（控制理论与控制工程专业论文）线性系统pid参数稳定域研究.pdf

硕士论文 线性系统p i d 参数稳定域研究 摘要 p i d 控制器因其结构简单、鲁棒性强、使用范围广，且能够获得较好的控制效果， 广泛应用于工业过程控制中。一切控制品质的好坏都是建立在系统稳定的基础上，在此 基础上关注其他性能才是有意义的，因此对p i d 控制参数稳定域的研究有着重要的意 义。 基于逆嘶“研曲线，本文给出了一种确定线性系统p i d 控制器参数稳定域的方法。 基本思路是先确定比例增益的稳定范围，然后求出比例增益固定时积分增益微分增益 平面稳定范围，然后通过对比例增益在其稳定范围内的遍历最终确定稳定域。首先由逆 蝴材衙曲线上实部为极值的点，将p i d 比例增益分割成若干区间；运用广义 上拓朋加坷把办沱，定理得出两个条件，根据纵向直线与逆砌“纽曲线的交点数确定比例 增益的稳定范围；比例增益固定时，通过确定序列j = 蠢， ，得到一组关于积分增 益和微分增益的线性不等式，由此确定出积分微分增益平面的稳定域；同时给出了一 个在积分微分增益平面确定稳定域的“逆时针”规律，为快速确定稳定域提供了一个 有效的方法；在此基础上本文还讨论了引入稳定裕度概念后p i d 参数稳定域的确定。 最后本文利用m a t l a bg u i 实现了一个交互式软件，为研究p i d 控制参数稳定域 提供了一个简单实用的工具。 关键词：p i d 控制，参数稳定域，逆n y q u i s t 图，h e 吼i t e b i e l l l e r 定理，m a t l a bg u i ， 稳定裕度 a b s t m c t 硕士论文 a b s t r a c t p i dc o n t r 0 i i e ri sw i d e l yu s e di i ll 【i n d so fi i l d u s t 巧f o ri t ss i m p l es t f l 】c t u r e ，s t r o n g r o b u s n l e s sa 1 1 dg o o de 矗e c t t h eq u a l i t ) ，o fa l lc o n 臼0 ls y s t e m si sb a u s e do nt l l es t a b i l i 锣o ft l l e c o n 缸o l l e ds y s t e m s ，o nt h i sb a s i s ，c o n s i d e ro t l l e rp e 墒n i l a n c ei sm e a n i n g 如l ，t l l e r e f o r et l l c s t u d yo n 舭s t a b i l 时r e g i o no fp i dp a r 锄e t e r si so f 班a ts i 印i f i c a i l c e b 嬲e do n 也ei n v e r s en y q u i s tc u n r e ，am e t h o di sp r e s e m e dt o 嬲c e r t a i nt l l es t a b i l i t ) ， r e g i o no f p i dp 猢e t e r sf o rt 1 1 el 妇a rs y s t e m t h eb a s i ci d e ai sg e tt l l e 妇b i l i z i n gr a l l g eo f p r o p o r t i o ng a i n sf i r s t l y ，d e t e 肌i i l i n gm es t a b i l i z i n gr e g i o ni n 也ei n t e 伊a l - d i 虢r e n t i a lp l a l l 趾d m e n 嘶p i n g t h ep r o p o r t i o ng a i n s f i r s t l y ，a c c o r d i n gt 0t l l ee x 仃e m ep o i n t so fm er e a lp a r to n i i l v e r s en y q u i s tc h a r a c t e r i s t i c s ，t 1 1 ep r o p o f t i o ng a i n sc a i lb ed i v i d e di n t os e v e f a lf e g i o n s ； a p p l y i n gt l l e 伽o c o n d i t i o n sd 甜v e d 舶mg e n e r a l i z e dh e 肌i t e - b i e l l l e r1 1 1 e o r e m ，恤 s t ；a b i l i z i n gm g c o fp r o p o n i o ng a i l l sc a nb co b 协i n e da c c o r d i i l gt ot l l e 删呲b e ro fp o i m sw 1 1 i c h a r ei n t e r s e c t i o i l so fm ei i l _ v c 髑en y q u i s tc u n ，ea n dv e i t i c a ll i n e ；f o rt l l ef e dp r o p o r t i o ng a i n s 恤鼬i l i z i n gr e 西o n so fi n t e g r a l - d i 疵r e m i a lp l 肌a r ed e f i n e db yas e to fl i n c a ri l l e q u a l 慨 w l l i c ha r ef i x e db ym ea r r a y ，= ，) ；a i l da l s oa “c o u n t e r c l o c k 丽s e ”d i s c i p l i n ei s p r o p o s e dt oq u i c 心yg e t 也es t a ：b i l i z i n gh l t e 伊a l - d i a e r e n t i a lp l a n ；如r c ：h e m o r e ，m es i t l l a t i o i l s o fs e t t i i l gs 劬i l i t ) ，m a r g i na r ed i s c u s s e di nd e t a i l f i n a l l y ，a r a c t i v es o r 眦ei sp r o l 砷s e db a s e do nm a t l a bg u i ，a i l di tp r o v i d e sa s i m p l ea n dp r a c t i c a lt o o lf o r t h es t i l d yo f t h ep i dp 猢e t e r s 妇b i l i 够r e g i o n k e y w o r d s ：p i dc o m o l ，p a r a m e t e r ss 切b i l 毋r e g i o n ，h e n i l i t e - b i e h l e rm e o r e m ，i n v e r s e n y q u i s tp l o t ，s 劬i l i 够m 鹕i n i l 声明尸明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学 位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布 过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的 材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明 确的说明。 研究生签名： 一年卟 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上 网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权 其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文， 按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 鼍年日 硕士论文 线性系统p i d 参数稳定域研究 1 绪论 1 1 引言 p i d 控制器因其结构简单、鲁棒性好、适用范围广，且能够获得较好的控制效果， 广泛的应用在工业过程控制领域中【l 】。据统计，在工业控制器中，有9 0 以上采用的 是p i d 类型控制器【2 】。特别是在化工、冶金、机械、等工业过程控制系统中p i d 控制器 被广泛的应用。 尽管工业自动化飞速发展，但是p i d 控制技术仍然是工业过程控制的基础。根据相 关调查资料显示，在现今使用的各种控制技术中，p i d 控制技术占8 4 4 ，优化p i d 控 制技术占6 8 ，现代控制技术占1 6 ，手动控制占6 6 ，人工智能控制技术占o 6 ， 如图1 1 所示。 现代 优化p i d 控制技术。 6 8 0 图1 1 各种控制技术现状图 如果把p i d 控制技术和优化p i d 控制技术加起来，则占到9 0 以上，而文献【3 】也 指出，工业过程控制中，9 5 以上的回路具有p i d 结构。因此，可以毫不夸张地说，随 着工业现代化和各种先进控制技术的发展，p i d 控制技术仍然不过时，并且还将占主导 地位。 保证闭环系统稳定是对p i d 控制器的最基本要求，如果p i d 控制器不能镇定被控对 象，系统的输出则无法跟踪输入参考信号。因此对于一个p i d 控制系统，保证系统稳定 是首先要解决的问题，在此基础上，再综合其他性能来确定控制器的参数。 本章简单介绍p i d 控制的基本理论、结构，介绍p i d 控制器各个参数对系统性能的 影响，阐述研究背景及现状，综述本文的结构安排。 l 绪论硕士论文 1 2p i d 控制简介 1 2 1p i d 控制器的结构和原理 p i d 控制器是一种基于“过去 、“现在 和“未来信息估计的有效而简单的控 制算法。 常规p i d 控制系统的原理框图如图1 2 所示。整个系统主要由p i d 控制器和被控对 象组成。p i d 控制器是一种线性控制器，它根据给定值，( f ) 和实际输出值y ( f ) 构成控制 偏差，即 e ( f ) = ，( f ) 一y ( ，) ( 1 1 ) 图1 2 p d 控制系统原理图 并对偏差按比例、积分和微分通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故 称为p i d 控制器，其控制规律为： 砸) 吲砸) + 吉舢乃掣 2 ， 或写成传递函数的形式为： u ( j ) 2 巧( 1 + 寺+ 瓦s ) e ( s ) ( 1 3 ) 其中，k ，、霉、乃分别为p i d 控制器的比例增益、积分时间常数和微分时间常数。 式( 1 2 ) 和式( 1 3 ) 是我们最经常看到的p i d 控制器的两种表达形式。各种控制 作用( 即比例作用、积分作用和微分作用) 的实现在表达式中表述的很清楚，相应的控制 器参数包括比例增益k 。、积分时间常数z 和微分时间常数乃。这三个参数的取值优劣 将影响到p i d 控制系统的控制效果好坏，下面将简要介绍这三个参数对控制性能的影 响。 1 2 2 控制器参数对控制器性能的影响 ( 1 ) 比例作用对控制性能的影响 比例增益的引入是为了及时地反映控制系统的偏差信号，一旦系统出现了偏差，比 硕士论文线性系统p i d 参数稳定域研究 例调节立即产生调节作用，使系统偏差快速向减小的趋势变化。当比例增益k 。较大的 时候，p i d 控制器可以加快调节，但是同时过大的比例增益会使调节过程出现较大的超 调量，从而降低系统的稳定性，在某些严重的情况下，甚至可能造成系统不稳定。因此 选取合适的比例增益足。是非常重要的。 ( 2 ) 积分作用对控制性能的影响 积分作用的引入是为了使系统消除稳态误差，提高系统的无差度，以保证实现对设 定值的无静差跟踪。 ( 3 ) 微分作用对控制性能的影响 微分作用的引入，主要是为了改善控制系统的响应速度和稳定性。微分作用能反映 系统偏差的变化律，预见偏差变化的趋势，因此能产生超前的控制作用。直观而言，微 分作用能在偏差还没有形成之前，就已经消除偏差。因此，微分作用可以改善系统的动 态性能。 1 3 研究背景及现状 如上所述，p i d 控制在工业控制中一直占主导地位，p i d 控制器的设计和应用，首要 问题是保证系统的稳定，因此对p i d 控制器参数整定的研究一直是个热点，特别是近年 来，不断的有新的方法被提出，如c h r 法、c o h e n c o o n 法、i m c 法、g p m 法、极点法和 最优p d 控制器设计等【”，6 j 。但目前大部分的p i d 控制器参数整定主要是基于经验的手 动整定。现场工程师通过一系列调节试验绘制出过程的动态特性曲线或频率响应曲线， 再通过这些曲线由整定公式获得p i d 参数，整个过程费时费力。随着现代控制技术和计 算机技术的飞速发展，出现了很多新的智能参数整定方法。这些新的参数整定方法的发 展在保证系统稳定可靠的前提下，减少了控制人员的工作量，节约了大量的时间。现代 工业过程自动化程度不断提高，出现了大量多回路强耦合的控制系统，对p i d 控制参数 整定提出了更高的要求；另外有很多系统( 如不稳定对象) 不允许进行在线整定实验， 因此，控制人员期望能对给定的被控对象提供p d 控制器参数的稳定域，从而只需在该 稳定域内调节p i d 控制器的参数都能保证闭环系统稳定，在此基础上综合其他性能指标 来选定控制参数。 近几年来，对p i d 参数稳定域的研究受到了广泛关注，国内外已有不少研究成果被 提出【7 ，3 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 1 ，并且有基于p i d 参数稳定域的相关应用软件的报道【1 3 1 。文献【9 ，1 4 】对具 有有理传递函数的系统，基于广义胁册妇坷耙m 矿定理，给出了完整的p i d 参数稳定域， 进而实现了玩性能设计，但该方法不能处理带滞后的被控对象。文献【1 5 】对一阶滞后惯 性环节应用由p o n n a y a g i l l 给出的一种类型的胁删抛坷抬m ，定理，解决了p i d 参数稳 定域的计算。文献 1 6 】基于啪“栅稳定性判据从另一个角度证明了上述结果。文献 1 7 】 基于参数空间图解稳定性准则，在已知比例增益范围的前提下，针对稳定和不稳定开环 l 绪论硕士论文 对象，直接在积分微分参数空间绘制和确定稳定区域，避免了复杂的数学计算。文献【1 8 】 针对任意阶时滞对象，将传统的d 分割法推广至时滞系统，给出了确定p i d 控制器参 数稳定域的准确计算方法。 目前，大部分文献1 9 ，2 0 2 1 2 2 1 采用的方法都是先固定某个参数，寻找二维平面上的稳 定空间，然后遍历这个固定参数，就得到完整的p i d 控制参数三维稳定空间。文献【7 】 采用了同样的方法：考虑图1 2 所示p i d 控制系统，其特征多项式为： 万( s ) = ( s ) ( k + k 。j + 局s 2 ) + 量d ( s ) ( 1 4 ) 其中( s ) 、d ( s ) 分别为控制对象的分子、分母多项式： ( s ) = 口o + 口l j + + s ” d ( j ) = 反+ 6 2 s + + 玩s ”1 令： 刀( s ) = 妒0 ) = 岛s + + 巩s ” 显然，当控制器参数连续变化时，式( 1 4 ) 的根也是连续变化的。因此，一个所有 根都在左半平面的稳定多项式变成不稳定时，当且仅当至少有一个根穿过虚轴。在参数 空间中，可以把这些形成稳定范围的根所对应的参数值归为三类：实根域( r e a lr 0 0 t b o u n d a d ，出) ，相应的根在原点穿过虚轴；无穷根域( i i l f i mr o o tb o u i l d 哪，i i m ) ， 相应的根在左半平面的无穷远处；复数根域( c o m p l e xr 0 0 tb o l u l d a 巧，c r b ) 。另外，根 变化的方向可以用来确定每个边界两侧不稳定闭环极点多的区域。 i 迥b 由下式给出： 万( 0 ) = 0 铮k = 0i f o i r b 存在，只有当式( 1 4 ) 的最高阶次系数由控制器参数决定，即刀= 朋+ 2 ，此时： k d a m + b n = o k d = _ b n a m c r b ：固定k ：时，k 一疋平面中的c r b 由下面两个式子给定瞄2 4 】： ( 彩) 一k ：= o ，缈r + ( 1 5 ) 墨= 局矿+ g ( 缈) ( 1 6 ) 其中厂沏) 和g ( 缈) 是有理函数： 他，= 镰带 咖卜等半 4 硕士论文 线性系统p i d 参数稳定域研究 其中r 和，表示，刀的实部和虚部。 式( 1 5 ) 的解被称为典型频率蛾，每个魄对应式( 1 6 ) 得到一条直线，这样就 得到一组直线。 r r b ，i r b 和c r b 的所有稳定边界是在k 一亿平面上的直线，这些直线将k 一局平 面平面分成多个区域。如上所述，边界两侧较稳定的区域可以由根的变化方向来决定。 这样就得到了k 一局平面的稳定范围。 1 4 本文的结构安排 本文的主要工作是寻找给定的线性系统的p i d 控制器参数稳定域，基本思路是首先 确定k p 的稳定范围，然后寻找给定k p 下k 一髟平面的稳定范围，这样通过遍历k ，就 能得到整个稳定域。全文共分七章，结构安排为： 第一章绪论，介绍p i d 控制的基本概念及其特点，简述研究背景及现状，以及本文 主要内容和结构安排； 第二章讨论系统稳定性、胁朋抛一砒砒，定理及其推广，并且简要介绍了稳定裕 度的概念； 第三章阐述了一种基于逆咖甜衙图的确定k ，稳定范围以及固定k ，情况下 k 一妫稳定平面求取的方法，并给出了仿真实例； 第四章在第三章基础上引入稳定裕度的概念，讨论了稳定裕度性能指标下p i d 参数 稳定域的确定； 第五章基于第三、第四章的算法，利用m a t l a bg u i 编程实现了参数稳定域的自 动计算，并对程序的界面及主要算法进行了详细的介绍； 第六章利用上一章的程序给出两个仿真实例，验证算法的准确性及程序的有效性。 第七章，总结与展望。 5 2 知识准备 硕士论文 2 知识准备 2 1 系统稳定性定义 本文的研究课题是p i d 控制器参数稳定域，因此首先要明确稳定性的科学含义。关 于系统的稳定性有多种定义，其中以俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性的定义最为人们 所接受。按照李雅普诺夫的观点，系统的稳定性可如下定义：若系统在初始扰动的影响 下其动态过程随时问的推移逐渐衰减并趋于原平衡工作点，则称系统渐进稳定。 如图1 1 ，控制对象以及p i d 控制器的结构分别为： g = 哿 汜t ) c ( j ) ：出! 堡 ( 2 2 ) 其中， ( s ) = + q j + + 口。s ” ( 2 3 ) d ( s ) = + 6 1 s + + 屯s ” ( 2 4 ) 则该闭环系统的特征多项式为： 万( s ) = ( s ) ( k + 峰j + 局j 2 ) + d ( s ) ( 2 5 ) 线性系统稳定的充分必要条件是：它的特征方程的全部根都是负实数或实部为负的 复数，即全部根都位于复数平面的左半平面。 2 2h e r m i t e b i e h l e r 定理及其推广 众所周知，系统的稳定性是控制理论研究中最基本的问题，对于线性系统来说也就 是等同于其特征多项式的根全部位于复数平面的左半平面。尺d 甜砌一乒m 刑舷判据是判断多 项式是否为胁刑f f z 多项式的最著名的方法，但是控制系统的阶次的越高，需要求解 尺d ”历胁川，汜的矩阵中第一列大于零的不等式的数目越多，同时不等式中p i d 控制器 的三个参数非线性关联，因此当系统超过三阶时在数学上求解将变得十分困难。 觑删f 抛坷f p 乃胁定理为判断一个多项式是否是z 玩刑娩多项式提供了充分必要条件，该 方法只需要计算胁册加名国向如，定理定义的符号关系式的值是否等于多项式的最高次 幂，就能判断其是否为协m 汜多项式。p i d 控制系统的特征多项式，其复数形式的实、 6 硕士论文线性系统p i d 参数稳定域研究 虚部均含有p i d 控制器参数，因此在原特征多项式的基础上乘以被控对象分母多项式的 共轭多项式，使得p i d 控制器的参数得以分离，然而这样构造的多项式是否为胁m 汜 多项式并不是系统稳定的必要条件。m i n g t z uh o 推导出广义胁删沈一b 拓乃彪，定理，其 能够具体判断一个非胁l m ，f 纪多项式的根在左、右半平面的分布，使求解p i d 控制器参 数稳定域的问题得到简化。 下面将详细介绍胁，聊娩b f p 办比，定理及其推广。 定理2 1 ( 胁抛坷耙办尼，定理口5 1 ) ：设万( s ) = 磊+ 4 s + + 嗄矿为一刀阶实多项式， 令万( s ) = 皖( s 2 ) + s 吃( j 2 ) ，其中皖( j 2 ) 和s 皖( s 2 ) 分别为万( j ) 关于j 的偶次幂和奇次幂部 分。记吃。，吧：，是吮( 一彩2 ) 的非负实零点，。，吃：，是皖( 一缈2 ) 的非负实零点， 且均按从小到大顺序排列。万( j ) 是肭比稳定的充分必要条件是皖( s 2 ) 和j 乞( j 2 ) 的所 有零点是实的而且相异的，瓯和瓯一。的符号相同，而且这些非负实零点满足下述交错性： o q l 铊l 吧2 魄2 o劬螽i o 图2 1 胁h ，比多项式的单调相频特性 刀= 2 所时， s g i l 磊】s g n p ( 0 ) 】 0 一s 印 磊】s g l l p ( 心1 ) 】 o ； ( 2 8 ) ( 一1 ) 舻1s g n 嗡】s g l l 【p ( 改k 1 ) 】 0 ( 一1 ) ”s g i l 峨】s g n 【p ) 】 0 刀= 2 明+ l 时， s g i l 战】s g n p ( o ) 】 0 一s 弘 磊 s g n 【p ( 吃1 ) 】 o ； ( 2 9 ) ( 一1 ) ”1s 印【磊】s g i l 【p ( 红k 一1 ) 】 0 ( 一1 ) 朋s g n 【磊】s g n 印( ) 】 0 由式( 2 8 ) 和( 2 9 ) 推出式( 2 7 ) ，即( 1 ) ( 2 ) 。 令吃o = o ，刀= 2 朋时，令= ，对于，= 1 ，2 ，3 ，朋，当且仅当s g n p ( 一1 ) 】与 硕士论文 线性系统p i d 参数稳定域研究 s g n 【p ( ) 】( ，= l ，2 ，聊) 符号相反时，式( 2 7 ) 成立。由p ( 缈) 的连续性，存在至少 一个吐尺，一。 o ，幅值裕度办 l 。为保证 系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度不能太小。在工程设计中，一般取y = 3 0 。一6 0 9 ， j i l 2 对应2 0 l g 办6 翘。 2 4 本章小结 稳定性是一个控制系统最重要、最基本的性能，是系统能够正常运行的首要条件。 因此保证系统的稳定是设计控制器时需要首先解决的问题，然后再考虑系统的其他性 能。本章首先介绍了李雅普诺夫关于系统稳定性的定义，在此基础上介绍了 觑删f ，p 坷f p | l 跆，定理及其推广。胁，聊f 地一b f p 办昆，_ 定理为判断一个多项式是否是日2 们 ，比 多项式提供了充分必要条件，该方法只需要计算z 昆删抛墩j l 厶y 定理定义的符号关系式 的值是否等于多项式的最高次幂，就能判断其是否为肭汜多项式。另外，本章还介 绍了稳定裕度的基本概念，为第四章讨论中引入稳定裕度这一性能指标做了准备。 1 2 硕士论文 线性系统p i d 参数稳定域研究 3p i d 参数稳定域的确定 本文确定p i d 控制器参数稳定域的基本思路是首先确定廓的稳定范围，然后在此 范围内对给定的x p 确定k 一玛平面上的二维稳定域，这样通过对砗在其稳定范围内 遍历，即可得到完整的稳定域。本章将借助于经典的频率特性和广义胁删玩一b 抬办尼，定 理，给出了一种基于逆啪“衙图的确定线性系统在p i d 控制下闭环稳定范围的方法， 再此基础上进一步讨论对于给定耳情况下k 一局平面稳定域的确定。 3 1 基于逆n y q u i s t 图确定砟稳定域 3 1 1 逆卜i y q u i s t 图及逆n y q u i s t 的稳定判据 系统传递函数的逆函数对应的，g “衙图称为逆啪甜衙图。令系统开环传递函数为 g ( j ) ，则其逆函数为g ( j ) = l g ( s ) 。 逆咖材栅稳定判据口6 】：如果s 沿蝴材衙路径d 形围线变化一周时，石( s ) 逆时针方 向包围( 一1 ，j o ) 点的周数减去g ( 占) 逆时针方向包围原点的周数等于g ( s ) 在右半平面的极 点数p ，则闭环系统是稳定的。 系统在比例控制下，将上述逆肋凹“衙稳定判据中的( 一l ，_ ，0 ) 点用( 一k 。，歹0 ) 点代替， 即可根据该稳定判据获得增益k ，的稳定范围。但在p i d 控制下，就不能简单地用p i d 控制器的频率特性来替代( 一l ，o ) 来进行稳定性判断了。 3 1 2 逆卜i y q u i s t 图与负的p i d 频率特性 设控制对象为： g = 等= 筹筹糍 ， 其中强 鸟，p i d 控制器为： c ( s ) = k + 局s + k s ( 3 2 ) 系统特征方程为： l + c ( s ) g ( s ) = 0( 3 3 ) 显然特征方程的维数为”= + 1 ，将式( 3 3 ) 改写为： g ( 印一高 则： 、 1 3 3p i d 参数稳定域的确定 硕士论文 g ( s ) = c ( s )( 3 4 ) 令s = j f 缈，驴( 缈) = 么g ( 缈) ，( j 国) = d ( ，缈) ( 一，缈) ，则有： g ( 弘) = 一c ( 问) ( 3 5 ) 式( 3 5 ) 在复平面绘制的频率特性即为逆啪“衙图，式( 3 5 ) 左侧为： 确2 怒2 器2 塑谎斧幽 6 ， 式( 3 6 ) 也可以写成下式： 一( 弘) = l 否c 肋) lp 烈口) f - ( 归) ic 。s ( 缈( 国) ) + ，f _ ( 弘) fs i n ( 伊( 国) ) 显然，当，1 1 g 时，一定存在某个彩，当缈 国时，l g ( j f 彩) i 为单调增加。因此我们 在画逆蝴“栅图时只需要画出0 国段。 式( 3 5 ) 右侧为： 一c ( j 缈) ：一k 口+ ( 竺l 一髟国) ( 3 7 ) 由式( 3 5 ) 得： 掣：嬲c 酬硼：一巧 ( 3 8 ) 一= 一：n r 仂力l = 一 ，一，o 、 l u 彩) f 2i ( 缈) 1 2 ”、” p u m 篇铲= 搿s m c 删= 等却 9 ， i ( _ ，缈) 1 2i ( _ ，缈) 1 2 ”一7 国 扩u j 7 由式( 3 8 ) 和( 3 9 ) 可以看出对象的逆蝴甜衙曲线与p i d 控制器的负的频率特性 的交点的实部即为负的比例增益。 3 1 3 多项式奇偶分解 将式( 3 3 ) 写成如下多项式： 置d ( s ) + ( k + s 2 + 足。s ) ( j ) = o( 3 1 0 ) 令： 6 ( j ) = 置d ( j ) + ( k + j o s 2 + k 。s ) ( s ) 式( 3 1 0 ) 左右同时乘以( 一s ) 得： 妒( s ) ( 一j ) + ( k + 髟s 2 + k s ) 0 ) ( 一s ) = o 令： v ( s ) = d ( s ) ( 一s ) + ( k + 畅，+ 定。j ) 0 ) ( 一s ) ( 3 1 1 ) 1 4 硕士论文线性系统p i d 参数稳定域研究 多项式v ( s ) 的维数为刀+ g ，令： s = 加，日( 弘) = d ( 歹缈) ( 一歹缈) 有： 【( k 一髟国2 ) i ( _ ，国) 1 2 一国i m ( 日( 歹缈) ) 】+ _ ，彩【r 七( 日( 歹) ) + 髟l ( 歹国) 1 2 】= o ( 3 1 2 ) 将式( 3 1 2 ) 写成如下形式： 皖( 一国2 ) + 国皖( 一国2 ) = 0 比较式( 3 4 ) 和( 3 1 2 ) ，可知式( 3 8 ) 和( 3 9 ) 的零点分别为唬( 一缈2 ) 和皖( 一缈2 ) 的零点。注意彩= 0 也是式( 3 1 2 ) 虚部为零的解。 3 1 4 基于逆n y q u i s t 图的稳定条件 设( s ) 在左半平面和右半平面的零点个数分别为亏、 多项式艿( s ) 在左半平面和右半平面的零点个数分别为，、， 利用定理2 3 有： ；( 么，( 国) ) = 要仃( v ) = 要( g + ，i ) 一( ，+ 厶) ) ( 3 1 3 ) 若系统在p i d 控制下稳定，即，= ，= 0 ，则式( 3 1 3 ) 可以写成为： ；( 么v ( 国) ) = 詈盯( ，) = 詈( 刀一( 一吒) ) ( 3 1 4 ) 式( 3 1 4 ) 说明系统在p i d 控制下稳定时，彩从o 专佃角度么v ( 歹缈) 变化量为 鲁( 刀一骗一，i ) ) ，根据广义定理胁朋妇一召耙砒，和文献 2 8 】作如下推理： 推论3 1 ：为保证角度么v ( 歹缈) 变化量为万0 一弛一”2 ，( 3 1 1 ) 多项式，( s ) 的 乞( 一国2 ) 至少有个非负有限实零点o = l 吃： ，同时 ，( j ) 的皖( 一彩2 ) 至少有 鸭个非负有限实零点q i 吐2 ，一l ，且与交错。其中： ，吃2 雄+ g 为偶数 ( 3 1 5 ) 刀+ g 为奇数 ，l 为偶数时，= 悃，嚣为奇数时，= 蜘。魂( 一缈2 ) 和皖( 一彩2 ) 的零点可从式 ( 3 8 ) 和( 3 9 ) 获得。式( 3 8 ) 和( 3 9 ) 的解可根据逆咖“研曲线和负的p i d 频率 特性曲线交点情况来确定。 由于只需考虑皖( 一国2 ) 和皖( 一2 ) 的非负实零点，因此在绘制逆咖”栅曲线仅需画 出缈为正的部分。 根据推论3 1 ，可得如下两个条件： 筮2 3p i d 参数稳定域的确定硕士论文 条件3 2 ：任取一砟区间( k ”k p 2 ) ，若对任意砗( k 妒k p ：) ，在逆蝴“纽曲线 平面上，群所对应的一c ( 国) 与逆咖”衙曲线至少都有，1 1 个交点，则在p i d 控制下， 该区间( k p 。，k p ：) 可能是稳定的，否则该区间一定不稳定。 条件3 3 ：( k 矿k p ：) 是稳定域的充分条件是在满足条件3 2 的前提下，同时存在某 些( k ，髟) 使得式( 3 9 ) 有屹个非负实零点，并且与( 3 8 ) 的竹个非负实零点满足交 错特性。 在逆咖“衙图上，运用条件3 2 并且结合一c ( 缈) 的特性作一些简单分析可快速确 定x ，的稳定范围。下面我们用一个例子来说明下。 3 1 。5 仿真实例 例3 1 ：控制对象如下： r ，、 s 3 2 s 2 一j l 畎s ) = 了五万万萨i 蒜石f i 鬲 有玎= 7 ，g = 3 ，= 2 ，；= l ，而由式( 3 1 5 ) 得= 3 。 对象的逆咖“衙曲线如图3 3 所示，点彳为起点，曰，c ，d 为局部极值点。按其横 坐标大小依次排列为彳( 一l ，0 ) ，b ( 6 1 8 5 9 ，一1 9 1 3 5 ) ，c ( 1 8 5 8 4 ，一1 2 8 4 7 ) ，d ( 2 4 7 5 l ，2 4 3 7 8 ) 。 1 6 一 、 一 l d l 一 - _ - i 一 二墨左 l 2：l 3 l - l二一 乡 l 刀 岷；： 歹r 。n ； ， 7 一： ：c ： i ，： 囊毒一：一 ： l 7 一； il 图3 3 逆砌缴曲线( 正频率部分) 在图中作一条垂直于实轴的直线三，其与实轴的交点即为一巧，点彳，b ，c ，