（计算机应用技术专业论文）小波混沌神经网络研究及其应用.pdf

哈尔滨理f t 入学工学硕士学位论文 小波混沌神经网络研究及其应用 摘要 人工神经网络是为研究人类的认知过程而发展起来的，它的中心问题是面 向研究对象的机器学习方法与学习机器的构造问题。 混沌现象是非线性确定性系统的一种内在随机过程的表现。混沌系统是一 种非线性动力学系统，而h o p f i e l d 结构可以实现神经网络与非线性动力学行为 的良好结合，因而它可以作为研究混沌神经网络的网络结构模型。 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应 用广泛的双重意义。与f o u r i e r 变换相比，小波变换是时间( 空间) 频率的局部化 分析，它通过伸缩平移运算对信号( 函数) 逐步进行多尺度细化，能自动适应时 频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。 对混沌神经网络输出函数做更深入一步的研究，系统地介绍混沌特征、混 沌神经网络基本特性，研究混沌神经网络的构造方法和特点以及在组合优化领 域的应用。 在前人研究的基础上，提出一种新的小波混沌神经元，即墨西哥帽小波混 沌神经元，其激励函数是由墨西哥帽小波( m e x i c a n h a t w a v e l e t ) 函数和s i g m o i d 函数的组合，并对神经元的混沌特性做相关的研究。基于此神经元，提出墨西 哥帽小波混沌神经网络，其结合小波、混沌以及神经网络的优势，使其在全局 最优的搜索上更有优势，在函数逼近上的能力也更强。研究其在组合优化和混 沌时间序列预测方面的应用，并对其应用进行仿真，结果发现其组合优化能力 和函数逼近能力都强于暂态混沌神经网络。 关键词混沌神经网络；混沌；小波分析；组合优化；混沌时间序列 哈尔滨理丁大学工学硕上学位论文 r e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o n o ft h ew a v e l e t c h a o t i cn e u r a ln e t w o r k a b s t r a c t t 1 1 ea r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r kh a sb e e nd e v e l o p e df o rr e s e a r c h i n gt h e e o n g n i t i v ep r o g r e s so fh u m a n ，t h ec e n t r a li s s u e sa r et h em a c h i n gl e a m i n gm e t h o do f 0 b j e c t o r i e n t e dr e s e a r c ha n dt h es t r u c t u r a lp r o b l e m so fl e a r n i n gm a c h i n e t i l ec h a o si sab e h a v eo fi n t r i n s i cr a n d o mp r o c e s si nn o n l i n e a r u n c e r t a i ns y s t e m ， t h ec h a o t i cs y s t e mi san o n l i n e a rd y n a m i c ss y s t e m ，a n dt h es t r u c t u r eo fh o p f i e l dc a l l c o m b i n et h en e u r a ln e t w o r ka n dt h eb e h a v i o ro ft h en o n l i n e a rd y n a m i c ，s oi tc a nb e u s e da st h en e t w o r ka r c h i t e c t u r em o d e lt or e s e a r c ht h ec h a o t i cn e u r a ln e t w o r k ，n l ew a v e l e ta n a l y s i si sar a p i dd e v e l o p i n gn e wf i e l do fm a t h ，a l s oh a sd o u b l e m e a n i n gi np r o f o u n dt h e o r ya n dw i d er a n g ea p p l i c a t i o n c o m p a r e dt ot h ef o u r i e r t r a n s f o r m ，t h ew a v e l e tt r a n s f o r mi sal o c a la n a l y s i so ft i m e ( s p a c e ) f r e q u e n c y t h r o u g ht h eo p e r a t i o no fc o m p a n d i n ga n do f f s e t ，i td o e sm u l t i s c a l er e f i n e m e n tt o s i g n a ls t e pb ys t e p ，a n di tm e e t st h en e e do ft i m e f r e q u e n c ys i g n a la n a l y s i s ，i tc a n f o c u so na n yd e t a i l so fs i g n a l w bd i dm o r er e s e a r c ha b o u tt h eo u t p u tf u n c t i o no ft h ec h a o t i c n e u r a l , n e t w o r k ，a l s oi n t r o d u c e dt h ec h a r a c t e r so fc h a o sa n dt h eb a s i cc h a r a c t e r so f t h ec h a o t i cn e u r a ln e t w o r k ，d i ds o m er e s e a r c ho nc o n s t r u c t i v em e t h o da n d c h a r a c t e ro ft h ec h a o t i cn e u r a ln e t w o r ka n d a p p l i c a t i o n i nc o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n b a s e do nt h ep r e v i o u sr e s e a r c h e s ，w ep r o p o s e dan e ww a v e l e tc h a o t i cn e u r o n ， i ta l s oc a l lb ec a l l e dt h em e x i c a nh a t 勺【v e l e tc h a o t i cn e u r o n i t sa c t i v a t i v ef u n c t i o n i st h ec o m b i n a t i o no fm e x i c a nh a t e l e tf u n c t i o na n ds i g r n o i df u n c t i o n ，a n dd i d s o m er e s e a r c ha b o u tt h ec h o a t i cc h a r a c t e r so ft h i sn e u r o n b a s e do nt h i sn e u r o n ，w e p r o p o s e dan e wn e u r a ln e t w o r kc a l l e dt h em e x i c a nh a t 鼢 e l e tc h a o t i cn e u r a l n e t w o r k ( m w c n n ) ，m w c n nh a st h es u p e r i o r i t i e so fw a v e l e t ，c h a o sa n dn e u r a l n e t w o r k ，t h a tc a nm a k ei tm o r ep o w e r f u lo ng l o b a lo p t i m u ms e a r c ha n do nf u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n w ba l s od i dr e s e a r c ha b o u ti t sa p p l i c a t i o n so fc o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o na n dc h a o t i ct i m es e r i e sp r e d i c t i o n , a n ds i m u l a t e di t sa p p l i c a t i o n s ，t h e s i m u l a t e dr e s u l t ss h o wt h a tt h em w c n n sa b i l i t i e so fc o m b i n a t o r i a lo p t i m i z a t i o n i i 哈尔滨理t 大学工学硕上学位论文 a n df u n c t i o na p p r o x i m a t i o na r em o r ep o w e r f u lt h a nt h et r a n s i e n tc h a o t i cn e u r a l n e t w o r k k e y w o r d st h ec h a o t i cn e u r a ln e t w o r k ，c h a o s ，t h ew a v e l e ta n a l y s i s ，c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n ，t h ec h a o t i ct i m es e r i e s - i i i - 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文小波混沌神经网络研究及其 应用，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研 究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表 或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：涨辛平日期：砌窄年月加日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 小波混沌神经网络研究及其应用系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学 位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大 学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全解哈尔滨理 工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文 和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密厂 ，在年解密后适用授权书。 不保密畔 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：污队中华日期：渺尹年岁月劢日 导师签名：。丁幺i 浼日期：_ 柚7 年；月训日 哈尔滨理工大学工学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 神经网络的兴起是从2 0 世纪8 0 年代后期开始的，它是一个多学科、综合性 的研究领域，人工神经网络系统是极度复杂的非线性动力学系统，是迄今所知 功能最强、效率最高的最完美的信息处理系统，因此，很自然地成为非线性科 学研究的重要内容n 一1 。目前人工神经络网络已经被应用在多种领域，如模式识 别、智能控制、人工智能、知识工程，并已经取得相当大的成就。但是其自身 的局限性使全局最优值易于陷入局部极小值。 在预测中包括有经济预测，故障预测以及各种自然现象的预测等等。钢铁 业和煤气工厂等的异常诊断系统采用的是故障预测，针对被控对象中各部位的 压力和温度以及流量等数据进行见识，就判断其异常状态和原因。经济预测表 现在金融领域的股票价格预测和债券分析等系统上。自然现象的预测主要应用 于从地面震动的初期微动开始推断震动的强弱，以及天气方面的预测b 1 。 以混沌理论为代表的非线性系统理论，其研究与应用已经渗透到自然科学 和社会科学的各个领域，成为众多学科的研究前沿。非线性系统理论的发展也 为预测学的研究提供理论基础和契机。1 9 9 4 年3 月，英国皇家科学院专门举行“混 沌和预测 研讨会，来自不同领域的专家达成共识，认为混沌学在预测学上的 研究具有非常广阔的前景h ，。 近年来，许多科学工作者从不同的途经应用不同的模型和方法对时间序列 预测的问题进行深入的研究，取得一定的进展。然而，对于一些复杂的混沌时 间序列，我们对其内在的规律很难把握，采用一般的数学工具往往很难建立起 准确的非线性模型。在众多的预测模型中，人们通过广泛深入的研究和比较， 发现神经网络模型有着良好的预测性能，它能较好地解决非线性时间序列的建 模和预测问题，进而受到越来越多的重视喊引，因此，研究混沌神经网络及其非 线性预测意义重大。 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应 用十分广泛的双重意义。小波( w a v e l e t ) 这一术语，顾名思义，“小波”就是小的 波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波则是指它的波动性，其 振幅正负相间的震荡形式。与f o u r i e r 变换相比，小波变换是时间( 空间) 频率的 哈尔滨理工人学t 学硕士学位论文 局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号( 函数) 逐步进行多尺度细化，最终达 到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而 可聚焦到信号的任意细节，解决f o u r i e r 变换的困难问题，成为继f o u r i e r 变换 以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜 。 因此，把小波引入混沌神经网络已成为当今研究热点，引入小波函数到混 沌神经网络，势必提高混沌神经网络的函数逼近能力和全局寻优能力。 1 2 混沌神经网络的研究现状 1 2 1 神经系统与混沌 神经网络理论是巨量信息并行处理和大规模平行计算的基础，神经网络既 是高度非线性动力学系统，又是自适应自组织系统，可用来描述认知、决策及 控制的智能行为。它的中心问题是智能的认知和模拟，从解剖学和生理学来看， 人脑是一个复杂的并行系统，它不同于传统的n u e m n n a 式计算机，更重要的是 它具有“认知、“意识 和“感情等高级脑功能1 。以人工方法模拟这些 功能，毫无疑问，有助于加深对思维及智能的认识。 然而，由于人类对真实神经系统只解非常有限一部分，对于自身脑结构及 其活动机理的认识还十分肤浅，当今的神经网络模型实际上是极为简略和粗糙， 并且是带有某种先验的。毫无疑问，人工神经网络的完善与发展有待于神经生 理学、神经解剖学的研究给出更加详细的信息和证据。 神经细胞是可兴奋性细胞，即在外界刺激下状态可发生显著变化的细胞。 神经元是由细胞体、轴突和树突组成。1 9 5 2 年，英国生物学家a l h o d k g n i 和 a e h u x e l y 对长枪乌贼的巨大轴突进行大量实验和分析，建立描述神经轴突电 位变化的四个变量的微分方程，即h h 方程，并获得诺贝尔生理医学奖。h h 方程引起许多学者的关注，通过对此方程的研究得到许多有意义的结果，例如 发现神经膜中所发生的非线性现象：自激振荡、混沌及多重稳定性等。还有一些 学者通过研究以轴突为代表的各种可兴奋细胞在不同条件下的电位变化情况， 发现在周期外力的作用下，神经轴突和丽藻均可以震荡甚至出现混沌；还发现， 可兴奋细胞在适当条件下( 如浸入适当的盐溶液中) 可自行振荡或出现混沌。 目前，人类关于脑整体的测量研究做得最多的还是脑电图e ( e g ) 。研究主 要表现在两个方面，一方面是脑电波的研究，即用表面电极测定脑活动的宏观 空间平均量，另一方面是用微小电极测定微观的单个神经元的膜电位。前者是 哈尔滨理t 大学丁学硕上学位论文 通过脑电波数据的相关维数的分析来表明混沌的存在，后者则是通过一些直接 的分析来表明在一定条件下神经元会产生混沌现象。科学家们已经证明混沌是 神经系统的正常特征哺一。有人甚至认为，思维过程也许就存在于混沌和有序的 边界上。 混沌与神经计算具有一些共同的特征，这就是系统的非线性和状态的模拟 性。脑神经系统是由非线性神经元组成的复杂系统。人工神经网络是生物神经 网络结构和功能的模拟，神经网络和混沌相互融合的研究始于2 0 世纪9 0 年代， 发展很快。其主要研究目标是弄清大脑的混沌现象，建立含有混沌动力学的神 经网络模型，并用之于智能信息处理。从而，混沌动力学为人们研究神经网络 提供新的契机，用神经网络研究或产生混沌以及构造混沌神经网络成为摆在人 们面前的又一新课题。 1 2 2 神经网络产生混沌的方法 混沌是非线性系统中产生的现象，具有确定性但却是不可预测的奇妙特征。 混沌被发现于诸多生物的脑神经系统中，这也暗示着混沌在生物体中起某些本 质作用的可能性。2 0 世纪9 0 年代，人们开始对神经网络与混沌互相交融的研 究，研究表明，混沌理论可以用来理解脑中某些不规则的活动，从而混沌动力 学为人们深入研究神经网络提供新的机遇。人工神经网络是对生物神经网络结 构和功能的模拟，作为在人工神经网络中产生混沌的方法，有以下几种n 0 1 ： 1 对于一个神经元结合的权值数增加限制，来强制性使网络不稳定的方法。 2 把神经元的动力学方程式做成二次系统，并且将非线性导入的方法。 3 应用混沌神经元的方法。 1 2 3 混沌神经网络模型 一些学者提出多种类型的混沌神经网络模型，例如：a i h a r a 等提出的混沌神 经网络模型1 ：h s u 等提出的p w l n 型混沌神经网络模型n 引；k u s h i b e 等提出的 能非周期地联想记忆图案的混沌神经网络模n3 1 引：i n o u e 利用振荡子构成的混沌 神经网络模型n 5 1 引；h a y a k a w a t 吏用混沌噪声发生器构成的混沌神经网络n ：s h u a i 等提出的非单调转换函数的混沌神经网络模型n 引；w a n g 提出的在改变工作条件 下的混沌神经网络n 9 1 ；f r e e m a n 提出的嗅觉混沌神经网络k 系列模型他们。 虽然混沌神经网络有很多种，但是存在一个很大的问题，就是目前混沌神 经网络没有一定的规范和统一标准。 哈尔滨理工大学工学硕l 学位论文 1 3 小波神经网络的研究现状 1 3 1 小波神经网络的发展 神经网络理论的一个重要的发展就是与小波分析、混沌理论及模糊集等非 线性理论相结合。 p a t i 和k r i s h n a p r a s s a d 最早研究小波变换和神经网络之间的关系，提出离散仿 射小波模型网络。其基本思想是将离散小波变换引入神经网络模型，通过对 s i g m o i d 激发函数的伸缩平移构成r ( 尺) 中的仿射框架，进而构造小波神经网络。 1 9 9 2 年小波神经网络的概念被正式提出，用小波伸缩和平移得到的小波元函数 作为神经元的激发函数，用随机梯度算法对网络进行对网络进行训练以实现对 函数的逼近。随后，s z u 等又提出基于连续小波变换的两种自适应小波神经网络 模型。一种用于信号表示，偏重于函数逼近；另一种偏重于选择合适的小波进 行特征提取，而后与神经网络结合。1 9 9 3 年，r b a k s h i 提出多分辨小波网络的设 想。r b a k s h i 将尺度函数和小波函数共同应用于小波网络中，给出网络全局误差 和局部误差的指标。现在也有人用小波分析对信号进行预处理，即以小波空间 作为模式识别的空间，提取特征向量，而后送入神经网络处理乜。 由于小波神经网络既具有神经网络的自学习、自适应以及对非线性输入、 输出关系的任意逼近能力，又具有优越的小波分析的时频特征提取能力，使得 它成为人们十分关注的热门交叉学科，设计生物、电子、人工智能等多种科学 和技术，应用前景广阔。 1 3 2 小波神经网络的分类 目前，小波神经网络大致可分为以下两大类乜劓： 1 松散结构将小波分析作为常规的神经网络的前置处理手段，为神经网 络提供特征向量，二者虽然彼此紧密相连，但又相对独立。其结构如图1 1 所 示。 2 紧密结合将小波和神经网络直接融合的方式，即将常规单隐层神经网 络的隐藏节点函数由小波函数代替，相应的输入层到隐层的权值及隐层阈值分 别由小波函数的尺度与平移参数所代替。其结构如图1 2 所示。 这两大类的主要不同点是小波函数和激励函数结合的方式，第一类是小波 函数和激励函数分开设置，而第二类是小波函数和激励函数融合。 哈尔滨理工大学t 学硕士学位论文 常 菏入 小规 - 波神 变经 换网 络 图1 - 1 松散结构小波神经网络 f i g 1 1t h el o o s es t r u c t u r eo ft h ew a v e l e tn e u r a ln e t w o r k 图1 2 紧密结合小波混沌神经网络 f i g 1 - 2t h ew a v e l e tn e u r a ln e t w o r ko fi n t e g r a t e ds 仃u c m r e 1 4 本论文的主要研究内容 本论文在简要介绍混沌神经网络和小波神经网络的基础上，对现有的混沌 神经网络与小波分析相结合的小波混沌神经网络进行分析和仿真研究。探讨他 们的混沌特征和产生混沌的条件，以及小波混沌神经网络对非线性系统和混沌 系统的逼近能力，并寻找构成小波混沌神经网络的新方法，并应用这种网络解 决实际问题。 论文主要分以下几部分： 1 阐述本论文研究的背景及其意义，介绍混沌神经网络以及小波神经网络 的研究现状，简要介绍混沌神经网络和小波神经网络的分类方法。 2 介绍动力学系统的基本概念和分析方法。首先介绍动力学系统和混沌运 哈尔滨理工大学t 学硕上学位论文 动的概念，然后介绍通往混沌的道路以及混沌系统的分析方法，并对l y a p u n o v 指数分析方法进行深入探讨，着重介绍如何用小数量法计算最大l y p a u n o v 指数。 3 探讨当今几种主要的混沌神经网络，分析它们的混沌动力学特性。 4 探讨小波分析的理论；研究怎样把小波函数引入，提出自己的小波混沌 神经元模型，并要分析其混沌特性和参数的关系；在此神经元的基础上提出自 己的小波混沌神经网络。 5 研究自己提出的小波混沌神经网络在t s p 和股票预测方面的应用，得出 仿真结果要和暂态混沌神经网络在这两方面的应用进行比较。 6 - 哈尔滨理工火学t 学硕上学位论文 第2 章混沌及其基本概念 混沌( c h a o s ) 是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附 加任何随机因素亦可出现类似随机的行为( 内在随机性) 。混沌系统的最大特 点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来 行为是不可预测的。因此，混沌是一种关于过程的科学而不是关于状态的科学， 是关于演化的科学而不是关于存在的科学幢引。 2 1 混沌动力学的基本概念 2 1 1 混沌的定义 1 9 7 5 年美国数学月刊上发表一篇短文周期3 蕴涵着混沌，第一次 引入“混沌 ( c h a o s ) 概念位劓，该文指出，对于闭区间上连续函数f ( x ) ，如果满 足下列条件，则称为有混沌现象。 定义2 1 设f ：x x 是连续映射，x 是紧的度量空间，且厂的周期集 p ( f ) = n ，又存在s oc x - p e r ( f ) ，满足： 1 1 i m s u p d ( f “( x ) ，f ”( j ，) ) o ，v x ，y s o ，x y 2 1 i m i n f d ( f ”( x ) ，f “( y ) ) = 0 ，v x ，y s o 3 1 i m s u p d ( f ”( x ) ，f ”( p ) ) 0 ，v x s o ，v p p e r ( f ) 则称& 是混沌集合，厂称为x 上l i - y o r k e 意义下的混沌，其中d ( ，) 是x 上定 义的距离，n 厂( 厂) 是厂的周期点的集合。 文中还指出，如果f ( x ) 有周期3 ，则上述条件便得以满足，从而指出周期 3 蕴涵着混沌。 l i y o r k e 定理设有连续单峰映射f ：i 专icr ，存在口，使得b = 厂 ) ， e = 厂( 6 ) ，d = 厂( c ) 且d a b c 或( d a b c ) 则映射厂按l i y o k r e 定义是 混沌的。 混沌的定义方式有很多种，尽管逻辑上并不一定等价，但本质上是一致的。 下面给出一种更直观的定义。 定义2 2 设y 是一个紧度量空间，连续映射f ：v j v 如果满足下列三个条 件： 1 对初值敏感依赖：存在艿 0 ，对于任意的s 0 和任意z g ，在x 的s 邻 哈尔滨理工大学工学硕上学位论文 域内存在y 和自然数聆，使得d ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) 万； 2 拓扑传递性：对于y 上的任意一对开集x ，】，存在k 0 ，使 f ( x ) m r 矽； 3 厂的周期点集在矿中稠密。则称厂是在d e v a n e y 意义下v 上的混沌映射 或者混沌运动。 2 1 2 混沌运动的相关概念 1 不动点( f i x e dp o i n t ) 对查分方程k + ，= 厂( 以) ( 其中状态变量以r ”) 而言，满足e = 厂( 以) 的点称为不动点。不动点又叫平衡点、静止点、奇点、 临界点。 2 拓扑可迁( t o p o l o g i c a l l yt r a n s i t i v e ) 满映射厂：1 哼i ，如果对于任意的一 对开集u ，yt 2 7 1 ，存在k 0 ，使f ( x ) ny ，其中满足x = f o ( x ) 、 厂”( x ) = f ( f ”1 ( x ) ) 。则称满映射厂是拓扑可迁的。 直观上讲，对于具有拓扑可迁性的映射，经过有限次的迭代后，定义域中 的任意两个开集均会相交。因此，该映射的定义域不可分解为两个子集，该两 个子集在厂的作用下是互不相关的。这一性质简称为“不可分解性 。 3 初值敏感性( s e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n s ) 满映射厂：i 专i ， 对任意的x i ，任意的x 的邻域，存在y n ，整数门0 ，以及小量艿 0 ， 使i f ”( x ) 一f ”( 即i 万，则称满映射厂具有初始值敏感性。 直观上讲，具有初值敏感性的映射，对其定义域中的任意一点及其附近的 一点出发的轨道，经过有限次的迭代后，两条轨道之间的最大距离可以大于万。 一般来说，两条轨道之间距离以指数规律分离。 4 吸引子( a t t r a c t o r ) 指相空间中的一个点集或一个子空间，随着时间的流 逝，在暂态消亡之后所有的轨迹线都趋向于它，吸引子是稳定的不动点。 5 奇异吸引子( s t r a n g e a t t r a c t o r ) 指相空间中吸引子的集合，在该集合中混 沌轨道在运行。此吸引子不是不动点，又不是极限环，也不是周期吸引子，而 是具有分数维的吸引子。奇异吸引子又称为混沌吸引子( c h a o t i ca t t r a c t o r ) 。 6 分数维( f r a c t i o nd i m e n s i o n ) 维数是对吸引子几何结构复杂度的一种定 量描述。在欧氏空间中，空间被看成三维，平面或球面被看成二维，而直线或 取面被看成一维。不动点、极限环，以及二维环面等吸引子具有整数维数。而 混沌吸引子具有自相似特性，在维数上表现为非整数维数，即分数维。 考虑维相空间中的一个点集，设覆盖该点集所需边长为占的维立方体 8 哈尔滨理工大学下学硕士学位论文 的最小数目为即p ) ，定义该点集的维数为： d ：l i m l 0 9 2 n ( e ) 8 剐l 。9 2 ；1 7 映射( m a p p i n g ) 指某个力维空间里的一个点集变成另外一个点集。反复 执行这一规则，其效果类似于一组差分方程的迭代。 2 2 通向混沌的道路 2 2 1 倍周期分岔进入混沌 系统运动变化的周期行为是一种有序状态，它在一定条件下，系统经倍周 期分岔，就会逐步丧失周期行为而进入混沌。l o g i s t i c 模型就是一个典型的由倍 周期分岔进入混沌的系统。该模型是1 9 7 6 年生物学家m a y 为研究生物群体数目 与环境之间的相互作用而建立的，方程如下： + l = 厂( 矗，) = u x o - x ) ， 刀= 1 ，2 ， ( 2 1 ) 式中：为控制参数，0 4 ； 咒第拧代的相对群体数，咒【0 ，1 】。 容易计算系统的不动点为五= o ( 礁) ，置= l 一1 ( 彳点) 。 以下列举典型迭代结果及分岔到混沌的过程。 1 取【o ，1 】迭代：当在o 一1 之间时，任选一个初始值k ，迭代过程使 系统迅速稳定在一个不动点d ( 以= 0 ) 上不在发生变换。 2 取a 1 ，3 】迭代：迭代过程总是离开不稳定的不动点o 而趋向于稳定的 不动点a ，即系统有一个稳定的迭代结果。 3 取a 【3 ，3 5 6 9 9 4 5 6 7 2 迭代：迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔 开始。 其中在3 3 4 4 9 之间时，系统迭代的“终态 在两个确定值z 和z 之间 跳跃，这是周期2 解，朋= 3 是系统的第一个分岔点；在3 4 4 9 3 5 4 5 之间时， 周期2 的两个值又不稳定，各自产生出一对新的不动点，此时以在z 、z 、 z 、z 上跳动，这是周期4 解，从= 3 4 4 9 是系统变化的第二个分岔点。依次 类推，系统经过一系列分岔点“、鲍、乜直到心= 3 5 6 9 9 9 4 5 6 7 2 。 4 取【3 5 6 9 9 4 5 6 7 2 ，4 】迭代：迭代随着的增加，分岔越来越密，混沌 哈尔滨理工大学工学硕十学位论文 程度越来越高，此时分岔周期变为o o ，最后迭代结果趋向于无穷多的不同值， 表现出极大的随机性。而周期无穷大就等于没有周期，此时系统开始进入完全 的混沌状态。 2 2 2 阵发混沌道路 阵发性原指湍流理论中用来描述流场中在层流背景上湍流随机爆发的现 象，表现为层流、湍流相交而使相应的空间域随机地交替。在混沌理论中主要 是借助阵发性概念来表示时间域中系统不规则行为和规则行为的随机交替现 象。 阵发性混沌最早见之于洛仑兹模型托朝，然而较详细的研究均是在一些非线 性映射上作的。阵发性混沌与倍周期分岔所产生的混沌是孪生现象，凡是观察 到倍周期分岔的系统，原则上均可发生阵发性现象。 2 2 3r u e l l e t a n k e n s 混沌道路 这也是一条通往混沌的道路。它是由r u e l l ed 和t a n k e n sf 等人为取代 l a n d a uld 关于湍流的假设，针对他的论湍流问题，在合写的论湍流的 本质这篇论文中提出的。 当系统内有不同频率的振荡互相藕合时，系统就会产生一系列新的藕合频 率的运动，按照l a n d a uld 关于湍流发生机制的假设那么混沌( 湍流) 可视为无 穷多个频率藕合的振荡现象。由于这个假设最终仅停留在对湍流图像性的解释 上，无法解决流体在何时出现湍流行为，后来l a n d a uld 和t a n k e n sf 等人发 表对湍流现象的新看法，认为根本不需要出现无穷多个频率的藕合现象，甚至 只要出3 个互相不可公度的频率，系统就会出现混沌( 湍流) ，这就是r u e l l e t a n k e n s 道路。 总之，除上述三种通向混沌的道路之外，还有如准周期过程、剪切流转扳 等许多混沌产生的方式。 2 3 辨别混沌的方法 2 3 1 辨别混沌的方法 目前，主要采用四种方法来判断一个动力学系统是否为混沌系统，即 哈尔滨理工大学工学硕十学位论文 p o i n c a r e 映射和l y a p u n o v 指数、时域分析、频谱分析。下面简要介绍一下前两 种方法。 1 p o i n c a r e 映射( p o i n c a r em a p p i n g ) 法国数学家p o n i c a r e 利用几何的观点， 对非线性动力学系统进行深入的研究，总结出该方法。 定义2 3p o i n c a r e 映射设7 为刀维实空间尺”中非线性动力学系统戈= 厂( x ) 的某个流荔上f r o - 个闭合轨道，e 猷”为一个刀一1 维的超曲面，r f ( x ) 疗( x ) 0 对所有的x 皆成立，其中刀( x ) 是e 在x 处的单位法向量( 此时，称y 与 处的横截) 。设7 与有唯一的交点p ，uc 为p 的某个邻域。对 上的某个g 的p o i n c a r e 映射p ：u - - - 9 ：定义为： p ( g ) = 以( g ) ( 2 - 2 ) 其中，f = f ( g ) 是经g 点的轨线首次回到所需的时间。称罗为p o i n c a r e 截 面。 显然，p 点为p o i n c a r e 映射的一个不动点。同时，由p o i n c a r e 映射的定义 可知，p o i n c a r e 映射可由微分方程的通解来求得。 当系统的运动为极限环运动时，在p o i n c a r e 截面上简化为一个不动点；当 系统的运动为周期运动时，在p o i n c a r e 截面上简化为n 个点( 称为周期刀运动) ； 当系统的运动为非周期的混沌运动时，在p o i n c a r e 截面上则为沿一条直线段或 一条曲线弧分布着的点的集合。因此p o i n c a r e 映射可用来判断一个系统是否为 混沌系统。显然，它是一种比较直观的判断方法。 2 l y a p u n o v 指数目前，人们主要利用计算机计算，通过求取切l y a p u n o v 指数，来判断一个系统是否为混沌的。 由混沌的定义可知，混沌系统的一个特性是对初值具有敏感性，即从两个 相邻点出发的轨道，经过一段时间后，系统按指数规律迅速分离，l y a p u n o v 指 数就是用来表征系统的这种分离程度。对混沌系统而言，其指数为正的，也即 相邻的轨道迅速分离。对收敛系统而言，由于从相邻点出发的轨道，其距离逐 渐变小，最终变为一个点或一个极限环，因此，相应场l y a p u n o v 指数小于零。 l y a p u n o v 指数的具体计算将在下一节阐述。 2 3 2l y a p u n o v 指数的计算 一般说来，要想从理论上来证明一个动力学系统具有混沌吸引子的存在是 哈尔滨理工火学t 学硕+ 学位论文 非常困难的，而常用的方法通常是计算其l y a p u n o v 指数( l e s ) 谱，如果有正的 l e s ，即最大l y a p u n o v 指数( l l e ) 大于零，那就意味着这个系统是一个混沌系统。 计算动力学系统的l e s 主要分以下几种情况：1 由差分方程表示的离散动 力学系统；2 由微分方程表示的连续动力学系统；3 由时间离散信号序列给 出动力学系统；4 由时延微分方程给定的动力学系统。要准确地计算和估计混 沌吸引子的l e s 不是一件容易的事。若按定义来计算，则只对少数系统易于进 行，绝大多数系统只能用数值求解方法计算。此时若时间取得太短，则计算误 差大；而如取的时间长，就会出现溢出幢引，且时间取得过长，会因计算位的限 制使原本的混沌轨道变为周期轨道。关于l e s 的估算问题，目前虽然人们提出 许多算法馏n 舶棚1 ，但都存在一定的局限性。例如，w o l f 的轨线算法具有适用范 围广的优点，但估计精度不高，计算量大，所需的存储空间大，收敛速度慢， 很难付诸应用；而j a c o b i a n 方法则是噪声大。2 0 0 2 年6 月，g u a n r o n gc h e n 和 w e n b ol i u 在网上发起l e s 计算的讨论。实验结果表明，l e s 的估计在采用不 同的方法时，均存在一定的误差，而且有时误差会比较大啪3 1 瑚3 。 下面将给出l y a p u n o v 的一般理论和基于混沌序列预测的l l e 估算。 1 l y a p u n o v 的一般理论考虑一n 维离散动力系统( 或迭代系统) ： x ( 后+ 1 ) = 厂( x ( 后) ) ，x ( k ) r ”，k = o ，1 ，刀( 2 - 3 ) 式中，厂：r ”专尺”是一阶可微的，即f ( x ) c 1 ( r ”) 。 l y a p u n o v 指数指数定义如下： 定义2 4 一离散动力系统给定一点x r 疗，令o f ( x ) 为在该点的线性化 或j a c o b i 矩阵。假定有一串数 五五，使得下面各式成立 式1 ：巧。 ) ( ) 以； 式2 ：d i m v ；, = n + l - s ； 1 式3 ：以= ! i m l ，l nf | d f 。( x ) vl | ，v v - v ；- 1s = 1 ，2 ，刀； 托 那么五 = 1 ，2 ，行) 被称为厂的l y a p u n o v 指数谱( l y a p u n o ve x p o n e n t s ，l e s ) ， 为最大l y a p u n o v 指数( l e e ) 。 对于一维离散动力系统式( 2 - 3 ) ，l y a p u n o v 指数定义为 五：l i m k i 堑盟i( 2 - 4 ) n 蛐以。d x 设n 维微分动力系统为 膏= f ( x ，f ) ，x r ”，0 ( 2 - 5 ) 哈尔滨理工大学工学硕十学位论文 其中，向量场f 在r ”r 上光滑，式( 2 5 ) 在初始条件为x ( o ) = x o 时的解为 x ( ，) = t x o( 2 - 6 ) 在，= 0 时，初始条件扰动量为6 x o ，状态轨道随时间f 演化的变化量出的 一阶近似满足方程 万文= o ，、f 、 t ) 万x ( 2 7 ) 方程( 2 6 ) 可写成 6 x = 吒砜 ( 2 8 ) 其中，吒称为方程( 2 7 ) 的基本矩阵，并满足下列链式规则： 吣5 = 吒。吒 ( 2 - 9 ) 0 o 、 显然，微小的扰动融的渐近行为可以由基本矩阵当t 专o o 的渐近行为来描述， 基本矩阵的渐近行为由以下指数来刻画 a(ek,xo)=j骢吾，。g旦三兰亏乏拿三翳，(七=，2，)(2-。) 式中：e 七在x 处切向量空间e 的k 维子空间。 豫) _ 是矿的一组基，f = 1 ，2 ，k ； 一张量积； i foi i - 一某一黎曼度量。 由( 2 1 0 ) 式定义的指数反映从x o 出发，沿着相轨线的切空间民上后维多体 “体积 的伸缩率，成为k 维l y a p t m o v 指数。 2 基于混沌序列预测的l l e 估箅混沌的一个重要特性就是系统对初值具 有极端敏感依赖性，l e s 值是衡量系统对初值敏感性依赖的一个重要指标，只 要有正的l e s ，系统就会产生混沌现象，如果正的l e s 的个数大于1 ，则动力 系统为超混沌系统。对于一般的动力系统，计算其l e s 是件繁杂的事，在l e s 的计算过程中，还可能出现奇异情况而使得结果不准确，甚至发生溢出。对于 具有时延的动力系统，可操作性的l e s 定义及算法至今没有见到公开报道。所 幸的是，如果只要求判断系统是否为混沌系统，那么通过l l e 就可以判断出来。 而计算l l e 比计算l e s 要简单得多。对l l e 估算的研究也有一些报道，比如 时间序列法引，差分方法呲1 ( 亦称直接法) 和变分方法等。 哈尔滨理工火学t 学硕士学位论文 文献 3 4 】中，作者提出一种小数量方法来计算混沌时间序列的l l e 。 小数量方法的具体步骤为： s t e p l ：对时间序列缸 ) ，江1 ，2 ，n 进行快速傅立叶变换( f f t ) ，计算出 时间延迟f 和平均周期尸； s t e p 2 ：计算出关联维数d ，再由彤芝2 d + 1 确定嵌入维数m ； s t e p 3 ：根据时间延迟f 和嵌入维数m 重构空间化，= 1 ，2 ，m ； s t e p 4 ：找相空间中每个点r 的最近邻点e ，并限制短暂分离，即 d j ( o ) = n f i nl i 巧一el i ，lj - ji p ( 2 - 1 1 ) s t e p 5 ：对相空间中每个点f ，计算出该邻点对的第f 个离散时间步后的距 离为 d j ( i ) 刊巧“一y ；“l ，f = 1 ，2 ，m i n ( m 一，m j ) ( 2 - 1 2 ) s t e p 6 - 对每个f ，求出所有，的i n d j ( f ) 平均y ( f ) ，即 y ( 沪高善h 哪) ( 2 - 1 3 ) 其中g 是非零d ，( f ) 的数目，并用最小二乘法做出回归直线，该直线的斜率就是 最大l y a p u n o v 指数