（计算数学专业论文）广义逆矩阵中若干问题的研究.pdf

华东师范大学博士论文广义逆矩阵中若干问题的研究 广义逆矩阵中若干问题的研究 摘要 广义逆矩阵的理论和方法不仅是许多数学分支的基本工具，而且在经济学、统 计学、测量学、最优化、信息处理、自动控制、工程技术和运筹学等应用学科中都 有着广泛的应用在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，无约束、 约束规划问题，控制论和系统识别问题，网络问题等等中间，广义逆更是不可缺少 的研究工具另一方面，结合环的代数结构的研究方兴未艾，而环上矩阵的广义逆 则是揭示环的代数结构的有力工具近年来，随着广义逆的理论和计算问题研究的 深入，广义逆矩阵领域遇到了一系列有待解决的理论问题 本文，我们通过使用广义逆矩阵的表示理论和矩阵分解的方法研究解决丁如下 三类问题： 1 广义逆矩阵霹- 的秩等式问题 广义逆矩阵的秩等式问题是广义逆理论中的一类重要问题，它在刻划与各种广 义逆有关的等式时至关重要而常见的广义逆，如m - p 逆、加权m p 逆、d r a z i n 逆、群逆、b o t t d u i 最n 逆以及广义b o t t d u f f i n 逆都是某种指定了值域和零空间的 a 粘逆我们通过使用广义逆雒：的群逆表达式来研究广义逆矩阵的秩等式问题 获得了与一个矩阵a 的t - 2 l 逆雒| 、两个矩阵a ，b 的广义逆a 簧：，碟? s 1 以及分 块矩阵m 的广义逆- m “z t , 2 s ) 的子矩阵有关的秩等式作为推论，我们获得了一系列与 m p 逆、加权m - p 逆、d r a z i n 逆、群逆、b o t t d u f f i n 逆以及广义b o t t d u f f i n 逆有 关的等式的刻画 2 分块矩阵的广义逆中子块独立的问题 分块矩阵的广义逆中子块独立的问题已有许多作者研究，但也遗留了一些未解 决的问题我们通过使用六个矩阵的广义奇异值分解q q q q q s v d ，证明了1 9 9 8 年 发表在s i a mj m a t r i xa n a l a p p l 上的一个猜测 3 除环上矩阵的广义逆问题 除环上矩阵的广义逆对于揭示除环的代数结构以及研究四元数矩阵的广义逆都 具有重要意义我们使用矩阵分解的方法系统地研究了这一问题，建立了除环上矩 阵广义逆的a 譬0 理论，研究了除环上矩阵广义逆的反序问题以及除环上加边矩阵 的广义逆的结构问题四元数体上矩阵的广义逆可以作为特款给出 关键词广义逆鹾：，m p 逆，加权m p 逆，d r a z i n 逆，群逆，b o t t - d u f f i 。 逆，广义b o t t d u f l i n 逆，秩等式，广义奇异值分解，块独立，反序问题，除环 英文摘要 v s t u d y o fs o m ep r o b l e m so ng e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e s a b s t r a c t t h et h e o r ya n dm e t h o d so fg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e sa r ei m p o r t a n tb a s i ct o o l s i na l lm a t h e m a t i c a ld i s c i p l i n e s ，a n dh a v ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si ne c o n o m i c s ，s t a t i s t i c s ， s u r v e y i n g ，o p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e s ，i n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，a u t o m a t i c c o n t r o l ，e n g i n e e r i n g t e c h n i q u e s ，o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n ds oo n g e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e sa r ei n d i s p e n s a b l e s t u d y i n gt o o l si nt h el e a s t s q u a r ep r o b l e m s ，t h er e c t a n g u l a ro ri u - l i n e a r p r o b l e m s ，t h e n o n l i n e a rp r o b l e m s ，t h en o n - c o n s t r a i n e do rc o n s t r a i n e dl i n e a r p r o g r a m m i n gp r o b l e m s ， c o n t r o la n di d e n t i f i c a t i o no fs y s t e mp r o b l e m s ，e l e c t r o n i cn e tp r o b l e m sa n ds oo n o nt h e o t h e rh a n d ，t h es t u d yo f a l g e b r a s t r u c t u r eo fa s s o c i a t i v er i n gi s p r e v a l e n t ，a n dg e n e r a l i z e d i n v e r s em a t r i c e so v e ra r i n g i sa n i m p o r t a n tt o o li nr e v e a l i n ga l g e b r as t r u c t u r eo fa s s o c i a t i v e r i n g - i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h es t u d yo ft h e o r ya n dc o m p u t a t i o no fg e n e r a l i z e di n v e r s e m a t r i c e s ，t h e r ea r eas e r i e so fo p e np r o b l e m si nt h ef i e l d so fg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e s i nt h i sp a p e r ，b ya p p l y i n gt h em e t h o d s o fr e p r e s e n t a t i o no fg e n e r a l i z e di n v e r s em a - t r i c e sa n dt h em e t h o d so fm a t r i xd e c o m p o s i t i o n ，w ew i l ls t u d y a n ds e t t l ef o l l o w i n gt h r e e p r o b l e m so ng e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e s ： 1 t h er a n ke q u a l i t i e sp r o b l e m sr e l a t e dt ot h eg e n e r a l i z e di n v e r s ea # | t h er a n k e q u a l i t i e sp r o b l e m sr e l a t e dt ot h e g e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e sa r ei m p o r t a n t s u b j e c t s i ti sv e r yi m p o r t a n tf o rc h a r a c t e r i z i n gs o m ee q u a l i t i e sr e l a t e dt ot h eg e n e r a i - i z e di n v e r s em a t r i c e s i ti sw e l l k n o w nt h a tm pi n v e r s ea t ，t h ed r a z i ni n v e r s ea v t h e w e i g h t 8 8m - pi n v e r 8 e a l ， v ，t h eg r o u pi n v e r s ea 9 ，t h eb o t t d u f f i ni n v e r s ea 爿a n d t h eg e n e r a l i z e db o t t - d u f i i ni n v e r s ea 封a r ea l lg e n e r a l l z e di n v e r s e 8 a 绍b ya p p l y i n g t h eg r o u pi n v e r s er e p r e s e n t a t i o no f g e n e r a l i z e di n v e r s ea 躲w e s t u d yt h er a n ke q u a l i t i e s p r o b l e m sr e l a t e dt ot h eg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e s w eo b t a i n e ds o m e r a n ke q u a l i t i e sr e - l a t e d 叭h e g e n e r a l i z e dl a v e r s ea 船。fam a t r i xa ，t o t h e g e n e r a l i z e di n v e r s ej 4 路鹾 s 。 o ft w om a t r i c e saa n db a n ds o m er a n ke q u a l i t i e sf o rs u b m a t r i c e si n g e n e r a l i z e dj n v e r 8 e s 华东师范大学博士论文广义逆矩阵中若干问题的研究 v i 。m 。丁t ( s o fap a r t i t i o n e dm a t r i xm a sc o r o l l a r i e s ，w eo b t a i n e ds o m ec h a r a c t e r i z a t i o n sr e - l a t e dt om pi n v e r s e ，t h ed r a z i ni n v e r s e ，t h ew e i g h t e dm pi n v e r s e ，t h eg r o u pi n v e r s e ， t h eb o t t - d u f f i ni n v e r s ea n dt h eg e n e r a l i z e db o t t d u f f i ni n v e r s e 2 t h ep r o b l e m so ft h eb l o c ki n d e p e n d e n c ei n g e n e r a l i z e di n v e r s eo fa p a r t i t i o n e dm a t r i x t h e p r o b l e m so ft h eb l o c ki n d e p e n d e n c ei ng e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e so f p a r t i t i o n e d m a t r i c e sh a v eb e e ns t u d i e sb ym a n ya u t h o r s b u ts o m e o p e np r o b l e m ss t i l la r en o ts o l v e d b ya p p l y i n gt h em u l t i p l eq u o t i e n ts i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o nq q q q q s v d ，w e p r o v e ac o n j e c t u r ea p p e a r e di ns i a mj m a t r i xa n a l a p p li n1 9 9 8 3 t h ep r o b l e m so f g e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e so v e rad i v i s i o nr i n g t h eg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e so v e rad i v i s i o n r i n ga r ei m p o r t a n tf o rs t u d y i n g a l g e b r as t r u c t u r eo far i n ga n dg e n e r a l i z e di n v e r s eo fq u a t e r n i o nm a t r i c e s b ya p p l y i n g t h em e t h o d so fm a t r i xd e c o m p o s i t i o n ，w eo b t a i n e dg e n e r a lt h e o r yo f g e n e r a l i z e di n v e r s e s a 笋l o v e rad i v i s i o nr i n g ，a n ds t u d i e dt h er e v e r s eo r d e rl a w s ) rg e n e r a u z e di n v e r s e s 。f m a t r i c e s ，w ea l s os t u d i e dt h es t r u c t u r eo fg e n e r a l i z e di n v e r s eo fab o r d e r e dm a t r i x a s c o r o l l a r i e s ，t h eg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e so v e rq u a t e r n i o ns k e wf i e l dc a nb eo b t a i e d k e y w o r d s g e n e r a l i z e di n v e r s e a 黔，m - p i n v e r s e ，t h ed r a z i ni n v e r s e ，t h ew e i g h t e d m - pi n v e r s e ，t h eg r o u pi n v e r s e ，t h eb o t t d u f f i ni n v e r s e ，t h eg e n e r a l i z e db o t t d u f l i ni n - v e r s e ，r a n ke q u a l i t i e sp r o b l e m s ，m u l t i p l eq u o t i e n t s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，b l o c k i n d e p e n d e n c e ，r e v e r s eo r d e rl a w s ，d i v i s i o nr i n g 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰写的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作 了明确说明并表示谢意 作者签名日期 加妙够f o 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构迭交论文的电子版和纸质版有权将 学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将 学位论文鸽内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名 导师签名 日期 日期 翮k i 勺 妒o 乒，2 第一章概述 1 1引言 在生产实践和科学研究中，人们经常需要求解一类线性系统 a x = b ，a e m “，o c ”，b g m( 1 1 ) 众所周知，当系数矩阵a 为非奇异矩阵时，方程组( 1 1 ) 有唯一解x = a _ 1 6 ，其 中a _ 1 是满足矩阵方程： a x = x a = ， ( 1 2 ) 的唯一的矩阵x ，称为a 的逆矩阵 当a 为奇异矩阵时，若6 冗( a ) ，则称线性方程组( 1 1 ) 相容，此时方程组 有无数解；若bg 冗( a ) ，此时线性方程组( 1 1 ) 不相容，没有一个z c ”能使方 程组精确相等在实际应用过程中，人们于是想法找一个z c “，使得a x 尽可 能地逼近b 这样的解称为最小二乘解，也即存在c “，使得 l l a x 一6 i | 2 = m i n i l a y b l l 2 ，y c ”( 1 3 ) 对于最小二乘解，人们希望也能象非奇异线性方程组那样，也找到某个适当的矩 阵x ，使得x 的作用和a _ 1 一样，并且当系数矩阵a 为非奇异矩阵时，x 就 是a 这种矩阵我们称为广义逆矩阵，它是通常非奇异矩阵的逆矩阵概念的推 广 广义逆矩阵的概念最早是由e h m o o r e 引进的，1 9 2 0 年他在美国数学会通 报上以摘要形式给出了任意矩阵广义逆的如下定义： 设a c “，则满足 a x = 尸毛( a ) ，x a = p u ( x ) ( 1 4 ) 的矩阵x c “称为a 的广义逆矩阵，记为a ，其中p t z c a ) 和p 氟x ) 分别是 n ( a ) 和r e ( x ) 上的正交投影算子 1 9 5 5 年，英国数学家r p e n r o s e 在剑桥哲学学会学报上发表了题为”广义逆 矩阵”的论文，利用四个矩阵方程，以非常简单、直观的形式给出了广义逆矩阵 的定义，即 华东师范大学博士论文广义逆矩阵中若干问题的研究 定义1 1 【8 】设a g ”“，则满足 ；1a。xa3a x ) ；二；a x ；2 4 ；喜x 篙a ) x ；a ( 1 s ， ( )( 丑= ( )( 日= 、 。 的矩阵x 伊。“称为a 的广义逆矩阵，记为甜 可以证明，以上两个广义逆矩阵的定义是等价的，所定义的这种广义逆，通 常称为m o o r e p e n r o s e 广义逆，简称为m p 逆在m p 逆的基础上，又衍生了其 它许多类型的广义逆设j = 0 ，j ，k 是上面( 1 5 ) 式中 1 ，2 ，3 ，4 的非空子集 合，则所有满足，中条件的矩阵集合称为4 的，逆若，= f 1 ) ，则a 的，逆 通常称为g 一逆，记为a 一或a ( 1 ) 若j = 1 ，2 ) ，则a 的了逆通常称为自反9 一 逆，记为a f 或a ( 1 ，”若j = 1 ，3 ) ，则a 的了逆通常称为最小二乘广义逆，记 为町或a ( 1 ，”若，= 1 ，4 ) ，则a 的，逆通常称为极小范数广义逆，记为a 二 或a ( 1 ，乱 m o o r e - p e n r o s e 广义逆以及所衍生出的其它类型的广义逆有着广泛的用途 根据广义逆的理论，系统( 1 1 ) 相容的充要条件是对某个a 一， 这时，系统( 1 1 ) 的通解为 a a b = b 。= a b + ( ，一a a ) z ， z c ” = t , 0 + 7 ( ，一a a ) = o + ( a ) ， 这里：t o 为( 1 1 ) 的某个特解 当系统( 1 1 ) 不相容时，它的最小二乘解为 。羔+6为(i-蛐a-a叶)z,afb iaa ) z1 2 赞 ( 1 6 ) 2 o c ” 、 其中唯一的极小范数最小二乘解为 z = a t b 上面的( 1 6 ) 式给出了没有任何约束条件的系统( 1 1 ) 的最小二乘解，但实际 上人们经常遇到的是具有约束条件的最小二乘问题例如 咄m i n 。i i a z b l k ，使得c x = d ， 第一章概述 3 其中a g m x n ，b c m ，c c p 一，d c p 由广义逆的理论，我们知道其解集为 m = ( a e ) t ( b a c t d ) + c t d + ( f 一( a e ) t a ) z z 厂( e ) ) 其中 e = i c t c 并且 罢粤i i 4 。一6 1 1 2 2 i i ( s a ( a e ) ) ( a c d b ) 1 1 2 妒= z 1 = c t d + 厂( g ) ) 从上面可以看出，m o o r e t p e n r o s e 广义逆以及所衍生出的其它类型的广义逆彻底 地解决了系统( 1 1 ) 的求解闻题 r p e n r o s e 利用四个矩阵方程来定义广义逆的想法，为广义逆矩阵的研究开 辟了崭新的道路，使得矩阵广义逆理论的研究获得蓬勃的发展沿着这样的思 路，1 9 5 8 年，美国数学家m p d r a z i n 在研究结合环的代数结构时对方阵引进了 一种新的广义逆，现在称为d r a - z i n 逆 定义1 2 【9 设a g “，i n d ( a ) = k ，若n xn 矩阵x 满足 ( 1 ) 小x a = a 女， ( 2 ) x a x = x ，( 1 7 ) ( 3 ) a x = x a 则x 称为a 的d r a z i n 逆，记为a d 特别地，当i n d ( a ) = l 时，我们有 定义1 3 设a c “，若n n 矩阵x 满足 ( 1 ) a x a = a ， ( 2 ) x a x = x ，( 1 8 ) ( 3 ) a x = x a 则x 称为a 的群逆，记为a 。 近五十年来，以上各种类型的广义逆在实际中都得到了广泛的应用它们在 数值分析、数理统计、测量学和最优化等领域发挥着广泛的重要作用在研究最 小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，不适定问题，回归、分布估计、马 尔可夫链等统计问题，无约束、约束、随机规划问题，控制论和系统识别问题， 网络问题等等中间，广义逆更是不可缺少的研究工具随着广义逆矩阵研究的深 入，人们又发现了许多其它类型的广义逆，如加权m p 逆，应用于电网络理论 的限制广义逆b o t t d u f f i n 逆以及广义的b o t t d u f f i n 逆等由于广义逆矩阵的特 华东师范大学博士论文广义逆矩阵中若干同题的研究4 殊重要性，多年来，人们一直对广义逆矩阵的研究充满了浓厚的兴趣，成果不断 涌现，应用逐步深入 综观以上各种类型的广义逆，常见的广义逆，如m p 逆、加权m - p 逆、d r a z i n 逆、群逆，b o t t d u f f l n 逆以及广义b o t t d u f l l n 逆都是满足不同条件的一个 2 卜 逆，b e n - i s r a e l 和g r e v i l l e 1 ，c a m p e l l 和m e y e r f 2 ) ，王国荣【6 j 和魏益民【1 6 】详细地 指出了这些都是具有指定值域t 和零空间s 的( 2 ) 逆，记为雒0 定义l 4 【l 】假设a c “，t 为c ”的予空间，d i m t = s r ；s 为c ”的 子空间，d i m s = m s 那么a 有 2 卜逆x 满足冗( x ) = t ，( x ) = s ，当且仅 当 a t o s = c m( 3 1 ) 且满足此条件的x 是唯一的，称为硝； 由于广义逆a 统一了六类常见的广义逆，因此对a 笋二进行系统的研究更 具有重要的意义陈永林教授 1 1 给出了广义逆硝0 连续性的充分必要条件， 王国荣教授等【1 4 ，15 获得了广义逆a 的子式的计算以及广义逆a 绍的一些 表示，魏益民教授系统地研究了广义逆a 黔，得蓟了广义逆霹的群逆表达式 【1 6 】，广义逆篮0 的分解式【2 0 】并且获得了许多有意义的结果【1 6 2 0 本文第二章系统地研究广义逆鲜0 的秩等式问题这方面的工作起源于 m a r s a g l i a 和s t y a n 的经典文献 4 1 1 最近，田永革博士研究了与m p 逆、d r a z i n 逆、群逆有关的秩等式，获得了一系列有趣的结果 4 2 4 8 】我们的工作则是研究 与广义逆篮0 有关的秩等式问题，给出了与一个矩阵a 的广义逆a 有关的 秩等式，与两个矩阵a ，b 的广义逆雀；，磺 岛有关的秩等式以及与一个分块矩 阵m 的广义逆m 黠的子矩阵有关的秩等式，我们的结论推广了文献【4 1 5 1 中 的有关结论主要结果为 定理2 7 设a c ”假若g c ”使得r ( g ) = t 和( g ) = s 如果 4 有一个 2 卜逆a 鬟j a 笋0 = g ( a g ) 9 = ( g a ) g g ， 那么 特别地， 似啦“黜- r ( 三三) + r c a g ，g a ，一2 r c a g ， a a 笋= a 簧；a 鹄冗( a g ) = 咒( g a ) ，亿【( a g ) 】= 冗 ( g a ) 】 第一章概述 5 定理2 1 1 设a g ”一假若g 使得n ( g ) = t 和h i g ) = s 如 果a 有一个 2 ) 一逆a 熟 那么 a 绍= g ( a g ) 9 = ( g a ) 9 g c ，r c a + a 譬。一 笋。a + ，= r ( a g ( a + 二三二a 。g a 三a t g a * ) 一z r c a g ， r ( 且且笋；一a ( 。2 一) a + ) = r a g ( a a a a + ) g a 】 ( 3 ) a + a 笋| = a 乒i a + 锌n ( a + g a ) n ( g a ) ，t z ( a g a + ) t c ( a g ) + ，a g a a g a = a g a a + g a 定理2 1 3 设a c ”一假设g c “。“使得r ( g ) = t 和( g ) = s 如 果a 有一个 2 卜逆a 熟 a 绍= g ( a g ) 9 = ( g a ) 9 g 那么 ( 1 ) r 【k 士n a t ( 2 ) sj l = r 【a ( g 2 士g a g ) a 一r ( a g ) + m ； ( 2 ) r 一( a 笋) 2 = r a ( g 2 + g a g ) a + r a ( g 2 一g a g ) a 一2 r ( a g ) + m 定理2 1 5 设a c ”假设g c ”“”使得冗( g ) = t 和( g ) = s 如 果a 有一个 2 卜逆a 夥 那么 结果 a = g ( a g ) 9 = ( g a ) 9 g ( 1 ) r ( a 绍士( a 鬟：) 2 l = r a ( g 2 士g a g ) a ； ( 2 ) 雒= ( 椁；) 2 甘a g 2 a ：( a g ) 2 a 有关两个矩阵 ，b 的广义逆簦；，磷 s ，的秩等式，我们获得了下面的主要 定理2 , 2 0 设a c ”“，b c ”，假若g 。c n m ，g 6 c k x m 使得 n ( g n ) = t ，( g 。) = s n ( a b ) = 孔，( 吼) = s 1 如果a 和b 有 2 卜逆a 熟和 磷 ” a 乒：= g 。( a g 。) 9 = ( g 。a ) g g 。， b 冀j s 。= g b ( s a b ) g = ( g 6 a ) 9 g 6 ， 华东师范大学博士论文广义逆矩阵中若干问题的研究 6 那么 特别地， 砌镍一b 蛾卜r ( 瓯g b ) 叫尥，矧叫吼h 鼢， a a 结= 日鹾! s 。讳冗( a g 。) = n ( b g b ) ，冗 ( g 。) + = 冗【( g 6 ) + 咒( g 。) = t ，( g 。) = s , 7 7 - ( g b ) = 噩，h ( g b ) = s i 如果a 和b 有 2 卜逆a 熟和 鹾o a 簧= g 。( a g 。) g = ( g 。a ) 9 g 。， 召_ 研= g b ( b g 6 ) g = ( g 5 a ) 9 g 6 ， r c a 路一日冀! 乳，= r ( 曼g ac b 三a ，g 。善) + r c g a ，一r c g 。， r ( a 一a 翌s 。) = rg a + r ( g a , g b ) - r ( g a ) - r ( g b ) a 譬j = a 鬟j s 。铮冗( g 。) = n ( e 6 ) ，佗 ( g 。) + 】= 冗 ( g 6 ) 】 这里a 绍，a 景s 。是a 的不同的 2 一逆、 关于分块矩阵m 的广义逆。m 。r t 2 s 的子矩阵的秩等式，我们有 定理2 3 0 设m 由( 2 2 3 ) 给出假若g c ( n + k ) ( m + 1 ) 使得 n ( e ) = t ，( g ) = s 如果m 有一个( 2 ) 一逆a 魍， m t t ( 2 j ) s = g ( m g ) 9 = i g m l 9 g 将。m 。t t ( 2 s ) 分块如下， m 。r t ( 2 s ) = m 1 m 2 m 4 这里m 1 c “。”，尬c “，m s 伊。”和尬伊“，则有 嘲旧( 嚣絮1 ) 叫g ， ，jii 第一章概述 7 帆旧( 繁絮2 ) _ r c g ， 偶一( 繁g 孑1 ) - r ( g ， 憾，一r ( 苗絮2 ) 一r c 瓯 这里b = c 厶，。，岛= c 。，如，q t = ( 台) ，q 。= ( ：) 应用上面的定理于常见的六类广义逆，我们得到了一系列有用的推论 本文第三章主要研究分块矩阵的广义逆中子块独立的问题这一问题已有 许多作者研究 7 1 - 7 5 】，但也遗留了一些未解决的问题我们通过使用六个矩阵的 广义奇异值分解q q q q q - s v d 作为工具，证明了1 9 9 8 年发表在s i a m j m a t r i x a n a l a p p l 上的一个猜测我们的主要定理是 定理3 2 1设a c “，b g ”，g g 口。”a n d d g 口”，定义 一( g a 孙 则下列陈述是等价的： ( 1 ) m 的自反g 一逆中子块是独立的； ( 2 ) m 的g 一逆中子块是独立的； ( 3 ) t ( m ) = r ( a ) + r ( b ) + r ( c ) + r ( d ) 从第四章到第六章，我们研究了除环上矩阵的广义逆问题该问题起源于人 们对四元数矩阵和人们对结合环的结构的研究近年来，由于四元数矩阵在力学 中的应用越来越广泛，对四元数矩阵的研究也越来越深入，而四元数矩阵只是一 种特殊的除环上的矩阵，因而研究除环上的矩阵更具广泛意义；另一方面，除环 是非交换的结合环，而结合环的代数结构问题一直是环论研究的中心问题，而环 上矩阵的广义逆是揭示环的内部结构的有力工具，因此研究除环上矩阵的广义逆 对揭示除环结构也有重要意义近年来，环上矩阵广义逆的研究已很深入在交 换环上矩阵广义逆的研究方面，k ，p s r a o a 4 7 r b a p a t 2 5 j 、d r o b i n s o n 2 6 j 等 入在整环、交换环上矩阵广义逆的研究中作了大量工作2 0 0 2 年，k p s r _ a 0 出版了专著”t h et h e o r yo fg e n e r a l i z e di n v e r s e so v e rc o m m u t a t i v er i n g s ”在非交换 环上矩阵广义逆的研究方面，屠伯勋教授【2 8 】、庄瓦金教授 2 9 3 2 】、曹重光教授 【3 3 3 5 】、陈建龙教授【3 6 ，3 7 1 以及r e h a r t w i g 3 8 】、r p u y s t j e n s 3 9 、d h u y l e b r o u c k ， 华东师范大学博士论文广义逆矩阵中若干同题的研究 8 r p u y s t j e n sa n d v a n g e e l 4 0 1 等深入研究了除环、正则环、n o e t h e r i a n 环、a r t i a n 半单环乃至一般结合环上矩阵的广义逆 本文使用不同于其它研究者的方法来研究除环上矩阵的广义逆在第四章 中，我们使用不同于复数域上的方法建立了除环上矩阵的j 广义逆的一般理 论；作为广义逆且是的应用，我们获得了除环上通常短阵的广义逆，如m p 逆、 群逆和d r a z i n 逆的若干新结果本章的主要结果是 定理4 6 设a f m “，t 为p 的右子空间，s 为f ”的右子空间，则以下 条件等价： ( 1 ) 存在唯一的g f m 满足 g a g = g ，r r ( g ) = t ，r ( g ) = s ( 2 ) a t o s = j ”且坼( a ) n t = ( 0 ) 定理4 8 设a 霹1 ”，t ，s 分别是f ”和f m 的右子空间，且有a t $ s = f m 则如下条件等价： ( 1 ) d i m t = s ，d i m s = m s ，其中0 墨8 r ； ( 2 ) 肌( a ) n t = f 0 ) ， 定理4 1 0 设a f “”，t ，s 分别是f “和f m 的右子空间，且有 a t e s = f ”， ( 且) n t ； o 设存在g p 。”使碍岛( g ) = t ，n d a ) = s ，则有i n d ( a g ) = i n d ( g a ) ：1 ， 且有 a 夥= v ( a v ) 口= ( g a ) g g 这里( a g ) 9 表示a g 的群逆 在第五章中，我们将矩阵分鹪的思想引入到除环上矩阵广义逆的研究中，我 们建立了除环上具有相容维数的两个矩阵、三个矩阵的分解定理，为研究除环上 矩阵广义逆问题提供了工具获得的主要结果是 定理5 4 设a f “，b f “”，则存在非奇异矩阵u f m 一，v f p n ， 和we f n 一使得 a = u d a w l ，b = w d 日y 其中 耻( ：) r 1 。， 第一章概述 9 厂f o o 、 i o o o i 如= l ol 0 0 0 r 毛喙p r 2 吃 r 1 一r i r n r l 一 这里r l = r ( a ) ，r 2 = r 3 + r ；= r ( 口) 定理5 6 若f 是一个带有对合反自同构的除环设矩阵c f q “，a f m na n db f m x p ，则存在具有相应维数的非奇异矩阵u ，仇，l ，w 2 和y 使得 其中 c = u d c w l a = w 2 d a w l b = w 2 d b v d a 2 d b = 这里n 呓，鸠 呓，癌 r ； j0 00 0 00 00 00 0 0 00 0 0 0 0 ，0 o0 r 刍嵋，r i ，p r 3 嵋 鸠一 嵋 嚏一 r i 呜 嵋 m r 2 一r i r l = r ( c ) ，r 2 = r i + 砖= r ( a ) ，r 3 = r + 一+ 嵋= r ( b ) 在第六章中，我们使用定理5 4 和定理5 6 作为工具研究了除环上分块矩阵 秩等式的刻划问题、矩阵广义逆的反序问题、加边矩阵广义逆的结构问题以及加 边矩阵广义逆中子块的独立问题其主要结果如下： 定理6 8 设a f ”，b f “，c f q “n 和d f q ”，记 m = ( 三三) r ， 一 r g r 、，一 0 0 n ，o n ， l l e d 他 一 哇疃m 疃 一 、n o o 0 一f o ，0 2 2 r 呓 0 0 0 一 r j 0 o ， ，ii呓 华东师范大学博i - 论9 ： 广义逆矩阵中若干问题的研究 1 0 则下列陈述是等价的： ( 1 ) r ( m ) = r ( a ) + r ( m ) + r ( c ) + r ( d ) ； ( 2 ) r ( a ，b ) = r ( a ) + r ( b ) ，r ( c ，d ) = r ( g ) + r ( m ) r a ，) = rc a ，+ r c c ，r ( 三) = r c b ，+ r c 。， ( 3 ) 7 砩( a ) 。n 冗，( b ) = o ) ，7 k ( ) n 冗，( d ) = ( o ) ， 冗f ( a ) n 冗z ( g ) = ( o ) ，冗f ( 日) n 冗l ( d ) = ( o ) 关于除环上乘积矩阵广义逆的反序问题，我们获得了 定理6 1 2 设a f m x 礼，b f n 口，则下列陈述等价： ( 1 ) m ( i ，2 ) 叫l ，2 ) = ( a b ) i ，2 ) ； ( 2 ) b i ，2 a 1 ，2 ) c ( a b ) 1 ，2 ) ； ( 3 ) 3a = o ；或b = o ；或r ( a ) = n ；或r ( b ) = n 定理6 1 3 设a f “，b f p ，a ，b 的分解式如定理5 4 所示，则有： ( 1 ) b i a i ) ( a b ) ( 1 ) 当且仅当 r ( a b ) = 0 或r ( a ) + r ( b ) 一r ( a b ) = ； ( 2 )( a b ) 1 b l a l 当且仅当 - n m i n m 十r ；，p + t 1 一r j ) ( 3 )且 1 ) a 1 ) = ( a 口) 1 )当且仅当 ( a ) r ( a b ) = 0 且n m i n m + r ( 日) ，p + r ( a ) ) 或 ( b ) r ( a ) + r ( b ) 一r ( a b ) = n 且r ( a ) = 7 n 或r ( s ) = p 关于除环上加边矩阵自反逆的结构和自反逆中子块独立性问题，我们有 定理6 ；2 5c f q “，a6 ，“和b f ”，假设 c ，a ，b ) 的分解式如 定理5 6 所示，m 的自反g 一逆m j 形如( 6 1 4 ) 式则下列条件是等价的； ( 1 ) m 7 ) ( 冒a 7b 。7 ) ； ( 2 ) r i = r j = r ；= 0 ，p = r 3 ，q = r l ，m = n + 嵋，n = r l + 橱； ( 3 ) x t ( a ) n 冗f ( b ) = o ) ，冗，( a ) n 冗，( d ) = ( o ， m ( a ) n m ( g ) = o ，从( a ) n m ( b ) = ( o ) ，r ( b ) = p ，r ( g ) = q 定理6 2 7假设a f “，b f p 和g f q “则下列条件是等价 的： ( 1 )a ，b 和g 在自反逆中子块是独立的； 第一章概述 ( 2 )存在a g a a 2 ，b g 口f 1 ，2 ) 和g g c 1 ，2 l ，使得 a 8 b = 0 ，c a g = 0 ，a c g = 0 ，b g a = 0 ； ( 。) r a 日01 = r ( a ) + r ( 曰) + r f c ) ； c 4 ，r c a ，b ，= rc a ，+ r c b ， r ( 昙) = r c a ，+ rc g ，； ( 5 ) 兄r ( a ) n 冗r ( b ) = o ) ，t z t ( a ) n 冗z ( g ) = o ) 1 2 符号 本文串，我f 将使用下列符号： r n n 维实向量空间 a “ n 维复向量空间 q 8n 维四元数向量空间 r “” m n 实矩阵集合 c “ m n