（电路与系统专业论文）一类非线性模型的动力学特性分析.pdf

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d i r e c to r ：上讧y 、幻从 t e c h n i c a lp o s t ：p r o f e s s o r r e p l yd a t e ： d y n a m i c s 臌k l y si so fat y p eo f n o n - l i n e a rm o d e l a b s t r a c t t h eh o p f i e l dn nm o d e li so n eo ft h em o s tw i d e s p r e a ds e v e r a lk i n d so fn n m o d e l s h o w e v e r ，t h eh o p f i e l dh a v et h es y m m e t r i c a l1 i m i t a t i o ni nt h ep r o m i h e n t c h a r a c t e r i s t i c st r a n s c o n d u c t o ra m o n gs i m u l a t i o nn e u r o h ，a n dt h ep a r to f n o n li n e a ra d o p tw d e i yf u n c t i o nr e i a t i o nw h i c h m o n o t o n ys e v e r e i yr a i s e s a t u r a t i o nn o n l i n e a r b u tt h isk i n do fm o d e li sn o ta c c o r d a n c ew i t hh u m a n s p h y s i c a lp h e n o m e n a ，w h i c hiso c c u r r e dt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e ne x c i t a t i o na n d r e s t r a l ni na d d i t io r t os a t u r a t i o n i nv i e wo ft h ei n f l u e n c eo ft h e s ef a c t o r s ilisu s e f u lt oc o n s t r u c ta n o t h e rk i n do fn o n l i n e a rm o d e l ，a n dh a v eaf u r t h e r r e s e a r c h t h i sp a p e rc o n s t r u c t e dak i n d o fn o n l i n e a rn n m o d e l a n d h a da q u a l i t a t i v ea e a l y s is f u r t h e r m o r e 。t h i sm o d e l sd y n a m i c sc h a r a c t e r is t jcis s i m u l a t e db y u s i n gm a t l a b l a s t l y ，t h is p a p e rc a i c u l a t e dt h r e e r a n k e x cit e m e n t r e s t r a i nm o d e l a n de x c it e m e n t r e s t r a i nn ni n t r a n s c o n d u c t o t m a t t i xs y m m e t r ya n dd js s y m m e t r ya n dt h ep h o t o g r a p ht r a c k t h i sp a p e re d u c e d p a r a m e t e r s r o u g hs c o p ew h e nb a l a n c ed o i n t ，l i m i te y e l e ，c h a o so c c u r s k e yw o r d s ：n e r v en e t w o r kb a l a n c ep o i n tl i m i tc y c l ec h a o ss i m u l a t i o n 西安理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 神经网络的发展历史 人工神经网络是一门高度综合的交叉学科，它的研究和发展涉及神 经生理学，数学科学，信息科学和计算机科学等众多学科领域。回顾神 经网络理论的发展史，大致可以分为四个时期：探索时期，第一次研究 热潮时期，低潮时期和第二次研究高潮时期。 神经网络理论的探索研究开始于上世纪4 0 年代。1 9 4 3 年美国生理 学家麦克劳( w s m c c u l l o c n ) 和数学家匹茨( w a p i i t s ) 首先提出了 二值神经元模型。1 9 4 9 年，心理学家赫布( d 0 ，h e b b ) 根据心理条件的反 射机理，指出脑细胞间的联系被加强，这就是后来所称的h e b b 学习法 则，据此，人们可通过调节各神经元间的连接强度来实现神经网络的学 习功能。 5 0 年代到6 0 年代初，神经网络理论在前面探索性工作的基础上迎 来了第一次研究热潮。i 9 5 7 年，心理学家罗森布拉特( f r o s e n b l a t t ) 设计制作了感知器，试图模拟人脑的感知和学习能力，这是最先提出来 的一种神经网络模型。 第一次研究热潮未能持续多久，自6 0 年代末至7 0 年代神经网络研 究进入了低潮时期。究其原因，主要是当时传统的计算机技术正处于迅 速发展时期，并在众多领域取得了很大成功，因此暂时掩盖了发展神经 网络的必要性和迫切性。 进入8 0 年代，神经网络研究开始复兴。1 9 8 2 年至1 9 8 6 年，美国物 理学家霍普菲尔德( j j h o p f i e l d ) 陆续发表了几篇有影响的神经网络 研究论文。它采用了全互连神经网络模型，引入能量函数的概念，成功 解决了当时数字计算机难以解决的旅行问题( t s p ) 。1 9 8 7 年6 月，首届 国际神经网络学术会议在荚国圣地亚哥召开，与会代表有一千六百余 人，会上成立了国际神经网络学会( i n n s ) 。随后几年，在许多工业国 家，纷纷成立了专门研究小组，政府和企业投入大量资金，制定和实施 神经网络研究计划。关于人工神经理论，模型和算法方面的论文大量涌 现，神经网络模拟软件和实用：占片不断推出，应用领域不断扩大，标志 着世界范围内第二次神经网络研究热潮的全面掀起和蓬勃发展“。 1 2 非线性系统的发展历史 自然界和工程技术中普遍存在着振动现象。人类对振动现象的了解 和利用有着漫长的历史，远古时期的先民已有利用振动发声的各种乐 器。在我国，早在战国时期成书的庄子就已明确记载了共振现象。 现代物理的奠基人伽利略( g g a l i le i ) 对振动问题进行了开创性的研 究。他发现了单摆的等时性并利用它的自由落体公式计算单摆的周期。 在1 7 世纪，惠更斯( c h u y g e n s ) 注意到单摆大幅摆动对等时性的偏离 以及两只频率接近时钟的同步现象，是对非线性系统现象的最早记载。 严格的非线性系统的理论研究开始于1 9 世纪后期，由庞加莱 ( i p o i n t c a r e ) 奠定了理论基础。他开辟了非线性问题研究的一个全 新方向，即定性理论。在1 8 8 1 年至1 8 8 6 年的一系列论文中，庞加莱 讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在 判掘，定义了奇点和极限环的指数；此外还研究了分岔问题。定性理论 的一个特殊而重要的方面是稳定性理论，最早的研究结果是1 7 8 8 年拉 格朗日( j l l a g r a n g e ) 建立的保守系统平衡位置的稳定性判据。1 8 9 2 年李雅普诺夫( a m l y a p u n a o v ) 给出了稳定性的严格定义，并提出了 研究稳定性问题的直接方法。 在非线性系统的近似方法方面，1 8 3 0 年泊松( s d p o i s s o r ) 研究 单摆振动时提出摄动法的基本思想。1 8 8 3 年林滋泰德( a l i n g s t e d t ) 解决了摄动法的久期项问题。1 8 9 2 年庞加莱建立了摄动法的数学基础。 西安理工大学硕士学位论文 1 9 1 8 年达芬( g d u f f i n g ) 在研究硬弹簧受迫振动时采用了谐波平衡和 逐次迭代的方法。早在拉格朗同时代，天体力学中已经采用平均法计算 行星轨道的演化。1 9 2 0 年范德波尔( b v a nd e rp 0 1 ) 将平均法思想用 于研究电子管的非线性振荡。1 9 3 4 年克雷洛夫( n m k r y l o v ) 和包戈留 包夫( n n b o g o l i u b o v ) 将平均法发展为适用于一般非线性系统的近似 计算方法。1 9 4 7 年他们又提出一种可求任意阶近似解的渐进法，1 9 5 5 年米特罗波尔斯基( n n b o g o l i u b o v ) 将这种方法推广到非定常系统最 终形成k b m 法。1 9 5 7 年斯特罗克在研究电等离子体非线性效应时用两个 不同尺度描述系统的解而提出多尺度法，1 9 6 5 年奈弗( a h n a y f e h ) 等 使多尺度法进一步完善。 非线性系统的研究是人们对振动的机制有了新的认识。认识到除自 由振动和受迫振动以外，还广泛存在另一类振动，即自激振动，1 9 2 6 年 范德波尔研究了三极电子管回路的自激振动；1 9 3 2 年邓哈托( j p d e n h a r t o g ) 利用自激振动分析输电线的舞动。1 9 3 3 年贝克( j g b a k e r ) 的 工作表明有能源输入时干摩擦会导致自激振动。非线性系统的研究还有 助于人们认识一种运动形式：混沌运动。庞加莱在1 9 世纪末已经认识 到不可积的系统存在复杂的运动形式，运动对初值条件具有敏感依赖 性，现在称这种运动为混沌。1 9 4 5 年卡特莱特( m l c a r t w r i g h t ) 和李特 伍德( j e l i t t l e w o o d ) 对受迫范德波尔振子及莱文森( n l e v i n s o n ) 对 一类更简化的模型分析表明，两个不同的稳态运动可能具有任意长时间 的相同暂态过程，这表明运动具有不可预测性。为了解释卡特莱特、李 特伍德、莱文森的结果，斯梅尔( s s m a l e ) 提出马蹄映射的概念。上田 ( y u e d a ) 和林千博( c h a y a s h i ) 发表于1 9 7 3 年的工作表明他们在研究达 芬方程时得到一种混乱、貌似随机且对初始条件极度敏感的数值解。混 沌的发现和研究丌阔了一个活跃的新领域，使非线性系统学科进入了新 的发展阶段。“” 1 3 反馈神经网络及动力学特性的研究进展 科学和工程的广泛领域出于自身发展的需要，对力图模拟人脑优异 功能的人工神经网络表现了兴趣。一系列生物实验表明：脑神经系统具 有混沌与奇异吸引子的动力学行为，这与人脑联想等思维不谋而合，因 此建立新的神经网络模型对认识脑的动力学机理有重要意义。 下面谈谈反映人脑机理的反馈神经网络及动力学特性的研究进展。 1 3 1 混沌神经网络模型 混沌神经网络模型可描述为 只( ，+ 1 ) = k i y i ( t ) + 如瑚+ t j j ( t ) - f ( y 。( f ) ) 一只 j = lj = i x ，o + 1 ) = g ，( y ，( f + 1 ) )i = 1 , 2 ，” 其中为第，个混沌神经元到第i 个混沌神经元的连接权值；l 为第个 外部输入到第f 个混沌神经元的连接权系数，h ，为第，个混沌神经元的轴 突变换特性函数，g ，为第i 个混沌神经元的输出函数，通常量，为s g n 函 数或s i g m o i d 函数。 混沌神经网络模型对于信息产生、模式识别、联想记忆、自适应学 习等生物信息处理具有重要意义。 1 3 2 h o p f i e l d 神经网络模型 1 9 8 4 年，h o p f i e l d 提出了连续时间h o p f i e l d 网络模型( 详细介绍 在第三章) ，见图卜l 。它可描述为： 西安理工大学硕士学位论文 vv 图l - 1h o p f i e l d 神经元模型 哮3 莠 m ， = ：( 虬) i = 1 ，2 ，胛 上式中的c ，鲁是将动力学的内容加入神经元模型的最简单的方法。其中 的= f ( “；) 是一个非线性连续可微函数，且= l 。，计算函数表示为 = 一圭莩莩五一_ + 军击v 。c x ，出 通过分析计算可得： 定理l 包含n 个神经元的h o p f i e l d 网络的l y a p u n o v ( 能量) 函数 e 是一个单调递减拥有状态变量 l f _ 1 , 2 ，月) 的网络的函数，即 h o p f i e l d 网络是全局渐进稳定的，也就是当t 趋向于无穷大时，网络趋 向于平衡点集。 定理2 如果t 权矩阵满足d t 对称的条件，其中d 为正定对角阵， 那么h o p f i e ! d 稳定收敛性定理仍然成立”1 。 由上可知：h o p f i e l d 网络的稳定平衡点对应于其计算能量函数的极 小点，因此它已广泛应用于神经优化和联想记忆方面。 上述模型只考虑了生物神经元之间的触突一树突型连接突触。如果 进一步考虑生物神经元的树突一树突型、胞元体轴突型突触，焦李成 绪论 提出了下面的模型【2 0 】。 1 3 3 通用神经网络模型 通用神经网络模型”见图卜2 ，其中胞元体一轴突型突触体现为神 经元的自反馈特性。用巧表示轴突一树突型突触连接权值，表示树突 一树突型突触连接权值，一，为自反馈权值，：表示神经元的非线性特性， 它可描述为： v u t i i l ，r 一厂 l 土u “广- l 围 c 占f i | 廿 。山 图i 2 通用神经网络模型 v q 鲁2 n + 眇，峨k 寺 。， _ = ，0 ，) i = 1 , 2 ，” 其中c 。 0 ，( ) 为连续可微单调增函数，。为外加输入。 若 = = 0 即只考虑神经元自反馈特性，式( 1 3 ) 可简化为 c ，鲁吒一等“( 1 - 。) = ，0 ，) i = 1 , 2 ，” 这是一由自由子系统组成的神经网络系统。 若 瓦= 彤，= 0 西安理工大学硕士学位论吏 式( 1 3 ) 可简化为 这就是h o p f i e l d 模型。 若 z ，= 瓦= 0 式( 1 3 ) 可简化为 ( 1 5 ) q 警= 莩一去u。， = ：0 ，) f = 1 , 2 ， 这是一新的线性互连神经网络模型。 若 毛= 0 则有 t 警2 莩+ 弓f 一卺+ i( ，_ 7 ) k = 0 ；)i = 1 , 2 ，” 与h o p f i e l d 网络类似，它是一非线性反馈动力系统。 若 f ，= 0 则有 c ，鲁2 莩“。+ 莩乃_ 一等+ ，。， r = ，0 ，)i = 1 ，2 ，” 这是一新的非线性互连大系统。 通过对上述模型的分析，焦李成提出了通用n n 的稳定性、通用n n 的关联稳定性以及通用n n 的时空结构和延时动力学方面相关理论。 阼2 = 虬一曩 一 一 乃 ，j = 0 堕新“ q 绪论 定理1 对式( 1 3 ) 可写为： “，= h ，( “，) 十g ，( “)( 1 9 ) 其中“。r 一为第i 个子系统的状态向量，它有”。个分量。而“为整个神 经网络的状态向量，它有 个分量。设神经网络( 1 - 9 ) 式的每个子系统 “，= 囊( 。) 都存在正定函数e ( ，) 及正常数。胪。护。矿。且满足： c n | 2 e ( “，) c j2 1 2 ； e ，( “，) 一c ，3 | | “川2 存在常数尾0 ， n 2 g r a de ，rg 。( “) 兰j ( 驯训) “2 q i 矧 那么整个系统( 1 3 ) 式是火范田渐进稳定的。 在研究神经网络动力系统的关联稳定性时，可将神经网络系统分解 成互联的子系统，先研究孤立子系统的l y a p u n o v 函数及其稳定性，然 后形成包含向量l y a p u n o v 函数的总系统的集结模型，最后由子系统和 集结模型的稳定性，得到神经网络动力系统的关联稳定性。具体内容可 见参考文献。 人脑神经网络不仅具有空间结构，而且具有一定的时叫结构，式 ( 1 3 ) 所示的通用n n 模型表示为 “，= 一_ ( “，( f ) ) + 譬。( “，o r ) ) + ，( f ) i = l ，2 ，一，”( 1 一l o ) j f 其中 ，( ) 和g 。是连续可微的且在实轴上满足局部l i p s c h i t z 的 条件1 ：d h 。( o - ) d o - 一i 如，( 盯) d 口净占 o j 对所有o - r ，i = 1 , 2 ，” 条件2 ：d h ，p ) 埘盯一陋，( 盯) 打卜o f 西安理工大学硕士学位论文 对所有盯r ，i = 1 , 2 ，” 在应用中，若曩= g ，+ ， j j 如果g 。和，为单调递增，则条件2 成立。如果嘶( o ) d c r s 0 ，则条 件1 成立。 定理2 对于系统( 1 1 0 ) 式，如果条件1 成立，则对于一常输入， 系统( 1 一1 0 ) 的任意轨道渐进地收敛于一平衡点：如果条件2 成立，则 对于一常输入，系统( 1 1 0 ) 的任意有界轨道当f 斗0 0 时趋于一稳态。 1 3 4 细胞神经网络模型 1 9 8 8 年蔡绍棠等人提出了基于细胞的“局域性”和“空间不变性” 的细胞神经网络模型3 1 】i 3 2 】 c 坐= 乞渤f 囊帆( ，) 州删m b ( f ，工k ，1 ) u “( r ) + o( 1 - 1 1 ) 这里n ，( f ，j ) 是规模为m n 网络中细胞c ( i ，j ) 的r 邻域，即 c ( ，1 ) m a x l k 一审l f - 巾，1 ，m ，1 ，j v ) ，“。= e 。是输入方程，i 是 一个独立的电流源。细胞神经网络比h o p f i e l d 网络更易电路实现，这是 由于它的连接方式是局域性的，而h o p f i e l d 网络是全互连的。该方程是 由电路理论推出的，但从方程的角度来看，细胞神经网络是非光滑的动 力系统，因而方程的右端不可微。该模型具有十分丰富的动力学行为， 如分又、混沌等现象，还会出现类似于著名蔡电路中的奇怪吸引子，因 此该网络有广泛的应用领域，例如模式识别、故障诊断、信号与图像处 理等【3 7 】。 一般的神经网络模型仅考虑神经元通过一个连接权从别的神经元接 绪论 受输入的情况，而实际的生物神经元可以通过个连接权同时从多个神 经元接受输入，这就对应于高阶连接的情况。将高阶连接的概念运用于 h o p f i e l d 网络，可以增加网络的容量形成高阶关联联想记忆网络。 1 4 问题的提出及本课题的研究目标 通过以上介绍可以看出，虽然提出了多种神经网络的动力学模型， 但各种模型的动力学行为无外乎以下三种： ( 1 ) 收敛于( 或远离) 平衡点集的某个平衡点：这实际上是研究平 衡点的稳定性问题，这类问题研究的较多而且较深入。从这类问题的研 究可以得到一些非常有用的应用，如联想记忆、模式识别、组合优化等。 h o p f e i l d 神经网络模型就是这方面最广泛应用的几种神经网络模型之 一o ( 2 ) 极限环：系统的某些状态轨迹渐近地趋向于( 或远离) 一个闭 合轨道，这些轨道通常是周期轨道。 ( 3 ) 混沌：这是一种轨道在有界的范围内长期行为对初值非常敏感 的游荡运动。 对大脑的动力学实验中发现这样一个事实：脑动力学行为从来都不 是收敛的，一般是振荡的或混沌的。因此，从生物神经网络的特点来看， 人们大脑的智能功能主要是通过第二种及第三种动力学行为来实现的。 但是由于后两种动力学行为的分析涉及到许多复杂的数学工具，其动力 学特性的研究依赖于非线性系统理论的整体进展，研究进展比较缓慢。 只有相关非线性理论获得新的进展时，这些神经网络系统的特性才能有 强有力的理论支撑，也就能获得进一步的应用。 人工神经网络是采用物理可实现的系统来模仿生物神经系统功能的 系统，所以，在一定意义上说，人工神经网络首先应能出现生物神经系 统所具有的复杂的动力学特性，在此基础上才有可能模仿生物神经系统 西安理工大学硕士学位论文 的功能。 生物神经系统是一个由大量的具有非线性特性的神经元通过广泛连 接而构成的多级巨型非线性系统，没有非线性也就没有生命，更没有智 能。有资料显示：人脑正常工作时，脑电图呈现混沌状态；当人脑处于 病态时，其脑电图呈现周期解；当脑死亡时，其脑电图趋于平衡点。但 是，由于条件的限制，在相当长的一段时间里，我们还无法构造象人脑 神经网络系统那样复杂的人工神经刚络。因此，在目前阶段，完全从模 拟生物神经元的基础上来模拟人的智能的途径是不现实的。既然生物神 经系统是一个多级巨型非线性系统，在某一层次多个单元组合所呈现的 性质到了高一层次中就可视为该层次中基本单元的性质。这有些类似于 电子学中运算放大器的宏模型，它反映了多个晶体管组成的运算放大器 的外部输入输出特性，而在由运算放大器组成的电子系统中，运算放大 器就成为该系统的一个基本单元。从这个意义上说，研究由少数单元组 成的但具有平衡点、极限环、混沌等多种动力学特性的神经网络是有必 要的。但是，这些单元应当视为由多个更简单的单元组成的系统的宏模 型，并不是神经元模型，故我们称之为非线性模型。不过，在不引起混 淆的情况下，我们也称其为神经网络模型。 h o p f e i l d 模型要求模拟神经元之间突触特性的跨导必须对称，且非 线性部分普遍采用严格单调增加饱和非线性的函数关系，这是h o p f e i l d 模型得以稳定的重要条件。但是j 下因为如此，h o p f i e l d 神经网络不会出 现混沌这样的复杂动力学现象。近年来，许多学者研究了具有时滞特性 的h o p f e i l d 神经网络，作为一类非线性系统，该类神经网络模型随着参 数的变化，可能出现极限坏和混沌等现象、1 4 1 5 1 。已有的混沌神经网络 模型，多为离散模型，而且，该类模型的机理与人体的生理现象的表现 不完全一致，其生理学背景有待进一步研究。事实上，人体生理过程中 除饱和现象外，还经常出现兴奋与抑制交互作用的情形。考虑这些因素 的影响，需要构造出另一类非线性模型，同一个模型当参数发生变化时 绪论 可分别出现平衡点、极限环、混沌等多种特征。本课题主要目的就是构 造这样一类非线性模型，并针对该类非线性模型进行分析，找到该模型 出现平衡点、极限环、混沌时所对应的各参数的大致范围，并对该模型 的动力学特性利用m a t l a b 进行仿真，以得到一些有意义的结论。 西安理工大学硕士学位论文 2 非线性系统动力学分析简介 为了后面讨论的需要，我们简要介绍非线性系统动力学分析的一些 基本概念及方法。 2 1 非线性系统动力学分析的相关概念 系统中含有非线性元件并且须用非线性数学模型描述的系统，称为 非线性系统。下面介绍非线性系统动力学分析的相关概念。 a 相空间和相轨迹 许多非线性系统可以用状态方程 x = f ( 口，x ) x ( t o ) = x o ( 2 1 ) 描述。其中：x r ”为n 维状态向量，a r “为m 维参数向量，( ) r ” 为n 维向量函数。为了求解满足一定初始条件的状态方程( 2 一1 ) 的解， 并用数学的方法讨论解的性质，可以引入相空间与相平面的概念，它们 是定性分析非线性系统动力学特性的重要工具。 我们称状态向量所在的空间且”为状态空间，一般也称为相空问， 当n = 2 时，r2 为一平面，该平面称为相平面。与系统的运动状态一一 对应的相空间上的点称为系统的相点。相点移动的轨迹称为相轨迹。 b 平衡点 相空间内能使方程 f ( a ，x ) = 0( 2 2 ) 的点。称为系统的平衡点，相轨迹一旦演化到平衡点时，系统的状态将 不在发生变化。数学上一般称相平面上的平衡点为相轨迹的奇点，在奇 点处相轨迹切线的斜率将不存在或为不定值。 根据微分方程解的存在唯一性定理，若方程( 2 1 ) 的右端连续，且满 足李普希茨( r ，0 s li p s c h i t z ) 条件，则过相空间上除平衡点外的任何 非线性系统动力学分析简介 点都通过也只能通过一条相轨迹曲线。而平衡点处或者相轨迹曲线通 过，或者有无数条相轨迹曲线通过。由于平衡点处x = 0 ，因此在平衡 点处相点的移动速度为零。若相点沿通往平衡点的相轨迹运动，则必须 经过无限长的时间之后才可能到达平衡点。平衡点可以是稳定的也可以 是不稳定的。 c 极限环 如果系统微分方程在相空间上所确定的相轨迹是一条孤立的封闭曲 线，它所对应的周期运动由系统的物理参数唯一确定，与初始运动状态 无关。这种孤立的封闭轨迹称为极限环。 设r 是非线性自治系统的一个极限环，则r 可分为以下几种情形： 1 ) 在f 两侧的充分小的邻域内的轨线，当t 寸+ m 时都渐进地趋于r ， 则r 称为稳定的极限环。 2 ) 在r 两侧的充分小的邻域内的轨线，当f 寸一m 时都渐进地趋于r ， 则r 称为不稳定的极限环。 3 ) 在r 一侧的充分小的邻域内的轨线，当f 一佃时都渐进地趋于r ， 而在1 1 另一侧的充分小的邻域内的轨线当，一一时都渐进地趋于r ，则 r 称为半稳定的极限环。对于半稳定的极限环，又可分为内侧稳定、外 侧不稳定的极限环以及外侧稳定、内侧不稳定的极限环。 d ，混沌 混沌( c h a o s ) ，亦称浑沌，混乱，它是指由确定性方程描述的动态 系统中出现的类似随机行为，简称为确定的随机性。混沌来自非线性， 逐次分叉通常是混沌出现的前奏，用微分方程、差分方程及简单代数迭 代方程描述的非线性动态系统，其方程一般具有确定的系数，因而是一 类确定性系统，这给人们的感觉似乎是这类系统应该表现出确定的行为 或表示一个确定的运动过程，值得研究的是，这种动态过程却可能因参 数值微小的摄动引起不可预测的结果，从而反映出系统状态对参数灵敏 的依赖性。因此混沌是非线性系统特有的一种运动形式，是产生于确定 西安理工大学硕士学位论文 性系统的敏感依赖于初始条件的往复性稳态非周期运动，类似于随机振 动而具有长期不可预测性。 2 2 非线性系统特点 前面已经介绍过系统中含有非线性元件并且须用非线性数学模型描 述的系统，称为非线性系统。 非线性系统与线性系统相比较，在数学模型、稳定性、平衡状态、 时间响应等许多方面均存在显著的差别，非线性系统具有线性系统所没 有的许多特点。 ( 1 ) 非线性系统的数学模型是非线性微分方程，方程中除有因变量 及其导数的线性项外，还有因变量的幂或因变量导数的幂，或其它函数、 因变量与其它导数的乘积的项。且非线性系统不能应用叠加定理。 ( 2 ) 非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系 统的输入信号和初始条件有关。有些非线性系统或有一个平衡点，或有 多个平衡点，或有无数个平衡点。非线性自由系统相对应于平衡点的稳 定性与在输入信号作用下非线性系统的运动稳定性，两者没有确定的对 应关系。同一个非线性系统，当输入信号不同，或初始条件不同时，非 线性系统的稳定性可能得到不同的结论。由于一些非线性系统有多个平 衡点。因此非线性系统的局部稳定性与全局稳定性一般是不一样的。 ( 3 ) 有些非线性系统，在一定的初始状态的激励下，可以产生固定 振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡 或极限环。 ( 4 ) 在3 阶及3 阶以上的非线性系统中，非线性系统可以呈现出一 些在线性系统中见不到的特殊现象，诸如混沌现象等。 非线性系统动力学分析简介 2 3 非线性系统的研究方法 非线性系统理论研究的目的是基于非线性系统的数学模型，在不同 参数和初始条件下，确定系统的定性特征和定量规律。非线性系统的数 学模型为非线性微分方程。与线性微分方程不同，非线性微分方程还没 有普遍有效的求解方法，很难得到精确的解析解。对于工程中的实际非 线性系统问题，除用实验方法进行研究外，常用的理论研究方法为：几 何方法、解析方法和数值方法。 几何方法是研究非线性系统的一种定性分析方法。传统的几何方法 是利用相平面内的相轨迹作为对运动过程的直接描述，在常微分方程定 性理论的基础上，根据相轨迹的几何性质判断微分方程解的性质。利用 相平面内的奇点和极限环作为平衡状态和孤立的周期运动的几何描述。 因此，关于极点的类型和稳定性的研究，是传统几何方法讨论的主要内 容。对于高维自治系统，目前采用动力系统与流形的理论和方法研究系 统的的定性性质。几何方法的局限性是不能得到非线性系统的定量规 律，而且传统的几何方法通常难以推广到高维时变系统。尽管如此，几 何方法仍在非线性系统研究中起着重要的作用。几何方法不仅能得到直 观的定性结果，而且可为其他研究方法提供理论依据。 解析方法是研究非线性系统的定量分析方法。即通过精确地或近似 地寻求非线性微分方程的解析解，得到非线性系统的运动规律，以及对 系统参数和初始条件的依赖关系。非线性微分方程的精确解通常涉及非 初等函数( 例如椭圆函数) 的引用和研究。能够得到精确解的非线性系 统称为可积系统，这种系统的数量极其有限。 更常用的解析方法是近似解析方法。近似解析方法主要适用于弱非 线性系统，即与线性系统十分接近的非线性系统。通常是以线性系统理 论中得到的精确解为基础，将非线性因素作为一种摄动，求出近似的解 析解。最早的近似解析方法来源于天体力学中的摄动法，也称小参数法， 西安理工大学硕士学位论文 如正轨摄动法和林滋泰德庞加莱法。近似解析方法还包括其他形式，如 谐波平衡法、平均法、多尺度法和渐进法等。这些近似解析方法原则上 也适用于特殊的强非线性系统。如果存在与之相近而又精确可积的非线 性系统，则也可对精确的非线性解进行摄动。解析方法原则上对单自由 度系统和多自由度系统同样适用。对于用非线性偏微分方程描述的无穷 多自由度的连续体振动，可利用模态的正交性或伽辽金方法化作只含时 间自变量的非线性偏微分方程组，然后利用近似解析方法进行处理。也 可直接对非线性偏微分方程进行摄动分析。任何一种近似解析方法所得 到的结果都是近似的结果，必须与其他方法互相印证。解析方法的局限 性使得应用范围十分有限，仅用于讨论可积和接近可积系统的平衡和周 期运动。而且解析方法得到的解未必具有稳定性，因此可能不是实际问 题中能出现的运动。解析方法的优点是不仅能确定非线性系统的运动随 时间变化规律，而且能得到运动特性与系统参数之间的依赖关系，因此 是非线性系统问题研究的重要方法。 数值方法是研究非线性系统的数值计算方法。数值方法通过数值求 解非线性微分方程，得到非线性系统在特定的参数条件和初始条件下的 运动规律。数值方法的基础是常微分方程组的初值问题的数值解法。数 值方法既可以计算特定非线性系统的各种运动的时间历程，包括平衡、 周期运动和非周期运动等，也可以通过数值计算确定参数对系统运动的 影响，以及通过对吸引盆及其边界的计算确定初始条件对系统运动的影 响。由于处理非线性系统问题的数学工具尚不完备，数值方法起着非常 重要甚至是不可替代的作用。数值方法还可以补充理论研究结果，使一 些理论结果定量化，或揭示有关条件不成立时可能发生的情况。此外， 数值方法还具有检验理论结果的作用，在非线性系统问题研究中，数值 计算和实验验证往往是理论分析的最终检验【1 7 】。 非线- | 生系统动力学分析简介 2 4 动力学特性分析的有关判据 后面我们要分析一类非线性神经网络的动力学特性，有必要介绍动 力学特性分析的些相关判据。 2 4 1 = 阶系统极限环存在的充分条件 若平面自治系统在环域的边界上的轨迹均由外指向内进入环域，且 环域内无平衡点，则在环域内存在稳定的极限环。 2 4 2 二阶系统极限环不存在的条件 对于用d y d x = p ( x ，y ) ，q ( x ，y ) 描述的平面自治系统，如果在单连通 域内p 、q 有连续偏导数，且a p 融+ o q o x 为常号函数，则在单连通域 内必不存在极限环。 2 4 3 混沌识别的数值特征 对于自治系统，如果所有李雅普诺夫指数均为负，系统将趋于静止； 如果有李雅普诺夫指数为零而其余的均为负，系统作周期运动；如果存 在李雅普诺夫指数而运动又是往复的，系统作混沌运动。 对小阻尼系统和多自由度系统，从所测p o i n c a r e 图中较难看到混沌 吸引子的分维结构。所以，对混沌的识别还要辅之以其他方法，例如， 功率谱与自相关等。 功率谱表示随机运动过程在各频率成分上的统计特性，而混沌运动 为有界的非周期运动，可视为无限多个不同频率的周期运动的叠加，因 此功率谱具有随机运动的特征。即功率谱中出现噪声背景和宽峰，即有 混沌产生。 西安理工大学硕士学位论文 功率谱可用信号处理机测量，也可通过a d 转换将模拟量变成数字 量后，送入微机内用f f t 软件计算。 功率谱是能量按频率的分布，周期振动的功率谱有许多离散的谱线 组成，每根谱线的高度表征相应的振动强度。当发生周期倍化时，在频 谱线上有n 根频率为2 n 的谱线，为基本频率，也是谱线中的最高 频率。 1 9 7 9 年，f e i g e n b a u m 的论文计算出每次分频后，谱线高度会依次下降 1 6 4 分贝。混沌功率谱以连续谱为主，有时还能显示出若干主频的结构。 一类非线性神经网络模型 3 一类非线性神经网络模型 3 1引言 h o p f e i l d 神经网络模型是最广泛应用的几种神经网络模型之一，如 图3 1 。图中电阻足和电容c ，的并联，模拟了生物神经元输出的时间 常数，在输出与输入之间产生延迟作用，构成神经元的动态特性；而跨 v ( a ) h o p f i e l d 神经网络模型 ( b ) h o p f i e l d 神经元模型 图3 1 连续时间神经网络模型 v 西安理工大学硕士学位论文 导乃则模拟生物神经元之间互联的突触特性，乃表明由第，个放大器的 输出电压在第i 个放大器产生的输入电流之间的关系：运算放大器用来 模仿神经元的非线性函数关系：外加偏置电流用j ，表示，它相当于神经 元函数的阈值占。 h o p f i e l d 神经元模型中，存在这样一些问题：模拟神经元之间突 触特性的跨导必须对称，即矗= l ，；对于非线性部分，普遍采用 硬限幅函数= ，( “，) = 三【1 + t a l l h ( 生) 】，即，为连续可微单调饱和函数； z u 0 没有考虑自反馈特性。另外，虽然人们普遍认为在神经网络这样一类 高度非线性系统中，神经网络模型随着参数的变化，可能出现极限环和 混沌等现象。而如何构造这样一类非线性模型却还缺乏深入的研究，并 且极少见到将平衡点、极限环、混沌统一到同一神经网络框架下的例子。 因此需要提出一类新的反馈神经网络模型，我们称之为一类非线性模 型，这类模型应具有下列特点：同一模型当参数发生变化时可分别出 现平衡点、极限环、混沌等多种特征：构造简单、易于实现；具有 广泛的通用性。 3 2 一类非线性神经网络模型 前已提到，已有的神经网络模型中的非线性特性普遍采用严格单调 增加饱和非线性的函数关系。这与人体的生理现象不完全一致。人体生 理过程中除饱和现象外，还经常出现兴奋与抑制交互作用的情形。就是 说，作为神经网络的非线性单元不仅可以是单调的，而且可以是非单调 的。其次，神经元除互联外，还应有自反馈单元以反映细胞体轴突连接 突触的作用。 基于上述考虑，提出了图3 2 所示的类非线性神经网络模型。其 类非线性神经网络模型 中乃为模拟生物神经元之间互联的突触特性的跨导：压控非线性电阻则 用来模拟神经元的自反馈特性。由图可得： 3 - 2 一类非线性模型 c ，警2 喜巧e 一虬) 一专+ + ， = i , u ，) f _ 1 ，2 ，n f 。= g 0 。) = g ( 一一“，) v ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 在上述模型中，( ) 限定为连续函数，昌( ) 限定为连续可微单调函 数，我们限定它具有饱和特性，即当输出幅值增加到定幅度时反馈作 用不再增强。考虑到生理背景，对神经元模型的非线性部分：( - ) ，我们 假设可以有以下几种类型： 1 ) 单调饱和型。这是最常见的一种，用来模拟人脑神经元的饱 和特性，即当输入增加到一定的值后，输出出现了饱和状态，即使输入 继续增加，输出不会继续增加，将为一定值。如图3 3 ( a ) 所示。 2 ) 兴奋型。神经元的输出随着内部状态值的增加而增加，即输 出k 是输入“，的单调增加函数，且有 l i m 矿= - - 0 0 ，l i r a 旷= + 。o 坼 一1蜥斗+ 兴奋型非线性特性用来模拟人脑中某类神经元对外界的反应会随着刺 激的增强而增强。如图3 3 ( b ) 所示。 西安理工大学硕士学位论文 3 ) 抑制型。神经元的输出随着内部状态的增加将减小，即输出 是输入“，的单调减少函数，且有 l i m 巧= + o o ，l i mk = 一0 0 “ “ + 兴奋型非线性特性用来模拟人脑中某类神经元对外界的反应会随着刺 激的增强而减小。如图3 3 ( c ) 所示。 4 ) 兴奋抑制型。神经元的输出y 是输入“的非单调函数，神经 元的输出随内部状念的增加到某一值后变为随状态的增加而衰减，且有 l i mk = + o 。，l i m 一= 一0 0 “十w u s 兴奋抑制型非线性特性用来模拟人脑中某类神经元对外界的反应开始 时随着刺激的增加而增加，当达到某一值后又随刺激的增加而减小。如 图3 3 ( d ) 所示。 5 ) 抑制兴奋型。神经元的输出矿是输入”的非单调函数，神经 元的输出随内部状态的减d , n 某一值后变为随状态的减少而增加，且有 l i mk = 一c 。，l i mk = + o 。 “- j u j 。p 十w 抑制兴奋型非线性特性用来模拟人脑中某类神经元对外界的反应开始时随 着刺激的减小增加而减小，当达到某一值后又随刺激的增加而增加。如图 3 - 3 ( e ) 所示。 一类非线性神经网络模型 i ， 厂 ( a ) 单调饱和型 j 、， ( c ) 辛印制型 j， 、 |v 7 j l ( b ) 兴奋型 j ? |厂。 l ? ( d ) 兴奋抑制型 ( e ) 抑制兴奋型 幽3 - 3 非线性部分类型 分析上述一般形式的模型是非常困难的，因此我们对模型中非线性 部分的特性作一定的限定。在模型中，我们取，) 的非线性特性为： ，0 ，) = d ，“，