（电磁场与微波技术专业论文）发夹型交叉耦合带通滤波器的研究.pdf

摘要 随着移动通信、卫星通信和雷达、遥感技术的不断飞速发展，微波滤波器作 为一种关键的射频器件应用越来越广泛。在雷达、微波、通讯等部门，多频率工 作越来越普遍，对分隔频率的要求也相应提高，这也促进了具有更好性能的微波 带通滤波器结构在实际工程设计中的应用。 本文首先介绍了微带发夹谐振器交叉耦合带通滤波器的发展历史和研究现 状。发夹谐振器是广泛应用于微波滤波器设计中的一种谐振器结构，而通过恰当 地调节谐振器的位置和间距实现交叉耦合函数特性的滤波器结构，自提出以来就 因为良好的性能而被众多微波工作者的研究和应用。接着系统地介绍了滤波器的 基本概念和重要参数，并详细分析了微带滤波器设计的原理。接下来介绍了发夹 型交叉耦合微带带通滤波器的设计方法，并对微带材料的不同给滤波器性能带来 的主要影响进行研究。 比起传统的微带交指、平行耦合线等形式的滤波器，交叉耦合徼带滤波器体 积小，且具有很好的带外抑制特性，是种很实用的滤波器结构。通过将微带谐 振器安放在不同的位置和改变谐振器之间的间距，可以实现不同性质的耦台及耦 合大小。该类滤波器可以广泛应用在平面电路中，在超导状态下也有诱人的应用 前景。 关键词： 带通滤波器微带线微带谐振腔发夹型谐振器 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o d m e n to fm o b i l ec o m m u n i c a t i o n 、s a t e u i t ec o m m u n i c a t i o n 、 r a d a ra i l d r e m o t es e n s i n gt e d m o l o g i e s ，m i c r o w a v em t e r sa r e 、v i d e l yu s e da sa ne s s e n t i a lr fd e 啊c e a tt h ed e p a n i i l e m ss u c ha sr a d a r 、m i c r o w a v ea n dc o 哪u n i c a t i o n ，m u l t i - 矗e q u e n c yo p e r a t i o n i sm o r ea n dm o r ep o p u i 戡t h ed e m a n dt o w 盯d 矗e q u e n c ys 印a r a t i o ni sc o r r e s p o n d i n g l y i n c r e a s i n g ，w h i c hp r o m o t e sm ea p p l i c a t i o no fm i c r o 、a v eb a n d p a s s f i l t e r s 、v i t hb e n e r p e r f b 彻a n c ei np r a c t i c a lp r o j e c td e s i g n t h ea l n h o ro ft h i sp a p e rf i r s ti r l 仃o d u c e sm eh i s t o r ya n dt h ec u r r e n tr e s e a r c ho f c r o s s c o u p l e dm i c r o s t r i ph a i r _ p i n r e s o n a t o rn l t e r s h a i r 口i nr e s o n a t o ri sas t r u c n l r ew i d e l yu s e d i nm i c r o w a v ef i l t e rd e s i i 皿t h e nt 1 1 eb a s i cc o n c e p t i o n sa t l ds o m ei m p o n a l l tp a r 啪e t e r so f f i l t e r 盯es y s t e m a t i c a l l yi m r o d u c e d ，锄dt h ep r i n c i p l e so fm i c m s t r i pf i l t e rd e s i g na r ea l s o a n a l y z e d s u b s e q u e n t i ym ea u t h o rd i s c u s s e st h et l l e o r ya n dd e s i g no fc r o s s c o u p l e dm i c r o s t r i p h a i r p i n - r e s o n a t o rf i l t e r s ，a n ds t u d i e st h ee f i 色c to fd i 矗b r e n tm i c r o s t r i pm a t e r i a l so nt h e p e r f o r n l 8 i l c ed f 矗l t e r s c m s s - c o u p l e dm i c r o s 仃i ph a i r p i n r e s o n a t o rf i l t e r si n t r o d u c e di nt h i sp a p e rh a v es m a l l e r s t z ea l db e t 钯ro u 扣o f l b a n dt e i e c t i o n 也a nt r 瓤虹n o n a l 矗l t e r ss u c ha s p a r a l k lc o u d l e dl i n e 矗 a n dm i c r o s t r i pi n t e r d i g i t a lf i l t e r s b yi m p l e m e n t i n gt h er e s o n a t o r si nd i f i e r e n tl o c a t i o n sa n d a d j u s d n gd i s t a n c e sb e 柳e e nt h er c s o n a t o r s ，w ec a ne s t a b l i s hd i 行e r e n tc o u p l i n gt y p e sa n d a p p r o 埘a t e ：c o u p l i n g t h i sk i n do ff i l t e r sc a f lb e 谢d e l yu s e di np l a n a rc i r c u i t s ，t h e ya r ea l s o a t t r a c t i v ef - o r 矗m 1 e rd e v e l o p r i l e n tt o w a r dh t sa p p l i c a t i o n s k e yw o r d s ：b a n d p a s sf i l t e r ，m i c r o s 啊p 一1 i n e ，m i c r o s t r i pr c s o n a t o r h a i r p j nr e s o n a t o r 南京邮电学院学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得南京邮电学院或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：日期 南京邮电学院学位论文使用授权声明 南京邮电学院、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留 本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权 南京邮电学院研究生部办理。 研氧名：箍弛飙 南京邮电学院硕士研究生学位论文 第一章绪论 第一章绪论 滤波器是种二端口网络，它具有选择频率的特性其根本功能在于抑制不 需要的频段信号，而使需要的频段信号顺利通过。从长波、中波经微波、毫米波 到光波的所有波段都需要滤波器。微波滤波器作为实际射频系统中关键的一种器 件，伴随着移动通信、卫星通信和雷达、遥感技术的不断飞速发展而越来越凸显 其重要地位。 目前由于在雷达、微波、通讯等部门，多频率工作越来越普遍，对分隔频率 的要求也相应提高，这就使得微波带通滤波器的应用更为广泛，同时也促进了具 有更好性能的微波带通滤波器结构在实际工程设计中的应用。 在用微带材料进行分布参数微波带通滤波器设计的过程中，半波长平行耦合 线滤波器和微带交指滤波器等传统结构都逐渐凸显出一些不足。自发夹线滤波器 结构被提出以来，其相关理论经过不断的探索和验证已经发展得相当成熟，并被 广泛地应用到滤波器设计中。 发夹线结构可看作是由平行祸合线结构对称折叠形成，由于钋观上形状像字 母u ，所以也常被称为u 型结构。在平行耦合线滤波器中，谐振器在一个方向 依次摆开，造成滤波器在一个方向上占用很大空间，而采用发夹线结构在很大程 度上减小了体积，与交指滤波器相比谐振器无需接地连接，一定程度上减小了加 工过程中引入的损耗。 在微带带通滤波器的设计中，由于谐振器单元之间通过各种形式的耦合来构 造滤波函数，所以在谐振器单元结构设计之外，耦合形式的设计更为重要，常通 过将微带谐振器安放在不同的位置和改变谐振器之间的间距，实现不同性质的耦 合厦耦合大小。总的来说，微带带通滤波器设计的任务就是设计谐振器单元结构， 并对它们的位置和楣互之间的间距进行优化调整，从而得到理想的滤波特性。 e d w a r dg c r i c s t a l 于1 9 7 2 年在i e e e 微波理论和技术上发表发央线 和混合发夹线半波长平行耦合线滤波器，把发夹线滤波器分为输入、输出线终 端开路和终端短路两种类型，并设计了几种混合发夹线半波长平行耦合线滤波器 的结构。 u l r j c hh g y s e l 于1 9 7 4 年在i e e e 微波理论和技术上发表发夹线滤波 旃2 页 南京邮电学院碳j j 研究生学位论文 第一章锗论 器的新理论及其设计，介绍了发夹线滤波器的一种设计理论。 g e o r g e lm a t t h a e i 于19 9 7 年在i e e e 微波理论和技术上发表发夹线滤 波器在h t s 和其他窄带结构中的应用，研究了发夹线结构在高温超导条件下结 构紧凑的窄带滤波器中的应用。 c h i h - m i n gt s a i 于2 0 0 1 年在i e e e 微波理论和技术上发表具有可调传输 零点的发夹线滤波器，介绍通过改变抽头线位置和结构来调节传输零点位置， 达到抑制通带附近干扰信号的目的的一种方法。 j i a s h e n gh o n g 于1 9 9 8 年在i e e e 微波理论和技术上发表交叉祸合微 带发夹谐振器滤波器，介绍了典型的平面交叉耦合滤波器结构的原理及设计。 交叉耦合结构的滤波器有其独特的平面结构和传输函数特性。与半波长平行 耦合线滤波器中谐振器的单向直线排列、相邻位置直接耦合的方式不同，交叉耦 合结构的滤波器中常以几个谐振器的组合为单位，既能由单个组合实现滤波特 性，也可以由多个组合级联实现滤波函数特性。按照组合中谐振器含数的不同， 谐振器按不同的几何位置排列，常用的有三单元组、四单元组和六单元组等组合。 谐振器之间除相邻位置的直接耦合( 主耦合) 外，特定位置谐振器之间还存在旁 路耦合，通过适当地调节谐振器位最和间距改变旁路耦合的大小，可以在带外引 入衰减极点，能明显地改善滤波器的带外特性。 交叉耦合结构的带通滤波器有着很多的优点：体积小，容易加工制作，损耗 低；引入了有限衰减极点，有良好的带外特性；结构灵活，设计自由度大，可以 广泛地用于h t s 和无线射频微波电路中。 本文在设计四阶发夹谐振器交叉耦合带通滤波器的理论基础上，对不同介电 常数和介质基片厚度的几种微带材料上的楣同性能指标的滤波器结构进行设计 和仿真，并研究微带材料的不同给滤波器性能带来的主要影响。 纂3 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文第二章微带滤波器的设计原理 第二章微带滤波器的设计原理 2 ，1基本工作原理 2 1 1 滤波器的基本概念 r 1 i l 2 厂_ l 一 千 a 上 爹 u ) i - 文 l 削2 1 图2 1 的虚线方框里面是一个由电抗元件l 和c 组成的两端口。它的输入 端1 1 与电源相接，其电动势为e g ，内阻为r i 。二端口网络的输出端2 2 与 负载凡相接，当电源的频率为零( 直流) 或较低时，感抗j l 很小，负载黜 两端的电压降e 2 比较大( 当然这也就是说负载可以得到比较大的功率) 。 但是，当电流的频率很高时，一方面感抗j l 变得很大，另一方面容抗一j ( o c 却很小，电感l 上有一个很大的压降，电容c 又几乎把短路，所以，纵然电 源的电动势e g 保持不变，负载两端的压降e ：也接近于零。换句话说，不 能从电源取得多少功率。网络会让低频信号顺利通过，到达，但阻拦了高频 信号，使不受它们的作用，那些被网络a ( 或其他滤波器) 顺利通过的频率 构成一个“通带”，而那些受网络a 阻拦的频率构成一个“止带”，通带和止带相 接频率称为截止频率。 网络a 是由电抗元件组成的，而电抗元件是不消耗功率的，所以，高频功 率并没有被网络a 吸收，在图2 1 所示的具体情况中，它有时贮存于电感l 的 周围，作为磁能；在另一些时间，它又由电感l 交还给电源。如果l 和c 都是 无损元件( 即它们的电阻等于零) ，那么，高频功率就是这样在电感与电源之蒯 来回交换，丝毫不受损耗这就是电抗滤波器阻止一些频率通过的物理基础。从 第4 页 壹室堂皇兰堕堡：! 型塑圭兰丝丝塞 兰三童堂堕婆婆! 塑壁塑堡塞 这个意义来说，可以认为滤波器将止带频率的功率发射回电源去，同时也是因为 这个关系，在止带内滤波器的输入阻抗是纯电抗性的。 网络a 是个很简单的滤波电路，它的滤波效能是比较低的，在许多场合下， 往往不能满足技术上的要求，而不得不采取更复杂的电路结构。然而，不管电路 结构如何复杂，滤波作用的物理根源还是和前面所说的完全一样。 滤波作用是滤波网络所具有的内在特性，但滤波网络所能起到的作用还受外界因 素( 电源内阻r ，和负载电阻) 的影响。滤波效能首先决定于滤波器的内在特 性( 这是主要的) ，同时还决定于滤波器的外加阻抗( 这也是不可忽略的) 。那么， 滤波器效糍是用什么来衡量的昵? 图2 2 ( a ) 表示一个电源，它的电动势为e g ， 内阻为r t 。设负载为，则当负载直接与电源相接时，它所能吸收的功率p 为： 耻若爵e ： 如果将滤波器a 接于电源与负载之间，如图2 2 ( b ) 所示，由于滤波器的特 性，当电源频率变化时，出现于两端的压降e 2 是不同的，即从电源所取得 的功率b = e ；r 2 在不同频率上是不等的。用分贝来表示的p 。：与p ：的比值 称为插入损耗b ： l ，：l o l o g 垃 1 、。p 2 ( a ) ( b ) 图2 2 根据上面的讨论，显然可见，一个良好的滤波器的插入损耗在遁带内应该比 第5 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文 第二章微带滤波器的设计原理 较低，而在止带内应该比较高。理想的滤波器的插入损耗在通带内应该等于零， 而在止带内应该是无穷大。 插入损耗是普通滤波器常用的参数。滤波网络具有的阻抗变换特性不难使负 载弛在整个通带内与电源达成匹配。这时，负荷所吸收的功率将超过p o ：，而使 l 取得负值。根据r l 和r 2 的比值不同。“的这个负值也不一样。因此，插入损 耗l i 并不是一卜很方便的比较基准。为了避免这种困难，人们还提出另外一个 参数，它以电源所能供给的最大功率p 0 为基准。从电工理论可知： p o = e ；4 r 1 p l 与p o 的比值，如以分贝来表示，称为变换器损耗l ( t r a n s d u c t e rl o s s ) k 捌辔 根据以上给出的关系，可以算出 l t + 1 0 k 样( d b ) ( 2 ) 从上式显然可见，当& = r 1 时，变换器损耗就是插入损耗。有些参考书上， 这两者是混为一谈的。 在( 2 ) 式中，当频率变化时，p 2 是跟着变化的。在理想的情况下，滤波器的 变换器损耗l a 在通带内应该是零，而在止带内则应该具有比较大的数值。根据 滤波器的具体电路结构，变换器损耗与频率保持有各种不同的关系。图2 3 给出 由传输函数幅度响应划分的血种主要滤波器类型，图中横坐标表示频率，纵坐 标表示变换器损耗l a 。( a ) 表示有关器件顺利通过低于( o l 的频率，而阻碍高于l 的频率通过：这样的器件称为低通滤波器( l p l o w p a s s ) 。( b ) 的情况正好相反， 称为高通滤波器( h p h i g l lp a s s ) 。( c ) 表示有关器件顺平通过l 至2 之间的 频率，对于低于1 或高于2 的频率都阻碍它们通过；这样的器件称为带通滤 波器( b p - b a i l dp a s s ) 。( d ) 是( c ) 的对立面，它阻止1 至砬之间的频率通过，称 第6 页 堕室塑皇堂堕堡! ：型塞圭兰丝堡苎； 苎三至塑堕塑丝竖堕! ! ! 塑里 为带阻滤波器( b s b a n ds u p p r e s s ) ：( e ) 表示任意频率信号都能顺利通过，称 为全通滤波器( a p a l lp a s s ) 。这些不同的频率特性取决于电路的具体结构，图 2 4 给出以上四种滤波器的基本结构形式，各个元件的数值是和变换器衰减的频 率特性以及所接负载密切联系着的。 骤然看来，这四种电路结构是很不相同的，似乎各自应有各自的设计方法。 其实不然，通过一些数学方法，可以把这四种滤波器电路结构完全统一起来，这 里用到的数学方法叫作“频率变换”。应用频率变换法，其它三种滤波器都可以看 作低通滤波器；在设计时，先从它对应的低通滤波器着手，在获得低通滤波器的 设计数据以后，再用频率变换法，求得所要设计的滤波器的数据。因为这个关系， 满足设计技术要求的低通滤波器称为“原型滤波器”或“原型滤波器”( p r o t o t y p e ) 。 h 懒 i 甜c 咖p b 0 s h u 劫； 嘞 甜c m h i 口hp a 0 5 甜1时2 m b a 州s t o p ( a ) ( b ) 12 日a n d p 图2 3 图2 4 在实际滤波器中，交换器损耗的频率特性往往不像图2 0 那样理想。首先 从通带过渡到止带，l 一是慢慢增加的，所以。衡量滤波器效能好坏的有关标准 第 鬣 芏工 南京邮电学院硕 二研究生学位论义 第一章微带滤波器的设计原理 是：从通带过渡到止带时，l “曲线的上升要陡峭。其次在通带内，变换器损耗 不是完全不存在的，一方面因为构成滤波器的元件多少总带有一点损耗，如电感 中的电阻，电容中的漏阻等。另一方面，由于设计上的考虑，有时故意要l 在 通带内不能完全为零。故衡量滤波器效能的另一准则是：在l a 曲线从通带过渡 到止带的上升程度相同的情况下，l a 在通带内的大小究竟怎样。 对以上蕊点的要求越赢。滤波器所需用的元件越多这将带来生产工 乍和造价的 增加。所以，对于实际设计，应根据具体情况进行全面的考虑，只要滤波性能能 够满足所提出的要求，那便没有追求l a 曲线上升过分陡峭的必要。 2 1 2 滤波器的主要参数 ( 1 ) 绝对衰减( a b s o l u t e a t t e n u a t i o n ) ：阻带中最大衰减( d b ) 。 ( 2 ) 带宽( b a n d w i d t l l ) ：带宽分为噪声带宽、3 d b 带宽、奈奎斯特带宽、滚 降系数带宽等等。要明确加以区分。通常这里指的是3 d b 带宽，等于f 2 一f 1 ，相 对带宽等于( 记一f 1 ) ，内。 ( 3 ) 中心频率：f c 或f 0 。 ( 4 ) 截止频率。下降沿3 d b 点频率。 ( 5 ) 每倍频程衰减( d b o c t a v e ) ：离开截止频率一个倍频程衰减( d b ) 。 ( 6 ) 微分时延( d i 鼠r e n t i a l d e l a y ) ：两特定频率点群时延之差以n s 计。 ( 7 ) 群时延( g r o u p d e l a y ) ：任何离散信号经过滤波器的时延( n s ) 。 ( 8 ) 插入损耗( i n s e r t i o n l o s s ) ：在电路中由于插入滤波器所导致的信号损耗， 以d b 为量度。与3 d b 带宽相对应，一般认为通带插损 1 0 d b 。 - ( 9 ) 带内波纹( p a s s b a n d r i p p l e ) ：用于描述频率衰减在滤波器通带内的变化， 定义为频率响应曲线上幅度的最大值与最小值之差，以d b 计。 ( 1 0 ) 相移( p h a s e s h j r ) ：当信号经过滤波器引起的相移。 ( 1 1 ) 品质因数q ( q u a m y f a c t o r ) ：表示为中心频率与3 d b 带宽之比分有 载和无载，定量地描述了滤波器的频率选择性。定性地理解就是截止频率附近响 应曲线变化的陡峭程度。 第8 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文 第二章搬带滤波器的设计原理 ( 1 2 ) 形状系数( s h a p 龇r ) 定义为锱。 ( 1 3 ) 寄生通带：因为微波滤波器采用的是分布元件，随着工作频率的升高， 这些元件的感性和容性将发生转化，故在阻带中又会出现通带。这种通带就是寄 生通带。在设计时，应尽量使寄生通带远离需要抑制的频段。 ( 1 4 ) 止带( s t o p b a n d 或r e j e c t b a n d ) ：对于低通、高通、带通滤波器，指衰 减到指定点( 如6 0 d b 点) 的带宽。 2 1 3 集总参数滤波器 ( 1 ) 基本l c 低通滤波器( 图2 5 ) l 二王工 基本l c 低通滤波器t _ 型常数k 低通滤波器 n - 型常数k 低通滤波器 图2 5 ( 2 ) 基本l c 高通滤波器( 图2 6 ) 叫卜 基本并联带通滤波器 图2 6i 笙| 2 7 ( 3 ) 基本串联、并联带通滤波器( 图2 7 ) ( 4 ) 基本串联带阻滤波器( 图2 8 ) 第9 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文 第二章微带滤波器的设计腻理 t 一 。工。 基本并联带阻滤波器 蹦2 8 c h 日 基本串联带阻滤波器 ( 5 ) 基本滤波器电路的串联、并联构成更复杂的多级滤波器( 图2 9 ) 。工工工工。 ( a ) 2 1 4 分布参数滤波器 图2 9 ( 1 ) 六级边缘耦合平行耦合线带通滤波器( 图2 1 0 ) ( b ) 幽2 ，1 0 ( 2 ) 六级折叠边缘耦合分布参数带通滤波器( 图2 1 1 ) 图2 1 l 第l o 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文第二章微带滤波器的设计原理 ( 5 ) 六级叉指分布参数带通滤波器( 图2 1 2 ) 却酗引酷 2 2低通滤波器原型设计 图2 1 2 低通滤波器设计是基础 1 ) 高通滤波器可用带通滤波器( 当通带高端很高时) 代替： 2 ) 带阻滤波器可看成低通滤波器与高通滤波器的组合； 3 ) 低通滤波器是带通滤波器的特例； 4 ) 低通滤波器原型可作为带通滤波器设计基础。 由低阶滤波器的通用矩阵 a 一节一节地推导下去，最终就能导出像图2 1 3 所示梯形结构 低通滤波器的幅度平方函数a 2 ( ) 的一般表示式： a 2 ( ) = 1 + b l 西2 + b 2 p + b 3 p + 十b n 毋“ 其中n 是滤波器的元件个数。 图2 1 3 r 2 = 1 通过对低通滤波器进行定量分析以后，得出两个极为重要的结论： ( 一) 一 个特定的电压传递函数，对应着两个具体电路，这两个电路就是电工中的对偶电 路。( 二) 对于梯形结构的低通滤波器，它的幅度平方函数可以表示为频率作参 量的一个2 n 阶的多项式。又因为a 2 佃) 和插入损耗l i 有直接关系，滤波器的综 第1 l 页 南京邮电学院硕士研究生学位论义笫- 二章徽带滤波器的设计原理 合又和多项式直接联系在一起，所以也有人把综合法滤波器叫做多项式滤波器。 2 2 1网络分析 工程设计中遇到的实际电路，大多可以用图2 1 4 所示的二端对网络来表示。 ， 网络 这样的两端对网络主要是用作传输系统。把e g ，e 2 之比称为传递函数。 用网络理论来推导这个电压传递函数。考虑到网络内元件的复杂性，可用通用矩 阵【a 】来推导这个传递函数。 图2 1 4 所示结构用 a 】矩阵的参数来表示：根据【a 】矩阵的定义： e 1 = a e 2 + b 1 2 i l = c e 2 + d 1 2 先求2 2 。端接上负载m 时，l l 端的输入阻抗z 。n 7 一e l 一 “一百一 a e 2 + b 1 2 一 c e 2 + d 1 2 牛群 一a ( 鲁) + b 。 l1 2 i 一c + 。： 于是图2 1 4 所示的网络就转化为图2 1 5 那样。 第1 2 页 南京邮电学院硕上研究生学位论文 第二章微带滤波器的 殳计原理 图2 1 5 e g _ r 1 1 1 + z _ i l ( r 1 + 蒜】 ：i ，f 坐2 里! 垦! 垦2 坠11 lc r 2 + d 砸：佃) 1 2 生岩笋 e g a r 2 + b + c r l r 2 十d r l e 2r 2 当r 1 = = 1 q 时 曼：a + b + c + d e 2 ( 3 ) 因为，对于纯电抗网络，当频率j 时，只有b 和c 是纯虚数，而a 和d 是实 e g 数。所以，e 2 就是一个复数。于是又可以把它表示为： 亨：巨| e j e = a m ) e 2 i e 2j 一 第1 3 页 南京邮电学院顽 研究生学位论文第二章微带滤波器的没汁原理 这个公式是极其重要的一个关系式，它所要满足的条件在一般要讨论的问 题中，很容易达到( r l i ) 。这是因为：作为一个传输系统总是希望把大部分 功率传到负载上去的，所以总是想尽办法使电流和负载匹配。 2 2 2 阻抗和频率的归一化和反归一化 电压传递函数的阻抗归一化 对大量的具体电压传递函数进行分析后，可以总结出一个重要的特性： 如果网络中的每个独立的阻抗乘上一个常数因子a ，这个网络的电压传递函 数保持不变。 对于电阻值：r = a r ， 对于电容值：c k = e ，k 对于电感值：l k2 去u k 电压传递函数的频率归一化 受到上述的好处以后，很自然地会想到不同的频率工作的电路，其电压传递 函数是否也能归类，研究的结果是可行的。其结论如下： 如果把工作频率从0 ) = 1 弧度秒升高到= b 弧度，秒，让该网络的所有电阻保 持不变，而把网络中的所有电感l 和电容c 都除以b ，那么，变换后的电路的电 压传递函数没有变化。 这是很自然的，它好像物理量的单位换算，其基本的道理仍然是使网络各元 件的阻抗之比保持不变。 对于电阻，因为它和工作频率无关，所以工作频率变化，不影响它的值。 对于电容的电感，则有： 第1 4 页 南京邮电掌院硕士研究生学位论文 第二章徽带滤波器的设计原理 x ，= 甜l - = 皿= 耐b 二l - 。 b 其中 c 0 = b 耐l = 去l x 。：土：土：! u 耐c 心 d b 旦 b 其中= b 耐c = 三c b 阻抗归一化和频率归化的概念在网络理论中极为重要。因为，列表中的各种 元件值都是以阻抗归一化和频率归一化后的元件值。各种具体阻抗和工作频率时 的具体都由它们导出。 把这两个法则合在一起，从而能一下子同时去掉这两个归一化。因此，对于一 个已归一化的电路，要让它们阻抗提高a 倍，频率提高b 倍，那么就有： 每个网络中的电阻乘上a 每个网络中的电感乘上舳 每个网络中的电容乘上1 a b 各种频率特性的滤波器的归一化 各种不同衰减特性的滤波器：低通、高通、带通和带阻，可以通过数学上 的变量代换，归并为一个低通归一化原型滤波器。若从数学变换的角度看，电压传 递函数的频率归一化也属频率变换。从原型滤波器的数据推求实际滤波器网络的 具体结构： ( 1 ) 频率扩展( 频率归一化) 原型低通滤波器的截止频率c = l 。假如需要设 计的低通滤波器的截止频率不等于1 ，而是。，则从数学角度说相当于将原来的 频率轴d 倍乘了。 故= ( o c ( i 】 亦即 ( o = c 图2 1 6 ( a ) 表示两个频率轴之间的关系，( b ) 表示原型低通滤波嚣的l 。关系， ( c ) 表示换算后l a 之间的关系。在( b ) 和( c ) 的图形上，还把负频率部分画上。负 频率实际上当然不是客观存在的，但从数学的观点来说，它还是可以和l a 保持 第1 5 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文第二章微带滤波器的设计原理 一定的函数关系。这两个图形表明l a 和频率保持有偶函数的关系，这是由上面 所提到的可实现性决定的。进行这种频率变换时，设计电路的元件也跟着改变。 ： ： 卜七寺撒率轴 图2 1 6 ( e ) ( 2 ) 低通转高通如需要设计一个高通滤波器( 参看图2 ，1 7 ) ，它的截止频率 是c ，人们使新的频率变量与原来的d 保持下列关系： 伪h 0 ) = 一上 耐 图2 1 7 在频率轴上表明这种转换关系。应用数学上的手法人们设计高通滤波 器时，实是利用了原型低通滤波器的负频率部分。所以要用这一部分也可实现性 决定的数学方法的运用必须切合实际，绝不能脱离实际进行数学游戏。 。由原型低通滤波器换算到高通滤波器时，电路元件当然要改变：原型滤波器 电感应改为电容，其数值 c k2 去 原型滤波器的电容应改为电感，其数值 第1 6 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文第一二章微带滤波器的设计原理 k 。去 ( 日一o r t 。 图2 1 7 l k 和c 都是可从表上查得的原型低通滤波器的元件参数。 c 。 o ( 3 ) 低通转带通如果要根据低通滤波器设计一个带通滤波器( 参看图2 1 8 ) ，的截l 卜 频率是1 和【) z ，人们需要进行更复杂些的频率变换，使原型滤波器的频变量( ) 与带 通滤波器的频率变量u 保持以下关系： 耐= 去 等 o ) 2 一1t o 式中u2 为带通滤波器的高端截止频率，u ，为低端截止频率。uo 称为中央 频率。通常令 = 再两 uz ul 为带通滤波器的通频带，滤波器的相对通频带w ： 第1 7 页 南京邮电学院硕上研究生学位论文 第二章微带滤波器的设计原理 w ：垫二旦 吣 w 通常以百分比表示，故( 4 ) 式可以改写成 0 耐= 嘉曙一爿 ? 一曩 一一! 一二1 ：o l_ i i 一 “一 、0 、j 一【1 1 2 一0 一蝣1 图z 1 8 ( 5 ) 实际频率 o ( 数学关系) 由式( 5 ) 求，经过演算和分析，可以得到原型滤波器的频率轴与新频率轴的 关系( 见图2 1 8 ) 。 根据原型低通滤波器换算带通滤波器，电路元件变得更加复杂。原型滤波器 的电感应改为l c 串联电路，它的电感l k 和电容c k 与原型的电感l k 保持以下关 系： k 告 k = 去 第1 8 页 南京邮电学院硕i ：研究生学位论文 第二章微带滤波器的设计原理 原型滤波器的电容应改为l c 并联电路，它的电容ck + l 和电感l 与原型的 电容c n z 保持以下关系： c 旷罴 c 旷去 l k 和c 都可以从原型低通滤波器的元件表上查得。 表t原型低通滤波器的频率和阻抗变换 2 。3低通滤波器的设计原理 低通滤波器根据定义应该是：在通带内滤波器的变换器损耗l 为零，而在 止带内l 一应该无穷大。这是不可能实现的。一般来说，工程问题多大只有一个 折衷解。照顾一方面，另方面就得牺牲点，没有什么都好的。滤波器的综合也 是这样，主要的指标有插入损耗，带外衰减，信号的时间迟延，信号的群迟延等。 第1 9 页 堕室塑皇兰堕堡主堕窒圭堂丝堕苎； 堡三兰! 堕堂塾堕盟垦型：! 堡 根据不同要求，给出不同的结果。这旱就是一个近似问题。即用什么方法去尽量 地近似理想的情况。同时也有一个是以哪种方式去近似。只有解决了这些问题， 才能继续讨论具体的综合。 2 3 1 近似问题 用自变量x 代替无线电技术中的频率。 假定g 俐为x 的函数，给定在工轴的向缈范围内，并令删为所需要求的近似 ( 实现) 函数。函数g 俐作为一个期望的幅度函数或者相位函数。它可能是以解析 式给出，不过经常是以图形给出。倒则是可实现的网络函数。假定g 和倒在 区间俺缈内具有同样的性质。这样，它们在某一点瑚均可用台劳级数来展开。荠 设两个级数在区间向剀内均为收敛，则： g ( 工) = d o + q b 一知) 十d 2 0 一工o y + 厂g ) = 岛+ 岛b 一工。) + 岛o z 。) 2 + 近似的误差将为两者之差，即 g ( 工) 一厂( 工) = ( 嘞一岛) + ( 盘。一岛) ( 工一工。) + ( 盘。一岛) ( 工一确) 2 + 如果两个级数的前k 次系数逐项彼此相等，则刷与g 俐为世阶台劳型近似a 在此情况下，误差函数将由x 的第+ u 幂次项丌始，即 g 一厂( 工) = 扛删一肛一1 删+ 上式就是z 确处展开的台劳级数的误差函数。可以看出： 在胤处的误差 函数的前k 阶导数为零。这是台劳近似法的一个性质。可以得出如下定义： 如 果g 俐荆的前k 阶导数在x = 湘处为零，则刷为g 俐在融处的k 阶台劳近似 式。 台劳型近似法中，在工= 瑚处误差为零；而随着x 郴的增大，误差增加。因 而，这一近似法有利于接近瑚的所有工值，而不利于接近区域两端的点。其实这 第2 0 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文第二章微带滤波器的设计原理 个近似仅在m 点十分好，在这一点不仅两个函数完全相同，而且，它们的若干导 数也完全相同。 如果，近似函数f ) 沿给定函数g 倒来回摆动，则两者的差将有峰值和谷 值，某些峰值将是很大，而某些峰值则很小。倒越复杂，即俐的可调整参数越多 得到的近似就越好。假设，规定刷有n 个参数，例如： 以工) = l + 以l 工+ 口2 工2 + d 3 工3 + 乜月工矬 为具有n 个可调整系数的多项式，它使得误差函数的最大值降到最小。称此近似 法为“切比雪夫近似法”。 由上可知，对一个函数g 俐或图形进行近似，方法是多种的，上述的台劳级数 近似法和切比雪夫近似法都是最常用的，此外还有些近似法，如椭园函数近似 法。不同的近似法有它各自的特点，所以就有选择的余地。 ( 一) 最大平滑近似 图2 1 9 示出了一个理想低通滤波器，其幅度和截止角频率( o c 都标称为l 。这 个理想低通滤波器传递函数为： e 0 ) = e 一扣o 叫s 1 e ( j o ) ) = oi 叫 l ：l o l g 吲 ： l jl ， ol 图2 1 9 这样的理想特性是无法实现的，因为网络函数是一个有理函数，其幅度必须 第2 i 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文 第二章微带滤波器的设计原理 是0 ) 的连续平滑函数，而图2 1 9 的特性则不然，它在= l 处要折转一个直角。 因此，在综合过程中，需用近似方法求出一个有理函数来近似图2 1 9 的特性。 种简单的近似称为最平幅度特性近似。这一近似函数必须是有理函数，在通带内， 即 o h 1 的范围内，幅度平方要近似于1 。而在通带之外，即h 1 的 范围，幅度的平方逐渐趋于无穷大。首先，假定传递函数的无穷大点产生在频率 等于m 处则有： g g 于) = l e ( j 1 2 = 1 + b l 毋+ b 2 4 + + b 。毋“ 其中指数n 和系数b 是待定的常数，它们的数值与所求的近似程度有关。在 上式分母中的第一项的系数取为1 是为了保证近似函数与给定函数在；o 时重 合，在通带内误差函数为： g i ( o 。2 ) 一g ( o 孑) = b 1 矗+ b 2 ? + + b 。2 n 用x = ? 代入上式褥 r ( x ) = a i ( x ) 一g ( x ) = b 1 毋+ b 2 p + + b 。毋“ ( 6 ) 系数b 的求法随所采用的近似类型而定。如果采用台劳型近似，则要求误差 函数的前n 阶导数在x = o 时等于零。更确切地说，k 阶台劳型近似需要误差函数 的第k 阶导数之前的各阶导数等于零。式( 6 ) 的第k 阶导数之前的各导数当x - o 时分别为： 掣f x 0 - b i - 1 x b l _ l f b l 善r ( x l 枷= 2 b 。= - 2 b 。= 2 f b 2 嘉r ( x 】，枷= 6 b ：= l 2 x3x b 3 = 3 l b 3 第2 2 页 南京邮电学院硕 ：研究生学位论文 第二章微带滤波器的设计原理 这样可以推断定： r ( x ) 的第n 阶导数在x = o 时 可以表示成b n 乘以n ! 。采 用台劳型近似，则误差函数r ( x ) 的第k 阶以前导数在x = 0 时都必须是零，才可以 称为第k 阶台劳近似。所以，b t = 0 ，b f o ，b 3 - 0 一直到b 叫= 0 ，于是，函数 g ( o d 2 ) = l + + b k + i 铲k + 1 ) + 。+ b 。毋n 就是对于幅度为1 的k 阶台劳近似。 对于给定n 值的最高阶台劳近似函数为： g 婶) = 1 + b 。毋“ 上式称为最平幅度特性近似函数。在截止频率处( = 1 ) ，上式化为 g e 2 ) = 1 + b 。 系数b n 取决于截止频率处规定的幅度，当b n = l 时，g ( 1 2 ) = 2 ，于是截止频率 = 1 处对应着输出功率下降3d b ，输出幅度下降0 7 0 7 倍。这种最平幅度近似还 有一个名字叫做勃脱瓦兹( b u r c e n o 础) 响应。多项式g p ) = 1 + 铲也叫做n 阶勃脱瓦兹多项式。 ( 二) 切比雪夫( c h e b y s h e v ) 近似 让近似函数在给定函数附近摆动，使误差平均地分- 布在整个频带内，同时把 最大值的大小减到最小，这也就等于偏离近似，这种近似叫做切比雪夫近似。 一般的问题为在区间( 1 ，+ 1 ) 范围内求出与某一常数为切比雪夫近似的m 阶多项 式的系数( 将轴归一化成频率带边缘等于士1 ) 。误差函数本身为一m 阶多项式， 设为h ( ) ，且其阶状如图2 2 0 所示，其中ih i 峰值被归一化于l 。 第2 3 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文第二章微带滤波器的设计原理 图2 2 0 根据数学分析可知，一个m 阶切比雪夫近似的误差函数在近似区域内应达 峰值m + 1 次；m - 1 个出现于近似区内，2 个出现于边界上。在区内的峰值点上 h 的导数应为零，且所有导数零点应为一阶零点。现在，设有多项式1 1 1 2 ；它在所 有m + 1 个h 峰值点将等于零，因为在这些点上，h - 士1 。而且，它在区内峰值点上将 有二阶零点。这可由l - h 2 的导数2 l l l l 在这些点也零而得出。在两端= 士1 点1 - h 2 仅有一阶零点。因此，1 h 2 除了含有( h ) 2 及( 1 ) ( 1 + ) 外，无其他因子。则有： 2 罐q 一砰糯 2 以及 ( 1 1 11d o ) ；= = = = = 一l 一；= = = = = 1 一1 1 2k 伍一毋 其中，k 为常数。h 的解可由上式积分得出。其结果为： c o s - 1 h ：土c o s i k 薷2 页 南京邮电学院硕士研究生学位论文 第二章搬带滤波器的设计原理 已知，当由一1 到+ l h 在士1 问摆动m 次，这就确定了k = l m ，所以 并可写为 h = c o s m v 这些多项式可以表示为t m ( ( o ) 并称第一类切比雪夫多项式，m 为多项式的阶。 t m ( 曲= c o s ( 1 1 1c o s 一1dl 蔓1 对于i i l 的情况，就有 t m ( 妫= c 1 1 ( m e l l 一1 甸h l 图2 2 l 示出了几个低阶切比雪夫多项式图形及其数学表达式 一k 一一一 、 一 1+ 1 7 0 l ( a ) r 3 ( o ) = 2 2 1 一- 飞二7 、一 一一 ，i 一一二过虻一一： ( c ) i i ( ) t 略4 8 2 + l 图2 。2 l 第2 ，页 + l 一毒一一 1 一 j 一 ， 一手r 二一： ( b ) r 3 ( 。，= 4 3 3 n 一百了一_ 一7 _ 虹 虻一一： ( d ) t ，( 产1 6 山2 0 。3 十5 南京邮电学院硕士研究生学位论文第二章徽带滤波器的设计原理 2 3 2 低通滤波器原型的设计 研究了近似条件和某些特定的近似函数