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摘要 双正交小波的提升分解的研究 陈冬君 摘要由于小波的成功应用，数学分析和信号处理领域引入了许多构造小波的 方法。w i r es w e l d e n s 提出的提升格式就是小波构造方法之一。提升格式从时域的 角度来构造小波，基本思想是通过有限步预测和更新来构造小波滤波器。它是建 立小波分解的一种非常灵活的工具。提升格式可以构造二代小波，也就是利用提 升将小波变换分解成有限步的提升过程，将第一代小波变换映射到第二代小波变 换。提升格式是小波变换的另一种实现方法，但信号经过变换后的特性取决于信 号本身的特性和所用的小波函数。另外，二代小波在解决边界、非均匀采样、复 杂曲面等传统小波没办法解决或很难解决的问题时具有极大的优越性。 传统小波滤波器的多相矩阵可以分解为多个矩阵的乘积。这些矩阵可以看作 是预测算子和更新算子。用提升格式实现小波滤波的一个重要的优点是它把滤波 器问题分解为一些基本的步骤，不仅其中每一步都是可逆的，并且逆变换非常简 单。本文着重讨论了l 2 空间中双正交小波滤波器的提升格式及小波的提升分 解。本文中引用的结论大都是此方面的经典结论。他们代表了此领域的研究水平 和发展方向。在此基础之上，本文作者推广了部分结果，同时也给出了一些新的 结果。本文共分三章。 第一章是绪论。本章第一部分综述了小波分析的产生与发展，第二部分介绍 了小波分析中的重要概念多分辨分析的概念及其性质。第三部分介绍了小波 分解与重构算法，便于与后面的提升分解与重构算法进行比较。所以列出了此结 论。最后阐述了本文的主要工作。 第二章首先说明了提升格式提出的必要性及其优点，然后介绍了有关小波的 提升格式的理论。小波的提升格式是小波构造方法之一。提升格式可以构造第二 代小波，也就是利用提升将小波变换分解成有限步的提升过程，将第一代小波变 换映射到第二代小波变换。而且所有能够用m a l l a t 算法实现的小波变换都可以用 提升格式来实现，并且算法更快，更简洁。提升格式的基本思想是通过有限步预 测和更新来构造小波。接着又介绍了自适应的小波提升格式的设计方法。最后总 结了基于提升格式的小波变换方法的四大优点。 第三章第一部分介绍了双正交多分辨分析的概念与性质。第二部分介绍了双 正交小波滤波器的多相位矩阵。并介绍了利用l a u r e n t 多项式的e u c l i d 算法对双 正交小波滤波器的多相位矩阵尸( z ) 进行因子分解。第三部分通过双正交小波滤波 摘要 器的多相位矩阵p ( z ) 的因子分解，给出小波变换的提升实现算法即其提升格式， 并以双正交对称紧支撑小波为例，把小波分解变换与重构变换表示成提升步骤的 形式。对任意有限长度滤波器，多相位矩阵的因子分解提供了确定小波变换提升 步骤的一种简单方法。但这种分解存在极大的不唯一性。由于正交小波所对应的 低通滤波器系数不满足对称性，即不存在线性相位，这一点在图象处理中受到较 大限制。而双正交小波滤波器系数可以是对称的，因此具有线性相位。 关键词：提升格式；双正交小波：多相位矩阵；提升分解 , a l 塔u a c l o nt h el i f t i n gf a c t o r i z a t i o no fb i o r t h o g o n a lw a v e l e t s c h e nd o n g j u n a b s t r a c tb c c a u s co ft h es u c c e s sa p p l i c a t i o n so fw a v e l e t s ，s e v e r a lm e t h o d so f b u i l d i n gw a v e l e t ss p e e du pi nt h ef i e l do fm a t h e m a t i c sa n dt h ef i e l do fs i g n a lp r o c e s s i n g t h el i f t i n gs c h e m ed i s c o v e r e db yw i ms w e i d e n si so n eo ft h e m t h el i f t i n gs c h e m e b u i l d sw a v e l c t si nt h et i m e - f i e l d i t sb a s i ci d e ai st oc o n s t r u c tw a v e l e tf i l t e r sb yf i n i t e p r e d i c to p c r a t o r sa n du p d a t eo p e r a t o r s i ti sas m a r tt o o lt ob u i l dw a v e l e tf a c t o r i z a t i o n s t h es e c o n dg e n e r a t i o nw a v e l e tc a nb ec o n s t r u c t e db yt h i ss c h e m e ，t h a ti sm a p p i n gt h e f i r s tg e n e r a t i o nw a v e l e tt ot h es e c o n dg e n e r a t i o nw a v e l e tb yu a i n gl i f t i n gt of a c t o rt h e w a v e l e tt r a n s f o i t ni n t of i n i t el i f t i n gs t e p s t h el i f t i n gs c h e m ei saw a yo fr e a l i z i n g w a v e l e tt r a n s f o r m s ，b u tt h ep r o p e r t i e so ft h et r a n s o f i m e ds i g n a la r ed e c i d e db yt h e p r o p e r t i e so ft h eo r i g i n a ls i g n a l f i n a l l y , o nt h ep r o b l e m so fe d g e s ，n o n e q u i s p a c e d s a m p l i n g , d i f f c u l tc u r v e sa n ds oo n , w h i c ht h et r a d i t i o h a lw a v e l e t sc a nn o td i v i d e ，t h e s e c o n dg e n e r a t i o nw a v e l e t sh a v el o t so fa d v a n t a g e s t h ep o l y p h a s em a t r i c e so ft r a d i t i o n a lw a v e l e tf i l t e r sc a l lb ef a c t o r e di n t op r o d u c t so f s e v e r a lf n i t em a t r i c e s t h e s em a t r i c o sc a nb er e g a r d e da sp r e d i c to p c r a t o r sa n du p d a t e o p e r a t o r s o n ei m p o r t a n ta d v a n t a g eo fu s i n gt h el i f t i n gs c h e m et or e a l i z ew a v e l e t f i l t e r i n gi st h a ti tf a c t o rt h ef i l t e ri n t os o m eb a s i cs t e p s e a c ho fw h i c hi si n v e r t i b l ea n d i t si n v e l 翟gt r a n s f o f i l li sv e r ys i m p l e i f it h i sp a p c r ，t h el i f t i n gs c h e m ea n dt h et i f f i n g f a c t o r i z a t i o uo fb i o r t h o g o n a lw a v e l e tf i l t e r sa r ed i s c u s s e d t h ec o n c l u s i o n sv o t e di nt h i s p a p e ra r ec l a s s i c a lc o n c l u s i o n si n t h i sf i e l d t h e ys t s t e dt h er e s e a r c hl e v e la n dt h e p r o c e e d i n gd i r e c t i o n a tt h eb a s eo ft h i s ，t h i sp a p e re x t e n ds o m eo ft h ec o n c l u s i o n sa n d g i v es o m en e wr e s u l t sa tt h es a m et i m e t l i l i sp a p c ri sc o n s i s t e db yt h r e ee h a p t e r s 1 r h cc h a p t e r1i sa ni n t r o d u c t i o n t h ef h - s tp a r to ft h i sc h a p t e rs u m m a r i e st h e e m e r g e n c ea n dd e v e l o p m e n to ft h ew a v e l e ta n a l y s i s t h es e c o n dp a r ti n t r o d u c e st h e i m p o r t a n tc o n c e p t i o ni nt h ew a v e l e ta n a l y s i s t h ec o n c e p t i o na n dt h ep r o p e r t i e so f m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s t h et h i r dp a r ti n t r o d u c e st h ea l g o r i t h m so fw a v e l e ta n a l y s i s a n ds y n t h e s i ss oa st ob ec o m p a r e dw i t ht h ea l g o r i t h m so fl i f t i n ga n a l y s i sa n d r e c o n s t r u c t i o n f i n a l l y , t h ef o r t hp a r ts t a t e st h ec o n s i s t e n c eo ft h i sp a p e r t h ec h a p t e r2s t a t e st h en e c e s s i t ya n da d v a n t a g e so ft h el i f t i n gs c h e m ef i r s t l y t h e n t h et h e o r ya b o u tt h el i f t i n gs c h e m eo fw a v e l e t si si n t r o d u c e d t h el i f t i n gs c h e m eo f w a v e l e t si so n eo ft h em e t h o d st oc o n s t n l c tw a v e l e i s i tc a nc o n s t r u c tt h es e c o n d g e n e r a t i o nw a v e l e t t h a ti sm a p p i n gt h ef i r s tg e n e r a t i o nw a v e l e tt ot h es e c o n dg e n e r a t i o n w a v e l e tb yu a i n gl i f t i n gt of a c t o rt h ew a v e l e tt r a n s f o r i l li n t of i n i t el i f t i n gs t e p s a n da l l t h ew a v e l e tt r a n s f o r m sr e a l i z e db ym a l l a ta l g o r i t h mc a nb er e a l i z e db yt h el i f t i n g s c h e m e f u r t h e n n o r et h i sa l g o r i t h mi sf a s t e ra n ds m a r t e r i t sb a s i ci d e ai st oc o n s t m c t w a v e l e tf i l t e r sb yf i n i t ep r e d i c to p e r a t o r sa n du p d a t eo p e r a t o r s a f t e r w a r d , i n t r o d u c e s t h ea d a p t i v el i f t i n gs c h e m eo fw a v e l e td e s i g n i nt h ee n d f o u ra d v a n t a g e so ft h ew a v e l e t t r a n s f o r mm e t h o db a s e do nt h el i f t i n gs c h e m e t h ec h a p t e r3 ，i nt h ef i r s tp a r t ，t h ec o n c e p t i o na n dt h ep r o p e r t i e so fb i o r t h o g o n a l m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i si si n t r o d u c e d t h es e c o n dp a r tn o t e st h ep o l y p h a s em a t r i c e so f b i o t h o g o n a iw a v e l e tf i l t e r s p ( z ) a n di n t r o d u c e st h ee u c l i d e a na l g o r i t h mo fl a u r e n t p o l y n o m i a l t h e nu s i n gt h ea l g o r i t h mt od i v i d et h ep o l y p h a s em a t r i c e so fb i o t h o g o n a l l a b s t r a c t w a v e l e tf i l t e r s t h et h i r dp a r tg i v e st h el i f t i n ga l g o r i t h ma l s oc a l l e dt h el i f t i n gs c h e m eo f b i o t h o g o n a l w a v e l e tf i l t e r s b yu s i n g t h ed i v i s i o no ft h e p o l y p h a s em a t r i c e s o f b i o t h o g o n a lw a v e l e tf i l t e r s p ( z ) a f t e r w a r de x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wh o wt of a c t o r b i o r t h o g o n a la n dc o m p a c t l y s u p p o r t e dw a v e l e t sa n a l y s i sa n ds y n t h e s i st r a n s f o r i l l si n t o l i f t i n gs t e p s f 0 ra n yf i n i t el e n g t hf i l t e r , t h ed i v i s i o no fi t sp o l y p h a s em a t r i xp r o v i d e sa s i m p l em e t h o do fg i v i n gt h el i f t i n gs t e p so ft h ew a v e l e tt r a n s f o i m b u tt h i sd i v i s i o ni s n o te x c l u s i v e b e c a u s eo ft h en o n s y m m e t r yo ft h ec o e f f i c i e n t so fo r t h o g o n a lw a v e l e t f i l t e r s t h i sm e a n st h a to r t h o g o n a lw a v e l e tf i l t e r sd on o th a v el i n e a rp h a s e w h i c hi s i i m i t e di nt h ei m a g ep r o c e s s i n g b u tt h ec o e f f i c i e n t so fb i o r t h o g o n a lw a v e l e tf i l t e r s 啪 b es y m m e t r i c a l ，s ob i o r t h o g o n a lw a v e l e tf i l t e r sh a v ei i n e a rp h a s e k e yw o r d s ：l i f t i n gs c h e m e ；b i o r t h o g o n a lw a v e l e t ；p o l y p h a s em a t r i x ；l i f t i n g f a c t o r i z a t i o n i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：醢垄丕日期；丝：z ：! 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西舜 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：签二歪星日期：柳占 第一章绪论 第一章绪论 1 1 小波分析的产生与发展 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是上世纪年代正式形成的一种新的数学方法， 是傅立叶分析发展史上的一个里程碑，它被看作是多元调和分析这一数学领域半 个世纪以来的工作结晶，是纯粹数学与应用数学等的交叉学科。小波分析分别被 纯粹数学家与研究石油勘探数据处理、量子场论、声学等领域的应用数学家独立 发现，它是纯粹数学与应用数学殊途同归的又一个光辉例子。从数学的角度看， 小波实际上是在特定空间内按照称之为小波的基函数( 通常具有鲜明的物理意义) 对数学表达式的展开与逼近。作为一种快速高效、高精度的近似方法，小波分析 构成调和分析领域中傅立叶分析的重要发展。与傅立叶变换由三角基函数构成相 比，小波基函数大多为具有快速衰减、充分光滑、能量主要集中在一个局部区域 1。l 的函数妒( f ) 经过伸缩与平移得到的函数集合 告妒( 竺兰) ) 。嘶，其中b 起到平移的 、h 4 作用，而口为伸缩因子( 口作为一种尺度在变化时产生多分辨的特性) 。由于小波 分析的“自适应性质”和“数学显微镜性质”，使其被广泛应用于基础科学、应用科学 尤其是信息科学、信号分析的方方面面，例如，函数论、量子场论、信号处理、 图像处理与传输、模式识别( 人像识别、话音识别、天体识别等) 、地震勘探、音乐、 雷达、c r 成像、彩色复印、流体湍流、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形及 数字电视等。它不仅成为数学家们研究的一个热点，同时也引起了物理学家、生 物学家、工程师等其它领域科学工作者的广泛关注。小波分析的理论研究与实际 应用的范围正在迅速深入和扩大。 小波分析的发展历史最早可追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的第一个小波( 如图1 1 所示) ，在他的文章中给出了利用盒函数构造的r 俾) 空间中的一组规范正交基。 1 9 8 1 年，s t r 6 m b e r g 对h 缸r 系进行了改进，证明了小波函数的存在性，并构造 了组具有指数衰减且有限次连续可微的正交基，这些工作为小波分析奠定了基 础。 真正的小波热始于1 9 8 5 年。当时m e y e r 创造性地构造出了具有一定衰减性 的光滑函数l f ，o ) ，其二进制伸缩和平移系： 缈j o ) 一2 - j 1 2 掣 ( 2 一t t ) i ，七z 第一章绪论 1 1 0 图1 1 a a r 尺度函数与小波函致 构成r 俾) 的规范正交基，后来被称为m e y e r 基，这对小波分析的发展起到了非 常重要的作用。续m e y e r 之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地给出了具有指数 衰减的小波函数。1 9 8 8 年m a l l a t 巧妙地将计算机视觉领域的多分辨分析的思想 引入n d , 波分析、小波函数的构造、按小波变换的分解及重构，从而成功地统一 了在此之前的s t r 6 m b e r g ，m e y e r ，l e m a r i e 和b a t t l e 提出的具体小波函数的构造， 给出了构造正交小波基的一般方法。( 他还研究了小波变换的离散化情形，并将 相应的算法一现在称为m a l l a t 算法有效地应用于图像分解与重构。) 与此同时， d a u b e c h i e s 运用多分辨分析构造了具有有限支集的正交小波，并且她的著作t e n l e c t u r e so l lw a v e l e t s 对小波的发展起到了重要作用；t c h a m i t c h i a n 构造了第一个 双正交小波基。这样，小波分析的系统理论初步得到了建立。我们称用这种经典 多分辨分析框架构造的小波为第一代小波。1 9 8 9 年，作为正交小波基的推广， c o i f m a n n ，m e y e r 和w i c k e r h a u s e r 等又引入了正交小波包的概念。1 9 9 0 年，崔 锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓半正交小波函数，并讨论了具有最好局 部性的多分辨分析的生成函数及相应的小波函数；b e y l k i n 、c o i f m a n n 等将小波变 换应用于算子理论j a f f a r d 、l a n r e n c o t 等将小波变换应用于偏微分方程数值解。 而w i c k e r h a u s e r 等将m a l l a t 算法进一步深化得到了小波保算法。1 9 9 2 年小波变 换被运用于分形地貌制图预处理，并取得了令人满意的结果。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人基于多重多分辨分析建立了多小波的理论框架，并给出了多小波的构造例子， 这样就带来了多小波热潮。1 9 9 5 年，w j l i ls w e l d e n s 和p s c h r 6 d e r 在文献【3 1 中正 式提出了小波提升格式及第二代小波的概念。提升格式也被称为第二代小波构造 方法。1 9 9 6 年，w i ms w e l d a n s 在文献 s v e 给出经典小波中双正交滤波的提升格 式，并证明了它的提升过程。同年，w i ms w e l d e n s 和d a u b c c h i e s 合作f 4 1 ，利用 提升将小波变换分解成有限步的提升过程，并完全脱离了傅立叶变换，利用提升 2 第一章绪论 研究整数到整数的小波变换1 6 】。 因此，从信号处理的角度来看，作为一种新的时频分析工具，小波克服了傅 立叶分析方法表示信息时能够清晰地揭示出信号的频率特征但不能反映时间域上 的局部信息的缺陷，而局部性质的描述无论是在理论还是在实际应用方面都是十 分重要的。当利用小波实旌时频分析时，由于同时具有时间和频率的局部特性以 及多分辨分析特性，使得对非平稳信号的处理变得相对容易。正是各位数学家和 学者的不断努力，今天的小波理论又踏上了个新台阶。 1 2 多分辨分析的概念与性质 多分辨分析是s m a l l a t 于1 9 8 8 年提出的，又称为多尺度分析，是小波分析 中的重要概念之一。它从函数空间的角度来研究函数或信号的多尺度表示。多分 辨分析的作用是将信号分解成不同空间的部分，另外，它也提供了一种构造小波 的统一框架，还能提供数字信号分解与重构的快速算法。 定义1 1 ( 多分辨分析) 空间r 俾) 中一列闭子空间 旧称为r 僻) 的一个多 分辨分析( m r a ) ，如果该序列满足下列条件： ( 1 ) 单调性：_ + 。屹一。，e z ； ( 2 ) 逼近性：n k 一 o ，u 一r 似) ； 脚。胆 ( 3 ) 伸缩性：f q ) e v j f ( 2 t ) v j _ ，z ； ( 4 ) 平移不变性：，o ) v o f ( t 一七) v o ，v k z ； ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在q l ( t ) e v o ，使静( f 一 ) i t z 构成的r i e s z 基。 这里妒( f ) 称为尺度函数。多分辨分析的概念给出了人类视觉系统对物体认识 的数学插述。实际上，如果把e 当作某人在某种尺度，下所观察到的该物体信息。 则当尺度增加到，+ 1 时，他所观察到的信息为+ l ，此时可以认为是他进一步靠近 目标所观察到的信息，因此匕。所表示的信息应该比砟更为丰富，即屹。总 之，尺度越大，距离目标越近，观察到的信息越丰富。反之，尺度越小，距离越 远，含有的信息越少。 如果存在( f ) ，使 妒( f - k ) l 七z 构成的规范正交基，则此时的多分辨 分析称为正交多分辨分析。相应地，妒( f ) 称为正交尺度函数。 由上面的定义知，从而存在空间，使得 一v o + 再结合条件( 5 ) ，有妒( f ) 是其伸缩平移的线性组合，即 妒( f ) 一4 2 罗驴( 2 f t ) ( 1 1 ) 3 第一章绪论 此式称为双尺度方程( 伸缩方程或加细方程) o 两尺度符号定义为 衲一去乏丸e 埘 营( 埘) 一吉艺即。“ 在正交的情况下，令 g 。- ( 一1 ) 虻。( 1 2 ) 两尺度符号满足： f ( 圳2 + 陋+ 万1 2 - ， 怯( 珊m 2 + 悟( m + 玎1 2 - 1 五( 珊) 雪( 山) + 五( 脚+ 石) 营( + 石) i o 且有 1 | f ，( f ) - 2 罗g i 驴( 2 f 一七) ( 1 3 ) 膨 的整数平移伽( f - k ) l k z 构成的一组规范正交基，换句话说，似，。( f ) k 。是 的一组规范正交基，从而缈， ( f ) ) ， 。都构成r 僻) 的规范正交基。这里矿( f ) 称 为正交尺度函数，妒( f ) 称为正交小波函数。 将加细方程( 1 1 ) ，( 1 3 ) 做傅立叶变换，有 蓼( 珊) i l a ( i o ) 弦a ( i ( o ) 妒( 珊) 一雪( 等莎( 等) 这是双尺度方稗的频域表示。 1 3 小波分解与重构算法 v - 1 - + 可以保证： r ) 。霪 其中，秒为直和运算。从而保证彬的基向量的并可以表示工2 ( r ) 中的任意函数。 即v ，( f ) r ，有 f q ) 。譬如，j ( f ) ，恐 其中，- ( ，妒，从而有 4 第一章绪论 厂2 ，娶，妒j k 妒j ， 特别地，对于r ( 曰) 中的任意子空间，有 一吩。o 。 一一zo 一zo 一- ；o o i + ，o o - l ( j ) 因此，巧中的任意函数兀都存在如下多分辨表示： i f i - l a l 一 一2 + d 卜2 + d ，- l f m + d m + d m n + + d t - l 其中 f t ) = 嘞j ( f ) 巧，1 - m ， 4 ( f ) - 妒耻( f ) 彤，i e m ，一1 厶o ) 表示 的低频成分，而d l o ) ，f - m ，一1 表示，在不同分辨率下的高频成 分。 由下面的式子 ，：( f ) 一：c 觏- o ) 一暑。竹一u ( f ) + ：一劬卜u o ) ， 根据，1 ；f ，及其二进平移和伸缩的正交性，可计算 c l 一- t 竹，咖一u ，y c ：h ：一a ( 1 4 ) 类似地，有 一t 饥，一c j g 一n ( 1 5 ) - 艺1t 办一妇，办，+ d ，t 妒，山，办， 壹c ：，1 l 。一。+ d ：- - g 。二 1 6 其中， k k 。是m i e 交尺度函数的两尺度方程对应的滤波器系数序列，可看成低 通滤波器； g i k e z 由式( 1 2 ) 给出，可看成高通滤波器令c 一 0 k ， c 卜1 。1 崆，d 卜1 一埘f - 1 w ，则c 和d j - i 可分别看成c 的低频信号和细节信 号。式( 1 4 ) 及式( 1 5 ) 为小波分解算法，式( 1 6 ) 为小波重构算法。小波分解 与小波重构算法合起来就是一维情形下著名的离散小波变换的m a l l a t 算法。 第一章绪论 1 4 本文的主要工作 由于小波的成功应用，数学分析和信号处理领域引入了许多构造小波的方法。 w s w e l d e n s 提出的提升格式就是小波构造方法之一。提升格式从时域的角度来构 造小波，基本思想是通过有限步预测和更新来构造小波滤波器。它是建立小波分 解的一种非常灵活的工具。 在本章内容的基础上，本文第二章首先说明了提升格式提出的必要性及其优 点，然后介绍了有关小波的提升格式的理论。小波的提升格式是w i ms w e i d e n s 在 1 9 9 5 年提出的，是小波构造方法之一。提升格式可以构造第二代小波，也就是利 用提升将小波变换分解成有限步的提升过程，将第一代小波变换映射到第二代小 波变换。而且所有能够用m a l l a t 算法实现的小波变换都可以用提升格式来实现， 并且算法更快，更简洁。提升格式的基本思想是通过有限步预测和更新来构造小 波。接着又介绍了自适应的小波提升格式的设计方法。最后总结了基于提升格式 的小波变换方法的四大优点。 第三章第一部分介绍了双正交多分辨分析的概念与性质。第二部分介绍了双 正交小波滤波器的多相位矩阵。并介绍了利用l a u r e n t 多项式的e u c l i d 算法对双 正交小波滤波器的多相位矩阵p ( z 1 进行因子分解。第三部分通过双正交小波滤波 器的多相位矩阵p ( z ) 的因子分解，给出小波变换的提升实现算法即其提升格式， 并以双正交对称紧支撑小波为例，把小波分解变换与重构变换表示成提升步骤的 形式。对任意有限长度滤波器，多相位矩阵的因子分解提供了确定小波变换提升 步骤的一种简单方法。但这种分解存在极大的不唯一性。 6 第二章小波的提升格式 第二章小波的提升格式 2 1 引言 经典小波分析是从傅立叶分析的基础上发展起来的，因而它在很大程度上受 到傅立叶分析的限制。小波分析中的两个核心概念小波变换和多分辨分析都 是建立在二进伸缩和平移思想基础之上的，这种思想直接来源于信号处理领域。 我们称用这种经典多分辨分析框架构造的小波为第一代小波。 由于小波的成功应用，数学分析和引入了许多构造小波变换的方法。信息科 学中常见的离散变换，如离散傅里叶变换( d f t ) ，离散余弦变换( d c t ) 以及离 散小波变换，由于其基函数或者为三角函数从而系数为无理数，或者系数本身为 无理数( 如d a u b e c h i e s 类小波等) ，然而，在诸如计算机等设备上只能够进行有 限位的运算，因此，在各种变换的实现过程中对系数进行截断处理，即用有理数 对数据进行近似不可避免。但是，这样做时面临两个问题：( 1 ) 算法的精度与计 算复杂性。为了得到较高的精度，对无理数作截断时取有效位数字少，精度往往 达不到要求，而想达到高精度则需要足够长的位数，从而导致计算复杂度的增加。 还有，在滤波等运算中作近似处理后，完全重构的性质将会改变，花费大量精力 设计出的完全重构滤波器仅为近似的；( 2 ) 硬件实现难度。为了得到高搪度截取 的多位浮点数，会给硬件实现带来不便，浮点的位数越多，实现难度越大。而另 一方面，在信号处理的许多应用中( 如图像处理) ，要处理的原始数据为一定范 围的整数( 如0 到2 5 5 之间) ，因此，对其作滤波等运算是，如果滤波器系数能 够用整数或者二迸制分数精确表示，则可以提高算法速度的同时降低算法的软、 硬件实现难度。1 9 9 1 年，c h a m 提出了一类整数d c r 的概念，但是，他所提出 的整数d c t 由于不构成原始d c t 的逼近，同时由于设计过程复杂，对于一般 点数的整数d c r 不存在快速算法，因此该法没有得到推广。直到1 9 9 5 年， s w e l d e n s 等人提出利用提升格式构造非线性变换，不仅得到了新的小波变换，将 现有小波变换的计算复杂性进一步降低，而且将提升格式的思想用于离散变换的 整数实现，得到了整数d c t 以及整数重叠式变换等离散变换的构造方法。 提升格式可以构造第二代小波，也就是利用提升将小波变换分解成有限步的 提升过程，将第一代小波变换映射到第二代小波变换。它与第一代小波构造方法 的主要区别是它不依赖于傅立叶变换，小波基函数不再是由某一个函数的伸缩和 平移而产生，所以特别适合于有限区域、曲面上及非均匀采样等领域中的小波设 7 第二章小波的提升格式 计，而这些都是基于傅立叶变换的小波设计无法完成的。 在文献【1 】中，指出已存在的第一代小波变换都可以转换成第二代小波变换的 形式。也就是说具有有限支撑的第一代小波变换都可以被分解成一系列简单的提 升步骤来实现，而且所有能够用m a l l a t 算法实现的小波变换都可以用提升格式来 实现，并且算法更快，更简洁。提升格式的基本思想是通过有限步预测和更新来 构造小波。它是建立小波分解的一种非常灵活的工具。提升格式把一个序列分解 为偶数序列和奇数序列，用偶数序列去预测奇数序列，再用奇数序列的真实值和 预测值的偏差去修正( 更新) 偶数序列，这样可以构造小波函数。它也可以改进 已知小波函数的某些性能，构造出新的小波函数。提升格式包括分解和重构两个 过程。而分解过程又分为三个阶段，即分裂、预测和更新；重构过程是分解过程 的逆过程，即包括反更新，反预测和合并。合并过程就是将反更新和反预测得到 的结果合并成被分解的信号，实现信号的完全重构。 2 2 小波的提升格式 w i ms w e l d e n s 提出的提升格式就是小波构造方法之一。小波提升格式完全在 时空域对信号进行变换，实现对信号频域特性的分析，并且可以通过设计不同的 预测算子和更新算子得到具有某些特殊功能的小波函数，更好地解决实际问题。 提升格式的基本思想是通过有限步预测和更新来构造小波。它是建立小波分 解的一种非常灵活的工具。提升格式把一个序列分解为偶数序列和奇数序列，用 奇数序列去预测偶数序列，再用偶数序列的真实值和预测值的偏差去修正( 更新) 奇数序列。提升格式包括分解和重构两个过程。 提升格式的分解过程分为三阶段。 ( 1 ) 分裂( s p l i t ) 原始信号s ，- p ，。 具有2 个采样点，分裂过程将信号分裂成两个较小的数据 子集，分裂后的两个信号相关性愈强，效果愈好。通常按奇偶顺序进行分裂，所 以分裂过程也叫惰性小波变换过程。在这里将奇序列记为p 删一。 ，偶序列记为 p f 口 ，每个序列的长度为原始信号的一半，其中j z ，f - 1 ，2 。 ( 2 ) 预测( p r e d i c t ) 由于两个序列中的点穿插分布在原始信号中，根据信号具有相关性，可以由 奇序列来预测偶序列，使偶序列能够由奇序列得到。预测算子记为p ，算子表达 式为 d ，一l - 5 ，2 ，一1 一p ( s ，2 ，) 8 第二章小渡的提升格式 其中，d 。表示偶序列点的真实值与其预测值的偏差，称为细节信号。如果给定细 节信号p j - ) 和偶序列数据d 倒 ，奇序列信号p 倒一。 就可以恢复，即有 s ，2 f l - e ( s ，2 ，) + d ，- l 这一过程称为反预测。 一6 ，v j ，k z ( 3 1 ) 这时称妒，妒为对偶尺度函数； ( 2 ) 令是匕在巧+ 。中的补空间t 蟛是哆在哆+ ，中的补空间，使碍 v ，+ 1 - v ，+ w ；巧+ ，巧。嘭 ( 3 2 ) 其中，t 。”为直和运算； ( 3 ) 存在r 俾) 中的函数妒( f ) 、矿( f ) 和序列 g 、 爵 满足： 妒p ) 一4 2 罗占。妒( 丑- k ) 下 矿( f ) - 2 罗磊芗( 各一k ) 7 使得 = 6 龟，k ，f ，m z 妒，妒， - 0 ，w ，k ，m e z 妒矿，月 0 ，k ，爪z 且彬肚( f ) ，。是的一个r i e s z 基， 孵j 8 ) k 。是嘭的一个r i e s z 基，从而 伽肚( f ) 口和舻肚( f ) e 都构成r 僻) 的r i e s z 基； 则称 ，巧) 辟是r 俾) 的一个双正交多分辨分析。称妒o ) 、矿( f ) 为对偶双正交小 波。 在双正交多分辨分析的定义中，如果芗一妒，矿一妒，则由式( 3 1 ) 可知，妒必为 正交尺度函数，它生成r ( r ) 的一个正交多分辨分析 巧 衄，这说明正交多分辨分 析是双正交多分辨分析的特殊情况。 在双正交多分辨分析框架下，尺度函数与小波函数对应的双尺度方程为： 第三章双正交小波滤波器的多相位矩阵及其提升分解 ) i 压薹 ( 2 f 一七翮- 压乏厩石( 丑一七) 妒- 压乏g t 妒( 腆) 叠压荟磊歹( 丑一七) 其中，h k , 厩是低通滤波器系数，吼，鼠是高通滤波器系数，而且 最一( 一1 ) 1 | l 一。 g 。一( 一1 ) 丘一。 对于双正交小波变换系统而言，信号f 的分解与重构可以通过下面两个表达式 完成 ，( f ) i ，娶，妒雎) o ) 0 3 ) 或者 f ( t ) 一t ，矾j ，妒j , k p ) ( 3 4 ) 廷z 式( 3 3 ) 与( 3 4 ) 表明信号可以通过一个小波基完成分解，运算为c 厂，妒，然后用 另一个小波基完成重构。不难看出，双正交小波变换中小波函数妒o ) 与矿o ) 可以 具有不同的紧支集长度以及不同的消失矩，例如，当1 】f ，( x ) 比妒( x ) 有更高的消失矩 时，利用( ，妒，可以获得更高的数据压缩率，而同时矿o ) 的非零系数比1 ；f r o ) 的 非零系数少，因此利用式( 3 4 ) 又可以获得更高效的信号重构。 有限脉冲响应的双正交小波滤波器组伽，石，g ，蚕) 的完全重构条件为 i h ( z ) f i ( z - ! + g ( z ) 喜：l 2 ( 3 5 ) l h ( z 弦( 一z 一1 ) + g ( z ) 亭( 一z 一1 ) - o v 。7 3 2 双正交小波滤波器的多相位矩阵 1 9 9 6 年，w i ms w e l d e n s 给出经典小波中双正交滤波的提升格式，并证明了它 的提升过程。 3 2 1 双正交小波滤波器的多相位矩阵 这里所要讨论的是有限脉冲响应双正交小波滤波器的情况。设双正