（理论物理专业论文）壳模型中构造单j壳角动量本征态的投影方法.pdf

壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 研究生：陈红指导教师：潘峰 学科专业：理论物理研究方向：量子多体理论 摘要 本文利用角动量投影方法构造了单j 壳全同粒子体系的角动量本征态该方法将 具有任意角动量的单粒子乘积态通过角动量投影技术来确定具有给定总角动量的正 交完备态，即确定了具有给定总角动量的正交完备态按具有任意角动量单粒子乘积 态展开的展开系数通过角动量投影方法方便地得到了相应u ( 2 j + 1 ) do ( 3 ) 具有约 化重复度的正交基底特别是，该基底关于约化重复度指标正交本文利用角动量 投影算符方法计算了j = ，；，的情况该方法的优点是，可以避免使用大量的 递推公式而节约计算时间其结果为计算却( 巧+ 1 ) do ( 3 ) 耦合系数，并将该方法推 广至多j 壳情形提供了准备，为原子核的壳模型研究提供了新途径 关键词：单j 壳全同粒子角动量投影算符重复度 t h ea n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t i o nm e t h o d f o rc o n s t r u c t i n ge i g e n s t a t ei nas i n g l e - js y s t e m m s cc a n d i d a t e ：c h e nh o n g s p e c i a l i t y ：t h e o r e t i c a lp h y s i c ss u p e r v i s o r ：p a nf e n g a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，i no r d e rt oc o n s t r u c te i g e n s t a t ew i t hd e f i n i t eq u a n t u mn u m b e ro ft o t a la n g u l a r m o m e n t u mo fi d e n t i c a lp a r t i c l e si nas i n g l e - js h e l l ，t h ea n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t i o nm e t h o di s a d o p t e d c o m p l e t ea n do r t h o g o n a ls t a t e sw i t hd e f i n i t et o t a la n g u l a rm o m e n t u ma r ee x p a n d e di n t e r m so fas e to fc o m p l e t eo r t h o n o r m a ls i n g l e - jp r o d u c ts t a t e s ，i nw h i c ht h ec o r r e s p o n d i n ge x p a n s i o n c o e f f i c i e n t sa r ed e t e r m i n e db yt h ea n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t i o nm e t h o d b ys o l v i n gt h ee i g e n v a l u e p r o b l e mo ft h ep r o j e c t i o no p e r a t o ri nt h es y s t e m ，t h eo r t h o n o r m a lb a s i so fu ( 2 j + 1 ) do ( 3 ) i s t h u sc o n s t r u c t e d ，o fw h i c h ，e s p e c i a l l y , t h eb a s i sv e c t o r sa r eo r t h o g o n a lw i t hr e s p e c tt ot h eb r a n c h i n g m u l t i p l i c i t yl a b e l so fs p ( 巧+ 1 ) do ( 3 ) u s i n gt h ea n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t i o nm e t h o da s e x a m p l e s ，w ec a l c u l a t e dt h es i n g l e - je a s e sw i t hj = 互1 ，g t h er e s u l t ss h o wt h a t ，u n l i k eo t h e r m e t h o d si nd e a l i n gw i t ht h es a m ep r o b l e mr e c u r s i v e l y ，t h ep r o j e c t i o ni ss t r a i g h t f o r w a r d ，a n dt h u s s a v e sc o m p u t a t i o nw o r ks u b s t a n t i a l l y t h er e s u l t sc a l lb eu s e dt oc a l c u l a t er e l a t e ds p ( 2 j + 1 ) o ( 3 ) c o u p l i n gc o e f f i c i e n t s ，a n dt ob ee x t e n d e dt om u l t i p l e - jc a s e s t h em e t h o dp r o v i d e san e w a p p r o a c ht ot h en u c l e a rs h e l lm o d e lc a l c u l a t i o n s k e yw o r d s ：s i n g l e - js h e l l ； i d e n t i c a lp a r t i c l e s ；a n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t i o no p e r a t o r ；m u l - t i p l i c i t y 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中 除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究 成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确 的声明并表示谢意 学位论文作者签名：醢生兰 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅 本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名：隘丝指导教师签名： 签名日期：2 卯穸年月，? 日 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 1 引言 1 1构造全同粒子体系角动量本征态的物理背景 众所周知，从上个世纪3 0 世纪以来，如何构造全同粒子在中心力场独立运动的 波函数一直是人们关注的热点问题这是因为认识中心力场中全同粒子的运动对于 解决物理学中的许多问题都起着重要作用例如在原子中，一个原子包含有一个致密 的原子核及若干围绕在原子核周围的电子，其内部运动主要由电子与核的相互作用 所产生的中心力场决定；在原子核中，核子与核子之间及多核子之间的强相互作用 使这些核子形成一个量子多体束缚系统( 束缚态) ，核子与核子之间的两体相互作用很 复杂，多核子之间的相互作用更为复杂而原子核壳模型 1 - 3 1 的基本思想是把每个 核子的运动都看作是在其它核子形成的平均场中的运动，并且该平均场通常可以近 似为有心力场，例如w o o d s - s a x o n 势的形式；又如在原子核相互作用玻色子模型( 简称 i b m ) 中1 4 ，假设偶偶原子核包含一个不活泼的核心( 双满壳) 和偶数个价核子，这些 价核子两两配成对，这些核子对可近似看作玻色子，这些玻色子之间有相互作用，以 此来近似描述原子核低激发态集体运动 5 - 6 l ，也要涉及总角动量本征态的构造问题 由此可见，研究中心力场中全同粒子的运动形式，特别是构造体系总角动量本征态 的完备基是许多物理问题的重要基础 全同粒子系统是原子、分子、原子核及基本粒子等研究领域的重要研究对象通 常人们称质量、电荷、自旋、同位旋及其他所有内禀固有属性完全相同的粒子为全同 粒子f 7 j 例如，所有电子就是全同粒子全同粒子的重要特点是，在同样的物理条件 下，它们的行为完全相同，可以用一个全同粒子来代替另一粒子，并不引起物理状态 上的变化在经典力学中，可以根据运动的轨道来区分全同粒子而遵从量子力学的 微观粒子构成的体系存在波粒二象性，由于没有轨道概念全同粒子具有不可分辨性 【8 】这种性质导致在3 + 1 维时空中，波函数对于任意两个粒子的交换或者是对称的， 或者是反对称的凡自旋具有h ( h = 嘉，h 是普朗克常数) 整数倍的全同粒子称为玻色 子，其波函数对于交换两粒子总是对称的，如光子等；凡自旋为危半奇数倍的全同粒 子称为费米子，其波函数对于交换两粒子总是反对称的1 9 】，如电子、质子及中子等 为了能够定量描述微观粒子的状态，在量子力学中人( f 1 6 1 入了波函数【1 0 】这一概 念，用皿表示般说来，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即皿= 皿( z ，y ，z ，t ) ， 玻恩假定波函数的模方与粒子的概率密度成正比关系，即在时刻t ，在点( z ，y ，z ) 附近 单位体积内发现粒子的概率与z 成正比波函数皿被称为概率幅科学家在电子 双缝干涉实验中观察到电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数，而是有些 地方出现的概率大，即出现干涉图样中的”亮条纹，而有些地方出现的概率却可以 壳模型中构造单i j i 壳角动量本征态的投影方法 为零，没有电子到达，显示”暗条纹”可见，在实验中观察到的是大量事件所显示 出来的一种概率分布，这是玻恩对波函数物理意义的解释，即波函数模的平方对应 于微观粒子在某处出现的概率密度这就是说，微观粒子在各处出现的概率密度才 具有明显的物理意义据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动这虽然仅 仅是目前人们对物质波所能做出的一种理解，然而波函数这一概念的形成正是量子 力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志 全同粒子满足不可分辨原理，要求全同粒子体系波函数具有交换对称性在交换 任两个全同粒子时，费密子体系波函数具有反对称性，玻色子体系波函数具有对称 性同时，从全同性原理出发，全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性【n 】，粒子 在中心力场中运动具有转动不变性，也就是粒子具有确定的角动量当多个粒子在 中心力场中作独立运动，此多个粒子体系具有确定的总角动量因此在构造波函数 时就必须考虑交换对称性和转动不变性 一直以来人们在解决波函数的构造问题时，经常采用的是通常所说的m - s c h e m e 方法【托1 以只有两个粒子的全同费密子体系为例，用简单的角动量耦合的方法，可 以确定体系所有的总角动量，使体系满足转动不变性考虑c g 系数的对称性，舍去 体系不可能存在的总角动量的情况，再使波函数满足交换对称性这样就得到了该 体系所有可能的总角动量的取值和波函数以有三个粒子的全同费密子体系为例， 因费密子体系要满足泡利不相容原理，引入置换算符并结合角动量耦合，使体系满 足交换对称性然后利用体系总角动量的上升和下降算符正依次作用于波函数，得 到该体系具有确定总角动量的所有可能波函数 早年b h e r ，g o u d s m i t 和r a c a h 提出了构造转动不变全同粒子体系波函数的方法 【”，m 】，称为j ts c h e m e 方法仍考虑三个全同费密子体系，用角动量耦合可以得到 具有确定总角动量的不满足交换对称性的态，这些波函数组成一个比物理空间大的 超完备空间，然后对该空间进行投影，即可得到满足交换对称的物理波函数这种 递推方法可以将已知的n 一1 个粒子的波函数与第死个粒子的波函数耦合成具有确定 角动量的波函数，经交换对称算符的作用，投影出n 个全同粒子体系的转动不变的 波函数 依据这种递推的方法，目前编写的许多程序都可以用来实现波函数的计算r e d - m o n d 就推导出母分系数的递推关系i 圳但这种方法除了可以得到角动量外，并不能 直接给出其他具有重要物理意义的量子数b a y m a n ，l a n d e 和g i n o c c h i o 按照此方法推 导的波函数【1 6 】，还需要对s o ( 2 j + 1 ) 群的c a s i m i r 算子对角化，才能求出具有辛弱数 ( s e n i l i t y ) 的费密子体系转动不变的波函数，间接给出了在原子核中与对关联有关的 不配对粒子数辛弱数 2 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 更为简便和目前比较理想的方法是采用粒子数表象来求满足交换对称的波函数 首先将多个粒子的产生算符按角动量耦合方式耦合成具有确定的总角动量和总角动 量三分量投影的算符，然后将该算符作用在真空态上，就得到既满足转动不变又满 足交换对称的正交归一的波函数，并且得到的态的归一化常数与母分系数有关 利用粒子数表象方法，把求解母分系数的问题转化为求产生、湮灭算符的约化矩 阵元的问题；不仅给出角动量情况，还可以推广到其他量子数，如自旋，同位旋等 等z w a r t 的g e n e s i s 程序【 】就是依据此法写的但是在实际计算中，由于超完备 空间中存在许多线性相关的态和缺少辛弱数的控制，不仅加大计算量，而且也使舍 入误差加大，不利于计算的进行为此，人们提出了必须引入重复度来控制计算，可 以很好地减少计算的态空间，使得计算程序和结果更为合理 1 2解决重复度问题的意义及发展历程 随着量子力学的发展，人们认识到对于任意一个由多核子组成的原子核的波函 数都可以用一组完备基矢和一个确定系数的乘积来表示为具体求解并确定由多个 核子形成的原子核的状态，如能谱，波函数等等，需要先对角化体系的哈密顿量在 完备基矢空间中的哈密顿量矩阵，确定相应状态的能量，然后求解出相应能量下的 波函数而确定完备基矢就需要解决如何得到全同粒子体系的总角动量和相应的附 加量子数，而附加量子数是重复度指标，它的取值范围在i 与重复度之间这样，通 过引入重复度，上述的问题就迎刃而解了 诚然，全同粒子系统是原子、分子、原子核及基本粒子研究领域的重要研究对 象而确定系统的总角动量及其重复度是确定全同粒子系统状态矢量的基础引入 重复度的意义在于它的控制可以大大简化系统的母分系数的计算 1 8 , 1 9 j ，从而简化系 统的状态、能谱及电磁跃迁性质的计算所以确定全同粒子系统的总角动量及其重 复度一直是一个具有重要意义的问题【：0 1 利用数学语言表达【。川，对于粒子数确定的系统，描述转动不变的单角动量全同 玻色子体系的群链，也即是其相应的李代数链，可以表示为u ( ) do ( ) ) o ( 3 ) ( = 巧+ i ，j 为单个粒子的角动量) 描述转动不变的单角动量全同费密子体系的群 链，也即是其相应的李代数链，可以表示为u ( n ) ds p ( n ) d0 ( 3 ) 然后可以用标记上 述群链中的各群的不可约表示的量子数来分类表示系统状态的波函数，即i k u a j m ) ， 其中k 为体系的粒子数，为体系的辛弱数，而o t 是附加量子数，它是为了区分 相同的七，j ，m 时不同的态全同粒子体系的总角动量及其重复度就是在按群键 u ( ) d0 ( ) d0 ( 3 ) 或u ( ) ds p ( n ) d0 ( 3 ) 约化中，包含在0 ( n ) 或却( ) 的不可 约表示( p ) 中的0 ( 3 ) 表示的分支律 3 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 早在上个世纪六十年代，h a m e r m e s h 就对群链o ( n ) 3o ( 3 ) 和却( ) ) o ( 3 ) 中群 表示的约化进行了系统讨论【2 引，但具体计算较繁，实用性也欠强w y b o u r n e 等人利用 s c h u r 函数方法进行了讨论，并用p a s i c a l 语言编写了计算u ( ) ) o ( 3 ) ，o ( n ) o ( 3 ) 和却( n ) o ( 3 ) 约化的分支律的程序f 2 引从原则上讲，用舒尔函数等方法可以解决 计算上述群链的分支律问题但是当表示的秩和维数较高时，分支律的计算工作量 很大，而且十分繁复计算机的广泛应用使分支律的计算得到了发展，然而由于计 算机的舍入误差问题，使分支律的计算依然受到限制当较大或相应表示的维数 较大时，u ( ) ) s p ( n ) ) o ( 3 ) 的分支律尚无结果与此同时，由于具体计算中不能 作为子程序使用，目前国内尚未广泛应用 国内王稼军等人于是把矿( n ) 3o ( n ) o ( 3 ) 和u ( n ) s v ( ) ) o ( 3 ) 的约化分 支律【。4 1 与非负整数的多元配分相联系 2 5 j ，给出了求o ( 3 ) 和分支律的简单的递推关 系，并用符号运算语言编写了一个计算程序该符号运算计算程序虽然在解及推导 中作用重大，但由于系统软件的限制，使其在数值计算中不太实用 孙洪洲和刘玉鑫等人提出确定多粒子系统的母分系数的新方法，同时给出i b m 的 波函数的解析形式，说明三体相互作用的效应，s d g i b m 的代数结构，给出i b m 2 ( 区分 质子玻色子和中子玻色子) 的完整的代数结构和群表示约化规则他们用f o r t r a n 7 7 语言编制的相应计算程序被收录入国际计算物理程序库 2 6 - 3 0 ，利用该程序可以得 到任意有物理意义的玻色子或费密子系统的任一角动量态的重复度和单体及两体母 分系数提出检验确定多粒子体系本征值问题的标准和方法该程序具有相同功能 的占据内存空间小、运算速度高、使用方便等优点但是此计算程序同样还是由递 推关系得来，随着计算机软件的不断更新，计算机硬件水平不断提高，为程序计算 提供更为便利的条件，因此计算程序还有待于今后的不断完善 人们在对原子、分子、原子核结构及凝聚态等量子体系的进行研究时，通常会对 尝试波函数中哈密顿量的平均值进行变分i s l ，来求得体系能量的本征值及本征波函 数为了保持物理意义明确、计算方法相对简单的平均场理论的适用性，同时计及独 立( 准) 粒子间的剩余相互作用，人们采用多种多样的形式来尝试波函数，从平均场， 诸如n i l s s o n 场，w o o d s - s a x o n 场，经h a r t r e e - f o r k ( h f ) ，h a r t r e e - f o r k - b o g o l i u b o v ( h f b ) 变分 方法【3 引，甚至更微观的相对论平均场( r m f ) ，可以求出原子核的基态但不足之处在 于变换后的波函数及推转壳模型的波函数等其角动量不是好量子数甚至对于h f b 变分方法更没有确定的粒子数由此可见这些尝试得到波函数的最大缺点是破坏了 真实物理体系所具有的角动量守恒等对称性，使计算结果偏离了合理的实验值而在 一些研究中已经得到证明f 3 3 一s 引，用对称f 生投影方法特别是角动量投影方法 3 6 , 3 7 j 来修 复这些被破坏的对称性是十分有效的这种方法的基本原理是从具有混合对称性的 4 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 函数空间，分出具有确定对称性的子空间：( a ) 首先构造角动量投影算符 3 8 1 ，( b ) 将 角动量投影算符作用于平均势场或者h f ( h f b ) 给出的内禀态再进行变分，即可获得 具有好角动量量子数和其投影的核态( 包括基态和一些低能激发态) 【3 9 1 但鉴于各种 变换带来的投影矩阵元计算公式的烦杂性和具体细节上物理意义的模糊性，目前角 动量投影方法的应用并不普遍，许多相关研究还有待开发 1 3 本文的目的 本文利用角动量投影的方法，将具有给定总角动量的任意正交完备态用单粒子 乘积态来展开，求解出展开系数和约化重复度解决了如何构造单j 壳全同粒子体 系的角动量本征态问题本文计算了单j 壳的角动量为歹= ，j = ，j = ，j = ，j = ； 的情况下的展开系数和相应的u ( 2 j + 1 ) do ( 3 ) 和却( 巧+ 1 ) do ( 3 ) 的约化重复度 全文的安排如下，第二章介绍理论方法，主要定义本文相关的物理量和计算重复 度理论方法的依据，以及阐述构造单歹壳的全同粒子体系的角动量本征态的方法； 第三章是数值的计算和检验，列出计算的单j 壳在不同角动量的情况下的展开系数 和相应的约化重复度，并检验了计算结果的正确性；第四章为本文的结论和展望 5 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 2 理论方法 2 1 确定重复度的理论依据 众所周知，由于泡利原理的限制，不能有两个或两个以上的费密子处于同一状 态，所以在对全同粒子体系的研究时，应该区分玻色子系统与费密子系统本文以全 同费密子体系为例进行研究 对于一个全同费密子体系，每个费密子具有的角动量为j ，角动量三分量( 角动量 z 方向上投影) 为m ，它的产生、湮灭算符分别写为o ：。，a d 。它们满足如下反对易关 系， n ；m ，砖。，) = q 。，。， = o ， 以。，。，) = 。， ( 1 ) 该体系的总角动量算符为 d o = m 。a j m ，也- = 千、鱼旦叫掣。士1 m ( 2 ) 由已知的厶是芦阶球谐张量，其中厶的一阶球谐张量形式以= 。奶，n ) ：，即扛， 而= 五，它们是空间转动代数s o ( 3 ) 的生成元体系转动不变，就是要求系统具有确 定的总角动量j ，但具有不同的z 方向的投影m 上述两个张量满足如下对易关系， 厶，砖。 - - u m l pl j m 州m ， d o , 0 ；m = ( j m l oi j m ，) n ；。cm m ( 3 ) 可以这样表示l j m ) = 口：。i o ，于是有 以i j m ) = m b m ) ，厶l j m ) = 万千丽r 再函丽l j m 士1 )( 4 ) 从而得到 五，砖。 = m 蠢。， 如，砖。 = 、西 丽万万至鬲丽面。士。 ( 5 ) 结果说明砖。是s o ( 3 ) 群的j 秩不可约张量1 2 3 ) ，而a d 。不是s o ( 3 ) 群的歹秩不可约张 量，但a j 。= ( 一) + m a j m 是s o ( 3 ) 群的j 秩不可约张量 通常，k 个全同粒子体系的态矢量可以用一系列产生算符来标记，设i o ) 为真空 态，则k 粒子的量子态表示为砖。，o ；。砧。i o ) 通过( 5 ) 式的对易关系可以证明， 以。：0 j 。：弓。i o = ( m l + m 2 + m 七) 砖m ，t 。：吐m 。i o ( 6 ) 上式说明对于七个全同粒子组成的全反对称体系，也是体系的总角动量在z 方向上 的投影，它的本征值m = m i ，而且是好量子数 6 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 对于单个粒子，它的角动量z 方向上的投影m ，满足的取值范围是m = 工j 一1 ，一j 这就决定了体系的组态数例如，当体系只有一个粒子时，有一个产生算符口；。，体 系的组态数是“当体系有两个粒子时，有两个产生算符n ：。4 - m ，体系的组态数 是锡+ 。；当体系有个k 粒子时，有k 个产生算符口j m ，砖。：砖。，体系的组态数是 十。= 商虢同时需要考虑体系的总粒子数k ，它的取值范围是k = 0 ，1 ，2 j + l ， 则对于单角动量j 的全同粒子体系而言，它的组态共有+ 。= 2 2 j + 1 个 于是，k 粒子的全反对称体系都可表为 厂- l m m z m m ) = 、击( 一) p p ( 砖m ，0 j 。n j 。) i o ) ( 7 ) 其中p 是指将体系中任意两个粒子顺序交换( 隐含m 值的交换) ，( 一) p 使得该表达式 满足反对称，击为了去掉计算过程中产生的重复项例如，k = 2 时经p 交换作 用，产生两项弓。砖。一砖。n j 。：；后= 3 时经p 交换作用，产生六项砖。n ；。：以。一 a ，t 。，n ；。+ n ；。弓。n j 。：一0 j 。：砖。弓。，一。弓。弓。：+ 面。：砖。t 。， 无论k 个粒子排序如何，最终都可以表示为 i m l 仇2 m k ) = l 七，m )( 8 ) k 其中m = 妻m t ，由于泡利原理的要求，同时为了方便又不失一般性，我们可以规定 m r 。2 7 7 ；k ，那么体系的所有粒子的角动量在名方向上的投影的最大值只能是 1r11 螈。践= 歹+ 0 1 ) + + 瞄一( k 一1 ) 】= 巧吉惫( k 一1 ) = ki 歹一言( k 一1 ) f ( 9 ) - l 厶 j 对应的每个费密子的角动量在z 方向上的投影的取值只能是唯一的，m ，= j ，m 。= j 一1 ， ，m k = j 一( 七一1 ) 这里需要说明的是对于所有角动量在z 方向上的投影即m = e “佻 的取值范围是m = 正j 一1 ，一，因此构造j 时只需计算， 0 即可于是角动量投 影的最大值只能是麟= k 眵一 ( 七一1 ) 】，该体系的状态是 1 t n 2 m 七) = i 五j f 一1 ，j 一( k 一1 ) ) 即体系最大角动量投影态的个数，也就是重复度的值只能是1 ； 对于该k 个全同粒子组成费密子体系，m = m m 畎一1 的态只能是 m m 联一1 ) = i 歹，j 一1 ，j i 一( k 一2 ) ，j 一( k 一1 ) 一1 )( 1 1 ) 即体系m = m m 。一1 的态的重复度的值只能是l ； 对于该k 个全同粒子组成费密子体系，m = a k 蛾一2 的态可以是 l m m 。2 ) = l 歹，歹一l ，j 一( 七一2 ) ，歹一( k 一1 ) 一2 ) 7 壳模型中构造单歹壳角动量本征态的投影方法 或者 a 。一2 ) = l 歹，j 一1 ，歹一( k 一2 ) 一1 ，歹一( k 一1 ) 一1 ) ( 1 2 ) 即体系m = 岛。一2 的态的重复度的值是2 上述讨论表明，总角动量的z 分量分别为m = 尬。，m = a a x 一1 ，m = a 。一2 的态可以分别与配分f 0 】，1 1 】，【2 l ，【1 1 】相对应，其态的个数分别为非负整数0 、 1 、2 的各元配分的数目之和依次类推，角动量的z 分量为m = 。一的态与非 负整数毒的各元配分相联系，其数目等于f 的各种多元配分数目之和在这里，我们 用p 来表示m = 。一态的数目，即p 是m = 酞一f 态的重复度的值理论上， 非负整数f 的一个配分 f 。，已，靠】相应于表示u ( ) 群的一个不可约表示的杨图， 其所有配分的数目即为不可约表示m = 。一f 的数目f 划 对于角动量的z 分量为m = 尬。一的态而言，对应的每个费密子角动量在石方 向上的投影的取值是， m 1 = j 一毒1 ，m 2 = j 一1 一已， ，m k ：j 一( k 1 ) 一&( 1 3 ) 同时规定了m 1 m 2 m 七，所以有 & 一1 l 由m k = j 一( k 一1 ) 一一j ，所以有 & 2 j + 1 一k 同时已知配分满足 1 + 已+ + & = ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 这样满足( 1 4 ) ，( 1 5 ) ，( 1 6 ) 式的所有巳，】可能有的组合数即是旧的配分个数它 可以用杨图来进行表示例如当= 3 时， 【6 ，】_ 【3 0 0 ，【2 1 0 】，【1 1 1 ，即体系总角动 量投影为m = 尬一一3 的所有可能态的个数为3 ，也就是重复度卢= 3 综上所述，对于k 个全同费密子体系的总角动量彳方向投影为m = 五骡一毒的所 有可能的态的个数( 重复度p ) ，就是所有配分的个数对于m 的值一定时，对应的体 系总角动量，的值也不一定；对于，的值一定时，m 的值可取m = 正j 一1 ，一，；对 于= ，一1 的值一定时，m 的值可取m = j l ，3 2 ，一( j r 一1 ) 这样用体系总角 动量投影m ( j ) 的态的数目减去m ( j 一1 ) 的态的数目就得到了体系总角动量j = m 的所有可能的态的数目，即体系j = m 的态的重复度用，y 表示为 7 ( ，j ) = 卢( k ，毒) 一p ( k ，毒一1 ) ( 1 7 ) 8 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 这就给出了u ( ) ) 0 ( 3 ) 的约化重复度 由不可约表示按群链u ( ) ds p ( n ) 和uc n ) ) o ( ) 的约化规则知，由k 个全同 粒子组成系统的辛弱数记为，即系统内所有不能配成对的粒子数，粒子配对的要求 是两个粒子的角动量三分量投影之和为零这样会有 工，= 詹，k 一2 ，0 ， vk = e v e n ， p = k ，k 一2 ，1 ，vk = o d d ( 1 8 ) 则，y ( 七，j ) 就是体系的总角动量为，且包含各种可能的辛弱数值的态的数目由此可 知，对于一个具有确定的辛弱数2 的系统，角动量为j = m 的状态的数目为 7 ( 2 ，j ) = ，y ( ，j ) 一7 ( 一2 ，j ) ( 1 9 ) 这就是却( n ) 0 ( 3 ) 的约化重复度 2 2利用投影算符构造角动量本征态的方法 由于角动量为j 的费密子的自由度为，n = 2 j + 1 ，保持粒子数守恒的最大对称 群为u ( n ) 群其生成元为a ：。a jm ，j 其中m ，m ，- z 歹一1 ，一歹，m m 7 具有k 个粒子 的空间构成u ( n ) 群的一个不可约表示空间，用最高权【1 七】标记此不可约表示u ( n ) 群的生成元还可以写成不可约张量的形式 ( n ；。奶m ，) ：= ( j m j m 7 iz g ) 砖。毛。， ( 2 0 ) 其中这里的l = 0 ，1 ，2 j ，q = l ，l 一1 ，一 + 1 ，一1 它们满足如下的对易关系 l ( 砖。西m ，) ：，( 0 j 。如仇，) ：，i = 、币旷f 巧可研 ( 1 q l q lr q ) l l 2 00 - r ) 驯 。 记k s = n ；。a 3 。为体系的总费密子数算符，则( n j 。西m ，) ：= 忌，何k s 可看作是u ( 1 ) k 的生成元，u ( n ) = u ( 1 ) os u ( n ) 在等价原则下，s u ( n ) 的不可约表示也用【1 2 】标 记，但 1 】与 0 】等价 当2 _ 1 ，3 ，2 j 等奇数时，( n ；。幻。i 构成s u ( n ) 的子群s p ( n ) 的生成元，即 ( 0 j 勘，) 一1 磊u 嘶小) ( t 勘，+ n ；抽m ) ( 2 2 ) 可以得到s p ( n ) 群生成元的非耦合形式为三。，= 砖。奶。，+ e m ，奶m 当m 和一m 态上 各有一个粒子并耦合成零角动量时，称之为一对粒子所以s p ( n ) 的不可约表示( 1 ”) 对应有2 个不成对粒子的态，量子数即为辛弱数 9 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 我们引入粒子对产生、粒子对湮灭算符分别表为 儿浮( n t o f ) 。0 ，户：浮蝎 s v ( 2 ) 。的生成元为准旋算符q 。，q 士，其中 q 0 一- - - 百n 一丢露，q + = 丢户，q 一= i 1 p t 满足对易关系 r1r1 fq oq 士i = 士q 士，lq 十q l = 一o o 由此容易得出s p ( n ) 的生成元与s u ( 2 ) 。的生成元互相对易，所以s p ( n ) 是s u ( 2 ) 。不 变的已知q 0 的本征值为m q = 等一 而，可以证明好量子数q 的本征值为百n 一专，可 以把q 看成是度量了从壳层中1 、5 到某一个具有确定辛弱数状态处的距离，而度 量了壳层的填充情况1 2 3 1 因此在描述转动不变的单角动量全同费密子体系的群链时，也是其相应的李代数 链，可以表示为u ( n ) ds p ( n ) d0 ( 3 ) 然后可以用标记上述群链中的各群的不可约 表示的量子数来分类表示系统状态的波函数 由此将粒子数确定为k 的具有给定总角动量的任意正交完备态用角动量的单粒子 乘积态展开，相应的群链为u ( n ) do ( 3 ) ，用标记群链中的各群的不可约表示的量子 数来表示，即为l a j m ) ，其中j 是体系总角动量的量子数，m 是体系的总角动量z 方 向投影的量子数，口是u ( n ) d0 ( 3 ) 的约化重复度指标，口= 1 ，2 ，y 同时i 七m ) 是( 8 ) 式给出的一系列具有给定总角动量三分量的正交完备态矢量，其 中m = m m 。一亭，有 以i k m ( ) = m i 膏m f )( 2 3 ) 根据量子力学，可以将一个态矢量用另一个正交完备态矢量来展开，于是有 a j m ) = i k m ( ) ( m 引a j m ) = ( k m ( a j m ) l 后m ) ff 这里定义展开系数鳕删为 醛渊= ( k m f la j m ) 于是( 2 4 ) 式可简化为 l a j m ) = 9 拿删i k m ( ) f 1 0 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 为了确定展开系数鳕j m ，可以引入投影算符 4 q 磁w = 筝棚- s i n 如d p ：d e 3 0 , 玉，m ( 0 1 , 0 2 , 0 3 ) e x p 阳- 以】e x p 印：无】e x p i 0 3 j , ( 2 7 ) 投影算符确，肘具有如下性质： ，m = v i m ) ( v l m l ，磁m = 1 ， i m p k k p 毛k = 6 i l | 6 m m - p k k 1p 铵fm = p i m m 。 ( 2 8 ) 其中q = ( 0 1 ，0 2 ，0 3 ) 是描述三维空间转动的三个e u l e r 角【t 引，三维空间的转动算符r 可 以用角动量在实验室坐标系( z mz ) 中的分量算符五，山，以来表示 r ( 0 1 ，0 2 ，0 a ) = e x p 卜i 0 1 f f z 】e x p 【- - i 0 2 山】e x p 【- i 0 3 j z 】 由巧是0 ( 3 ) 和s u ( 2 ) 群的丁阶不可约张量，满足 r t ；r 一1 = 磁，p ( r ) 砀，v r d ( 3 ) i 转动算符r 在i j m ) 表象中的矩阵元【t 引，记为d d ，m ( 口1 ，0 ：，0 3 ) ，称其为d 函数，即 其中 d d ，m ( 口1 ，0 2 ，如) = ( j m 7i e x p 【一t p l 以】e x p 【- i 0 2 以】e x p 一i 如以】l j m ) = e x p 【_ i m7 0 1 】( j m l e x p 【- - i 0 2 山】i j m ) e x p 【一i m 0 3 】 = e x p 【一i m 0 1 】d 厶，m ( 如) e x p 一i m 0 3 】 d 乞，m ( 口2 ) = ( j m 7 e x p 一i 0 2 毛】i j m ) 因此，计算d d ，m ( 口。，0 2 ，0 3 ) 就归结为计算嘞，m ( 6 1 2 ) 然后需要证明投影算符瑚，m 满足下列关系【t t 】： p 嚣mi a j m ) = i o j m ) s w 5 m m ， 根据l a j m ) 是一系列正交完备态，于是有墨i a 厕) ( 厘劫f = 1 ， a j m 磋，mi e j m ) = 秘f，m ( q ) e x p 【i f l j 】l a j m ) = 秘fd f 2 d y ，mc a ) l 丘厕) ( a j m ie x p i a j 7 a y m ) = 呈秘efd s 2 d y ，肘c a ) i a j m 一) d k 4 m ( q ) 嘞如。 = 错一d q d y ，m ( q ) d 氟订( q ) b j 厨) 1 1 ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 利用d 函数的正交归一性，有fd f l d 船k ( q ) d m i tw ( q ) = 黠占 5 m m 6 肌可以得出 p 蕊t mi a j m ) = 6 j rj 6 m m - l a j m ) 在j = ，m = m 7 的特殊情况下，令磁= 磁m ，有 尸玉i o r j m ) = a j m ) ( 3 5 ) 可以看到，投影算符尸岳具有作用在态矢量i j m ) 上，将会得到态矢量l a j m ) 本身 的性质结合得出的( 2 6 ) 式，有 a j m ) = 9 p 删磁i k m f ) ( 3 6 ) f 将一组正交完备的态矢量组中的任一态矢( 而m 7 i 作用于上式左右两边，得 ( 惫m 7i a j m ) = 9 宇j m ( 惫m 7 i 磁i k m ) 将已定义的展开系数( 2 5 ) 式代入上式中，有 9 孑7 j 7 m 7 鳕j m = 6 。，d ，跏m ， ( 3 8 ) 这样求解展开系数鳕删的问题，就转化为解决( 七m 7 i 尸岳l 惫m ) 的问题 ( 七m 7 i 磁l 后m f ) = 错f d 0 1s i n0 2 d 0 2 d 0 3 d j m m ( q ) ( 七m f ，je x p i 0 1 j z 】e x p i o = 4 】e x p 【i o a j , ji k m ( ) = 错，础1s i n 口2 d 0 2 d 0 3 d j m m ( q ) e x p 【i 口1 m 】e x p i o a m 】( 后m 7 ie x p i 口2 毛 1 m ) ( 3 9 ) = 繁后”d 0 1 譬”4 0 3 嚣s i n 0 2 d 0 2e x p 一i 0 1 m j e x p 一t 0 3 m 嘞m ( 如) 、 e x p 1 m 】e x p 【l o a m 】( 惫m ，ie x p 瞄口2 毛】l 七m ) = 互笋口s i n0 2 d 0 2 d 厶m ( 如) ( 惫m le x p 瞄如己】i k m ) 取m = ，的态，得到 ( 詹m ，ip j k m 亭 ：型# rs i n 疗2 d 0 2 d j j ( 口2 ) ( 惫m f ie x p i 0 2 j 掣 i k m ) ( 4 0 ) 一 j u 对于惫个全同粒子体系的态矢量可以用一系列产生算符来标记，设i o ) 为真空态， 则态矢量为嚅。嚅：嘛。| o ) 那么i k m f ) 可以表示为 i k m ( ) = 嘞。喙：嚷。l o ) ( 4 1 ) 12 刁0 m 陋略 、m 肼 鳝 。 i i m 鳝 足满 m 昨 小1 n 同 壳模型中构造单j 壳角动量本征态的投影方法 由( 1 3 ) 式角动量三分量投影的取值，上式可化为 詹m f ) = 咭咱咕一1 吨咕一七+ 1 吨 由r 的定义( 2 9 ) 式，当0 1 = 0 ，如= 0 时， r ( p 1 ，口2 ，如) = r ( 0 ，0 2 ，0 ) = e x p 【一i 0 2 也】 因为喙是o ( 3 ) 群的j 阶不可约张量，所以 ( 噶) 山。 考虑在矩阵元中插入e x p 【一i 0 ：川e x pf 如山】，得出 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ，。( 口2 ) 喙， ( 4 4 ) 尼拟， e x pi 1 6 1 2 毛ji k m f ) = ( o ia y j k + l 一j 一七一一1 a z 一；e x p i 9 2 j u 咭咱咕一1 吨咕一七十1 吨i o ) = ( o i 一k + l 一畦一一钲。j 一：e x p i 0 2 j u 咳一f le x p - i o = 4 。e x p i 0 2 j ! ， 略一1 吨咕一吨i o ) = (