浙江省2019年中考数学试题研究3含参二次函数题库.docx

类型一函数类型确定型含参二次函数1. 已知抛物线y3ax22bxc.(1)若a3k，b5k，ck1，试说明此类函数图象都具有的性质；(2)若a，c2b，且抛物线在2x2区间上的最小值是3，求b的值；(3)若abc1，是否存在实数x，使得相应的y值为1，请说明理由解：(1)a3k，b5k，ck1，抛物线y3ax22bxc可化为y9kx210kxk1(9x210x1)k1，令9x210x10，解得x11，x2，图象必过点(1，1)，(，1)，对称轴为直线x；(2)a，c2b，抛物线y3ax22bxc可化为yx22bx2b，对称轴为直线xb，当b2时，即b2，x2时，y取到最小值为3.44b2b3，解得b(不符合题意，舍去)，当b2时即b2，x2时，y取到最小值为3.44b2b3，解得b3；当2b2时，即2b2，当xb时，y取到最小值为3，3，解得b1(不符合题意，舍去)，b2，综上所述，b3或；(3)存在理由如下：abc1，c1ab，令y1，则3ax22bxc1.4b24(3a)(c1)4b24(3a)(ab)9a212ab4b23a2(3a2b)23a2，a0，(3a2b)23a20，0，必存在实数x，使得相应的y值为1.2. 在平面直角坐标系中，一次函数ykxb的图象与x轴、y轴分别相交于A(3，0)、B(0，3)两点，二次函数yx2mxn的图象经过点A.(1)求一次函数ykxb的表达式；(2)若二次函数yx2mxn的图象顶点在直线AB上，求m，n的值；(3)设m2，当3x0时，求二次函数yx2mxn的最小值；若当3x0时，二次函数yx2mxn的最小值为4，求m，n的值解：(1)将点A(3，0)，B(0，3)代入ykxb得，解得.一次函数ykxb的表达式为yx3；(2)二次函数yx2mxn的图象顶点坐标为(，)，顶点在直线AB上，3，又二次函数yx2mxn的图象经过点A(3，0)，93mn0，组成方程组为，解得或；(3)当m2时，由(2)得93mn0，解得 n15，yx22x15.二次函数对称轴为直线x1，在3x0右侧，当x0时，y取得最小值是15.二次函数yx2mxn的图象经过点A，93mn0，二次函数yx2mxn的对称轴为直线x，i)如解图，当对称轴30时，最小值为4，联立，解得或(由30知不符合题意舍去)；ii)如解图，当对称轴0时，3x0，当x0时，y有最小值为4，把(0，4)代入yx2mxn，得n4，把n4代入93mn0，得m.0，m0，此种情况不成立；iii)当对称轴0时，yx2mxn当x0时，取得最小值为4，把(0，4)代入yx2mxn得n4，把n4代入93mn0，得m.0，m0，此种情况不成立；iiii)当对称轴3时，3x0，当x3时，y取得最小值4，当x3时，y0，不成立综上所述，m2，n3.第2题解图3. 在平面直角坐标系中，二次函数y1x22(k2)xk24k5.(1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；(2)若函数y2kx3经过y1图象的顶点，求函数y1的表达式；(3)当1x3时，二次函数的最小值是2，求k的值(1)证明：b24ac4(k2)24(k24k5)40，二次函数与坐标轴仅有一个交点；(2)解：y1(xk2)21，函数y1的顶点坐标为(2k，1)，代入函数y2kx3得(2k)k31，解得k1或k1，y1x22(1)x52或y1x22(1)x52；(3)解：当对称轴x2k1时，k1，当x1时，y1取得最小值2，即12(k2)k24k52，解得k0(舍去)或k2；当对称轴12k3时，1k1，当x2k时，最小值恒为1，无解；当对称轴x2k3时，k1，当x3时，y1取得最小值2，即96(k2)k24k52，化简得k22k0，解得k0(舍去)或k2.综上所述，k的值为2或2.4. 已知二次函数yax2bxc(a0)的图象经过A(1，1)、B (2，4)和C三点(1)用含a的代数式分别表示b、c；(2)设抛物线yax2bxc的顶点坐标为(p，q)，用含a的代数式分别表示p、q；(3)当a0时，求证：p，q1.(1)解：二次函数yax2bxc的图象经过A(1，1)、B(2，4)两点，化解得33ab，b33a，1a33ac，c2a2；(2)解：由(1)得b33a，c2a2，p；q；(3)证明：a0，0，p；0，q11.5. 已知抛物线y1ax2bxc(a0，ac)过点A(1，0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限(1)用含a、c的代数式表示b；(2)判断点B所在象限，并说明理由；(3)若直线y22xm经过点B，且与该抛物线交于另一点C(，b8)，求当x1时，y1的取值范围解：(1)抛物线y1ax2bxc(a0，ac)经过点A(1，0)，把点A(1，0)代入即可得到abc0，即bac；(2)点B在第四象限理由如下：抛物线y1ax2bxc(a0，ac)过点A(1，0)，抛物线y1与x轴至少有1个交点，令ax2bxc0，x1x2，x11，x2，ac，抛物线与x轴有两个不同的交点，又抛物线不经过第三象限，a0，且顶点B在第四象限；(3)点C(，b8)在抛物线上，令b80，得b8，由(1)得acb，ac8，把B(，)、C(，b8)两点代入直线解析式得，解得或(ac，舍去)，如解图所示，C在A的右侧，当x1时，y12.第5题解图6. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1ax22ax3(a0)(1)若函数y1的图象经过点(1，4)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2bxa(b0)的图象经过y1图象的顶点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(1，m)和Q(x0，n)在函数y1的图象上，若mn，求x0的取值范围解：(1)二次函数y1ax22ax3的图象经过点(1，4)，4a2a3，a1，函数y1的表达式为y1x22x3；(2)y1ax22ax3a(x1)23a，y1图象的顶点坐标为(1，3a)一次函数y2bxa(b0)的图象经过y1图象的顶点，3aba，实数a、b满足的关系式为b2a3；(3)二次函数y1ax22ax3的图象的对称轴为直线x1，当mn时，x03.当a0时，如解图所示，第6题解图mn，3x01；当a0时，如解图所示，m0，x03或x01.综上所述：x0的取值范围为.类型二函数类型不确定型1. 已知函数y(n1)xmmx1n(m，n为实数)(1)当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；(2)若它是一个二次函数，假设n1，那么：当x0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；它一定经过哪个点？请说明理由解：(1)当m1，n2时，函数y(n1)xmmx1n(m，n为实数)是一次函数，它一定与x轴有一个交点，当y0时，(n1)xmmx1n0，x，函数y(n1)xmmx1n(m，n为实数)与x轴有交点；当m2，n1时，函数y(n1)xmmx1n(m，n为实数)是二次函数，当y0时，(n1)xmmx1n0，即(n1)x22x1n0，224(n1)(1n)4n20，函数y(n1)xmmx1n(m，n为实数)与x轴有交点；当n1，m0时，函数y(n1)xmmx1n是一次函数，当y0时，x，函数y(n1)xmmx1n(m，n为实数)与x轴有交点；(2)假命题，若它是一个二次函数，则m2，函数y(n1)x22x1n，n1，n10，抛物线开口向上，对称轴：x0，对称轴在y轴左侧，当x0时，y可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，故为假命题；它一定过点(1，4)和(1，0)，理由如下：当x1时，yn121n4.当x1时，y0.它一定经过点(1，4)和(1，0)2. 设函数ykx2(2k1)x1(k为实数)(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对于任意负实数k，当xm时，y随x的增大而增大，试求m的取值范围第2题图解：(1)令k0，k1，则这两个函数为yx1，yx23x1，描点法画函数图象如解图所示；第2题解图(2)不论k取何值，函数ykx2(2k1)x1的图象必过定点(0，1)，(2，1)，且与x轴至少有1个交点证明：当x0时，y1；当x2时，y1.函数图象必过(0，1)，(2，1)；当k0时，函数为一次函数，yx1的图象是一条直线，且与x轴有一个交点；当k0时，函数为二次函数，ykx2(2k1)x1的图象是一条抛物线(2k1)24k14k24k14k4k210，抛物线ykx2(2k1)x1与x轴有两个交点综上所述，函数ykx2(2k1)x1(k为实数)与x轴至少有一个交点；(3)k0，函数ykx2(2k1)x1的图象在对称轴直线x的左侧时，y随x的增大而增大根据题意，得m，而当k0时，11，m1.3. 已知函数ykx2(3k)x4.(1)求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；(2)当k0时，A(n3，n7)、B(n1，n7)是抛物线上的两个不同点求抛物线的表达式；求n的值(1)证明：当k0时，函数为一次函数，即yx4，与x轴交于点(3，0)；当k0时，函数为二次函数，(3k)24k(4)(3k)20，函数与x轴有一个或两个交点；综上可知，无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；(2)解：当k0时，函数ykx2(3k)x4为二次函数，A(n3，n7)、B(n1，n7)是抛物线上的两个不同点，抛物线的对称轴为直线x1，1，解得k，抛物线的表达式为yx2x4；(n3，n7)是抛物线yx2x4上的点，n7(n3)2(n3)4，解得n1，n23.4. 已知y关于x的函数y(k1)x22kxk2的图象与x轴有交点(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x2kx2k24x1x2.求k的值；当kxk2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值解：(1)当k1时，函数为一次函数y2x3，其图象与x轴有一个交点当k1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y0得(k1)x22kxk20.(2k)24(k1)(k2)0，解得k2.即k2且k1.综上所述，k的取值范围是k2.(2)x1x2，由(1)知k2且k1，函数图象与x轴有两个交点，由题意得(k1)x(k2)2kx1，将代入(k1)x2kx2k24x1x2中得：2k(x1x2)4x1x2.令(k1)x22kxk20，则x1x2，x1x2，2k4.解得k11，k22(不合题意，舍去)所求k的值为1；第4题解图如解图，k1，y2x22x12(x)2.且1x1.由图象知：当x1时，y最小3；当x时，y最大.y的最大值为，最小值为3.5. 设函数y1(xk)2k和y2(xk)2k的图象相交于点A，函数y1，y2的图象的顶点分别为B和C.(1)画出当k0，1时，函数y1，y2在直角坐标系中的图象；(2)观察(1)中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的解析式，并说明理由；(3)设A(x，y)，