（凝聚态物理专业论文）光晶格中玻色爱因斯坦凝聚体的混沌控制和稳定性分析.pdf

光晶格中疲色一爱西新坦凝聚体的混沌和稳定性 i 摘要 玻色爱因斯坦凝聚体( b e c ) 在稀薄原子气体中的实现引起了人们广 泛的关注，它不仅为量子力学基本问题的研究提供了一个完美的平台， 而且在原子激光，量子计算与量子信息等领域有着光明的应用前景本 文在平均场理论的框架下以g r 0 6 s - p i t a e v s k i i 方程为基础，对光晶格中b e c 的稳定性及其混沌性质作了一些研究 本文共包括四章。第一章简单介绍了平均场理论和玻色一爱因斯坦 凝聚中有关混沌和及其稳定性分析的研究进展，现状及应用 第二章考虑玻色爱因斯坦凝聚体( b e c s ) 囚禁在由两弱的激光驻波 组成的双晶格中，应用直接微扰展开的方法，得到了m e l n i k o v 意义下混 沌解和参数空间的混沌区域在混沌区域，我们发现混沌解和粒子数密 度的空间演化是有界的，但在其上下极限之间是不可预测的说明当保 持两激光波矢k 。z ，调节波矢从 h 变化到乜k t ，能够使得系 统从混沌区域变化到规则区域或者往相反的方向转变这为产生和控制 混沌提供了一种可行的方案，期待在不久的将来在实验中能观测到 在第三章中我们讨论了囚禁在一强一弱的两激光驻波组成的超品格 b e c ，把弱的驻波当作微扰，求得了零级解和一级修正解，我们发现一级 修正解满足一维空间的m a t h i e u 方程我们还对在一个光晶格势中b e c 系统的稳定性作了分析，找到了动力学参数稳定性区域，不稳定区域和 稳定性不定的区域通过调制实验参数，总可以使得b e c 系统处在稳定 性区域 最后，我们在第四章中对本文做了简要的总结，并对该领域前景作了 一点展望本人的主要工作集中在第二章和第三章 关键词：玻色，爱因斯坦凝聚，混沌，光晶格势，稳定性 i i硕士学位论文 p a c s ：0 3 7 5 l m ，0 5 4 5 g g ，0 5 3 0 j p ，3 9 2 5 + k 光晶格中玻色一爱因斯坦凝聚体的混池和稳定性 i i i a b s t r a c t t h er e a l i z a t i o no fb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni nad i l u t ea t o m i cg a sh a sa t - t r a c t e de n o n n o u ba t t e n t i o n t h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t ef b e c ) n o to n l yo f f e r s t h ep e r f e c tm a c r o s c i o p i cq u a n t u ms y s t e mt oi n v e s t i g a t em a n yf o u n d m e n t a lp r o b - l e m si nq u a n t u mm e c h a n i c s ，b u ta l s oh a se x t e n s i v e 印p h c a t i o nf o r e g r o u n d ss u c h a si na t o ml a s e r ，q u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n i nt h ef r a m e - w o r ko fm e a n - f i e l dt h e o r yt h eb 0 8 e - e i n s t e i ne o n d e n s a t e si sg o v o n e r e db yt h eg r o s s - p i t a e v i s k i ie q u a t i o n i nt h i sp a p e r ，b a s e do i lt h eg r o a s - p i t a e v i s k i ie q u a t i o n ，w eh a v e s t u d i e dt h ec h a o t i cp r o p e r t ya n ds t a b i l i t yo ft h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t c sh e l di n t h eo p t i c a ll a t t i c e s o u rp a p e ri so r g a n i z e da st h ef o l l o w i n gf o u rp a r t s i nt h ef i r s tc h a p t e r w e8 h a l l g i v eas i r e p l ei n t r o d u c t i o nt om e a n - f i e l dt h e o r ya n dt h er e s e a r c hs t a t u s ，i m p r o v e - m e n t sa n da p p l i c a t i o n so fc h a o sa n ds t a b i l i t yi nb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t c s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，f o rab o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ( b e c ) c o n f i n e di nad o u - b l el a t t i c ec o n s i s t i n go ft w ow e a kl a s e rs t a n d i n gw a v c sw ef i n dt h em e l n i k o vc h a o t i c s o l u t i o na n dc h a o t i cr e g i o no nt h ep a r a m e t e rs p a c eb yu s i n gt h ed i r e c tp e r t u r b a t i o n m e t h o d i nt h ec h a o t i cr e g i o n ，s p a t i a le v o l u t i o n so ft h ec h a o t i cs o l u t i o na n dt h ec o t - r e s p o n d i n gd i s t r i b u t i o no fp a r t i c l en u m b e rd e n s i t ya r eb o u n d e db u tu n p r e d i c t a b l e b e t w e e nt h e i rs u p e r i o ra n di n f e r i o rl i m i t s i ti si l l n s t r a t e dt h a tw h e nt h er e l a t i o n 如b e t w e e nt h et w ol a s e rw a v ev e c t o r si sk e p t ，t h ea d j u s t m e n tf r o mb h t o 如芝七lc a l lt r a n s f o r mt h ec h a o t i cr e g i o ni n t or e g u l a ro n eo ro nt h ec o n t r a r y t h i 8 s u g g e s t saf e a s i b l es c h m n ef o rg e n e r a t i n ga n dc o n t r o l l i n gc h a o s ，w h i c hc o u l dl e a dt o a l le x p e r i m e n t a lo b s e r v a t i o ni nt h en e a rf u t u r e i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eh a v ed i s c u s s e db e ct r a p p e di ns u p e r l a t t i c c sc o n s i s t e d o fa s t r o n gl a s e rs t a n d i n gw a v ea n daw e a kl a s e rs t a n d i n gw a v e t r e a t i n gt h ew e a k l a s e rs t a n d i n gw a v ea sap e r t u r b a t i o n ，t h ez e r o t ho r d e rs o l u t i o na n dt h ef i r s to r - d e rc o r r e c t e ds o l u t i o na r eo b t a i n e d w ef i n dt h ef i r s to r d e rc o r r e c t i o no fs o l u t i o n s a t i s f i e st h eo n ed i m e n s i o n a ls p a t i a lm a t h i e ue q u a t i o n w eh a v ea l s oa n a l y z e dt h e s t a b i l i t yo fb e ct r a p p e di no n eo p t i c a ll a t t i c ea n df o u n dt h ed y n a m i c a ls t a b i l i t y r e g i o n ，i n s t a b i l i t yr e g i o na n di n d e f i n i t es t a b i l i t yr e g i o no nt h ep a r a m e t e rs p a c e b y i v硕士学位论文 m o d u l a t i n gt h ee x p e r i m e n t a lp a r a m e t e r ，w ec 8 i la l w a y sl 【e e pt h eb e c i nt h es t a b i l i t y r e g i o n i nt h el a s tc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，w eg i v ea s i m p l es m n m a r ya n dd i s c u s s i o nt o t h ea b o v e - m e n t i o n e dw o r k s h e r e to u rm a i nw o r k sa r ei n v o l v e di nc h a p t e rt w oa n d t h r e e k e yw o r d s ：b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ，c h a o s ，o p t i c a ll a t t i c e sp o t e n t i a l ，s t a - b i h t y p a c sl 0 3 7 5 l m ，0 5 4 5 g g ，0 5 3 0 j p ，3 9 2 5 + k 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：彳衾辱 矽1 年6 月心日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密耐。 ( 请在以上相应方框内打” ”) 作者签名： 衾罨日期：z 唯6 月妇 新鹳：协锄日期锄7 年莎月舻 光晶格中玻色一爱因斯坦凝聚体的混池和稳定性 1 第一章绪论 1 1g r o s s - p i t a e v s k i i 方程 早在1 9 2 4 年，印度的物理学家s n b o s e 将光子作为其数量并不守恒 的全同粒子处理而成功地导出了p l a n c k 黑体辐射定【1 】基于b o s e 的工 作，e i n s t e i n 随即将这个问题推广到全同粒子理想气体1 2 】 并预言当原子 问的距离足够近，温度足够低时，理想b o s e 原子气体将发生相变，导致一 种新的物质状态，我们称这种相变为玻色爱因斯坦凝聚( b o s e - e i n s t e i n c o n d e n s a t i o n ) ，丽处于这种新状态的物质被称为玻色一爱因斯坦凝聚体 在凝聚体中，宏观数量上的b o s e 原子占据能量最低态，并且通过宏观的 方式表现相同的量子特性b e c 思想提出以后。许多科学家纷纷设计实 验在不同的物质中探索b e c 的迹象自从1 9 9 5 年人们首次实验观察到稀 薄碱金属的玻色爱因斯坦凝聚体( b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ) 【3 】【5 】以来， 该领域吸引了入们极大的兴趣由于玻色爱因斯坦凝聚体中的许多现 象和性质同样包含在许多其他物理领域，因而使之成为人们研究其他不 同物理领域中相应性质和现象的天然温床鉴于玻色爱因斯坦凝聚体 在原子激光【6 卜( 8 j ，量子计算f 9 】，量子信息【lo 】和凝聚态物理f 1 1 】等领 域的广泛运用，它们已经成为人们广泛关注的课题在对这个多体宏观， 量子系统的研究中，人们发现当原子间相互作用的争波散射长度远小于 原子间的平均距离，并且凝聚原子数足够大时，平均场方法是一类有效 而又方便的方法1 1 2 】本文以平均场方法作的基本出发点，现对其要点 做一简单回顾 b e c 最有趣的特征是其相位相干，因此它可以用宏观波函数霉( r ) 来 描述其动力学性质可用g r o s s - p i t a e v s k i i ( g p ) 方程刻画 口t 2 r 墙 一2 i 危暮皿( r ，) = 【一：；- + i ，z t ( r ) + ：! ；坠f 皿( r ，t ) 1 2 】皿( r ，o ( 1 1 ) 这里n 是波散射长度。k 。r ) 是外场势，通常是磁戳势这就是早年由 g i n s b u r g 和l a n d a u 在分析超导时推导出来的后来被g r o s s 和p i t a e v s k i i 推 广的方程，下面我们给出这个方程的简单推导 一个粒子系统的量子态可以用变量的波函数田( 钆r 。，r ，) 来完 硕士学位论文 全描述因为所有的玻色子是全同的，在同一b e c 中处于同一量子态， 我们可以用一个变量的波函数，皿( r ) 来描述这种简化可以直观的理解 为，正如你只需观察一个齐步走的队伍中的一员的行走，从而知道整个 队伍的行走然后，由h a r t r e e - f o c k 平均场理论，我们可以得出动力学方 程 磅咐) = 一朵+ 晰) + d r ( 印) 州- r ) 州，纠州，t ) ( 1 2 ) 这里矿( r ，一r ) 是两原子间的相互作用势当b e c 云是稀薄气体时，我们 可以把方程( 1 ，l ) 和方程( l 2 ) 联系起来 如果是稀薄气体，原子间的相互作用主要是两体散射当温度很低 时，散射在各个方向没有优先权，因此是s - 波散射，波散射长度， 其描述散射的强度，在实验上可以测量a 。的符号表明了相互作用的性 质，正号代表排斥相互作用，负号代表吸引相互作用，至今，所有实验上 制备的b e c ，都满足 p l a 。1 3 1( 1 3 ) 这意味着两体散射在这些系统中是非常弱的，因此可以采取b o r n 近似， 方程中的y ( r ，一r ) 可以用等效的赝势来代替【1 3 】 y ( r ，一r ) = 9 d ( r ，一r ) 这里g 是和s 一波散射波长相关的耦合常数 4 r h 2 a _ g2i ( 1 4 ) ( 1 5 ) 把它代人方程( 1 2 ) ，即可得到凝聚体所满足的g p 方程实践已经证明平 均场理论是一种较为成功的处理方法，在现在许多研究b e c 的文献中， 都直接从上述g p 方程出发来研究玻色爱因斯坦凝聚体中许多有趣的 性质 光晶格中玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌和稳定性3 1 。2 玻色一爱因斯坦凝聚体中的混沌特征 混沌问题是非线性科学的核心问题之一，它的发展过程基本上反映 了非线性科学的轨迹混沌是一种貌似无规则的运动，是指确定性系统 中出现的类似随机的过程所谓确定性系统是动力学系统，通常有常微 分方程，偏微分方程，差分方程，甚至一些简单的迭代方程描述方程中 的系数都是确定的，运动方程确定，给出初值，系统以后的运动按传统 的认识是完全确定了的即未来完全包含在过去之中换一句话说，小 的扰动可以忽略不计后来发现在某些系统中，运动过程对于初值的极 微小的扰动有很大的变化，即系统对初值有非常“敏感”的依赖性，初值 极微小的变化，以后的运动有很大的改变，从物理上看似乎是随机的。 这种对初值的敏感性，或者说确定性系统内在的随机性就是通常所说的 混沌当然混沌不仅指这么一层意思，它还有更丰富的内容 作为上世纪一门新兴的科学，混沌已经吸引了人们广泛的兴趣1 9 6 3 年，气象学家洛伦兹( e l o r e n z ) 在对大气热对流模型的数值分析中发现 了确定性非周期流，当时的计算工具是非常简陋的机算机，l o r e n z 不得 不把大气的流体力学方程简化为三个方程的系统，但是，随着打印机一 行一行的输出，他发现这与他的直觉相一致t 气压忽高忽低，气流忽南忽 北，呈现出一有规律的无序l o r e n z 为了考虑更长时间的模拟情况，他 输入的数据不是初值而是上一次运算的中间值这样一来出现了问题。 这中间值而引出的结果与上一次不一样，而且随着时间的推移差距越来 越明显由于这一结果的出现迫使l o r e n z 进一步研究只有三个方程的系 统，也就是我们现在所讲的l o r e n z 方程他试图找出复杂行为的本质 这一方程所描绘的图形就是蝴蝶状的双螺旋线l o r e n z 吸引子是至今为 止研究得最深入的吸引子在l o r e n z 系统中出现具有随机性的混沌运动 是由于非线性系统具有不止一个定点( 定态) ，当条件恰当( 方程中参量 取适当值) 时，这些定点都不稳定，运动轨线交替地绕这些不同的不稳定 定点跳动( 或者说原来作规则运动时存在的不同流域现在已经消失) ，就 必然使运动复杂化，加上系统内禀的涨落也要引起运动具有随机住，这 就是混沌 混沌的大量研究最初集中于经典动力学系统在经典意义上人们对 硕士学位论文 混沌的概念已经达成了共识，即在确定性系统中其动力学行为出现不可 预测性，并且敏感依赖于系统的初始条件在认识到混沌在经典力学中的 重要地位后，人们自然地会将确定性混沌的概念推广到量子力学中去 按照玻尔的对应原理，将量子力学应用到宏观运动上所得的结果应该和 经典力学一致，故而力学系统的混沌特征也必然要在其量子力学性质上 有所表现然而，到目前为止人们并不清楚由量子力学描述的微观世界是 否也象宏观运动一样具有两种不同性质的运动一规则运动和混沌运动 因此，人们对量子混沌的概念还有所争论目前量子混沌研究的一个主 要方向是研究经典极限下的混沌系统在量子力学中的对应表现【1 4 ， 1 5 】 如前面所述，在经典哈密顿系统中的混沌已经被简单而广泛地理解为 系统的相轨道对初始条件的极度敏感依赖性，从而导致系统运动状态的 长时不可预测性而在量子混沌领域，由于测不准关系的存在，在量子力 学中人们不可能在经典力学里那样对系统的运动作确定性的相空间轨道 描述，因而人们无法区分量子系统中的量子混沌运动随着玻色爱因斯 坦凝聚的实验实现，为我们提供了一种新的量子力学系统原因在于，一 般的量子力学系统的动力学行为由s c h r s d i n g e r 方程来描述，而在平均场 理论中凝聚体的量子力学行为由非线性的类s c h r s d i n g e r 方程一g p 方程 来描述随之而来的问题就是；。在g p 方程中附加的非线性会对一个量 子混沌的s c h r s d i n g e r 方程产生什么影响呢? ”f 1 6 】带着这些问题人们对 玻色爱因斯坦凝聚中的混沌性质进行了广泛的研究s a g a r d i n e rf 17 】 等人引入了不同的经典量子对应，他们认为一般的量子力学在普朗克常 数危一0 时会返回经典对应模式，而对玻色爱因斯坦凝聚体这样的量 子系统，它在危一0 时的经典对应是经典的流体力学。几乎是同时，人们 还研究了由于这一附加的非线性效应而给凝聚体系统带来的时间混沌， 空间混沌，甚至是时空混沌性质其中对n 于l - i 混沌性质的研究主要采用 的方法为两模【1 8 】或多模近似【1 9 】，并且集中于凝聚原子的j o e s p h s o n 混 沌隧穿等性质上比如a b d u l l a e v 和k r a e n k e l 利用两馍近似的方法研究了 两弱耦合彰包爱因斯坦凝聚体凝聚原子的分数布居数在隧穿幅度含时 和s - 波散射长度随时间变化f 2 0 1 两种情形下的非线性共振和混沌振荡 另外，l e e 2 1 】和h a j 2 2 】等人在相同的近似框架下还讨论了两弱耦合凝 聚体系统分数布居数随时间演化的m e l n i k o v 混沌，频率锁定，以及混沌 光晶格中玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌和稳定性5 几率密度等同时，考虑到热粒子对凝聚体的补充以及三体重组对凝聚 体的耗散作用( 2 3 1 ，p c o u l l e tf 2 4 】讨论了两耦合凝聚体中的l o r e n z 混沌和 混沌自囚的性质除了对两态或双阱系统的研究外，人们还研究了三耦 合凝聚体动力学中的混沌隧穿，混沌自囚，动力学不稳定性等【2 5 】，【2 6 】性 质此外，玻色- 爱因斯坦凝聚体中的空间混沌特征也是人们所关注的 f b a r r a 和他的合作者就考虑了在k r o n i g - p e n n y 势c ，( z ) = 矿墨一。6 一岣 作用下玻色一爱因斯坦凝聚体中的空间混沌特征当系统的波函数为实 的定态波函数时。他们给出了一对关于空间序列的保积p o i n c a r 6 映射， 并描述了其中的周期，准周期，和混沌轨道【2 7 1 尽管在【l7 】中称g p 方 程为量子混沌s c h r k i i n g e r 方程，但是我们发现上述的混沌性质都是经典 意义下的q t h o m m e n 在【2 8 】中对这一问题作了详细的讨论他认为量 子混沌的表现和其对应的经典动力学并没有直接的联系比如说，在不 舍时系统中的能级分布具有w i g n e r 分布形式是量子混沌的重要表现，但 是这一点在经典力学中并没有明显的对应他们认为造成这种情况的主 要原因有t 首先，经典力学中最基本的相空间轨道的概念由于测不准关 系p m h 2 的原因而不能直接移植到量子领域但是人们可以将一 量子态投影到一组基矢上，从而定义一个推广的相空间只要这组基矢 足够完备，初始条件就可以用相空间中的一个点来表示即使这样，对 初始条件的敏感性仍然不存在这就是第二个原因：s c h r 0 d i n g e r 方程是 线性的，而在经典力学中非线性的产生是由于力也是动力学变量( 吼，a ) 的函数而在s d m 诎n 固e r 方程中，动力学变量是波函数，而势依然依赖 于( q l ，胁) 而不是波函数但在g p 方程中，非线性项也依赖于波函数，此 时在推广相空间中，系统动力学和经典力学非常相似，因而所讨论的混 沌特征和经典意义下的混沌性质非常接近他们还以玻色爱因斯坦凝 聚体系统为例，以w a n n i e r - s t a r k 态为基矢构成推广的相空间，并发现这 样的相空间完全符合k a m 理论 在玻色一爱因斯坦凝聚体系统中，人们已经发现了丰富的混沌现象 鉴于这种凝聚物质广泛的应用前景对于其中混沌产生及其控制的研究 显得尤为重要在本文的第二章中介绍了这方面的一些工作 6硕士学位论文 1 3 光晶格中玻色爱因斯坦凝聚体的稳定性 周期光晶格势很早就被用在各种冷原子实验中，例如原子衍射【2 9 卜 跚】在原子光学和原子干涉测量 3 l 】中的应用第一个把在多维光格势 中的原子冷却到i n k 附近的实验，是由a h e m m e r i c ha n dt w h i s c h 完 成【3 2 卜【3 3 】，然后是g r y n b e v g 等人f 3 4 c s a l o m o n 的小组通过用一维拉曼 激光冷却【3 5 】和绝热地开启一个周期晶格势，成功地将原子的动量传播 冷却到和= l i k 4 在这种小的动量传播下。动量分布没有超过整个布里渊 区，每个原子只被局限在几个格点附近，因此可以观测到布洛赫振荡 w a n n i e rs t a r k 梯由m r a i z e n 小组观测到【3 6 】在t w h i i s c h 的组里，布拉 格分光镜被用在三维晶格中的原子上，研究了超晶格 3 _ 7 】此外，远离共 振的一维晶格用e 0 2 激光已实现【3 8 】，这说明在这样一个系统中单个晶 格能够很好地确定和控制【3 9 i 人们对直接冷却光晶格中的原子做了许多 的尝试，上面已经做了一些介绍拉曼冷却已经成功地被用来冷却原子， 近来原子被部分地冷却到基态 4 0 】应用蒸发冷却技术，中性原子的玻色 一爱因斯坦凝聚已成功地实现在b e c 中，极低的温度可以实现，当凝 聚体被绝热地移到一个光晶格势中时，如果没有进一步冷却，周期晶格 势中新的基态布局将产生人们还对一维光晶格势中的隧穿效应【4 1 】， 超流f 4 2 】，约瑟夫森效应【4 3 】，和布洛赫振荡【4 4 1 等进行了广泛的研究 一个动力学系统，无论是力学的，物理的，化学的，生物的或是社会 现象的，在任何时候总是不可避免地要受到各种不可预计的扰动这些 扰动可以是周围环境不可避免的微小变化，如气流，温度或电磁场等的 起伏，也可以是系统内在的起伏，如原子或分子的热运动所谓解( 运动 状态) 是稳定的，是指系统即使在这些不可避免的扰动下偏离此解( 运动 状态) ，它仍然将自动返回此解的运动状态即系统将长期稳定地处于此 运动状态或至少不会偏离此运动状态太远反之，则说方程的解足不稳 定的，即指在不可避免的扰动下一旦使系统稍微偏离此运动状态，它将 不能返回到此运动状态，而是更加远离此运动状态 近来，b e c 的稳定性和不稳定性分析引起了人们的广泛兴趣，相应 的实验工作( 4 2 ，f 4 5 j ，【4 6 】和理论工作超流【4 7 1 5 2 】报道了各种b e c 系统 几种不同的定义如l a n d a u 不稳定性【4 7 】 4 8 ，动力学不稳定 4 9 i ，参数不 光晶格中玻色爱因斯坦凝聚体的混沌和稳定性 - 7 稳定性 5 0 】，调制不稳定性 5 1 】，以及低加速不稳定性【5 2 】被采用由于 这些不稳定性与混沌，b e c 的机械塌缩，涡旋梯的量子融化，b e c 量子 进化保真度的衰退，间隙孤子( g a p s o l i t o u s ) 的变形等物理现象有密切联 系，b e c 的稳定性工作是一个迫切的问题在本文的第三章中，我们对 光晶格中的b e c 的稳定性作了一些研究 光晶格中疲色一爱目新坦凝聚体的混沌和稳定性 9 第二章玻色一爱因斯坦凝聚中混沌的产生与控制 2 1 引言 玻色一爱因斯坦凝聚b e c 的实现和相应的宏观量子现象引起了人们 极大兴趣，为原子物理，凝聚态物理，量子信息与量子计算【4 l 】【5 3 】【5 4 】 等学科的研究提供了一个完美的平台对玻色一爱因斯坦凝聚体中许多 性质，如超流 4 2 】f 47 】，宏观量子自囚f 1 8 】，孤子和混沌【5 5 】一【57 】等进行 了广泛的研究在平均场近似下，b e c 系统用g p 方程来描述，它是一 个非线性的s h r s d i n g e r 方程，其中的非线性项代表凝聚原子间相互作用强 度由于这个非线性项的存在可能在系统中引入有趣的混沌现象近几 年来，b e c s 中的混沌现象和混沌性质来引起了人们的关注，如对塌缩 b e c 中的混沌【5 8 l ，宏观量子自囚与混沌【2 4 3 ，b e c 中的经典混沌仁8 】与 量子混沌【5 9 】，混沌与能量交换f 6 0 】，b e c 中相干原子振荡与共振【6 1 】等 进行了研究在我们先前的工作中，研究了b e c 在运动光格中的含时混 沌【5 6 1 ，混沌与量子纠缠【6 2 l ，混沌的几率密度和原子布局振荡频锬【6 3 1 我们还讨论了囚禁在一个弱的或者强的光格中b e c 的空闻定态混沌 5 7 j 。 基于混沌对b e c 的塌缩和稳定性的影响，为了更好地操控和利用b e c ， b e c 中的混沌控制变得尤为迫切 自o t t ，g r e b o g i 和y o r k e r 在1 9 9 0 年提出著名的o g y 反馈控制混沌( 6 4 1 来，混沌控制一直是人们热衷的研究课题之一在o g y 反馈控制混沌方 法的基础上，通过各种途径试图对混沌控制，发展出许多新的控制混沌 的方法，但总的来说可以把这些方法分为两大类即反馈控制和非反馈控 制反馈控制有时间延迟反馈控制 6 5 】1 6 6 ，空间反馈控制【67 】，时空反 馈控制 6 8 1 等等，菲反馈控制有共振参数微扰控制1 6 9 】和弱参数微绕控 制【7 0 】一些研究者用两个外加的势傲了几个有趣的工作c o h e n 和他的 合作者研究了准周期p r e s n e l 原子光束与聚焦【7 1 】，c n a c s n 等用两个含时周 期势来抑制混沌 6 9 1 ，1 7 2 】，d i e n e r 等研究了一维不对称光格中广域态与局 域态之间的跃迁f 7 3 1 在本章中。我们研究了囚禁在两个弱的光格势中的定态b e c s ，它的 g p 方程类似于两弱的时间周期势的时间方程【6 9 | ，f 7 2 j 把两个弱的激光 硕士学位论文 外势项当作微扰，进行微扰展开，保留到一级项，应用m e l n i k o v 混沌判 据，会得到m e l n i k o v 意义下的混沌求出了混沌解的形式，一级微绕解的 上下极限，把波函数直接展开到一级近似，在m e l n i k o v 混沌判据下，找到 了混沌解，做出了等价相空间的混沌轨道，一级微扰解和粒子数密度的 空间演化图像通过m e l n i k o v 方法，找到了参数空间的混沌区域与激光 波矢有关从分析和数值两个方面，说明了通过调制激光波矢能够使得 b e c 从非周期的混沌分布变为周期规则结构，或者从周期规则结构变为 非周期的混沌分布通过这种方法，可以产生或者抑制混沌 2 2m e l n i k o v 混沌解和参数空间的混沌区域 我们考虑囚禁在由两个一维弱的激光驻波组成的周期或准周期势中 的b e c 系统的g p 方程如下 f 危等关+ 夕l d m 2 妒+ ( v xs i n 2 m k s i n 2 如功妒， ( 2 1 ) 其中i n 是原子的质量，g l a 为凝聚体原子之间的相互作用强度，为 激光驻波的强度，h 和是激光波矢不失一般性，我们取激光驻波的 强度0 u ，k b ，其中b = 譬是反冲能相应的定态g p 方程为： 一；忆+ 9 m 2 妒+ ( v - s i n a z 一s m 2 警0 妒= 肿 ( 2 2 ) 这里空间坐标z 和宏观波函数妒分别以击和俩作单位量度，激光驻波的 强度k ，和化学势t 以2 倍反冲能2 b = 华为单位，所有的变量和参数 都实现了无量纲化这里g = 4 - ，r a , k l 为相互作用原子之间的赝势，其中8 l 为两体相互作用的s 波散色长度我们把波函数妒写成妒= r ( z ) e 印l 口( z ) 】 代入方程( 2 2 ) 得关于幅度r ( z ) 和相位口( z ) 的两耦合方程 r 犍= 艘+ 2 9 帮+ 2 似s h l 2 卜v 2 s i u 2 - 譬。z d r ， ( 2 3 ) 如。+ 2 以也r = 0 ( 2 4 ) 光晶格中玻色一囊因斯坦凝聚体的混沌和稳定性 1 1 积分方程( 2 4 ) 我们可以得到流速度与粒子数密度之间的关系 口( 功= ，谊1 以m = c f l i k l ( m 砰) ，( 2 5 ) 这里c l = 以( 卸) 舻( 知) 是一个积分常数它由流速度和粒子数密度在边界 翱= o o 的值所决定，把方程( 2 5 ) 应用到方程( 2 3 ) ，则( 2 3 ) 式变为 = 碍帮+ 2 9 舻+ 2 ( v - s i n 2 z 一甜警z 一r ( 2 6 ) 图2 1 ：( a ) 等价相空间的混沌轨道图像，相轨道在有限的区域里显示出混乱的结 构这里r 和心已经是无量纲化了( b ) r 随空问坐标z 的演化 硕士学位论文 对于方程( 2 6 ) ，当c = 0 时，很明显这是一个参数驱动的d u l l i n g 方程， 只是空间变量取代了时间变量，而c 0 时，情况比较复杂，难以找到分析 解，我们寻找到了其微扰解或数值解取8 7 m 原子边界的流速度为v ( x o ) = 5 3 5 1 0 一m 8 ，代入方程( 2 5 ) 得到以( x o ) = 1 ，c 1 = 0 = ( x o ) r 2 c z o ) = o 0 1 边 界条件j r 0 ) = 0 1 ，r o 。) = 0 和实验参数g = 0 5 ，p = 0 4 1 0 2 7 8 ，k l = 2 7 r 8 5 0 ( n m ) ，奶= 6 7 r s 5 0 ( n m ) ，m = 0 0 1 1 6 6 9 8 ，= 0 0 2 ，得到n ( x ) 与 d 兄( 功如的相空间轨道和r 随空间坐标z 的演化，如图2 1 a 和图2 1 b 所 示因此，我们的这个非线性系统出现混沌 由于方程( 2 6 ) 的精确解难得找到，我们把两个弱的外势当作微扰来 寻找它的近似混沌解采用直接微扰的方法，把r ( z ) 展开到一级近似 r ( z ) = r o ( x ) + r l ( z ) ，ir 1 ( z ) i c ，方程( 2 1 0 ) 的解【1 l 】表示 光晶格中玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌和稳定性 1 3 如下 印= b 一( 6 一c ) c n 2 ( ( ，k ) ，e = 、虱两 一匈) ， 匈丽1f 舢孵m k = 仨， 这里f 胁吲= 髟d ( 1 一k as i n 2 ) 一l 是l e g e n d r e 椭圆第一积分，k 为模 数，p o ( 知) 为边界的平衡密度很明显对于不同的系统参数和平衡密度 可以有不同的零级解，如果他们之间满足关系( 2 p 一、丽芦j 两瓦) ( 4 p + 1 6 p 2 - 2 4 9 c a ) 2 = 1 0 8 9 2 碍，口= b ，k = 1 ，解( 2 1 2 ) 具有空间同宿解的形式 p o = 8 一缸一c ) s e c h 2 e 由此，零级方程( 2 7 ) 的解是 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 有时把此称为b e c 背景云中的暗孤子把零级解( 2 1 4 ) 代入方程( 2 8 ) ，我 们得到的一级近似方程是一个非均匀的变系数线性方程方程( 2 8 ) 中， 如果k = k = 0 ，则变为一个均匀方程我们用一个有效的方法f 5 7 1 ，【7 4 】 来构造方程( 2 8 ) 的一般解首先我们构造两个线性无关的解如下 璃= 警= 厕( 叫考黼， ( 2 1 5 ) 砭( r ：) 一2 出= 了丽1 r i ( r ：) 一2 必 础2 e t a n l - ( 1 2 ( n + 4 c ) ( - 3 2 c ( c 。t h e ) + 8 ( 。+ c ) s i n h 2 ( + a s i n h 4 ( 1 3 2 9 ( a - c ) 2 万巧i i 疏1 ( 2 1 6 ) 显然，磁是一个有界的函数，而硝包含了正比于s i n h 4 ( 的项，是随( 成指数增长的，r ：是无界的由q 和硝，非均匀方程( 2 8 ) 解的一般 硕士学位论文 形式是 r 1 = 硝r 硝z s 砰。一k 萄n 2k 鲁z ) r o d x 一磁r 硝z ( s t n 2 z 一面n 2 瓮刁r 0 如 = 南 硝( e ) r 砭( ( ) y ( ( ) 凰( e ) 必 一硝( ( ) 硝( ( ) y ( e ) 风( e ) d 0 ，v ( ( ) 有最小值，当二阶导数k 。( ( 0 ) 0 ， 光晶格中玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌和稳定性 1 5 y ( ( ) 有最大值很明显y ( ( ) 的最值与，h 的取值有关，当如，h 的值给 定时，其最值可以求得，如当h k 。= ( 4 m + 1 ) 孙时( m ，n 为整数) ，最大 值为k ，最小值为一k ，这时对应的见的上下极限分别为3 k v a 4 9 ( a c ) 与一3 v x c a 4 9 ( , , 一c ) 另一方面，从方程( 2 1 7 ) 我们求得髓一阶空间导数 为 扁，= 南【磁r 硝y ( ( ) 风必_ 届cr 硝矿( ( ) 岛d a ( 2 _ 2 1 ) 同理可求得其上下极限为 豆辄，- - 【丽2w ) 箍 + 。甄【- 丽2 吣) 黝 = 一卫2 9 ( a - c ) 。函l i m 吣) + 万禹。甄， ( 2 2 2 ) 一l i m 。r x 一。氅 南眦) 丧袅 + 一l i r a 圹 丽2 吣) 苏】 = 一j 2 9 ( a 生- c ) 。甄吣) + 万老。氅吣) ( 2 这里r “的上下极限同样由y ( ( ) 的上下极限所决定，如果岛，h 值给定， 我们容易得到y ( ( ) 的最值和y ( ( ) 上下极限侈| l 如，当h = ( 4 m + 1 ) 2 n 时( m ，n 为整数) ，r t ，( 的上下极限为币( h + ) 2 9 ( 口一c ) 与一以( + k ) 2 9 ( 口一c ) 现在我们选用可能的边界条件和物理参数对混沌轨道进行数值模拟 取两激光波长为a l = 2 7 r h = 8 5 0 n m 和沁= 2 , r 岛= 8 5 0 3 n m ，8 波散 色长度山= 5 5 脚，则两体相互作用强度g = 0 5 我们取定参数p = o 7 1 2 1 5 ，以( 粕) = 0 0 1 2 2 ，岛( z o ) = l1 9 3 3 8 ，硒；( 知) = 0 ，我们从方程( 2 ，5 ) ， ( 2 9 ) ，( 2 x 1 ) ，( 2 1 2 ) 得到o = b = 1 4 2 4 1 5 ，c = o 0 0 0 3 ，c l = o 0 1 ，q = 0 5 0 7 如果 光格的强度m = o 0 1 ，= o 0 2 ，零级解和一级修正解决定的边界积分常 数c o = 霄，a = b = 一o 。，我们从方程( 2 1 7 ) 出发数值地画出级修正解r 。 随空间的演化。得到如图2 2 a 所示的图像在z = 一6 和z = 8 左右曲线开 始变得很厚，系统进入不可预测的混沌运动区域，但我们发现它不会超出 硕士学位论文 0 0 0 1 1 q 0 0 0 0 x x 图22 ：( a ) 一级近似解r ，的空问演化图像， ( b ) 粒子数密度p 随空间坐标x 的演 化其中的厚