（电磁场与微波技术专业论文）多层媒质中的电磁快速算法研究.pdf

摘要 摘要 本文提出了适用于三维多层微带结构，并具有全波分析能力的数值计算工具。 平面多层结构问题仅在谱域存在闭式并矢格林函数：利用空域逆傅立叶变换结合 坐标变换可将m a x 、e l l 方程去耦；结合等效传输线格林函数可得到谱域解。混合 积分方程( m p i e ) 求解问题只需较少的导数运算，利于矩量法求解。本文采用 m i c h a l s l 【i 和z h e n g 提出的c 类谱域势格林函数建立混合积分方程( m p i e ) 。直接 将谱域格林函数变换回空域需要数值计算类s o m m e 疵l d 型积分，此类积分被积函 数振荡剧烈，直接积分计算量太大。利用s o m m e 疵l d 恒等式和离散复镜像技术 ( d c i t ) 可以有效解决该积分问题。考虑导微带贴片结构的任意性，我们采用具有 平面三角形剖分能力的r w g 基函数；其具有三角形的边界上没有线电荷积累；面 电荷密度与面散度成正比的优势。当源点与场点重合或接近时，被积函数在积分 域内有奇异点，需要特殊处理，我们给出了d r w i l t o n 的解决方案进行奇异性提 取。在微带问题中，人们较关心近场散射参数和远场雷达散射截面计算，本文给 出了采用模拟匹配负载法和开路法提取散射参数的方法；并介绍互易定理来求得 雷达散射截面( r c s ) 的方法。将快速多极子算法应用于微带结构的一个关键技术是 将矩量法中描述远区单元相互作用的格林函数用加法定理进行平面波展开，本文对 常用的复镜像( d c i m ) 闭式的平面波展开的准确性和收敛性进行了分析，发现其所 需的多极子模式数l 和高斯积分所需积分点数t 过大，已不适于快速计算。为了 解决此问题，本文创造性的提出采用固定实镜像( f r i s m ) 技术进行平面波展开，来 拟合微带结构的空域格林函数。大量数值试验验证了固定实镜像方法的有效性。 然后，又采用谱域积分方程结合矩量法数值解分析了缝隙耦合的共形微带天线近 远场特性，给出任意圆柱共形微带天线的谱域并矢格林函数的一般表达式，并对 其奇偶特性进行了分析，利用信号处理方法将空域格林函数表示为闭合形式，大 大提高了计算效率。最后本文提出了一组基于物理相互作用的预处理方法，可以 有效改善广义阻抗矩阵的奇异性，从而减少c g 迭代算法收敛所需的迭代步数；并 给出了几组辐射、散射的电磁问题予以证明。 关键词：格林函数快速多极子离散复镜像固定实镜像圆柱共形天线 a b s t r a c t a b s tr a c t 钮e 饪i c i e n t 向l l 、 r a v en 【i l e r i c a la 1 1 a l y s i sm e t h o df o rt i l r e ed i m e n s i o n a lm i c r o s t r i d s t l l l c 由l r e si i l s i d eas 仃a t i f i e dm e d i ai sp r e s e n t e di n t h i sp a p e r i ti sw e l lk n o w nt | l a ta c l o s e df o 珊s o l u t i o nt ot h ed y a d i cg r e e n s 如n c t i o n sf o rp l a n a r - s 仃a t i f i e dm e d i ao n l v e x i s t si nt h es p e c 砌d o m a i n d u et ot h i ss p a t i a l i n 、，e r s ef o 血e r 仃a n s f o 瑚，t 1 1 eo r i 2 i n a l p r o b l e mi sr e d u c e dt ot 1 1 a to fs o l v i l l ga ne q u i v a j e n t 胁s m i s s i o n 1 i n en e 铆o d ( a l o n gt h e z c o o r d i n a t e h o w e v e r ，m e t l l o d o f - m o m e n t s ( m o 【) s o l u t i o n sa i eo r e nb a s e do na m i x e d - p o t e n t i a lf o n i lo ft h e 硫e 鲫le q u a t i o n ( m p i e ) t l l em p i ei sp r e f e 盯e db e c a u s eo f t h el o w e r - o r d e rd e r i v a t i v e sn e e d e di nm en 啪嘶c a li i n p l e m e n t a t i o n t h u s 、en e e dt o e x t m c td y a d i ca l l ds c a l a rg r e e n s 缸l c t i o n sf o rt l l ev e c t o r 锄ds c a l l a u r 叭i l i a 珂p o t e n t i a j s r e s p e c t i v e l y t h ec h o i c eo fs c a k 叶p o t e n t i a l ( ) r e e n s 劬c t i o na n dv e c t o r 如n c t i o ni sn c i t u l l i q u e ；h e r ew eu s ew h a ti sc a l l e d f o 肌u l a t i o nc ”f o 叽o fm i c h a l s l ( ia n dz h e n g n i u n e r i c a le v 出瑚【t i o no fs o m m e r f e l di n t e g r a j sm a ta r ee n c o u m e r e dd u r m 2t h e 仃a n s f o n l l a t i o no fm eg r e e n s 觚c t i o nt ot i l es p a t i a ld o m a 缸i sa v o i d e du s i n 2t ：h e d i s c r e t ec o m p l e xi m a g e sm e t l l o d ( d c i m ) f o ra r b i t r a d l ys h a p e ds u r f a c e s ，n a tt r i a l l 即l a r p a t c h e sa r ep a n i c u l a r l y 印p r o p r i a t ea i l de a s yt oa p p l y t h e r e f - o r e ，w ea p p l yt h ew i d e l y u s e dr 、gb a s i s ，w m c ha r e 骶eo ff i c t i t i o u sl i n eo rp o i n tc h 硼骟sa i l da r eu t i l i z e di n r e c t a u l 星阻l a rp a t c hm o e d s w h e nt l l es o u r c ea n df i e l dp o i n ta r et l l ei n t e 擘，a t i o nf o ra s i n 目j l a r ( o rn e a r - s i n g u l a r ) i n t e 星，a n di sp e r f o n n e da n a l y t i c a l l yv i as i n g u l 撕t ye x t r 2 i c t i o n a sd r w i l t o n t h e 细- z o n ei m e r a c t i o ni nt h em o ms h o u l db ee x p r e s s e db yd l a n e 、m a v ee x p a n s i o ni no r d e rt oi m p l e m e n tf m m t h ec o r e r g e n c eo ft l l ep l a n ee x p a n s i o n w i t l ld c i mi sp o o r ，s i n c ei tn e e d st o ol a r g el ( t l l em l m b e ro ft e m l sk e p ti nm e 瑚【u l t i d o l e e x p a n s i o n ) a i l d ，( 1 er e q u i r e dq u a d r a n l r ep o i m 玎l 删b e ri i lm eg a u s sq u a d r a n 】r e ) t b s o l v et h j sp r o b l e m ，w eu s em ep l a n ee x p a n s i o nv v i mf i x e dr e a js i r n u l a t e dh n a g em e 也o d ( f r i s m ) ，m o r en u m e r i c a le x p e r i m e n t sh a v eb e e nd o n et op r o v ei t sv a l i d i t y t h e n ，t 1 1 e i n t e g r a le q u a t i o ni nt h es p e c t r a ld o m a i nc o m b i n e dw i t ht 1 1 em e t l l o do fm o m e n t s ( m o m l i s e m p l o y e dt oa n a l y z et l l e n e a ra n df 缸f i e l dc h a r a c t e r i s t i c so ft 1 1 es l o t c o u p l e d c y l i n d r i c 2 l l r e c t a l l 毋l l a rm i c r o s t r i pa n t e n n a f i r s t l y t h eg e n e m l f o 啪g r e e n s 如n c t i o n si n t h es p e c t r a l d o m a i nf o rt h ec y l i n d r i c a l l yc o n f o r m a lm i c r o s t r i pa n t e m l as 缸u c t u r e sa r e d e r i v e di nas y s t e m a t i cr e c u r s i v em a n n e ra i l dt l l ep 撕竹p m p e r t yo ft l l e 如n c t i o n si su s e d t os i m p i i 母t l l es p a t i a lg r e e n sm n c t i o n an o v e la l g o r i t i sp r e s e n t e dt o c a s tt h e e l e m e n t s o fg e n e r a l i z e di m p e d a n c em a t r i xa n dg e n e r a l i z e dv o l t a g ev e c t o ri n t o c l o s e d - f o 肌s t h r o u g l lt h e s em a n i p u l a t i o n s ，t h ec o m p u t a t i o ne 衢c i e n c yi si m p r o v e d d r a s t i c a l l y f i n a l l y n o v e lc l a s s e so fp h y s i c a l i n t e r r e l a t e d - b a s e dp r e c o n d i t i o n e r sa r e p r o p o s e df o rt i l el i n e a rs y s t e m s 撕s i n g 行o me l e c 们m a g i l e t i cs c a t t e r i n ga n d 珊l d i a t i o n p r o b l e m s t h e s ep r e c o n d i t i o n e r s ，w h i c ha r eb a s e do ns o l v i n gs m a l ll i n e a rs y s t e m sa t e a c hn o d e ，r e d u c et h en u m b e ro fi t e r a t i o n ss i g l l i f i c a i l t l y k e y w o r d ：g r e e n s 缸l c t i o n f m md c i mf r i s mc y l i n d r i c a lc o n f 0 珊ala n t e n n a 声明 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知。除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：日期 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论 文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的 复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影 印、缩印或其它复制手段保存论文( 保密的论文在解密后遵守此规定) 。 本人签名： 导师签名懒写6 7i r 日期 日期 第一章绪论 第一章绪论弟一早珀t 匕 1 1 研究的背景及意义 近年来，( i c ) 的发展取得了令人注目的进步。其中，平面和非平面无源器件 在集成电路系统中的应用尤为突出：如i c 集成块、p c b 印刷板，及多片组件( m c m ) 等。在微波产业中，基于多层介质构成设计的微带天线和电路的应用越来越广泛。 为了对平面无源器件、i c 集成块、多层微带结构器件进行分析和优化设计，人们 需要对其电磁特性进行精确分析，迫切需要研究出一种能够精确而有效的数值计 算方法。 作为一个好的数值计算方法，需要考虑以下几个方面： 通用性。 现代i c 集成电路的构造形式多样、复杂，而且馈电类型不一。数值计算 需要考虑如何应用于多层结构 卜2 、3 d 结构 3 ，且其馈电类型为微带线， 探针，口径耦合激励时的情况 4 6 。 全波分析能力。 随着现代电子通信工作频率的不断提高。原有的在较低频率下适用的经验 公式和准静态模型 7 已无法提供准确的结果，如当微带结构器件的工作频率 达到毫米波级时( 3 0 g 月z ) ，电磁波在介质层中的方式产生了较大的变化， 大部分的电磁波以表面波方式传播。因此必须提出新的具有全波分析能力的数 值计算工具。 解决电大尺寸问题的能力。 大多数的电磁数值技术方法的计算量是与待计算问题的电尺寸( 电尺寸为实际 物体大小与其工作波长的相对比值) 成正比的；随着工作频率的不断提高，相应的 工作波长不断变小，相应的计算量就会增大。对于大规模微波集成电路( m m i c ) 和微带阵列的仿真而言，必须具有电大目标的分析能力。 1 2 微带结构型器件的分析模型 微带结构型器件的应用大致分为两类：微带天线和微带电路器件。 微带天线 微带天线的优化设计的关键点是要精确计算出天线括辐射特性和近场特性的 相关参数。其中辐射特性包括辐射方向图、增益以及极化等参数，而近场特性包 括输入阻抗和互耦等参数。 2 多层媒质中的电磁快速算法研究 微带电路器件 在微波电路中，用入射波、反射波的概念更甚于用电压、电流，用反射系数、 驻波比等的概念更甚于阻抗或导纳，因此散射参数常常是我们关心的主要参数。 通常，模拟匹配负载法和开路法都可以用来提取散射参数( s 参数) 。s 参数与反射 系数有直接的联系，可以用于表征正向和反向功率增益、滤波器的插入损耗等； 而且在涉及信号流图的问题中，其也是非常有力的工具。 1 2 1简化分析模型 研究者们最初采用较为简单的模型来分析。这些简化分析模型主要包括传输线 模型 8 ，空腔模型 9 ，多端口网络模型以及它们的一些改进模型 1 0 一1 2 等。这 种分析方法能给出简单的解析解，可以解释一些物理现象，对微带结构器件设计 有一定指导意义。为了得到闭式的特征函数解，该方法对待求问题进行简单的假 定，从而降低了计算量。为了将空间波辐射，表面波辐射，互耦等的因素都考虑 进来，它们添加了相应的附加项。尽管这些简化模型得到了不断的修正，总的来 说它们的应用范围仍受到很大的限制。这些限制包括：1 ) 仅适用于薄介质层：2 ) 当贴片宽度较窄时，这些模型就不精确了；3 ) 不能模拟临近耦合和缝隙耦合等馈 电方式等。正是由于简化模型的这些局限性，人们又发展了全波分析法。 1 2 2全波分析模型 全波分析模型克服简化分析模型的缺点，它们以一定的计算复杂性为代价获得 了较高的可靠性和准确性。全波模型考虑了微带结构型器件的介质损耗、导体损 耗、空间波辐射、表面波辐射以及与外部耦合等影响，并可用于分析任意形状的 微带单元和阵列、不同的馈电机置、多层的复杂结构以及有源天线等。通常情况 下，它们给出的辐射特性、近场特性和s 参数等都更为准确。实际中，对于任意 形状的微带结构分析，全波分析模型又可以分成两类：一类是基于微分方程的模 型如时域有限差分法( f d t d ) 1 3 、有限元法( f e m ) 1 4 ，传输线矩阵方法 ( t l m ) 1 5 等：另一类是基于积分方程的模型如矩量法( m o m ) 1 6 以及相应的快 速算法等。 f d t d f d t d 方法在求解时域m a x w e l l 方程时将感兴趣区域的电磁场用2 d 、3 d 网格 ( 研d s ) 剖分，并用有限差分式代替两个旋度方程进行计算。f d t d 是一种时域算法， 和快速傅立叶变换( f f t ) 结合：仅通过一次仿真就得到相关问题的宽频特性。传统 第一章绪论 的f d t d 算法是在1 9 6 6 年由k s y e e 1 3 第一次提出的，他采用了统一的矩形网格； 这种网格剖分易于实现，不要求特殊的剖分和存储处理。然而，这种剖分方法在 求解曲面和非规则结构问题时显得力不从心。传统的f d t d 方法求解曲面采用阶梯 近似的方法，这样就需要更细的网格，从而导致内存需要急剧变大。为了满足 c o u r 砌稳定条件，细网格需要更小的时间步从而需要更多的计算时间。 为了解决上述问题，研究者们提出了更多的改进型的解决方案。如非正交 f d t d 算法 1 7 、离散面积分算法( d s i ) 1 8 ，亚网格技术 1 9 ，基于交变隐式差 分方向方法的f d t d ( a d if d t d ) 2 0 等。 总得来说，f d t d 具有如下优点： 1 ) f d t d 可模拟复杂目标，如具有非均匀媒质、各向异性媒质、色散媒质和 非线性媒质特性的电磁结构均可得到精确的模拟。 2 ) f d t d 可以充分而形象地描绘电磁波在计算空间的时域分布情况，有助于 深刻理解天线的瞬态辐射特性及其物理过程，利于改进天线的性能； 3 ) f d t d 可通过一次时域计算便可获得天线的宽频带辐射特性，避免了传统 频域方法繁琐的逐点计算。 与其它数值方法相比，f d t d 的一个主要缺点是求解区域为包含目标和多层媒 质的整个空间。如果分析开放区域的目标，则必须采用吸收边界条件将求解区域 进行截断，而吸收边界条件又不能离目标太近，这使得f d t d 很难用于分析大型 微带结构。此外，对于相距较远的多个电小目标的分析而言，由于求解区域必须 包括所有目标，因此f d t d 的计算效率很低。 一 因此，尽管f d t d 可以分析许多微带结构，但巨大的计算量使得它们并不是一 个有效的分析微带天线和电路的数值工具，特别是对于大型微带阵列和微带电路 的分析而言计算效率很低。因此，就目前而言，f d t d 更多的还是用于非均匀结构 的分析，因为这些问题对于其它数值方法而言比较难处理。 f e m 有限元法( f e m ) 是基于微分方程的的一种数值技术。首先在力学领域提出。 6 0 年代末到7 0 年代初被移植到电磁场工程领域，并在电磁辐射、散射、传播问题 上得到了广泛的应用。近年来，研究者们已经开始关注f e m 在多层媒质中的应用， 如复杂结构的微带电路设计。有限元法是建立在变分法基础上的。它把整个求解 区域划分为若干个单元，在每个单元内规定一个基函数。由于基函数的定义域仅 限于本单元，在其余区域为零，因此在所建立的矩阵方程中，矩阵元素大多数为 零，即是稀疏矩阵，从而可以节约大量计算机内存。 有限元法的基函数大致可分为两类： 4 多层媒质中的电磁快速算法研究 棱边元( e d g ee l e m e m ) 基函数和基于结点( n o d ee l e m e n t ) 的基函数。 早期的有限元方法，用插值结点数值获得的节点基函数单元来表示矢量电磁场， 会遇到几个严重的问题。首先，可能会有非物理的伪解出现，这通常是由于未加强 散度条件而引起的；其次，在材料界面和导体表面强加边界条件不方便；再次， 存在处理导体和介质边缘及角的困难性，这是由于与这些结构相关的场的奇异性 造成的。 幸运的是，一种崭新的方法在8 0 年代末9 0 年代初出现，这就是所谓的矢量有 限元方法，它将自由度赋予单位棱边而不是单位节点，因其命名为棱边元( e d g e e l e m e n t ) 。棱边元没有前面提到的所有缺点。 。 f e m 方法的优势在于求解复杂物理结构的多层媒质结构。如考虑一个两层 的微带结构，当两层介质的分界面不是规则的平面时( 见图1 1 ) ，此时多层媒质结 构的格林函数( g r e e n s 如n c t i o n ) 很难解析推导出来。如果采用m o m 法计算，就必须 考虑体等效电流，从而导致计算量显著提高。 利用四面体的棱边元技术，f e m 具有相当大的建模优势；也就是说不管要 求解问题的形状、层数等物理结构有多复杂，采用f e m 棱边元技术都可以恰当的 将它有效地离散化。 然而，f e m 法在处理开放空间问题时仍存在一定困难。这是因为f e m 网 格必须在离目标一定远的位置处利用合适的边界条件进行截断。与全局吸收边界 条件相比，局部吸收边界条件产生的子矩阵是稀疏的，且也能获得很高的精度， 因此更适用于f e m 。 4 了 d 2 地板 图1 1 分界面为非规则形状的两层微带结构 t l m 传输线矩阵( t r a n s m i s s i o n l i n em a t r i x ，t l m ) 方法时由p e t e r b j o h n s 和 第一章绪论 s a l ( h t a r z a d 提出的一种在时域分析电磁场问题的方法 1 5 。它可用于数值模拟电 磁波的传播、散射特性。 t l m 方法基于h u y g e n s 关于波的传播原理，并将连续的波按时间离散，通过 研究离散的波在不同的导波结构( 按空间离散) 中的传播情况来获得导波的种种传 输特性。由于波的离散是在时域中进行的，因而t l m 方法是一种时域的分析方法。 从电磁场问题求解的角度来讲，t l m 方法仍然是求解满足于定边界条件的 m a x w e l l 方程组。不过t l m 方法是将m a x 、v e l l 方程及其边界条件按空间和时间进 行离散，用一对对互相联结( 并联或串联形成网络) 的传输线来模拟所要求解的波 导结构。通过研究脉冲( 单脉冲或连续脉冲) 在网格中的传播获得导波结构的时域 响应，并对时域响应进行f o u r i e r 变换，就可以在很宽的频率范围内获得导波结构 的频率特性。由于传输线上的电压和电流可以等效为电场和磁场。因而，同时还 可以获得导波结构内的场分布。 在使用t l m 模型方法分析微带结构电流或天线时，导带面被认为是无限薄的 p e c 面。选择特定合适的枝节来满足基板的介电常数、磁导率、导电特性；而匹 配负载用来模拟截断边界条件。t l m 模型方法已经在用于分析铁氧体基板的微带 天线 2 1 ，微带天线阵之间的耦合 2 2 ，交叉耦合馈电的微带天线 2 3 等。 m o m 自从r o g e rf h 枷n 舀o n 1 6 从1 9 6 8 年提出矩量法( m o m ) 以来，矩量法就广泛 应用于各种天线辐射、复杂散射体散射以及静态或准静态等问题的求解。作为求 解积分方程的主要方法，由于所用格林函数直接满足辐射条件，无须象微分方程 那样必须设置吸收边界条件，加之数值结果精度高，所以成为求解分层媒质问题 的主流方法，受到了国内外学者的广泛关注。 采用m o m 分析多层媒质问题，如果将接地板和介质基片在内的整个计算目标 都进行离散，则可以利用面积分方程模拟p e c ，体积分方程模拟介质体来进行分 析。此时，仅仅需要最简单的自由空间格林函数，数值操作相对简单。然而，采 用这种方法并不太适合多层媒质结构，这是因为即使是一个很简单的结构，m o m 也会产生大型的稠密阻抗矩阵。而且，如果考虑的目标为分层媒质中的非均匀介 质体或者媒质是非均匀的微带结构，往往是还需要求解体等效电流，即需求解体 积分方程。 在大多数情况下，利用分层媒质格林函数，只需采用面积分方程模拟电路和天 线就可以对多层媒质结构进行有效分析，由于未知数较少，非常具有吸引力。此 时，m o m 分析既可以在谱域进行也可以在空域进行。在谱域m o m 2 4 2 5 中， 格林函数可以通过谱域方法解析获得。这种方法常常要求基函数具有解析的 f o u r i e r 变换形式，因此屋顶基和分段正弦基是更适合的 2 6 2 7 。虽然，文献 2 8 也给出了三角形基函数的f o u r i e r 变换，然而这种方法求解阻抗元素时需要计算两 6 多层媒质中的电磁快速算法研究 重无穷积分，比较费时。当然，如果采用这种技术处理s m e l d e d 结构或者周期结 构 2 9 3 0 ，两重积分则可化为两重求和，因此可采用f f t 变换提高计算效率 3 0 。 然而，当采用空域m o m 时，基函数的选取是可以随意的，因此比谱域m o m 更通用。这种方法的计算效率主要依赖于空域格林函数的计算。空域格林函数有 着s o m m e 疵l d 积分的形式，一般说来，没有解析解。由于该积分具有高振荡性和 衰减慢的特点，因此直接采用数值积分非常费时。为此，列表和插值方法常常被 采用 3 1 3 2 3 3 。为了进一步提高计算效率，几种方法相继被提出，其中包括 快速h a n k e l 变换( f h t ) 方法 3 4 ，最陡下降路径( s d p ) 法 3 5 ，窗口函数法 3 6 以 及离散复镜像法( d c m ) 3 7 。d c i m 的基本思路是将谱域格林函数表示为复指数 级数和的形式，然后利用s o n l i i l e 疵l d 恒等式获得闭合形式的空域格林函数解。相 比于其它几种方法，d c i m 完全避免了数值积分，因此计算效率很高。 基函数的选取是m o m 计算中特别需要考虑的一个问题。基于三角形面片剖分 的r w g 基函数 3 8 由于具有模拟任意形状面电( 磁) 流的能力而备受许多学者的 青睐。同时，为了分析任意形状的复杂目标，空域的混合位积分方程( m p i e ) 3 9 比谱域的电场积分方程( e f i e ) 更为有效。因此在本文，首先d c m 被用来求解空 域格林函数，然后利用所得的闭式格林函数和r w g 基函数，基于混合位积分方程 的矩量法就可以在空域精确、有效地分析多层媒质结构。 1 3 基于m o m 的快速算法 由于直接法求解m o m 矩阵方程需要d ( 3 ) 的计算量和d ( 2 ) 的存储量，这使 得矩量法很难分析大型微带结构。此外，对于需要知道宽带特性的问题，采用m o m 必须在每个频率采样点处重复求解，计算效率很低。因此，非常有必要发展基于 m o m 的快速算法。就目前而言，这些快速算法基本可以分为： 1 ) 宽带特性的快速算法； 2 ) 电大目标的快速算法； 1 3 1 宽带特性的快速算法 、 对于微带电路或微带天线散射问题，宽频带特性常常是所关心的，空域m o m 虽然是分析微带结构的有效数值方法此时，却不得不在每个感兴趣的频点进行重 复计算，计算量非常巨大。由于这些响应通常随频率变化比较剧烈，因此必须采 用比较小的频率间隔计算才能比较精确地获得问题的解，这又进一步加大了计算 量。为了克服这一问题，早期的一些工作主要是采用插值阻抗元素的方法 4 0 来 减少矩阵填充时间，然而这种方法并不能减少矩阵方程的求解时间。 第一章绪论 7 波形渐进估计技术( a w e ) 是另一种被广泛用于快速扫频的有效方法。最早由 l t p i l l a g e 于1 9 9 0 年提出 4 1 ，主要用于大规模集成电路、互连和封装结构电路 的瞬态响应分析。a w e 技术的基本思想是通过p a d e 逼近原理利用低阶有理函数 来逼近系统频率响应或系统传递函数，从而减小分析问题的规模，提高计算效率。 近年来，a w e 技术逐渐应用到电磁问题的分析中 4 2 4 5 。然而，许多学者在使 用a w e 时发现a w e 存在数值不稳定性 4 2 4 5 。为了克服这一问题，r d s l o n e 又提出了单点良态的波形渐进估计技术( w c a w e ) 4 5 ，并与有限元法结合，数值 结果表明了w c a w e 技术的有效性。 虽然a w e 实现了快速扫频，但该算法需要阻抗矩阵的高阶导数，从而增加了 内存存储要求，进而限制了a w e 技术的应用。当然，有理函数系数也可以通过插 值方法获得，这样就不会增加存储要求。其中，2 0 0 0 年d o u g l a sh w e n l e r 4 6 使 用二维插值的m b p e 技术对天线辐射方向图进行了频空两域的双内插，得到了良 好效果。但此方法对采样点的要求比较苛刻，只有合适的采样点才能获得比较精 确的响应。而实际中，事先根本无法确定合适的采样点，因此需要通过不停的试 探获得。这就增加了运算时间。显然，这种方法并不实用。 1 3 2 电大目标的快速算法 数值求解m o m 矩阵方程需要需要d ( 3 ) 的计算量和d ( 2 ) 的存储量来存储矩 阵元素。这样大的计算量和内存要求使得直接解法很难分析电大目标。因此，研 究者们提出了一些基于m o m 的快速算法，以提高m o m 的计算效率和计算能力。 其中之一为迭代解法，由于m o m 需要计算矩阵向量相乘，每步迭代需要d ( 2 ) 的 计算量；对于大型问题仿真来说，计算量仍然过大。为了使迭代法更加有效，必 须设法加速矩阵向量相乘。针对这方面，已有许多有效的数值算法相继被提出， 其中包括自适应积分方程法( a i m ) 4 7 、快速多极子方法 4 8 4 9 5 0 、阻抗矩 阵局部化法( i m l ) 5 1 以及共轭梯度结合快速傅立叶变换方法 5 2 等。另外为了有 效减少需要的迭代步数，可以对广义阻抗矩阵进行相应的预处理，其中被广泛采 用的一种是系数矩阵或者其单元块 5 3 ，5 4 的不完全分解( i l u ) 方法。另外一种是 基于系数矩阵近似逆矩阵的预处理 5 5 ，5 6 。可惜的是，以上预处理方法与计算 复杂度仅为为d ( 以l o g 甩) 的多层多极子快速算法不兼容。对系数矩阵进行对角求逆 或块对角求逆进行预处理是最简单的预处理方法，可是采用这些简单的预处理方 法无法有效的减少迭代次数 5 6 ，甚至有些条件下迭代次数还会增加 5 7 。近年 来，m n 预处理方法 5 8 和s n 预处理方法 5 9 被成功地应用于一些电磁散射和辐射 问题的求解，显著的降低了计算所需时间，验证了其有效性。 近年来，这些快速算法已经逐渐应用到微带问题的分析中，其中1 9 9 8 年， w a j l g c h a o f u 等采用b i c g f f t 结合d i c m 分析了大型微带天线阵列的辐射和散 多层媒质中的电磁快速算法研究 射问题 6 0 。2 0 0 2 年l i n g f e n g 将a i m 结合d c i m 法应用于微带电路的分析 6 1 ； 类似的技术，p f f t 方法也被推广到了微带问题的分析中 6 2 。 然而，由于f m m 依赖于格林函数，因此将其推广到微带问题的分析存在一定 困难。其中的一种f m m 方法 6 3 是将格林函数表示成快速收敛的最陡积分，然后 计算积分的h a i l l 【e l 变换。这种技术仅对薄的分层媒质有效。另一种方法是将f m m 与d c i m 结合 6 4 6 7 。其中文献 6 4 和 6 5 处理二维静电问题，通过在复镜像位 置处添加镜像并用基函数表示，从而建立了等效问题。在这种f m m 方法中，对于 不同的镜像，转移是不一样的。在文献 6 6 考虑了二维和三维结构，但由于在d c i m 方法中提取了表面波项，因此实际操作起来比较复杂。在文献 6 7 中，m l f m a 与 d c i m 的混合方法也被提出，并用于分析微带天线的辐射问题。代替分别处理，此 文将原始源和镜像源编在同一组，因此对于不同镜像，转移保持不变。显然，这 种算法相对于应用在自由空间问题的f m m ，仅仅要求很少的额外计算量。然而， 文献 6 7 的方法有时会受到复镜像位置的影响，也需要进一步研究。 在离散复镜像技术的基础上，逆问题解的不唯一性，y l e o n 莉c h o w 提出了一 种新方法一固定实镜像法( f 砒s m ) 6 8 6 9 ，即在用一组空域复镜像( 表示为复指 数级数和) 来拟合谱域格林函数时，根据经典镜像理论给定镜像的实位置，然后用 简单的点匹配法来求出相应实镜像的复幅度。该方法避免了复镜像法中用p r o n y 法或广义函数束法( g p o f ) 拟合的复杂计算过程，提高了计算速度，且物理含义也 更加明确。 针对文献 6 7 的方法会收到复镜像位置影响的缺点，本文采用f 砒s m 方法拟 合谱域格林函数，结合f m m 不用提出表面波项就可以计算相关微带结构问题。 1 4 本论文的内容安排及主要工作 1 4 1 内容安排 由前面几节的分析可知，空域矩量法及其快速算法是分析分层媒质结构的有 效方法。然而，关于分层介质格林函数的计算、矩量方程的求解、复杂媒质和结 构的分析等许多方面发展还不是很完善，还需要进一步研究。因此，本文将围绕 分层媒质结构的有效分析这一主题，结合如何提高计算效率、减少内存需求这一 主线，对分层介质空域格林函数的计算，进行研究。全文共分6 章，各章的主要内 容为： 第一章概述了本课题的背景和国内外研究现状，并简要介绍了作者的研究工 作。 第二章给出平面多层介质谱域格林函数详细推导过程。首先，推导出了分层 媒质的电磁场格林函数。并通过2 df o u r i e r 变换将m a x 、e l l 方程变换到谱域，变 换后的方程已经去耦。仅存在陋：波分量( 场，h p ，日= 仅由源，m p ，m ：激励) 、 第一章绪论 9 聊2 波分量( 场，e 。，e ：仅由源m 。，。，：激励) ；两者可以分别处理。这两组方 程有着传输线方程的数学形式。借用传输线格林函数的形式完整地推导了一套适 用于混合位积分方程( m p l e ) 的c 类谱域格林函数。最后利用一系列s o m m e r f e l d 类 积分，给出了空域格林函数的形式。然后着重讨论其对应空域格林函数的计算，对 d c i m 求解空域格林函数进行了详细而系统地论述。推导了准动态项、表面波项、 复镜像项的提取公式。并讨论了混合位积分方程( m p i e ) ，采用它结合d c i m 推 导求解多层微带结构问题：给出了矩量法适用的广义阻抗矩阵。m p i e 求解时采用 r w g 基函数，对该基函数的特点予以简单的介绍。在这一部分，本文还推导出了 多层媒质格林函数的通用准静态项表达式和空域格林函数的奇异项，以备混合位 积分方程使用。在本章的最后，给出了参数的提取的几种方法，模拟匹配负载法 7 7 和开路法 3 1 都可以用来提取散射参数，并使用互易定理 7 8 来求得雷达散 射截面( r c s ) 。 第三章首先推导出快速多极子方法( f m m ) 的数学基础：矢量加法定理，和平 面波展开的相关公式；并推导了利用电场积分方程( e f i e ) ，f m m 计算需要的远区 场广义阻抗矩阵瑶( 近场部分z 孑直接应用m o m 实现) ；最后给出了迭代运算常用 的y = 【z 】j 、j = 【z 】+ j 表达式。并将其推广到多层计算，即多层快速多极子方 法( m l f m a ) 。多层快速多极子方法的特点为逐层聚合、逐层转移、逐层配置、嵌 套递推。本章给出了其外向波过程，内向波过程实现的具体步骤。最终给出了迭 代运算常用的y = 【z 】，表达式。针对自由空间格林函数，j m s o n g 的论文 5 0 ， 给出了多极子模式数l 与要求精度e 1 1 r 的半经验公式：2 0 0 1 年新加坡的l w ，“等研究 者，提出了多级子模式数l 和高斯积分所需点数，可以不同 7 9 ，并给出了，三的 情况下的半经验公式。但利用d c i t 技术得到的多层微带结构格林函数平面波展开 多级子模式数l 和高斯积分所需点数，还没有相应的经验公式。本文对此进行了研 究，发现微带结构格林函数的平面波展开所需多级子模式数l 和所需积分点数，都 有所增加。有的情况下加法定理收敛所需的l 和，太大，已不适合计算。为了解决 这个问题本文创造性的提出采用固定实镜像( f r i s m ) 拟合微带结构的空域格林函数 结合f m m 计算微带结构问题。固定实镜像( f r i s m ) 方法采用的距离6 。物理意义明 确；且其提取的镜像复幅度日。受频率变化影响不大，非常适合宽频格林函数的插 值技术。数值结果表明了该方法的有效性。 第四章给出圆柱多层介质谱域格林函数和辅助格林函数详细推导过程，并利 用以一一刀，七，一一后，时谱域电型、磁型格林函数的奇偶特性减少了计算量；利用一 系列圆柱坐标系下的索末菲尔德恒等式和汉克尔函数的大宗量特性，给出了空域 格林函数的形式。然后着重讨论其对应空域格林函数的计算，对d c i m 求解空域格 林函数进行了详细而系统地论述。最后应用矩量法结合谱域格林函数的闭式快速 方法研究了圆柱共形缝隙耦合天线的频率特性和辐射方向图。 1 0 多层媒质中的电磁快速算法研究 第五章在电磁问题系数矩阵方程组求解中，共轭梯度法( c gm e t h o d ) 是一种 常用的解法，而在应用共轭梯度法前对系数矩阵进行预处理可以有效的减少收敛 所需的迭代步数：因此预处理技术成为众多学者研究的热点。本章提出一种新的 基于物理相互作用的预处理方法，并给出了该预处理方法在一些电磁散射和辐射 问题中的应用实例；数值结果证明了该方法的有效性。 第六章主要对本文工作进行总结，并指出存在的问题和下一步的工作建议。 1 4 2 本文工作 本文的中心思想即利用m o m 及其快速算法求解多层媒质问题。m o m 的核心 公式为【z 【，】= y 】；为求解广义阻抗【z 】，必须首先获得微带结构的格林函数。直 接在空域推导微带结构的格林函数十分困难，可以通过2 df o 嘶e r 变换到谱域求 解；同时结合坐标变换将m a 删e u 方程去耦；利用等效传输线格林函数就可以得 到谱域解。由于需要采用空域m o m 计算，还必须将得到的谱域解变换回空域，这 时需要计算s o m m e 疵l d 类积分，由于被积函数振荡剧烈，直接对此类积分求解相 当的困难。f a j l g 等人提出的复镜像( d c i m ) 利用s o m m e 疵l d 恒等式，可以解决此 问题，结合r w g 基函数利用m p i e 方程可以求得很精确的解。然而，随着微带结 构器件使用频率的不断提高，m o m 求解大未知数问题的能力就显得不足了。f e n g l i i l g 等人提出将快速多极子方法( f m m ) 应用于微带结构问题，他采用d c i m 方法 计算了微带天线问题。但本文的研究表明，复镜像方法引入的复镜像距离6 。，对 加法定理收敛所需的级子模式数l 和所需积分点数，。有较大影响，不