（计算数学专业论文）二维双曲问题块中心差分格式的误差估计.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 针对一类二阶双曲问题，本文给出了数值求解的块中心差分格式，在非均匀 网格上得出了二阶离散l2 模误差估计。 第一节为引言，叙述了方法的油藏模拟和数学背景，并提出了二阶双曲方程 第二初边值问题 以- v ( a ( x ，y ) v p ) = f ( x ，y ，f ) ， p ( x ，y ，0 ) = p o ( x ，y ) ，b ( x ，y ，0 ) = a ( 毛y ) ， a v p r l = 0 第二节为预备知识给出了文章中用到的记号和引理。 第三节对于二阶双曲方程第二初边值问题，通过引入一阶导数变量u ，构造出 块中心差分格式，讨论了该格式的求解方法。 第四节进行误差估计，利用椭圆投影，得到了对u 和p 的二阶离散l2 模误差 估计，该方法既具备了有限差分方法的计算简单的优点，又兼有混合元方法的高 精度性。 第五节为数值算例。 关键词：双曲问题椭圆投影块中心差分误差估计 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , ab l o c kc e n t e r e dd i f f e r e n c es c h e m ei s p r e s e n t e d t oah y p e r b o l i c p r o b l e m t h ed i s c r e t e re r r o re s t i m a t ei sg i v e no nt h en o n - u n i f o r m 酣d s i nt h ef i r s ts e c t i o n , w ed e m o n s t r a t et h ep e t r o l e u mr e s e r v o i rs i m u l a t i o na n dt h e m a t h e m a t i c a lb a c k g r o u n do ft h em e t h o d a n dt h ef o l l o w i n gs e c o n do r d e rh y p e r b o l i c e q u a t i o nw i t hi n i t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o na l eg i v e n 儿- v ( a ( x ，y ) v p ) = f ( x ，y ，f ) ， p ( x ，y ，0 ) = p 0 ( x ，少) ，只( z ，y ，o ) = a ( x ，少) ， a v p 拧= 0 t h en o t a t i o n sa n dl e m m a so ft h i sp a p e ra l eg i v e ni ns e c t i o nt w o i nt h et h i r d s e c t i o n ，w eg i v et h eb l o c kc e n t e r e dd i f f e r e n c es c h e m eo ft h e s e c o n d - o r d e rh y p e r b o l i ce q u a t i o nb yi n t r o d u c i n gaf i r s t o r d e rd e r i v a t i v ev a r i a b l eu ，a n d t h es o l v em e t h o do ft h es c h e m ei sg i v e n t h es e c o n d o r d e rd i s c r e t ere r r o re s t i m a t i o n so f 材a n dpa l eg i v e ni n s e c t i o nf o u r t h em e t h o di ss i m p l et oc o m p u t e 勰d i f f e r e n c em e t h o da n dw i t hi l i 曲 a c c u r a c ya sm i x e de l e m e n tm e t h o d n u m e r i c a lr e s u l t sa l eg i v e ni ns e c t i o nf i v e k e y w o r d s ：h y p e r b o l i cp r o b l e m ，e l l i p t i cp r o j e c t i o n ，b l o c kc e n t e r e dd i f f e r e n c e s c h e m e ，e r r o re s t i m a t e i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：奎缝墨 e l 期：2 2 竺仝：幺三l 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：盔型盟导师签名：性e l 山东大学硕士学位论文 1 、前言 在油藏数值模拟中，求解二阶椭圆方程的常用数值方法是块中心有限差分方 法 1 2 。t a y l o r 展式的截断误差表明：在一致网格下，逼近解的精度可达到二 阶。但对一般的非一致网格精度为0 阶。这个问题在t i k h o n o va n ds a m a r s k ii 的 文献 3 中作为数学文献有所阐述。首次作为油藏驱动文献的阐述可参考s e t t a r i a n da z i z 4 5 。在 6 中r u s s e l la n dw h e e l e r 证明了块中心有限差分格式等 价于具备特殊数值积分格式的混合有限元方法。利用这个结论结合混合元方法的 分析和数值积分的误差估计，可以得到在非均匀网格下，逼近解及均可达到一阶 精度的结果。 k r e i s s 等人在文献 7 中构造出了超收敛的格式，该格式的收敛性高于局部截 断误差，对于初边值问题，他们对近似解证明出了超收敛的结论。他们的工作弥 补了t i k h o n o va n ds a m a r s k i i 在文献 3 中解决二阶自伴两点边值问题的工作。 d o u g l a s 和r u s s e l l 8 中提出解对流一扩散问题的特征差分方法，网格节点为 均匀分布，求解区域为直线r ，但其近似解按离散l2 模未达到最优误差估计； w e i s e r 和w h e l l e r 1 8 提出了解线性椭圆型和抛物型方程的块中心差分方法。王 申林 3 3 讨论了解拟线性双曲型积分，微分方程的块中心差分方法，其共同的特 点为近似解按离散的l2 模达到最优误差估计，解的一阶导数的近似解达到超收敛 误差估计。刘允欣 1 9 讨论了半导体器件数值模拟的块中心差分方法，得到了非 线性偏微分方程组在二阶非均匀网格上的二阶离散型l2 模误差估计；讨论了单位 正方形区域上的孔介质二相溶驱动问题，研究了在非均匀网格上半离散块中心差 分格式，得到了二阶收敛性。 本文考虑用块中心差分方法求解下n - - 阶双曲问题： 风- v ( a ( x ，j ，) v p ) = f ( x ，y ，) ， p ( x ，y ，o ) = p o ( x ，y ) ，p a x ，y ，o ) = a ( x ，j ，) ， a v p r l = 0 其中：q = ( o ，1 ) x ( o ，1 )，m 表示q 的边界。 山东大学硕士学位论文 关于双曲问题很多人用了很多方法构造了一系列格式并做出了误差估计见 e 2 0 - 3 1 j 本文主要针对上述二阶双曲问题，在时间和空间上进行有限差分，通过 引入一阶导数变量u 构造出离散块中心格式。利用椭圆投影，得n t 对u 和p 的 二阶离散l2 模误差估计。块中心方法既具备了有限差分方法的计算简单的优点， 又兼有混合元方法的高精度型。 2 山东大学硕士学位论文 ( 1 ) 记号： 分割： q = ( 0 ，1 ) x ( o ，1 ) 2 、记号与引理 6 j ：o = x x xn - x ，+ = 1 ， 6y ：o = y 必 y y nl 一 yni = 1 记 定义 而= 华， 如= x “一x t 一， 嘿矿k 。一= 华， 乃= 丝挚， k j2y j + k y j 一埏， h = m ，a ，x h , ，l ， l j k l + 2 y j + l y 2 一 + k ，“ 2 q 2 ( 一，t + ) ( 乃一，艺+ ) 岛，= g ( 薯，y j ) g + 。，2g ( x + ，y j ) 根据不同函数值定义一阶差商： k 乩旷岢， 山东大学硕士学位论文 嘲硝2 等， m = 盟产， 吼= 半 定义f ( x ，y ) 与g ( x ，y ) 的连续内积和范数： 铲，g ) = ，q f ( x ，y ) g ( x ，y ) d x d y ， 2 = ( 厂，力 离散内积和半范数： ( 厂，g ) 村= ( 厂，g ) 肘f 肼，- - ：2 z h , k , , g ， 州已2 = ( 厂，门m ， ( ，g ) ，= ( 厂，g ) r ，吖，2 不。 t 一后，厂，一彳，gt 一。， i l u l l ：= ( ，门， k n u ，g ) y = ( 厂，札r 菠，h , k j 一以卜g , d - ，jf 暑l= 2 7 7 i l u l l ：= ( 厂，厂) y ， ；= ( 考。，善。) + ( 考y ，舌y ) 这里用( 厂g ) 肘，( g ) 叫，u g ) m 西表示张量积，用疋( 0 ) ，m ，( m y ) 表示在该方向 上的梯形和中矩形积分公式。 定义m ? ( 6 ，) 为一维函数的有限元空间，它在( o ，1 ) 区间上有c 阶连续导函数， 并且在每个q 。上是次数不超过d 次的分片多项式， c - - - - 一1 时表示函数本身不连续。 记：= 肜。iw 。m ：( 6 ，) om ! l ( 6 y ) rw 。i ，= o = b = 0 ， 4 山东大学硕士学位论文 曲= 形yw ，m 三( 6 ，) p m ：( 艿y ) 且形yi , - o = 形yi 产i = o ) ， & = m 三( 6 ，) p m 三( 6 ，) ( 2 ) 引理： 引理2 1 ( 离散g r o n w a l l 不等式) ： 设仅，卢0 是任意常数，序列 仉 满足： | 町。i _ ( 1 ) + ( 2 ) 得： 和胚i i 考l f l 2 抽i z 所以： 毒斛1 4 与r 等价 引理2 3 ： 若g ；，g ；，形：，形二+ 满足 2 w ，y 2 + 。2 形z + = 0 5 6 - dq x ，w 。l 山东大学硕士学位论文 = g 。，d i w 。l ， ( _ d y q y ，形y l = 证明：因为： q y ，d y 肜y 乙 ( 一以g 。，形。) ，= n 。ny 一九形锄i= 2j = l 7 ，, , r o y “ i 唬形秘 t = li = 1 7 n 。ny t吒形j= lj = l 7 n xn y 一善勺吒呶，j= 2 ，= i 7 - n - x n 。 彬i= 2j = l 7 n 。ny t吒形i= li = l 7 一芸粪 n tn ， 善乃吒( 形：坳 t = l ，l l 7 = ( g 。，d x w 。) ， 同理可得 一形) ：( - d y q y , 形y l= ( g y , d y w y l 工 一形。 一 1 _ j 茸 g以 一 ，l l l 一2 厅 以闩 以越 工 一 肜， 、， 酊 一 畦 l 乃 h 一 以成 形 d ，u g l 厶， 卫乙一 以两 山东大学硕士学位论文 3 、二阶双曲问题的块中心差分格式 考虑下述二阶双曲问题： p 仃- v ( a ( x ，y ) v p ) = f ( x ，y ，r ) ，( x ，y ，) q ( o ，t 】 其中 p ( x ，y ，0 ) = p o ( z ，y ) p ，( x ，y ，0 ) = p i ( x ，y ) ，( x ，y ) q( 1 ) a v p 刀= 0 ，( x ，y ，f ) o f 2 x 【0 ，t 】 a ( x ，y ) = ( a x ( x ，y ) ，a ，( x ，j ，) ) 满足 0 口；a x ( x ，y ) 口， 0 口i a 【x ，y ) 口7 我们引入 , = - a ( x ，y ) v p = 一( 口鼻( x ，y ) ，口y ( x ，少) ) ( 挈，孚) o xo y ：一( a x ( 训) 挈, a y ( w ) 譬) 0xl， = ( “。( x ，力，“y ( x ，y ) ) 则( 1 ) 等价于： 死+ v u = f ( x ，y ，f ) ，( x ，y ，f ) f 2 x ( 0 ，r 】， u = 一口跏， 刀= 0 ， p ( x ，y ，o ) = p o ( x ，j ，) ，p ，( x ，y ，o ) = p lo ，少) 又记： 为正整数，出= 斋 t ”= n a t ，g ：= g ( x j ，y ，t ”) ， w = 学埘1 = 等 7 一 些奎奎兰堡主兰垡堡茎 _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ - _ - _ _ _ - _ _ l - 一一 m z ；，噶，w “y , + n ；分别逼近p ；，懂n “y , n + 产记： 矿s , n + l ：w x , ”r + 2 + w x , n ，矿y a , + l = wy , , r , + 2 + w y a , 则有格式： 使 z s o w 。最y s j ， 满足： 上) l 矿。 = _ 1 + z ) y 矿y - 1 + d 。互；+ l = 。劈+ l ， 形：萝2 一 a 。或z - j l n 件+ ；1 ，形z 2 一 口。嘭z ：； ( 2 a ) ( 2 b ) 将( 2 b ) 代入( 2 a ) 在n + 2 层上得到一个关于z = ：，z 嚣2 ，z 墨：! 。z u n + 一2 。，z 篇五个未知数的方程。最后可以得到含有虬m 个未知数和以。y 个 方程构成的线性方程组，其系数矩阵是对称正定又是稀疏的。用g a u s s 消去法或 迭代法就可解此方程组。 8 山东大学硕士学位论文 4 、二阶双曲问题块中心差分格式的误差估计 我们将原问题写为：求和，p ) 满足 v u = f ( x ，y ，f ) 一以，( x ，y ，) q ( 0 ，丁】， = 一口跏， u 刀= 0 引入彤，吆； 块中心方法求解格式，则有： ( 3 ) 作为对群，甜一，材y 。的逼近，建立相应的 。 l + i jl ，j + - 4 使p s ou 。s ，u y s ， 满足： 【d ，u 。f 1 + p y u y f l = 片一0 盯f 1 ， u ；x + , ；n + ，l = 一 口。t p j - “n + ；l ，u u y , n + + ；l = 一 口y 乃p ：； 令 w - 1 1 = ( 形- u ) + ( u 一“) = 毒+ 卢， z p = ( z 一尸) + ( p - p ) = 7 7 + 口 ( 3 a ) ( 3 b ) 由 1 8 】，我们有f 面2 个引理： 引理4 1 ：若p 暇( q ) ，口聪( q ) 暇( q ) ，f 孵( q ) ，p 群赡( q ) 则有 ( 妒一u 。8 h u y - u y = o ( h 2 ) 引理4 2 ：在定理4 1 的假设条件下，则 l i p - p l l 吖= d ( 办2 ) 由引理4 1 和引理4 2 ，我们有( 3 ) 的误差估计为： 肼c ( h 2 ) ， 0 卢0 r = ( 1 卜。一u 。9 ：+ l 卜y 一【，y 0 ：) c ( 而2 ) 所以，我们只需估计舌，7 7 即可。 9 山东大学硕士学位论文 ，d ：竺：竺= 2 m ：+ l + 卜= 竽一业冬盟+ 以彤+ 一， “ 可 用( 2 a ) 一( 4 ) ，则我们可得误差方程为： z ) ，孝。 - 1 + z ) y 号y 二+ 1 - c ，。叩；+ i = = 一( 以a ；“+ s ；“) + ( p 符一p ；= ；：) 兵甲 d 玎口；“2 d 盯弓”1 一以p ；“， s 驴n + 1 = d 打p ；一( p 。) ；， n + l ：刀+ - 一华， n + l 叱玎) 一她掣 用( 2 b ) - ( 3 b ) 可得下述误差方程为： 考书2 - 矿咖一n + 一l ，链2 - 口y 咖n + l ； ( 6 ) 在误差方程( 5 ) 中两端同乘以啊l 兰( 吐y l ，n + l ，n + 2 ) ，并关于i j 求和，则有： 享； 。勺( p 。 。 ：+ 1 + 。 y ：+ 1 ，i 1 。“，玎驴n + l 十口，玎，n + 2 ，) + 享；曩一c 巩叩；“j 1 c 4 叼：“+ 4 叩；+ 2 ， 即： 1 0 2 莩 易n + l 一九a ；+ 1 掣n ) 扣叩。n + l + d t q 盯n + 2 ) ， 山东大学硕士学位论文 ( 1 ) ，孝。h + 1 rj ) j 毒y + 1 ，三c c 7 7 ”+ l rc 7 7 ”+ 2 ，) ，r ( d 玎叩肘l ，丢( d ，叩肿i + 4 叩”2 ) ) 肼= 婶n f + l e p n + l d 。a n + l - - g n + l1 ( d , r n m + d t 7 n + 2 ) ) m 对于( 7 ) 式中的左端第一项，由引理2 3 我们有： 卜 一j ，l + l y 一+ 1 1 1 考+ q 专 ，互c d ，7 7 肘l + d ，叩”+ 2 ，) m = 石1 ( 皿考圳2 + 见考。一+ q 考y 卅2 + q 毒 ，叩棚一叩”) = 击拈柑h 恻4 2 】 这里：妒1 i | | 2 =降川h 等 对于( 7 ) 式左端中的第二项： 而右端为： ( d r + l , l ( d , r l 槲+ 吐7 7 棚” ， j ，+ 1 ) y = 击( 4 7 n + 2 _ z 矿1 一矿2 + 4 矿1 ) 吖 = 击( 胁川1 1 2 - 附“阢 l ( 矿一勺州一巩1 + 1 ，丢( 纠+ 1 + 纠+ 2 ) ) 肼 ( 8 ) 矽“阿1 小k a 州小p 1 卜跏棚卜胁川吧， 结合( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) 可得： 去啦棚h 州阻击( 附+ 2 屹 一h 斛1 i ：，) ( 9 ) 0 0 ) l l 荔 + r + 蓑 因为： 这里： 所以： 所以： 山东大学硕士学位论文 矽胗1 卜恢矿1 卜p 1 i d , r 啪卜b 州n ( ，) 1 一华 刀“= ”+ a t “t m ，1 + ，i + i s + 。2 以， ( f ) ( 2 一f ) 出 = 彤”一馘矿+ ，：= + i 厶，( r ) ( f ”一f ) 如 三 i ，：以，可( f ) ( t n + 2 - - t ) d r i + l ，：+ 1 厶，扩( f ) ( f 一，”) d f 口 f 33、 到警( 脬t 聃+ 警t 铷胁) q = 丽1 ( ；i f t n + 2 2 和川r ) + ( ，：= + i n 岛j 扣3 隆姒i t m + 22 t m + 1 像渊) = ( 缸) 3 ：= + 2 i l l 盯p 2 ( 1 2 ) “哆 + 力 d 一 一 0 肿 一 o 0 n n rij ri-j 力 咿 训 m 0 0 一， ， 芘亿 n h “ 一一 一 一眯小 “一 1 2 哆 一 p “一一， p ，i 巧 厶， 驴 = p k “ 厂 p 同样的道理： 因为： 这里： 所以： 所以： 山东大学硕士学位论文 苫= 群舅一旦墨三妻鱼 = 舅+ 卸茹+ j ：= = ：p 肼 ( f ) ( ，2 一f ) 出 p , 7 ，l = p 劣一卸茹+ ”印删 ，( f ) ( ，”一f ) d r 郑：扣) o n + 2 - - t 胁l + l ”“扣肌口 三降( j f ：也t m + l 叫 = 去( 出声t ，t m + l p 乙“州f ) + ( ”“p 乙“州f ) j 矽眩 扣3 隆l c it i n + 2 也如+ ”“赢扣叫 = ( 址) 3 ，t m + 2z h , k p 磊( f ) 如 莓， = ( 址) 3 ：= + 2 t i 川 ( 1 3 ) 也 n 盯p “ p p 力列1 户 打 一 0 o沁 o 垤 仍心 力 出 打 埘 矽 0 0 2 埘 2 帆 虎 芘 1 2 巧 、， “珂一p p ，l 后 见 = r矗 、j r ，l 一y 2 瑚p ，-j 七 驴 、， 址 l 一 山东大学硕士学位论文 下面估计： k “l = k 露一( 以) ；+ 1 l = i 警七川“i l ( ，) 2 “”卅l 这里： 所以： 所以： 1 4 2 w 1 叭譬( 埘+ 争蚪吲t r s + 2 p 荆( t n + 2 - - t 胁 p ”= p 州一仍”1 出+ 等n + l ( 址) 2 一譬( 出) 3 + 壶，：“p 棚( f ) o ”一f ) 3 出 垆l 击 i ：= ：p 水胪 _ f ) 3 斗i ：= + 1 p 删m 卅如口 1 一 一6 ( a t ) 2 i ( j ：= ：k 驴。m ( ”w 叫6 如) l + i ( ：= ”p 磊，驴( o d o ( ”办) 叫 降c 砖矗渺灼喾啦“九川 = 而1 ( 铆；i f t m + 2 2 洲+ ( ：= + 1 元( 州r ) j p 1 吃= 囊乃( g 一2 驴 ( 埘i x h , k ：( t m + 2 p 乙“州什：= + lp 二扣) ， j = ( & ) 3x h , k ：“p 二， ，( f ) 如 盯 = ( 出) 3 ：= + 2 啊七p 乙 ，o ) 如 驴 山东大学硕士学位论文 = ( 址) 3 叫 将( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 代入( 11 ) 式得： 所以： 击 护+ 2 l l l 2 _ 护i | 2 】+ 西1 , 叩n + 2 “附+ 1 跏 ( 1 4 ) ( 出) 3 ，：= + 2 i i p 删吐如+ ( 出) 3 f ：+ 2 忉榭吒咖+ ( ，) 3 r ：“i l l 打k 2 出 + 岫川卜b 棚卜h 州i 巳， 【0 i 告”+ 2 4 2 一i l i 毒”1 0 2 】+ 2 ( 0 c 7 7 ”+ 2 l t ，0 c 叩”+ 1 l ，) 4 ( 址) 4 ”2 ( 2 k卜乙) 出 4 址0 以口”1 吧+ 4 址恢矿+ 2 吧+ 4 出帜叩肿1 也 对( 1 5 ) 式从0 到k 一2 求和，0sk n 一2 得。 州+ 扩1 1 1 2 - 2 卡l | 2 + 2 h 卜2 m 吒 8 ( 出) 4 ，o ( 帆忆2 + 2 i i p 螂吒) 如+ 4 篓。以a 州o + 8 f k - 2 令， 1 4 ，所以： 2 胁”1 i+ 4 a t l l d t r 屹 l l 考1 1 2 + 8 i 眚一1 0 1 2 + i l c 7 7 f 丘， 2 ， ( 1 5 ) 1 5 脚 山东大学硕士学位论文 非0 l i l 2 咔1 l l | 2 + 2 h 1 肛8 ( 出) 4 ，矧仉2 + 2 蚓胁f 讹r 艺胁川1 1 2 + 8 ，k - 2 胁川0 2 由引理2 1 可知： 0 z 叩屹c ( 忙。l i l 2 + i 考- 1 4 2 + 0 以叼t 屹+ ( f ) + 出n - 2 0 以a ”，1 1 2 ) ( 1 6 ) j 脚 m 2 鲫2 + 2 州卜州+ & q ， 由引理2 2 l i l 考”1 与蚓l 等价知： 忙1 1 2 c ( b l e 。1 1 2 + b l e l i l 2 + 忆町1 吒+ ( f ) 4 + f n - 2 i k a 叫0 ) ( 1 7 ) m om 类似 1 8 的估计方法，我们可得： ，- 2 f l k 18 c ( ( ，) 4 + 矿) ( 1 8 ) 选取初值z o = p o ，w o = u o ，z 1 的取法同 3 2 中第2 8 3 页u 1 的取法， 则有 圳i = d ( ( 址) 2 + 乃2 ) ， 再由( 1 6 ) ( 1 8 ) 则有： 1 6 h 吒c ( ( f ) 4 州) ， ( 1 9 ) 山东大学硕士学位论文 所以： 所以： 所以： 帜叩k c ( ( f ) 2 + 厅2 ) 一旷1 h h 一? 7 扣1 l l 锄( ( 址) 2 + 办2 ) ， 锄( ( ，) 2 + 厅2 ) + 旷1 ， 依次下去可得： 所以： 所以： 川| 眦，( ( 出) 2 + 2 ) ， h | c 丁( ( 出) 2 + 办2 ) ， 州c ( ( f ) 2 + 办2 ) 同样选取初值，由( 1 7 ) ( 1 8 ) 则有： 川1 2 c ( ( 址) 4 + 矿) ， 所以： 引l c ( ( 出) 2 + h 2 ) 定理：设若 z ，w ) p ，”) ，分别是问题( 2 ) 和( 3 ) 的解，r p 满足 赡( q ( o ，丁) ) ，p 暇( q ( o ，丁) ) ，五赡( q ( o ，7 ) ) ， 1 7 山东大学硕士学位论文 1 8 初值满足( 1 9 ) ，则存在常数c 与出和h 无关，依赖与p 和“，使得： l p c - u r c ( ( 出) 2 + 办2 ) ， 0 z - p l 肘c ( ( 址) 2 + 办2 ) 山东大学硕士学位论文 5 、数值算例 我们取p - c o s ( 2 石x ) 半，口= 半对( 1 ) 式进行数值试验，由图1 和图2 可 看出p 的取法满足( 1 ) 的条件。由图3 至图7 可看出针对隐格式作不均匀网格剖分， 随着分点的增多数值解与精确解的r 误差及各离散点的数值解与精确解的最大误 差都随之减少。特别由图3 和图7 可看出分点增加了1 0 倍数值解与精确解的r 误 差及各离散点的数值解与精确解的最大误差减少了1 0 2 倍，验证了前文中所得的结 论。图8 至图1 1 为显格式的r 误差及最大误差的图像，也可以得到和隐格式相同 的结论。 1 9 山采大学硕士学位论文 取a - o 5 + s 1 2 精确解p - c o s ( 2 * p i + s ) c 1 1 2 + t a o + t a o l 2 ) 时的算例 1 1 2 。口a8 ) 帕。2 + 1 ) t0 0 圈l ：精确解p - e o s ( 2 + p i + s i + ( 1 1 2 + t a o + t a o l 2 ) 1 2 a + 8 - 啦。) 阱1 ) 图2 ：精确解的导数乘以一一0 5 - s 1 2 山东大学硕士学位论文 图3 ：隐格式近似解的误差， n x = 1 2 0 0 ，t = 4 ，m = 2 0 0 ，a = 0 5 + s 2 ，p - - c o s ( 2 p i s ) ( i 2 + t a o t a o 2 ) s t e pi n 0 ，1 4 】a n d 【3 4 ，1 】i sh = i 8 0 0 ，s t e pi n 【i 4 ，3 4 】i sh 2 ，d t = t m 2 1 山东大学硕士学位论文 t i m et ( 9 8 5 9s e c o n d su s e d ) 图4 ：隐格式近似解的误差， n x = 2 4 0 0 ，t = 4 ，m = 4 0 0 ， a = 0 5 + s 2 ，p - - c o s ( 2 p i s ) ( 1 2 + t a o t a o 2 ) s t e pi n 【0 ，1 4 】a n d 【3 4 ，1 】i sh = i 1 6 0 0 ，s t e pi n 【1 4 ，3 4 】i sh 2 ，d t = t m 山东大学硕士学位论文 1 4 1 2 1 0 8 0 6 0 4 o 2 0 00 51 522 533 54 t i m et ( 2 3 7 0 3s e c o n d su s e d ) 图5 ：隐格式近似解的误差， n x = 4 8 0 0 ，t = 4 ，m = 8 0 0 ，a = o 5 + s 2 ，p = c o s ( 2 p i s ) ( i 2 + t a o t a o 2 ) s t e pi n 【0 ，z 4 】a n d 3 4 ，1 】i sh = 1 3 2 0 0 ，s t e pi n 【1 4 ，3 4 】i sh 2 ，d t = t m 山东大学硕士学位论文 3 5 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 00 511 522 533 54 t i m et ( 5 4 0 6 3s e c o n d su s e d ) 图6 ：隐格式近似解的误差， n x = 9 6 0 0 ，t = 4 ，m = 1 6 0 0 ，a = 0 5 + s 2 ，p = c o s ( 2 + p i s ) ( 1 2 + t a o t a o 2 ) s t e pi n 【0 ，1 4 】a n d 3 4 ，1 】i sh = i 6 4 0 0 ，s t e pi n 【1 4 ，3 4 】i sh 2 ，d t = t m 2 4 山东大学硕士学位论文 t i m et t i m et ( 7 2 5 7 8s e c o n d su s e d ) 图7 ：隐格式近似解的误差， n x = 1 2 0 0 0 ，t = 4 ，m = 2 0 0 0 ，a - - - 0 5 + s 2 ，p = c o s ( 2 + p i s ) ( i 2 + t a o t a o 2 ) s t e pi n 【0 ，1 4 】a n d 【3 4 ，1 】i sh = i 8 0 0 0 ，s t e pi n 【1 4 ，3 4 】i sh 2 ，d t = t i m 山东大学硕士学位论文 t i m et ( 1 8 1 0 9 s e c o n d su s e d ) 图8 ：显格式的误差， n x = 1 5 0 ，t = 4 ，m = 8 0 0 ，a = 0 5 + s 2 ，p = c o s ( 2 p i s ) ( 4 - t a o + t a o 8 ) s t e pi n 【0 ，1 4 】a n d 【3 4 ，1 】i sh = 3 n x 2 ，s t e pi n 1 4 ，3 4 】i sh 2 ，d t = t m 2 6 山东大学硕士学位论文 t i m et ( 3 6 4 2 2 s e c o n d su s e d ) 图9 ：显格式的误差， n x = 3 0 0 ，t = 4 ，m = 1 6 0 0 ，a - - o 5 + s 2 ，p = c o s ( 2 p i s ) ( 4 一t a o t a o 8 ) s t e pi n 【0 ，1 4 】a n d 3 4 ，1 】i sh = 3 n x 2 ，s t e pi n 【i 4 ，3 4 】i sh 2 ，d t = t m 山东大学硕士学位论文 图i 0 显格式的误差， n x = 6 0 0 ，t = 4 ，m = 3 2 0 0 ，a = 0 5 + s 2 ，p = c o s ( 2 p i s ) ( 4 一t a o t a o 8 ) s t e pi n 【0 ，1 4 a n d 【3 4 ，1 】i sh = 3 n x 2 ，s t e pi n 【1 4 ，3 4 】i sh 2 ，d t = t m 山东大学硕士学位论文 t i m et ( 19 3 2 0 3 s e c o n d su s e d ) 图i i ：显格式的误差， n x = 1 5 0 0 ，t = 4 ，m = 8 0 0 0 ，a = 0 5 + s 2 ，p = c o s ( 2 p i s ) ( 4 - t a o t a o 8 ) s t e pi n 【0 ，1 4 】a n d 【3 4 ，1 】i sh = 3 n x 2 ，s t e pi n 【1 4 ，3 4 】i sh 2 ，d t = t m 山东大学硕士学位论文 6 、结束语 块中心方法具有计算简单而且精度高的优点，本文研究了二维空间双曲问题 隐格式下的误差估计，得到了对方程的解及解的导数都是二阶的估计且对解的导 数是超收敛的。 3 0 山东大学硕士学位论文 参考文献 1 d w p e a c e m a n f u n d a m e n t a l so f n u m e r i c a lr e s e r v o i rs i m u l a t i o n e l s e v i e r s c i e n t i f i cp u b l i s h i n gc o ，a m s t e r d a m ，19 7 7 【2 1 k a z i z ，a s e t t a r i p e t r o l e u mr e s e r v o i rs i m u l a t i o n a p p l i e ds c i e n c ep u b l i s h e r s ， l o n d o n ，19 7 9 【3 】a nt i k h o n o v ，a as a m a r s k i i h o m o g e n e o u sd i f f e r e n c es c h e m e so nn o n u n i f o r m n e t s u s s rc o m p u t m a t h a n dm a t h p h y s ，19 6 2 ，p p ：9 2 7 9 5 3 【4 】a s e t t a r i ，a z i zk u s eo fi r r e g u l a r 鲥di nr e s e r v o i rs i m u l a t i o n s o c p e t e n g r g j ，1 9 7 2 ，p p ：1 0 3 - 1 1 4 【5 】s e t t a r i ，a z i ak u s eo f i r r e g u l a rg r i di nc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e s s o c p e t e n g r g j ，1 9 7 4 ，p p ：3 9 6 - 4 0 4 【6 i t fr u s s e l l ， m fw h e e l e r f i n i t ee l e m e n ta n df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sf o r c o n t i n u o u sf l o w si np o r o u sm e d i a t h em a t h e m a t i c so fr e s e r v o i rs i m u l a t i o n ， r e e w i n g ，e d ，s o c i e t yf o ri n d u s t r i a la n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ，p h i l a d e l p h i a ，p a ， 1 9 8 3 【7 】h o k r e i s s ，t a m a n t e u f f e l ，b s w a r t z ，b w e n d r o f f ，a b w h i t e s u p r a c o n v e r g e n ts c h e m e so ni r r e g u l a rg r i d s m a t h c o m p ，1 9 8 6 ，p p ：5 3 7 - 5 5 4 8 d o u g l a sjj r , r u s s e l lten u m e r i c a lm e t h e d sf o rc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dd i f f u s i o n p r o b l e m sb a s e do nc o m b i n i n gt h em e t h o d so fc h a r a c t sw i t h f i n i t ee l e m e n to rf i n i t e d i f f e r e n c ep r o c e d u r e s s i a mjn u m e ra n a l ，19 8 2 ，1 9 5 ，19 ( 5 ) ：8 71 - 8 8 5 【9 】m n a k a t a ，a w e i s e r ， m ew h e e l e r s o m es u p e r c o n v e r g e n c er e s u l t sf o r m i x e df i n i t ee l e m e n t sm e t h o d sf o re l l i p t i cp r o b l e m so nr e c t a n g u l a rd o m a i n s t h e m a t h o ff i n i t ee l e m e n t sa n d a p p l i c a t i o n s ，1 9 8 4 j r w h i t e m a n ， 1 9 8 5 ，p p ： 3 6 7 3 8 9 【1 0 】pg r i s v a r d b e h a v i o ro f s o l u t i o n so f e l l i p t i cb o u n a a r yv a l u ep r o b l e m si na p o l y g o n a lo rp o l y h e d r a ld o m a i n i n ：b h u b b a r d ( e d ) ，s y m p o s i u mo nn u m e r i c a l s o l u t i o n so f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le