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硕士论文微波电路和天线模型降阶与区域分解的有限元分析 摘要 i i l l l l l1j i i i iii i i ii i j i i j y 2 0 6 14 9 4 随着微波器件的工作频率越来越高，作为全波分析方法的有限元，以其独特的优势 越来越重要。但是，由于有限元对整个区域的离散，产生大规模矩阵方程，导致计算资 源过大，尤其当分析宽频带电路或电大尺寸的微波器件时。 针对上述问题，本文首先介绍了有限元模型降阶以及区域分解法的研究背景和发展 状况。本文主要研究的模型降阶技术分别基于渐近波形估计和基于k r y l o v 子空间，两 类方法的关键都在于构造出映射矩阵，它可以使原来较大的模型转化为较小的模型，并 且这个缩小的模型可以很好地保持原有系统模型的特性，通过在每个频点上求解这个降 价后的系统模型就可以得到原有系统模型的特性。 对分析宽频带电路，如波导、微带结构的器件进行扫频时，模型降阶技术的应用可 以有效地提高仿真计算效率。本文详细介绍了针对频率这一参数的降阶原理和过程，使 频域有限元在计算宽频带问题时只需在某个频率点上构造映射矩阵，然后对降阶后的模 型扫频，克服分析宽频带大规模高速集成电路系统时遇到的计算资源过大的问题。 对电大尺寸的问题，文中所涉及到的大规模天线阵列，我们研究了有限元的另外一 个重要的思想有限元区域分解法。有限元区域分解法是将一个大的区域分解为多个 小区域，先对每个小区域分别进行处理，同时考虑区域间通过特定的边界条件联结起来， 使之又成为一个整体。这种方法对于解决电大尺寸的问题非常有效，尤其分析具有周期 结构的问题时更加具有优势。 本文主要还研究了微带贴片天线同轴探针馈源时的辐射特性，针对具有大规模周期 结构的微带天线阵列，我们引入了非共形区域分解法。对于以面阵排列的微带天线阵列， 我们只需由九个典型的基本子域通过区域扩展的方式来模拟，这不仅简化了建模又很有 效地节省了计算资源。 关键词：频域有限元，模型降阶，良态渐近波形估计，k r y l o v 子空间，区域分解法 硕士论文 a b s t r a c t w i t ht h ei n c r e a s eo fo p e r a t i n gf r e q u e n c yo ft h em i c r o w a v ed e v i c e s ，f u l l - w a v es i m u l a t i o n m e t h o & s u c ha st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) b e c o m en e c e s s a r yf o rt h ea n a l y s i so f l l i 曲一f r e q u e n c yc i r c u i ts t r u c t u r e s h o w e v e r , t h ef e m w i l lr e s u l ti nl a r g e s c a l em a t r i xe q u a t i o n , d u et ot h ed i s c r e t i z a t i o no ft h ee n t i r er e g i o n t h e nl a r g ec o m p u t a t i o nr e s o u r c e sa r en e e d e d , i n p a r t i c u l a r , w h e nt h ew i d e b a n dc i r c u i to re l e c t r i c a l l yl a r g em i c r o w a v ed e v i c e sa r es i m u l a t e d f o rt h e s ep r o b l e m s ，t h i st h e s i sf i r s ti n t r o d u c e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n t o ft h em o d e lo r d e rr e d u c t i o n ( m o r ) a n dd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( d d m ) t h em o r c o n t a i n sm a i n l yt w ok i n d s - - a s y m p t o t i cw a v e f o r me v a l u a t i o nm e t h o da n dk r y l o vs n b s p a c e b a s e dm e t h o d s t h ek e yt ot h em o ri st oc o n s t r u c tap r o j e c t i o nm a t r i x ，w h i c hc a nr e d u c et h e o r i g i n a ll a r g em o d e li n t oam u c hs m a l l e rm o d e l ，a n dt h i sr e d u c e dm o d e lc a l lp r e s e n r e st h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h eo r i g i n a lm o d e l t h es o l u t i o no ft h eo r i g i n a ls y s t e mm o d e lc a nb e o b t a i n e db ys o l v i n gt h er e d u c e dm o d e l t os i m u l a t et h eb r o a d b a n dc i r c u i t s ，s u c ha sw a v e g u i d ea n dm i c r o s t r i ps t r u c t u r e s ， a p p l i c a t i o no ft h em o r c a ne f f e c t i v e l yi m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo ft h es i m u l a t i o n t h i s t h e s i sd e s c r i b e st h ep r i n c i p l e sa n dp r o c e d u r e so ff r e q u e n c yp a r a m e t e rr e d u c e d - o r d e r t e c h n i q u e s i m p l yc o n s t r u c taf r e q u e n c yp r o j e c t i o nm a t r i x ，a n dt h e no b t a i nt h ew i d eb a n d s i m u l a t i o nr e s u l t sa f t e rs o l v i n gt h er e d u c e d - o r d e rm o d e l ，t oo v e r c o m et h ep r o b l e m so ft h e e x c e s s i v ec o m p u t a t i o n a lr e s o u r c e se n c o u n t e r e di nt h ea n a l y s i so fl a r g e s c a l eb r o a d b a n d h i g h - s p e e di cs y s t e m s a n o t h e ri m p o r t a n ta l g o r i t h ma b o u te l e c t r i c a l l yl a r g e - s c a l eo b j e c t si sd d m t h el a r g e r e g i o ni ss e p a r a t e di n t os e v e r a ls m a ur e g i o n s ，e a c hr e g i o ni sc o m p u t e ds e p a r a t e l y a tt h e s a m et i m et om a k ei tb e c o m eaw h o l eb yt a k i n gi n t oa c c o u n tt h es p e c i f i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h i sm e t h o di sv e r ye f f e c t i v et os o l v ee l e c t r i c a l l yl a r g e s c a l ep r o b l e m , s i g n i f i c a n ta d v a n t a g e s c a nb eo b t a i n e de s p e c i a l l yw h e ns o l v i n gp e r i o d i cs t r u c t u r e t h i st h e s i sa l s or e s e a r c h e st h er a d i a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so ft h ec o a x i a l p r o b e - f e d m i c r o s t r i pp a t c ha n t e n n a s f o rt h em i c r o s t r i pa n t e n n aa r r a y sw i t hl a r g e - s c a l ep e r i o d i c s t r u c t u r e ，an o n - c o n f o r m a ld d m i se m p l o y e d f o rt h em i c r o s t r i pa n t e n n aa r r a y sa r r a n g e di na p l a n a ra r r a y , o n l yn i n eb a s i cs u b - d o m a i n sa r en e e d e dt oc o m p u t eb yr e g i o n a le x p a n s i o n t h e r e f o r et h em o d e l i n gi ss i m p l i f i e d , a n dt h ec o m p u t i n gr e s o u r c e sc a nb es a v e ds i g n i f i c a n t l y k e y w o r d s ：f r e q u e n c yd o m a i nf i n i t ee l e m e n t ；m o d e lo r d e rr e d u c t i o n , w e l l c o n d i t i o n e d a s y m p t o t i cw a v e f o r me v a l u a t i o n , k r y l o vs u b s p a c e ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d 硕士论文 微波电路和天线模型降阶与区域分解的有限元分析 1 绪论 1 1 研究背景 有限元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d , f e m ) 作为全波数值分析方法( f u l l w a v e n u m e r i c a lm e t h o d ) 的一种，以其独特的精确拟合和简易建模的优势 1 】，逐渐成为计算电 磁学中不可或缺的分析和设计工具。有限元方法不仅可以准确的解决传统结构，如波导、 同轴传输线等问题，还可以很好地分析现代微波系统中诸如通孔、互连结构以及其它结 构的高频电磁问题1 2 j 。 由于有限元方法是对三维空间的离散，因此，在保证正确性和精度的同时也产生了 一个大规模的矩阵方程组，而且矩阵性态较差。当分析宽频带电路，或是对同一个问题 的不同参数进行仿真计算时，花费的时间将会很长。这是因为在频域方面，单纯的采用 频域的有限元方法分析宽频带电路的过程就是在一系列分布的频点上求解所描述问题 的矩阵方程组【3 】，这就需要在扫频范围的多个离散的频点上重复计算同等规模的矩阵方 程组，从而使计算仿真时间和计算机资源花费巨大；另外，在仿真设计过程中需要对系 统的优化及设计空间的外推，而每次设计参数的变化又需要重新计算同等规模矩阵方程 组。 现在，针对频域有限元分析宽频带电路的扫频问题，如果我们能有效地化简系统的 矩阵方程组，使化简后的这个矩阵方程组能始终保持原始系统的特性不变，这样就可以 用简化的方程组取代原来大的矩阵方程组进行扫频，得到化简后模型的解后再求解原始 模型的解，从而达到降低仿真计算时间，提高仿真效率的目的，这就是模型降阶( m o d e l o r d e rr e d u c t i o n ，m o r ) 的基本思想。 模型降阶使得有限元方法分析动态参数问题的效率有了很大提高，但并未解决问题 本身未知量过大的问题。为了有效解决有限元方法大规模矩阵方程组的问题，还有另外 一种思想也同样备受关注，就是区域分解法( d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d , d d i v o 。区 域分解法的思想是“先化整为零，再化零为整 来解决问题的，即它先把所要求解的区 域分解成若干个小区域来处理，这样每个小区域所形成的矩阵方程组就会比较小，解决 起来相对容易，然后通过在相邻的小区域分界面上强加特定的边界条件，使各个小区域 不再是孤立的，又联结成了一个整体 4 】。 1 2 研究历史和现状 模型降阶技术应用广泛，本文我们主要研究的模型降阶技术有两类：一类是基于渐 近波形估计( a s y m p t o t i cw a v e f o r me v a l u a t i o n ，a w e ) ，另一类是基于k r y l o v 子空间技术。 a w e 属于直接矩匹配法，其中有一种a w e 技术是将系统函数在某个频点处展开为有 l 硕士论文 限的t a y l o r 级数形式，通过矩量匹配的原则获得一个更小的模型，然后利用p a d e 近似 得到问题的最终解。但是，这种a w e 有着两个严重的弊端：数值不稳定和较窄的带宽。 后来，g a w e 技术 5 - 6 1 ( g a l e r k i na s y m p t o t i cw a v e f o r me v a l u a t i o n , g a w e ) 则通过余量 t a y l o r 展开项中低阶项系数置零的方式获得低阶模型，这种方式保证了它能够获得更好 的频带展开特性，但依然存在着数值不稳定的缺点。良态渐近波形估计( w e l l c o n d i t i o n e d a s y m p t o t i cw a v e f o r me v a l u a t i o n , w c a w e ) 技术川在传统a w e 的基础上引入修正项，通 过正交化的方式获得低阶模型，保证能具有更好的频带展宽特性和数值稳定性。其思路 是通过引入的修正项，使在构造映射矩阵的过程中每形成一列新向量都可以和其它的向 量正交。 另一类模型降阶技术是基于k r y l o v 子空间技术【8 】的，这类模型降阶技术不仅具有良 好的数值稳定性，还具有更好的频带展宽特性，但它处理的问题却是有限的。首先它所 能处理的方程形式必须是线性方程【9 】。这样，当我们扫频时，方程组必须是关于频率的 线性方程组，而右边向量与频率无关。但实际问题的模型往往不是这样，因此首先要将 关于某个参数的高次方程线性化，这是必需的步骤，而线性化的过程中通常会不可避免 地引入不必要的中间变量，从而增加矩阵方程组的尺度。幸运的是，对于有限元方法来 讲，模型是关于频率参数的二次方，线性化相对简单，这样我们就可以用二阶a m o l d i 算法【i o l ( s e c o n d - o r d e r a m o l d i ，s o a r ) 来构造映射矩阵，且引入的中间变量不必参与计算， 从而避免矩阵方程组尺度的增加。 本文我们在频域有限元的基础上详细研究了w c a w e 和s o a r 这两种模型降阶技 术的效果，并用这两种方法分析了一些微波器件的特性，发现它们展开的带宽和精度随 着降阶模型的阶数的提高而提高，这就有效地提高了计算仿真的效率。其中，通过两者 的比较，我们发现w c a w e 和s o a r 数值都是稳定的，其中w c a w e 构造映射矩阵时 的速度更快。 在此过程中我们发现，不论是w c a w e 还是s o a r ，在降阶过程中必须对一个和原 来大矩阵同等规模的矩阵求逆。也就是说，尽管仿真计算时间可以大大减少，但在计算 一段频带内的电磁特性时仍然要解一次同等规模的矩阵方程，相比之下，过程中若用直 接解法进行矩阵求逆，所需的计算机的内存资源并不减少。当然，求逆的过程也可以用 迭代方法【l l 】。 出于对计算机内存和计算时间的考虑，我们在计算大规模的具有周期性天线阵列 时，采用另外一种在有限元中很重要的思想区域分解法。 区域分解法在计算电磁学中发展迅速，应用广泛，美国伊利诺伊大学的金建铭教授 旧和俄亥俄州立大学的李金发教授【1 3 1 分别在区域分解法用于电磁学方面作出了很大的 贡献。目前，区域分解法有应用于多种情况的类型，一般认为迭代次序的选择与各子域 相邻边界条件的选取是各类方法的主要区别。 2 硕士论文微波电路和天线模型降阶与区域分解的有限元分析 在迭代次序上主要有三种情况：顺序求解、同时求解和随机求解。顺序求解适用于 单机串行求解；后两种由于具有高度的并行性，不仅可以单机串行求解，还可以多机并 行求解。传输边界条件大体上分为两类：整体边界条件和局部边界条件。 另外，还可根据分区方式的不同，将区域分解法分为重叠型区域分解法和非重叠型 区域分解法。其中后者求解波动方程的关键是对区域之间传输条件的选取，使得相邻区 域间的电场在分界面上保持连续，本文选用非重叠型区域分解法，相邻区域的分界面上 施加r o b i n 传输条件【1 4 1 ，它的特点是允许在区域分界面上产生非共形的网格离散。这样， 对于周期性天线阵列问题，建模时我们只需要建立基本的典型子域，通过区域扩展的方 式来求解整个天线阵列的结果。 1 3 本文的内容安排 论文正文分为五章： 第二章介绍了有限元模型降阶的基本原理。首先介绍了有限元方法的基本原理，然 后介绍了模型降阶的基本思想，在此基础上我们介绍了目前很常用的两种模型降阶方法 w c w a e 和s o a r 。它们基于不同类方法，w c a w e 是基于渐近波形估计的，s o a r 是基于k r y l o v 子空间并运用二阶a m o l d i 算法的，详细介绍了它们各自的降阶过程和算 法流程，最后我们讨论了这两种方法是如何实现降阶的。 第三章研究了有限元模型降阶在分析微带电路中的应用。首先介绍了波导、微带传 输线和背腔微带贴片天线的电磁理论基础，其中背腔微带贴片天线采用电流丝线馈电， 同时指出有限元模型降阶是如何应用于其中的，然后通过具体的算例分析可以证明模型 降阶技术有效提高了有限元分析宽频带电路问题的能力。此外，我们还用f e b i 方法分 析背腔微带贴片天线，它将有限元中的边界条件p m l 换成积分方法，使得有限元部分 的未知量减少，同时积分部分又应用了多层快速多极子方法加速，这对于解决某些问题 时具有很好的效果。 第四章研究了有限元非共形区域分解法分析同轴馈源的微带天线阵列的辐射特性。 首先介绍微带天线同轴馈源时的特性，用有限元方法计算了微带天线加源的端口处的s 参数和驻波比。分别用有限元方法和f e b i 方法计算了较小规模的微带天线阵列同轴馈 源时的归一化辐射方向图，并指出其局限性。基于这个原因，我们介绍了非共形区域分 解法的基本原理。在分析具有周期性结构时，只需要少数的几个典型子域通过区域扩展 的方式就可以得到整个周期结构，这样能有效地解决大型的具有周期结构的天线阵列问 题。 第五章总结论文的主要工作，并提出今后的一些研究方向。 2 有限元模型降阶的基本原理 硕士论文 2 有限元模型降阶的基本原理 2 1 引言 本章首先介绍有限元的基本原理和公式，再介绍模型降阶技术的思想，然后我们介 绍了两种模型降阶方法，分别是基于波形渐近估计的良态渐近波形估计( w c a w e ) 降阶 技术和基于k r y l o v 子空间运用二阶a m o l d i 算法( s o a g ) 模型降阶技术，并指出它们各自 的特点，最后介绍它们是如何在有限元中应用的。 2 2 有限元方法基本原理 有限元方法分析电磁场问题的方程组就是由偏微分形式的m a x w e l l7 亨n g l t t l 】得来 的： v 层= 一j r o b v 1 1 = 一r o d + ， v 力：p 。 ( 2 2 1 ) v b = 0 其中，厂为电流密度，p 为电荷密度。有了偏微分形式的m a x w e l l 方程组后，再根据本 构关系d = e e ，b = g h 以及厂= o - e ，k t 、占和盯分别表示媒介的磁导率、介电常 数和电导率，可以从式( 2 2 1 ) 中消去层或日，这样就得到电场的矢量波动方程： v ( 历1 v 五( ，) ) 一砖e ( ，) = 一j k o z o ( 2 2 2 ) 或是磁场的矢量波动方程： v x ( 1 v 日( ) ) - - k g r u ( ，) = v 1 j ( 2 2 3 ) 其中，所和分别表示相对磁导率和相对介电常数，k o n z o 分别表示自由空间的波数 和自由空间的特征阻抗。式( 2 2 2 ) 与( 2 2 3 ) a p 为有限元方法解决电磁场问题的控制方程。 对于无源的微波器件，我们有，= 0 。 边界条件则有理想电壁边界条件与理想磁壁边界条件。理想电壁边界条件为： h g ( r ) = oo n 疋 ( 2 2 4 ) 理想磁壁边界条件为： h x v x g ( r ) = 0o n ( 2 2 5 ) 得到控制方程与边界条件后，就可以对所分析的区域运用伽辽金( g a l 盯l d n ) 加权余量 法或里兹( r i t z ) 变分法建立有限元方程。对上述基于电场的矢量波动方程( 2 2 2 ) 的泛函表 达式为： 4 硕士论文微波电路和天线模型降阶与区域分解的有限元分析 ，( 冒) 2 如1 万1 ( v 刖) 。( v 州) 一铂晰刖耖 ( 2 2 6 ) + 风z o i 。，( ，) e ( r ) d v 对整个问题区域进行网格离散，将整个有限元计算区域剖分成细小网格，即有限元 方法步骤的第一步，本文我们使用的是直四面体剖分网格，再在每个单元网格内运用上 述方程。另外，由于我们使用的边界条件为完全匹配层( p e r f e c t l ym a t c hl a y e r s ，p m l ) t 1 6 1 ， 因此，相对磁导率肛和相对介电常数在p m l 中都应该是张量【 】。 在每个单元网格内，电场可以通过矢量基函数近似展开为 e 。= 譬孵 ( 2 2 7 ) 一l 、 7 其中，刀是单元e 内展开基函数的数目，吖为w h i t n e y 基函数，霉为其对应的展开系数。 将式( 2 2 7 ) 代入泛函表达式( 2 2 6 ) 后，应用变分方法令6 f = 0 就可以将式( 2 2 2 ) 转化为最 终需要求解的有限元矩阵方程 a x = b ( 2 2 8 ) 其中 n o a = s 一砖z = ( - k 0 2 r 8 ) ( 2 2 9 ) e = - i 西= l ( v x ) 西1 ( v ) 咖 ( 2 2 1 0 ) 巧2j 矿m n j a y ( 2 2 1 1 ) 包= 一风z oi ，( ，) n ，( r ) d v( 2 2 1 2 ) 式( 2 2 8 ) 中x = 弓) ，即为待求向量，西和丐分别为单元矩阵【酽 * n i t 8 中的矩阵 元素，最终有限元矩阵4 由虬个单元矩阵组合而成，它是一个稀疏的对称的矩阵，m 即 为计算区域内剖分的网格单元总数。 对于式( 2 2 8 ) 可采用直接解法或迭代解法求解，即可得到有限元中展开系数，代入 式( 2 2 7 ) 后获得计算区域内任意位置的电场分布，然后根据这个区域内的电场分布就能 够分析微波器件的其它参数。这就是用有限元方法求解电磁场问题的过程，可以看出当 电磁场的频率或器件的参数发生变化时，我们需要重新建模，然后求解同等规模的矩阵 方程组。为了解决上述问题，我们首先来介绍模型降阶的基本思想。 2 3 模型降阶的基本思想 模型降阶技术提出了一个构造远小于原来模型的低阶模型原理，并且这个缩小的模 型可以很好地保持原有系统模型的特性，通过在每个频点上求解这个降价后的系统模型 2 有限元模型降阶的基本原理 硕士论文 可以得到原有的系统模型的特性。因此，模型降阶技术可以被作为一个有效的工具，去 克服当分析大规模高速集成电路系统时出现的计算资源过大问题。 我们可以将模型降阶的思想简单地表示成图2 3 1 所示的那样。在一段频段内，原 始模型的大小为n ，有限元方法将在一系列离散的频点上求解大小为n 的矩阵方程，现 在若矩阵方程能满足一定的形式，并通过映射矩阵的作用得到降阶模型，对降阶模型进 行扫频。 原始模型： 圈粥磷匮团因= 圃图 - - - - - - - - + n 降阶模型： 因嗍 q 图2 3 1 模型降阶思想图示 原始模型的规模为n ，经过降阶后的模型规模为q ，数值计算结果证明大多数情况 下q s ，n ，而且g 的值的大小决定降阶模型的精度，q 值越大，降阶模型对原模型的逼 近精度越高。 一旦得到降阶模型的解艺，即可通过 x = ( 2 3 1 ) 得到原始模型的解。这就是模型降阶的基本思想。 从图中我们可以看出，这里的关键是构造一个映射矩阵p 0 妇，它所满足的条件为 v r v = i ( 2 3 2 ) 它是单位正交矩阵，要能保证数值的稳定。下面两节将详细介绍两种构造矩阵矽k 口的方 法和算法流程。 2 4w c a w e 模型降阶技术 2 4 1w c a w e 模型降阶原理 对于频域来讲，物理模型是和频率密切相关的，因此，有限元的矩阵方程( 2 2 8 ) 关 于频率量的显式表示可以写为： 6 a ( s ) x ( s ) = 西( j ) ( 2 4 1 ) 硕士论文微波电路和天线模型降阶与区域分解的有限元分析 其中彳( s ) 是n x n 的矩阵，x ( s ) 即为要待求解的未知向量，它们都是关于频率量j 的函 数，而占是关于频率厂的函数，且是一一映射的，b 是大小为n 的右边向量，具体形式 我们将在后面给出。 现在，我们将式( 2 4 1 ) 中的各项用t a y l o r 级数表示 = 姜等啪- s o ) ) f = m 二l x ( s ) = m ，( s - s o ) 7 ( 2 4 3 ) 吣) = 圭k - - a ) 等k 两。 渊) ： 其中，为t a y l o r 级数展开点，m 和z 是展开项的最高次方，它们应该选取的足够高， 从而当忽略a ( s ) 和b ( s ) 的高阶项时不受影响。 根据矩匹配的原则可得x ( s ) 的矩，即m = ( m d ，1 1 1 1 ，m ，m 。) 可以通过以下推导的递 归公式来计算： m o = a ( s o ) 。1 b m i = a ( s o ) - 1 ( 掣i 旷百a a ( s ) k )o s 、 o s 、 m ，= a ( ) 一1 ( 荟t 面a k b ( s ) i ，砘一芝瑚0 ；i a ：w ( s ) ，i 。嘞m ，4 ) ( 2 - 4 5 ) 传统的a w e 将这种方法得到的m 可以作为原模型的子空间，它满足m c n x q ，但 m 的条件数通常非常差【1 8 1 ，展开的带宽比较窄! 为改善子空间的性态，拓展带宽，引入修正项【1 9 】，产生的矢量过程如下： 审o = a ( s o ) 一1 b 睁a ( s o ) - l ( 掣“粥1 ) e 。一掣l ，砘o 。)伪o苫 。 铲a ，譬。等“w 域r i d a ( s ) _ - 叫- ， t - l ：ww ， _ 、 一专4 掣kk 一，弓：( g ，f 。i!d 留 s 川嘞r “”叫 7 2 有限元模型降阶的基本原理 硕士论文 引入的修正项为：( 刀，册) = h u ( t ：n - m + t - l , t ：n - m + t 1 ) ， 式中w = 1 或2 且n u ，。1 = u i - 1 u 2 - 1 。 在此只要求u 矩阵必须是上三角非奇异矩阵，其它没有限制，因此可以自由选择u 矩阵。本文u 矩阵的元素为g r a m - s c h m i d t 系数。 2 4 2w c a w e 算法 w c a w e 算法的流程： 输入量：a 。，b 。和一个正整数g 输出量：单位正交化的矩阵v ( 1 ) 钆= a 0 - t b o ( 2 ) u t o o 】= 愀l ( 3 ) v o = 审o u 【o o 】。1 ( 4 ) f o r ( n = l ；n q - 1 ；n 抖) 哈埘1 ( 髻等l 一掣 一专哪警k 讹咖州) ( 5 )f o r ( i = o ；i 国f 匿圜 降阶模型： 一卜 n 国。s 国) 导q = q 图2 5 1 线性系统模型降阶不意图 这里的映射矩阵v 是通过和频率无关的矩阵a 和向量b 来构造k r y l o v 子空间： 鬈 a ，b - b ，a b ，a z b ，a 9 b ( 2 5 2 ) 在构造的过程中应用一阶a m o l d i 算法得到一组正交的k r y l o v 子空间向量，由于向量之 间是正交的，从而保证了高阶近似的线性无关。 然而对于频域有限元，从式( 2 2 9 ) 可以看出系统是关于频率二次方的： ( s - k 2 t ) x = j k o b ( 2 5 3 ) 在此我们将右边向量中的频率量提取到外面，这样右边向量b 就与频率无关。s 同 ( 2 2 1 0 ) ，t 同( 2 2 1 1 ) ，而 b f = - 2m s ，( e 娜五) 豳 ( 2 5 4 ) 其中，s ，= 五n ，e 如代表激励源。若要应用一阶a m o l d i 算法对其构造映射矩阵v ， 则会引入额外的中间变量，这样就增加了计算量 2 0 1 。 为了能在有限元中能应用k r y l o v 子空间技术，构造数值稳定的子空间，在对式( 2 5 3 ) 构造映射矩阵v 时我们采取的是二阶a m o l d i 算法【2 l 】。但是，首先我们仍然需要对式 ( 2 5 3 ) 进行线性化，下面是其线性化推导的过程： 9 2 有限元模型降阶的基本原理 硕士论文 其中 令占= 盹，则式( 2 5 3 ) 可写为 ( s + s 2 t ) i = s b 假设频率量展开点为，则s = s o + 仃，代入上式有 ( 盯2 t + c r d + k ) x = b o + 砷i 引入y ( 力，令 d = 2 s o t k = s 0 2 t + s b o = s o b b l = b o t x + y ( o - ) = b l ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) ( 2 5 1 0 ) ( 2 5 1 1 ) 代入式( 2 5 6 ) 有 一o v + c r d x + k x = b o ( 2 5 1 2 ) 式( 2 5 1 1 ) 和式( 2 5 1 2 ) 联立并写成 ( 枨一d + i ) x 一枨4 y 2 k 。1 b 。 ( 2 5 1 3 ) 【 c r t x + y ( c r ) 2 b l 再将式( 2 5 1 3 ) 化成矩阵方程形式 c i 一仃a ) f l y x l j = ： c 2 5 4 ， 肌= = 。斟 ： = 刚 至此我们得到了与式( 2 5 1 ) 具有同样形式的式( 2 5 1 4 ) ，这就是线性化的过程。当然， 我们也可以用一阶a m o l d i 算法构造映射矩阵v ，但由于中间变量y ( 盯) 的引入，构造出 的映射矩阵v 要对式( 2 5 1 4 ) 作用，y ( 盯) 需要计算出来，问题的规模增加了一倍，这样 就需要增加额外的内存。但是，如果应用二阶a m o l d i 算法，映射矩阵v 对式( 2 5 3 ) 作 用，这个变量就只是相当于一个容器【1 0 1 ，y ( a ) 不需要计算出来，因此构造出数值稳定 的子空间更加便捷。 2 5 2s o a r 算法 s o a r 算法的流程： 输入量：a 。，p o ，q o 和一个正整数q 输出量：单位正交化的矩阵v ( 1 ) * - - i i q o l i ( 2 ， 三 = 吉 ： 1 0 硕士论文微波电路和天线模型降阶与区域分解的有限元分析 ( 3 ) f o 哟= 1 ；j q ；j - - h - ) ( 4 ) ( 5 ) 盼彳嘲 f o r ( i = l ；i j ；i 抖) = q ；q j + l 阱附嘲 ( 6 ) e n d ( 7 ) i f h j w - - 0 ，s t o p ( b r e a k d o w n ) ( 8 ) e n d 时瓦1l乃qj+“1 ( 1 0 ) 圪= 9 1 。吼】 以上是s o a r 算法的流程，其中第( 3 ) 步中的等式可以写成： 卜2 髫1 d 之+ k p 7 ( 2 5 1 5 ) 【p 州2 一t q ， 、 将后式代入前式，就有 q ，+ l = 一k d q ，一k t q ，一l ( 2 5 1 6 ) 这样在构造映射矩阵v 时p f 只有临时的一列，而不需要存储一系列的玑。构造出映射矩 阵v 后，就可以将原模型矩阵方程( 2 5 3 ) 写成降阶后的矩阵方程： ( s 一砖t ) i = 风b( 2 5 1 7 ) 其中：v r s v ，量= v r t v ，x = v i ，6 = v t b 。降阶后的矩阵大小就是算法中指定的正 整数q ，q n ，因而用这个降阶后的模型扫频，速度就会有很大的提高。在得到降阶 后的方程组解金后，仍然要根据式( 2 3 1 ) 中那样，通过 一x=vi ( 2 5 1 8 ) 得到原方程的解。这就是s o a r 模型降阶的过程。 2 6 矩阵的求逆和阶数的选取 从式( 2 4 6 ) 和式( 2 5 1 3 ) 中可以看出，在降阶过程中都会对一个和原来矩阵同样大小 的矩阵求逆的过程。对于矩阵求逆，可以用不同的方法。直接解法速度最快，常用的求 解器有u m f p a c k 2 2 1 、m u m p s 【2 3 j 和m u l t i f r o n t a l 解法。本文算例中，我们在x p 操作 系统下使用的是切姬7 p i a c k ，在l i n u x 操作系统下使用的是m i m 位s ，对稀疏矩阵的效 果很好，但随着问题规模的增加，计算机内存的需求也迅速增加，尤其是u m f p a c k 。 在文献【2 4 】中，预条件迭代技术也被用来求稀疏矩阵的逆，比如c g 可以节省内存。而基 2 有限元模型降阶的基本原理 硕士论文 于直接解法的h - l u 分解方法介于上述两者之间【2 5 】。 2 3 节中讲到降阶模型的精度取决于q ，它通常和模型、原模型未知量大小和扫频带 宽有关，综合的考虑，q 必须足够大以便降阶模型在扫频范围内能够精确地逼近原模型， 同时又要足够小以便降阶模型能够快速有效地计算。为使q 选取合适的大小，我们就要 选择误差范围，文献 2 6 - 2 8 】中应用了一些误差条件来选取满足条件的q 的大小，但它们的 应用需要额外的时间和计算内存。文献【2 9 1 中介绍了通过判断两个连续阶数降阶模型的相 对误差来确定q ，这种方法比上述的一些相对有效且不需要额外的内存。 假如映射矩阵已经构造q l 列，记为k ，那么再构造一列，记为k “，然后这两个 映射矩阵分别对式( 2 5 3 ) 作用，得到 ( s 吼绚一瑶l 瑚) = j k o b 毋 ( 2 6 1 ) $ ( 吼+ 1 ) x ( 缅+ 1 ) 一瑶置甄+ 1 ) x ( 甄+ 1 ) ) i 吼+ l = 成6 吼+ l ( 2 6 2 ) 可以看出这两个式子都是表示降阶后的模型，我们只需要选取离展开点最远的频点计算 降阶模型的解金鲕和i 确h ，再通过 x 1 = k i 硒 ( 2 6 3 ) x 2 = k + ，i 叫 ( 2 6 4 ) 得到原模型的场值。我们知道q 越大，降阶模型越能逼近原模型；当降阶模型越能逼近 原模型时，连续阶数降阶模型求出的场值的相对误差越小，因此 盯：蜂掣( 2 6 5 6 ) | l x l0 只要给出相应的盯，就可以确定映射矩阵的列数q l ，式( 2 6 1 ) 即可作为降阶的模型扫频。 如图2 6 1 所示，是我们测试的结果，一般可取仃 1 0 e 一5 p 。 l o1 21 41 61 8 2 02 22 4 降阶模型的阶数 图2 6 1 离展开点最远处连续阶数的降阶模型计算的场值的相对误差随阶数的变化 ( 注：测试算例为半高波导【3 1 1 ，未知量4 0 0 5 4 ，扫频范围7 6 g h z - 1 2 4 g h z ，展开点1 0 0 g h z ，在7 6 g h z 计算，仃 1 0 e 一5 时降阶模型2 l 阶，和f e m 计算的吻合得很好，s l l 参数的相对误差为o 3 8 ) 1 2 仇m：兮u b 酬b b b 剧b b b 1 l l l l l l 棚醛莨霉 硕士论文 微波电路和天线模型降阶与区域分解的有限元分析 3 微波电路和天线的有限元模型降阶分析 3 1 概述 用频域有限元方法分析宽频带的高速集成电路的过程就是在一系列分布的频点上 求解描述问题的矩阵方程纠。由于有限元方法对网格剖分密度要求较高，要获得精确 的计算结果，一般设置的剖分尺寸应达到1 1 5 波长左右，若是遇到精密结构，剖分尺寸 则会更小，因此未知量通常会很大，而且矩阵的性态也往往很差。因此，计算机条件允 许的情况下，直接解法更受欢迎，如u m f p a c k 、m u m p s 、m u l f i f r o n t a l 解法等，这些 解法都已做成软件包的形式，可以直接调用，但是，若每个频点都要这样的求解大规模 的方程组，其计算时间也就会很长。正如前面所讲的那样，我们应用有限元模型降阶技 术，不可避免的至少要解一次同等规模大小的矩阵方程组，但在扫频时只需解降阶后的 方程组，因此计算速度很快。 3 2 微波电路的有限元模型降阶分析 波导是最常见的电磁波能量传输结构，其截面是各种形状的无限长笔直的空心金属 管，如图3 2 1 a 所示，其截面形状和尺寸、管壁的结构及管内介质填充情况沿其管轴方 向均不改变，电磁波完全限制在金属管内沿其轴向传播3 2 1 。金属波导内的电磁场可由 m a x w e l l 方程组结合边界条件求解，是典型的边值问题。波导管壁的电导率很高，求解 时通常n 丁假设波导肇为尹 ! 想导体，表i f 的电场切向分量为零。 ab 图3 2 1 波导a 和微带线b 结构 a 中的波导类型名称：( a ) 矩形波导：( b ) 圆形波导；( c ) 脊波导；( d ) 椭圆波导 微带线( m i c r o s t r i pl i n e ) 目前是混合微波集成电路和单片微波集成电路使用最多的一 种平面型传输线，如图3 2 1 b 所示，它可用光刻程序制作，且容易与其它无源微波电路 和有源微波器件集成，实现微波部件和系统的集成化【3 3 1 。微带线是在厚度为h 的介质基 片的一面制作宽度为形、厚度为t 的导体带，另一面作接地金属平板而构成的。 本节主要用有限元模型降阶分析了波导结构和微带线结构的s 参数，并用具体算例 证明了有限元模型降阶技术的效率。 3 微波电路和天线的有限元模型降阶分析 硕士论文 3 2 1 理论基础 对于高频电磁场问题的数值解法，方程组的形成是对波动方程的离散： v x ( 服v 曰( ，) ) 一碍e ( ，) = o ( 3 2 1 ) 其中，碍= w 2 岛鳓，岛和分别是自由空间的介电常数和磁导率，w 是角频率，一和 分别是相对介电常数和相对磁导率，它们在p m l 中是张量，e ( r ) 为电场矢量。 对于波导问题，在导电体的表面，电场满足狄拉克( d i r i c h l e t ) 边界条件 h x e = 0