（概率论与数理统计专业论文）na随机序列的bootstrap收敛性.pdf

摘要 本文共三章，主要讨论了n a 随机变量序列的b o o t s t r a p 收敛性 第一章证明n a 的严平稳随机序列在二阶柜存在的条件下，其m o v i n gb l o c k b o o t s t r a p 样本满足中心极限定理 第二章证明n a 的随机变量若满足二阶矩有限，且b o o t s t r a p 样本容量m 与 原样本容量佗满足l i ms u p 。+ 。oi 斋 ，则该b o o t s t r a p 样本服从强大数律 第三章将用统计软件s a s 构造出n a 的随机变量进行数值模拟，以具体数据 反映b o o t s t r a p 收敛性的效果 关键词：n a ；b o o t s t r a p ；m o v i n gb l o c kb o o t s t r a p ；中心极限定理；强大数律 数值模拟 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s ，i nw h i c hw ed i s c u s st h ec o n v e r g e n c e o fn ab o o t s t r a ps a m p l e s i nc h a p t e ro n e ，i ti ss h o w nt h a ts t a t i o n a r yn e g a t i v e l ya s s o c i a t e ds e q u e n c e ss a t i s f yt h em o v i n gb l o c kb o o t s t r a pc e n t r a ll i m i tt h e o r e mw i t hf i n i t es e c o n dm o m e n t ， e v e nw i t hb o o t s t r a p p e dn o r m i n g i nc h a p t e rt w o ，w es h o wt h a tn as e q u e n c e ss a t i s f yt h eb o o t s t r a pl a wo fl a r g e n u m b e r si fs e c o n dm o m e n ti sf i n i t ea n dl i ms u p _ + o 。i 蒜 0 r z z + n c l i m i n f l i r as u p 文中部分缩写及符号说明 随机变量 几乎必然 互相独立且同分布 随机变量x 小于等于x 的概率 随机变量x 的数学期望 随机变量x 的方差 随机变量x 与y 的协方差 x 服从于f ( x ) 的分布 随机变量序列 墨。 几乎必然收敛于随机变量x 随机变量序列 x 。 依概率收敛于随机变量x 随机变量序列 蜀 依分布收敛于随机变量x 测度序列 弱收敛于测度p u 与v 等价，即u 与y 有相同的有限维分布 集合a 的示性函数 集合a 中元素的个数 表示不大于a 的整数 实数集 整数集 非负整数集 正整数集 仅表示一个正常数，其值在上下文中可以不同 函数的上确界 函数的下确界 引言 b o o t s t r a p b o o t s t r a p 是s t a n f o r d 大学统计系的b r a d l e ye f r o n 于1 9 7 9 年首次提出的 从关于它的第一篇研究论文出版以来的这二十多年来，b o o t s t r a p 成为最重要也是 最热门的数据再抽样方法，它既为实际统计者提供了一系列强有力的解决方法，也 为统计的理论和方法论提供了丰富的资源，成为估计不确定性应用极广泛的一种方 法 b o o t s t r a p 成功的原因之一，是它方法简便因此一些相关的理论推导可以由 随机样本的重复计算来代替在计算机高度发展的今天，我们有时会在数据分析时 将f 的估计值f 代替它来计算未知参数p = o ( f ) 的估计0 相似地，我们这样给 出b o o t s t r a p 样本的定义： 设随机变量序列x l ，x 2 ，x 。具有相同的分布函数f ，若已观测到x l = 。l ，x 2 = x 2 ，x 。= x 。，则可以得到相应的经验分布f 对z l ，x 2 ，x 。阱相等的 概率i 1 进行再抽样，则称得到的x ；，x ；，x 未是一个有放回的b o o t s t r a p 样本， 且 田，；，碥i i d 一， 例如我们要估计口= 口( f ) ，就可以用孵= 口( x ；) ，i = l ，m 来估计，这里 m 是指再抽样的次数也就是说，b o o t s t r a p 把传统分析方法中需要推导的过程用 产生z ：z ；，z 篇并重复计算彤= p ( 碍) ，i = l ，一，m 来代替在绝大多数情况 下，若能证明给定x 1 = x 。，x z = 0 2 ，= z 。条件下靠的条件分布近似相等于 口的分布，就能保证b o o t s t r a p 的有效性，并且事实上分析方法要求的一些确切表 达式( 例如渐近方差u ) 在使用b o o t s t r a p 时并不需要当要得到一个这样的表达 式比证明它的存在更复杂时，b o o t s t r a p 的优势就体现出来，因为它只需证明存在 性即可，而证明中的计算往往是常规方法，计算机就可以处理学者们已经证明， 在很多情况下，分析方法和b o o t s t r a p 方法能产生近似相同的结果，而这两种方法 的取舍取决于它们的可行性和可操作性因此理论研究者所需要做的工作，就是要 能够证明x ；，弼，礁和x t ，x 2 ，k 有相似的渐近分布在这方面研究者 们已经取得许多成果，我们主要研究一类相依样本的b o o t s t r a p 估计问题，具体会 在后面的章节中介绍 2 n a n a ( n e g a t i v ea s s o c i a t i o n ) 是k u m a rj o a g d e v 和f r a n kp r o s c h a n 于1 9 8 3 年首 次提出来的它的定义如下： 随机变量x l ，尬，磁被称作是n a 的，如果对1 ，2 ，- t ，女的任一对不交子 集a 1 ，a 2 ，有 c o v ( i i ( x i ，i a 1 ) ，如( x ，j a 2 ) ) s0 其中 ，2 是任意两个使得上述协方差存在且对每个变元都非降的函数 “n a ”也可以是对向量x = ( x ，x k ) 或x 的分布而言 n a 是相依随机变量的一种，在可靠性理论、渗透理论和多元分析中有广泛应 用。由定义可以看出，n a 随机变量不交集合的增函数仍然是n a 的 关于n a 的研究成果自上世纪九十年代后有较快的发展i 9 9 2 年m a t u l a 对 n a 序列建立了k o l m o g o r o v 型的上界不等式和三级数定理，加上p e t r o v 所建立的 可适用于n a 序列的推广的b o r e l c a n t e l l i 引理，打开了人们研究n a 序列收敛， 特别是n a 序列a s 收敛和完全收敛性状的道路人们发现同分布n a 序列( 不要 求强平稳性) 与i i d 序列有着极为相似的强大数律和完全收敛性状这些结果无 疑为n a 序列的应用提供了有力的理论指导，也表明了n a 序列的极限性状有其鲜 明的特点 例如，m a t u l a 就证明了，对于一列二阶矩有限的n a 随机序列 x ，( t ) j ， 若满足墨。v a t ( 。马) 。，则 暑。( 玛一e 玛) n m 收敛 同样地，若二阶矩有限的n a 随机序列 玛( t ) ，j n 满足是lv a r ( x 。) n 2 。，则有 ( 品一e & ) n - 40ns 礼_ o o ， 本文就是要结合n a 和b o o t s t r a p 两方面的特征，来证明具有这两种性状的随 机变量序列也能满足中心极限定理和强大数律 第一章 n a 随机序列的m b b 中心极限定理 第一节引言 3 i v l b b ( m o v i n gb l o c kb o o t s t r a p ) 是k f i n s c h ( 1 9 8 9 ) 等人对e f r o n ( 1 9 7 9 ) 的b o o t s t r a i ) 应用弱相依平稳序列所作的一个修改给定x ，x z ，x n 和b n ，则块长 为b 的m b b 定义如下： 若b 妯= x 一，x 计b 一1 ，i 曼n b + l 是从墨开始的b 个观测构成的 块，j 一，i ki i d 一u 1 ，一，n b + 1 ) ，：= n 6 i ，则m b b 样本由所有属于块 b 几一，b “，6 的数据点x i 构成，即 x ；= x j ，x ；= x i i + b 一1 ，x 玉1 = x m ，x ；= x i + b _ l ：抽相应地，p + ，e + 和v a t + 分别表示给定样本条件下的p ，e ，和v a r r a d u l o v i 6 ( 1 9 9 6 ) 已经证明，随机变量在强混合情况下的m b b 满足满足中心极 限定理： 定理1 a 设 j f ： ，ie n 是实值严平稳的强混合序列，并且口i 1 与x ( o ，1 ) 令 。挈= v a r + ( e t - l 霉) ，w 是由m b b 过程生成的块长为6 ( n ) 的m b b 样本- 假设 n 斗。o 时b ( 礼) n 斗0 ，则下列两式成立： 耻去喜( 珂一吲马w ) ， 玩：= 瓦1 善n ( 墨一e 雹) 与j 1 v ( 。，1 ) 本章的目标是证明满足二阶矩有限的n a 随机序列也满足m b b 中心极限定 理，主要结果如下： 定理1 1 设 x j ，ic n 是零均值的实值严平稳n a 随机序列，满足0 0 ，当n 斗。时，下列三式同时成立： h p i x k 。1 5 ) _ 0 七= l 若1 吼。痢一( j t 州剐圳矿女=j i o i oi z l 5 苫t 州协卜。 证明参见林正炎、陆传荣和苏中根( 2 0 0 0 ) 引理1 2 设f ，二，z ，i = l ，礼是零均值的严平稳随机序列， f k ，1 i ，n 1 ) 一致 可积若对每个固定的j ，j = 1 ，- 一，b ， k ，j ) ，f = 0 ，一，f n 纠，是n a 的，则 k j 与。( 2 1 ) 证明：不妨设n 6 = k 一1 n 令 砭，z = k ，d ( i y 。i a 。) + n ，( k ，。) 一。厶k ，。茎。) 一e f k ，i i ( i y i f ) 【n m 一1 e 洲十j 2 去f j = 磊b e j k ，l ，( | k ，。l 。) + 。 k 。) 一。，( k ，一。) j 2 乏e j k ，( ，k ，f 。，+ 。厶k 。= 。，一。，( 。! 一。 s 警聃川 ，mb 。 一 f 2帅 其中第二个不等式由( i x 。) 2sn 羔i x ? 得到只要选择满足条件。 + 。，且鱼= 争斗0 ，n 0 的a 。，就有( 2 2 ) 成立由e k ，。= 0 ，得 我们有 ：。= k ，i 一。 = k ，z e k ，t 一【k ，d ( i y ，。l 。) + 。( h ，。) 一。，( h ：三一。) 一e ，t f k 。i h 。) + a 。，( k 。兰。) 一。厶k 。s 一。) 】 = ( k ，t 一n ) k ，。) + ( ，；+ a 。) k 。s 一。) 一e ( k 一n ) i ( y o 。2 。) 一e ( k ，：+ 。) 丑h ，：! 。) p ( f ：壹嘲 t = l 熹妻碱 墨；e i ( v 。，；一。) k ，。2 。j e ( k ，i 一。) ，( h ，= 。) j + e i ( k + n ) ( k 一。) e ( k # + 。) ( k 矗一。 由此，( 2 3 ) 成立，从而引理得证 卅 酬 。岸 上钟 一 尸 十 卅啪 。爿 e 上御 川 阢 ， i l k ，m“p e f 2一e 2 一f 0 ，妒血) x 2 。，z 一。c 由于坠。墨吼与n ( o ，1 ) ，e ( 嚣) 2 = 1 ，说明“乞警) 2 ) 器。一致 司积，所以存在，中的函数西( 。) 和绝对常数m 使得e ( 圣( 鲁) ) a ，曼 ；e l 专喜，。激i ；p c 罴列 对f c ) 垂( 佤胚砥- e ( 中( 掣) ) mk _ 二；一 0 ，n 0 0 d 圣( 、七e ) 争c 摆，瓣=妻娄罴潞圳州召= 弓， 斋壹j = l 罴鼬 8 根据( a ) 的证明过程可得 刚专宴法，。剥圳 对f 6 ) b 笋罴，( 溉引 知亮) 2 ) 岍( 即( 、i z 。1 巩l 纠) l 2 _ 。 善k 惭+ ( 去，。溉。】) = 善k 酬去，( 器。2 一妻( e + 去舞。2 2 善善( 彘7 c 叫) 2 粥= 历) 一(瓦zji=1 j = l 。( 糍( e ) p ( 刃= 驯。d 7 6 = 专喜( 缉( 9 - b 器，t 1k 。z j i ( i z , , ) ) 2 由 ( 鲁) 2 ) 的一致可积性，有 e ( 鲁n 。溉斗。，e 鲁，。溉_ 。 专姜( 鲁一。糍引与。，丙1 刍ni & ，。姑引与。 如果证明了 则 专粪c 新粘，与- 专姜鲁，。蒜叫与。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 与 鱼哪鱼 口蛐。瑚 一 一 要证明( 2 4 ) ，即要证明 。1 n 、! 翌! 二璺笠! 掣互兰堂兰与o 鲁口； 央寺z | = z ：+ z ；，j = 1 得 9 应用引理1 2 于 竖学 和 竖学) 南童竿与。j=t 厶 口 三堕! 掣一p 。 鲁 盯； 。 同样地，( 2 5 ) 也可由引理1 得出综上，定理的第二式得证 对于定理的第一式，只需证d ( c ( 且：) ，c ( h ：) ) 与0 ，n o 。 即要证 由干 i 或一域i 与0 ，n o o 矽f 磁一弼 又由( b ) 有 仃；2 簖 故( 2 6 ) 成立，定理得证 ，一e f 亮妻z 1 1 ( 2 6 ) 孙州耖2 却一糕 推论的证明 由z h a n ga n dw e n ( 2 0 0 0 ) 可知，0 e x o 。时，有仃；n 斗 口2 。，n 0 0 同时，由y u 。n ，s u n dh u ( 2 0 0 3 ) 可得去& 与f o ，。2 ) ，我 们可以推出 ( 矢) 2 墨1 的一致可积性所以定理与推论的条件是等价的，结论显 然成立 与 垒 。伽 ，一 一p 垒靠 博 ，一 1 0 第二章 n a 随机变量的b o o t s t r a p 强大数律 第一节引言及结论 设x 1 x 2 ，是一列随机变量，具有相同的分布函数f ( x ) = p ( xs ? ) 对 每个n = l ，2 ，令x ；，迢，礁是从给定的x l ，x 2 ，k 中有放回地取出 的b o o t s t r a p 样本，其中l e t = m ( n ) ，每个x i ，i = 1 ，扎被抽中的概率为： 对于这样类型的b o o t s t r a p ，b i c k e l ，f r e e d m a n ( 1 9 8 1 ) 和c s 5 r 9 5 ( 1 9 9 2 ) 分别证明 了i i d 随机变量的b o o t s t r a p 服从如下的强大数律： 定理2 a 假设x 1 ，x 2 ，是独立同分布的随机变量，方差o - 2 满足0 隅，蜀，蜀) - 0 t t 8 定理2 b 设 x 。，礼1 ) 是独立同分布的随机变量，具有相同的分布函数f ( z ) x ；，弼，x 三 是给定x l ，x ”一，条件下容量为m = m ( n ) 的b o o t s t r a p 样本若对某些 0 6 l ，有 且 则 本章要证明的结论是 e ( i x l l + 5 ) 0 0 、 l i 。m + s 。u p 丽7 1 1 - 6 m 。n _ + l 礼j ，仇( n ) h n l s p 高善写划m s 定理2 1 设 x n n 1 是n a 随机序列，具有相同的分布函数f 扛) x t ，写，x 未 是给定x l ，x 2 、，条件下容量为m = l l t , ( i t ) 的b o o t s t r a p 样本若 e x ? j ) ，j = 1 则巧，j = 1 ，一，n 也是a 的 1 n sn xer 而“ 叫 。问 l | np 并且 由于 0 00 0 p ( 玛匕) = p ( x j j ) j = 1j = 1 = 0 =ex 笔e x j 1 毛j 1 丘, - k + 黝f ( z ) 志z k + l 拗即) n + 1z d f ( z ) 女 l ( 3 0 ， = 耋善警 = e k 2 。碍1 + 恚+ ) + + e 堰( 忐+ 1 镌+ 曼。壹攀 ：。妻击f 拗即) + 。o o l 。尸( p j ) 、一1 j00 ，= t j 1j 一【p k + l o o 5 ；嘉上铲d f ) + 。善州玛列) g 南z 砌即) 十。著p ( 玛删 z 刊f ( 功托善p ( 玛艄) e ) ( s ) g m = 丽8 + 等 。=善赳 垮 e k 州 一鹾 此h 因 1 4 所以由计算可得 讹= 丽1 + 等矛1s 丽1 + 嘉，s z a 帅删，( ) ) = 一元丽1 ，1s j 曼n e w 。( j ) 。( k ) = c o v ( w 。( j ) ，t ( 女) ) + e w ，。( j ) e ( ) l 1 7 l 2 | ， , ( ) 。n 2 百1 ，l j sn 礼 若定义j 托- i - l 时有弛，( j ) = 0 ，剐由非负性和n a ，对每个k 1 。n 1 ， kk = e ( w 。o ) 巧) 2 一( e w 。u ) 】，) 2 j = ij = 1 k = e ( ”。u ) 巧) 2 + 2 e ( w 。( t ) w 。u ) 巧) j = l 1 。 e ) ( 2 2 ) 孙 l 咖 【蓦 。言d ，一乎 ，一， 对每个n = 1 ，2 ，设i ( 佗) 是满足下式的整数 k i n ) l 充分接近1 ，则由 寺e x _ l i 。r a 。i 。n fe ( l 7 ( n ” 0 1 5 0 p r w s q 0 2 5 0 p r a s q 0 ，2 5 0 8 p r c h i 一勖0 3 9 6 在这里，四种检验方法得到的p 值均大于0i 葭设置信系数a = o j j ，无法拒 绝s 服从正态分布的原假设，我们想要说明的问题得到了证实 s 的正态拟合图见 下页 b 。i 煳| 。( n = 瓮q 的正态拟合图 瓤tv 瀚t 髓 ( - ，14 e i g 时；0 。0 鹈i 2 1 第三节相关的s a s 程序 利用宏函数b 产生一个2 0 0 x2 0 0 的协方差矩阵d 。 m a c r ob ； d a t aa ( d r o p = k ) ； d oi = 1zt o2 0 0 ： d oj = 1j ：t o2 0 0 ； k = j 一盘i ； x 是j = 一1 4 * * a b s ( k ) ； e n d ； o u t p u t ； e n d ； r u n ； m e n d ； b ： 利用宏函数c 产生有2 0 0 个变量和1 0 0 0 个观测的正态随机数集 m a c r oc ； d d t aa ： d oi = 1 t o 1 0 0 0 ； d oj = 1 t o2 0 ； x a j = r a n n o r ( o ) ： e n d ； o u t p u t ； e n d ； r u n ； m e n d ； x c ； 将前面得到的协方差矩阵d 。转化为矩阵a 。及其转置的乘积，并将随机产生的序 列x 作线性变换为z ? p r o ci m l ； u s ea ； r e a da l li n t od ； c l o s ea ； l l s ec ； r e a da l li n t oz ； c l o s ec ； d = 2 * i ( 2 0 0 ) + d ： c a l le i g e n ( e n g ，v e c t o r ，d ) ； e n g 一s q r t = s q r t ( e n g ) ： f = e n g 一s q r t i ，1 ； d ot = 2t o2 0 0 ； f = b l o c k ( f ，e n g 一s q r t i t ，i ) ； e n d ； i n v 一v e c = i n v ( v e c t o r ) ； a = f * i n v 一v e c ； x = z * a ； p r i n tx d ae n gv e c t o ri n v ，v e ce n g s q r t f c r e a t eef r o mx ； a p p e n df r o mx ； r u n ； a b o r t ： 精产生的随机数进行标准化为均值为0 ，方差为1 的数值 p r o cs t a n d a r dd a t a = eo u t = fm e a n 2 0s t d = 1 ： v a rc o l l 一c 0 1 2 0 0 ； r u l l ； 将数据集转置以便以对变量进行b o o t s t r a p 抽样 p r o ct r a n s p o s ed a t a = fo u t = bp r e f i x 2 z ； v a tc o l l c 0 1 2 0 0 ； p r o cs u r v e y 8 e l e c td a t a 2 b m e t h o d = u r sn = 2 0 0 o u t = s a ； r u n ； 利用宏函数d 进行等概率有放回的b o o t s t r a p 抽样 z m a c r od ； d a t aw e i g h t s e ts a ； x d oj = 1 t o 2 0 0 ； x 蜘= z j * n u m b e r h i t s x e n d ： r u n ； x m e n d ： z d ： 再次转置，回到最初的变量结构产生新的变量s ，它是b o o t s t r a p 样本的平均值，也 是原变量的加权平均，对s 进行分布的正态性检验并拟合概率分布图f 其中z 1 x i 2 3 是指此次抽样2 0 0 个变量中被抽中1 2 3 个，每个至少被抽到次j j p r o ct r a n s p o s ed a t a = w e i g h to u t = w e i g h t 2p r e f i x = x v a rz l z 2 0 0 ； d a t as u m ； s e tw e i g h t 2 ； s = s u m ( o fx l - x 1 2 3 ) 2 0 0 p r o cc a p a b i l i t yd a t a = s 1 1 mg r a p h i c sn o p r i n t h i s t o g r a ms n o r m a l ( l = lw = 2c o l o r = o r a n g e ) c f i l l = c y a n ； t i t l e b o o t s t r a p ( n = 2 0 0 ) f = f s o n g u 的正态拟合图j r u n ： 参考文献 2 5 参考文献 1 1 p jb i c k e l ，daf r e e d m a n s o m ea s y m p t o t i ct h e o r yi o rt h eb o o t s t r a p j a n n s t a t i s t 1 9 8 1 9 ( 6 1 1 1 1 9 6 - 1 9 1 7 i 2 | sc s 6 r g f i ，o nt h el a wo ll a r g en u m b e r s1 0 rt h eb o o t s t , 1 a pm e a n j s t a t i s tf r o b a b l e t t1 9 9 2 ，1 4 1 1 ) 1 - i s at 3d a v i s o n 。dv h i n k l e y g ay o u n 9 r e c e n td e v e l o p m e n t si nb o o t s t r a pm e t h o d o l o g y s t a t i s t i c a ls c i e n c e 2 0 0 3 i 8 1 2 ) 1 4 i 1 5 7 1 4 1be 舯n 。b o o t s t r a pm e t h o d s ：a n o t h e rl o o ka tt h ej a c k k n i f e j a n n s t a t i s t 1 9 7 9 ，f i ) ，l - e 6 e 5 | n e t e m a d i 。a ne l e m e n t a r yp r o o io t h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s p lz e i t s c h r i f l 氟rw a h r s c h e i n l i c h k e i t s t h e o r i ev e r wg e b i e t e1 9 8 i ，5 5 ( 0 ，1 1 9 1 8 2 1 8 | lh o r v d t h ，pk o k o s z k a j s t e i n e b a c h la p p r o x i m a t i o n sf o rw e i g h t e db o o t s t r a pp r o c e s s e sw i t ha na p p l t c a t i o n s t a t i s t p r o b a bl e f t2 0 0 0 8 1 3 ) ，5 9 - 7 0 mk j o a g - d e v 。fp r o s c h a n ，n e g a t i v ea s s o c i a t o n0 1r a n d o mv a r i a b l e s lw i t ha p p l l c a t i o n ；s a n n s t a t i s t 1 9 8 3 - ! le 1 ) ，2 8 6 2 9 5 8 1hrk , i n s c h ，t h e j a c k k n ea n dt h eb o o t s t r a pf ”g e n e r a ls t a t i o n a r yo b s e r v a t i o n s p | ，a n ns l a t 1 9 8 9 i ( 3 ) 1 2 1 一 2 z f 9 1 r yl i u ，k s i n g h 。m o v i n gb l o c k sj a c k k n t i ea n db o o t s t r a pc a p t u r ew e a kd e p e n d e n c e 。i n ：r l e p a g ea n dlb i l l a r d ， e d s ，e x p l o r i n gt h el i m i t so fb o o t s t r a p m ( w i l e y ，n e wy o 柏，1 9 9 2 ) ，p p2 2 5 一纠8 l l o j pm a t u l a ，an o t e0 nt h ea l m o s ts u n gc o n v e r g e n c eo fs u ，7 1 so in e g a t i v e l yd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s 嘲 s t a t i s t p r o b a bl e f t1 9 9 2 ，l5 f i ) 2 0 9 2 1 0 f i ! i dr a d u l o w 6 ，t h eb o o t s t r a p 。jt h em 帆n 如rs t r o n 9m i x i n gs e q u e n c e su n d e rm i n i m a lc o n d i t i o n s j s t a t i s tf r o b a bl e t t 1 9 9 6 ，6 8 ( 1 ) ，6 5 7 2 | i 2 1ggr o u s s a s a s y m p t o t i cn o r m a l i t yo lr a n d o mf i e l d so ip o s i t i v e l yo rn e g a t i v e l ya s s o c i a t e dp r o c e s s e s j jm u l t i v a r i a t ea n a l t 9 9 4 ，5 0 1 1 ) ，1 5 2 - 1 7 3 1 1 3 | js h a o i m p a c to lt h eb o o t s t r a po t ls a m p l es u r v e y s s t a t i s t i c y t ls c i e n c e 2 0 0 3 , 1 8 ( 2 ) r 1 9 1 1 9 8 e 1 “cs u lt ：z h a o ，m o m e n ti n e q u a l i t i e sa n dw e a kc o n v e r g e n c ef o