太多 数情况下，这类光子晶体的介电系数不随入射波频率的改变而改变。因此，我们 在计算介质平板光子晶体能带结构的时候，可以认为其介电系数为常数，采用不 受频率影响的频率分离平面波展开法 2 5 , 2 72 8 1 。 311 计算方法 1 。 j l i ( 曲晶体结构倒格矢空间 图3 - 2 正方晶格光子晶体 i v - - 一 n i 一 ( 曲晶体结构嘞倒辖矢空间 图3 - 3 三角晶格光子晶体 图3 - 2 ( a ) 、3 - 3 ( a ) 分别为二维正方晶格光子晶体和二维三角晶格光子晶体示意 出 第三章二维平板光子品体能带结构 图。我们在这里是将相对介电常数为乞的介质柱加载到相对介电常数为气的介质 腔中，介质柱的半径为，晶格常数为a 。我们取介质柱的轴线为纵向z ，则光子 晶体晶格的周期性排列体现在z y 坐标平面内。 为了方便光子能带结构的计算，我们引入倒晶格矢量空间，简称倒格矢空间 ( 如图3 2 ( b ) 、3 - 3 ( b ) 所示) 。在正方晶格结构中，我们取晶格基矢为： 口l = 口( 1 ，0 ，0 ) = 旃( 3 - 1 ) 口2 = a ( 0 ，1 ，0 ) = a y 则二维光子晶体中任一单元的具体位置可以用基矢的线性组合表示。例如， 取原点的元胞位置为( 0 ，0 ) ，则与它相邻四个元胞的位置分别为l a 。+ 0 a 2 ，0 a 。+ l a ：， - l a , + 0 a ：，0 a , - l a ：。为了得到最小布里渊区，在倒格矢空间中定义基矢为6 l ，6 2 ， 而且，倒格矢空间的基矢与实空间的基矢满足一定条件： 6 ：2 万 生兰鱼 ：三至i a i 。( a 2x a 3 ) 口 ( 3 2 ) 6 ：2 9 j 阻：丝哥 a 2 ( a lx a 3 ) a 其中a 3 = a ( 0 ，0 ，1 ) = 匠。这时，我们就可以通过求倒格矢空间中光子晶体的色 散曲线来得到光子晶体的能带结构。 正方晶格的最小布里渊区如图3 2 ( b ) 中的正方形所示，由于其对称性，我们找 到不可约布里渊区( 黑色填充部分) ，在二维平面系统下，三个顶点坐标分别为 r _ ( 0 ，o ) ，x = 等( 三 0 ) ，m _ 2 z 口、j l ，1 。 同理，在三角晶格结构中，取晶格基矢为： q = a ( 1 ，0 ，o ) = 赢 铲口( 搏0 ) = 口( 互1i + 孚歹) 。 倒格矢空间的基矢为： 其不可约布里渊区在二维平面系统下的三个顶点坐标分别为r - ( 0 ，0 ) ， 1 7 一y 万一，勃 一 一3堑。丝口塾口 电子科技大学硕士学位论文 j = 等c ；期，x = 等c 三，鲁，。 假设介质柱在轴向z 上是均匀的，由于其在x y 平面上是周期分布，我们可 以得到光子晶体周期性介电系数满足： s ( 尹) = 占( 尹+ 7 ( 小，甩) ) ，7 ( m ，n ) = m a l + n a 2 ，m ，n = 0 ，1 ，2 ( 3 5 ) 孵h 地吲跗= 船震慧 协6 ) 其中占( 尹) 代表二维位置矢量为尹处介电系数的值。为了方便以后的计算，我们 将式( 3 6 ) 写成倒数形式： _ 妥：土+ ( 三一! ) s ( 芦) ( 3 一) = + l 一一1 6 i ，1 l j - j 占( 尹)毛、乞毛。、 由占( 尹) 的周期性，将其倒数在倒格矢空间进行傅立叶级数展开，有： 磊1 = k ( 吞) 8 庙7 ( 3 - 8 ) 一= ， l i e 】- ， g ( 尹) 芎、7 其中d 为倒格矢空间二维位置矢量，k ( 吞) 为1 占( 尹) 的傅立叶展开系数，可以 表示为： 邸) = 刍岛e 啊一扩尹 协” 其中s 代表矢量尹处对应元胞的面积，将式( 3 7 ) 代入式( 3 9 ) ，然后化简得 到： l 上+ ( 土一土) 刁， 吞：0 斛回憎扣铲g 砸。 。1 i 乞 乞 ll r 其中巧为二维光子晶体的填充比，正方晶格的填充比表示为，7 = - 胛t ，三角晶 格的填充比，7 ：t 2 善：3 6 3 善。 3 口上口二 我们知道，在速调管中电子注需要穿过谐振腔与谐振腔的电场发生作用，而 t m 模在其模式中心有最强的纵向电场，尤其锄。模式的电场强度在纵向没有变 1 8 第三章二维平板光子晶体能带结构 t m 模作为买谐振模式，我们这里也看重研冗t m 模式。 对于t m 模，将电磁场表达式代入麦克斯韦方程组并化简得到只关于e 的方 程： 熹( 兰+ 要) 巨+ ( 竺) z e - ：o ( 3 - 丽面+ 矿巨+ ( i ) 2 0 川 根据布洛赫定理，进行傅立叶级数展开有： 巨( 尹) = 曰( | j i ，e ) + 咖 ( 3 1 2 ) 可0 2 e _ _ = 一渺渺蛳7 ( 也蚶 1 3 ) 等一善砸矽椭( 砖氓) 2 其中云= ( 颤，勺) 为最小布里渊区内的波矢，e = ( g l ，g i ，) 为倒格矢空间中独立 于香的另一个二维位置矢量。并且将式( 3 8 ) 、( 3 1 3 ) 同时代入式( 3 1 1 ) ，整理 后z 。一1 0 ： 莩k ( 吞一铘+ 矗陬弧) 2 等b ( 石，面 ( 3 1 4 ) 令c ( 石，吞) = 召( 云，吞) l 后+ 弓i ，代入式( 3 1 4 ) ，得： 善k ( 弓一娜+ 吞 弛云，q ) 2 等c ( 云，面 ( 3 - 1 5 ) 这是y q = - 个对称矩阵的本征值求解问题。考虑到本征值公式髯= 鸳，取特 定的云，对应一个阶矩阵彳( n 为平面波展开数目) ，满足： 4 月= k ( 色一日。) f + 色忙+ 日。 ( 3 1 6 ) 得到本征矢量为n x l 阶列向量孝，满足： 磊。= c ( 云，色) ( 3 1 7 ) 本征值为名：篓。 将式( 3 1 0 ) 代入式( 3 1 5 ) ，得到： 1 9 电子科技大学硕士学位论文 磊c i 上) 2 可 毛 怍+ o if + 矗| c ( f ，矗) ( 3 1 8 ) + b 孝驯“和怫芋c 正面 这样，我们就可咀利用式( 3 1 8 ) 计算光子晶体的能带结构了。具体步骤为： 让波矢f 沿不可约布里渊区的边界连续取值，将这些值代入式( 3 - 1 8 ) 算得不可约 布里渊区边界上每点对应的本征频率，将这些频率点连接起来，就构成了光子晶 体的能带结构。 31 2 介质光子晶体能带结构图 我们取半导体岛( 相对介电常数为1 2 ) 作为介质，将波矢f 沿图3 - 2 、3 - 3 中 不可约布里渊区的边界连续取值( 正方晶格沿m _ r 蝌斗m ，三角晶格沿 x r 斗j 斗x ) ，计算出两种常见光子晶体t m 模式