（应用数学专业论文）天津市房屋销售价格模型.pdf

中文摘要 中国的房地产业在近几年取得了快速的发展，同时房价上涨等现象也引起了 社会的普遍关注，房价问题成为目前中国经济的一大热点，同时房价过高也引起 上到中央、下到普通老百姓的关注。为了控制房地产过热以及价格上涨等问题， 近几年来中央采取了一系列的宏观调控措施，并取得了一定的成果。 时间序列分析在近几十年以其发展迅速、内容丰富和应用广泛，成为数理统 计学中的一个活跃分支。本文通过对自1 9 9 1 年以来的，特别是最近几年房价数据 进行分析，我国加入了世贸组织，成为w t o 的成员，各种市场都将进一步开放。 而我国在经济体制转型时期，尚未发育成熟的房地产市场将面临机遇与挑战，房 价波动自然进入了更加频繁的阶段。值此之际，我们希望把握房价的走势及波动 规律，通过分析房价波动的趋势及特点，建立房价的模型，来预测我国房地产未 来的发展趋势。 本文主要分析了我国房地产市场价格，旨在建立房价模型，分为四部分：第 一部分主要是介绍我国房地产发展的现状。第二部分主要是介绍关于时间序列 的一些相关内容。第三部分主要是介绍一些关于模型参数估计的相关内容，包括 最小二乘估计法和长自回归模型法。第四部分主要是估计房价模型，采用最d - - 乘估计和长自回归模型模拟a r ( p ) 模型和a r m a ( p ，q ) 模型，建立房价波动模型。 并给出结论。本文的重点是对时间序列建立模型，以期构建房价波动的规律及趋 势，预报未来时期的房价走势。 关键词：时间序列，a r m a ( p ，q ) 模型，房价波动，最小二乘估计，线性预报 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h er e a le s t a t eh a v ed e v e l o p e db yl e a p sa n db o u n d s ，a n dt h i s p h e n o m e n o nh a sc a u s e da t t r a c t e dt h es e r i o u sa t t e n t i o no ft h ec h i n e s eg o v e r n - m e r i ta n do r d i n a r yc i v i l i a n s h o u s ep r i c e sb e c a m et h ef o c u so fc h i n a se c o n o m i c o v e rt h ep a s tf e wy e a r s ，t h ec e n t r a lc o m m i t t e eh a sa d o p t e das e r i e so fi m p o r t a n t r e g u l a t i o n sa n dc o n t r o lm e a s u r e s b r o u g h tg o o dr e s u l t s i nm o r et h a nad o z e ny e a r s ，t i m es e r i e sa n a l y s i sh a sm a d er a p i dp r o g r e s s ， b e e nr i c hi nc o n t e n ta n da p p l i c a t i o n sa b o u n d ，a n db e c a m eab r a n c ho fm a t h e m a t i c s s t a t i s t i c s t h i sp a p e ra n a l y z e st h eh o u s ep r i c ed a t a ，s i n c e1 9 9 1 ，e s p e c i a l l yf o rt h e l a s ty e a r s i nt h e2 0 0 1 ，c h i n aj o i nt h ew t o ，b e c a m eo n eo ft h ew t o m e m b e r s w es h o u l dc o n t i n u eo u rr e f o r ma n dt h eo p e np o l i c y o u rm a r k e t sc o m ei n t ob l o o m b u tt h et r a n s i t i o no ft h ee c o n o m i cs y s t e mw a s n ti n c h o a t e ，t h ep r o p e r t yf a c eb o t h o p p o r t u n i t i e sa n dc h a l l e n g e s ，f l u c t u a t i o no fp r i c en a t u r a l l y e n t e ru p o nm o r eo f t e n p h a s ei ny o u rl i f e o nt h i so c c a s i o n t h et r e n da n dt h ef l u c t u a t i o n ，w ew i s ht ok e e po u rh o l do nt h er e g u l a ro f b u i l d i n ga na r m am o d e lb ya n a l y s i so ft h ed e v e l o p m e n tt r e n d s a n d c h a r a c t e r i s t i c so ft h er o o mc h a r g e sr i s i n ga n df a l l i n g ，a n df o r e c a s tt h et e n d e n c y o fh o u s ep r i c ei nt h ef u t u r e t h i sp a p e rh a v ef o u rp a r t s ：( i ) i n t r o d u c t i o nt h er e a l e s t a t e ；( i i ) i n t r o d u c t i o nt h er e l a t i o nc o n t e n t so ft i m es e r i e s ；( i i i ) i n t r o d u c t i o n l e a s ts q u a r ee s t i m a t ea n dl o n ga u t o r e g r e s s i v em o d e l ；( 1 1 1 1 ) b u i l d i n ga na r m a m o d e l t i m es e r i e s ，a r m a ，f l u c t u a t i o no fh o u s ep r i c e ，l e a s ts q u a r ee s t i m a t e ，l i n e a rf o r e s t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得- 天津大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 、 弘 辄刁秒矿 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 导师签名： 典弋 ， 签字醐7 秆月7 日 次日 产 妒 名 f 戳产 者 - 帅 储 一沙 文 期 论 日 位 字 学 签 前言 刖吾 近几年来，中国的房地产业得到了快速的发展，房地产开发商也如雨后春笋 般，层出不穷，固定资产投资也连年快速增长，反映了我国经济强劲增长更多是 依靠内生性动力，外生性的国家宏观调控作用越来越弱。 商业地产开发有其行业特殊性。一方面，大部分开发商自有投资能力较弱， 许多开发商希望通过寻找投资、融资的方式来解决资金问题。另一方面，大量国 际基金及投资商，寻找地产投资项目，但实现成功投资的少之又少。 近几年，天津市土地市场趋于规范，开发商拿地的成本相应提高，这也促使 商品房价格居高不下。此外，经济的发展，人们收入水平的提高，都会使房价维 持在比较合理的高水平上。而另一方面，政府宏观调控措施、住宅开发重心向外 转移、房地产行业整体利润水平下降等趋势有助于平抑房价。 分析1 9 9 1 至2 0 0 1 年天津商品房均价走势，可以看出在房地产市场规范发展 的时期，天津商品房价格呈平稳走高的趋势。9 2 年对小平南巡讲话发表，全国 房地产业发展进入一个新阶段，天津房地产业也进入了繁荣复苏的阶段，随后 在1 9 9 3 年，房价有跃升式的高涨。9 3 年下半年开始，国家加强了国民经济的宏观 调控，对房地产业资源进行了清理整顿，在一定程度上遏制了房地产业过热的 现象。进入9 4 年，房价有趋于平稳阶段。自1 9 9 4 年至2 0 0 1 年房价表现为阶梯式上 扬。2 0 0 2 年开始，天津市房地产市场进入交易活跃时期，商品房销售市场持续升 温。商品房销售价格波动上涨。2 0 0 3 年国家出台了许多调控房地产的政策，只是 房屋价格波动更为频繁。2 0 0 4 年，天津单月商品房成交规模起伏不大，但商品房 价格保持坚挺。进入2 0 0 5 年，房地产业继续在政府宏观调控中发展，房价继续振 荡上行。2 0 0 6 年里，央行就对房地产业采取了一系列的调控措施。随着宏观措施 的逐步落实到位，房价上涨增幅过快的势头得到有效控制。 应该看到，商品房价格与宏观经济环境息息相关，在较长一段时间，天津的 国民经济还将保持较高速度良性发展，商品房价格仍有一定提升空间。 时间序列分析源于预测，但随着时序研究的理论及应用的逐渐深入，其应用 的范围日益扩大，它已涉及到天文、地理、生物、物理、化学等自然科学领域，图 像识别、语音通讯、声纳技术、遥感技术、核工程、环境工程、医学工程、海洋工 程、冶金工程、机械工程等等工程技术领域，国民经济、市场经济、生产管理、人 口等等社会经济领域，并取得了不少重大的成就。 由于时间序列模型是动态的模型，它对动态数据具有外延特性，从而可以避 免在求取动态数据的统计特性所造成的影响。广义上说，从对有序的随机数据都 可以说是时间序列分析。传统的周期图分析与相关性分析是直接从时间序列计 前言 算其自协方差函数( 或自相关函数) 。时间序列模型从非参数模型发展到参数模 型，是广义时间序列发展中的一个突破。时序分析同相关分析、周期图法通常可 以结合使用。 本文基于近十六年的房屋平均销售价格的数据，用时间序列的方法分析房屋 销售价格的趋势及波动的规律，并建立时序模型，估计模型参数，最后希望得到 未来时期的价格预测。 本文分为四部分：第一部分主要是介绍我国房地产的发展。介绍了天津房地 产业发展的现状，近几年来房屋销售价格的走势和国家为调控房价所颁布的一 系列政策，以及影响房价的几个主要因素。第二部分介绍关于时间序列的一些相 关内容。介绍时间序列的概念、分类、非平稳时间序列的趋势模型等。第三部分 是一些关于模型参数估计的相关内容，首先给出去除非平稳序列去除趋势的方 法，然后介绍了最小二乘估计法和长自回归模型法。还给出了模型适用性检验的 几个检验标准，及预报公式。第四部分是建立房价模型。对所选序列剔除趋势成 分，然后采用最小二乘估计和长自回归模型法对去除趋势的序列建立a r ( p ) 模型 和a r m a ( p ，q ) 模型，得到房价波动模型，并预报未来五个周期的房价。最后给出 结论。 第一章天漳市房屋销售市场 第一章天津市房屋销售市场 1 1 天津市房地产现状 天津位于华北平原东部，海河入海处，是中国重要的工业、贸易、经济中心 城市之一。天津是中央直辖市，行政区域包括市内六个区，六个郊区，塘沽、汉 沽、大港三个沿海市区，蓟县、静海、宁河三个县。天津的定位是做一个环渤海 经济中心，以及国际化的港口城市。 自上世纪9 0 年代以来，天津市的城市化改造一直是房地产持续发展的有效 支撑力。城市化改造包括旧城改造、基础设施建设、文教卫生设施建设等方面。 就天津来讲，海河改造、新城镇的建设，都是直接作用于天津市的房地产业的发 展【l 】o 1 9 9 8 年以来，为落实国务院关于进一步深化城镇住房制度改革、加快住房建 设的决策部署，做了大量工作。到现在城镇住房制度改革取得重大进展，房地产 市场体系基本建立，房地产业持续快速发展，对拉动经济增长、推进城镇化、改 善人民生活等，都发挥了重要作用。 从投资类别看，结构性矛盾进一步加剧。商业营业用房投资增长最快，住宅 投资和办公楼投资其次，经济适用房投资增长过慢，甚至2 0 0 4 年还出现了负增长 的局面。投资的地区分布呈现东部比重减小，中西部的比重增大的趋势；但中部 投资增速加快，西部呈下降趋势。近几年由于国家对土地市场清理整顿、暂停半 年建设用地审批，土地开发和土地购置增速均呈现大幅回落的趋势。 近两年来，国家把房地产市场调控作为加强和改善宏观调控的重要内容，采 取了一系列措施。严格房地产开发信贷和土地管理，提高房地产开发项目资本金 比例，控制城市拆迁规模，前不久还取消了个人住房贷款优惠利率的政策。房地 产市场调控取得了积极成效，房地产开发投资、信贷和土地供应过快增长的势头 得到有效控制。 天津房市目前的情景很像几年前高速发展中的北京，房地产业开发和边缘产 业机会很多，虽然目前房价上涨很快，但是这主要是产品结构不平衡造成的暂时 现象。另外，现在真正意义上的外地投资开发商还没有到位，住宅产品和服务无 论品种还是档次上都没有展开，伸展空间很大。同时房价总体上也比北京等城市 低很多，货币住宅补贴等支持有效需求的政策还没有完全到位，外地人买房也很 少。 2 0 0 6 年天津房地产市场仍然处于质变之前的调整期，在住房商品化程度不断 提高的同时，社会住房保障体系也会进一步完善。虽然当前市场的一些不确实因 第一章天津市房屋销售市场 素增加，同时竞争环境也日趋严峻，但行业市场的总体上升趋势难以改变。 1 2 近几年天津房屋销售价格走势 分析1 9 9 1 年至2 0 0 1 年天津商品房的销售走势，天津房屋销售均价呈阶梯式上 扬趋势。从1 9 9 4 年开始，天津进行危陋平房改造，每年拆迁量为1 0 0 万平方米。拆 迁量的不断增多，地价也随之不断上升。自2 0 0 2 年以后，房价进入了波动频繁， 振荡上扬的阶段。2 0 0 2 年市房地产市场交易活跃，商品房销售市场持续升温。商 品房销售价格微涨。从2 0 0 3 年开始，地铁一号线改造、城市快速路网建设、轻轨 铺设以及对海河两岸进行改造等大工程相继上马。2 0 0 3 全年，天津累计拆迁量 接近5 0 0 万平方米，涉及两三百万人动迁，这些数字等于过去5 年的总和。天津的 房价也随之一路飙升，从2 0 0 3 年的每平方米3 0 0 0 多元至u 2 0 0 4 年的每平方米4 0 0 0 多 元。 我们关注房地产的价格，还是希望它能健康地、平稳地发展，我们也看到了 房地产是未来中国经济发展的重要支柱，正因为它是支柱，所以希望支柱能更健 康，更好。 统计天津历年取得销售许可证的商品房新上市量，可以看出本市历年新增商 品房供应量的变化走势。从1 9 9 8 年以后，为平衡供需结构，天津市政府部门严格 控制商品房销售许可证的发放，新增上市量从1 9 9 8 年逐年下滑，至2 0 0 1 年开始止 跌回升。特别是近几年来，新增商品房上市量与需求规模基本适应，空置量进一 步降低。 1 3 近几年房地产政策 1 9 9 4 年开始的城市平房改造，政府只是起到主导作用，采用回迁政策。 从1 9 9 7 年左右开始，进行货币化拆迁，政府的作用是推动型。在出卖土地者和开 发商之间，政府只是一个中介。而且，许多大片危陋平房的改造，作为交换条件， 开发商的土地往往是划拨得到的。2 0 0 2 年，国土资源部出台文件，要求经营性土 地不得协议转让，必须通过招标、拍卖、挂牌交易。戴相龙到天津上任后，更是 加大了城市建设的步伐。2 0 0 3 年，从年初到岁末，几乎每个月都有对房地产业长 远发展影响重大的法规政策出台，其内容涉及房地产业的各领域。包括土地、工 程建设方面的法规、央行对开发企业及购房人最新贷款政策、高法审理商品房买 卖合同纠纷的司法解释、国务院促进房地产业持续健康发展的1 8 号文、行业预 警预报系统的建立、央房上市、物管条例及新的物业收费办法等一系列法规政 策。2 0 0 4 年全国房地产开发仍然保持较快增长势头，为了抑制固定资产投资和房 地产投资过快增长，国家采取了一系列的调控措施，包括将房地产开发( 不含经 一4 一 第一章天津市房屋销售市场 济适用房项目) 的自有资金比例从2 0 及以上提高n 3 5 及以上；土地市场治理 整顿期间，暂停审批农用地转非农建设用地等。 2 0 0 5 年房地产业继续在政府宏观调控中发展睇1 。5 月1 2 日七部委联合发布关 于做好稳定住房价格工作的意见，从一定程度上对投资型购房有所限制，使投 资型购房需求数量有所下降，从而有助于房价的回落。天津市也出台8 项措施以 加强房地产市场监管，严格查处无证售房、囤积居奇、买卖期房等违法违规及其 他以不正当交易方式哄抬房价的行为，规范房地产市场交易秩序。在提高服务水 平的同时，严厉制止恶意炒作行为。 2 0 0 6 年里，鉴于改善住房供应结构、稳定房价运行的任务仍然非常艰巨，国 内陆续出台了包括行政、信贷、税收、土地等一系列政策，政府对于房地产市场 的直接影响日益加强。国务院的八条要求和天津市六条贯彻意见对天津市房地 产市场产生了积极影响，从9 月份开始，央行就对房地产业采取了一系列的调控 措施。先是发布了在业内引起很大反响的1 2 1 号文件，提高了房地产开发企业进 行投资的自有资金的比例。之后两次提高了存款准备金率，引导商业银行控制对 房地产企业的贷款规模，最近又提高了个人住宅按揭贷款的门槛。随着宏观措施 的逐步落实到位，房价上涨增幅过快的势头得到有效控制。 1 4 近几年房屋销售价格均价上涨原因 整个天津房价的上升归因于市场经济下房地产行业正常发展规律，有以下几 点原因： ( 一) 宏观经济的持续发展，为房地产业的健康快速发展提供了坚实的基础。 随着经济的快速发展，居民收入不断提高，城乡居民收入水平的稳步提高，使老 百姓用于住房实际需求能力大大加强，购买力和潜在需求的结合产生了有效需 求。同时，随着城市化进程的加快以及上年旧房拆迁改造的后续影响，老百姓对 房屋的需求量激剧增加，普通住宅和1 0 0 平米以下的小户型住宅市场供应不足， 使得市区的房地产市场需大于供的矛盾突出。可见国民经济的持续增长，为房地 产市场升温创造了必要的条件。 ( 二) 土地成本价格的不断上升直接导致了房地产整体价格的走高。居民购 买力及购房热情增加，但土地是有限的，是不可再生的资源，就出现了资源短缺 的现象，需求的快速增加，必然会导致供需矛盾加大。近年来政府在加强土地总 量调控，合理确定开发规模上采取了有关措施，土地供应方式发生了变化，土地 交易价格随之上升。 ( 三) 全国房价一片涨声。随着城市基础设旌不断完善，居住环境逐步改善， 出现了全国各大城市房价一路攀升的景象。天津周边城市房价上涨过快，特别是 第一章天津市房屋销售市场 北京房价上涨幅度高于天津房价许多，一定程度推动了天津房价的上涨。 ( 四) 近几年，部分居民追求购房一步到位，加大了大户型住房的需求；开发 企业为追求利润最大化，也加大了高档楼盘的开发力度。大户型高档楼盘集中上 市，也拉高了全市房屋销售均价。同时经济适用住房建设不能满足居民，增加了 对市场商品住房的需求，也影响到房价上涨。 ( 五) 在房价不断上扬刺激下，人们盲目跟风购房、提前购房和恐慌性抢购 住房，造成长期积聚的购买力在短期内集中释放和未来几年的购买力大量透支。 为赚取更多利润，个别开发商在楼盘已具备预售条件的情况下有意推迟开盘或提 前封盘，制造销售一空的假象，刺激人们抢购欲望。 ( 六) 各方资金涌入。国家有意调整固定资产投资的结构，抑制一些产能过 剩行业的投资得到抑制，像电力、热力的生产和供应有所回落，纺织业、煤炭的 开采洗选业等等一些产业投资的增速都在回落。使得国内固定资产投资的结构 得到改善。 另外金融系统资金流动性过剩一直是支持固定资产投资不断增长 的重要因素，随着中国加入世贸组织，中国的市场不断加大开放的程度，有大量 的国际基金及投资商进入国内寻找投资机会。 1 5 天津市房地产未来走势 天津的滨海新区是继深圳经济特区、浦东新区之后，又一带动区域发展的新 的经济增长极。经过十多年的发展，天津滨海新区的综合实力不断增强，服务功 能进一步完善，在这期间，滨海新区乃至天津吸收了大量来自国内外的资金投 入，同时也进了房价上涨。2 0 0 6 年6 月，国务院下发关于推进天津滨海新区开发 开放问题的意见明确了天津滨海新区的功能定位是：依托京津冀、服务环渤海、 辐射”三北”、面向东北亚，努力建设成为我国北方对外开放的门户、高水平的现 代制造业和研发转化基地、北方国际航运中心和国际物流中心，逐步成为经济繁 荣、社会和谐、环境优美的宜居生态型新城区。可以说，滨海新区乃至天津迎来 历史上的最好发展时机。天津的房地产发展必将会迎来一轮新的高潮。 天津作为奥运承办城市之一，竞争力将大幅度提高，预计n 2 0 0 8 年天津市住 宅消费总额预计将达至w j 6 9 7 亿元。受奥运因素影响，至u 2 0 0 s 年天津市所有基础性 建设项目将全面完工而且年度内将不再开工新项目，为期一年的供应空挡会使市 场供需总量有较大范围的波动。因此，可以说从现在至u 2 0 0 s 年天津的房地产市场 还要面临价格上涨的局势，但是幅度可能会受到控制。对于房地产行业来说，只 有将企业的长远发展与社会根本利益结合起来，才能够真正赢得”国民经济支柱 行业”的地位和声誉。 第二章时间序列理论 第二章时间序列理论 在上世纪二十年代，时间序列才开始作为现代数据的处理方法之p 1 ，6 0 年 代后期，时间序列分析在谱分析、谱估计( 参见文献【4 】【5 】) 方面取得突破性进展 之后，使其得到了迅速的发展，时间序列与控制理论归1 结合，给时间序列赋予的 更多的内容，使之成为处理数据的一个有效的方法1 7 1 。 我国对时间序列分析的理论研究和应用研究在起步较晚，但在上十八十年代 后期也取得了一些成绩，解决了现代化建设中的一批实际问题。 时间序列分析作为概率统计学科中应用性较强的一个分支，在金融经济1 8 】、 气象水文、信号处理、质量管理、电气工程、管理工程和工程技术方面1 1 叫等都有 极其广泛的应用。 2 1时间序列 2 1 1时间序列的分类 连续时间序列与离散时间序列 用连续记录仪所记录的数据称之为连续时间( c o n t i n u o u st i m e ) 序列。与其 相对的，以某段时间为间隔观测到的数据成为离散时间f d i s c r e t et i m e ) 序 列。离散时间序列又可分为均等间隔( e q u a l l y - s p a c e d ) 的离散时间序列和不 等间隔( l e q u a l l l y s p a c e d ) 的离散时间序列。 一元时间序列与多元时间序列 对应于每个观测时刻，只有一个数据，则该序列被称为一元( u n i v a r i a t e ) 时 间序列。反之，对应于每个观测时刻，同时有两个或两个以上的数据，则该 序列被称为多元( m u l t i - v a r i a t e ) 时间序列。 平稳时问序列与非平稳时间序列 时间序列随时进的推移会产生规则的变化，但是这种无规则的变化，在 时间分析中是可以通过统计模型与以表达的。从表面上看无规则的变动， 实质上是可以视之为是受某种不变的概率系统所制约的，称这种有规律 的无规则变动的时间序列为平稳( s t a t i o n a r y ) 时间序列。与之相对的，称 那些围绕均值变动的随机扰动是随时间变化而变化的时间序列为非平稳 的( n o n s t a t i o n a r y ) 。 高斯型时间序列和非高斯型时间序列 第二章时间序列理论 服从正态分布( 高斯分布) 的时间序列，称为高斯型( g a u s s i a n ) 时间序列， 否则就称为非高斯型( n o n g a u s s i a n ) 时i h - 序列。对于一些非高斯型的时间 序列可以进行适当的变换，使其成为高斯型时间序列。 线性时间序列和非线性时间序列 称能以线性模型描述的时间序列为线性( 1 i n e a r ) 时间序列。不能以线性模型 表达，必须以非线性模型性描述的时间序列，称之为非线性( n o n l i n e a r ) 时间 序列。 欠测值和异常值在时间序列中，存在着因各种原因，使数据没有被记录下 来，称这些没能记录的数据为欠测值( m i s s i n gv a l u e ) 。另外，在时间序列中， 由于观测对象本省状态的一场或者观测、记录装置一时发生故障，会使得 观测数据出现明显异常。称这些明显异常数据为异常值( o u t l i e r ) 。如，在时 间序列图中，曲线有突然像上突起或向下凹陷的点。 时间序列是按照时间序列取得的一系列观测值。时间序列一个典型的特性就 是一一相邻观测值的依赖性。而这种依赖性特征对实际问题的描述及数据预报 都是有重大意义的。我们利用这种依赖性对数据进行分析| 1 1 1 1 1 2 1 。 2 1 2 时间序列相关概念 所谓时间序列就是指，按时间次序排列的观测值集合，按照研究的现象或问 题的不同，可以得到各种不同步长，不同指标的的时间序列【1 3 】【14 1 。如气象学家关 心某地区的日降水量数据，我们可以得到该地区日均降水量数据；股票市场中， 经济学家和投资者可能会关心股票的实时报价【12 1 ；我们就会得到实时的股票价 格的序列；在电气工程学方面，电气工程师关心电子接收器的脉冲数据，可能会 得到脉冲序列；等等。 定义2 1按时间次序排列的随机变量序列 x 1 ，尥， 称为时间序列( 参见文献【”1 1 5 1 1 6 1 ) 。 如果用 x l ，x 2 ，z n ( 2 1 ) ( 2 - 2 ) 第二章时问序列理论 分别表示随机变量x 1 ，尥，的观测值，就称式( 2 2 ) 是时间序列式( 2 一 1 ) 的n 个观测样本。这里n 是观测样本中观测值的个数。如果用 z 1 ，x 2 ，( 2 - 3 ) 表示x l ，x 2 ，的一次观测值，就称式( 2 3 ) 是式( 2 - 1 ) 的一次实现或一条轨迹道。 定义2 2称如下关于t 的函数地( ：i f - 在且有限) 为时间序列咒的均值函数 ，+ 肌= e ( x t ) = x d f t ( z ) ，t t ( 2 - 4 ) ，一 其中最( ，) 为随机变量k 的分布函数【1 8 1 。 称二元函数7 ( s ，t ) ( 存在且有限) ，十，i 十0 0 7 ( s ，t ) = e ( 咒- i t 。) ( 配一肌) = ( z p 。) ( 一t a ) d f 。，t ( z ，y ) ， s ，t t ( 2 5 ) 为随机变量咒的自协方差函数f 19 1 ，其中其中r ( ，) 为二维随机向量( 咒，五) 的联 合分布函数。 称二元函数p ( s ，t ) ( 存在且有限) p ( s ，丢) = ，y ( s ，) 钙西丽，s ，t t ( 2 - 6 ) 为随机变量x 。的自相关函数【2 0 1 。 定义2 3时间序列五，如果五有有穷的二阶距且满足以下条件： ( 1 ) 对任意t n ，e ( x ) ； q 后，取易= 0 。对于式中的最后一式，分别 令k = p + l ，p + 2 ，p + q ，且p + q = p ，写成矩阵形式有： ，k 。、 吲 3 4 平稳时间序列的预报 最优先性预报 根据时间序列观的历史观测值x t ，轧1 ，砚一n 对未来时刻+ f ( z 为正 整数) 时的取值x t + l 进行估计，称为对时间序列进行步预报。所得的估计值记 为龟( z ) ，称为缸+ f 的预报值或的步预报值1 3 1 1 。既然是根据样本缸，z t 一1 ，x t - n 所 提供的信息来确定的，自然想到应将玩( 2 ) 表示为既，玩一1 ，x t - n 的某个函数 磊( z ) = 妒( 钆，x t 一1 ，兢一n ) 称为预报函数。这样求预报公式的问题就变成确定预报函数的具体表达式的问 题。 设x t ，t = o ，4 - 1 ，是线性平稳时间序列，满足 且 磊= e 器o r j a t j t r o = 1 ( 3 - 1 ) e j o 7 r j l ，r ( b ) = 函乃q b i 1 ( 3 - 2 ) 0 0 l o 1 卸 、lillliij， 以如；如 ，。一 、l一、 1 2 p铀铀；易 一 一； 口 o o ； 晰 。厶； m 0 一 易? 二 ，。一 第三章房价模型参数估计的方法 a t 为白噪声序列，e a t = 0 ，e a ；= 仃2 0 e ( z ) = 轨+ f 一 f = ) - ? j l - ；1 。7 1 j 吼+ f j y n r ( ( 2 ) ) = e e 2 ( z ) = 仃2 厶r 、j - ：1 0 w j 2 1 7 一 ( 3 - 6 ) ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) 第三章房价模型参数估计的方法 特别的，对一步预报有 e ( t ) = 毗“一 t v a r ( e t ( 1 ) ) = 仃2 q l - ：1 0 乃砚“一j ( 3 - 9 ) 由( 孓9 ) 式可知，z 步预测误差方差只与预报步长2 有关，而与预报起点无关，具有 这种性质的预报称为平稳预报。随着步长l 的增加，y o r ( e ( 2 ) ) 会越来越大，表明预 报的准确性降低，这当然是符合常理的。但当f o 。时，预报方差不会无限制的 增大，而是趋于 这时预报 盯2 蕊弓= 3 o ( 3 1 0 ) 玩= 函巧以一，( 1 一) ( 3 1 1 ) 是x t + l 的数学期望。这表明当步长f 过大时，预报已无多大意义，取序列本身的期 望作为预报即可。 由( 3 _ 7 ) ( 譬8 ) ( 孓1 0 ) 式有 磊+ 1 一磊= 7 r t a t + 1 = 7 r t ( x t + 1 一磊( 1 ) )( 3 - 1 2 ) 这样我们得到了如下的递推公式 磊+ 1 = 磊+ 1 + 7 r t ( x t + 1 一玩( 1 ) ) = 南+ l 一巩龟( 1 ) + 死磊+ 1 ) ，z 0 这一公式表明，在t + l 时刻的2 步预报值为t 时刻的1 + 1 步预报值再加上t 时刻的一 步预报的权这一修正项。如果把t + 1 时刻的观测值及预报值称为“新”的，而 把t 时刻的预报值称为“旧”的，则上式表明，“新”的预报值可由“旧”的预报值 及“新的观测值得到，因此它称为递推预报公式。 用无穷阶自回归形式的预报公式 由( 3 - - 4 ) 式知，x t + l 可表示为如下无穷阶自回归形式p 引： x t + l 。一器。奶a t + t j + a t + t = 乏猫奶毗州一j + 器f 奶a t + l j + a t + t = j l - ：1 0 奶砚+ f j + ；吕饥+ z n t 一七十a t + t 第三章房价模型参数估计的方法 则既+ 2 ( 1 o ) 关于现，x t - - 1 ，的最优线性预报为 磊= 豆( z 蚪fj l ( x 。，娩一1 ，) ) 豆( 一弓l - ：1 0 奶州i l ( 现，觑一1 ，) ) = e ( - 2 震_ - o c k + t a t kj l ( x t ，x t 一1 ，) ) + e ( 砚+ t l l ( x t ，x t 一1 ，) ) 由于砚“上l ( x ，观一1 ，) ，故有 e ( 毗+ t l l ( x t ，x t - 1 ，) ) = e ( a t + _ fj l ( a t ，a t 一1 ，) ) = 0 又由( 3 _ 5 ) 式知器o c t + j a t + t j 均方收敛，从而 e ( 一函咖+ l c k - jj l ( x t ，x t 一1 ，) ) = 一器z 咖砚+ 一j 于是，由线性最小方差估计的线性性有 2 = 一；= 奶磊( f j ) 一”+ j 一= 1 l l p j “x t + l - j ( 3 _ 1 3 ) ( 3 - 1 3 ) 式即为孔“( f 0 ) 关于觑，x t 一1 ，的无穷阶自回归形式的预报公式。 注意至u ( 3 - - 1 3 ) 式中的磊( z 一歹) ，j - 1 ，2 ，? 一1 也是觑，x t - - l ，的线性组 合，所以可令 磊= 一骂1 妨z 件l j ( 3 - 1 4 ) = 弩，一踹砒 l 1 ( ) 、妨”= 奶， p 埘 将( 3 1 4 ) 式代入( 3 - 1 3 ) 式是线性过程无穷阶自回归形式的预报公式的另一种形 式。 当f = 1 时，由( 孓1 4 ) 或( 3 1 3 ) ，( 3 - 1 5 ) 式均可得到 ( 1 ) = 一器l 奶z 件1 0 可见一步预报公式特别简单，并且一步预报误差仍为 e ( 1 ) = x t + l 一 l = 吼+ l ( 3 一1 6 ) ( 3 1 7 ) 需要指出的是，( 3 - 1 3 ) ，( 冬1 6 ) 只是从理论上形式的给出了预报公式，用它 们进行平稳预报还有困难。因为在实际问题中，只能得到有限个数据。而预报 第三章房价模型参数估计的方法 公式中要求知道时刻的数据。但观察公式，发现比如( 3 - 1 6 ) 式，由于是级数收敛 的，必然有1 i i 码。奶，并且只要t 充分大，尾项一器t + i c j t t + i j 就很小，去掉它， 对z t ( 1 ) 的影响并不大，通常取为o 就可以了。 第四章建立房地产价格模型 第四章建立房地产价格模型 从天津市近几年的房地产经济来看，并非是直线上升的发展，而是波浪式前 进的，这种起伏波动是呈现一定的规律性的。为此我们可以建立一个模型来拟合 并预测未来一段时间的房地产的平均销售价格。 4 1 初看数据 数据是1 9 9 1 至2 0 0 6 年共十六年房地产平均销售价格，共1 9 2 个数据。图缸 1 是1 9 9 1 年至2 0 0 6 年，十六年房地产平均销售价格，从图中可以看出1 9 9 1 年 至2 0 0 1 年这十一年间房屋价格走势较为平稳，只在1 9 9 3 年中价格有过几次跳 跃式上升，分别出现在3 月，7 月和1 0 月。1 9 9 3 年是历史上房地产发展最快的时期 之一，开发投资额较上一年同比增加了6 8 。 图4 2 是2 0 0 2 年至2 0 0 6 年，近五年间房地产平均销售价格。从图中可以看出， 自2 0 0 2 年以后，房地产市场进入了振荡上升的阶段。 下面我们对数据进行建模前的预处理。 4 2 数据的预处理 1 剔除趋势部分。 通过观察时间序列图我们可以发现，该序列是非平稳序列，且含有趋势部 分，即非平稳的部分。我们首先利用m i n i t a b 软件，对数据进行初步的分析。 定义以下标准， m a p e ：平均绝对值的百分误，度量拟合的时间按序列的精确性。以一个百 分数表示精确性： 图4 11 9 9 1 年至2 0 0 6 年房屋平均售价时间序列 第四章建立房地产价格模型 图奎22 0 0 2 年至2 0 0 6 年房屋平均售价时间序列 m a p e ：垦也剑1 0 0 ( 轨o ) 凡 其中既为周期t 的实际值，磊为拟合值，1 1 为观测值的个数。 m a d ：平均绝对差，度量拟合的时间按序列的精确性。以与数据相同的单 位表示精确性，可以有助于概念化表达误差量： ，“n 一冬1 i x t 一磊im a d = = 堡! 一_ = 型 礼 其中现为周期t 的实际值，磊为拟合值，n 为观测值的个数。 m s d ：平均方差，计算时常用相同的分母，1 3 ，忽略模型。m s d 较m a d 而言 是一个对不正常的大预测误差更为敏感的度量( 上表中并没有使用到该度量) ： m s d ：兰垒! ! 旦二亟e 扎 其中观为周期t 的实际值，磊为拟合值，n 为观测值的个数。 s ：残差平方和， ：残差平方和， s = 1 ； = 再暑。? = 南 其中，e 。是第t 个周期真值与拟合值的残差，即白= 觑一磊。 第四章建立房地产价格模型 1 2 m i n i t a b 拟合的线性趋势方程为 x t = 7 5 5 3 + 1 5 7x t 精确度量度为 m a p e1 2 m a d2 7 2 平均偏差平方和1 1 7 7 8 7 m i n i t a b 拟合的二次趋势方程为 五= 1 1 0 4 8 + 4 9 2xt + 0 0 5 6 0 0x t 2 精确度量度为 m a p e1 4 2 m a d2 6 2 9 平均偏差平方和 9 4 1 1 6 6 通过比较，我们发现两个模型的m a p e 和m a d 都很大，又由于1 刍2 0 0 2 年以 后，房屋售价明显与先前的变动趋势不同，所以我们以2 0 0 2 年为分界点，分为十 一年与五年两个阶段，拟合模型如下： 前十一年： 1 m i n i t a b 拟合的线性趋势方程为 x t = 9 8 2 9 +