（应用数学专业论文）多重马尔可夫链的极限定理.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 马尔可夫过程是一种十分重要的随机过程，它为信息科学、管理 科学及金融决策提供了强有力的数学工具。有关齐次马尔可夫链的 极限性质，已有了很好的结果，并形成了较完整的理论体系。在信 息论中关于马氏信源的熵密度的极限问题，是一个十分重要的问题， 而二重及多重马氏信源是一类十分重要的信源，例如语声、图像、 信号等往往是二重及多重马氏信源，所以对二重及多重马氏链的极 限的研究，有着十分重要的现实意义。虽然关于可列非齐次马氏链 的强大数定律有很多研究，但以往的研究往往集中在可列非齐次一 重马氏链的研究，在文献 3 1 1 4 中作者研究了对状态有限的非齐次二 重马氏链及非齐次m 重马氏链的极限情况。在本文中，我们利用鞅 与分析法相结合的方法来研究可列非齐次二重及多重马氏链极限 性质，并得出一类非齐次可n - - 重及多重马氏链的极限定理。在此 ， 基础上，再给出一个任意二值随机序列的极限定理。 关键词：极限定理，二重及多重马氏链，随机序列 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t m a r k o vp r o c e s si sav e r yi m p o r t a n ts t o c h a s t i cp r o c e s s ，i ts u p p l ya p o w e r f u lm e t h o df o ri m f o r m a t i o ns c i e n c e ，m a n a g e m e n ts c i e n c e a n d f i n a n c ed e c i s i o n t h ep r o p e r t yo fl i m i to nh o m o g e n o u sm a r k o vc h a i n s h a sf o r m e dc o m p l e t et h e o r ys y s t e m i nt h ei m f o r m a t i o n ，t h ep r o p e r t yo f l i m i to ne n t r o p h yd e n s i t yo fm a r k o vs o u r c ei sav e r yi m p o r t a n t p r o b l e m i nt h ep a p e rw ew i l la p p l ya n a l y t i ca n dm a r t i n g - a l et h e o r yt o s t u d yt h el i m i tt h e o r e mo nt w oo r d e ra n dm o r d e rm a r k o vc h a i n sw ew i l l o b t a i nac l a s so fs t r o n gl i m i tt h e o r e m sa n dl e m m a so nt h ef r e q u e n c yo f o c c u r r e n c e so ft r i p l e _ t u p l eo fs t a t e sf o rt w oo r d e rc o u n t a b l e n o n h o m o g e n o u sm a r k o vc h a i n sa n dac l a s so fs t r o n gl i m i tt h e o r e m sa n d l e m m a so nt h ef r e q u e n c yo fo c c u r r e n c e so fm + l - t u p l eo fs t a t e sf o r c o u n t a b l en o n h o m o g e o u s 聊o r d e rm a r k o vc h a i n a n dg i v eat h e o r e mo n a r b i t r a r yb i n a r ys t o c h a s t i cs e q u e n c e t h er e s u l t sa r es u i t a b l et oa n y c o u n t a b l en o n h o m o g e o u st w oo r d e rm a r k o rc h a i n s k e yw o r d s ：s t r o n gl i m i tt h e o r e m ；m a r k o vc h a i n s ；s t o c h a s t i cs e q u e n c e 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囹。 学位论文作者签名：森：蔓l p 。q 一年月1 日 指导教师签名：桶t 固 妒4 年名月lr y l o l 6 m 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名 日期：年 月日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 ( 一) 研究背景 马尔可夫链( 简称马氏链) ，是一种特殊的随机过程，最初由a a m a r k o v 提出，它的有关背景如下： 设想有一随机运动的体系，它可能处的状态记为e 。，e 。，e ，总数 共有可列多个或有穷的，这个体系只可能在时刻t = l ，2 ，n ，上改变它的状态， 随着的进程，定义一列随机变量列x 。，n ；o ，1 , 2 n ，其中x 。= k 时，如t = n 时，位于e 。 一般地 x 。) 未必是相互独立的，实际上常常碰到具有下列性质的运动体 系。如果已知它在t = n 的状态，则关于它在n 时以前的所处的状态的补充知识 对预言y 在n 时以后所处的状态不起任何作用，或者在已知现在的条件下， 将来与过去独立的，这种性质就是有关意义上的马尔可夫性，或称无后效性。 自1 9 0 7 年a a m a r k o v 引出马尔可夫链概念，并开始进行研究，经过世界 各国几代数学家的相继努力，其中特别是b n d o m a n o c k h h ， a h k o g m o r o p o h w d o b i n j l d o o b p l e v y w o f e l l e r ，钟开莱、王梓 坤等著名学者的代表性工作与卓越贡献，使马尔可夫链目前已成为内容十分丰 富，理论相当完整的数学分枝，呈现出一派根深叶茂的生机勃勃的气象，而且 在科学研究，发展生产，改进技术、社会服务方面，马尔可夫链已成为强有力 的数学工具，广泛应用于物理、化学、生物、天文、计算机、通信、经济管理 等众领域中。 在信息论中，马氏信源的极限问题是香农定理的最重要的问题，它是编码 理论的基础，有关有限齐次马氏链的极限问题，经过众多的数学家的努力，已 经比较完整，而对可列非齐次的马尔可夫链的极限问题，也有不少数学家对它 们的极限进行了一定的研究，但由于研究手段的局限，在二十世纪八十年代仞， 刘文提出用分析法来研究随机变量列的极限问题，使非齐次可列马氏链的极限 的问题的研究取得了很大进展。 江苏大学硕士学位论文 ( 二) 马尔可夫链的极限问题的研究进展 1 9 4 8 年；s h a n n o n 首先证明遍历齐次马尔可夫链的极限是存在的，1 9 5 7 年， b f i e m a n n 证明了平稳遍历的马尔可夫链的极限是存在的，b a r r o n ( 1 9 8 5 ) c h u n g ( 1 9 6 1 ) ；f e i s t e i n ( 1 9 7 4 ) 及k i e f e r 对s h a n n o n m c h i l l b f i e m a r m 定理进行了推广，但在推广过程中，他们采用了传统的研究概率极限的方法，为 了避免研究的过度复杂和困难，他们都对马尔可夫链作了遍历的限制，刘文提 出了用分析法来研究随机变量列的极限，经过他和他的众多学生的共同努力， 使马尔可夫链的极限研究取得了很大的进展，下面就他们最近关于马尔可夫极 限的研究进展作一些简介。 在 3 中给出了一类可列非齐次马尔可夫链的极限定理，在 6 ， 7 ， 8 中，他们又对这些定理及作了推广，在e 4 中杨卫国与刘文利用分析法 和鞅结合的研究手段，给出了二重有限非齐次马氏链的一类极限定理，在 5 中杨卫国与刘文利用分析法和鞅差收敛定理相结合的方法给出了m 重有限非齐 次马尔可夫链的一类极限定理，而关于二重及m 重可列非齐次马尔可夫链的极 限问题，则将是本文研究的重点，我将在杨卫国老师的指导下，利用鞅与分析 法相结合的手段来研究二重及m 重可列非齐次马尔可夫链的极限定理，并给出 一类有关二重及多重马尔可夫链的极限定理，在此基础下，对在 1 1 中的定 理作了推广。 2 江苏大学硕士学位论文 第二章概率论基础简介 ( 一) 随机变量序列的收敛 定义l ：概率空间( q ，p ) 上的可测函数列( ，n 1 ) 称为a s 收敛 到可测函数f ，记作 n 崎 a s 如果p ( 1 i m f = 善) = 1 ；r v 序列( 磊，n 1 ) 称为依概率收敛到r v 手，记 作 毒。山 如对任给占 o 均有l i m p 阮一参i f = o ；lv 序列( 己，n 1 ) c - 工， 。 ( 0 p ) 称为p 阶平均收敛到lv f l p , 记作 ，山弘 如果l i m e 阮一fi ”= o 。 m 以上各种收敛关系有下列定理存在 定理：对定义在概率空间( q ，f ，p ) 上的f v 序列 六盯1 ) 和l v 参， ( 1 ) 如六一fa s ，或存在0 p 使六山善，则磊与f ； ( 2 ) 如果磊与孝，则存在( 六，n 1 ) 的子列 ，) 使白一孝a s 定理证明见 9 】 ( 二) 条件期望的定义和性质 1 定义：给定概率空间( q ，f ，p ) 上的非负可测函数善和子盯域p 上， ( q ，舻，户) 上定义的非负可测函数e ( 孝i 舻) ( ) 称为孝关于p 的条件期望，如 果对每a p ，有 l g l 舻) d p = 跏 兰茎垄兰堡主兰堡垒查 如善是( q ，f ，p ) 上使 m i n ( e ( 善+ 胁，e ( 善一鼢) a s 成立的可测函数，则把( q ，弘p ) 上使 e ( 手切) = e ( 孝+ i p ) 一e g 。i 舻) a s 成立的可测函数e ( 孝l 动( ) 称为手关于p 的条件期望。 2 条件期望的性质： 定理1 ：设概率空间( q ，f ，尸) 上的可测函数孝关于子盯域舻的条件期望有 定义那么有 ( 1 ) 如f 关于舻可测，则e ( 孝p ) = 善a s ( 2 ) 如玎- a r + a s ，则e ( 叫p ) 有定义，且e ( 叫纠= a a s ( 3 ) 设e 孝有意义，如善和p 独立，则e ( i p ) = f a s ，；特别地，若( q ，中) ；p ，则e ( 善l p ) = e 孝 ( 4 ) 设护也是f 的子盯代数，且p ，c p ，则e ( e ( 善i 纠忉。) 2 e ( 善l 纠 ( 5 ) 若对可测函数即，e ( 圳p ) 也有定义，且f 刁，则e ( 掌陋) e ( 玎陋) ， 特别地i e g l 护) l se 4 善p )a s ( 6 ) 设a ，b r ，如果e f ，e r a e 参+ b e ，7 均存在，则 e ( a e 善+ b e l i g ) = a e ( f l 舻) + b e ( r j 舻) 证明见【9 】 定理2 ：设 厶，h l 是概率空间( q ，f ，p ) 上的可测函数列，p 是一个子盯 域，那么有 1 ) 条件期望单调收敛定理若o s 厶个善a s 则 o se ( 己f p ) 个e ( 善i p ) 口矗 2 ) 条件f a t o u 引理若孝。2 0 口j ，则 4 江苏大学硕士学位论文 q 鳃i n f 六p ) ! 受1 n f e ( 磊l 护) 口量 3 ) 条件控制收敛定理若对某，7 l ( q ，f ，p ) ，罂峨l 和置且厶专扣j ， 则 塑器( 六l 纠= e ( f j 舻) 仉s 证明见【9 】 定理3 ：设是概率空间( q ，f ，) 上的可测函数，e f 有意义，又p 是f 的子 盯域，则对任一p 可测函数玎，只要e 勿有意义，就有 e ( 酬p ) = 社( 纠纠口j 证明见 9 】 ( 三) 鞅和鞅的性质 ( 1 ) 鞅的定义 定义3 1 概率空间( q ，f ，p ) 上的适可测函数族( s ，e ，t r ) 称为是( 下 鞅，上鞅) 如果对每t 。，t ：rt l f 2 e ( s b k ) 有定义并且 e ( s ，：k ) ( ，动= s a s 当( 上鞅，下鞅) 鞅的参数集t c 1 , 2 3 ，) 时，称之为离散( 上鞅，下鞅) 鞅，当对每t 丁，e l s , 1 9 o ) 时，( 上鞅，下鞅) 鞅( s ，e ，t r ) 称为 l 。( 上鞅，下鞅) 鞅 ( 2 ) 鞅的性质 命题3 1 ： ( s ，f ，t r ) 是下鞅的充要条件是( 一s ，f ，t 丁) 是上鞅： ( s ，f ，t ) 是鞅的充要条件是它既是上鞅又是下鞅。 命题3 2 ：如( s ，一e ，t 丁) 是下鞅或鞅并且对每t t ，e sr 有意义，则e s ， 作为t 的函数分别是非降函数或常数函数。 命题3 3 ：如( s ：i ，f ，t 7 ) 和( s j ”，f ，t ，) 都是下鞅或都是鞅，则 对任何非负实数分别是下鞅或鞅实数a ，b ，只要对每t e t ，a e s m + bs ：“有意 江苏大学硕士学位论文 义，贼a e s bs ：2 ) ，f ，t r 命题3 4 ：如( s ：1 f 。，t t ) 和( s f ，t t ) 都是下鞅，而且对每t t e ( s ( 1 ) v 研孙，f ，t t ) 有意义，则e ( s ：i ) v 研”，f ，t t ) 是下鞅。 命题3 5 ：适可测函数列 s 。，f 。，n 1 ) 是一( 下鞅) 鞅当且仅当对每n 1 ， e ( s 1 只) 有定义并且下式成立： e ( s i e ) ( ) = s 。 a s 证明见【9 】 定义3 2 ：适可测函数列 磊f 。，n 1 ) 称为鞅差序列，如果对每n l e ( 六+ if 。) 有定义并且下式成立： e ( 六+ l | f ) - o a s 鞅基本收敛定理： 如果下鞅 s 。，f 。，n 1 ) 满足 s u p e s # * o o 则l i m s n a s 有意义；记s 。= l i r a s 。a s 则 n m ( 1 ) e s ： j2 jl ( n 1 j ，) ，i 。+ 。，i 。，i i i 成立，只要上式中左方构成条件的事件的概率大于0 在“m 步位于i ”的条件下，经k 步后转移到j ( e ，) 的( 条件) 概率 p ( x 。+ 。= j l x = i ) 简记为。p ，并记矩阵 。= ( 。p ) ( i j 2 0 ，l ，2 ) 称元为负数的矩阵为随机矩阵，如果它的每一行上的元的和为1 。由，的定 义，显然 。p ? o ，。p = l j 今后表故对任一自然数k ，。p 为随机矩阵。 j - o 设q ，= p ( x 。= _ ，) ，显然q 0 g ，= 1 分布 q ，) 称为马氏链( x 。) 的开 始分布。 一般，对每一非负整数n ，称概率 q ，= p ( = _ ，) j = o ，l ，2 ， 为绝对概率，g = 1 。( q 7 ) 通过下式为开始分布及转移概率所决定 j ( 1 ) q p = q ， ( 2 ) q ，+ 1 = q ：o ) o p r + 1 = ：q ：”。p 。 定义4 2 ： 称马氏链 x 。 为齐次的，如果它的转移概率矩阵。p = p 与m 无关，即对任意非负整数m 有 p ( x “= s i x 。= i ) 2 p n 显然。p 与m 无关，称为k 步转移概率以后记p ? lp 。 一些重要公式： ( 1 ) p 0 ，p = 1 7 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) p = p p ( 3 ) q = 吼p = p ， j j 定义4 3 马氏链 x 。 称为平稳的，如对任意n j ，有 p ( x 。= i ) = p ( x o = f ) = p ， 具有此性质的开始分布 p 。) 称为平稳分布。由 p ，= p ( x 。= f ) = p j p j ? ( i - o ，1 ，2 ) j 可见在平稳分布( p op 1 ) 在变换( p o ，p i ) ( p ，) 下是不变的，n = l ，2 ， ( 2 ) 多重马尔可夫链 定义4 2 1z定义在概率空间( q ，f ，p ) 上的，取值于e = ( o ，l ，2 ，3 ) 中的随机变量列x 。( )( n = o ，1 ，2 ) 称为v ( 正整数) 重马氏链，如果 等式 p ( x 。l = f “x j = i j ，j = m ，m - i ，1 ，o ) = p ( x m = i m + i h - - - 6 ，j = m ，m l ，m - v + 1 ) 对任意正整数m v 及任意i ee 成立，只要左方构成条件的事件有正概 率。 ( 五) 强极限定理分析方法的基本思想 这个方法的基本思想是用区间分剖法在概率空间( 【0 ，1 】，f ，p ) 中给出随 机变量序列的一种实现，再构造依赖于一个参数的单调函数，并应用l e b e s g u e 关于单调函数的可微性来证明某丝极限存在，然后通过纯分析运算来证明所要 的结论。 8 江苏大学硕士学位论文 第三章关于二重非齐次可列马氏链的一类极限定理 【引言】马尔可夫过程是一种十分重要的随机过程，它为信息科学、管理科 学以及金融决策提供了强有力的数学工具。有关齐次马尔可夫链的极限性质， 已有了很好的结果，并形成了较完整的理论体系。在信息论中关于马氏信源的 熵密度的极限问题，是一个十分重要的问题，而二重及多重马氏信源是一类十 分重要的信源，例如语声、图像、信号等往往是二重及多重马氏信源，所以对 二重及多重马氏链的极限的研究，有着十分重要的现实意义。在本文中，我们 将采用一种新的方法去研究可列非齐次二重马氏链极限性质，并得出一类非齐 次可列二重马氏链的极限定理。 设随机变量序列留。以1 ) 取值于状态空间s = o ，l 如果满足条件 p 口。= ，防f i 0 , x ，= “z 。= + x 。= ) = p 以“= 卅以i = 一l ，k = f 。)，s ，r = o ，1 ，2 ( 3 1 ) 则称讧。，n l 为二重马氏链。若上述条件( 3 1 ) 与n 无关，则称为二重 齐次马氏链。 令 以，珂1 ) 是非齐次二重马氏链，其二维初始分布和转移 立方矩阵分别为 g = q ( i ，) ，i ，s ) ( 3 2 ) 。p = 。p ( i ，_ ，七) ，_ ，k s ，甩1 ) ( 3 3 ) 其中 g ( f ，_ ，) = p ( x o = f ，x 。= - ，) i 。p ( f ，j ，k ) = p ( x = 七阮= - ，以i = i ) 定义：设正( ) 为k r o n e c k e r 函数，且巧( j ) = ：；i ；，以( t ，t ) 是 三元状态序列( x o ，i ，以) ，( x ，x 2 ，x 3 ) ( x 帕，x n _ l , 以) 中三元状态 9 江苏大学硕士学位论文 序组( f ，_ ，七) 出现的次数。 为证明需要，先给出下列定理l 。 定理1 - 设 j 0 ，n 1 是满足条件( 3 2 ) ( 3 3 ) 的非齐次马氏链，只= c r ( x o 。k ) ， p 。，拧1 是关于f 。可测的一正值随机变量序列，a 。是一有界正值数列， 即存在正数m ，使k i m ，令 y 。24 ( 以：) t ( x 。) 瓯( 以) ，m 2 ， 其中( f 0 2 ( q ，口) ，y i = 万，( x i ) ，y 2 = 万f ( x i ) 以( x2 ) ) ，d 是q 中满 足下列条件的点的全体。 ( 1 ) l i m c r ( w 、= o 。 ( 2 ) ! 受s u p 窆研圪j 瓦】= 中o ) o o 一一吒急一 则 ! i m s u p 百l 【善n 匕一耋【圪1 只】= 。 a s巧。( 3 4 ) 记 则 证明：令 k t 。( 五，) = 下- 竺一 ( 3 5 ) 兀0 + ( 舻- 1 ) e r i r 。】 e ri j - 一】= p ( 1 l f 一。) p 牌击s 印去骞e i v i f - l 】 静一，一n m s 江苏大学硕士学位论文 。l i m 而1 n 唧 la 盯 窆i t i t 】 ( a 。i n 2 ) 2 e k “4 i 。l i r a “m ) 2s u p 古薹ei t i t i 】l n 肛l i m m2 l n 腼( 国) a s w d ( 3 1 2 ) 由于五一l 一0 ( a _ l + 0 所以由( 3 1 2 ) 式 。l i m 。s u p i l 【萎n l 一耋e 阢k - l 】。 a swed( 3 1 3 ) 取五 0 嬲 由( 3 1 4 ) 式及( 3 4 ) 有以及不等式0 i n ( 1 + x ) x( x 芝o ) ， ! i m 。i n f ( a 一九) oj l i m i n f ( a 一一c n ) 。l i m i n f ( b 。一q ) ! 骢i i l f 去【耋圪一耋e 畋i 瓦- i 】 !觋inf一1【n旦皇兰兰等壁兰堡生一vn峨i，舯一o m n 。怠 i n 五 “- , a “。”“。 舰i n f 百l 萎ne 阪l l - l 】 导一) 舰击i n 百1 萎n e t 圪l f = - l 】 舻- 1 - a , , , i n g 舰击i n 百1 蚤n 研圪j l 1 】( l n 2 e h h q ! 觋( ) l n 丑s u p 去耋e 阢i 兄- i 】! 鳃m 2 。( ) 1 n 五n s 国。( 3 1 5 ) 由于a 一1 0 ( a 一1 - 0 ) ，所以由( 3 1 5 ) 得 - z 口。，e r o l r 一。】 0 a s 刃d ( 3 1 6 ) 2 圪 。匹d得 。一吒 ” ：堇 熙 姒d o 由 江苏大学硕士学位论文 舰百1 【萎n l 一耋研圪i - l 】= 。a s 巧。 定理2 ：设( 以。，l i ) 是满足( 3 2 ) ( 3 3 ) 这两个条件的马氏链p 。，刀1 ) 是一正值随机变量序列，a 。是一有界正值数列，即存在m 使k l m ，令d 是q 中满足下列条件的点的全体。 ( 1 ) l i m o ( ( 0 1 = ( ”。l i r a s u p 百1 萎n - i4 ( 以一e 帆l p ( f ，_ ，七) = 中。) 。 ( 3 1 7 ) 则 ! 姥百1 【善n - i 4 ( x 。) t ( 以) 瓯( 以。一薹4 ( 以- 1 ) t ( 以) 。加，舭) 】- 。 a s巧d ( 3 1 8 ) 证明：令 匕= 一( j 0 一i ) 6 j ( x m ) 瓯( x “) c = o - ( x l ，x 2 。彳。) 因为 e 匕i f ，】= 正( z 。一i ) t ( k ) 。p ( i ，_ ，k ) ( 3 1 9 ) 由定理1 定理得证 推论1 ：设 以，胛1 ) 是满足( 3 2 ) ( 3 3 ) 这两个条件的马氏链，p 。，以1 是一正值随机变量序列，a 。( f ，j ，国) 如上述定义，令d 是q 中满足下列条件的 点的全体。 ( 1 ) l i m 吒 ) = c o 则 ( ”。l i r a s u p 百1 萎n - i4 ( 以一- 砖帆l p ( ，| i ) = 中。) m ( 3 2 0 ) 江苏大学硕士学位论文 j i m l - - - a ( f 肭卜著n - i t ( 以一- ) t ( 以脚删】= 。 a s巧。 证明。 n - - l 在定理2 中令a 。z l ，又由于以( f ，工j i ，彩) = l ，本推论得证。 推论2 ：设 k ，行0 是由( 3 2 ) ( 3 3 ) 所定义的一个非齐次可列 二重马氏链。s ( f ，c o ) 是二元状态序组( x i ，z 2 ) ，( x 2 ，x 3 ) ( 以+ j 0 ) 中出现的 次数a 。( f ，_ ，i 孓所前述定义，设d ( i ，j ，印) = 和：l i m s 。( f ，_ ，) = ) 则 n - i 爿。( f ，女，c o ) - 4 ( 彳。) s j ( x 。) 。m _ ，七) l i m ! ! i 一= 0 一。 s 。( f ，j ，彩) 证明：显然有 所以 i i - - 1月 t ( z 。) t 似。) 胛p ( f ，_ ，七) s 正( j ，卅一) t 似。) ，而 i ii l n 鼠( f ，_ ，国) = 4 ( z 。) t 似。) ， m = l 4 ( x 。) t ( x 。) 。p ( i ，i ，c o ) 生_ 而j 历0 2 - ) 一引 j 月u ， 令盯。= e ( ，j ，) ，由推论1 ，推论2 成立。 证明 推论3 ：设鼠( f ，c o ) ，以( f ，j ，七，) 及d ( i ，- ，) 均如前述定义，如果 1 4 a s巧d 则 卜 = 篓俨盟 以 g m 忡 江苏大学硕士学位论文 n - ! 一( 以一。) t ( 以) 。p ( f ，m )n - 4 ( 以) t ( 以) 。m _ ，七，国) 里生一1 且旦苎一 s ，q ，j 。t o ) 一 一 s ，q ，j 。c o ) 单调减 由定理1 l i m 尘业：生：竺! 一一+ * s 。( f ，c a ) 正( 以一，) t ( 瓦) 。p ( i ，工k ，c o ) 。舰盟一2 舰一p ( _ ，| ) 2 p ( f ，七) 窆一( x 。) s j ( x 。) a s万d 江苏大学硕士学位论文 第四章m 重马氏链的一类强极限定理 【引言】虽然关于可列非齐次马氏链的强大数定律有很多研究，但以往的研 究大多数是关于可列非齐次一重马氏链在满足一定条件下的研究，刘文、杨卫 国在文献 6 3 、 i 运用分区间法，采用分析的方法给出了一类对任意非齐次 可列一重马氏链都成立的强大数定律。杨卫国、刘文在文献 3 4 中运用分 析法给出了状态有限二重及m 重马氏链的一类强极限定理。本文主要采用一种 比较新的方法，对可列非齐次m 重马氏链作了一些研究，得出了一类关于可列 非齐次m 重马氏链的一类强极限定理。 设( q ，f ，p ) 为概率空间，随机变量序列饥疗芝1 ) 定义在( q ，f ，尸) 上，取 值于状态空间s = 0 、1 ” ，如果满足条件 p 讧。+ ：j l x 。= i 。，x ，= j l ，y 。一l = f 。，x 。= 乇) = p 留。+ = _ ，l 以= ，z 。= 一。+ ，k 一。= 。) m 2 l ，2 ，n = m + l i 。s ( 4 1 ) 则称 以，n 1 为m 重马氏链。若上述条件( 4 1 ) 与n 无关，则称为m 重 齐次马氏链。令 以，打1 ) 是非齐次m 重马氏链，其n l 维初始分布和转移m 阶矩阵分别为 q = 叮( ，如) e s ( 4 2 ) 。p = p 。( f l i 2 ，) ，i m ，s ，m ，n 1 ) ( 4 3 ) 其中 q ( i j ，f 2 f 。) = p ( x = f i ，x 2 = i 2 z 。= ) p 。( f i ，i 2 i 。，) = p ( 。k = a x 。一l = ，。k 一2 = i m i 彳= f i 定义：4 ( ) 为k r o n e c k e r 函数，4 ( ，) = 嚣i ；，以( “。厶，) 是m + 1 元状态序 1 6 江苏大学硕士学位论文 列( x i ，x 2 ，x 。1 ) ，( x 2 ，x ”x 。+ 2 ) ，( x 。一。，o g - wx 。) 中m + l 元状态序组( “i 2 。，力出现的次数。 定理h 设 以，甩1 ) 是有m 维初始分布( 4 2 ) ，m 阶转移概率阵( 4 3 ) 的非齐次m 阶马氏链，n ，疗l 是正值随机变量序列， d 是q 中满足 下列条件的点的全体。 ( 1 ) l i m o 。( 0 j ) = c o ( ”。l i m s u p 百1n 备- m 一( 以) “吒( 也一一) p 。“( 。j 卅，_ ，) = 巾( ) 。 ( 4 4 ) 则 。l i r a - - 仃1 。 舶，f 2 以一瓢眠) 丸( x k + m _ i k 而“) 】- 。 证明： 为书写方便，令 a s d b k = 占 ( 以) 万。( 以一) p ( 0 i 2 i m ，_ ，) 兄= 毛( x k ) ”以( x k 一- ) t ( 以+ 。) 易知 爿。( 扎i 2 ，_ ，) = 匕 由于t ( )为k r o n e c k e r 函数，所以y 只能取0 与1 两个值。 由马氏性 p ( k = 1 i r + 。) = p 。( 0 i ：i m ，_ ，)p ( k = o j 瓦+ 。) = 1 - p 。+ 。( ，如厶，) 其中f 。= 盯( x i ”x 。) 。令 “枷) = 磊兰一 k 兀i + ( 五- 1 ) b , 】 则 ( 4 5 ) 江苏大学硕士学位论文 + ( 无，) = ( 无m ) i 惫 显然t 。( a ，国) 关于f 。可测。 圳耻地( 细而高函嘲 = ( 五， ( 4 6 ) ：t 。( a ，国) 垄! = ! ! ! g ：叠：立! ! 二旦! = ! ! ! 鱼：尘：! ! “7 1 + ( 兄一1 ) p 。+ l ( ，0 ，) = t 。( a ，c o ) ( 4 7 ) 所以，t 。( 五，c o ) ，n 2 1 是个非负鞅 又因为 e k ( 旯，c o ) f 0 。】= - - e t 。+ ，( 2 , m ) i e 】= 1 由d o o b 鞅收敛定理 由( 4 8 ) 式有 l i r a t ( 2 , o j ) l ，在( 4 1 0 ) 式两边同除以l n 五 l i ms 叩i l 刍n - m k 一掣】 o 由( 4 1 1 ) 以及( 4 5 ) 和不等式? 二l n ( 1 + x ) x( x o ) ， j + 石 ! 受s u p 去【以( 。 一n 荟- m 一( 以) t ( z 。儿撕- 。川 8 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 江苏大学硕士学位论文 l i ms 印i 1 n 群- m 圪一吼】l i r a s 印去n 蔷- m 芦堕眚必一b 】 一吼】 ( 2 - 1 ) o ( c o ) o oa s c o d ( 4 1 2 ) 由于五一1 专0( 五一1 + 0 所以由( 4 1 2 ) 式得 。1 i m 。s 印n - - m 【，：。，s t 】：s 。a s ， ( 4 1 3 ) 取旯 1 在( 4 1 0 ) 式两边同除以i n 2 有 l i m i n f 芝肾 盯。：i i n 1 + ( a - 1 ) b k 】 l n 五 】0 ( 4 1 4 ) 由( 4 1 4 ) 式及( 4 4 ) 有以及不等式l n ( 1 + 力x ( x o ) ， l + 工 l i m i n f 击小。伊n 酗- m ( m 引k 一) 一川 = l i m 雠毒n 酗- m 倒! 鳃；n r 去薹掣一b r ， l i m i n f l 篁西嘶吲 ( 2 - 1 ) ! i m 。s u p b is ( 2 - 1 ) 0 ) a s 国d ( 4 1 5 ) 月- o 盯 由于五一1 0( 五_ i - 0 所以由( 4 1 5 ) 式得 缈l i m 古哥圪一尾】刈 h _ ，r - 一 一 由( 4 1 6 ) 及( 4 1 3 ) 得 ( 4 1 6 ) l i m 吒1 a 斯厶，矿n 善- m 4 ( x t ) 占。( x 。) ( “厶，刚- o a s 。 推论l ：设 以，胛0 是由( 4 2 ) ( 4 3 ) 所定义的一个非齐次可列m 重马氏链。 1 9 生m 叠 坠m m 黔 一 n m 一盯 ) 5 ： 一 m ” 五 场 0 江苏大学硕士学位论文 s 。( i l ，i 2 矗) 是i n 元状态序组( x l ，“，x 。) ，( x 。，x 。) 中出现的次 数，a 。( ，f ：i m ，_ ，) 如前述定义，d ( i i ，f ：。l ) 2 如：。l i r a ( f l ，屯厶) = o 。) 则 彳。( f 厶，) 一4 。( l ) 屯( x k + 。一) p 。( f ，_ ，) 所以 l i m m 证明：显然 鼠( 0 0 ) = 0 a , s d n - m + l 最( o 。) = 正( 托) 屯何m + k - i ) k = l n - mn - m + l 玩( x t ) 吒( x k + m - i ) p 。( 0 厶，_ ，) 气( x 。) 以( x 。) k = ik - i 2s 。( 0 l ) a s 埘d 一( 以) 屯( x k 一) p 。( i l i m ，_ ，) 生l i _ _ _ 一1 ， a s ，( - 0 d 瓦( 0 。厶) 7 令盯。= s 。( 0 i 2 ) ，由定理1 ，可得推论1 成立。 则 证明： 推论2 ：a 。( 扎如0 ，) ，s 。( “i 2 ) ，d ( i 。，i ，0 ) 设均如前述定义，如果 ! i m 。p n ( i l ，i 2 i m ，) 2p ( f i ，f 2 ，_ ，) l i m ! 糟= p ( ，屯一。，_ ，) a s ，国。 4 ( 以) t ( 以一) p 。( 0 j m ，- ，) 童哇：一1 鼠( o i m ) 且 ( 五) t ( 以一) p 。( “屯，) 型瓦瓦_ i r 一单调减， 瓯( 0 ) 一” 江苏大学硕士学住论文 由定理l 则 l i m 垒坠垒：盘! 塑 一一只( “i 2 厶) 正( x 。) 谚：( 以+ 。) t ( x k + 胛) p 。( 永f 2 。厶，_ ，) = l i m j ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 ”。 “- m + 一1 ( 以) 气( 以+ 。) 以( 以一) 。l i m p 一m ( i l i 2 i m ，d 2 p ( i z m ，) 口 c o d 推论3 ：设a 。( i l ，“，i 。，j ) 如前述定义，取 证明： d = 徊：! 受荟( 以) 8 ( x k 一) p 一( 。厶，_ ，) = o o l i m 生坠：立1 2 ：l m 笙= 气( x k ) 3 j ( x m + k - i ) p 。“( i l i m ，- ，) i - - m 在推论1 中取仃。= 4 ( x d 占。( x 。一一) p 一( 0 m ，_ ，) ，i 则定理得证 则 推论4 ：设a 。( i i ，”，i 。，j ) 如前述定义，取 e 2 ：! 娩彳一( i l ，”厶，) = o o 4 ( 以) 吒( 以+ ，) t ( j k + m - i ) p + 。( “i ：厶) l i m s ：_ i - 。一= ：i 4 ( 尔，2 i 。，) 证明： 在推论1 中取吒= 爿。( “i 2 i o , ，) ，再由推论3 本推论得证 2 江苏大学硕士学位论文 第五章任意二值随机变量序列的一类极限定理 【引言j 在前面文章的基础上，本节将给出一更加基本的定理，本定理是对 严加安，杨卫国在 1 1 】中的一个简单的推广。作为该定理的推论，得到可列非 齐次马氏链关于状态序偶出现频率的强大数定律 定理l ：设 x 。，c ，h 0 ) 是在( 0 ，1