（计算数学专业论文）多元样条的力学意义与自适应数据分析的某些研究.pdf

摘要 1 9 4 6 年，i j s c h o e n b e r g 系统地研究了一元样条函数，并指出一元3 次样条函数的 力学观点，即弹性细梁在集中载荷作用下小挠度弯曲变形曲线的数学模型，这也是样 条函数命名的由来 1 9 5 7 年，j c h o u a d a y 证明了自然3 次样条函数插值的最光 滑性质，即自然3 次样条插值函数使得梁的弯曲势能取极小因此，样条函数与力学之 间有着天然的联系1 9 7 7 年，j d u c h o n 从约束优化角度出发，以泛函的观点对一元 样条作了多元推广，满足插值条件并令弯曲能取极小，得到二维情形下的所谓薄板样条 ( t h i n - p l a t es p l i n e ) 它本质上已不是分片多项式意义下的样条函数，而是一种径向基函 数1 9 7 5 年，王仁宏教授从分析相邻两片多项式之间光滑性与整除性的关系入手，引入 光滑余因子”及协调条件”建立了任意剖分上多元样条的基本理论框架，开创了研究 多元样条的代数几何方法3 0 多年来多元样条已取得丰富的研究成果，但在这一框架 下，多元样条与力学的联系尚未建立随着样条函数在有限元法、c a g d 、函数逼近、 数据分析、科学与工程计算等领域的广泛应用，建立多元样条的力学背景成为一项值得 研究的课题 本文首先从弹性力学及板壳理论出发，建立了多元样条与力学的联系研究所涉及 的剖分包括矩形剖分、1 一型三角剖分及一般三向剖分等，外力包括力偶、均布载荷及集 中载荷等多种情形，恰反映了多元问题的复杂性主要成果如下； 采用力学分析方法构造性地建立了矩形剖分上一类二元样条空间与薄板纯弯曲之间 的对应关系，并指出这一样条函数在剖分线上的一阶光滑性恰好对应薄板在力偶作用下 转角的连续性，二阶导数的不连续性恰好对应力偶作用线的两侧内弯矩的间断( 符号相 反) ，内网点上的协调条件则对应薄板真实变形曲面的唯性或单值性 建立了1 - 型贯穿三角剖分上一类3 次l 阶光滑的二元样条与简支多边形薄板弯曲 之间的对应关系这一结果突破了外载荷取常量的限制，而使其成为关于两个坐标的线 性函数该结果等价于边界固定的多边形薄膜在适当分布载荷作用下的变形情况 由一元等距剖分上4 次样条函数与分段均布载荷作用下弹性细梁弯曲的关系出发， 推广到二元情形，得到正三角剖分上一类特殊的二元样条函数，其表达式恰为胞腔的三 条边方程及外接圆方程之积，揭示其中蕴含着黄金分割这一自然界中常见的现象，并对 多元样条的变分性质作了初步探讨 非线性非平稳信号处理( 或数据分析) 是近年来数据分析领域的热点问题 f o u r i e r 分析是经典的数据分析方法，要求数据平稳或分段平稳，且只适用于线性系统小波分析 是一种非平稳数据分析方法，但其本质上是一种可调窗f o u r i e r 谱分析方法，需要事先选 定基函数，一旦选定小波基底，只能用这组基来分析所有的数据，因此小波分析并不是自 适应的，也只能用来分析线性系统h h t ( h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ) 是一种能适用于非 多元样条的力学意义与自适应数据分析的某些研究 线性、非平稳信号的数据分析方法，由经验模态分解( e m d ) 及h i l b e r t 谱分析( h s a ) 两 部分组成这一方法不同于f o u r i e r 分析，不是采用预先确定的基函数，而是通过e m d 从信号本身分解出一组自适应的基底( 固有模态函数，i m f ) 因此该方法更适合处理复 杂的非平稳信号，但e m d 本质上是个算法，是一种经验性的方法，严格的理论基础 尚未建立h h t 数学理论基础的建立及向高维的推广是亟待解决的公开问题在这一 热点领域，本文主要做了如下探索z 依据梁的弯曲和随机振动微分方程对随机样条作了更进一步的研究，指出其力学意 义鉴于e m d 未能充分考虑数据的随机性，我们尝试用随机样条插值作均值包络，在 统计意义下对随机数据进行自适应分析，给出了随机e m d 算法，并进行了数值实验 从二元样条与薄板弯曲的关系入手，对二元i m f 展开研究，给出了二元i m f 及弱 i m f 的定义，并尝试建立二元固有模态函数( i m f ) 与平板振动问题或一类偏微分方程解 之间的联系 关键词多元样条；二元样条；薄板弯曲；随机样条；自适应数据分析 i i s o m er e s e a r c h e so nt h em e c h a n i c a lm e a n i n go fm u l t i v a r i a t e s p h n 鹪a n da d a p t i v ed a t aa n a l y s i s a b s t r a c t i n1 9 4 6 ，i j s c h o e n b e r ge s t 批h e dt h eb a s i ct h e o r yo fu n v a r i a t es p l i n es y s t e m a t i - c a l l y , a n dp o i n t e do u tt h em e c h a n i c a lv i e w p o i n to fs p l i n ef u n c t i o n s ，t h a ti s ，ac u b i cs p l i n e s ( x ) c o r r e s p o n d st ot h ed e f l e c t i o nc u r v eo fa no r d i n a r y ( i n f i n i t e ) b e a mu n d e rt h ea c t i o n o fs u i t a b l ec o n c e n t r a t e dl o a d s ，w h e r et h en a i n e s p l i n ef u n c t i o n i sf r o m b a s e do nt h e a b o v ev i e w p o i n ta n dp r i n c i p l eo fm i n i m u mp o t e n t i a le n e r g y , j c h o l l a d a ys h o w e dt h a ta n a t u r a lc u b i cs p l i n ei st h es m o o t h e s tc u r v ew h i c hm i n i m i z e st h ep o t e n t i a le n e r g yi n1 9 5 7 s ot h e r e 跚en a t u r a lr e l a t i o n sb e t w e e ns p l i n e sa n dm e c h a n i c s i n1 9 7 7 j d u c h o ng e n - e r a l i z e ds p l i n e sf r o mi dt on db a s e do nc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n a n dg o tt h e8 0c a n e d t h i n - p l a t es p l i n e ，ar a d i a lb a s i sf u n c t i o nw i t h o u tp i e c e w i s ef e a t u r e s ，w h i c hm i n i m i z e s t h eb e n d i n ge n e r g yo fat h i np l a t ea n ds a t i s f i e st h ei n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o n s i n1 9 7 5 ，r h w a n gi n t r d u c e dt h e s m o o t h i n gc o f a c t o r ”a n d “c o n f o r m a l i t yc o n d i t i o n s b ya n a l y z i n g t h es m o o t h n e s sa n dd i v i s i b i l i t yo ft w op o l y n o m i a l so v e rt h et w oa d j a c e n tc e l l s ，a n dc r e - a t e dt h es oc a l l e d “a l g e b r a i cg e o m e t r ym e t h o d ”t os t u d yt h eb a s i ct h e o r yo fm u l t i v a r i a t e s p l i n e so i la r b i t r a r yp a r t i t i o n s f r u i t f u la c h i e v e m e n t so fm u l t i v a r i a t es p l i n e sh a v eb e e n o b t a i n e da f t e rm o r et h a n3 0y e a r s r a p i dd e v e l o p m e n t s ，b u tt h er e l a t i o n sb e t w e e nm u l - t i v a r i a t es p l i n e sa n dm e c h a n i c sh a v en o tb e e ne s t a b l i s h e d w i t ht h ew i d e l ya p p l i c a t i o n s o fs p l i n e si nt h ef i e l d ss u c ha sf e m ，c a g d ，f u n c t i o na p p r o x i m a t i o n ，c o m p u t e rg r a p h i c s ， d a t aa n a l y s i sa n ds oo n ，t oe s t a b l i s ht h em e c h a n i c a lb a c k g r o u n do fm u l t i v a r i a t es p l i n e s b e c o m e sam e a n i n g f u la n dw o r t hs t u d y i n gw o r k i nc h a p t e r2 ，w ee s t a b l i s h e dt h er e l a t i o n s m p sb e t w e e nm u l t i v a r i a t es p l i n e sa n dm e - c t l a n i c sb a s e do nt h et h e o r yo fe l a s t i c i t ya n dt h e o r yo fp l a t e sa n ds h e l l s t h el o a d sa c t i n g o i lt h ep l a t e si n v o l v e dc o u p l e s ，d i s t r i b u t e dl o a d sa n dc o n c e n t r a t e dl o a d s ；t h ep a r t i t i o n s i n v o l v e dr e c t a n g u l a rp a r t i t i o n ，t y p e - 1t r i a n g u l a t i o n sa n dg e n e r a lt h r e ed i r e c t i o nm e s h e s 纬蚴j u s tr e s p o n dt h ec o m p l e x i t yo fm u l t i v a r i a t ep r o b l e m s ，m a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： m a k i n gu 8 eo fm e c h a n i c a la n a l y s i sm e t h o d b ya c t i n gc o u p l e sa l o n gt h e i n t e r i o re d g e s w i t hs u i t a b l ee v a l u a t i o n s ，t h ed e f t e c t i o ns u r f a c ew a sd i v i d e di n t op i e c e w i s ef o r m ，t h e r e f o r e ， t h er e l a t i o nb e t w e e nac l a s so fb i v a r i a t es p h n e so nr e c t a n g u l a rp a r t i t i o na n dt h ep u r e b e n d i n go f t h i np l a t ei se s t a b l i s h e d i na d d i t i o n ，t h ei n t e r p r e t a t i o no fs m o o t h i n g c o f a c t o r a n dc o n f o r m a l i t yc o n d i t i o nf r o mt h em e c h a n i c a lp o i n to fv i e wi sg i v e n f u r t h e r m o r e ， i i i 多元样条的力学意义与自适应数据分析的某些研究 b yi n t r o d u c i n gt w i s t i n gm o m e n t s ，t h em e c h a n i c a lb a c k g r o u n do fa n ys p l i n eb e l o n gt ot h e a b o v es p a c ei ss e tu p w ee s t a b l i s h e dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nac l a s so fb i v a r i a t es p l i n e so nt h r e ed i r e c t i o n m e s h e sa n dt h eb e n d i n go fs i m p l ys u p p o r t e dp o l y g o n a lt h i np l a t e i nt h i sc a s e ，w eb r e a k t h er e s t r i c t i o no fe x t e r n a ll o a d sm u s tb ec o n s t a n tq u a n t i t ya n dt a k et h e m 的l i n e a rf u n c t i o n o fz ，i e ， 厶= 死( z ，y ) 1 k sr e s u l ti se q u i v a l e n tt ot h ed e f l e c t i o ns u r f a c eo fa u n i f o r m l ys t r e t c h e dm e m b r a n ea c t e db ys u i t a b l ed i s t r i b u t e dl o a d s f r o mt h er e l a t i o nb e t w e e nu n i v a r i a t eq u a r t i cc ss p l i n eo ne q u i d i s t a n tk n o t sa n d b e a mb e n d i n ga c t e db yp i e c e w i s eu n i f o r m l yd i s t r i b u t e dl o a d s ，g e n e r a l i z i n gt o2 d ，w e g o ta s p e c i a lk i n do fb i v a r i a t es p l i n e so v e rr e g u l a rt r i a n g u l a t i o nw h i c hi m p l i e st h eg o l d e ns e c t i o n i nt h ep i e c e w i s ea l g e b r i cc u r v e sd e t e r m i n e db yt h e m w ea l s od i s c u s s e dt h ev a r i a t i o n a l p r o p e r t yo fb i v a r i a t es p l i n e s h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ( h h t ) i sa na d a p t i v ed a t aa n a l y s i sm e t h o df o rn o n l i n - e a ra n dn o n - s t a t i o n a r yd a t a ，w h i c hc o n s i s t so ft w op a r t s ：e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i - t i o n ( e m d ) a n dh i l b e r ts p e c t r a la n a l y s i s ( h s a ) i h eb a s i so fh h t i sn o tp r i o rd e t e r m i n e d 锵f o u r i e ra n a l y s i s ，b u tg e n e r a t e db ye m db a s e do na n dd e r i v e df r o mt h ed a t a ，w h i c hi s c a l l e di n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n s ( i m f ) t h eh h t sp o w e ra n de f f e c t i v e n e s si nd a t aa n a l - y s i sh a v eb e e nd e m o n s t r a t e db yi t ss u c c e s s f u la p p l i c a t i o nt om a n yi m p o r t a n tp r o b l e m s b u ti ti se n t i r e l ye m p i r i c a la n ds u f f e r sf r o mal a c ko fg e n e r a l l ya c c e p t e dt h e o r e t i c a lf r a m e - w o r k t os e tu pt h em a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o no fh h ti sa l lo p e np r o b l e mn e e dt ob e s o l v e de m e r g e n t l y c h a p e r3i n v e s t i g a t e sr a n d o md a t aa n a l y s i sb ye m d f i r s t b a s i n go nt h eb e n d i n g a n ds t o c h a s t i cv i b r a t i o no fb e a m ，f u r t h e rr e s e a r c ha n dt h em e c h a n i c a lm e a n i n go fr a n d o m s p l i n e sw e r eg i v e n o w i n gt oe m dn o ts u f f i c i e n t l yc o n s i d e rt h er a n d o m n e s so fd a t af r o m n o n l n e a ra n dn o n - s t a t i o n a r ys y s t e m s w et r yt ou s er a n d o ms p l i n et oc o i 玛t r u c tt h em e a n e n v e l o p ea n da n a l y z ed a t aa d a p t i v e l yi nt e r m so fs t a t i s t i c s n l er a n d o m - e m dm e t h o d w a sp r e s e n t e da n ds o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sw e r ed e m o n s t r a t e d c h a p t e r4a n a l y z e st h eb i d i m e n s i o n a li m f sb a s e do nt h er e l a t i o n sb e t w e e nb i v a r i a t e s p l i n e sa n db e n d i n go f t h i np l a t e s t h ed e f t n i t i o n so fb i d i m e n s i o n a li m fa n dw e a k - i m f 8 w e r eg i v e n t h er e l a t i o n sb e t w e e nb i d i m e n s i o n a li m f sa n dv i b r a t i o no ft h i np l a t e so ra c l a s so fp d ew e r et r i e dt ob ee s t a b l i s h e d k e y w o r d s ：m u l t i v a r i a t es p l i n e ；b i v a r i a t es p l i n e ；b e n d i n go ft h i np l a t e ；r a n d o ms p l i n e ； a d a p t i v ed a t aa n a l y s i s i v 主要符号对照表 对某单连通区域的剖分 次数不超过k 的二元多项式的集合 剖分上k 次p 阶光滑样条空间 剖分上带齐次边界约束的k 次p 阶光滑样条空间 连续分布载荷的强度 集中载荷 板在z 方向上的位移分量，挠度 拉压弹性模量 泊松比 板在垂直于z 轴的截面的单位长度上的弯矩 板在垂直于y 轴的截面的单位长度上的弯矩 板在垂直于z 轴的截面的单位长度上的扭矩 板在垂直于n 方向的截面的单位长度上的弯矩 施加于板相应截面上的力偶 概率空间中的样本点 随机事件的概率 v 舢讼 ， 巩踯掣g p 硼e y尥坞尬u伊 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 工 作者签名：j ! 二霉绛才日期：礁过：2 ：2 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定力，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 导师签名玉z 宠 f ，钐 导师签名筮兰盈 第一章绪论 本文的研究内容主要以多元样条函数为主线，又涉及部分弹性力学、板壳理论及数 据分析方法等方面的基础知识因此，首先在本章中简要介绍近些年来多元样条的主要 研究结果与进展，其中包括光滑余因子方法、b 网方法和b 样条方法等，并对本文的选 题及主要工作做简要说明而弹性力学、板壳理论及数据分析方法等相关内容作为预备 知识放在后面各章中介绍 1 1 多元样条函数简介 所谓样条函数( s p l i n ef u n c t i o n ) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项式函 数。 1 9 4 6 年，数学家i j s c h o e n b e r g 1 】较为系统的建立了一元样条函数的理论基础 但是，s c h o e n b e r g 的工作刚开始时并未受到重视从6 0 年代开始，随着计算机科学与 技术的飞速发展，样条函数成为现代科学与工程计算等多个领域的重要工具签于客观 事物的多样性和复杂性，多元样条函数的研究无疑也是十分重要的在过去的三十几年 里，多元样条函数在理论方面迅速发展，取得了丰富的成果并得到广泛应用现在，它在 计算机辅助几何设计、小波、有限元及数据分析等领域中均有较为重要的应用一般而 言，多元样条研究的主要方法有：光滑余因子方法、b 网方法及多元b 样条方法其中 光滑余因子方法适用于任意剖分上多元样条的研究，b 网方法和b 样条方法只适用于 某些特殊剖分，原则上，后两种方法均可从光滑余因子方法导出我们将在下文对它们 做简要的介绍，光滑余因子方法是本文研究的基础，将作重点介绍 1 1 1 光滑余因子方法 1 9 7 5 年，王仁宏教授【2 】采用函数论与代数几何的方法建立了任意剖分下多元样条 函数的基本理论框架，并提出所谓的光滑余因子协调方法”采用这种方法，多元样条 函数的任何问题都可以转化为与之等价的代数问题研究 设d 为r 2 中的一区域，以p 知记二元k 次实系数多项式集合个二元多项式p 称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它复多项式可整除代数曲 线 r ：l ( x ，y ) = 0 ，2 ( z ，y ) p k ， 称为不可约代数曲线，如果2 ( z ，y ) 是不可约多项式用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，将剖分记为，d 被分为有限个子区域d - ，d n ，它们被称为d 的胞腔 形成每个胞腔边界的线段称为网线，网线的交点称为顶点，同一网线的两个顶点称为相 邻网点以某一顶点y 为顶点的胞腔的并集称为顶点y 的关联区域或星形区域，记为 1 多元样条的力学意义与自适应数据分析的某些研究 s t ( v ) d 上的关于剖分的二元k 次p 阶光滑样条函数空间定义为 碟( ) = s c p ( d ) ：s i 风p k ，i = 1 ，) 基于代数几何中b e z o u t 定理，王仁宏得到了多元样条函数光滑连接的条件表现为如下 定理， 定理1 1 1 ( 【2 】) 设s 磁( ) ，趿与岛是剖分的相邻胞腔不可约代数曲线 f ：z 扛，y ) = 0 是压与岛的一条公共网线，只= s l d l ，p j = s i d j ，则有 只一马= ( f ( z ，可) ) p + 1 9 ( z ，3 ) ， 其中，g ( z ，y ) p 七一“+ 1 ) d 称为网线f 上的光滑余因子，此处d = d e g ( 1 ) 我们将位于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点如果一条网线的内 部属于区域d 内。则称此网线为内网线，否则称为边界网线设u 为任一给定的内网点， 钐的关联区域s t ( v ) 有个胞腔d 1 ，d l v ，功与b 的公共网线记为f o ：l i ( x ，y ) = 0 ，i = 1 ， 啦( z ，箩) k ( 霸可) 时1 。0 ， ( 1 1 1 ) i = l 其中， 吼( z ，y ) p k 一( p + 1 ) 血，画= d e g ( 1 1 f ) ，公式( 1 1 1 ) 称为样条函数s ( z ，y ) 在内网点t j 处的协调条件若样条函数在所有的胞腔上均为同一多项式，则称其为退化的下面定 理称为样条函数的存在性定理： 定理1 1 2 ( 【2 】) 对于给定的剖分，多元样条函数s ，y ) 磁( ) 存在的充要条件 是在每个内网线上均有一光滑因子存在，且在每个内网点处满足协调条件( 1 1 1 ) 由此，可以建立多元样条函数的一般表达形式设区域d 被剖分分割为如下有 限个胞腔d 1 ，d n 任意选定个胞腔，例如d l 作为源胞腔，从d l 出发，画一流向 图c ，使之满足； 1 e 流遍所有的胞腔d l ，d 各一次 2 0 穿过内网线的次数不多于一次 3 c 不允许穿过网点 流向图口所经过的内网线称为相应于口的本性内网线其它的内网线则为相应于 口的可去内网线显然可去内网线与本性内网线只是一个相对概念设：l o ( x ，寥) = 0 为口的任意一条本性内网线，将从原胞腔d l 出发，沿d 前进时，只有越过r u 后才能 进入的所有闭胞腔的并集记作u r 去，将d 在越过之前所经过的各胞腔并集记为巧， 称u r 去u r 6 为网线r 巧的前方，记作 ( 如) 2 大连理工大学博士学位论文 定义1 1 1 设如：b ( z ，y ) = 0 为相应于流线亭的任一条本性内网线，多元广义截 断多项式定义为 撕肛 p 馏z , y m ) ef 骸蹦 u1 z t ，】d 厶( 工。 1 由此，有如下样条函数表现定理t 定理1 1 3 任意8 群( ) 均可唯一地表示为 s ( x ，) = p ( z ，! ，) + 岛( z ，可) 纩1 ( z ，3 ) ，( z ，y ) d ， ( 1 1 2 ) d 其中p ( x ，y ) p k 为s ( x ，y ) 在源胞腔上的表达式，d 表示对所有本性内网线求和 在文献【4 】中，王仁宏给出了任意维的样条函数框架这些结果与上面结果类似 光滑余因子的方法可以研究任意剖分下的多元样条函数空间多元样条的一些问题， 例如维数问题，最终可归结为对协调条件的研究特别地，对于一种较为实用的剖分， 贯穿剖分( 用有限条直线对区域d 进行的剖分称为贯穿剖分) ，利用上述方法，能较容易 的得到该剖分下样条空间的维数与基底。 出m 鹾( ) = 叼( 七) 4 - e r ( k p + 1 ) + y 7 7 ( 七一2 p 一2 ) 且空间鹾( ) 中的任意元素可表示为 此处，e 为剖分中直线数目，y 为内网点数目，当仇o ，叼( m ) = ( m + 2 ) ( m + 1 ) ，否 则，7 ( m ) = 0 剖分。称为贯穿剖分，如果该剖分的所有网线由一些贯穿区域d 的直线切割而成 个贯穿剖分。称为简单贯穿剖分，如果在每个内网点处只有两条贯穿线相交舢 表示矩形剖分，可以在一个开矩形域d = ( z ，y ) l a z 6 ，c y d ；a ，b ，c ，d 研 上由如下直线族z 一筑= o ( i = 1 ，m ) 和y 一协= o ( j = l ，n ) 生成，其中 o = ：g o z 1 z m z m + 1 = 6 ，c = y o y l 铷 铷+ 1 = d 百萄数 s ( x ，y ) 磁( ) 称为非退化的二元样条，如果s ( x ，3 ，) 至少有一个非零的光滑余因子基 于上述理论，我们有如下结论 推论1 1 1 ( 【2 】) 若剖分。为贯穿剖分，则非退化的多元样条函数s ( z ，y ) 醭( c ) ， k p4 - 1 恒存在对任一矩形剖分懈，非退化的多元样条函数s ( z ，y ) 碟( 撇) ， k t + l 恒存在 3 + p y z + p y z 卜：、 y zr y：if + + p y z l = iy z 吼 e ：i + y z p = y zs 多元样条的力学意义与自适应数据分析的某些研究 在矩形剖分上，二元样条的如下表达式成立 推论1 1 2 ( 【2 】) 任一s ( z ，y ) 碟( m n ) 均有如下唯一的表达式阳芦 分别是p ( 1 ) 和p ( 1 - ) 关于t 和于的 b & i e r 坐标，则p ( r ) 与声( r ) 之间伊光滑拼接的充要条件是 舐= 蝌( ) ，s = 0 ，1 ，7 - ( 1 1 4 ) 其中，宇是侥关于t 的面积坐标，”= ( 8 ，入2 ，a 3 ) ，a 2 + a 3 = n s 1 1 3 多元b 样条 b 样条方法起源于c u r r y 和s c h o e n b e r g 关于一元样条的工作，是定义b 样条的几 何方法这种方法本质是研究高维空间的多面体在较低维空间投影的测度函数一元b 样条是由c u r r y 和s c h o e n b e r g1 9 6 6 年引入的 1 9 7 6 年d eb o o r 将其推到多元样条 但这种几何定义的推广，不便于理论研究，直到便于理论研究的泛函形式出现后，多元 b 样条的研究才开始活跃起来多元b 样条的泛函形式的推广有多种形式，如单纯形样 条，b o x 样条，锥样条等分别由m i c c h e u i ，d eb o o r ，d a h m e n 等人给出m i c c h e l l i ，d e b o o r ，d ev o t e ，d a h m e n 等在这方面作了大量的研究工作与上面方法相比，b 样条方 法对剖分的要求更为严格，通常为均匀的剖分但b 样条方法在理论上较为完善，且与 许多不同的数学学科都有着深刻的内在联系下面我们作一简单介绍 令v = | 饥，lsi 礼 cr | ，其中婊可重复，使得s p a n v = r o 多元b 样条 0 ：i v ) 定义为 rr n m 。, ( x l v ) f ( x ) d x = 伽( ) ，( 乏：t , v , ) d t ，w c o ( 矸) 其中出= d t l 出n ，q 为r n 的凸区域 若取伽( t ) = n ! ，q = 伊，则由此定义的b 样条就是m i c c h e u i 引入的单纯形样条，记 为m ( x l v ) 若取加( ) = 1 ，q = 【0 ，1 ) n 且0 譬v 则由此定义的b 样条就是d eb o o r ，d e v o t e 引入的b o x 样条，记为b ( x l v ) 若取锄( t ) = 1 ，q = 霹且0 簪v ，则由此定义的b 样条就是d a h m e n 引入的锥样条，又称为多元截断幂，记为t ( x w ) 下面以b o x 样条为 例，介绍多元b 样条的基本性质 6 大连理工大学博士学位论文 定理1 1 8b o x 样条b ( x v ) 具有如下性质。 j s u p p b ( x l v ) = 【：l t i v i ，0 如1 ) ； 见b ( z i y ) 的函数值非负，且在支集内部严格大于d 3 b ( x v ) 是次数不大于n s 的分片多项式 彳令p = m i n 【礼( y ) 1 8 p a n ( s v ) 彤卜一2 ，则b ( = i v ) 是p 阶光滑的 5 b ( x l v ) 幸b ( x l w ) = b ( x l vu ) 关于多元b 样条更为详细的介绍，可参见【1 1 - 1 3 1 2 本文的选题和主要工作 本文以多元样条为主线，涉及弹性力学、板壳理论、数据分析等交叉学科，主要在 如下两个方面展开研究。 1 2 1 多元样条与力学 1 9 4 6 年，i j s c h e o n b e r g 在文【1 】中系统的研究了一元样条函数，并指出一元3 次 样条函数正是工程绘图员经常用到的细长木条在压铁控制下小挠度弯曲变形曲线的数学 模型，这也是“样条函数”命名的由来1 9 5 7 年，j c h o u a d a y 证明了自然3 次样条函 数插值的最光滑性质，即自然3 次样条插值函数使得梁的弯曲势能取极小因此样条函 数与力学之间有着天然的联系，也是我们初学样条函数时基本的入门知识，c a g d 中相 当一部分常用的曲线，例如：三次参数样条曲线、三次b 样条曲线、张力样条曲线等都 可以看成在三次样条函数基础上的某种改型1 9 7 7 年，j d u c h o n 1 5 】从约束优化角度出 发，以泛函的观点对一元样条作了多元推广，得到二维情形下的所谓薄板样条( t h i n - p l a t e s p l i n e ) ，作为经典径向基函数的一种已被广泛应用于多个领域，本质上它已不是分片多项 式意义下的样条函数1 9 7 5 年，王仁宏教授 2 1 从研究相邻两片多项式之间的光滑性和 整除性入手，引入光滑余因子”及协调条件”建立了任意剖分上多元样条的基本理 论框架，开创了多元样条研究的代数几何方法，3 0 多年来已取得丰富的研究成果，但在 这一框架下，多元样条与力学的联系尚未建立随着样条函数在有限元法、c a g d 、函 数逼近、数据分析、计算力学等领域的广泛应用，建立多元样条的力学背景成为一项值 得研究探索的课题 1 2 2 数据分析方法研究 数据分析方法巳成为现代科学中的个分支，在各个科学技术领域，如t 航空航天、 汽车、火车，机械工程、地震工程、电子及通信工程和土木建筑等均有广泛应用 7 多元样条的力学意义与自适应数据分析的某些研究 非线性非平稳信号处理( 或数据分析) 是近年来数据分析领域的热点问题f o u r i e r 分析是经典的数据分析方法，由于平稳、分段平稳的要求，且只适用于线性系统，其应 用有一定的局限性小波分析是种非平稳数据分析方法，自上世纪8 0 年代以来受到学 术界的广泛关注并逐渐成熟，但其本质上是一种可调窗f o u r i e r 谱分析方法，需要事先选 定基函数，一旦选定小波基底，只能用这组基来分析所有的数据，因此小波分析不是自 适应的，也只能用来分析线性系统【1 6 ，1 7 1 h h t ( h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ) 是1 9 9 8 年由n e h u a u g 1 6 1 及其合作者提出的一 种能适用于非线性，非平稳信号的数据分析法这一方法不同于f o u r i e r 变换，不是采用 预先确定的基函数，而是通过e m d ( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，经验模态分解) 从 信号本身分解出一组各不相同的基底，即分解结果具有自适应的特点，因此该方法更适合 处理复杂的非平稳信号，是一种更具适应性的时频局部化分析方法近十年来，h h t 成 功应用于海洋、大气、生物医学、金融、故障诊断等多个领域的数据分析中但e m d 本质 上是个算法，是一种经验性的方法，缺乏严格的数学理论基础2 0 0 3 年，n e h u a n g r r l 等在由s i a m ( s o c i e t yf o ri n d u s t r i a la n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ) 及c a i m ( c a n a d i a n a p p l i e da n d i n d u s t r i a lm a t h e m a t i c ss o c i e t y ) 联合组织的研讨会上，总结了h h t 研究进 展中遇到的一些突出的问题，并向数学界请求援助近五年来，有关这方面研究论文不 断涌现，可以说，自适应数据分析方法( 包括h h t ) 的理论及应用研究正方兴未艾，继续 往更复杂更广泛、更本质的层次深入但该方法属经验性方法，严格的理论基础尚未建 立，h h t 数学理论基础的建立及向高维的推广是亟待解决的公开问题 本文首先从弹性力学及板壳理论出发，建立了多元样条与力学的联系，研究所涉及 的剖分包括矩形剖分、1 型三角剖分及一般三向剖分等，外力包括力偶、均布载荷及集 中载荷等多种情形，恰反映了多元问题的复杂性其次针对h h t 中e m d 未充分考虑数 据随机性的缺点，讨论了随机数据分析的相关问题，建立了随机e m d 算法，最后从二元 样条的力学背景出发直接推广研究了二元固有模态函数( i m f ) 与平板振动问题的联系 主要工作如下， 1 采用力学分析方法构造性地建立了矩形剖分上一类二元样条空间与薄板纯弯曲之 间的对应关系并指出这一样条函数在剖分线上的一阶光滑性恰好对应薄板在力偶作用 下转角的连续性，二阶导数的不连续性恰好对应力偶作用线的两侧内弯矩的间断( 符号相 反) ，内网点上的协调条件则对应薄板真实变形曲面的