高考数学复习计数原理、概率、随机变量及其分布第3节二项式定理学案理新人教B版.docx

第3节二项式定理最新考纲1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知 识 梳 理1.二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN+)；(2)通项公式：Tr1Canrbr，它表示第r1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，C.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即CC增减性二项式系数C当k(nN+)时，是递增的当k(nN+)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与取最大值3.各二项式系数和(1)(ab)n展开式的各二项式系数和：CCCC2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.常用结论与微点提醒1.二项展开式共有n1项；各项的次数都等于二项式的幂指数n，等于a与b的指数的和n.2.通项Tk1Cankbk是(ab)n的展开式的第k1项，而不是第k项，这里k0，1，n.3.区别(ab)n的展开式中“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，第k1项的二项式系数是C，只与n和k有关，恒为正.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)Cankbk是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()解析二项式展开式中Cankbk是第k1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()A.C B.CC.C D.(1)m1C解析(xy)n展开式中第m项的系数为C(1)m1.答案D3.(教材习题改编)的值为()A.2 B.4C.2 017 D.2 0162 017解析原式224.答案B4.已知的展开式的第4项等于5，则x等于()A. B. C.7 D.7解析由T4Cx45，得x.答案B5.(2018石家庄调研)(1x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n_.解析(1x)n的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以16，n10.答案10考点一展开式中的特定项或项的系数(多维探究)命题角度1求二项展开式中的特定项【例11】 (1)(2016广东卷)的展开式中，常数项是()A. B. C. D.(2)的展开式中所有的有理项为_.解析(1)Tr1C(x2)6rCx123r，令123r0，解得r4，常数项为C.(2)二项展开式的通项公式为Tk1Cx.由题意Z，且0k10，kN.令r(rZ)，则102k3r，k5r，kN，r应为偶数.r可取2，0，2，即k可取2，5，8，第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，x2.答案(1)D(2)x2，x2命题角度2求二项展开式中特定项的系数【例12】 (1)(2017全国卷)(1x)6的展开式中x2的系数为()A.15 B.20 C.30 D.35(2)(2018赣州十四县联考)若的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足4A9(CB)，则展开式中x2的系数为_.解析(1)因为(1x)6的通项为Cxr，所以(1x)6展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4，因为CC2C230，所以(1x)6展开式中x2的系数为30.(2)易得A1，B，C，所以有49，即n27n80，解得n8或n1(舍).在中，因为通项Tr1Cx8rx82r，令82r2，得r3，所以展开式中x2的系数为.答案(1)C(2)命题角度3多项式的展开问题【例13】 (一题多解)(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60解析法一(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.法二(x2xy)5表示5个x2xy之积.x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为CCC30.答案C规律方法(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.【训练1】 (1)(2018呼和浩特联考)已知的展开式中含x的项的系数为30，则实数a_.(2)(2017全国卷改编)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为_.解析(1)的展开式的通项为Tr1C()5r(a)rCx.依题意，令52r3，得r1，(a)1C30，解得a6.(2)由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为xC(2x)2(y)3yC(2x)3(y)240x3y3，则x3y3的系数为40.答案(1)6(2)40考点二二项式系数的和与各项的系数和【例2】 在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和.解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29，偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为.规律方法(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n (a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可.(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.【训练2】 (1)(2018岳阳模拟)若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为()A.27C B.27CC.9C D.9C(2)(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，求|a0|a1|a2|a3|a4|a5|()A.1 024 B.243 C.32 D.24解析(1)令x1得2n512，所以n9，故的展开式的通项为Tr1C(3x2)9r(1)rC39rx183r，令183r0得r6，所以常数项为T7(1)6C3327C.(2)令x1得a0a1a2a3a4a5|a0|a1|a2|a3|a4|a5|1(3)5451 024.答案(1)B(2)A考点三二项式定理的应用【例3】 (1)设复数x(i是虚数单位)，则CxCx2Cx3Cx2 017()A.i B.i C.1i D.1i(2)(2018临沂模拟)487被7除的余数为a(0a7)，则a的值为_.解析(1)x1i，由于CxCx2Cx3Cx2 017(1x)2 0171(11i)2 0171i2 0171i1.(2)487(491)7C497C496C491，由于C497，C496，C49都能被7整除，所以487被7除的余数为176，即a6.答案(1)C(2)6规律方法(1)逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.(2)利用二项式定理解决整除问题的思路：观察除式与被除式间的关系；将被除式拆成二项式；结合二项式定理得出结论.【训练3】 (1)(2018银川模拟)C2C4C2n1C等于()A.3n B.23nC.1 D.(2)(2018新乡模拟)使得多项式81x4108x354x212x1能被5整除的最小自然数x为()A.1 B.2 C.3 D.4解析(1)C2C4C2n1C(C2C22C2nC)(12)n.(2)81x4108x354x212x1(3x1)4，所以上式能被5整除的最小自然数为x3.答案(1)D(2)C基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)()A.x5 B.x51C.x51 D.(x1)51解析逆用二项式定理，得原式(x1)151x51.答案B2.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，则展开式中含x的项为()A.500x B.150x C.20x D.5x解析由已知条件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4r(1)r54rCx4，令41，得r2，T3150x.答案B3.已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A.29 B.210 C.211 D.212解析由题意，CC，解得n10.则奇数项的二项式系数和为2n129.答案A4.(2018上饶模拟)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()A.7 B.7 C.28 D.28解析依题意有15，n8.二项式的展开式的通项公式Tk1(1)kCx8k，令8k0得k6，故常数项为T7(1)6C7.答案B5.已知C2C22C23C2nC729，则CCCC等于()A.63 B.64 C.31 D.32解析逆用二项式定理得C2C22C23C2nC(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以CCCC26C64163.答案A6.若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，则a0a1a2(1)nan等于()A.(3n1) B.(3n2)C.(3n2) D.(3n1)解析在展开式中，令x2得332333na0a1a2a3(1)nan，即a0a1a2a3(1)nan(3n1).答案D7.(2018石家庄调研)在(nN+)的展开式中，所有项系数的和为32，则的系数等于()A.360 B.360 C.270 D.270解析在中，令x1可得，其展开式所有项系数的和为(2)n32，则n5，则的展开式的通项为Tr1C(3)r.令5r2，可得r3，所以展开式中的系数为270.答案D8.若(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a0a2a4a2n等于()A.2n B. C.2n1 D.解析设f(x)(1xx2)n，则f(1)3na0a1a2a2n，f(1)1a0a1a2a3a2n，由得2(a0a2a4a2n)f(1)f(1)，所以a0a2a4a2n.答案D二、填空题9.(2017山东卷)已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n_.解析(13x)n的展开式的通项为Tr1C(3x)r，令r2，得T39Cx2，由题意得9C54，解得n4.答案410.(2018豫南九校联考)已知m2cosdx，则二项式的展开式中x的系数为_(用数字作答).解析由题意得m2cosdx2，二项式的展开式的通项为Tr1Cx2(5r)(2)rCx103r.令103r1，得r3，展开式中x的系数为80.答案8011.若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_(用数字作答).解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tk1C(1x)5k(1)k，令5k3，则k2，所以T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.答案1012.(2018太原二模)的展开式中常数项是_(用数字作答).解析的展开式中通项公式：Tr1C(1)5r，其中的通项公式：Tk1C(2x)rk2rkCxr2k，令r2k0，则k0，r0；k1，r2；k2，r4.因此常数项为C(1)5C(1)32CC(1)22C161.答案161能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2018河南百校联盟模拟)(32xx4)(2x1)6的展开式中，含x3项的系数为()A.600 B.360 C.600 D.360解析由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x3项的系数为3C23(1)32C22(1)4600.答案C14.在的展开式中，含x2项的系数为()A.10 B.30 C.45 D.120解析因为(1x)10C(1x)9C，所以x2项只能在(1x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C45.答案C15.(2017浙江卷)已知