（计算数学专业论文）几种新型滞后超前补偿器的设计与应用.pdf

蚴 几种新型滞后- 超前补偿器的设计与应用 学位论文完成日期： 指导教师签字： 答辩委员会成员签字： i 车 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 ( 洼；垒旦遗直甚他盘蔓挂剔主明的：奎拦亘窒2 或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：p 发i 建签字日期：劢，p 年f 月，f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，并同意以下 事项： l 、学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。 2 、学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权清华大学“中 国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社 用于出版和编入c n k i ：中国知识资源总库， 授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 毒关f 递 导师签字：彩舀矗 签字日期：凇f p 年珀i 亨日签字日期口吖d 年f 月f 扣 几种新型滞后一超前补偿器的设计与应用 摘要 在控制系统中，相位滞后校正可以缓解稳态精度与振荡性之间的矛盾，但 同时也会使频带变窄；超前校正则可以增加频宽、提高系统的快速性、加大稳定 裕度以及改善系统的振荡情况。因此，要全面提高系统的品质，使快速性、稳态 精度和震荡性均有所改善，常常采用滞后一超前补偿器。传统的滞后一超前补偿器 由一对实零点和一对实极点组成，校正效果有时并不十分理想。本文设计的双重 滞后一超前补偿器、复合滞后一超前补偿器及组合滞后一超前补偿器，在一定的应 用范围内，较传统的补偿器在增加系统稳定裕度、提高系统稳定性及稳态精度等 方面有着较为明显的优势。 在论文第二章，我们首先设计了一种由两对实零点和两对实极点组成的双重 滞后一超前补偿器，随后在双重滞后一超前补偿器的基础上又设计了一种由两对共 轭零点和两对共轭极点组成的复合滞后一超前补偿器，并同时给出了这两种补偿 器及传统滞后一超前补偿器零极点之间的关系。通过控制理论中零、极点图，b o d e 图的论证以及m a t l a b 仿真试验论证均表明这两种补偿器较传统的补偿器在提高 系统稳定性，增强系统抗干扰能力等方面有着各自的优势，后者还可以为模型设 计提供更高的自由度。 在论文第三章，设计了一种由一个实零点、一个实极点、一对共扼零点和一 对共扼极点组成的组合滞后一超前补偿器。同样，理论论证和仿真实验均表明， 这种组合滞后一超前补偿器较传统的滞后一超前补偿器，不但提高了模型设计的自 由度，而且在提高系统快速性和稳态精度，增强系统稳定性方面有着较为明显的 优势。 关键词：复合滞后一超前补偿器，组合滞后一超前补偿器，模稳定裕度，相角 裕度，零极点图 n 。 d e s i g na n da p p l i c a t i o no f s o m en o v e ll a g - l e a dc o m p e n s a t o r s a b s t r a c t i | it h ec o n t r o ls y s t e m , t h ep h a s e - l a gc o m p e n s a t o rc a na p p r e c i a b l ei m p r o v et h e s t e a d ys t a t ea c c u r a c y , b u tr e d u c eb a n d w i d t ho f t h ef i e q u e n c i e s t h eb a dc o m p e n s a t o r c a ni n c r e a s et h eb a n d w i d t h , e n l a r g es t a b i l i t ym a r g i no ft h es y s t e m ，e n h a n c et h e t r a n s i e n tr e s p or i s ea n di m p r o v ev i b r a t i o ns i t u a t i o no ft h es y s t e m s o ，t h ei a g - i c a d c o m p e n s a t o rw a so f t e na d o p t e dt oi m p r o v ec o m p r e h e n s i v e l yt h es y s t e mq u a l i t y , s u c h a sr a p i d i t y , s t e a d ys t a t ea c c t r a c ya n dv 弛r a t i o n t h et r a d i t i o m ll a g - l e a dc o m p e n s a t o r c o n s i s t e do fo n ep a i rr e a lp o b s ，a n do n ep a kr e a lz e r o s ，s o m e t i m e sd o n to b t a i nt h e i d e a lc a l i b r a t i o nr e s u l t s t h e r e 南r et h i st h e s i sd e s i g n e dt h ed o u b l ei a g - l e a d c o m p c n s a t o r , c o m p o s i t el a g - l e a dc o m p e n s a t o ra n dc o m b i n a t i o nl a g - l e a dc o m p e n s a t o r i nt h ec h a p t e rt w oo ft h i st h e s i s , w ef i r s td e s i g n e dak i n do fd o u b l el a g - b a d c o m p c m a t o rc o n s i s t e do f t w op a i o f r e a lz e sa n dt w op a i ro f r e a lp o l e s t h e nb a s e d 0 1 1t h ed o u b l e i a g - k a dc o m p e n s a t o r , t h ec o m p o s i t el a g - l e a dc o m p e n s a t o rw a s d e s i g n e d ，w h i c hc o n s i s t so f t w op a i r so fc o n j u g a t ez e r o sa n dt w op a i r so fc o n j u g a t e p o l e s m e a n w h i l ew ei l l u s t r a t e dt h er e l a t i o n sb e t w e e n 刀既da n dp o l ef i o mt h et w o k i n d so fc o m p e n s a t o ro rt h et r a d i t i o m ll a g - l e a dc o m p e n s a t o r a r g u me n t a t i o nb yt h e p o l e - 刁。mp l o t sa n db o d ep b t so ft h ec o n l r o lt h e o r y , m a t l a bs i m u l a t i o nb o t h i n d i c a t e dt h e s et w ok i n d so fc o m p e n s a t o rh a v er e s p e c t i v ea d v a n t a g et oi m p r o v et h e s y s t e ms t a b i l i t y , e n h a n c es y s t e ma n t i j a m m i n ga b i l i t ye t c c o m p a r e d w i t ht h e t r a d i t i o m lc o m p e n s a t o r t h ec o m p o s i t el a g - k ：a dc o m p e n s a t o ra l s oc a np r o v i d ea h i g h e rd e 鲈eo f f r e e d o mf o rt h em o d e ld e s i g n i nt h ec b a p t e rt h r e eo ft h i st h e s i s ，w ed e s i g n e dak i n do fc o m b i n a t i o nl a g - l e a d c o m p e n s a t o rc o m p o s e do f a r e a l m ，ar e a lp o l e ，ap a i ro f c o n j u g a t e 孺m sa n dap a h o f c o n j u g a t ep o l e s s i m i l a r l y , t h et h e o r e t i c a la r g u m e n t sa n dt h es i m u l a t i o ne x p e r i m e n t a l li n d i c a t e dt h i sc o m b i n a t i o nh g - b a dc o m p e n s a t o rn o to n l yo b v i o u s l yk n p r o v mt h e m o d e ld e s i g nd e g r e eo ff r e e a o m ，b u ta l s om a r k e d l yh n p r o v e st h es y s t e mr a p i d i t ya n dt h es t e a d y s t a t ea c , c t a a e y , e n h a n c e st h es y s t e ms t a b i l i t yc o m p a r e dwi t ht h et r a d i t i o n a lc o m p e n s a t o r k e y w o r d s ：c o m p o s i t ei a g - l e a dc o m p e n s a t o r , c o m b i n a t i o nl a g - l e a d 1 1 1 r g i n , p h a s em r r g i n ，p o l e - z e r op l o t i v 目录 1引言1 1 1 背景1 1 2 设计思想3 2双重滞后一超前补偿器及复合滞后一超前补偿器的研究与应用5 2 1 模型设计5 2 2 关于补偿器零极点关系的研究7 2 3 模型性能及参数的研究9 2 3 1 0 7 乞 ： p ： o p z _ 2 ：22 两1 + s i n 石2 ，鬲卸yz 2j + p 2 p 2l s l n 2 九：，：分别为最大滞后相角及其发生处的频率。以其二重形式建立的双重滞 后补偿器传递函数：c 曲( s ) = 堕( 旦粤) ：，其中2 九2 为其最大滞后相角。 z ，s + p ， 文献 1 4 中又提出了一种新式相位超前补偿器：c ，( s ) - 1 旦( 三粤) ，其中， yz is + p 1 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 p - p 。，云= 鬻，厮砜饵脚u 为最大超前相 角及其发生处的频率。以其二重形式建立的双重超前补偿器传递函数： c m ( s ) = 旦f 三l ) 2 ，其中2 九。为其最大超前相角。 刁s + p j 对于最大相角、最大相角发生处的频率及零极点之间的关系，在文献 1 3 ，1 5 ， 1 6 中均有详细介绍。 参考以上补偿器，本文最先给出的双重滞后一超前补偿器的数学模型如下： 气( j ) ：丛( 旦堕) ：幽： ( 2 2 ) z i z 2s 七p ls 七p 2 该补偿器较传统补偿器( 2 1 ) 提高了系统的模稳定裕度及相角裕度。当 丸l = 九：时，丝= l ，补偿器( 2 2 ) 就成了( 2 1 ) 的二重形式( 方便起见，本文取 z l z 2 九。2 九：) 。但通过观察可以发现，这两种补偿器的模型只与、丸有关，而在 实际应用中，系统对、九的要求就限定了补偿器模型设计的自由度。故本文 又设计了一种模型设计自由度较大的复合滞后一超前补偿器： 啪，2 薏旁篡鲁，舅搿3 ， 其中，国，。、吐。分别为超前阶段极点和零点的固有频率，厶为超前阶段阻尼比， p 。= 。( 岛锄九。+ 拓函丽 吐，= kt a i l “+ 正i 丽 纬：、q ：分别为滞后阶段极点和零点的固有频率，岛为滞后阶段的阻尼比， ：- 0 0 m ：( t a i l 九：+ 拓面丽 吐：2 ：( 岛t 粕九：+ 止彳五z 了) 一一， ， 6 这 大 c 。( s ) 、c 2 ( s ) 零极点( 同时也是双重滞后一超前补偿器( 2 2 ) 的零极点) 与相同频率 下最大相角为2 九。= 2 九：- 9 0 。，f 。= o 9 ，g - - o 7 的复合滞后一超前补偿器零极 点的几何关系。其中，c 。( s ) 、c 2 ( s ) 、c 如( s ) 及c 。( s ) 的传递函数分别如下： 州沪勰 c2(s)=而1+(、2-1)s c 如( s ) = 了s 4 了+ 8 豇14 两2 s 3 可+ 2 丽4 5 石7 s 2 + 丽3 2 两5 7 再s + 话1 6 c 伽= 号瓮券纛等蔫筹 7 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 陕 ，一、 ? 一，一、7 。一d a t a l l 。d a t a 2 - 。- - 一d a t a 3 叩 、 。d a t a 4 、 t 瓜 般、 l 、 l 绫羚 i； c p lm c z l 舞和耐| | 、 汉 。 - j w m l 、。 、 一 、 其中， 图2 - 1 三种补偿器的零极图 c 川= 一c o m lt a n 九l = - 4 x t a n 4 5 9 = - 4 吒2 c 订= 叼p l = 4 1 0 压 c ，2 = 2t a n 丸2 = i x t a n 4 5 。= 1 吃2 c = 22 叶p 22 1 ， t c o s丸2 一 c o s l c ，l o z l= = 0 9 c o s c j 2 0 7 , 3 = 乞= 0 7 s 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 点c p 。是圆1 的圆心，圆1 经过相位超前补偿器c l ( s ) 的极点一p 一9 6 5 、。及 一_ ，复合滞后一超前补偿器超前阶段的共轭极点p ，、p 2 ，位于由阻尼比f 。= 0 9 所决定的直线与圆1 的交界处；同样，点c ，。是圆2 的圆心，圆2 经过相位超前 补偿器c i ( s ) 的零点一z = 1 6 5 、。及一j l ，复合滞后一超前补偿器超前阶段 的共轭零点z l 、z 2 ，位于由阻尼比f 。= o 9 所决定的直线与圆2 的交界处。相应 的圆3 、4 则对应于相位滞后补偿器c 2 ( s ) 及复合滞后一超前补偿器的滞后阶段。 并且，复合滞后一超前补偿器的滞后、超前阶段的零点之间存在如下关系： c o s l z l o z 3 = c o s ( z c z 2 0 2 3 一么c p l o z l ) = 岛厶+ 订乏丽 一蚶+ 蚶- i z , z , 1 2 2 z ，l 同样，极点之间也存在这种关系，不再重复。 2 3 模型性能及参数的研究 对于模型的研究本章采用m a t l a b 工具箱中b o d e 0 函数1 1 7 1 进行仿真，运用 控制系统性能分析中广泛应用的频域响应分析法分析其性能。 m a t l a b 是美国m a t hw o r k s 公司开发的一个功能强大的数学软件包。它集 数值分析、矩阵运算及图形绘制等功能于一身，提供了一个高性能的数值计算和 图形显示的科学和工程计算软件环境。同时它还包含有一系列称为工具箱 ( t o o l b o x ) 的涉及许多领域的应用软件模块，如信号处理、图象处理、控制系 统分析、神经网络、优化、统计学和符号数学等，因而成为全世界工程师、科学 家、教育家及各行各业的专业人员“万能”的工具。在控制系统中，当系统比 较复杂时，求解计算的工作量较大而且繁琐，特别是当需要改变系统某些参数或需 要加进某些环节改变系统结构来改进系统性能时，就得重新计算才能知道其效 9 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 果。显然，在实际工作中我们不希望进行大量繁杂的计算，就能比较迅速地求解参 数，并能准确直观地分析系统中各个参数对系统性能的影响，而m a t l a b 软件强 大的计算和绘图功能正好满足了这一要求p s 。 工程上，控制系统性能分析目前广泛应用的有三种方法：频域分析法、根轨迹 法及时域分析法1 1 9 】。频率特性是控制系统频域中的数学模型，运用频率特性研究 控制系统性能称为频域分析1 2 0 1 。频域分析法主要包括3 种方法：b o d e 图、n y q u i s t 曲线和n i c h o l s 图。其中b o d e 图又称对数频率特性曲线，包括对数幅频特性曲线 和对数相频特性曲线，对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值， 单位是分贝( 皿) ；对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，单位是度， 它们的横坐标都是频率( r a d s e c ) ，利用b o d e 图可分析系统的相位裕度、幅值裕 度、直接增益、带宽、扰动抑制及其稳定性等等1 2 l l ，在m a t l a b 中，调用b o d e ( ) 函数可同时绘出幅频和相频曲线n y q u i s t 。曲线是根据开环频率特性在复平面上 、一 绘出幅相轨迹来判断出闭环系统的稳定性，如果n y q u i s t 曲线按逆时针包围临界 点( - l ，j w ) pm ( p 为开环传递函数位于右半s 平面的极点数) ，则系统是稳定的， 否则系统是不稳定的，在m a t l a b 中，调用n y q u i s t ( ) 函数即可得到系统的n y q u i s t 曲线。n i c h o l s 图是另一种形式的对数幅相图，其特点是纵、横坐标都均匀分度，横 坐标表示相角，纵坐标表示对数幅频特性幅值的分贝数，在m a t l a b 中，调用 n i c h o l s ( ) 函数即可得到系统的n i c h o l s 图1 2 2 t 矧。 不同的厶、厶，对复合补偿器( 2 3 ) 性能的影响也不同，下面通过做出相应 的模拟仿真图1 2 4 , 2 3 ) ，分别讨论补偿器( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 之间的性能差异，及 不同取值的厶、厶对补偿器( 2 3 ) 的影响。 当磊，厶 0 7 时，补偿器( 2 3 ) 的幅频、相频特性曲线会出现波峰、波腹， 且对系统的校正效果不理想渊，故本文选取，厶o 7 2 3 1 o 7 厶 厶 1 0 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 取参数如下：丸。= 九：= 4 5 。，= 1 0 ，2 = 1 ( 以下该四个参数的取值均 不变) 厶= 0 9 ，乞= 0 7 。补偿器( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 的传递函数分别如下： c = 篙篇等怒 c 如( s ) = 面( s + 瓦4 1 丽4 2 ) 2 而( s + 百2 丽4 14 ) 2 c 小，= 掌貉筹装辫嘉等筹 其仿真图如图2 - 2 所示： 图2 - 2 厶= 0 9 ，厶= 0 7 时补偿器( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 的b o d e 圈 由图像可知三种补偿器之间存在了以下几点不同( 1 ) 滞后补偿阶段，补偿 器( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 在2 处幅值斜率依次较陡，相角峰值依次变窄，这将 会使系统的相角裕度变大，模稳定裕度变化较小，当将模稳定裕度对相角裕度做 一个折衷时，可以提供更大的模稳定裕度。按补偿器( 2 2 ) 、( 2 3 ) 、( 2 1 ) 的顺 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 序，低频增益与高频增益的差别依次变小，而增益差别的变小则会降低低频的增 益及低频的抗干扰能力。( 2 ) 超前补偿阶段，按补偿器( 2 2 ) 、( 2 3 ) 、( 2 1 ) 的 顺序，相角峰值逐渐变宽，而相角峰值的变宽会使系统的模稳定裕度增加；按补 偿器( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 的顺序，低频增益与高频增益的差别依次变大，而增 益差别的变大则会导致相角裕度的减小。总体而言，补偿器( 2 2 ) 、( 2 3 ) 较补偿 器( 2 1 ) ，在增加系统模稳定裕度及相角裕度均有着各自优势，且侧重点有所不 同。补偿器( 2 3 ) 较补偿器( 2 2 ) 能在一定程度上保持系统的快速性，补偿器( 2 2 ) 较补偿器( 2 3 ) 可以增大低频的增益及低频的抗干扰能力| 2 7 , 2 s 。 f 伯q u e n c y ( m # s e c ) 圈2 - 3 厶= 0 7 ，岛分别为0 8 、0 9 、1 时t 补偿m ( 2 3 ) 的b o d e 图 由图2 3 ( 其中，g 1 、g 2 、g 3 分别为厶= 0 7 ，厶= 0 8 、0 9 、1 ) 可知，随着岛 的增大，补偿器( 2 3 ) 的性能也在发生变化：滞后补偿阶段，：处幅值斜率依 次较缓，相角峰值变窄，低频增益与高频增益的差别也变小；超前补偿阶段，相 角峰值依次变宽，低频增益与高频增益的差别变大。以上这些变化将会使得系统 的稳定性及快速性均得到提高。 2 3 2 0 7 厶 厶 1 2 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 图2 4 中，f 。= 0 7 ，f 2 = o 9 ，对应的三种补偿器的传递函数分别如下： c = 等篙篇 c如(s)=面(s+夏4而142)百2(s丽+2414)2 气= 等蔫兰嘉筹麓黼 b o d ei 轴盯n r 嘲u 帅斜f 憎幽i c ) 图2 - 4f 1 2 0 7 ，厶2 0 9 时t 补偿器( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 的b o d e 图 由图像知，滞后阶段补偿器( 2 3 ) 较( 2 2 ) 最大相角发生处频率所对应的幅值 斜率较陡，与2 3 1 中的情况相同，而其他方面则与2 3 1 中情况相反。补偿器 ( 2 1 ) 与补偿器( 2 2 ) 、( 2 3 ) 之间的差异也与2 3 1 中情况相同； 图2 5 中g 1 、g 2 、g 3 分别为= 0 7 ，厶= 0 8 、0 9 、1 对应的复合滞后一超前 补偿器。其传递函数分别如下： c 小，= 等慧署寡筹篇筹 1 3 增大对补 的性能指 在诸多性 于跟踪给 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 ( 2 ) 、系统的无差度v ：无差度 ，是系统前向通路中积分环节的个数，它表示 了系统对于给定信号的跟踪能力的度量。系统对于给定的信号能够跟踪还是不能 跟踪，有差跟踪还是无差跟踪，是由系统的无差度y 来决定的。 ( 3 ) 静态误差系数：静态误差系数有三个，分别为静态位置误差系数k 。，静 态速度误差系数k ，静态加速误差系数疋。 对于有差系统，其误差与静态误差系数成反比。因此他们分别可以确定有差 系统的误差大小。 ( 4 ) 、动态误差系数：动态误差系数也有三个，分别为动态位置误差系数k p ， 动态速度误差系数屯，动态加速误差系数七口。 由动态误差系数可以确定系数对于输入信号的各阶变化率跟踪的能力。 动态性能指标： 动态性能指标又可以分为时域动态性能指标和频域动态性能指标。 ( 1 ) 、时域动态性能指标：通常以系统的阶跃响应来进行描述，常用的时域指 标有延迟时间0 、上升时间f ，、峰值时间f ，、超调量盯、调节时间、振荡次 数等。 ( 2 ) 、频域动态性能指标：频域动态性能指标又有开环频域指标和闭环频域指 标。 开环频域指标为开环增益k o 、低频段斜率y 、开环截止频率啡、中频段斜率 、中频段宽度d 、模稳定裕度 、相角裕度卜高频衰减率等 闭环频域指标为闭环谐振峰值m ，、闭环谐振频率q 、闭环频带宽度钆等。 本章对补偿器校正后系统的性能评价采用系统模稳定裕度j i i 、相角裕度，及 截止频率啡。系统的模稳定裕度、相角裕度越大则系统的稳定性越高，反之则 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 越低；系统的截止频率越大则快速性越高，反之则越低。 原系统传递函数为g ( s ) ：型l 例，其b o d e 图如图2 - 6 所示： s ( s + 2 ) 0 + 4 0 ) o p e r 卜l pb o d ee j c l i t o r ( c ) 图2 - 6 原系统的b o d e 图 由图可知，系统模稳定裕度为6 4 4 d b ，相角裕度为9 5 3 d e g ，其稳定性较低，需 加校正器进行校正。下面分别采用传统的滞后超前补偿器、双重滞后超前补 偿器及复合滞后超前补偿器进行校正，对比分析校正结果。 2 4 1 补偿器( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 的应用比较。 首先，根据原系统特性确定补偿器的参数，= 3 、国舸2 = 1 、丸。= 丸2 = 4 5 。、 厶= 0 9 、岛= o 7 。由此所确定的三种补偿器的传递函数分别如下： c = 筹端 c 如( d = 而( s + 瓦1 2 4 可3 ) 2 再( s + 五2 砑4 1 4 ) 2 1 6 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 c 一加等蔫筹崭器等器 由传统滞后一超前补偿器、双重滞后一超前补偿器及复合滞后一超前补偿器校正后 系统的b o d e 图分别如图2 - 7 、2 - 8 、2 - 9 所示： 岬p 叫蹦咖忖t 枷l o o p 岫嘲旧 i gm：帕52=l蛾uet o p ： 嘲： 、。 附f r 姗：484蛔radtul m _ 囊呵伸曲薯) j 。gm：221it：22freq：202r a d u 。： 铂l a o p 圈2 - 7 补偿器( 2 1 ) 校正后的系 统的b o d e 图 0 p c - l o o pb o 由踟r ( c j 、 g未：13f帕q：24 s t 炮： 阳撤 却 i 图2 - 8 补偿器( 2 2 ) 校正后的系 统的b o d e 图 f 嘲i 雕y ( 嘣蟾嘲 圈2 - 9 补偿器( 2 3 ) 校正后的系 统的b o d e 图 由图像知，补偿器( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 校正后系统的模稳定裕度、相角裕度 及截止频率分别为| | i = 1 6 7 d b ，t i = 3 5 8 d e g ，眈l = 1 5 2 r a d s e c ；如= 2 2 1d b ， y 2 = 5 7 7 d e g ， q 2 = 2 0 2 r a d s e c ；坞= 1 9 3d b ，t 3 = 7 8 2 d e g ， 皱，= 2 0 4 r a d s e c 。与原系统相比，均有了显著的改善，提高了系统的稳定性。 同时，补偿器( 2 2 ) 、( 2 3 ) 与补偿器( 2 1 ) 相比，系统的稳定性及快速性均有显 著提高，且两者在改变系统稳态性方面各有优势。补偿器( 2 3 ) 较补偿器( 2 2 ) ， 截止频率相对较大，能较好地保持系统的快速性1 3 q 。 o o 的 o 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 2 4 2 = 0 8 ，厶= 0 7 时对应的补偿器( 2 3 ) 与岛= 1 ，岛= 0 7 时对应的补偿 器( 2 3 ) 之间的比较。 当岛= 0 8 、l ，厶= 0 7 时，校正后系统的b o d e 图分别如图2 1 0 、2 1 1 所示： o p e n - l o o pb o d ee d i t o r ( c o p e n - l o o pb o d ee d i t o r ( c f r e q u e n c y ( r a a s e c ) f r e q u e n c y ( r a o s e c ) 圈2 - 1 0 岛= o 8 ，厶= o 7 时，补偿器( 2 3 ) 的b o d e 图2 - 1 1 岛2 1 ，乞= o 7 时，补偿器( 2 3 ) 的b o d e 图 由图像知，厶= o 8 ，岛= o 7 时，校正后系统的模稳定裕度、相角裕度及截止 频率分别为：1 8 2 d b 、7 7 8 d e g 、1 8 3 r a d s e c ；厶= l ，厶：o 7 时，分别为：2 0 2 d b 、 7 8 3 d e 8 、2 2 5 r a d s e c 由此可见，当0 7 岛 1 , b 口互。 第二章中提及的新式相位超前补偿器： 啪，= 老c 糍， 3 ， 其中，、吐分别为极点和零点的固有频率，f 为阻尼比， = ：( f t a n 九：+ 以瓦i 丽，嚷= ：( 一c t a n 丸：+ 以瓦i 丽) ； 九：，：分别为最大超前相角及其发生处的频率。 2 l 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 由传统的滞后补偿器( 3 1 ) 及超前补偿器( 3 3 ) 耦合可得组合滞后一超前补 偿器 乞c d = 毒c 嚣2 荔等2 ，锩， 4 ) 这种组合滞后一超前补偿器不但与、丸的选取有关，还与f 的选取有关，提 高了模型设计的自由度。当参数选择适当时，补偿器( 3 4 ) 能更好地提高系统的 稳态性能。 3 2 关于组合滞后一超前补偿器零极点图的研究 图3 1 给出了当l = l 、c o 2 = 4 、九。= 九2 = 4 5 。、f = 0 9 时，组合滞后一超前 补偿器的零极点图。 其中， 图3 - 1 组合滞后一超前补偿器的零极图 22 - - 0 ) n 2 t a n 九22 _ 4 t a n 4 5 。= - 4 几种新型滞后- 超前补偿器的设计与应用 ? 2 s 扩德“压 p 。：一 l _ ：1 一压p l2 一而2 一2 铲一志一( 1 + 而 z l2 一面2 一【1 + z ) c o s l c p 2 0 p 2 = f = 0 9 点c ，：是圆l 的圆心，圆l 经过j c o 2 及一- ，：，组合滞后一超前补偿器超前阶 段的共轭极点p 2 、扔，位于由阻尼比f = 0 9 所决定的直线与圆1 的交界处；同 样，点c z 2 是圆2 的圆心，圆2 也同样经过_ ：及一j f ：。相应的，组合滞后一 超前补偿器超前阶段的共轭零点z 2 、毛，位于由阻尼比f = 0 9 所决定的直线与 、一 一 圆2 的交界处。a 、毛分别为组合滞后一超前补偿器滞后阶段的极点、零点3 射。 3 3 模型性能及参数分析 不同的f ，对组合补偿器( 3 4 ) 性能的影响也不同，下面通过做出相应的b o d e 图，分别讨论补偿器( 3 2 ) 、( 3 4 ) 之间的性能差异，及不同取值的f 对补偿器( 3 4 ) 的影响。 取参数如下：l = l 、2 = 4 、丸i = 九2 = 4 5 。、f = 0 9 补偿器( 3 2 ) 、( 3 4 ) 的传递函数分别如下： c ( s ) = 7 s 2 玎+ 4 面0 7 _ 1 s + 4 00 7 s 4 - 4s + 1 ：c “，；蒜筹糕筹躺 其仿真图如图3 - 2 所示： 补偿阶段，补 变大，模稳定 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 裕度变化较小，当将模稳定裕度对相角裕度做一个折衷时，可以提供更大的模稳 定裕度。低频增益与高频增益的差别相差很小。( 2 ) 超前补偿阶段，补偿器( 3 4 ) 较( 3 2 ) 缈。，处相角峰值变宽，而相角峰值的变宽会使系统的模稳定裕度增加； 低频增益与高频增益的差别变大，而增益差别的变大则会导致相角裕度的减小。 总体而言，补偿器( 3 4 ) 较补偿器( 3 2 ) ，在增加系统模稳定裕度、相角裕度，提 高系统快速性方面均有着较强的优势1 3 4 , 3 5 1 。 图3 - 3 中，g i 、g 2 、g 3 分别为f = 0 7 、0 8 、0 9 时对应的补偿器( 3 4 ) 的 b o d e 图，g 1 、g 2 、g 3 的传递函数分别为： g 心，= 蒜筹筹筹羰 g ：= 崭箦舞舞羰 。 g ，= 蒜篝装箦耥 二 由图像可知，随着f 的增大，补偿器( 3 4 ) 的性能也在发生变化：滞后补偿阶段， c a 。处相角峰值依次变窄；超前补偿阶段，：处相角峰值依次变宽，而低频增 益与高频增益的差别变大。以上这些变化将会提高系统的稳定性及快速性。 3 4 实例应用分析 本节采用m a t l a b 工具箱中b o d e o i 函数及s t e p 0 函数对模型进行仿真，运 用控制系统性能分析中广泛应用的频域响应分析法及时域响应分析法1 3 7 1 ，以系 统的模稳定裕度h 、相角裕度y 、截止频率织及超调量仃为性能指标，分别从 对提高系统稳定性、快速性及稳态精度等方面衡量补偿器性能的优劣。其中超调 量o r 越小则意味着系统的稳态精度越高，反之则越低。 时域分析法往往直观、简单。它的思想是将一个标准的测试信号当作系统的 几种新型滞后- 超前补偿器的设计与应用 ( 1 ) 、单位脉冲信号：其数学表达式为万( f ) = 【o 。o ，, r t = 。0 ，拉氏变换为三【万( f ) 】= l 。 ( 2 ) 、单位阶跃信号：其数学表达式为厂( f ) = l , t 0 l 或者( f ) = 1 ( f ) ，拉氏变 换为1 ( f ) 】：一1 。 s ( 3 ) 、单位斜坡信号：其数学表达式为厂( f ) = 【t 。, ，t f 0 。，拉氏变换为 l tx1 ( f ) 】了1 。 、一 一 s ( 4 ) 、单位加速信号：其数学表达式为厂( f ) ：j 丢户，f 。，拉氏变换为 10 ，t 0 丢t 2x 1 ( f ) 】= 7 1 。 l s i l l 刎= 南 原系统传递函数为g ( s ) = 夏i 面1 7 石0 干丽3 9 ，其b 0 d e i ! b ns t e p 如匿 3 - 4 、 、7 s ( s + 1 ) ( s + 3 0 ) 3 - 5 所示： 几种新型滞后- 超前补偿器的设计与应用 o l n m - l o o p 和d 且c l l t o r c 图3 - 4 原系统的b o d e 图 a p - 八一一- ) ( l 八二二一 v v 一 5蕾 1 嘲 图3 5 原系统的s t e p 图 由图可知，系统模稳定裕度为1 4 8 d b ，相角裕度为1 9 4 d e g ，截止频率为 5 4 8 r a d s e c ，超调量约6 0 。稳定性、快速性及稳态精度均较差，需加一校正器 进行校正。下面分别采用传统的滞后超前补偿器、组合滞后超前补偿器进行校 正，对比分析校正结果。首先，根据原系统特性确定补偿器的参数，缈肿，= 1 、 o d m 2 - - - 4 、丸1 2 九2 - 4 5 。 3 4 1 传统的滞后超前补偿器与组合滞后超前补偿器之间的比较 取( = 0 9 ，由两种补偿器校正后系统的b o d e 图及s t e p 分别如图3 6 、3 7 及 3 - 8 、3 - 9 所示： 2 7 几种新型滞后超前补偿器的设计与应用 o p e n - l o o pb o d ee d i t o r ( oo p e n - l o o pb o d ee d i t o r ( o l w 洲 一 0 0k m ：4 0 7 dbeq： 9 r a d s e c s t a b l el o o p ： 5 0 ：一 7 d r e q ：1 36 radsecstable ： - 1 - 1 、 、 白印 i 一1 0 u- i o u 一执j i 、 - t ，u 、矽 、 1 、 - 1 例f r 召：1 4 j 傅r a d s e c 呲f r 。06 9 0 2 蛔r a d s e c 一9 n 1o 2 1 0 01 0 21 ，1o 21 0 01 0 21 f r e q u e n c y ( r a d s e c ) f r e q u e n c y ( r a d s e c ) 图3 - 6 补偿璺( 3 2 ) 校正后的b o d e 图 图3 - 7 补偿器( 3 4 ) 校正后的b o d e 图 由图3 6 、3 7 知，补偿器( 3 2 ) 、( 3 4 ) 校正后系统的模稳定裕度、相角裕f 及截止频率分别为啊= 3 2 7 d b ，乃= 2 1 4 d e g ，o j c i = 1 3 6 r a d s e c ；如= 4 0 7 d e 儿= 4 3 9 d e g ，皱2 = 1 9 9 r a d s e c 与原系统相比，均有了显著的改善，较大地击 高了系统的稳定性及快速性。同时，补偿器( 3 4 ) 与补偿器( 3 2 ) 相比，无论模l 定裕度还是相角裕度均有所提高，有着较好的稳定性。且截止频率也较大更好f 提高，系统的快速性。 一_一- - o i ： j 八厂一 1八 l v x ； l x 厂一 一 l ： l 、v一 舶 ， 。 v ， 二二 伸停蕾墨丑 o摹 1 1 01 1 5 一 l b - l e m e t 1 k i n _ 图3 - 8 补偿器( 3 2 ) 校正后的s t e p 图图