（电磁场与微波技术专业论文）模式匹配法的应用及波导滤波器设计研究.pdf

摘要 摘要 在传统网络综合技术的基础上，改进了阻抗变换器模型，综合考虑了频率变 化因子，同时利用模式匹配法对波导滤波器的膜片模型进行了精确分析，直接综 合出波导滤波器的尺寸。该方法克服了传统方法设计宽带波导滤波器时误差较大 的缺点，实现了宽带波导滤波器快速准确的设计。 提出一种新型双脊加载e 面插片波导滤波器，在传统e 面插片波导的半波长谐 振腔中周期性加载双脊波导形成紧凑型波导谐振腔。利用模式匹配法对该结构进 行分析，得到基本单元的广义散射矩阵公式，并给出了双脊间距与滤波器谐振频 率的关系曲线。最后设计了几个双脊加载的e 面插片波导滤波器，数值计算结果表 明该结构能使标准e 面滤波器的带外衰减改善1 0 2 0 d b ，尺寸缩短近4 0 。 关键词：宽带滤波器双脊加载e 面波导滤波器模式匹配法 a b s t r a c t a b s t r a c t i i lt h i sp a p e r , a ni m p r o v e di n v e r t e rm o d e li su s e do nt h eb a s i so ft r a d i t i o n a l n e t w o r ks y n t h e s i st e c h n i q u ea n dt h ef r e q u e n c yd e p e n d e n c eo ft h ei r i s e si st a k e ni n t o a c c o u n t i r i sm o d e l so fw a v e g u i d ef i l t e ra r e a c c u r a t e l ya n a l y z e db y m e a n so f m o d e m a t c h i n gm e t h o d ( m m m ) ，a n dt h e nd i m e n s i o n a li n f o r m a t i o nc a r lb ed e t e r m i n e d d i r e c t l y t h i sm e t h o do v e r c o m e st h ed e f e c to fr e l a t i v e l yb i gd e v i a t i o no fw i d e - b a n d f i l t e r sd e s i g n e du s i n gt h et r a d i t i o n a ln e t w o r kt h e o r y ，a c h i e v e sf a s t e ra n dm o r ec o r r e c t s y n t h e s i so fw i d e - b a n dw a v e g u i d ef i l t e r s an o v e le - p l a n em e t a li n s e r tw a v e g u i d ef i l t e rl o a d e dw i t hd o u b l er i d g e si s p r e s e n t e di nt h i sp a p e r t h en e w r e s o n a t o ro ft h ep r o p o s e df i l t e ri sr e a l i z e db yl o a d i n g p e r i o d i cd o u b l e - r i d g e di r i s e s i n t ot h eh a l fw a v e l e n g t hr e s o n a t o r t h eg e n e r a l i z e d s c a t t e r i n gm a t r i x e so ft h ek e yb l o c k sa r eo b t a i n e db ym o d em a t c h i n gm e t h o d t h e r e l a t i o nb e t w e e nd o u b l e - r i d g e dg a pa n dr e s o n a n tf r e q u e n c yi sa n a l y z e d ，f i n a l l y ，s e v e r a l e - p a i n em e t a li n s e r tw a v e g u i d ef i l t e r sl o a d e dw i t i ld o u b l er i d g e sa r ed e s i g n e d t h e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h en o v e lf i l t e rc o n f i g u r a t i o nc a ni m p r o v et h es t o p b a n d p e r f o r m a n c ea b o u t10 t o2 0d b ，a n dr e d u c et h ep h y s i c a ls i z ea p p r o x i m a t e l y4 0 。 k e y w o r d s ：w i d e - b a n df i l t e r s d o u b l er i d g e sl o a d i n ge - p l a n ew a v e g u i d ef i l t e rm o d e m a t h i n gm e t h o d 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：日期： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技火学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的沦文 在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权二f s 。 本人签名： 导师签名：埘塞 同期： r i 期： 少坦量二一一 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 随着现代信息科学技术的高速发展和人民生活水平的日益提高，人们对无线 通信日益多样化的需求推动了g s m c d 姒p h s 3 g w l a n 等无线通信系统的发展，也 带动了微波毫米波通信技术日新月异的进步。由于微波的频率很高，所以在不太 大的相对带宽下，其可用的频带很宽，可达数百甚至上千兆，这是低频无线电波 所无法比拟的。这意味这微波的信息容量大。所以现代多路通信系统，包括卫星 通信系统，几乎无例外的工作在微波频段。另外，微波信号还可提供相位信息、 极化信息、多普勒频率信息。这在目标探测、遥感、目标特征分析等应用中是十 分重要的。 微波电路的理论体系，是二次大战后形成的。到了6 0 年代日臻成熟，之后一 些主要的微波元件，诸如滤波器、阻抗变换器、定向耦合器、阻抗匹配网络、分 路器等都建立了完整的体系，并有了系统的设计方法。但是，近年来随着通信系 统的发展以及微波技术领域中的微波集成电路技术和微波固体器件技术的发展， 使得比较成熟的微波理论又有新的进展，主要表现在： 1 ) 无源电路和有源电路的紧密结合，以满足微波集成电路和微波单片集成电 路( 删i c ) 系统的要求： 2 ) 宽带微波电路理论的进展和系统化： 3 ) 微波电路理论的有进步扩展，从线性扩展到非线性、频域扩展到时域： 微波电路与计算机、计算技术及相应的数学理论相结合，以对其进行计算、 分析、综合、优化、模拟等。 在所有的微波网络中，微波滤波器是最常见的无源元件，是现代微波通信系 统当中的关键部件之一，其用途是抑制不要的信号，而使需要的信号顺利通过。 在微波、毫米波混频器和信道收发器中带通滤波器是不可缺少的电路元件。 对微波滤波器的研究迄今己经有6 0 余年的历史，这方面的文献数量相当多。 矩形波导作为最常用的一种规则金属波导，它同样具有规则金属波导的突出 的优点结构牢固、损耗小、功率容量大，因此广泛应用于厘米波段和毫米 波段。在对矩形波导中的导行波模式和场结构进行分析后我们发现，对于矩形波 导中任意一个模式，只要工作频率高于其对应的截止频率或者是工作波长小于其 对应的截止波长，该模式就可以传输，换句话说矩形波导具有类似于高通滤波器 的特性。实际上利用矩形波导还可以实现带通滤波器。 2 模式匹配法的应用及波导滤波器设计研究 1 2 模式匹配法的发展现状 上个世纪八十年代，欧美发达国家都有这方面的研究小组，其中德国的f a m d t 等人的研究最为活跃，九十年代起，y ur o n g 、h u i w e ny a o 以及k e l iw u 等人 在模式匹配法的研究上也做了大量工作。他们的研究范围从各种不连续性基本单 元到更为复杂的微波器件，这些研究不仅提高了微波、毫米波无源器件的性能指 标，缩短了研制周期，而且还通过设计软件的优化，使这类器件的结构更加实用 化、合理化，使一些以前设计中很难的问题，变得轻而易举就可以解决。这些特 特点充分的体现了模式匹配法在微波、毫米波无源器件设计中的优势。时至今日， 这种数值方法仍在不断被深入研究。 1 9 9 5 年成立的g w t ( g u i d e dw a v et e c h n o l o g y ) 能通过互联网在线对几种波导 滤波器如膜片滤波器、金属插片滤波器、鳍线滤波器等运用模式匹配法进行全波 分析，其分析速度相当快。加拿大的j e n sb o m e m a n n 教授领导的 c a d m i c ( c o m p u t e r a i d e dd e s i g no fm i c r o w a v ei n t e g r a t e dc i r c u i t s ) d x 组将其应用 于波导无源器件的综合c a d 中，出了很多研究成果【l j 【2 】。德国的p e t e r w k r a u s s 和 j a nm r e i t e r l 9 9 8 年创建了m i c i a n 公司，长期致力于模式匹配法的研究【3 】1 4 】，并 开发了电磁场优化和综合c a d 软件。国内对模式匹配法的研究起步比较晚，相关 文献资料也不多。东南大学的洪伟博士和电子十所的甘体国博士在利用模式匹配 法对滤波器的优化设计上做出了一些研究成果【5 1 1 1 。目前国内报道对无源器件的综 合设计主要还是依赖等效电路和h f s s 仿真软件。数值计算的快速性和精确性，以 及其进行优化的灵活性使得它在器件的设计中占据了有利的地位。当今，模式匹 配法与其他数值方法的混合应用1 1 2 1 5 】以及分析介质波导1 1 6 】和光波导器件也是现在 研究的热点。 1 3 微波无源器件设计的主要步骤 使用模式匹配法对微波无源器件进行优化设计的主要步骤如下： 1 、确定微波无源器件的技术指标。 包括器件的工作频率、带宽、插入损耗、阻带衰减、隔离度等等。另外还有 器件的尺寸，功率容量，结构等参数。 2 、确定器件的初始尺寸。 根据技术指标要求，可以通过等效电路的方法确定器件的初始尺寸。初始尺 寸的准确度会影响优化的效率。 第一章绪论 3 、模式匹配法分析。 利用模式匹配法和广义矩阵级联技术，求出器件的广义散射矩阵。把器件分 解成若干基本单元，利用m a t l a b 语言编写单元模块的散射矩阵程序，然后将其按 顺序级联起来，得到整个器件的散射特性。 4 、优化。 给定技术指标的无源器件设计是一个求最优化的问题，可以选择遗传算法等 优化函数进行优化。优化得到的尺寸即为器件的尺寸，得到尺寸后，可以再通过 分析程序进行检验。 微波无源器件结构中的不连续性可以用广义散射矩阵【1 7 】，广义传输矩阵【1 8 】或 广义导纳矩【1 9 】阵来描述。使用广义传输矩阵和广义导纳矩阵的好处是运算量小， 计算速度快，但他们有一个缺点，即当波导段落在某一传播模式的半波长附近， 则模式匹配法的解呈现出不稳定性。在这种情况下，矩阵中的元素可能超出计算 机的数值极限。因此模式匹配法的研究中采用最多的是广义散射矩阵。不连续性 的广义散射矩阵一般通过在不连续处匹配电场和磁场的切向分量而获得。也有采 用在不连续处电场切向分量和复功率守恒的方法来求解，其实这只是在推导广义 散射矩阵时代数处理上的不同，得到的结果是一样的。已经证明【2 0 】，从下列任何 一个方法中导出的关系都可以由另外两个求得： a 匹配横向电场， b 匹配横向磁场， c 复功率守恒。 1 4 研究背景及主要内容 八十年代初期，f a r n d t 、j b o r n e m a n n 等人对模式匹配法的研究做了一些开 创性的工作，主要的研究内容是矩形波导中的不连续性【2 1 - 2 7 】。他们将高精度的模 式匹配法成功地应用于矩形波导滤波器、多工器等无源器件的设计中，所设计的 器件指标高，性能优良，在微波通信、卫星通信中得到广泛应用。他们的研究成 果为以后模式匹配法的发展奠定了坚实的基础。 从此之后，研究者们开始把圆波导、脊波导等系统中更为复杂的不连续性用 模式匹配法分析。这是因为圆波导有较高的q 值，而且差损较小、带宽窄，非常适 合应用在卫星通信当中。而脊波导器件具有单模工作带宽比矩形波导更宽，特性 阻抗较低等优点，此外利用脊波导器件制作的带通滤波器通带的带宽很宽。除了 这些以外，模式匹配法还被应用于微带线、同轴探针等的分析当中。 模式匹配法的优势在于对具有规则几何结构的微波器件进行分析时的精度较 高，速度较快，但是其也有自身的缺点，那就是难于分析任意几何形状结构的不 4 模式匹配法的应用及波导滤波器设计研究 连续性，这恰恰是有限元等数值方法在分析任意几何形状结构的不连续性方面的 优势所在。近几年来，研究者们逐渐将兴趣投入到模式匹配法与其他方法的结合 上，并取得了成功的研究成果。 国内对模式匹配法的研究起步比较晚，相关的文献资料也不多。目前国内报 导无源器件的综合设计主要采用传统的等效电路近似法或采用h f s s 商用软件。前 者设计精度较差，难以满足高性能、高指标要求的场合。后者在分析复杂结构时 受到计算机内存和计算时间的限制。因此，国内研制结构合理，性能指标高的滤 波器、双工器等器件的难度比较大，而且因为这类器件的特殊性( 采购时必须给 出准确的工作频率和带宽) ，从国外采购不但价格昂贵，而且不利于军事领域的 保密。所以系统地研究微波、毫米波无源器件设计中的模式匹配法成为了亟待解 决的问题。 本文在e 面滤波器谐振腔中加入等间距级联的双脊结构，实现了带外衰减快、 尺寸小等优点。利用模式匹配法进行分析，然后设计了几组滤波器，和标准e 面波 导滤波器进行了对比，并给出了h f s s 仿真曲线，数值和仿真结果表明了该结构的 可行性，还研究了该滤波器结构参数的变化对其性能的影响，对波导滤波器的小 型化设计具有重要的指导意义。 第二章波导滤波器的基本理论及模式匹配法 5 第二章波导滤波器的基本理论及模式匹配法 在以往的滤波器设计中我们往往采用传统的感性元素，例如金属杆、横向条 带、横向隔膜等等，它们的结构比较复杂、不利于集成因而很难降低其成本并投 入大规模生产。为了解决这个问题，人们使用微带电路来实现滤波器，但是新的 问题随之而来随着频率的增加，微带的介质损耗明显增大，这在某些信号 强度较弱的场合( 如天馈系统的接收机中的滤波器) 中是不能满足要求的。后来又 有日本学者y k o n i s h i 另辟蹊径，他把适当形式的金属薄片沿着平行于e 面的方向 插入矩形波导中间，这样就组成了一种新的滤波器电路结构一一矩形波导e 面膜片 滤波器【2 8 1 。 b a 图2 1 典型的矩形波导e 型膜片滤波器示意图 如图2 1 所示。其中的w 和l 分别表示每一节金属膜片和谐振腔的宽度。该结构 的品质因数高，在x 波段它的空载q 值达到了2 0 0 0 至2 5 0 0 的数量级，插损低，无需 调谐或仅需微调，它很适合于大批量生产制作，因而一经提出便引起了人们的高 度重视。正因为这种新型的微波滤波器结构具有以往的结构所无法比拟的诸多优 点，对它的进一步研究一直在不断进行当中。 6 模式匹配法的应用及波导滤波器设计研究 2 1 波导不连续性的基本概念 在电磁场理论和微波技术基础课程中，讨论了规则波导理论。规则波导是指 无限长的直波导，在沿波导的轴线方向( 即纵方向) 上，波导的参数( 指横截面 几何形状和尺寸，以及媒质的分布等) 都不改变。但在实际的工程应用中，除了规 则波导以外，还经常要遇到完成一定功能的复杂波导元件和装置。在这些波导元 件和装置中，波导的参数沿纵向变化，称为波导中的不规则性，也常称为波导中 的不连续性。研究波导中的不连续性问题，不但发展了规则波导理论，而且更重 要的是，它具有了工程实用价值。正是由于在波导中引入各种类型的不连续性， 才使设计者构成了能完成各种功能的实用导波系统。 2 2 波导中不连续性问题的解法 规则波导可分为封闭波导和开波导两种类型。封闭波导具有封闭金属屏蔽结 构( 如常见的同轴线，矩形波导或圆形波导，在其内可能存在无穷多个离散波型， 一般包括有限个传输波型( 非消失波) 和无穷多个非传输波型( 消失波) 。开波导不 具有封闭金属屏蔽结构( 如介质波导、h 型波导) ，因此，在开波导中并不存在无穷 多个离散波型。尽管规则的封闭波导和开波导中存在的波型不同，但规则波导都 有一个共同的特点，即在其内存在的一系列波型中，各波型之间是彼此独立的， 它们之间不存在耦合。但在波导中引入不连续性后，这些波型一般不能再单独存 在，而是通过不连续性引起各波型之间的相互耦合产生复杂的电磁场分布。也就 是说，此时在不连续性处必将产生一系列波型，总场只有用所有波型的组合来描 述，才一能满足不连续性处的边界条件。所以，波导中的不连续性问题是电磁场 边值问题的一个重要领域。 求解电磁场边值问题是一个十分复杂的问题，涉及到许多方法和应用数学问 题，必须仔细地加以研究。以上简述了波导中的不连续性问题本质上就是一个 电磁场边值问题。但从波导的作用是传输能量的观点来看，在波导中引入不连续 性后，将使整个波导传输特性发生变化。 微波传输系统中的不均匀区主要由各种微波元件造成。这些微波元件在传输 系统中也称为微波接头或微波结。从应用观点来看，如果只需要考虑不连续性对 传输波的影响，那么就可以将此波导用一段等效传输线来表示，而不连续性对传 输波的影响就可以在此等效传输线上加入适当的等效网络来表示。这样做不仅可 以使所研究的问题比较形象和直观，更重要的是想通过该等效网络模型的建立， 使我们有可能利用己有的网络分析和综合理论来分析和设计各类波导元件。 第二章波导滤波器的基本理论及模式匹配法 7 众所周知，对于较复杂的波导元件( 如微波滤波器、宽带阻抗匹配器等) 来 说，只利用电磁场理论来研究完全可以实现，但却是十分困难的，因此还经常利 用熟知的网络理论( 即等效电路的方法) 进行分析和设计。 圪一。l 一。 图2 2 波导结一般模型 微波结的一般模型可以用图2 2 表示，图中1 ，2 ，、以表示波的进出口，即 波导结与导波系统的连接口，简称为微波结的端口。如果各端口的导波系统都只 传输单模，则微波结的几何端口数等于电气端口数：如果端口的导波系统传输多 模，则电气端口数大于几何端口数。实际上很多情况属于前者，只不过各端口的 导波系统类型可能不同，比如有的端口接同轴线，有的端口接柱面波导等，但它 们都只传输单模。微波结中的媒质参数常常是线性的。在电磁场中，电磁场边值 问题的稳态解是通过解麦克斯韦方程组，并满足边界条件得到的。由解答的特性 来分类，大致可以分为以下三大类： 2 2 1 波导中不连续性问题的严格解法 这是从麦克斯韦方程组和边界条件出发，能够获得严格解的方法。严格解虽然比 较复杂，但在电磁场和工程上占有很重要的地位。在数值计算技术日益发展的今 天，它仍然是人们感兴趣的方法。这是由于以下几个方面的原因： 1 ) 根据边值问题的唯一性定理，严格解的正确性可以通过充分必要条件来检验。 因此，利用严格解可以检验其他近似解或数值解的正确性，也可以用j 几检验测量 设备和方法的正确性。 2 ) 通过分析严格解的表达式可以得到许多电磁理论方面的重要规律和结论。 3 ) 它是许多近似解或数值解法的发展基础，例如几何绕射和微扰法等都是在严格 8 模式匹配法的应用及波导滤波器设计研究 解基础上发展起来的。 2 2 2 波导中不连续性问题的近似解法 它是指对某一实际边值问题所建立的数学模型，用近似解法得到一个其有明 确表达式的解答。例如变分法、微扰法和准静态场法等。这是一种常用的方一法， 现今仍占有重要地位。它的优点为： 1 ) 有表达式，可以研究各参量之间的关系，计算较简便和省时。 2 ) 有些近似法借助计算机，原则上可以得到你所要求的任意精度，当然要受到计 算机容量、速度和舍入误差的限制。 3 ) 某些近似法，如变分法可以估计解的误差范围。 近似解的局限性为： 1 ) 某些解的误差或正确性不易估计。现在对许多近似解的误差己经有了解，或者 己得到一些粗估误差的公式。 2 ) 它的应用范围虽比严格解法已大大扩展，但仍有许多复杂边值问题无近似解， 或虽得到解，但误差太大而无法实用。 2 2 3 波导中不连续性问题的近似解法 这是近三、四十年来发展最快的一种方法。它的突出优点是，原则上适用于 任何复杂的边界问题，且可得到所要求的精度。任何数值解法都是将连续函数离 散化，再解联立方程组或用递推方法得到数值解。边界形状愈复杂或要求精度愈 高，则方程组的阶数愈高或要求的递推次数愈多。综上所述，三种解法各有优点， 它们相互促进，相互补充，不能绝对肯定哪一种。 2 3 等效电路分析波导不连续性 采用微波等效电路方法分析不均匀性，实际上是从不均匀性对传输系统的影 响这一角度考虑问题的。为了说明微波接头对传输系统的影响，我们首先来分析 波从波源传输到微波结不均匀区处的现象。如图2 2 ，设波源发出的波从端u1 输 入，由于微波结不均匀区的边界比均匀导波系统复杂，因此其中的场分布也必然 很复杂，这种场又将在各端口靠近不均匀区的导波系统段k 、坎、圪内( 称为 近区) 内激励起较复杂的场。而k 、k 、圪己属于均匀导波系统部分，根据前 面分析，均匀导波系统中的任意场，均可以用各正规模的线性叠加表示。 这些模式包括该导波系统的主模和高次模。而各导波系统的尺寸只保证单模 第二章波导滤波器的基本理论及模式匹配法 9 传输，其他高次模均很快衰减，因此均匀导波系统段中只有主模可以传输，高次 模则被截止。各端口近区中的这些高次模截止场沿该导波系统轴向按指数规律衰 减，而且这种衰减较快，经过一段不长的传输波导将降到可以忽略不计的程度。 这个位置被作为近区的边界。边界以远的均匀导波系统为远区。参考面可以选在 边界上或远区内。相应于各端口的参考面用正、瓦、瓦表示。 显然，端口1 的远区内有波源的入射波和由不均匀区反射回来的反射波。应 当指出，在一般情况下，各端口的远区内都同时存在着主模的入射波和出射波( 或 透射波) ，这是由于其他端口虽未接波源，但须与另外的导波系统或微波结相连接， 从其他导波系统或微波结反射回来的传输模就形成了该端口的入射波。因此，从 上面的分析可以得出，微波结的不均匀区对微波系统的影响是引起输入端口导波 系统内的反射波和输出端口导波系统中的出射波。 实际上输入导波系统内的反射波就不均匀区来说也为出射波。于是只要知道 微波结接入微波传输系统中所引起各端口的出射波大小( 通常是知道出射波与入 射波的关系) ，微波结的特性就唯一地确定了。 因此工程上有可能采用等效电路的方法，将微波结不均匀性等效为集总参数 网络，称为微波网络。端口的导波系统等效为均匀传输线，并使导行网络在与之 相连接的均匀传输线中所确定的出射波和入射波的关系，与实际的微波结不均匀 区在与之相连接的单模导波系统中所产生的出射波和入射波的关系相同。于是， 场的问题便转化为了路的问题。 在应用微波等效电路分析场的问题时，必须明确以下几点 1 ) 用微波等效网络代替波导结，只能给出各参考面外的出射波和入射波的关 系，即波导结的外特性，不能直接反映不均匀区内部和近区的场分布情况。要想 知道微波结内的场分布，只有解边值问题。 2 ) 确定波导中不连续性的等效网络参量的方法主要有两种：一是用实验的方 法，通过测量技术来确定：二是用场的方法，即通过解电磁场边值问题来确定。对 一个较复杂的波导元件或系统来说，它可能是由若干波导中的不连续性组合构成 的，这样的系统完全用场的方法来分析和设计是困难的，甚至是不可行的。但是， 如果我们将此系统分解为由若干较简单的波导不连续性组成，每一个较简单。 2 4 模式匹配法 本节主要介绍模式匹配法的基本原理，同时给出柱形导波系统中场的描述、 功率归一化及模式分析的通用表达式。通过正交函数展开，对均匀柱状波导中的 场和模式进行了分析，并对电磁场模式矢量的归一化和正交性进行了介绍。通过 l o 模式匹配法的应用及波导滤波器设计研究 一个双端口不连续性网络为例，给出了模式匹配法的分析过程以及双端口不连续 性网络广义散射矩阵的通用表达式。 2 4 1 模式匹配法的基本原理 模式匹配法是基于未知的电场和磁场量用正交级数展开的近似式。正交级数 的类型根据具体情况而定：可以是三角函数( 直角坐标系) ，也可以是贝塞尔函 数和纽曼函数( 柱坐标系) 。一旦求得了展开式的系数，就可以计算场的分布。 在大多数实用情况中，均匀微波传输系统中传输单一模式主模( 如矩形波导 中的t e ，。模) ，除了主模，其他模式均因不满足传输条件而构成凋落模式，并随 距离的增加而迅速的衰减。但是在均匀传输系统突然遇到不均匀性或不连续性， 广义的说遇到了边界条件的变化，单一模式已经不能满足突变处的边界条件。模 式匹配法的主要思想【2 l 】即假定突变处左边场为入射主模、反射主模加上高阶模， 右边场为传输主模加上高阶模，并在突变边界条件处使两边的场相互匹配，从而 满足场的连续性方程，具体如图2 3 所示。 ： - 1 - + p 模式诞配 图2 3 模式匹配法 下面用一个简单的例子说明这种方法【矧。图2 4 给出了两个周期型波形 彳g x 专【0 ，d ，厶g ：虹b ，x ：】c o ，d ，对应的空间周期分别是2 x 。，2 g ：一x ) ， 且当x k 。，恐】时z g ) = 以g ) 。 y oz ) 木水木木五( 工) 厂、 t、 一1 少i 图2 4 周期波形石( x ) 穰( x ) 石g ) 和厶g ) 可以用傅立叶级数表示为： 第二章波导滤波器的基本理论及模式匹配法 1 1 刷= 壹n f f i | m 【刊 ( 2 4 - 1 ) 删= 静s 证( 轰g 一叫 c 2 柏， 女= l“2 一“l 式( 2 4 2 ) 两边同时乘以s i i l i 竺三g 一而) l ，并在b 。，x ：】上积分可得： ，、 l x 2 一 i 1 1 ( 轰，吵陆 。2 4 卸 喜以h 轰如，州轰h 乒 一 根据三角函数的正交性可知，当m 刀时，( 2 - 4 3 ) 式右边积分为零，否则 为孚，因此： 屯= 去h 轰h 吵g 协 ( 2 删 在b 。，x ：】上( 即石g ) 和 g ) 在公共区域匹配) ： 圳= 删2 塾s i n 滢x j ( 2 4 5 ) 结合式( 2 - 4 4 ) 和( 2 - 4 5 ) ，系数k 可以表示为： k = 去塾h 嚣如。州刊出 嗍 系数口。可以类似的求得： 铲上x 2x i 挚= 洫( 轰h 。幔引出 c 2 ， 在无穷级数展开式被截断后，( 2 - 4 6 ) 和( 2 4 7 ) 可以写成矩阵形式并解出系数 之间的关系。值得注意的是，虽然函数z g ) 和 g ) 是未知函数，但它们傅立叶 系数之间的关系却可通过在公共区间匹配展开级数而求得。电场和磁场的切向分 量在不连续面上的匹配与此类似，只不过电场或者磁场是用它们对应的本征函数 来展开的，它们的本征函数也构成一个正交函数系。 1 2 模式匹配法的应用及波导滤波器设计研究 2 4 2 均匀柱波导中的场及模式 均匀柱状波导是指无限长的均匀直波导，即其横截面几何形状、波导壁结构 和所填充的媒质在其轴线方向都不变的波导。均匀柱状波导中的场有许多共性 【2 7 ，在处理这类问题时，一般把沿导波的方向称之为纵向，与其垂直的方向为 横向。如图2 5 所示，选用正交曲线柱面坐标u 、v 和z 为参考系，u 、v 所在的 平面成为横向，用t 表示，波的传输方向z 成为纵向。波在波导中沿z 方向传播， 对于时谐场而言，沿z 方向的传播因子为e x p ( - f z ) ，因此波导中的场矢量解的形 式可以表示成： ( 2 4 - 8 ) ( 2 4 - 9 ) 图2 5 均匀柱状波导 对于v 算子，同样的把它分解成横向算子v ，和纵向算子三善之和，此时麦克 0 2 斯韦旋度方程可以写成如下形式： f v ，+ 三昙1 假+ 丘) ：j o , u ( 重：+ 豆) ( 2 - 4 1 0 ) ( v ，+ 三丢) 恒+ e ) = 一雠幢+ 丘) ( 2 - 4 - 1 1 ) 把横向量和纵向量分开来表示： j c o u b , = v tx 豆协鲁 啦雹t = v t x a z + z j 弘az = v t x 黾t ( 2 - 4 - 1 2 ) ( 2 _ 4 - 1 3 ) ( 2 - 4 - 1 4 ) 【= ：n 卜卜 一一 既 一e 一只 = l i 雷詹 数常 播传 为r中其 第二章波导滤波器的基本理论及模式匹配法 1 3 一j 僦毳z = 弋tx 叠t 用纵向电场丘和磁场覆来表示横向电磁场： 丘= 半v 以m 吉v ，鲁 豆专v 埘+ 吉v ，警 式中七为截止波数 七；= k 2 一卢2 = k 2 + r 2 其中k 为均匀各向同性媒质中的传播常数 k = 肛 在电磁理论中，为了计算方便，还经常采用电、 分量可以表示成： e ：旦如 ( 2 4 1 5 ) ( 2 _ 4 - 1 6 ) ( 2 4 1 7 ) ( r = j , o ) ( 2 - 4 - 1 8 ) ( 2 4 1 9 ) 磁矢量位函数j 。、元，其z h ：k _ l 彳把 则式( 2 - 4 1 6 ) 和( 2 - 4 1 7 ) 所表示的横向电磁场可以写成： 丘：一v ，如三+ 士v ，娑 豆巩以肼击v ，警 ( 2 - 4 - 2 0 ) ( 2 4 - 2 1 ) ( 2 _ 4 2 2 ) ( 2 - 4 2 3 ) 根据电磁场基本理论，并结合式( 2 4 2 0 ) 和式( 2 4 2 1 ) ，可得a 。和4 _ i l ：满 足的标量亥姆赫兹方程： v ；以g ，v ) + 砖以 ，v ) = 0 v ；彳把 ，v ) + 后孑彳k0 ，v ) = 0 ( 2 4 2 4 ) ( 2 - 4 2 5 ) 运用分离变量法，并考虑z 方向上的行波因子，可以得到以上两式的通解 丸 ，1 ，z ) = 如丁 ，) e x r , ( - f z ) ( 2 - 4 2 6 ) 式中彳。、如为丁0 ，v ) a h ：0 ，z ) = 彳砌丁0 ，v ) e x p ( - f z ) ( 2 - 4 2 7 ) 1 4 模式匹配法的应用及波导滤波器设计研究 式中a 册、为幅度系数，丁0 ，1 ，) 为本征函数。如0 ，v ，z ) 和厶0 ，v ，z ) 的表达式 在形式上完全相同，但却满足不同的边界条件。在具体的边界条件下，本征函数 r ( u ，1 ，) 的表达式不同，厶0 ，1 ，z ) 和厶0 ，z ) 实际上是不同的。众所周知，均匀柱 状波导系统中可能存在的波型为e ，= 0 ，h ，0 的的t e m 模式( h 模) 、e ，0 ， h ，= 0 的t m 模式( e 模) 以及e = 0 ，h ，= 0 的t e m 模式。在矩形波导、圆波导等 空心波导中只可能存在t e 及t m 模，而在多导体传输线系统如同轴线中，还存在 t e m 模。对于t e m 模式，其场可以通过麦克斯韦方程出发直接求得。实际上，t e m 模可以由t m 模获得，只要令t m 模满足附加条件e ，= 0 即可。 t e 波的边界条件为金属壁上日的法向导数为零，t m 波的边界条件为金属壁上 e ：为零。由式( 2 4 2 0 ) 、( 2 4 2 1 ) 可见，也可以用厶和厶来描述它们的边 界条件，即：t e 波在金属壁彳。：的法向导数为零 皇垒l ：0( 2 - 4 2 8 ) 锄i ， t m 波在金属壁上a 。为零 彳i s = 0 ( 2 _ 4 2 9 ) 2 4 3 功率归一化 在应用模式匹配法时，为保证不连续面两侧能量守恒，必须对场进行归一化。 对于均匀柱状波导中沿+ z 方向传播的第q 个t e 模式，设其磁矢位为 4 忉= 缆筏e x p ( - f h q z ) ( 2 - 4 3 0 ) 式中下标“h 表示t e 模式，上表“+ 表示沿+ z 方向传播的场，缆为归一化系数， 彳乏为幅度系数，为本征函数，k 为传播常数。 对于t e 模式彳捌= 0 ，将( 2 4 3 0 ) 代入式( 2 4 2 2 ) 、 ( 2 4 2 3 ) 可得： 毳t q = - v t a 均x 2 ( 2 - 4 - 3 1 ) 瓦= 士v ，冬( 2 - 4 - 3 2 ) 该t e 模式所携带的功率为 p = 三2 腽或) 豳 ( 2 4 - 3 3 ) 第二章波导滤波器的基本理论及模式匹配法 1 5 式中。表示共轭。 把式( 2 4 - 3 0 ) 、( 2 4 3 1 ) 、( 2 - 4 3 2 ) 代入式( 2 4 3 3 ) 可得 = 一互1 岛勺, a 把qx 5 ) 讽彳二5 d s = 一生2 j t o 乒蚓2 瑶勺，三) ( v ，砭三炳 j p e ) = 乜e 归一0 雪声( 2 - 4 - 3 5 ) p q = 2 j k o o “u ，蚓2 线王v 五v ，r i , d s ( 2 4 3 6 ) 为分析方便，对每个模式进行归一化，令 犊卜谂p 燃糕 钟， 得到该t e 模式的功率归一化系数 驴赫 3 8 ) z 蛔：竽：掣( 2 - 4 3 9 ) 2 瓦2i 。 类似的，沿+ z 方向传播的第q 个t m 模式的电矢位可表示为 4 叼= 鸽乙e x p 【z ) ( 2 - 4 4 0 ) 利用上式以及= o 求得该模式的横向电磁场，并代入相同的功率表达式 气= 去鼍i 彳三1 2 线上v ，疋g v 。砭栅 ( 2 - 4 - 4 1 ) 厶= 戮1 + 2 ：k2 盘p 救 山， 一丢j 彳三1 2 l 0 凋落模 v 。7 可求得该t m 模式的功率归一化系数 1 6 模式匹配法的应用及波导滤波器设计研究 其中t m 模式波导纳 2 赤 2 舌= 等 2 4 4 双端口网络不连续性的模式分析 ( 2 _ 4 - 4 3 ) ( 2 4 4 4 ) 本节主要通过典型的双端口网络这个实例，阐述模式分析的过程以及推导广 义散射矩阵的一般表达式。 i | a ”_ ! 啼a n + 1 - a 卜j e ；z 一! + 一a 打一。 | r 一 图2 6 双端口网络模式分析图 典型的双端口网络如图2 6 所示，虚线所示的z = 0 的平面为不连续面，记做s ， s 左侧记为i 区，右侧记为i i 区。4 “、4 + 分别表示i 、i i 区中沿+ z 方向传播的模式 的幅度系数，其行波因子为e x p ( - n ) ；a 卜、a 一分别表示i 、i i 区中沿一z 方向传播 的模式的幅度系数，其行波因子为e x p “r z ) 。下面采用模式匹配法对图2 5 所示的 双端口网络进行分析。模式匹配的基本思想是根据在i 区和i i 区的分界面上电场及 磁场的切向分量分别相等，求解界面s 上的广义散射矩阵。与传统意义上的散射 矩阵不同，此处广义散射矩阵的每一个参量s 。、s ，：、s 恐均为矩阵形式，矩 阵的维数取决于不连续性两侧所考虑的模式数量。 在i 、i i 区中，将沿+ z 及一z 方向传播的所有模式考虑在内，磁矢位z 分量彳“、彳+ 可以写作： 铭i = 妻磁b 等e x p ( - 瞄z ) + 铭i - - e x p 畋z ) 】( 2 4 - 4 5 ) 彳2 ：。蟛幻u 。幻up 幻u + c x p r 幻u z ) + 彳罡一e x p z ) 】( 2 - 4 - 4 6 ) g 暑l 类似的，i 、i i 区中的电矢位z 分量彳三、彳竺可以写作 鸽= 主线砭ke x 一呓z ) 一砑e x 娥硼c 4 4 7 ) q = l 第二章波导滤波器的基本理论及模式匹配法 1 7 彳2 ：。蟛叼h 。叼h + e x p ( - 碍z ) 一彳暑一e x p 旧硼( 2 - 4 - 4 8 ) q = l 根据电磁场的基本理论，在s 面上( 此时z = o ) 电场的横向分量e 相等，将式 ( 2 - 2 - 4 5 ) ( 2 - 2 4 8 ) 代入式( 2 - 4 - 2 2 ) ，可得 言1 ( v ，硝三+ 彳) + 击喜醵v t 砭b 彳孑】 = 妻q = l 鲫勺，砖三勋是+ + 彳曷一) + 面1 刍。蟛叼h - 叼v r 础b 2 + + 彳品一】 ( 2 _ 4 _ 4 9 ) 上式两边同时点乘以v ，砭三，然后在sn 上n 9 ，由模式正交性可知，左侧 第一项当且仅当q = p 时不为零，左侧第二项为零，因此 上式写成矩阵形式 式中 q y 加h q f ，m , d 1 + + 4 苦) 朐，呓三) 勺，磁三炳 = 主q = l 鳄0 是+ + 彳曷一) f ( v ，呓三) 勺，础三炳 ( 2 - 4 - 5 0 ) + 面1 刍。i i - 叼i l l r 叼i i + + 刽i i 一) 王( v r 磁三) v ，砖搬 彳：+ + 彳：一= 厶c 4 p + + 彳p 一) + ，0 0 p + + 彳p 一) ( 2 - 4 5 1 ) 彳二= l 嚣彳嚣 彳茹r 彳p + = 阳爿曼彳吕 其中i = ，t 表示转置。 触、心分别表示i 区t e 模式与区刑模式的耦合系数，由式( 2 - 4 5 0 ) 可得： 由矢量恒等式 ( 2 - 4 5 2 ) ( 2 4 - 5 3 ) = 嚣一 斟， j p e ) = e 0 雪) = 豆忙j ) 及( 2 - 4 3 5 ) 得，上式分子的被积函数部分可以作如下变换 勺，砝三) ( v ，础三) = v ，础k ( v ，砝三) j = v ，础眙三，砝 = v ，础v ，呓 一g v ，硝弦】 ( 2 - 4 5 s ) ( 2 - 4 - 5 6 ) 1 8 模式匹配法的应用及波导滤波器设计研究 分母部分作同样处理，只是上下标不同，最后的到： 可以证明 n 胁0 ，g ) =鳄f v ，呓v ，磁h 搬 鱿上v ，呓v , r ：, a s ( 2 - 4 5 7 ) = 去嚣一 阱5 8 ， n k b ，q ) - - 0 ( 2 - 4 - 5 9 ) 类似的，将( 2 - 4 - 4 9 ) 式两边同时点乘以v ，己，并在z = o 的面上面积分得到： 式中 么：+ + 4 一= 心0 p + + 钟一) + 心0 p + + a y 一) ( 2 4 6 0 ) 彳笋= i i i 彳芸】r 其中i = ，口，t 表示转置。 幽、n 。分别表示i 区t e 模式与u 区t m 模式的耦合系数 = 砝筠等喾 喇= 琶一 ( 2 4 6 1 ) ( 2 _ 4 6 2 ) ( 2 4 6 3 ) 前面的步骤中，通过匹配横向电场，得到了i 区、i i 区t e 模式与i i 区t m 模式之间的 耦合系数。根据电磁场的基本理论，在s 面上磁场的横向分量且也相等，将式 ( 2 - 4 4 5 ) ( 2 - 4 - 4 6 ) 代入式( 2 - 4 2 2 ) 可得： 古喜鱿吐v ，砝。嚣一彳) 一喜璐( v ，砭三妇等一篮) = 面1 刍。u - 幻u v ，砖皤 一彳暑一) 一羔础勺，砖三m 2 + 一彳曷一) 仿照横向电场模式匹配的处理方法可得到 吒0 ：+ 一4 一) + 畦0 ，一4 一) = 彳 + 一钟一 三0 ：+ 一4 ：一) = 彳p + 一彳p 一 式中砣，以，n t 为转置矩阵。 ( 2 - 4 6 4 ) ( 2 - 4 6 5 ) ( 2 - 4 6 6 ) 在使用模式匹配分析时，通常用广义散射矩阵把散射波表示成入射波的函数。 第二章波导滤波器的基本理论及模式匹配法 1 9 这可以通过对式( 2 4 5 1 ) 、( 2 - 4 - 5 9 ) 、( 2 - 4 - 6 5 ) 、( 2 4 - 6 6 ) 重新排列并 整理得到： 彳f 彳：一 4 p + 彳p + m + = 叫笨 l 彳 一 ( 2 - 4 6 7 )