（计算数学专业论文）polar形式在计算机辅助几何设计里的应用.pdf

摘要 本文主要讨论p o l a r 形式在计算机辅助几何设计( c a g d ) 中的应用。 我们利用p o l a r 形式实现了三角b d z i e r 曲面和四边b 曲i e r 曲面之间的相互转 化，同时通过应用，我们对p o l a r 形式也有了一个统一、全面的认识；论 文的后半部分考虑了参数曲线曲面间的几何连续性问题。具体说，我们 的主要工作如下： 第一章介绍了曲面造型的发展历程、发展现状以及它的发展趋势，这 是本文选题的主要依据。在1 3 小节，我们给出了论文中要用到的一些基 础知识。 第二章主要介绍了p o l a r 形式的一些基本知识，包括p o l a r 形式的定义、 计算方法以及如何用p o l a r 来表示b g 疵r 曲线曲面。在2 5 小节，我们简要 地介绍了一下b 锄”醯线曲面的位移算子表示形式，这一部分包含我们 对常庚哲工作的一个简单推广。 在第三章，我们通过混合使用p o l a r 形式和b e r n s t e i a 基形式，给出了三 角b d z i e r 曲面和四边b z i e r 曲面之间的相互转化公式。我们利用函数复合 的思想去处理这个问题，被复合的两个函数一个用p o l a r 形式表示，另外 一个用b e r n s t e i n 基形式表示，这样就可以充分利用p o l a r 形式的多元仿射 性，直接生成新的控制顶点，简化了证明过程。在这一章的后半部分， 我们进一步考虑了旨在突破参数域几何拓扑结构限制的广义b d z i e r 曲面 问题。 第四章是关于几何连续性的工作，复杂曲面造型中经常要用到分片的 思想，片与片之间的光滑拼接就成为一个重要的研究课题。几何连续是 一种与具体参数无关的光滑性度量，除了要考虑两片曲面间的几何连续 性，更重要的是要考虑n 面角点处的几何连续性问题。 关键词：p o l a r 形式；b d z i e r 曲面；几何连续；曲面造型 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s ss o n * l ea p p l i c a t i o no fp o l a rf o r mi nc o m p u t e ra i d e d g e o m e t r yd e s i g n s p e c i f i c a l l y , w ea p p l yt h ep o l a rf o r mi nt h ec o n v e r s i o nb e t w e e n t r i a n g u l a rb d z i e rs u r f a c e sa n dr e c t a n g u l a rb d z i e rs u r f a c e s t h i sp r o b l e mh e l p su s t ou n d e r s t a n dt h et h e o r yo fp o l a rf o r mi nah n i f i e dw a y a tt h el a s th a l fo ft h i s p a p e r ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fg e o m e t r i cc o n t i n u i t yo fp a r a m e t r i cc u r v e sa n d p a r a m e t r i cs u r f a c e s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ep r o g r e s so fs u r f a c em o d e l i n g ，i t sc u r r e n t s t a t u sa n di t sf u t u r ed e v e l o p m e n t ，w h i c ha r et h em o s ti m p o r t a n tr e a s o n st oc h o o s e t h et o p i co ft h i sp a s s a g e i nc h a p t e r1 3 ，w ep r e s e n ts o m eb a s i sk n o w l e d g ew h i c h w i l lb eu s e di nt h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fp o l a rf o r m ，t h et h r e e r e p r e s e n t a t i o n so f i ta n dh o wt or e p r e s e n tb d z i e rc u r v e sa n ds u r f a c e sb yp o l a rf o r m i nc h a p t e r2 5 w eb r i e fi n t r o d u c eh o wt or e p r e s e n tb d z i e rc u r v e sa n ds u r f a c e sb y s h i f t i n go p e r a t o r i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eu s ef u n c t i o n a lc o m p o s i t i o nt od e a lw i t ht h ec o n v e r - s i o nb e t w e e n t r i a n g u l a rb d z i e rs u r f a c e sa n dr e c t a n g u l a rb d z i e rs u r f a c e s t h ep o l a r f o r mi su s e da st h er e p r e s e n t a t i o nf o ro n eo ft h ec o m p o s i t ef u n c t i o n s ，w h e r e a st h e b e r n s t e i nr e p r e s e n t a t i o ni su s e df o ra n o t h e rf u n c t i o n a tt h el a s tp a r to ft h i sc h a p t e r l w ec o n s i d e rt h ep r o b l e ma b o u tg e n e r a l i z e db d z i e rs u r f a c e ，w h i c hi sd e f i n e di n a r b i t r a r yc o n v e xp o l y g o n i nt h ec h a p t e rf o u r ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fg e o m e t r i cc o n t i n u i t y t h ei d e a o fp i e c e w i s ei so f t e nu s e di nc o m p l e xs u r f a c em o d e l i n g ，s ot h es m o o t h n e s sc o n d i t i o n sb e c o m ea ni m p o r t a n tq u e s t i o nf o rd i s c u s s i o n g e o m e t r i cc o n t i n u i t yi sak i n d o fs m o o t hm e a s u r e m e n tw h i c hi si n d e p e n d e n c eo fp a r a m e t r i c w es h o u l dt h i n k a b o u tg e o m e t r i cc o n t i n u i t ya tn o d e s ，b e s i d e st h i n ka b o u tg e o m e t r i cc o n t i n u i t yb e t w e e nt w op a t c h e s k e y w o r d s ：p o l a rf o r m ；b d z i e rs u r f a c e ；g e o m e t r i cc o n t i n u i t y ；s u r f a c em o d e l i n g 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：j 4 二羞筝日期：土蛆丛二血 第一章绪论 曲面造型是计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) 和计算 机图形学( c o m p u t e rg r a p h i c ) 的一项重要研究内容，主要研究在计算机图像系统 环境下对曲面的表示、设计、显示和分析它起源于汽车、飞机、船舶等的外形放样 工艺，由c o o n s 、b z i e r 等大师在二十世纪六十年代奠定了其主要的理论基础。 经过四十多年的发展，现在曲面造型已形成以有理b 样条曲面参数化特征设计和 隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合( f i t t i n g ) 、逼 近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的几何理论体系 1 1曲面造型的简要历史回顾 一般工业产品的形状大致可以分为两类或由这两类组成；一类是仅由初等解析 曲面组成，如平面、柱面、锤面、环面等，大多数机械零件都属于这一类，可以由 画法几何与机械制图来表达；第二类由以复杂方式自由变化的曲线魏面组成，随着 计算机的发展，自由型曲线蓝面得到广泛的应用 曲面造型的核心问题是提供既适合计算机处理，且能有效地满足形状表示与 几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学表示方法。 1 9 6 3 年，荧国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先把曲线瞌面表示为参数的矢函数方法， 并引入参数三次曲线，由此开始，曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准 形式1 9 6 4 年，美国麻省理工学院的c o o n s 发表了一种具有一般性的曲面描述方 法，给定围成封闭区域的四条边界就可以定义一张曲面1 9 7 1 年，法国雷诺汽车公 司的b d z i e r 提出了一种由控制多边形设计曲线曲面的新方法，这种方法不仅简单 易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面造型向前推进了一大步， 也为曲线曲面造型的进一步发展奠定了坚实的理论基础1 9 7 2 年，d e - b o o r 给出 了关于b 样条的一套标准算法，g o r d o n 和r i e s e n f i e l d 在1 9 7 4 年把b 样条理论应 用于形状描述，最终提出了b 样条方法，b 样条方法继承了b d z i e r 方法的大部分 优点，又克服了b d z i e r 方法存在的缺点，较成功的解决了局部控制问题，又轻而 易举地在参数连续性基础上解决了拼接问题，从而使自由型曲线睦面的描述问题得 到了较好的解决但随着生产的发展，b 样条方法也暴露出其不足之处：它不能精 确表示圆锥截线及一些初等解析瞌面，为了克服这种缺陷， 1 9 7 5 年美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 首先提出使用有理b 样条方法，后来由于p i e g l 和t i l l e r 等人的 努力，非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法逐渐成为现代曲面造型中最为广泛流行的 技术 n u r b s 方法的突出优点是：可以精确表示二次规则曲线曲面，从而可以用统 大连理工大学硕士学位论文 一的数学方法来表示规则曲面和自由曲面；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使 形状更易于控制和修改，由于n u r b s 方法的这些突出的优点，国际标准化组织 ( i s o ) 在1 9 9 1 年颁布的关于工业产品数据交换的s t e p 国际标准中。将n u r b s 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使n u r b s 方法成为曲 面造型技术发展趋势中最重要的技术 l 2 曲匝造型的现状及趋势 随着计算机图形显示对于真实性、实对性和交互性要求的日益增强，随着几何 设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的目益明显，随着激 光测距扫描仪等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善。曲面造型近几年得到了 长足的发展，这主要体现在研究领域的急剥扩展和表示方法的开拓创新上 1 2 1 从研究领域来看，曲面造型技术已经从传统的研究曲面表示、曲面求交 和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、睦面转化和曲面等距性等 曲面变形( d e f o r m a t i o no rs h a p eb l e n d i n g ) 传统的n u r b s 曲面模型仅允许调整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状， 至多利用层次细化模型在曲面特定点进行直接操作；一些简单的基于参数曲线的曲 面设计方法，如扫掠法( s w e e p i n g ) 、蒙面法( s k i n n i n g ) 、旋转法和拉伸法也仅允许 调整生成曲线来改变曲面形状计算机动画业和实体造型业追切携要发展与曲面表 示方式无关的变形方法或形状调配方法，于是产生了自由变形( f f d ) 法、基于弹陛 变形或热弹性力学等物理模型的变形法、基于求解约束的变形法、基于几何约束的 变形法等曲面变形技术，以及基于多面体对应关系或基于图像形态学中m i n k o w s k i 和操作的曲面形状调配技术 曲面蟹建( r e c o n s t r u c t i o n ) 从曲面上的部分采样信息来恢复原始曲面的几何模型，称为曲面重建采样工 具为激光测距扫描器、医学成像仪，接触探测数字转换器、雷达或地震勘探仪器等 根据重建曲面的形式，可以分为函数型曲面重建和离散型曲面重建 曲面简化( s i m p l i f i c a t i o n ) 曲面简化的基本思想在于从三维重建后的离散曲面或造型软件的输出结果( 主 要是三角网格) 中除去冗余的信息丽又保证模型的准确性，以利于图形显示的实时 性、数据存储的经济性和数据传输的快速性，对于多分辨率曲面模型而言，这一技 术还利于建立曲面的层次逼近模型进行曲面的分层显示、传输和编辑。具体的曲 面简化方法有网格顶点剔除法、网格边界剔除法、网格优化法、最大平面逼近多项 形法以及参数化重新采样法 2 第一章：绪论 曲面转换( c o n v e r s i o n ) 同一张曲面可以表示为不同的数学形式，这一思想不仅具有理论意义，而且具 有工业应用的现实意义例如，n u r b s 这种参数有理多项式曲面虽然具有参数多 项式曲面的一切优点，但也存在着微分运算繁琐费时、积分运算无法控制误差的局 限性，而在曲面拼接及定性计算中，这两种运算是不可避免的这就提出了将一张 n u r b s 曲面转化成近似的多项式曲面问题如在两张参数曲面的求交运算中，如 果把其中一张曲面的n u r b s 形式转化为隐式，就容易得到数值解对曲面转换的 研究主要集中在以下几个方面：n u r b s 益面用多项式曲面来逼近的算法及收敛 性；b d z i e r 曲线曲面的隐式化及其反问题；有理b d z i e r 曲线曲面的降价逼近算法 及误差估计；n u r b s 曲面在三角域上与矩形域上的互相转换 1 2 2 从表示方法来看，以网格细分( s u b d i v i s i o n ) 为特征的离散造型与传统的 连续造型相比，大有后来居上的趋势，这种曲面造型方法在生动逼真的特征动画和 雕塑监面的设计加工中如鱼得水，得到了高度的运用 1 3 基础知识 在这小节，我们将简要地介绍论文中要用到的一些基础性知识 1 3 1 点和向量 我仃】用旁来表示三维欧氏空间( 或称为点空间) ，用r 3 表示三维线性空间( 向 量空间) 任意给定o ，b e 3 ，都唯一存在一个向量口r 3 满足：口= b o ；反正，给 定一个向量u ，却可以存在无数对盘，b ，满足b a = 口 例如，假定a ，b 满足b a = 口，则对任意向量叫，n + w ，b + i t ) e 3 ，并且 ( b + w ) 一( + w ) = u ，a + 刨称为对点n 的t j 平移 r 3 中的元素既可以做加法运算又可以做减法运算，而点空间萨中的元素只 能做减法运算 虽然点空间e 3 中的元素不能做加法运算，但却可以做类似加法运算的重心组 合运算，它是一些点的和，这些点的权因子加起来等于1 n b = 哟b ；e 3 ， 0 = o + t + q n = 1 j = o b 看起来像是一个点，事实上却是点和矢量的和b b o + x ，( b b o ) 1 3 2 仿射映射 定义1 3 1e 3 到e 3 的映射称为仿射映射，如果它保持重心组合不变 设茁= c 2 j a j ；z ，a j e 3 ， 3 大连理工大学硕士学位论文 如果曲是一仿射映射，贝4 有 他= 庐( 0 。) = a j a j ；慨c a j e 3 例如= a x + 就是一仿射映射，其中a 是一个3 3 的矩阵， 是任意给定 的向量 证明：对任意给定的唧，q = 1 曲( q q ) = a ( o r j a j ) + = a j a a j + q u = a j ( a a j + 口) = a j a j 1 3 3 线性插值 设o ，b 是e 3 中的两个不同的点，则 z = x ( t ) = ( 1 一t ) a + t b ；t r 称为通过a ，b 两点的直线，这一直线上的任意点都可以用上式来表示 设莎是e 3 到e 3 的一个仿射映射，则 咖z = 毋( ( 1 一t ) a + t 6 ) = ( 1 一) 妒。+ t c b 上式说明：线性插值是仿射不变的 与线性插值很类似的是重心坐标概念，设。，z ，b 是e 3 中共线的三个点，如果 o = o 口+ 卢6 ；o t + 卢= 1 则口，p 称为z 关于n ，b 两点的重心坐标 13 3m e n e l a o s 定理 m e n e l a u s 定理是很多构造性算法的理论基础，d ec a s t e l j 8 u 在1 9 6 3 年已经阐述了 它的重要性如图 0 l 上上_ j1 ts 图1m e n e l a o s 算法：点c 可以通过对t 或者s 的线性插值求得 4 第一章：绪论 假设 a t = ( 1 一t ) p l + t p 2 a s = ( 1 一s ) p l + s p 2 b t = ( 1 一t ) p 2 + t p 3 b s = ( 1 一s ) p 2 + s p 3 c 是直线a t b 和a s b 。的交叉点，则 i 。( 。“，轨) = 击似 。( c 也) = 高 上面给出的公式是m e n e l a o s 定理在c a g d 中的表现形式，m e n e l a o s 定理原表述 为： r a t i o ( b s ，b t ，p 2 ) r a t i o ( p 2 ，a f ，a a ) r a t i o ( a 。，c ，b 。) = - 1 1 4 本文中我所傲的主要工作 b g z i e r 曲线曲面一般用b e r n s t e i n 基的形式来表示，p o l a r 形式在数学上很 早就存在：一个一元n 次多项式f ( 乱) 唯一对应一个礼变元，每个变元都成线性 变化的多项式f ( u 一，“。) ，f ( u l ，就。) 称为f ( 乱) 的p o l a r 形式，p o l a r 形式 、_ - _ 1 、，。_ _ _ _ ， t t * 由d ec a s t e l j a u 和r a m s h a w 等人引入c a g d 领域，随后得到广泛的应用，论文 中我们通过混合使用b e r n s t e i n 基形式和p o l a r 形式，在三角b d z i e r 曲面和四边 b d z i e r 曲面之间的相互转化研究课题上得到了一个非常简单的转化公式 在复杂曲面造型中，经常要用到分片思想，片与片之间的光滑连接就成为一个 重要的研究课题有两种不同的关于连接的光滑度( s m o o t h n e s s ，又称光顺性) 的度 量，一种是参数连续，另一种称为几何连续性( g e o m e t r i cc o n t i n u i t y ) 论文中，我 们主要考虑的是几何连续性度量，既考虑了两片曲面之间的几何连续性，也考虑了 n 面角点处的几何连续性问题 第二章b d z i e r 曲线曲面的p o l a r 形式和位移算子形式表示 2 1p o l a r 形式的定义 p o l a r 形式由d ec a s t e j a u 和r a m s h a w 等人引入c a g d 领域，他们首先考虑 了在相对简单的b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线中的应用，后又推广到曲面的情况 p o l a r 形式为三角b d z i e r 曲面片的研究提供了一个相当好的工具，但其能否，如果 能的话如何应用到复杂曲面表示中却是一个公开的难题 我们首先给出p o l a r 形式的基本内容，包括多项式的p o l a r 形式表示定理，导 数公式等 定义2 1 1 映射，：r 。一髟称为仿射映射，如果它保持仿射组合不变即 ，( 啦“t ) 一啦，( u t )q l ，- 一，。r 且啦= 1 t = 1t = 1i = 1 钍l ，“。是即中任意m 个点 定义2 1 2 ，：( r 。p 一膨称为礼重仿射映射线统称为多重仿射映射j ，如果 在只有一个变元变化，其它变元保持不变时，映射是2 。l l 定义的仿射映射即 ，( ，q ， 。) = 0 。，( 让一，让印，u 。) i3 定义2 1 3 ，：( r 。) “一剜称为对称的，如果对 l ，2 ，礼) 的任意排列7 r ， 都有 ，( 。( 1 ) ，钍。( 。) ) = ，( u 护一，让n ) 定理2 ，1 1 ( p o l a r 形式定理) ：5 元九次多项式f ：彤_ 岳和n 重仿射、 对称多项式，：( 印) ”一r 。是一一对应的，即给定一种形式，必唯一地存在另一种 形式满足f ( 乜) = ，( u ，u ) ，称为f 的p o l a r 形式f 关于方向f l ，岛的 口阶方向导可由下式求得 们i - 南2 云与m ， 6 ，岛) 例2 1 1 三次多项式f ( u ) = a o + 。l 乱+ a 2 u 2 + a 3 u 3 ，则f ( u ) 对应的p o l a r 形式 ，( 让1 ，u 3 ) 为： ，缸1 ，扎2 ，u 3 ) = o o + 訾( 1 + u 2 + u 3 ) + 警l 让2 十u 2 “3 + u 3 u 1 ) + a 3 u l u 2 u 3 例2 12 二次二元多项式f ( 也，口) = a 0 0 + a l o u + a o l 十口2 0 2 + a l l u 十a 0 2 0 2 ， 则f ( u ) 对应的p o l a r 形式为： f ( u l , u 2 ；v l , v 2 ) = 。0 0 + i a l o ( 让1 + u 2 ) + a f o l ( 1 + 砚) + a 2 0 u l u 2 + a 丁l l ( 札i 刨l + 札l 口2 + “2 甜1 + 扎2 甜2 ) + 盘。2 口l 址 6 第二章：b d z i e r 曲线曲面的p o l a r 形式和位移算子形式表示 定理2 1 2 ( c q 连续定理) ：f ：r 5 一碍和g ：r 8 一r 。是两n 次多项式 u 兄3 ，则f 和g 在u 点c q 连续的条件为，对任意给定的“1 ，r 5 f ( u ，- 一，札，u l ，u 口) = 9 ( u ，钍，“l ，“口) 成立 2 2p o l a r 形式的计算方法 给定一个单变量的佗次多项式，如何求得与它唯一对应的有住个变元，每个 变元都成线性变化的p o l a r 形式，就是这一小节要讨论的问题 设p ( t ) 丌n 为已知的单变量礼次多项式，记b p ( 让1 ，u 。) 为要求的p ( t ) 的 p o l a r 形式，这里主要介绍三种显式求法 2 2 1 用对称的初等函数表示 显然 且n ( u 1 ，- ，t 上n ) = u 1 “2 让n 酬札，。霄 s k ( u 一，u 。) =让 u k ni j o ，1 ) p ( t ) = a k t 6 岛( ，扎。) = a k k ；0 乳( 缸1 ，u 。) ( ：) 可以很简单的证明，上式的右边是对称的，且岛( 钍- ，钍。) 显然满足 岛( 芝二二兰) 2 p ( 也) 、- - 、_ - 所以岛( 札- ，一，u 。) 就是p ( ) 的p o l a r 形式，同时上面的公式证明了多项式p ( ) 的 p o l a r 形式是存在的并且是唯一的 7 大连理工大学硕士学位论文 定理2 2 1 设p ( t ) 丌，。，h 是所有一元几次多项式集合，设 移( t ) = ( 乜1 一t ) ( u n 一) n r1 、n 一 b p 一，让t - ) = 号 p 妨”q ( r ) k= o 证明：首先证明上式右边不依赖于7 - ，即其对r 的微商等于0 砂( “+ 1 1 ( r ) = 0 ，p 似+ 1 ) ( r ) = o n ，1 、n r 右边对r 的导数= ： 1 ( 7 - ) 妒( ”吐( r ) + p ( 6 ( r ) 妒( ”2 删( r ) 】 k = o = 砉鹄兰扩b 旷b ) + 薹生学b 胪川b ) ：壹掣郴v ) _ p ( q 渺删 k = 1 h 、o p ( ( o ) t 。 p ( t ) = k= o 1 。 剐胁) = 耋稻脚h 一胁) 括o ! r1 注意到 。 妒( t ) = ( 一1 ) 2 岛一k ( u i ，) 铲 1 ) n - k 1 】c | ( n - k ( 0 ) 一) ! 第二章：b d z i e r 曲线曲面的p o l a r 形式和位移算子形式表示 最后，我们就可以得到 n 岛( ，乱。) = k = o 2 2 3 用多项式p ( t ) 的根来表示 = 妻譬) ( 0 旷。) 若p ( f ) 可表示为： ) = 学h 叫( r - t ) 则我们可以用矩阵的积和式来表示p ( t ) 的p o l a r 形式 定义2 2 1 设 靠= ( m 玎) 为n 阶方阵，则称 p e r m ( m ) ：= m l m m 为矩阵m 的积和式，其中盯1 ，靠是1 ，2 ，扎的一个置换排列 定理2 2 2 设p ( t ) ，并且 r 。n ：1 是v ( t ) 的根，则 驰圹一胁) = 铲所m ( r i - - u j ) 其中 p 8 r m 帆一嘶，= p 钉m 【三三差i 三三兰；三三兰 i , j = l ，2 ，n 证明：当u 1 = u 2 = 札矗= t 时 p e r m ( n t ) = ( r 1 一t ) ( n t ) - - ( r 。一t ) n 岛( 叫) = 铲h _ c ) ( h 刮_ p ( 。 由p o l a r 形式的存在唯一性可知，命题得证 9 大连理工大学硕士学位论文 2 3 d ec a s t e l j a u 算法的p o l a r 形式表述 d ec a s t e l a u 算法是b d z i e r 曲线的一个最基本的算法，也称为b d z i e r 曲线几 何作图法，它惊人地简单：把一个复杂的几何计算问题化解为一系列的线性运算， 仅使用几何作图也可求得b d z i e r 曲线上的点由于它是一系列线性运算，算法稳 定可靠，易于在计算机上实现从求b g z i e r 曲线上一点的d ec a s t e l j a u 算法又可 引出求b d z i e r 曲线的导矢、分割与延拓算法 b z i e r 曲线的传统表示法不能清晰地表达出d ec a s t e t j a u 算法的几何意义， 从点的标记上无法看出点之间的几何关系，而用p o l a r 形式表示b d z i e r 曲线却可 以很好的解决这一问题 d ec a s t e l j a u 算法的p o l a r 形式表述： 给定b o ，b - ，k e 3 和t 月，记魄= 6 ( o ”b ，l ) ，t 7 表示t 重复r 次 则d ec a s t e l j a u 递9 暑算法可用p o l a r 形式表述为： b ( 0 ”7 一，t 。，1 0 ) = ( 1 一t ) b ( 0 ”州，t 。“，1 d ) + t b ( o “”一，t o 1 ，1 0 + 1 ) 其中r = 1 ，礼z = 0 ，佗一r ，则6 ( t “) 既是曲线上对应参数t 的点 图2 表示了一个三次b d z i e r 曲线的d ec a s t e | j a u 算法，我们发现图中的点和 线的关系可以通过参数来反应，如果点的三个参数中有两个相同而另外一个不同， 那么它们共线点之间的比例同样可以用参数来体现，如( t ，t ，1 ) 位于( o ，t ，1 ) 和 ( 1 ，t ，1 ) 之间的t 分点上，也就是说，当只变化f 中的一个参数时，f 的值在一条 直线上移动 f ( 0 f ( 0 = f ( t ，t ，t ) f ( o ，o ，o 】= f ( 0 jf ( 1 ) = f ( i ，1 1 ) 图2 三次b d z i e r 曲线的d ec a s t e l j a u 算法示意图 2 4用p o l a r 形式表示的b d z i e r 曲线曲面 2 ，4 1b d z i e r 曲线 对给定的多项式曲线f ：r 一眉，考虑如何把f 表示为区间= r ，s 1 上的 l o 第二章： b 4 z i e r 曲线陆面的p o l a r 形式和位移算子形式表示 f ( 让) = m ，“) = s 。- u ，f ( 让，珏，r ) + 兰m ， = 西$ - - u ) 讹，w ) + 2 ( 蓦) ( 等) m ，t 十( 磊u - r ) 2 m ，“，s ，s ) 2 跨4 ( u ) ，( 誓! ，譬誓) ，；u ! 由上面的公式，我们很容易得到f ( u ) 的控制顶点 定理2 4 1 控制顶点定理 = hs 】是任意给定的区间，9 1 , 1 任- - 多项武f ：r 一彤均可表示为关于的 b d z i e r 多项式形式，其b d z i e r 控制顶点为： 6 j = ，( 二，l 誓) n 一1 其中，是f 的p o l a r 形式 2 4 2 三角b d z i e r 曲面 b d z i e r 曲线最直观的推广是三角b 4 z i e r 曲面，对给定的多项式曲面f ：丑2 一 威，考虑如何把f 表示为关于= a ( r ，8 ，t ) 的p o l a r 形式三角b d z i e r 曲面形式就 是我们要考虑的问题。 对v u r 2 ，设u 关于a ( r ，8 ，t ) 的重心坐标为r ( u ) ，s ( u ) ，t ( “) ，即 钍= r ( 茁) 彳+ s ( 铭) s + t ( 铭) t 其中r ( 乱) + s ( u ) + t ( u ) = 1 。则 f ( u ) = ，( “，u ) = r ( u ) ，( 札，一，札，r ) + s ( u ) ，( u ，一，u ，s ) + t ( 乱) ，( 让，一，“，t ) 2 i + j + k = n 州，￥掣掣 ， 并 + 等 = 珏 令 线曲 肌日 s 曲 ， 地 芦 | |1 璺、 筹 h 兰 n j = 跨 中其 大连理工大学硕士学位论文 其中 丑筹( n ) f ，n ，1 心) t s 议计 叼托 定理2 4 2 控制定点定理： = ( r ，s ，t ) 是任意给定的三角形，任一多项式f ：r 2 一群都能表示为关于 的三角b d z i e r 曲面形式，其控制顶点为： b i j k = ，( r ，- 一，r ，s ，s ，t ，t ) 、一、，一、，一 j 央专f 是f 的p o l a r 最；式 图3 是用p o l a r 形式表示的3 次三角b d z i e r 曲面 圉3 三次三角b d z i e r 曲面 2 5b d z i e r 曲线曲面的位移算子表示形式 2 - 5 1 用位移算子形式表示b g z i e r 益线 1 9 8 4 年，常庚哲给出了b d z i e r 曲线的位移算子表示形式，并给出了其任意阶 导数的求导公式在这里，我们将其归结为两个定理的形式，即定理2 , 5 1 和定理 2 52 ，利用这两个定理，经过简单的推导就可以得到b d z i e r 曲线的基本性质，例 如端点插值性，端点处导矢的局部相关性等 定义在【o ，1 上的露次b d z i e r 曲线： n i b n ( ，；z ) = ，( 兰) 骘( z ) l 兰0 其中日? ( z ) 一可芒可一( 1 一。) “一i = 0 ，l ，一，n 令，t = ，( j ) ，则b 。( ，；z ) 由 ( ，。， ，：，n ) 唯一确定， 1 2 第二章； b d z i e r 曲线曲面的p o l a r 形式和位移算子形式表示 定义位移算子e ：e a = + 1 ，则 = e 4 f o ，b d z i e r 曲线就可以用位移算子e 来表示 定理2 5 1 n 次b d z i e r 曲线b 。( ，；贯) 可表示为； 层：( ，；茹) = f ( 1 一。) + 名e r 知，其中f 为恒等算子 证明：由二项式展开定理得 ( 卜妨扭r 矗= 耋磊与( 卜圹v ”e l ，0 = 0o 、。，。 2 蚤耐与( 1 一广锈 = 风( ，；z ) 令a = e 一，既是常见的向前差分算子，则 。= i h l 一 t 由( 1 一z ) ，+ x e = ，+ x a ，得b 。( ，；z ) = ( ，+ x n ) “，0 ， 对( ，+ z ) “求导得 杀( ，+ 删“= 志( i + x a r 咐 利用上式，就可以很容易地得到b 。( ，；z ) 的k 阶导数 定理2 5 2b a ( f ；z ) 的女阶导数基鼠( ，；z ) 是由( a k f o ，a 。f l ，“厶一) 唯 一确定的( n k ) 次多项式 丽d k 巩( ，；z ) = 石l ( i + x a ) “2 矗 2 5 2 用位移算子形式表示张量积b 4 z i e r 曲面 定义在【0 ，1 【0 ，l 】区域上的m n 次b d z i e r 曲面： b m ，n ( ，商) = ，( 豪，；) b m ( z ) 露( 可) i= 0 j = 0 。 记五j = ，( 豪，i ) ，同样最，。( ，；z ，y ) 由 五，j ) 唯一确定 定义位移算子忍：b 岛= + i ，日：马，f ，j = ，j + 1 则五j = 日琏，o ，o 有了前面的定义，我们就可以用忍，毛和，来表示张量积b g z i e r 曲面 定理2 5 3m 几次b d z i e r 曲面b m ，。( ，；z ，y ) 可表示为： b m ，n ( ，；。，y ) = ( 1 一掣) ，+ y e 翻“【( 1 一z ) + e 0 m ，o ，o 式寺的i 为恒等算 | i f i 。j = l 。j 大连理工大学硕士学位论文 定义 。= k 一，贝0 a ； j = 五+ 1 j 一 j ，( 1 一x ) i + 。e = ，+ 。 = 马一，则v ，l j = ， j + 1 一 j ，( 1 一g ) ，+ g 马= ，+ y a 旦。( ，；。，y ) 又可表示为 县。，。( ，；茁，y ) = ( ，十y a ，) “( ，+ x a 。) ”f o o 我们就可以得到b m 。( ，；。，可) 的s + t 阶混合偏导数 定理2 5 4 昱m 。( ，；茹，芗) 的s + t 阶混合偏导数可由下式求得 晦+ t ， f f z - - 乏丽晶舭啪) 。高与( ，+ y a 。) ”( ，+ x a z ) ”“+ i ；南( ，+ 。) ”( ，+ ) “；，o ，。 2 5 3 用位移算子形式表示三角b d z i e r 曲面 对于三角b d z i e r 曲面 b n ( f ，u ，”，叫) = ， k b 0 ，口，训) i = 0 j = o 其中 t ( “，邺) 一揣哪删t i + j + k = 几，0 冬u ，口，叫兰1 ，钍+ 钉+ 刨= 1 定义位移算子 风：既 j ，k = f i + l ， k 一1目：玩，i ， = f i j + l ，女一l 则 舭_ _ = 日最，o m 0 三角b d z i e r 曲面b 礼( ，；u ， ，w ) 就可以由前面定义的位移算子鼠，风和恒等 算子j 表示 定理2 5 5 鼠，屁的定义同上，则三角b z i e r 曲面鼠( ，；u ， ，叫) 可表示为： b n ( ，；， ，钟) = ( 钍玩+ 玩+ 叫，) “，0 ，0 定义。= 厩一i ，氐= 玩一i ，则 u 五 = 十l d ，t 一1 一 ，j ，a 小= ， ，1 + i ，e 一1 一 ，j ， 由珏反+ ”反+ w i = 鼠+ 咎甄+ ( 1 一u u ) = i + u a 。+ v a 。，得 b n ( ，；u ，。，叫) = ( i + u a 。+ v a 。) ”f o 0 。 1 4 第二章： b g z i e r 曲线雎面的p o l a r 形式和位移算子形式表示 一 对上式求混合偏导数 d u n s d v i ( i + “u + ”尸= 百禹( ，+ 让。+ 。) “一s 一： 我们就可以得到昂( ，；u ，“，劬) 的混合偏导数公式 定理2 5 6 鼠( ，；乱，口，叫) 关于“，口的5 + t 阶混合偏导数可由下式求得： 丽d s + tb ；( ，；钍，即， ) = t 高( + 钍。+ 计。) n s t ：，0 舟。 有了上面的表示形式和求导公式， b d z i e r 曲线曲面的一些重要性质就可以很容易 2 6 小结 b d z i e r 曲线曲面般用b e r n s t e i n 基形式来表示，用b e r n s r e i n 基形式表示 b d z i e r 曲线曲面具有形式简单，几何直观等好处，另外b d z i e r 馥线曲面也可以用 p o l a r 形式和位移算子形式表示，每一种表示形式都有它独特的优点，例如用位移 算子形式表示可以很方便的计算出b d z i e r 曲线曲面的任意阶导数；用p o l 甜形式 表示b d z i e r 曲线曲面可以充分利用其多元仿射性 第三章定义在任意凸多边形上的多边b d z i e r 曲面 3 1三角b d z i e r 瞳面和四边b 6 z i e r 曲面的共性和差异 三角b g z i e r 曲面和四边b d z i e r 曲面在计算机辅助几何设计( c a g d ) 领域都 有着广泛的应用，这两种形式的曲面有着不同的基函数和不同的几何拓扑结构，但 它们却具有很多共同的性质 三角b d z i e r 曲面具有三角形的几何拓扑结构，其基函数为： 倒i 撕, j , k ，叫) 2 ( i ，i 七) 如其中”卅一1 f l 十j + k 一； 四边b d z i e r 曲面具有四边形的几何拓扑结构，其基函数为： s t ( s ) ：f ? 陬l s ) 一t o