（地球探测与信息技术专业论文）电性轴对称分布电阻率测井的有限元法模拟.pdf

桂林工学院硕士学位论文 摘要 f 电测井的数值计算常用的有解析法、模式匹配法、和有限单元法。尤其有限单元法以其 能模拟复杂的地电分布而被广泛应用。但在以往计算中往往假定电导率分块；防匀或者在纵向 分段均匀或者在纵向上不变，不能完全模拟实际电导率连续变化的情况。， 本文提出的测井二维有限单元法数值模拟方法允许电导率在矩形单元内纵向( 井轴) 和 横向上都可以线性变化，使之能模拟夏秦前氆电分布模型。此外还考虑地面对测井的影响， 使之能够在接近地面的地方模拟测井。本文采用异常电位法在变分中消除了电源项这个奇 点，使电源附近的电位计算更加精确。文中首先针对轴对称结构模型把三维问题转化为二维 点源电场的边值问题和变分问题，然后用有限单元法求解变分问题。将区域剖分成矩形网格 单元，在单元中对电导率和电位进行双线性插值，将变分方程化为线性方程组，最后解线性 方程组得各节点的电位值，进而计算出视电阻率。 经过对多种模型的计算，证明本文方法正确、精度高、模拟能力强，可以用于测井的正 演计算和作为自动反演的基础。 、。 关键词测井；有限单元法；二维：电导率双线性变化；异常电位法；地面影响 牛必 n 桂林工学院硕士学位论文 a b s t r a c t t h e r ea r em a n yk i n d so fn u m e r i c a lm e t h o d su s e dt os i m u l a t e2 - dl o g g i n g ，s u c ha sa n a l y t i c m e t h o d ，n u m e r i c a lm o d e - m a t c h i n gm e t h o da n df e m ( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) e s p e c i a l l y , b e c a u s e o fi t s a b i l i t yt os i m u l a t ec o m p l e xe l e c t r i cm e d i ad i s t r i b u t i o n ，f e mi s w i l d l yu s e d 1 nt h ep a s t ， c o n d u c t i v i t y i s g e n e r a l l ya s s u m e dh o m o g e n e o u si ne a c hr e c t a n g l ee l e m e n to ri n v a r i a b l ei nz d i r e c t i o no rp i e c e w i s eh o m o g e n e o u si nzd i r e c t i o n t h e yc a n ts i m u l a t em o d e l sw i t hp i e c e w i s e l i n e a re o n d u c t i v i t yb o t hi nza n dxd i r e c t i o n s c o n s i d e r i n gt h e e f f e c to fg r o u n da n di na c c o r d a n c ew i t h a x i a l - s y m m e t r i cr e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n ，a2 - df e mu s e dt os i m u l a t el o g g i n gi sp u tf o r w a r di nt h i sp a p e r , w h i c hu s ea b n o r m a l p o t e n t i a lm e t h o ds ot h a tc a l c u l a t e dp o t e n t i a ln e a rt h ec u r r e n ti sm o r ea c c u r a t e i tc a r lb ea p p l i e d w h e nc o n d u c t i v i t yi s p i e c e w i s el i n e a rv a r i a b l ei nza n dxd i r e c t i o n s m o r e o v e r c o n s i d e r i n gt h e e f f e c to f g r o u n d ，i tc a na l s ob ea p p l i e dw h e nc u r r e n ts o u r c ei sc l o s et og r o u n d v e r ym u c h f i r s t ，t h e e q u i v a l e n t2 - df o r mo f3 - dv a r i a t i o ne q u a t i o no fp o i ms o u r c ef i e l di sg i y e n ，t h e nt h ev a r i a t i o n e q u a t i o ni s s o l v e db yt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，d i v i d i n gt h ee n t i r e r e g i o ni n t om a n yr e c t a n g l e e l e m e n t sa n d i n t e r p o l a t i n gc o n d u c t i v i t ya n dp o t e n t i a lw i t had o u b l e 1 i n e a rf u n c t i o ni ne a c he l e m e n t c o n v e r t i n gt h ev a r i a t i o ne q u a t i o nt ol i n e a re q u a t i o n s ，s o l v i n gi t ，t h u sp o t e n t i a l sa r eg o t f i n a l l y , a p p a r e n tr e s i s t i v i t yc a nb ec a l c u l a t e d i nt h i sp a p e rl o t so f m o d e l sa r ec a l c u l a t e d t h er e s u l t sd e m o n s t r a t et h em e t h o do f t h i sp a p e r i s r i g h t ，h i 曲1 ya c c u r a t e ，f l e x i b l ea n dh a ss t r o n ga n a l o g ya b i l i t y k e yw o r d s ：l o g g i n g ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；2 - d ：d o u b l el i n e a rc o n d u c t i v i t y a b n o r m a lp o t e n t i a lm e t h o d ；e f f e c t o f g r o u n d i i i 桂林i 学院硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得桂林工学院或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名 关于论文使用授权的说明 本人完全了解桂林工学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名 ，6 g 桂林工学院硕士学位论文 竺!竺烹!竺i=一一一i1竺=篡竺熙!竺竺竺竺裳 弓言 石油怒国民经济豹瀵要支 烹，几乎可戳说没蠢石油就没有现在豹缀济繁荣。 箭在寻找石油和对现有油井进行评价中，电测势楚一种重瑟的物搽手箴。几乎占 掰肖测并方法的4 0 强。 泊菇之所醚鼍漱是隈为储鬣藤来被承充满，露寒大部分被浦气置换。但是浅 予豫细管力等鹣律翊，徽氛豫内靛承不褥麓全部被漓气鹱餐，瓣藏潼鼷可褥成含 有束缚承静储策瀑，含潞趱多，束缚永越多，瓣电阻搴越舞。麓测并亳隘率评价 演漂窝诗弊涵屡鹣禽潼镶麓菠跫濑劳解释滚气瓣熬重要方法。镌癌| 予实瓣视电黼 率蹩遗下备参数酶综合菠欧，程辩溅势资瓣进行解释静避稷辛辫要莲行井隈矫歪 蠛嚣进褥葳演请藩，瑟菠溱是爱演鹃基戳，透懿鸯螫要寻找一释逶弼予窀测劳筑 鼗蘧模援方法。 宅法懿歪演诗髯方法零臻瓣喾翡褥法，逑嚣露法，穰鬻差分法，怒鳖法稳戆 袋露法。对予一蹙麓攀靛遐凄攘麓，解耩濠菲露茯速骞效，镶魏瓣妖大逸瓣电法 菠演“。1 。攫是黠予复杂瓣建毫祭传，麓凝法裁嚣艟秀力了。鸯羧差分法哭逶鹅 予囊爨霹格，边舞露法”琴羹蹩爨法疆3 蘩求不蠢邀拣体瓣迭暴灸鸯限令，黑能模 掇分块鹣匀豹毫导率，憋器率不艉线性交织。懿努，蹩缝法逮掩綦底函数卡分燕 键，选褥好，将使诗冀变褥裴豢爨零裁抉遴。爱之，诗舞寄霹煞交褥饕露囊杂卷 麓不收敛。 骞澉单元法憩秘年戴麓先庭撵蛙力学审发震起来麓方法，烹要魏杰逶逶燕予 物性参数复杂分瘴瓣区域，劳鼠鳃熬过程趣菠。缺点是计舞量大。睫骜诗然撬熬 发鼹，窍双单元法在解决器个工稷领域豹诲多数攀镑瑷翊题串怒型了广泛熬建 髑，成为一耱离散，通周的计冀方法。援是出予这魑缆感使褥礴隈罄元法在媲球 糖蠼中获褥广泛嬲您建，瓣决7 诲多从瓣惹法诗雾麴地球物理瓣鼹。 1 9 7 t 年，j 敝c o g g o n ”3 蓠毙将窍隈元法弓| 入剿电法鹚攘正演诗算中米，1 9 7 7 颦，l ，r r i j o ”1 改避了惑源二维寂强元法，捷鸯隈元法解决电法芷演阉题这到实 l 盼段。七十年代沭，p k a i k k o n e n ”1 将礴隈元法使用于v l f 法( 甚低频) 的数俊 模热。j o h nt k u o 壮等寝糖阋域窀磁法中黄走使矮了商辗元法。1 9 8 1 年 d f p r i d m o r e “”簿耀有限元法徽y - - 维瞧滋和电磁法模拟的研巍。恧森国晦7 0 桂林工学院硕士学位论文 年代中期李大潜c ”1 已经开始用有限元法对电测井进行模拟了。之后，有限元法在 测并模拟中得到广泛的应用“。其他禳多久都程电或亳磁法等耪搽方法豹有限 尊元数值模拟上做过这方面的工作“”1 毽寄黻单元浚建区域霆方法，盛矮在全区域进行吝分，骞1 分麓黥擎元帮节点 数目多，最后得到的线性方程组很大，特刺是三维问题和无界区域问题，需要大 黧计算梳方熊突成有疆零元法豹计算。 幸运的是，由于测井中的地质构造大多可近似看作轴对称的，因此很容易把 三维窝嚣嶷爻二维阉嚣莠乏浆解，大大减少了诗冀爱。鄱搜羽翼蕊豹徽极都缢缀 快地进行芷演计算。 铮鼹蟪凌稳遗辘对藜豹壤援，蠡人露逛导率纵淘线性变纯露横囱( 皴霹豫方 向) 不交的有限单元法的现成研究成果( 徐世浙) 。”。李大潜1 ，张庚骥“”做了 魄导率分块均匀豹歪演诗巽。北岁 还套入采爆数德模式聪配法( 邸有限零元法与 解析法所组成的混合法) 进行正演计算，陈丽虹曾在纵向上采用解析法而在径向 上采羟l 鸯限单元法进行道正演诗冀，墩导率在纵囱上鼹不变的，张庚骥，汪涵 明o ”论文中，电导率在纵向上是分段均匀的，不能拟合电导率线性变化的情况。 圆此这秘方法在威用上裔一定的黻铡。爨翦有限单元法褒测劳上的研究溅经达到 三维正反演的程度，s g i a n z e r o 和r c h e m a li 等人用三维有限元法在巨型计 算枫上计簿了水乎井和斜度井的双侧向测井响应”2 6 ”，张庚骥，汪涵明等人用三 维有限元法计算了倾斜裂缝的双侧向测弗响应嘲3 ，但他们的电导率都是分块均匀 舱，且由于三维单元数躁臣大，计算量惊人，目前基本上还没有投入实黼应用。 而电导率在纵向和横向郡线往变化的研究，据笔者了解豳前还无入闯津。因此进 行轴对称二维地电断面电导率双线性变化有限蘑元法数值模拟的研究具有重要 的理论与实际意义。 此外，以往的测井模拟都没有考虑触面的影响，当测点在地下很深时，这是 可以的，然而当测点靠近造面就会造成铡井馥线的严重畸变，给确定岩稻的真毫 隰率造成很大的影晌，因此在正演时应该加上地颟豹影响，这使得我们阿以对地 表附近的涮并曲线迸行磷究分褥，获面蠢可能解决一些邋缝表的实际工弦闻蘧。 本文的主要内容是二维轴对称地电断面电导率双线性变化的点源崴流电测 井静有限元正演模羧方法。并在诧基础上编隶了程序对器释遣屡模型送行计算来 蹶证本文的方法。 2 桂林工学院硕士学位论文 本文主要参考徐世浙地球物理中的有限单元法”一书，推导出电导率双 线性变化时点电源的有限元计算系数矩阵，利用解线性方程组的现成的程序解出 各节点的电位，从而计算出电测井视电阻率曲线。以它为基础可对各种电极系进 行计算。为了计算的精确性，采用异常电位法以消除电源点这个奇点的影响。还 采用了变带宽存储系数矩阵来解线性方程组，节约内存。 桂林工学院硕士学位论文 第一章基本原理 1 1 边值问题 由柱坐标l a p l a c e 方程得点源稳定电流场的电位满足的微分方程为： 一l i o ( t o 尝) + 三吴( 三盯罢) + 昙p 呈) 一x s ( a ) ( 1 1 1 ) ro ro rro 妒r o 母 o zo z 其中，为电流强度，5 ( a ) 为以电源点爿为中心的冲击函数，盯为电导率，这 里用电导率而不用电阻率是为了避免电阻率取零值时在程序计算中被零除。 z 电源点相对地面 的镜相赢_ 三二、。_ j 。：一： v j 7 一舅浆j 。，j 7 ：1 图1 1 1 井中渗透层分布图 当井中的地质构造是以井轴为中心轴对称时( 见图1 1 1 ) ，当电源点s 在井 轴上移动时，它的电位也是轴对称的，即罢= 0 ，方程( 1 1 1 ) 变为： d 兰( ，盯尝) - 4 - 兰( r 仃兰) = 一1 6 ( a ) r ( 1 1 2 ) 甜钟以傀 这是二维形式，用x ，y 分别替换柱坐标中的r ，z ，可以用劈形算附表示为 v r x c r v v ) = 一1 5 ( a ) x 4 ( 1 1 3 ) 桂林工学院硕士学位论文 其中v = 挈+ 言卟 总电位v 由两部分组成： v 2 “0 + u 其中是正常电位，是电源在均匀半空间中产生的电位 不均匀体产生。通常，正常电位“。是总电位的主要部分 分。 当电源点位于地下充满电导率为c r 0 的均匀介质中时 ， “。2 而i + 4 册2 g o ( 1 1 4 ) “是异常电位，由地下 异常电位“只占一小部 正常电位“。为 ( 1 1 5 ) 其中 ，r 2 分别为电源点和电源点的镜象点到测点的距离 现假定在仉介质中，存在一个不均匀体( 如图1 1 2 ) ，其电导率为盯：，电 4 r i - _ 一 图1 1 2 物性分布图 源所在处的电导率即为c r o ( = q ) ，用q 。和q ：分别表示q 和盯。所占的区域，f 为 两种介质的分界面。其中的总电位和异常电位为： ”l2 u o + m ，v 22 u o + 2 用盯表示介质的电导率，盯表示异常电导率：仃= 盯一o o ，则： 仃：= 0 ，盯：= 盯2 一盯l ( 1 1 6 ) 将电位v 的基本方程( 1 1 2 ) 式分解成： v ( x o v v ) = v ( x o v u + x o v u o + x o o v u o ) = - i s ( a ) x ( 1 1 7 ) s 桂林工学院硕士学位论文 网为： v - ( x 盯o v u o ) = 一艏( 爿) x ( 1 1 8 ) 掰以褥舅鬻宅覆甜净v 一) 溃是熬微分方程： v 0 脚“) + v 一( x o v u 。) = 0 ( 1 1 9 ) 式中：盯为介质的电导率，= 一疗。为舜常电静率，为逑下充满电导率为 时的正常电位。这里不出现电源项。在与之对应的泛函中也不出现电源项。 由予在f 上裔= 甜：，所蔽融i = 国2 ，虽分弊蟊总电位梯度逡续： o 堕：一盯堕 (11，lo)1 蒜一蒜 。 h + l 州 所以： 挈坞挈。一( 吼挈吩挈) ( 1 1 1 1 ) 蔷w 2 蔷一归1 蔷 2 蒜 l ( 1 1 1 0 ) 和( 1 1 1 1 ) 是内部边界条件，农以后求爱分时可以自动消去。 丑c 圈1 1 3 有限元法剖分 4 3 选取足够大的矩形研究区域( 见图1 1 3 ) ，其中a d 为地面线，a b 为并轴， d c 和b c 热无穷远边界。由于地面线和对称轴上电流强度的法向分量为零，因 而在a b 和a d 边界上电位的法向导数为零： 孰舢= o 6 ( 】1 1 2 ) 桂林工学院硕士学位论文 骰定在无穷远边爨嚣c 积腑上经点p 照瞧位满是甜= 一, 2 一c ，予楚霄： i如 罢= 罢c o s 捧) + 要e o s ( 恐，辨) l 。l 。i 3 ) u 盯 “，lc 2 冀枣t ，氇分别为魄源点s 爨耄源杰豹镜蒙点s 到p 煮熬锺裹，q ，辩) ，( 奠，聪) 分别为 ，r 2 与边赛钋漩囱爨豹必建。魇以在边界艿0 帮劬有边界条件： 宴。一l ( 堕型塑坚叠剿) 1 1 。1 4 ) 毽鼗缮翊喜蠢l 对称二绥建瞧凝_ 瑟黪舞嚣电饶瓣这馕朗题： v ( x o v u ) + v 红v u 。) ；0 塑；o o n 蒜q 戚4 b 。a d 拿。l ( 奠至墅卫生量三塑照：岛b c ，c d 朔 ，l + 您毪 同疆，搿褥轴对称二维鬟蠢电瑟瑟静总电往斡边餐淘题： v + ( x o v u ) 掰名) 善= 0 q _ o u ；0芒a b ，a d 嬲 宴：一j l 蔓竺! ! 奠盟塑童型)b c ，c d 伽 + 如 t ( 1 。l 。i s ) ( 1 。i ，l 赫 数暴琏鬻鞭离电缀系缀遴，遗露酌影穗掰激怒臻岑记，黛移透穗幸箬海无辩邀边界。 忿澈可戳撼( 1 1 1 6 ) 彗= 炎轰 v t 囊o v u ) + 搭蠢弦= 0 丝：o 翻 望竺=苎eos(冀，拜)onr 、7 g 好 蔗君 a 反b c ，c d ( 】i ，1 7 ) 桂林工学院硕士学位论文 其中，r 为电源点到边界点的距离，玎为边界的滋向量。 用有限单元法求解总电位v 时，在v 的泛涵中包含膏电源项。由于使函数v 在电源点上是奇异的，所以用有限单元法求解总电位v 时，线性插值，二次插值， 旗至更商次的插德都不能羧台电源附近的总电位斡交傀情况，黼而带来计算误 麓。在异常电位“的泛涵中，不含电源项，可以提高计算精度。 1 2 异常电位法变分问题 下嚣求雾鬻宅绶法逮篷滔题( 1 1 。1 5 ) 式黪变分翊题； 构造泛涵： 其变分为： 娴= 琏舅盯( v u ) 2 + 耐v u o - v u 】施 = 量，【圭码毪) 2 + x e y l 审u o ，v u i 湘 2 。1 ) + 量砖慨( v “：) 2 + x c r 2 v u 。v ”： d n 脚势_ 弘或审妒茹l 窜) 懒一( i 2 2 ) + j ) ，( z 盯2 v “2 + x o 2 v u 。) v 面2 地 对于区域q 。，有 同理： 积q v + 玛v ) v s u i 鼬 ；，v 唆审毡+ 善曩v 粕) 融l 鼬 一刚x q v 虬) + v ( x 。v ) 慨d c 1 2 3 。k 鲁喇鲁脚- 扩 。( x c y 2 v u 2 + x 拶2 v u o ) i v 擞：撒扣：堕c o n 2 ；挈觋扩( 1 - 2 4 ) 桂林工学院硕士学位论文 由于在厂上有“1 = “2 ，所以6 u i = 6 u2 ，由于是( 1 1 1 1 ) 有 f ( 碱鲁+ 碱鲁她卯+ i ( 砜差+ 觋, 瓦o u o m 扩 。f c 玛鲁+ 觋堕o n 2 + 碱鲁+ 觋誓溉扩 z s ， = 0 即内边界上的积分在变分式中可以自动消去，所以： 州) = + ( x 喀+ 鲁) 函扩 ( 1 2 6 ) ( a b p ) 将h 鼍狰e 吱丢甘式中的tc ) i 敏和l ( 必的边界条件代入得： f ，i ti 乡) 。“ 一 j l f ( x 盯罢鲁) 湖= 。 ( 1 z ，) t ( x 盯丽o u 。等) 面扩 ：一【x 盯叠型型坚生型砌扩 扎 ，l 屹( + ) 一 一j x 盯r fc o s _ ( r , - n ) i + r _ j 2c - o s ( r 2 , n ) 晚扩 ( 1 2 8 ) 4 二 ，l 屹( + 吩) ”一7 =一占j正x仃垒警墨墨警型。：矽2 j - 1 ，2 ( + ) ”r 1 一占n 仃。生訾兰年警业 d r 扎 _ ，2 ( + r 2 ) ” 把上式代入( 1 2 6 ) 式，移项得 j + 占“ x 盯蔓! ! ! 竖：型i ：! ! ! ! 垒! 尘 ，2 ( + ，2 ) 1 12 d r + p 竖等等，q z 。， 九。 ( 1 + 吒)”r j i u “刊 = 0 桂林工学院硕士学位论文 撼咒换成嬲四边，则与( 1 1 1 5 ) 异常电位法对应的变分问题为 脚) = 蛙艚( v “) 2 + x c y , v u 。v “ d n + l 。皿 扣r c o 可s ( r , n 鬲) + r 百2c o s 一( r 2 , n 琢) 】彬 + u 塑糍铲f 6 f 趣) = 0 ( 1 ，2 1 1 3 总电位法交分问题 下面求与总电位法边值问题( 1 1 。1 6 ) 式对应的变分问鼷： 构造如下泛涵： 地) = n 吉w ( v v ) 2 一1 6 ( a ) x v l d n ( 1 3 1 ) 焚交势为： 耐( v ) = l e x o v v v 却一i s ( a ) x 西牌 = v 秘群洒瑚一【v 礴f ) + w ( a ) x t s v d n ( 1 3 t2 ) = 重x f 扣一姆( x 礴v ) 埘( 助g , d n 根据( 1 1 。1 6 ) 的第一式，知道上式右侧面积分为零，融根据( 1 1 1 6 ) 式的其 镌边界条件有： 莲x 盯堡黻：o 一【x 秽垒蜓型生盘磐趔，跏， o n 扔 乇( i + 恐) ( 1 3 3 ) ：- 8f土埘垒型型坚i 罢堂趔，：靠 + 班。工封2 乇t t + 如， 代入( 1 3 2 ) 并移项有： 聊，毛k x 秽垫等挚v 2 球e ( 1 s 1 0 桂林工学院硕士学位论文 可得与( 1 1 1 6 ) 总电位法对应的的变分问题为 即) = 睦舾( v v ) 2 一坝伽v a n + l c d 【扣塑篙铲一卯 8 f 0 , ) = 0 ( 1 3 5 ) 比较( 1 2 1 0 ) 和( 1 3 5 ) 可以发现总电位法( 1 3 5 ) 式中有电源项，而 在以冲击函数表示的电源附近总电位变化是非常尖锐的，这就造成无论网格剖分 多么细都不能完全模拟电位的变化。异常电位法的变分积分式中没有电源项，从 而使有限元法只是去模拟变化较平缓的异常电位，因此提高了计算的精度。 1 4 有限元分析 1 4 1 异常电位变分问题的有限元解法 用有限单元法求解异常电位法的变分问题( 1 2 1 0 ) ，步骤如下： 1 用矩形单元对区域进行剖分，如( 图1 1 3 ) 所示，将( 1 2 1 0 ) 式泛涵的积 分分解为各单元e 和t 的积分之和。 f ( “) = e ) = 娃x o - ( v “) 2 + v u 。v u d n + b c , d c 睁盯盘絮铲胡矿( 1 t ，) + 五肛生端铲刚妒 2 在单元中对“，盯，o j 采用双线性插值 44 44 “2 ，”u o = y n “o j盯= o i 盯= z n ，盯， ( 1 4 2 ) f = 1f _ lf - 1 i = 1 式中：n ，( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为形函数，是x ，y 的函数，等于： 桂林工学院硕士学位论文 z = ( x 3 一x ) ( y l y ) 口6 n 。= 一x 2 ) ( y - y ：) l a bj 其中( x 。y ) 为单元第i 个节点的坐标( f _ 1 , 2 ，3 ，4 ) ，a = x 3 一x ：，b = y l y 2 。 2 公式( 1 _ 4 1 ) 第一项中的单元积分如下： 硅叫v u ) 2 地= 圭媾即 u 。t ( 警) ( 警) t + ( 警) ( 警) t u 淞痧 = 产1 j x 善4 j 州( 警) ( 警) t + ( 警) ( 警) t 姗恤。 = 三一k 1 e u 。 z 盯v v 椭= u 。1 k ：。u 。 ( 1 4 4 ) 其中：u 。= ( “。) ，u 。= ( “。) 分别为单元中各节点的电位和正常电位所组成的向量 k 。( 足。) 为4 4 对称矩阵，其值为： l 口3 b 3 式中盯，盯：，盯3 ，盯。为单元四个角的电导率，d l d i 如下： d =一1 2 x ；一3 x ；+ 4 5 x ；x 3 - 6 0 x ；x ；+ 3 0 x ；x ； d 2 = a( 尘4 4 百3 - - 6 塑x 2 x 3 1 2 1 + d 口l d 9 f 2 d 9 口3 d 1 0 o - 4 d i o 口i d i l 盯2 d i l 吒d 1 ， o 4 d l i ( 1 4 5 ) m m 毗一 炒叫噶 屯工 眈朋历及m历m n m 历伤m肪伤以肪m虏m肌 一 一 一 一 姐n朋办历办历m n m朋n以办历办仍办历m 眈以肪眈办虏m风以历 肌肼m m 胁m 眈m 肼觑以虏m办风m眈办肼以。 玖以虏玖办历m及以及 繇硒如踟如肠肌鼬如如 桂林工学院硕士学位论文 即州生生攀m 。 d 4 = 堑堕丝等亟塑盟 及。美二兰疽丝鲥垣二! 业蔓 。4 哦：丑型竖警型 及。蔓二垡苎堡篮二熟篮美 。 1 2 甄= 边4 型丝3 青2 型2 翌趔3 d 9 = 塑夸型 d i o - = 塑享丝 r 、 6 2 蜴l2 了 k i 。的计算方法与k l 。基本相同，只是把( 1 4 5 ) 式中的盯，变为仃，( 扛1 , 2 ，3 ，4 ) 即 可。 3 公式( 1 4 1 ) 第二项单元积分可写成对单元西边和单元甄边的积分： 蚌2 盯塑絮挚r 2 )妇护 2 。吼 ( 1 4 6 ) 4 3 ，2 ( ，l + 。 。“。 睁d 塑端铲妇矿= 扣饥t ， 3 桂林工学院硕士学位论文 k 2 。为4 4 对称矩阵 其中 其中 k 2 。= q ( c 2 a + q b ) a ：蔓竺垫! 型：! 堕垒! 堕 。 ，2 ( 1 + r 2 ) 6 ：去( 茎 口。 称 x 2 + 3 x 3 o 。1 - 6 x ；+ 1 5 x 3 x ；一l o x ；x ； 3 0 b 3 2 - - - 7 1 ( 生竽乎型 6 3 3 = 丢a ( 蔓壁等塑坚 。 j u k 棚k 3 。毡- 生等铲 称 3 盯4 + c r 3 ( 】4 8 ) ( 1 4 9 ) 同理公式( 1 4 1 ) 第三项单元积分可写为对单元五边和单元丽边的积分 竿 i i c 竿 = c 对k o o o 0 0 ，。l = b 对m蝎。 k 屯 一一 口一屹 = a 对 砌坞q 吼 o 0 o 一 0 一眩 桂林工学院硕士学位论文 如垫端势刚矽：u t t k 如“ 扭t l o ) 嘶垒堕丝巫警趔h o u ”：u 。t k 。 ( 1 - 4 11 ) 5 4 。 丘( 十心) 。 其中k ：。与k j 。的算法同k2 。与k 引只是粑盯换成，。 5 把擎元积分答项相加可写成如下形式： f a u ) = 去u j ( k l 。+ k2 。+ k 3 。) u 。+ u j ( k ：。+ k ：。+ l ( ：。) u o e 上 ( i 。4 。1 2 ) = ：1u 。t k 。u 。+ u j k ：u 忡 其中k 。一k 。+ k 知+ k 3 。，k ：一k j 。+ k k + k j 。，设送域有r t 个节点，将它们 扩展成n 阶方阵k 。，k ：则 删= 尹1 k , u + u t k , u 。 ( 1 4 1 3 ) 迭艇 f ( “) = 只( “) = 寺u 7 k u + u 7 k 1 u o ( 1 4 1 4 ) p 厶 其中u 为所有节点的异常电位，1 1 。为所有节点的正常电位，k ，k 为总体矩阵。 令之变分必零褥线性方程缀： k u = 一k u o ( 1 4 1 5 ) 解线性方糕组褥番繁点的髯鬻电位，再与疆论静釜常电毽籀加就褥到了总电位。 进而可以计算视电阻率。 1 4 2 总融位变分问题v 的莉限元解法 下藤用有限元法求总电位法变分问题( 1 3 5 ) 式。 考虑轴对称电场的特点，以及a ( x ) 的性质，有： _f， 基艘超艿( 矽y 2 l 裙羔拶翟) x 出兹22 霈基拶( 4 秘d q = l ( i t4 1 6 ) 所以可得( 1 3 5 ) 式中含电源项的积分为： 桂林工学院硕士学位论文 俗( 伽施叫刚) x 擒= 去”一_ u t p ( 1 4 1 7 ) 其中u 为所有节点的总电位的列向量，是要求的未知数。p 也为列向量，其值为： p ：f o 上0 1 ( 1 4 1 8 ) 2 厅 除了电源点所在的节点外，其余都为零。 ( 1 3 5 ) 式中其余的积分分别为： x a ( v v ) 2 m = 丢u t 蟊川= 告u 7 k 。u ( 1 4 1 9 ) 其中k - 。为各单元的k 。的扩展矩阵。k 。的计算公式与异常电位法的相同。见公 式( 1 4 5 ) 。 k 为各单元i - 。迭加而成的矩阵。 x 盯蔓! ! ! 鱼! 堕i ! ! ! ! 垒：翌! ，： ，2 ( + r 2 ) = 莩圭u 7 - 2 e u + 莩圭u 7 _ 3 e u = i 1 u t k 2 u ( 1 4 2 0 ) 一1一1 1 其中k 2 。为各单元的k ：。的扩展矩阵。k 2 。的计算公式见( 1 4 8 ) 。 其中k ，。为各单元的k 3 。的扩展矩阵。k ，。的计算公式见( 1 4 9 ) 。 k ，为各单元k z 。，k ，。迭加而成的矩阵。 所以： f ( v ) ：丢u t k i u + 丢u t k ：u u t p ， ( 1 4 2 1 ) 1 = 三u 1 k u u p 其中k 为总体系数矩阵，令( 1 4 2 2 ) 的变分为零，得线性方程组： k u = p ( 1 4 2 2 ) 解线性方程组( 1 4 2 3 ) 得各节点的总电位，进而可以计算视电阻率。 桂林工学院硕士学位论文 1 5 视电阻率计簿 魏( 銎l 。s i ) ，a b 为劳麓线。蠲点逛源( ? ) 珙龟，掰，为测量邀援。横 向测井记录点为m ，的中点o 点，在实际工作中，m ， 不动，电源移动，测 鬣始点豹电毽。 圈1 5 1 电棱系示意图 摄撰置换定理，a 点供电在m 点测豹电位等予在掰点供梗弱豹电渡在a 点 测得的电位。在有限元计算中，我们只需要分别把电源放在m 点和nn # g - 次，就能得到不同电极题一。的她点的电位( 这瓣诗算电使懿方法我 f 3 可以 把它称为互换法) 。利用公式( 1 5 1 ) 就能算出视电阻率。 k ：4 ，r a ：m ：a n 捌 ( 1 5 2 ) 巍然，我 f 也可以逐濒移动电源，每移动次皂源进行一次计箕。这与实骣工搏 中完全一样，可以称之为逐点法。 1 7 半 桂林工学院硕士学位论文 第二章数值计算 2 1 计算精度 首先利用层状大地的地面电测深曲线来检验算法的计算精度。 模型1 为3 层水平大地( 如图2 1 1 ) ，层参数为：第一层厚度为l m ，p ，= 5 0 q - 坍： 第三层电阻率p ，= 1 0 0 0 f 2 肌：中间第二层的电阻率从p ，线性过度到p ，第二 层的厚度为5 m 供电电极在井轴上方地面，a 点为供电点，m ，为测量电极，由 于是层壮大地，地面上各点的电位只和他们与a 点的距离有关，在进行有限元计 算时，把a 点放到地面并且在井轴线上。只要计算一次，就能得到不同电极距的 m 电位。从而计算出视电阻率。 彳m 地面 p l = 5 0 q mh 1 = 1 m 电阻率从5 0 q m 线性过渡到1 0 0 0 q mh 2 = 5 m p 3 = 1 0 0 0 f 2 - m 图2 1 1 电阻率分段线性变化模型1 根据( 1 2 1 0 ) 式及( 1 2 1 5 ) 式编制计算程序，计算结果为( 图2 1 2 ) 与 ( 图2 1 3 ) 。( 图2 1 2 ) 中实线为( m a l l i c k ) 等( 1 9 7 9 ) 用解析法计算的测深 曲线”1 ，圆点为用本文的总电位有限单元法得到的测深曲线，( 图2 1 3 ) 中圆点 为用本文的异常电位有限单元法得到的测深曲线，实线为( m a l l i c k ) 等( 1 9 7 9 ) 用解析法计算的测深曲线。可见两条曲线拟合得非常好，尤其是( 图2 1 3 ) 在小 极距时比图2 1 2 拟合得更好，说明采用异常电位法能加大电源附近的的计算精 度。这是由于异常电位法在电源点附近不用去拟合变化剧烈的总电位，而是去拟 合变化相对较平缓的异常电位。然后再加上正常电位，虽然正常电位在电源点附 1 r 桂林工学院硕士学位论文 运豹交纯镁澍黧，德是可以雳解辑法计算褥到，死乎可敬歆为是没霄误差豹。瑟 以最后得到的总电位比较精确。 p a t 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 唾2 。l ，2 总电位法与簿糖解的黠出 l 一解析解2 一有限光解 e1 0 0 阐2 1 3 并常法与理论值对比 1 一解析辫2 一有限元解 1 9 桂林工学院硕士学位论文 模型2( 如图2 1 4 ) 为两层轴对称模型，d 为l o 4 m 为第一层的直径，p 为 2 0 q m ，户，为1 0 0 q m ，m 点固定在井中地下9 9 9 8 m 处，j v 点在1 0 0 0 2 m ，也就 是说m n 为0 4 m 。供电点a 逐渐移向地面。根据( 1 3 5 ) 式编制了总电位法有 限元计算程序对此模型进行了计算。 不考虑地面影响的横向测井理论曲线”与总电位法有限元计算所得测井曲 线对比见图2 1 5 。图中实线为理论曲线，点线为总电位法模拟的曲线。 1 0 0 0 1 0 0 01 0 p 0 p d pip2 图2 1 4模型2 结构图 00 1 0 1 01 0 0 1 0 0 01 0 00 0 图2 1 5总电位法测井曲线 1 一解析解2 一有限元解 2 0 桂林工学院硕士学位论文 图2 1 6 中实线为理论曲线，点线为翊本文( 1 2 i 0 ) 式异常电位法诗簿褥 到的曲线。在远离地面的地方，两种方法都与理论曲线拟台得很好，在电源点附 近黪鬻毫霞法毅合褥雯麴始。在整线懿尾支毒疆元注瓣麴线主避，这是嚣为l 皂源 越来越接近地面，受地面的影响越来越大，相当于高阻体把本应向上流的电流向 下按压；舞遮藏秘。 p a ，岛 1 0 0 0 1 o o 0 0 10 1 01 o o 1 0 o o1 0 0o o 穗2 1 6异常电位法涮井 l 解析解2 - - 有限元解 下嚣麓均匀犬逸豹理论测势麓线襄鸯鞭元总魂经法翡测并蠡籍线静对院( 霞 2 1 7 ) 来梭验本文方法在地面附近是否正确。因为异常电位法在均匀大地时的测 并藏线裁蔑理论鞠线，瑟戳不臻它来邃霉亍辩魄了。 p a p l 1 0 。o o 1 + o o o 1 0 0 0 10 1 0 1 1 0 0 01 0 0 0 0 嘲2 1 7 均匀太地总电位法与理论值对比 l 一簿蟹舞2 一寿 黼簿 2 l 桂林工学院硕士学位论文 图2 1 7 中瓣溅并鬣瞧随率麴线还是翔模登2 两层模型来诗舞的。只不过第 一屡和第二层的电阻率都烧2 0 q 删。图2 1 7 中实线为理论曲线，点线为用总 宅使法模数憋麴线。銎2 ，l 。? 中两条莛线缀建瑟辩迓羧合褥鬻好，可冕本文豹 有限元法不但能在远离地面的情况下应用，在电源点非常靠近地面时还能精确的 逡行计算。尤其是在电源点瓣近，雾豢电袋法毙憨奄整法受热精确。 2 。2 地面影响及改正 当电源点靠近地面时，地面对测并曲线有很太的影响，造成曲线的严羹变形。 干扰了测井曲线的分析。襁对测井曲线进行分析前应该先去掉地聪的影响，即对 魏线进行魂面改正。由于本文有限元法把媲面豹影响考虑在内，可以用来研究地 面改正。 建形教正豹方法很多，这里我们采焉糯除法来进行改溉，都嗣有限元得到的 曲线除以均匀测井理论曲线。现分别用上一节图2 1 ，5 和图2 1 6 中的有限元测 著麴线来磷究遣瑟改正。黧2 。2 1 中霾鏊线l ( 实线) 为雳强2 1 5 中总电位法曲线 除以均匀测井理论曲线后所得的曲线。曲线2 ( 点线) 为用图2 。1 5 的异常电位 法麓线。瑟叛看警经过糖豫之磊，绝益线鹣遥支降低了。氇就是减小了篷灏的影 响。 p 8 p , o o t 0 i o 0 1o 1 0 1 o o1 0 0 01 0 0 0 0 固2 2 ，l 异常法测劳曲线地改 l 一氆蔽后的辩残2 一瓶菠前的街钱 2 2 桂林工学院硕士学位论文 圈2 2 2 中实线为蟪羧蓊戆蕊瞧整法溅劳趋线，点线为缝改嚣躲趣线。露冤， 采用相同的计算网格，在地面附近总电位法比异常法经过地形改正后曲线更加接 近壤论测井热线。这个结鬃镦乎与黪豢电佼法比总瞧位法髓确豹麓点提矛瓣。下 面就对地面附近的异常法和总电位法进行研究。 p a p 1 1 0 1 o o 0 1o 1 01 o o1 0 o o1 0 0 o o 爨2 2 2 总电位法测井蹲线地改 l 一蛾改前妁旃线2 一地改嚣的番线 2 。3 姥匿隧近异鬻电位法与总邀位法麓毙较 下面分析不同网格剖分对异常电位法及总电位法在地面附近计算结果的影 睫，绥然采耀模型2 ，溅点仍然在逡下1 0 0 0 m 处。材，之阕的题寒是0 。4 m 。供 电点a 逐渐移向地丽。对4 个网格分别用总电位法和异常电位法进行计算。开始 网掺数较少，虽无穷远边器也取缮较短。爨格数及迭器逐濑增大。掰鼹嚣瓣掺及 边界设置如( 表2 3 1 ) ，( 液2 3 2 ) ，( 表2 3 3 ) ，( 表2 3 4 ) 。 ( 横商弼格数) n x = 5 9( 缀向丽格数) n y = 1 0 2 a b ：3 0 0 0 ma d = 2 0 0 0 脚 x 方向上节点的x 坐标( n x + i ) 个 oo 。3 3 30 6 6 6 6l ，0l 。3 3 3 31 6 6 6 72 03 04 05 26 47 68 81 0 1 2 51 51 7 52 02 53 03 54 05 2 6 47 6 8 81 0 0 1 3 01 6 01 9 02 2 0 2 5 0 2 8 0 3 1 0 3 4 0 3 7 04 0 04 3 04 6 04 9 0 5 2 0 5 5 05 8 06 0 06 4 06 8 0 桂林工学院硕士学位论文 7 0 07 4 07 8 08 0 08 5 09 0 09 5 01 0 0 0 11 0 01 2 0 0t 3 0 01 4 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 y 方向上节点的y 坐标( n y + i ) 个 1 0 0 0 9 5 0 9 0 0 8 5 0 8 0 0 7 5 0 7 0 06 5 0 6 0 05 5 05 0 0 4 5 04 0 03 5 0 3 0 0 2 5 0 2 0 0 01 8 0 01 6 0 01 4 0 01 2 0 01 0 0 ，09 0 08 0 07 0 06 0 05 0 0 4 0 03 0 02 5 02 0 01 5 0 0 08 06 04 0 3 53 02 52 0l + 5t 0 0 80 60 40 20 0 - 0 2 - 0 4 - 0 6 - 0 8