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第十一章全等三角形1 全等三角形基础训练1如果ABCBCA，则AB的对应边是，BC的对应边是，BAC的对应角是。2如果ABCABC，且B65C60，则A。3如图，若ABCDEF，则E为（）A30B70C80D1004如图，若ABEACF，则AB，AF，B。第3题图第4题图5若ABCDEF，B78，C56，BC14，则D，EF。6下列说法正确的是（）全等三角形是指面积相等的两个三角形；例行三角形周长相等；两个钝角三角形全等，那么钝角一定是对应角；所有的直角三角形是全等三角形7如图，在ABC，A90，D、E分别是AC、BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为（）A15B20C25D308如图，ACEDBF，AEDF，CEBF，AD10，BC2。（1）求证：ABCD（2）求AC的长度（3）若A40，E80，求DBF的度数。能力训练9如图，ABCFED，那么下列结论错误的是（）AECBDBEFABCDFABDACFD10如图，已知ABCCDA，则下列结论：ABCD，BCDABACDCA，ACBCADABCD，BCDA，其中正确的是（）ABCD11如图，ABCAEF，ABAE，BE，则对于结论：ACAFFABEABEFBCEABFAC，其中正确结论的个数有（）A1个B2个C3个D4个12已知ABCFED，若ABC的周长为32，AB8，BC12，则FD的长为。13已知ABCDEF，且B70，FD60，求DEF各内角的度数。综合训练14如图，ABC中，ACBC，C90，点D、E分别在BC、AB上，ACDAED，（1）求证：ABBCBE（2）若AB6，求DEB的周长。2三角形全等的判定（1）SSS基础训练1如图，D、C为AF上两点，ADCF，ABDE，要使得ABCDEF，需补充边条件为：。2如图，ABCD，BFDE，E、F是AC上两点，且AECF，欲证BD，可先运用等式的性质证明AF，再用“SSS”证明得到结论。3如图，已知ABCD，若根据“SSS”证得ABCCDA，需要添加一个条件是。4如图，E为BC的中点，ABDE，AECD，则下列结论中不正确的是（）AADBBDECCCAEBDBC第1题图第4题图第3题图第2题图5如图，ABCD，CBCD，B30，BAD46，则ACD的度数是（）A120B125C127D1046如图，ACEF，BCDE，ADBF，求证：ACEF7如图，C是AB的中点，BDCE，CDAE，B58，A72求DCE的度数。8如图，在ABC和DEF中，B、C、E、F在同一直线上，下面四个条件请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明。ABDE；ACDF；ABCDEF；BECF已知：求证：证明：能力训练9如图，ABC中，ABAC，D是BC的中点，则下列结论不正确的是（）AAD平分BACBBCCABD是直角三角形DABC是等边三角形10如图，在ABAC，ADAE，BC，BDCE四个条件中，能证明ABDACE的条件是（）ABCD11如图，AC与BD交于点O，ADCB，E、F是BD上两点，且AECF，DFBE，（1）求证：ADECBF；（2）求证：AECF12如图，已知ABCD，ACBD，求证：AD13如图，ADBC，ABCD，求证：AD180。综合训练14如图，D是BC上一点，ABAD，BCDE，ACAE。（1）求证：CE（2）求证：CDEBAD3三角形全等的判定（2）SAS基础训练1如图，已知ADBC，欲证ABCCDA，根据SAS知，需补充条件。2如图，已知ABAC，ADAE，欲证ABDACE，需补充的条件是。ABCBDEC12DCADDAC3如图所示，ACDF，BDEC，ACDF，ACB80，B30，则F（）A60B65C70D80第3题图第1题图第2题图4如图所示，已知AD是ABC的中线，在AD及其延长线上截取DEDF，连接CE、BF，求证：BFCE5如图，已知D、E分别为AB、AC上两点，ADAE，BDCE，求证：BC6如图，ABBD于B，EDBD于D，ABCD，BCED，求ACE的度数。7如图，ABC中，ACB90，ACBC，点D为BC延长线一点，点E为AC上一点，且CDCE，BE的延长线交AD于F，求证：BFAD8已知ABCD，ABCD，点E、F为BD上两点，且BEDF，求证：AFCE能力训练9如图，OAOC，OBOD且OAOB，OCOD，下列结论：AODCOB；CDAB；CDAABC；其中正确的结论是（）ABCD10如图，已知ABCD，ABCD，求证：（1）ADBC；（2）ADBC11如图，在ABC中，点D为BC的中点，点E为AB上一点，DFDE交AC于F，延长ED至G，使EDGD；求证：（1）BDECDG；（2）求证：FEFG（3）求证：BECFEF12如图，在ABC和ADE中，ACAB，AEAD，CABEAD90。（1）求证：CEBD（2）求证：CEBD综合训练13已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作ACD和BCE，且CACD，CBCE，ACDBCE，BACDCA，直线AE与BD交于点F。图3图2图1（1）如图1，若ACD60，则AFB；（2）如图2，若ACD，则AFB；（用含的式子表示）；（3）将图2中的ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3，试探究ADB与的数量关系，并予以证明。专题：SSS、SAS判定方法复习巩固1 如图，在ABC中，点D是BC边上一点，ADCD，F是AC的中点，DE平分ADB交AB于E，求EDF的度数。2 如图，正方形ABCD（四边相等，四角都是90）中，点E、F分别在BC、CD上，且CEDF，求证：AEBF3 如图，ABAD，BCCD，求证：PBPD4 如图，在四边形ABDC中，AB，ACBD，求证：ABCD5 如图，在四边形ABDC中，AB2AC，AD平分BAC，ADBD，求证：CDAC4三角形全等的判定（3）ASA、AAS基础训练1如图，已知1=2，ABAC，BDDC，AC、BD相交于点E，则图中的全等三角形有对。2.如图，AB=AC，若利用“ASA”来证明ABEACD，需补充的一个条件是。第5题图第2题图第1题图3.已知AB=AB，A=A，B=B，则ABCABC的根据是（ ）ASASBSSACASAD都行4ABC和DEF中，AB=DE，B=E，要使ABCDEF，则下列条件中错误的是（ ）AAC=DFBBC=EFCA=DDC=F5.如图，已知MB=ND，MBA=NDC，添加下列哪个条件还不能判定ABMCDN（ ）AM=NBAC=BDCAM=CNDAMCN6如图所示，BAAC，DCAC，要使ABCCDA,现已有的条件，还需添加什么条件，才能保证结论成立？（1）AB=CD（SAS） （2）（ ）（3）（ ）（4）（ ）7.如图，已知AC、BD交于点O，ABCD，OA=OC,求证：AB=CD8如图，已知AB=AC，D、E分别为AB、AC上两点， B=C，求证：BD=CE9.如图，在RtABC中，ACB=90，CA=CB，过点C作直线L，ADL于点D，DEL于点E，（1）求证：ACDCBE（2）求证：AD+BE=DE能力训练10如图，已知：ABCABC，AD、AD分别为ABC、ABC的角平分线，求证：AD=AD11如图，ABC中，点D为BC的中点，分别过B、C作BEAD于E，CFAD于F，且AD=10，求AE+AF。12如图.以知ADBC。点E为CD上的一点，AE.BE分别平分DAB、CBA.BE交AD的延长线于点F。(1)求证AEBE（2）求证AB=AF（3）求证AD+BC=AB13如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，DHBC于H，交BE于G，下列结论：BD=CD；AD+CF=BD；CE=BF；AE=BG；其中正确的是（ ）ABCD 综合训练14如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（4，0），C为OB的中点，连AC，OEAC交AB于E，BDx轴交OE的延长线于D。（1）求证：AOCOBD；（2）求点D的坐标；（3）已知OAB=OBA，线段AC、CE、OE是否存在某种确定的数量关系？写出你的结论，并加以证明。5三角形的全等的判定（4）HL基础训练1. 判定两直角三角形全等的方法有_。（填简写）2. 如图，若PBAB于B，PCAC于C，且PB=PC，则AB=_，理由是_.（填全等三角形及三角形全等的理由）3. 如图，ABC中，AB=AC，若ADBC，则BD=CD，其判定三角形全等的方法是（ ） ASAS B.ASA C.SSS D.HL4. 如图，A=D=90，AC=DB，欲证OB=OC，可以先利用“HL”说明_得到AB=DC，再利用“_”证明AOB_得到OB=OC第4题图第3题图第2题图5.已知：如图B=E=90，AC=DF，FB=EC。求证：AB=DE。6.如图，四边形ABCD中，ABD=ACD=90，BD=CD，求证：ADBC。7.如图，已知A=90，AB=BD，EDBC于D，求证，DE+CE=AC。8.如图ACBC，BDAD，AC，BD相交于O，如果AC=BD，那么下列结论中AD=BC；ABC=BAD；DAC=CBD；OC=OD，其中正确的有：（ ）A B C D能力训练9.下面命题中，正确的有（ ）两直角边对应相的两个直角三角形全等 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等一个锐角和一边对应相等的两个直角三角形相等 一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等A1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，已知AEBC于E，DFBC于F，AE=DF，AB=DC，AC与BD有怎样的关系？ 你能进行证明吗？11.在ABC中，D是BC的中点，OEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且DE=DF 求证：AB=AC12.如图，AB=AE，BC=DE，AFCD于F ，B=E 求证：AF平分BAE。综合训练13.如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在点P（4，4）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B。 求OA+OB的值； 将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B， 求OA-OB的值；专题：判定方法复习巩固（一）一次全等1如图，点C,E是ABD的边BD，AB上两点，且AE=AD，CE=CD，D=70，ECD=150，求B的度数。2如图，1=2，3=4，点B，D，C，F在一条直线上，EFAD于E，求证：AE=DE3如图，已知锐角ABC中，BE，CF分别是高线，在高BE上截取BM=AC，在高CF延长线上截取CN=AB，连AM，AN。求证1.AM=AN；2.MAN=904.如图，在ABC中，AB=AC，F、E分别为AB、AC上一点，AMCF于M，ANBE于N，且AM=AN，求证：ABEACF（二）二次全等5.如图，1=2，ADBC，点P在AD上，求证：PB=PC6.如图，AB=AC，BEAC于E，CDAB于D，BE、CD交于点O，求证：OB=OC7.如图，AB=AE，BC=DE，B=E，CF=DF，求证：AFCD8.如图，AB=CD，AEBC于E，DFBC于F，AD交ED于O，OA=OD，求证：BF=CE（三）综合题9.将两块含45角大小不同的直角三角板COD和AOB如图1摆放，连AC.BD。（1）求证：AC=BD；（2）将图1中的COD绕点O顺时针旋转一定角度到C1OD1的位置（如图2），连接AC1、BD1， 直线AC1与BD1存在着什么样的位置关系，请下结论并说明理由；图2图110.如图，已知等腰RtABC和等腰RtCDE，AC=BC，CD=CE，M.N分别为AE、BD的中点，连CM、CN.（1）判断CM与CN的位置关系和数量关系；（2）若CDE绕C旋转任意角度，其他条件不变，则（1）的结论是否仍然成立？试证明。11.如图，已知A（-2，0），B（0，-4），C（1，1），点P为线段OB上一动点（不包括点O），CQCP交x轴于Q，当P点运动时；（1）求证：1=2；（2）求证：CP=CQ；（3）下列两个结论：AQ-BP的值不变；AQ+BP的值不变，选择正确的结论求其值。6.角平分线的性质基础训练1.如图ABC中，ACB=90度.AD平分BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm,则BC=（ ）.A. 3cm B. 7.5cm C. 6cm D. 4.5cm2.如图，BD是ABC的平分线，DEAB于E，DFBC于F，AB=12，BC=15，SABD=36，则DE的长是_ ， SBCD=_ _第4题图第2题图第1题图3.在ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，BD:DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（ ）.A10 B.20 C.15 D.254.如图，ABCD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则P=-5.如图，ABC中，C=90，AD是BAC的角平分线，DEAB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：BD=DF6.如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是对角线上AC上一点，PEBC于E，PFCD于F，求证：PE=PF。7.如图，在ABC，C=90，AC=BC，AD是BAC的平分线，DEAB，垂足为E，若AB=10cm，求DBE的周长。8.如图DB=CD，BFAC于F，CEAB于E.求证：点D在 BAC的平分线上。9.已知：如图，点D.B分别在A的两边上，点C是A内一点，有AB=AD，BC=DC，CEAD于E，CFAB于F，求证：CE=CA. 能力训练10.如图所示，BD是ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PMAD，PNCD，垂足分别为M、N.求证:PM=PN11.如图，PB，PC分别是ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证:点P在A的平分线上.12.如图，D、E、F分别是ABC的三边上的点，CE=BF，且SDCE=SDBF ，求证:AD平分BAC13. 如图，ABE中，AEB=90，AE=BE，BC平分ABE交AE于C，ADBC于D，连DE，（1）求证:BC=2AD；（2）求证:AB=AE+CE；（3）求证: EDB=45综合训练14.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(-1，0)，点C的坐标是(1，0)，点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且BAC=2BDO，过D作DMAC于M.（1）求证: ABD=ACD；（2）若点E在BA延长线上，求证:AD平分CAE；（3）当A点运动时，的值是否发生变化?若不变，求其值，若变化，请说明理由。专题：与角平分线有关的问题的处理方法（一）利用角平分线条件直接找出（或构造）全等三角形。1如图，ABC中，ACB90，CDAB于D，AO平分BAC，交CD于O,OEBC交AB于E，求证：AC=AE.分析:直接利用1=2；证AOCAOE. 2如图，AOB中，OA=OB，AOB=90 ,BD平分ABO交OA于D，AEBD于E，求证：BD=2AE。分析：延长BO，AE并交于F，直接利用1=2构造ABEFBE3.如图，在ABC中，ABC=60，AD.CE分别平分BAC、ACB，AD.CE交于O。(1) 求AOC的度数; (2) 求证:AC=AE+CD分析:在AC上截AF=AE再利用1=2构造AOEAOF,最后用3=4.证CODCOF(二)已知角平分线或要证明角平分线时可考虑作垂线构造直角三角形全等.4.如图,点P为AEF外一点,PA平分EAF,PDEF于D,且DE=DF,PBAE于B.求证:AF-AB=BE.分析:由1=2联想到过P作PMAF于M,证BE=FM5如图，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE，AD，BE交于点H，连CH（1）求证：ACDBCE； （2）求证CH平分AHE。分析：要证CH平分AHE，故作CMAD于M，CNBE于N，只证CM=N即可 (三)角平分线中的一个常见基本图形和基本结论6如图，在四边形OACB中，CMOA于M，现有：1=2；CA=CB；3+4=180；OA+OB=20M，若把其中任两个作为条件，都可得出另两个结论，此基本图形在几何多结论选择题.综合题.圆中应用极为广泛，近几年武汉调考中考以此图为背景，进行了多达十几次的考查，下面请同学们一一证明（1） 已知：，求证（2） 已知：，求证（3） 已知：，求证（4） 已知：，求证7.如图，点M（2，2），将一个90的角尺的直角顶点放在M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分OAB交OM于P，PNx轴于N，把角尺绕点M旋转时：（1）求证：OM平分AOB；（2）求AO+OB的值：（3）ON+AB的值是否发生变化？试证明你的结论专题：与线段的和、差、倍、分有关的问题的处理方法（一）等量代换法1、如图，已知ABC中，BAC=90，AB=AC，点P为BC边上一动点（BPCP），分别过B、C作BEAP于E，CFAP于F 。（1）求证：EF=CF-BE（2）若点P为BC延长线上一点，其他条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论。分析：通过全等，用AE代换CF，AF代换BE即可2、如图，ABC中，BAC=90，AC=2AB，BO为中线，AD为高，OGAC，OEOB，求证：BC=CE+FG.(二)截长补短法：3.如图，正方形ABGE(四边相等，四个角等于90度)中，点D在 EG上，点C在BG上，且DAC=45求证CD=DE+CB分析：用补短法：延长DE至M，使ME=BC，即将短边BC补在另一短边DE后面，再只证DM=DC即可，补短的目的是为了构造两对全等三角形。4.如图，在上题中，若点D在EG的延长线上，C在GB的延长线上，其余的条件不变，求证：DE=BC+CD分析：用截长法：在最长边DE上截一段EM等于短边BC，再证DM等于另一短边CD即可，截长的目的是为了构造两对全等三角形。（三）中线倍长法：5.如图，AB=AE ABAE，AD=AC，ADAC ，M为BC的中点，求证：DE=2AM分析：延长AM至N，使MN=AM，再只证AN=DE即可。这就是“中线倍长”，实质是“补短法”。6如图，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，BAC=BCA，求证：AE=2AD分析：将中线AD倍长即可。专题：与中点有关的问题的处理方法1如图ABC中，CA=CB，CAB=CBA=45，CD平分ACB交AB于D，点E为BC中点，CNAE交AB于N，AE交CD于M。 求证：CNEN=AE。 分析：条件中出现中点E，如何用？直接找全等三角形，由点E是中点联想证CEMBEN。2如图，ABC中，D为BC的中点，AB=5，AC=3，求AD的取值范围。 分析：BD=CD，再延长AD至E，使DE=AD，构造ADCEDB，此说法就是常说的“中线倍长”构造全等三角形。 3.如图，在ABC中，点O为BC的中点，点M为AB上一点，ONOM交AC于N，求证：BM+CNMN，。分析：设法将BM，CN，MN转化为同一三角形的三边，故只要将中点处的线段OM（或ON）倍长，构造全等三角形即可。4.如图，ABC中，C=90，BEAB且BE=AB，BDBC且BD=BC，CB的延长线交DE于F。求证：点F是ED的中点。分析：结论中要证中点，如何证？一般是以FE，FD为边构造全等三角形，故过E作EMEF于M，证EMFDBF即可。专题：全等三角形综合训练1如图，已知在ABC中，A，B的角平分线交于点O，过O作OPBC于P.OQAC于Q。ORAB于R。AB7，BC8，AC9。（1）求BP、CQ、AR、的长。 （2）若CDBO于D，求证：OCDA（3）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若A=60， 求证；OE=OF2.如图，ABC中，ACB=90，AC=BC，若直线l过顶点A，BMl于M，CNl于N，（1）求证：BM+CN=AN；（2）若l平分BAC，求的值。3.在平面直角坐标系中，已知B（8，0），C（0，6），P（-3，3），现将一直角三角板EPF的直角顶点放在点P处，EP交于y轴于N，FP交x轴于M，把EPF绕P点旋转；（1）如图甲，求OM+ON的值；求BM-CN的值；（2）如图乙，直接写出：ON-OM= ；BM+CN= （不证明）4.如图，平面直角坐标系内，直线AB过一、二、三象限，分别交x轴、y轴于A、B两点，直线CDAB于D，分别交x轴、y轴于C、E，已知AB=AC=10，SACD=24。且B（0，6）（1）求证：AOBADC 求A点的坐标；（2）连结OD、AE，求证：ODAE；（3）点M为线段OA上的动点，作NME=OME，且MN交AD于点N，当点M运动时，求的值。全等三角形单元检测题一、选择题（123=36）1 下列命题中正确的是（ ） A.两个形状相同的图形是全等形 B.两个面积相等的三角形全等 C.两个全等三角形面积相等 D.两个周长相等的三角形全等2 在ABC中, A=B, DEFABC，若F=100,则A的度数为（ ）A100 B.50 C.40 D.803 如图，已知ADBC，AB=AC，则图中共有全等三角形（ ）A.1对 B 2对 C.3对 D.4对 4 如图，已知AB=DE，BC=EF，添加下列条件等判定ABCDEF的是（ ）A.ABED B.BCEF C.AD=DC D.AD=FC5.如图，已知ABCDEF，B、C、E、F 在一条直线上，则图中相等的线段有（ ）A.4组 B.3组 C.2组 D.1组6.如图，用角尺平分AOB，先在OA、OB上分别取M、N使OM=ON，然后使相等的刻度与M、N重合，则OC为AOB的平分线其中利用的全等判定的方法是（ ）A. SSS B.SAS C.ASA D.AAS如图，在中，为中点，那么下列结果不正确的是（ ）A. ABDACD B. B=C C. BAD=DAC=BAC D.AB=AC=BC8.如图，已知AB=AC，BDCE，BC50，AEC120，则DAC的度数是（）1207060509.如图某同学把一块三角形玻璃打成碎片3块。想去玻璃店配一块完全一样的。最省事的方法是（ ）A.带 B.带 C.带 D.都带去10.如图，在RtABC中，BAC=90，DEBC于E，1=2，BE=6，AB=10，则BDE的周长为（ ）A.15 B.16 C.17 D.1811.若两个三角形的两条边和其中一边的高对应相等。则这两个三角形第三边所对的角的关系是（ ）A.相等 B.不相等 C.互余 D.互补或相等12、如图，点D为ABC外一点DADB且CD平分ACB的外角，DEAC于E，DFBC于F，下列结论：