（电磁场与微波技术专业论文）轴对称宽带线天线的fdtd分析.pdf

摘要 当今无线通信技术的飞速发展对作为系统重要组成部分的天线提出了越来 越高的宽带化和小型化的要求。天线的设计必须综合考虑工作带宽，系统增益， 输入端电压驻波比以及结构紧凑小型化等各方面因素，因此计算机优化设计是现 代天线设计的必经之路。在天线的计算机优化设计过程中，天线分析程序被成千 上万次的调用，因此一个结果准确。计算快速的天线分析程序是天线优化设计的 基础。 线天线传统的分析方法是矩量法，该方法是在频域中进行的。本文尝试使用 近十几年来快速发展起来的时域有限差分( f d t d ) 方法分析一类线天线，该类线天 线具有工作频带宽，几何结构旋转对称，馈电方式对称的特点这些特点使圆柱 坐标系下二维f d t d 方法十分适合分析这类天线。 本文提出了一种新的馈电区域建模方法，用来计算有限大圆形接地面上套简 单极天线输入端电压驻波比系数。理论计算结果与实验测量结果吻合良好。本文 还使用了专门适用于二维轴对称f d t d 方法的近一远场变换方法计算得到了天线 的远场方向图，该方法以解析计算来部分代替数值积分，使二维的数值积分降阶 为一维的数值积分，既提高了计算速度，又提高了结果的精度。综合使用上述方 法，可以快速分析有限大圆地面上套筒天线。本文还使用集中元件的f d t d 建模 方法，分析计算了宽带加载单极天线的输入端电压驻波比。理论计算结果和实验 测量结果吻合较好。 上述结果充分证明了该方法的精确性，有效性和快速性。可以进一步改造后 与优化算法结合起来应用于天线的计算机辅助优化设计。 关键词：时域有限差分法宽带轴对称有限大地面套筒天线加载单极天线 a b s t r a c t t o d a y ，f a s td e v e l o p m e n t o fw i r e l e s sc o m m u n i c a t i o n t e c h n o l o g yr e q u i r e s t h e a n t e n n a s ，a so n eo ft h ek e yc o m p o n e n t so ft h ew h o l ec o m m u n i c a t i o ns y s t e m ，t ow o r k o nab r o a d e rb a n da n dt ob em o r ec o m p a c t o n em u s tt a k et h ew o r k i n gb a n do fa n t e n n a ， s y s t e mg a i n ，v o l t a g es t a n d i n g w a v er a t i o ( v s w r ) a ti n p u tp o r ta n dc o m p a c t e ds t r u c t u r e i n t oa c c o u n t sw h e na na n t e n n ai s d e s i g n e d t h i sw o r kc a no n l yb ea c h i e v e db y c o m p u t e ra i d e do p t i m u md e s i g n i nt h ep r o c e s so fc o m p u t ea i d e do p t i m i z e dd e s i g no f a n t e n n a ，t h es u b r o u t i n et h a ta n a l y z et h ec h a r a c t e r i s t i co ft h ea n t e n n am u s tb ec a l l e d n u m e r o u st i m e s t h e r e f o r e ，a na c c u r a t ea n df a s ta n t e n n aa n a l y s i sa l g o r i t h mi st h eb a s i s o fa n t e n n ao p t i m u mc a d t h ec o n v e n t i o n a lm e t h o dt oa n a l y z ew i r ea n t e n n ai sm e t h o do fm o m e n ti m o m ) ， w h i c hi sd o n ei n f r e q u e n c yd o m a i n i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，t h ef d t dm e t h o d ，w h i c hi s p o p u l a ri nt h ep a s tt e ny e a r s ，i su s e dt oa n a l y z eac l a s so fw i r ea n t e n n a s ，w h i c hh a v ea q u i t e b r o a dw o r k i n gb a n d ，a x i s - s y m m e t r i c g e o m e t r i c s t r u c t u r ea n df e e dl i n e t h e s e c h a r a c t e r i s t i c sm a k ei tv e r ys u i t a b l et ob ea n a l y z e dw i t h2 - d i m e n s i o n a lf d t dm e t h o d i nc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e an o v e lf e e dz o n em o d e lf o rs l e e v ea n t e n n ai nf d t dm e t h o di s p r o p o s e da n di s u s e dt oc a l c u l a t et h ev sf 馏o fs l e e v ea n t e n n ao naf i n i t ec i r c u l a rg r o u n d 。t h ef d t d c a l c u l a t e dv s w rv a l u ef i t st h eo n eg o tf r o mm e a s u r e p e r f e c t l y an e ws p e c i f i cn e a r - f a r f i e l dt r a n s f o r mm e t h o d ，w h i c h r e p l a c en u m e r i c a li n t e g r a l sp a r t l yw i t ha n a l y t i ci n t e g r a l s ， i su s e dt oc a l c u l a t ef a rf i e l dp a t t e mo f e - p l a n eo ft h ea n t e n n a n l i st r e a t m e n tr e d u c e s2 一 d i m e n s i o nn u m e r i c a li n t e g r a l st o1 一d i m e n s i o no n e ，w h i c hf a s t st h ec a l c u l a t i o na sw e l la s i m p r o v ea c c u r a c y o ft h e r e s u l t s b yu s i n g t h e s em e t h o d s t o t a l l y ，t h ep r e c i s e c h a r a c t e r i s t i co fs l e e v ea n t e n n ao nf i n i t ec i r c u l a rg r o u n dc a nb eg o tv e r yf a s t l u m p e d e l e m e n t sm o d e li nf d t dm e t h o da r ea l s ob eu s e dt oc a l c u l a t et h ev s w ro fa nl u m p e d l o a d e dm o n o p o l ea n t e n n ao naf i n i t ec i r c u l a rg r o u n d ，a n dt h en u m e r i c a lr e s u l t sf i t st h e m e a s u r ev a l u ew e l l n em e t h o di nt h ed i s s e r t a t i o ni s q u i t e c f f e c t i v ei n a n a l y s i so fb r o a db a n dw i r e a n t e n n a t h ew o r kc a nb eu s e di na n t e n n ao p t i m u md e s i g ni fs o m ei m p r o v e m e n ti s d o n e k e yw o r d s ：f d t d ，b r o a db a n d ，a x i s - s y m m e t r i c ，f i n i t eg r o u n d ，s l e e v em o n o p o l e a n t e n n a ，l u m p l o a d e dm o n o p o l ea n t e n n a 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外。论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果i 也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本人签名：盛塞 日期 细牟o ，o 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文，学校可以公布论文的全部或 部分内容可以允许采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文在 解密号遵守此规定) 本人签名：益盎 日期 工季o t o ， 导师签名：盏：! 墼童 日期2 生生：型：! ! 第一章绪论 第一章绪论 1 i 研究背景及意义 近年来，军用和民用无线通信技术以惊人的速度取得了巨大的发展。但是， 薪的应用又对现有技术提出了新的和更高的要求。现在，几乎呈指数增长的数据， 图象，多媒体通信业务要求系统具有更宽的工作带宽i 同时，为了便于安装，携 带和移动使用，电子设备日益皇现小型化的趋势。天线作为系统中辐射和接收电 磁波的部件，在整个系统中占有十分重要的地位，对系统的整体性能具有举足轻 重的影响力。所以，与系统整体的发展趋势相适应，天线同样面临着这种宽带化 和小型化的严峻挑战。正因为如此，近年来，宽频带，小型化天线的理论研究也 日益活跃起来，并且逐渐成为天线研究领域中的一个重要分支领域“” 宽带线天线具有许多良好的性质，如，良好的宽频带特性，一般工作在现有 的无线通信频段，原材料及加工成本低廉，易于加工和调试等，所以在军用，民用 无线通信系统中得到了广泛的应用。宽带线天线要在较宽的频带内( 一般超过一 个倍频带宽【1 1 ) 满足天线电压驻波比，辐射方向图，效率等多项电性能指标要求， 同时还要满足天线结构和尺寸上的限制。单纯通过实验调整的方法来完成上述设 计显然是非常困难，甚至是难以实现的。为了实现预期的性能指标。通常需要 优化天线结构、尺寸等诸多参量。近来，遗传算法被用来优化宽带线天线取得了 良好的效果口。 作为天线优化设计的基础，天线分析首先要具备较高的计算精度，同时还需 要具备较快的计算速度，才能使优化设计过程实用和可行。实际使用的天线。一 般总是架设在有限大地面上的，因此，研究有限大地面上天线分析的精确计算模 型及快速计算方法是天线优化设计的基础，具有很重要的意义。 1 2 宽频带线天线分析方法综述 现有的宽带线天线的分析与设计多是在频域中进行的。使用频域方法分析宽 带线天线时，在关心的频带上离散的取一些频点，在这些离散的频点上分别分析 计算得到天线的性质，以此而得到天线在整个频带上的性质。矩量法巾1 是一种 轴对称宽带线天线的f d t d 分析 最常用的线天线的频域分析方法，具有原理清晰，实现简单，精度高，计算速度 比较快，方法比较成熟的特点，已经有可商用的软件，如n e c f 53 等。但是，以 矩量法为代表的频域方法尚有一些不足之处，如t ( 1 )频域方法做宽带计算时，速度可能会比较慢。由于频域方法是扫频计 算。为了保证拟合出来的特性曲线( 如输阻抗入曲线) 的精度，计算频点间的 间隔不可取太大。这样，如果天线感兴趣的带宽比较宽，势必造成取点很多。 重复计算次数加大，从而使整个频带特性的计算速度变慢。 ( 2 )矩量法分析架在有限大地面上的天线存在一定的困难。地面的形状和 尺寸大小对线天线许多特性有相当大的影响。而矩量法在处理地面时一般是 将其按无限大地面处理，这样就存在模型误差。实验证明，当地面尺寸较小 的时候，实验结果与理论计算结果有较大的差别。虽然也可以通过“线面结 合”等方法来对有限大地面上的线天线进行建摸。但其矩量法实现相当复杂 实际应用存在一定的困难。 ( 3 )矩量法等频域方法难以对电磁波从天线上辐射出去的物理过程进行描 述。长期以来，人们对这一问题并不太重视。而只关心利用电流与场的各种 方程来求解各类辐射和散射问题得到的结果m 】。毫无疑问，了解和认识电磁 波从天线上辐射出去的机理和过程。对天线设计和调整具有很大的意义。 近年来，由于非正弦电磁场理论与技术的迅猛发展，时域有限差分法。 ( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，f d t d ) 越来越受到重视。1 9 6 6 年。k s y 钝提出 了时域有限差分法的基本原理。之后的二十年，它的研究发展缓慢，在电磁散射， 电磁兼容领域有些初步应用。2 0 世纪8 0 年代后期以来。开始备受专家学者青睐 成为现今最重要的电磁场数值方法之一。 时域有限差分法( f d t d ) 不同与矩量法等频域方法，它以差分原理为基础，直 接从概括电磁场普遍规律的m a x w e l l 旋度方程出发，将其转换为差分方程组，在 一定体积内和一段时间上对连续的电磁场数据进行采样。因此，它是对电磁场问 题的最原始，最本质，最完备的数值模拟，具有最广泛的适用性 1 0 。由它所得结 果应该是“完备”得矢量场，由此算出得三维电磁场也应该是“精确”的。由于 时域有限差分法( f d t d ) 对计算机硬件有较高的要求，加之早期吸收边界条件理 论不够成熟，在8 0 年代中期以前没有得到足够的重视和广泛的应用。随着计算 机硬件水平的飞速发展和p m l 1 1 - 1 4 等吸收边界条件的成熟，f d t d 方法现在已经 广泛地应用在电磁学的各个领域中m 。 在天线领域，1 9 8 9 年，r e i n e i x 和j e c k o 首先用f d t d 分析了微带贴片天线“。 1 9 9 0 年，d m s h e e r 湘j a ，k o n g ，使用f d t d 方法分析了包括微带天线在内的多 种微带电路】。同年，m a l o n e y 和s m i t h 使用二维圆柱坐标系下的f d t d 算法分析 了圆柱单极天线和圆锥单极天线这类简单天线“”。其后，l u e b b e r s 等人使用f d t d 第一章绪论 方法计算得到了天线间的互耦】，以及宽带天线的增益与效率“。m a l o n e y ， m o 曲) ) 氇和s m i t h 等人还使用f d t d 方法分析了多种分布加载天线”o ，2 ，并对加载 的导电涂层进行了优化“。 诚然，对于简单天线的分析，普通的f d t d 算法虽然可以有较高的计算精度， 但是难有较快的计算速度，与矩量法相比处于劣势。但是，f d t d 具有一些独特 的优点，这些优点可以解决许多矩量法难以解决的问题。比如工程中常常在天 线表面上涂上导电涂层形成分布加载以拓宽天线工作带宽对于这种有涂层的天 线，使用矩量法进行分析十分困难i 再如前面提及的架在有限大地面上的天线， 或者架在复杂形状与结构地面上的天线，矩量法分析有一定的难度，而f d t d 方 法分析则十分简便；f d t d 方法对于结构十分复杂的天线分析有很大的优点，建 模较矩量法简单。另外，矩量法在程序实现前往往需要复杂的公式推导的前期准 备工作而f d t d 方法的公式推导非常简单，也非常易于程序实现。 对于宽频带天线的分析，f d t d 方法相对于矩量法具有更为突出的优点。可以 通过加短时间脉冲激励一次性获得天线的时域响应，然后通过快速傅立叶变换 ( f f t ) 获得天线在整个频带上的特性曲线。这样f d t d 模拟只需要进行一次时间迭 代，就可以获得所需的全频域内的参数；而要获得同样的结果，这样f d t d 方 法在计算速度方面的不足某种程度上得到了弥补。矩置法要在多个频点上进行多 次重复计算，导致整体的速度变慢。 综上。f d t d 方法如果可以解决其计算速度较慢的问题，则是一种十分有效的 天线分析方法。随着当今计算机硬件水平的飞速发展，计算速度的制约在很大程 度上得以缓和。另方面，各种加速计算的改进算法也被相继提出，这些算法有 些是从f d t d 算法本身出发的改进，如去除c o u r a n t 稳定条件对时间步增量限制的 交替方向隐式时域有限差分法( a d i - f d t d ) 和将信号处理方法和时域有限差分法 结合起来的时域伪谱方法( p s t d ) i 有些是针对特定问题，利用问题自身的对称特 性来缩减f d t d 的计算量以达到加速计算的目的，如文献 1 7 ， 2 3 ， 2 4 和本 文。 1 - 3 本文的主要工作与内容安排 许多线天线在空间结构上具有轴对称特性( 旋转对称性) ，比如圆柱单极天线， 圆锥单极天线，套筒单极天线，加载单极天线等。天线常常使用同轴线进行馈电， 一般我们总使同轴线工作在t e m 模下，由于同轴线中t e m 模具有轴对称特性，所 以同轴线馈电的轴对称天线的近场区域只会被激励起：模的电磁波( 在柱坐标 系中) ，即：天线周围的近场只有e 。，e ：和h ，分量存在。这样，天线就可以使 4轴对称宽带线天线的f d t d 分析 用二维f d t d ，y 法来进行模拟了。 文献 1 7 3 ， 2 3 1 用二维圆柱坐标系下的f d t d ，z 法分析了圆柱单极天线的输入 阻抗，文献 1 7 和文献 2 4 分另i j 用二维圆柱坐标系和二维球坐标系下的f d t d 方 法分析了圆锥单极天线。 本文使用二维轴对称f d t d 方法，分析了有限大圆地面上的套简单极天线l 使 用f d t d 方法的细线模型和集中元件模型方法分析了有限大圆地面上集中加载单 极天线。这些特性包括天线的馈线上电压驻波比系数，远场方向图等，并分析比 较了地面大小对天线特性的影响。在分析套简单极天线时，提出了一种新的馈电 区模型。结果表明具有很高的精度。同时在计算天线远场方向图时，采用了最新 的专用于二维轴对称f d t d 方法的近一远场变换方法，进一步提高了计算速度。 全文的结构安排如下： 第一章简单介绍了研究宽带线天线的意义，对常用的线天线的分析方法及 其优劣性进行了概述。 第二章：简要介绍时域有限差分法( f d t d ) 的基本原理，对f d t d 方法的场分 量编号方法。f d t d 的算法稳定性问题，f d t d 的数值色散问题以及程序实现时的 一些问题进行了介绍和说明。 第三章：提出了一种新的天线模拟的f d t d 馈电区模型，利用二维圆柱坐标系 下的f d t d 方法分析计算了架在有限大圆地面上的套筒天线电压驻波比曲线，并 利用新的近一远场变换方法计算了天线的远场方向图。同时对比分析了地面尺寸 大小对天线特性( 电压驻波比，方向图) 的影响。 第四章；介绍了f d t d 算法中的集中元件处理方法。利用这一方法与f d t d 的 细线模型方法分析计算了集中元件加载单极天线的电压驻波比系数。 第五章，对全文所做工作进行了总结，并对可能的新方法和下一步工作进行 了展望。 第二章f d t d 方法的基本理论与实用技术概述 第二章f d t d 方法的基本理论与实用技术概述 2 1y e e 网格与f d t d 方法基本原理 f d t d 方法利用差分近似直接求解时域m a x w e l l 旋度方程，从m a x w e l l 旋度 方程的微分形式和积分形式均可以得到f d t d 方法的差分方程组 考虑非时变，线性，各向同性非导电导磁媒质填充的无源区域m a x w e l l 方 程的旋度方程可以写成9 ； ( 2 一1 ) ( 2 - 2 ) 共o h 占悬电功锄厦，爿悬僦砀锄厦，c 楚，r 电吊裂，p 悬僦哥翠仕且用坐 标系中，可以将上述矢量差分方程写成分量形式的六个标量方程。 坠：f 孚一莩1 ( 2 - 3 ) ， 0 t 肛l 扫砂j _ 0 h y ：土f 荨一粤1 ( 2 - 4 ) a f “lh沈j 塑：土f 孚一孚1 ( 2 - 5 ) b t “l 砂越j 监：三f 孚一下0 h y1 ( 2 - 6 ) 3 t la y a z i 、。 堡：土f 氅一婴1 ( 2 - 7 ) b t l 葩融j 里：土f 堡一下o h , 1 ( 2 - 8 ) 一b t i 爿一o x 一可j 堕乱面f硅。堕m 一 = = 一e - 日 v v 轴对称宽带线天线的f d t d 分析 1 9 6 6 年，k s y b e 对上述6 个耦合的偏微分方程引入了一利，差分格式。这种 差分格式是建立在如图2 - 1 所示的y 曲网格基础上的。 在直角坐标系中y 首先将空间按立方 体剖分。电磁场的六个分量在空闻的取样点 分别放在剖分后形成的立方体边沿和表面的 中心点上，如图2 - 1 所示。从图中可以看出； 电场分量位于网格棱边中心点并且平行于 棱边，每个电场分量环绕着四个磁场分量i 磁场分量位于网格面中心并且垂直于这个 面每个磁场分量环绕着四个电场分置。在 蠢雾羹蕃晶裹? 罢筹蒿美纛至于翟耄雾主篡姚。黜网格终相差半个网格；在时间取样上，电场分量在 n 时刻取值，磁场分董在n + l 2 时刻取值。彼此相互错开半个时间步。这利；场量 配置1 一分便于将m a x w e l l 旋度方程做心差分近似同时也满足在网格上执行 f a r a d a y 定理和a m p e r e 定理的积分形式。 在对时域m a x w e l l 旋度方程的偏微分形式进行有限差分近似前，须先对空间 取样后离散的电磁场各个分量进行编号，以便差分方程r | i 使t h i 。 有多种编号方法可供选用，没有统一规定，可以根据个人喜好进行。个好 的编号习惯以及对编号后电磁场各个分量的空间相互位置关系地清晰认识对于程 序实现是十分重要的。下面以二维t e 波情况为例简单说明作者使用的编号方法， 该方法具有简单直观。易于使用的优点。 。 三维情况的编号方法及编号后各分量的 相互位置关系与二维的完全类似。 如图2 - 2 所示，t e 模时我们这样安，+ 1 排电场分量与磁场分量采样点的空间位置tj + 1 电场分量位于网格的边框上i磁场分量在网 j 格的中心处。这样在最外层的网格上，由电 ，。 场分量e 。，e 构成了计算区域的边界。位 于网格中心的磁场分量我们可以用网格的编 号( f ，) 来表示，比如h ：( f ，j ) 表示网格为( f ，) 。 位置处的磁场分量h 。很自然的，i ，的取 值范围为。i = 1 , 2 ，= 1 , 2 ，其中， v ，。分别为x 。y 方向上的网格数目。 0 i 一1，+ 1 if + 1 图2 2 二维t e 模电磁分量编号方法 电场分量t 可以使用其所在位置处边框线段的z 和y 坐标( 以a x ，每为单 第二章f d t d 方法的基本理论与实用技术概述 位) ( f ，) 来表示，比如e 。( f ，d ) 。此处f 与磁场分量编号中的f 相同。由于在最底侧 e 分量所在边框与j 坐标轴相重叠，所以l ，要从0 开始取值，与此类似。e ，分 量的编号为e ，( ，j ) ，由于在最左侧e ，分量所在边框与y 坐标轴重叠，所以，也 要从0 开始取值。，也与磁场分量编号相同。 综上电场与磁场各分量的编号格式及编号的取值范围如下： e 。【t ，j )i ；1 , 2 n ，d = 0 , 1 ，2 n 。 e ，( ，)i = o j ，2 。j = 1 , 2 t ， 。 h ：( f ，) f = 1 , 2r t 。 j = 1 , 2 ， 其中。，。分别为x ，y 方向上的总的网格数目。总结以上可以得到如下的编 号规则： 1 位于网格中心的场分量( 简称中心分量) 的编号与该网格的编号相同，各方 向上编号以1 开始，到该方向上的最大网格数结柬。 2 位于网格边框上的场分量( 简称边沿分耋) 使用边框线段的坐标表示。在边 框所在方向上的编号从1 开始，在非边框所在方向上的编号从0 开始， 所有编号都到该该方向上的最太网格数结束。如e ，( f ，) 在边框所在方向 即x 方向上编号f 以l 开始而在非边框所在方向上即l ，方向上编号，以 0 开始，i ，j 分别到各自方向上最大网格数目n 。，n 。结束。 上述规则三维情况也同样适用。 采用上述方法编号以后，容易看出t 边沿分量。( f ，) 和中心分量h ：( f ，) 在 x 方向上具有相同的编号即具有相同的坐标；当，= j 时，e ；( f ，) 位于h ：( f ，j ) 的上方，当j = 一1 时，足( f ，) 位于h ：( f ，j ) 的下方，这两种情况下两者在y 方 向上坐标都会相差半个网格。对于三维情况，中心分量和边沿分量也具有相同的 空间位置关系。 可以看到。在一个计算区域内采用y 硗网格方法方法进行电磁场空间采样后， 电场和磁场分量数目一般是不相同的，表现在i ，j 取值从1 开始而，取值 从0 开始。电场分量位于网格的边框上而磁场分量位于网孔中由于边框要把网 孔封闭起来，所以必然会比网孔的数目多。由上面还可以看出，计算区域是以某 种场( 电场或者磁场) 的切向分量作为边界的，场的类型与位于网格边框上场分量 的类型相同，如图2 - 2 所示就是以电场分量作为计算区域的边界的。也可以选择 磁场分量作为计算区域的边界。在天线模拟中，由于天线及地面是由导电率很高 的良导体制成的，可以用理想导体来近似，选择电场分量作为计算区域的边界可 以使天线及地面所在位置处电场分量的采样点上，这样直接将相应的切向电场分 量赋零即可，处理起来十分简单方便。本文后面的计算都是选择电场作为计算区 域的即电场分量位于网格的边框上，磁场分量位于网格的网孔中。 这样，我们就可以利用编号后的场分量来差分近似式( 2 - 3 ) 一( 2 - 8 ) ，下面以 轴对称宽带线天线的f d t d 分析 式( 2 - 3 ) 为例说明j c 寸式( 2 3 ) 便用至1 日j 柙时叫明甲，d 爱分j 扛似刚以得刘一 旦2 9 ! ：生= 星：! ! ! ：盟：上f 星尘：! ：竺二堡垒：! ：! 二望一垡f ! ：1 2 二竺g ：! = ! ：生1 a t “i 止 如i 、 ( 2 9 ) 进一步整理得到： ( f ，舭m 邶( f ，m ) + 告( 盟等掣业一盟譬笋幽】 、 ( 2 1 0 ) 使用相同的方法可以得到电。磁场其余各分量h 。，h ：e ，e y ，e ：，的迭代 表达式如下。 矿( f m m 2 “m ) + 爿盟等等地一盟兰挚幽) ( 2 1 1 ) 矿( f 舭坩+ 告( 盟等掣型一盟笔竽业】 ( 2 一1 2 ) 黜_ 栌删问+ 警f 盟她产一丛业掣 ( 2 1 3 ) e “( f ，工女) ；耳( f ，j ，女) + 警f ! ：卫生生：罢；螋一兰型：! ! ! _ ! 上l 二笔；盥 珊j 炉剐_ 卅警f 丝：! ：尘! ：! ：1 2 = 笪：! ：! ! ：! ：! ! 一生：! ：垒：! ! ：生二丝：= ! ! ：g ：! ：生 a xa y ( 2 1 5 ) 以上是从m a x w e l l 旋度方程的微分形式出发，采用有限差分近似偏微分得到 各个场分量的迭代表达式，同样的结果也可以从积分形式的f a r a d a y 定理和a m p e r e 定理得到。简述如下t 如图2 - 3 所示y z 平面上，f a r a d a y 定理的积分回路为c ，s 。为c 所包围的 面积沿c 应用f a r a d a y 定理有- 第二：章f d t d 方法的基本理论与实用技术概述 詈硒宙2 豆万 ( 2 一1 6 ) 假定s 中心处的h ，为面积s ，上磁场的平均 值；e 。e ，为相应边框线段上电场的平均 值时间导数仍然采用中心差分近似。则 f a r a d a y 定理近似为： fzh7v2(i,y,k)-h7肛(i,j,k)； e ：( f ，一l ，七) c e 。( f ，k 一1 ) 图2 - 3f a r a d a y 定理中的积分同路 孵( f ，庀) 一e y o ，y , k i ) 炒一瞬( f ，j ，k ) - e ( f ，j 1 ，女) 皿 ( 2 1 7 ) 整理后即可以得到( 2 - 1 1 ) 式。对电场分量，使f | 二| j 积分形式的a m p e r e 定理也可以 得到相似的结果。 上述时域有限差分方程表明，任何时刻的某点处的电场分量取决于上时刻 同点处的电场分量、包围该电场分量，在时间上提前半个时刻的四个磁场分量以 及媒质参数；对于磁场分量，情况是相似的。f d t d 方法把所研究的电磁问题作 为初值问题，给定初始时刻计算区域内的电磁场各个分量的值，在源激励作用下， 以磁场 电场 磁场“蛙跳”的方式进行时域有限差分方程的迭代，在 时间上逐步向前推进电场和磁场。随着时间的发展，在计算区域内，时间和空间 上离散取样电磁场蠡依次被计算出来，于是模拟出电磁波传播以及与媒质问的相 互作用。获得整个计算区域内时域电磁信息。我们可以利用f o u r i e r 变化将时域 上的场转换到频域。由此来得到我们所需娶的频域电磁信息。 综上，整个f d t d 方法的计算流程如下： 确定各点媒质参数并在计算区域的所有点给电磁各分量赋初值 利用n 时刻电场分量值计算n + l 2 时刻各点处磁场分最的值 利用n + i 2 时刻电场分量值计算n + i 时刻各点处磁场分量的值 n t n + l n ，n 。x l 爿结柬 轴对称宽带线天线的f d t d 分析 2 2f d t d 方法的数值稳定性 f d t d 方法本质上是一种对偏微分方程的差分解法，由于是显式差分格式因 此不可避免的要面对算法的数值稳定性问题。随着时间的增长，如果计算的场值 无限地寄生增大。以致于计算程序浮点溢出。计算无法进行下去的现象称为数值 不稳定或者叫做数值发散。所以保证算法的数值稳定性是对f d t d 算法最基本的 要求。 数值稳定性条件体现为时间增量? 和空间增量缸，蛳。止的取值必须满足 一定的关系。由于空间增量血，如，是由空间网格剖分决定的，稳定性条件 要求在空间增量确定的前提下，时间增量f 需要满足的约束。 稳定性研究的方法 2 5 是。先将差分方程分解成相互分离的时间和空间本征问 题，假设数值空间中传播平面波的本征模。然后确定这些模式空间本征值谱和时 间本征值稳定谱。要求整个空间本征值谱包含在时间稳定谱的范围内。由于任何 波都可以用这些平面波本征模展开，所以保证每一个空间本征模都是稳定的，也 就保证了网格中任意的波都是稳定的。 f d t d 算法的稳定性条件( c o u r a n t 稳定性条件) 为t c 。fs ( 2 - 1 8 ) 其中，c 。是媒质中最大相速值。当缸= 母= a x = 时，c o u r a n t 稳定性条件可 以简化为。f 墨当 3 c f 。 ( 2 一1 9 ) 以上是直角坐标系下f d t d 算法简单媒质的稳定性磊件对于复杂的媒质， 如有耗，色数，备向异性等媒质，f d t d 方法的稳定性条件可能要更严格。些， 即实际f 的取值更小一些。 除了直角坐标系以外，f d t d 方法还可以方便的应用于许多曲线坐标系( 这 也是f d t d 方法的一大优点) 。曲线坐标系下f d t d 方法同样面临着数值稳定性 的问题，文献 2 6 ，2 7 在介绍曲线坐标系下f d t d 算法的同时也简单地介绍了相应 算法的稳定性条件。 数值稳定性问题是一个非常复杂的问题，受媒质性质，网格划分情况以及算 法中其它特殊处理的影响很大，至今仍然在不断的研究中。 第二章f d t d 方法的基本理论与实用技术概述 由( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 式我们可以看出，受c o u r a n t 稳定性条件的限制，a t 的取 值不可以很大，尤其是空间增量取的较小的时候，必然导致f 取值很小，这样的 直接后果是迭代的时间步数增加导致f d t d 算法计算速度慢计算效率不高。 许多研究人员致力于寻找新的方法以提高f d t d 算法的计算速度，主要思路之一 就是去除稳定性条件对m 取值的限制。这方面比较成功和有希望的方法是n a m i k i 等人提出的“交替方向隐式时域有限差分法”( a d i - - f d t d ) t 2 8 2 9 】。该方法是无条 件稳定的，缸的取值仅仅取决于数值色散的大小。如何控制数值色散及应用于实 际，该方法还有待进一步的完善。 2 3f d t d 方法的数值色散 平面电磁波在自由空间传播时电磁波的相速与频率无关，然而采用时域有 限差分法在数值空间模拟时，f d t d 算法所模拟的计算网格中的波模式会发生数 值色散，也就是说f d t d 网格中数值波模式的相速度可能不同于光速c 。数值波 的传播速度不仅与频率有关，即与空间网格的电尺寸有关，还与波传播方向有关。 这种色散不同于实际物理色散，仅由有限网格尺寸和数值效应g i 起的，称为数值 色散。 如果说数值稳定性研究和解决的是使f d t d 方法时间迭代循环可以正常进行 下去的问题。那么数值色散研究和解决的就是如何使模拟的结果具有较高精度的 问题。数值色散直接影响计算结果的精度，因此为了获得比较精确的计算结果， 必须控制数值色散。 在均匀无耗，各向同性媒质中，三维f d t d 方法数值色散关系的一般形式 为9 “ l b 卜降 2 古血2 降) + 专血2 ( 竽 + 古s i n2 降 z 其中，k ；，k 。，k ，分别是波矢量的三个坐标分量，为角频率。已知一个平面波 在连续均匀无耗各向同性媒质中的解析色散表达式为： f 旦：k ：+ k ：+ e ( 2 - 2 1 ) l c j “ 7 可以证明当f ，厶，a y ，出趋于零时。式( 2 2 0 ) 将变为式( 2 2 1 ) 。因此式 ( 2 2 1 ) 是数值色散式( 2 2 0 ) 的极限式。这说明，选择网格尺寸足够小血，衄 止时( 受稳定性条件制约，a t 自然会很小) 数值色散可以减小到所要求的程度。 为了保证计算精度，一般至少要求。 轴对称宽带线天线的f d t d 分析 a 。九。l o ( 2 2 2 ) 因此。f d t d 方法空间和时间增量选取的般方法是 1 根据模拟区域物体的物理尺寸。工作频率并考虑式( 2 2 2 ) 保证较小的 数值色散，选取空间增量x ，知，& 。 2 选取空间增量缸，y ，缸后，由式( 2 一1 8 ) 的稳定性条件约束选取时间 增量缸。 f d t d 方法现在的一个研究热点是如何减少数值色散，这方面，k a x t m p h o l z 和l m d a 将小波分析和传统的f d t d 方法结合起来。提出了时域多分辨率解法 ( m r t d ) t 3 “，有助于解决这一问题。 2 4f d t d 方法的边界条件与p m l 吸收边界 基于微分方程的方法在边界上总是要引入边界条件的of d t d 方法本质上是 一一剃- 偏微分方程的的差分解法，所以必然要面临这一问题。实际计算- h 汁算机 的容量是有限的，f d t d 计算只能在有限的区域内进行，必须加截断边界对计算 区域进行截断。在计算边界上的场分量时。由于所需的场分曩不金在计算区域内， 所以正常的f d t d 迭代方程无法使用。必须使崩其它方法确定边界上的场分量， 这种方法就是边界条件。从物理意义的角度看，加上边界条件后，使得向边界面 行进的波在边界处保持“外向行进”的特征，无明显的反射现象，并且不会使内 部空间的场发生畸变。这与实验室墙壁上涂敷吸波材料吸收入射波的情况极为类 似，所以也称之为“吸收边界条件j ： 边界条件是f d t d 方法数值模拟的个非常重要的组成部分，对模拟的成败 以及结果精度起着非常大的影响，直以来就是f d t d 研究的个热点。其发展 经历早期的简单的边界局部差值法，到后来广泛使用的m u r 吸收边界f 9 2 ”。超吸 收边界等以至近年来提出的完全匹配层( p m l ) 吸收边界的过程。总体上看吸收 效果越来越好。可以适用的问题越来越广泛。 从导出边界条件的方法不同可以将边界条件分为两类。一类是从波动方程或 者m a x w e l l 旋度方程的微分形式出发做一些近似和特殊处理，使得计算边界上 的场分量仅仅需要计算域内的局部场分量。这种方法的代表就是m i l r 吸收边界条 件，常用的是m 眦一阶和m i l r 二阶吸收边界条件。m m 吸收边界条件的优点是简 单，易于程序实现需要的计算资源较少，引起的反射一般小于5 ，基本可以 满足一般应用的需要，不足之处在于对于某些要求严格的应用来说，反射依然过 大。另外一类称之为“损耗媒质吸收边界譬代表是1 9 9 4 年b e r c n g e r 提出的完全 匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，p m d 吸收边界条件1 ，由于本文后面的计算 第二章f d t d 方法的基本理论与实用技术概述 主要使用这种边界条件，故在此做比较详细的介绍。 p m l 吸收边界的基本思想是在计算区域以外引入一特殊的损耗媒质，使用这 种媒质将整个计算区域“包”起来，通过精心选择组成媒质的参数，使得模拟的 电磁波在媒质中无反射的快速衰减，并且在与计算区域的交界面上是无反射的， 即计算区域和外加的损耗媒质层是“完全匹配”的，“完全匹配层”的名称由此 而来。 p m l 吸收边界的优点是吸收效果非常好，应用于简单媒质的直角坐标下f d t d 数值模拟可以获得一6 0 d b 以下的反射系数，与无反射微波暗室的吸收效果相当； 与m u r 吸收边界相比不足之处在于原理较复杂，程序实现较困难，要占用的计 算资源较多，计算速度较慢。由于现在计算机硬件飞速发展，p m l 吸收边界所要 求的硬件条件不再是难以满足的了，所以p m l 吸收边界得到了越来越多的重视 和应用。 1 9 9 4 年，b e r e n g e r 在文献 1 1 中首次提出了应用于f d t d 方法的完全匹配层 吸收边界，其后许多学者进行了大量相关的研究工作提出了许多改进方法并且 将其应用范围进行了广泛的推广。这些工作主要有： 一g e n d n e y 提出了一种单轴各向异性媒质作为p m l 的组成媒质，并且证明 了该种p m l 和b e r e n g e r 通过场分裂方法获得的p m l 是等同的 1 2 1 0g e n d n e y 的u p m l 保持了m a x w e l l 方程原来的形式，更便于程序实现。 一 c h e w 提出了坐标拉t 8 ( c o o r d i n a t es t r e t c h i n g ) 和复数坐标系的概念，证明了 复坐标系统中一般形式的m a x w e l l 方程是电磁波在p m l 中传播的支配方 程m 】。这样就为p m l 及电磁波在p 枷l 中的传播提供了新的解释和认识。 _ t e i x e i r a 和c h e w 利用坐标拉伸和复数坐标系的概念，获得了圆柱坐标系 和球坐标系中f d t d 算法的p m l 吸收边界条件c 1 ”。为f d t d 方法在圆柱 坐标系和球坐标系中的应用提供了条件。 _ 将p m l 吸收边界扩展到导电媒质和色散媒质等复杂媒质。 由于本文使用的是圆柱坐标系下p m l 吸收边界条件，所以下面以c h e w 提出 的坐标拉伸方法和复数坐标系概念来介绍p m l 吸收边界。 以直角坐标系为例，复数坐标系和实数坐标系坐标变量之间的关系是t ， g = r s ( ( 亭7 弦考7 ( 2 2 3 ) 其中f 代表z ，y ，= ，是实坐标系中的坐标变量；善代表量，歹，z 是复数坐标 系中的坐标变量。s ，为坐标拉伸变量( c o o r d i n a t es t r e t c h i n gv a r i a b l e