（应用数学专业论文）不确定广义时滞系统的保性能控制.pdf

摘要 摘要 保性能控制问题于七十年代初在自适应控制中被首次提出，其基本 思想就是针对不确定系统设计一个反馈控制器，使得其闭环系统不仅是 稳定的，而且对于所有容许的不确定性，其相应的性能指标不超过某个 确定的上界。同时，时滞和不确定性广泛存在于各类系统中，如通信系 统、电力系统、化工过程等，时滞和不确定性的存在往往使得控制系统 达不到满意的性能甚至不能保证控制系统的稳定性。另一方面，广义系 统中包含了大量带有不确定和时滞的广义系统，它是比正常不确定和时 滞系统更加广泛的一类系统，并且广义系统在实际中有着更广泛的应用 前景，因此，研究不确定广义时滞系统的保性能控制具有重要的理论和 实际意义。 本文主要内容包括以下几个方面： ( 1 ) 针对一类具有范数有界参数不确定性的广义时滞系统，采用线性 矩阵不等式( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y l m i ) 方法，不需对模型进行变 换，利用新提出的二次型积分不等式，研究了不确定广义时滞系统的时 滞相关保性能控制问题，并给出了状态反馈保性能控制器存在的时滞相 关充分性条件和设计方法。 ( 2 ) 针对一类具有范数有界参数不确定性的广义时滞系统，研究具有 风干扰抑制的时滞相关保性能控制问题。利用l m i 方法，给出了风干 扰抑制水平以及玑保性能控制器的设计方法。 ( 3 ) 针对一类含范数有界参数不确定性的广义时滞系统，考虑时滞相 关弹性保性能控制问题。将控制器本身的扰动限定在某一容许范围内， 基于l m i 方法，得到了闭环系统的时滞相关鲁棒弹性保性能控制器存在 的充分性条件和设计方法。 关键词：不确定性；广义系统；保性能控制；也控制；时滞相关；线性 矩阵不等式 广东工业大学理学硕士论文 a b s t r a c t t h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r o b l e mw a sp r o p o s e di nt h ee a r l y 1 9 7 0 s t h eb a s a li d e aist od e s i g nas t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a w s u c ht h a tt h ec l o s e d l o o ps y s t e m sa r es t a b l e ，w h i l et h ec o s ti n d e x o ft h ec 1 0 s e d l o o ps y s t e m sisw i t h i nac e r t a i nb o u n df o ra l1t h e s e a d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e s a l s o ，u n c e r t a i n t ya n dt i m ed e l a ya r e c o m m o n l ye n c o u n t e r e di nav a r i e t yo fe n g i n e e r i n gs y s t e m s ，s u c ha s t e l e c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s ， e l e c t r i c a l n e t w o r k ， c h e m i c a l p r o c e s s e sa n ds oo n t h ee x is t e n c eo fu n c e r t a i n t ya n dt i m ed e l a y i nad y n a m i c a ls y s t e m m a yi n d u c ei n s t a b i1i t yo rp o o rp e r f o r m a n c e s o nt h eo t h e rh a n d ， s i n g u l a ms y s t e m sc o n t a i nm a n yu n c e r t a i n s i n g u l a rs y s t e m sw i t ht i m ed e l a y ，w h i c ha r et h em o r eg e n e r a lf o r m s y s t e m s w i t ha b r o a d a p p li e db a c k g r o u n dt h a nn o r m a ls y s t e m s t h e r e f o r e ，t h ei n v e s t i g a t i o no fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o r u n c e r t a i ns i n g u l a r s y s t e m s i s i m p o r t a n t b o t hi n t h e o r y a n d p r a c t i c e t h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf 0 1 1 0 w s ： ( 1 ) i nt e r m so f1 i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya p p r o a c h ，t h ep r o b l e m o fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o li sd i s c u s s e df o rs i n g u l a mt i m e d e l a y s y s t e m sw i t hn o r m b o u n d e dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s a d e l a y d e p e n d e n tc o n d itio no ft h es t a t ef e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o l l e ri sp r o p o s e d a d o p t i n g d i r e c t l yn e wq u a d r a t i ct e r m i n t e g r a li n e q u a l i t yw i t h o u tm o d e lt r a n s f o r m a t i o n a n da l s ot h e c o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o di sp r o v i d e d ( 2 ) t h ed e l a y d e p e n d e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e rs a t i s f i e s h 。d is t u r b a n c ep r o b l e mi ss t u d i e df o rac l a s so fs i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m sw i t hn o r m b o u n d e dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s t h e o p t i m a lg u a r a n t e e d c o s ti n d e xa n d o p t i m a lh 。d i s t u r b a n c e a t t e n u a t i o nl e v e la r ed e r i v e da n dt h e 玩c o n t r o l l e rd e s i g ni s a b s t r a c t a l s og i v e nv i a1 i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u e ( 3 ) t h ep r o b l e m o f d e l a y d e p e n d e n tg u a r a n t e e d c o s t r e s i l i e n t l yc o n t r o li sc o n s i d e r e df o rac l a s so fs i n g u l a r t i m e d e l a ys y s t e m sw i t hn o r m b o u n d e dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s t h e c o n t r o l l e rd i s t u r b a n c ei sa s s u m e di nas e l e c tr a n g e b a s eo nt h e 1i n e a rm a t r i x i n e q u a li t y t e c h n i q u e ，t h ed e l a y d e p e n d e n t s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ee x is t e n c eo f g u a r a n t e e d c o s t c o n t r o l l e ri s g i v e n ，a n dt h ec o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o di sa l s o d e r i v e d k e yw o r d s ：u n c e r t a in t y ：sin g u l a rs y s t e m ：g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ： 风c o n t r o l ：d e l a y d e p e n d e n t ：1i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) i i i 独创性声明 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是 我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他用途使用过的成果。与我一 同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明，并表 示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取 得的，论文成果归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此 声明。 4 3 论文作者签字： 指导教师签字： 年月日 第一章绪论 1 1 广义时滞系统 第一章绪论 自从一19 7 4 年英国学者h h r o s e nb r o c k 在研究复杂电网络系统的过 程中首先提出广义系统概念以来，人们发现，用广义系统来刻划与描 述实际应用中经常遇到的一些系统比用线性正常系统更为自然、方便、 精确。并且，对于不少实际系统而言，比如核反应堆【2 】、受限机器人【3 】 等，只能用广义系统来描述而不能用线性正常系统来刻划。随着现代控 制理论的发展以及计算机技术的进步，控制理论与方法在工程系统中的 应用变得日益广泛和深入，人们越来越强烈地认识到广义系统对系统理 论研究的重要性，并发现广义系统在人工神经网络【4 】、电力系统、经济 系统、复杂电路、航空航天技术等领域中有着广泛的应用。从而，广 义系统也因理论上的学术价值和广泛的应用前景而吸引了国内外众多的 研究工作者的关注和重视。三十多年来，广义系统的研究工作已取得了 很多卓有成效的研究成果 6 】，但时至今日，这一领域的研究工作仍很不 完善，关于广义系统的控制与综合问题，仍有待于进一步深入研究和探 索。 另一方面，在客观世界及实际工业系统中，时滞现象是普遍存在的， 其特点是事件发展的趋势不仅与当前状态有关，而且还和事件过去的信 息有关。如加长管道进料或皮带传输、网络控制信号传输、缓慢的反应 过程或复杂的在线分析等。通常，控制系统由于机械磨损、元器件老化、 物质或信息的传递和能量的转换往往会导致时滞现象的产生。因此，通 信系统、生态系统、传输系统、电力系统等都是典型的时滞系统。时滞 的存在会造成系统控制无论在理论分析上还是在工程实际应用中都有特 殊的困难，时滞的存在还将严重降低系统的性能，和无滞后情况相比， 滞后将使系统的响应变差，而且还可能给系统的稳定性带来重大威胁【，】， 同时，人们为了使系统具有所期望的性能，会人为地在系统设计中引入 时滞的作用。因此在过去几十年中，关于时滞系统的研究引起了国内外 学者的广泛关注，并涌现了许多优秀成果【7 - jo 。 广东工业人学理学硕士论文 由于广义系统的更为一般性，加之时滞是影响系统稳定和系统性能 的重要因素之一。因此在许多实际系统中，要对其准确地描述，从而对 其更精确地设计、分析和应用，就必须同时考虑时滞的影响和奇异现象。 广义系统中包含了大量带有时滞的广义系统，即广义时滞系统，广义时滞 系统在文献中又常被称为时滞微分一代数方程、隐式时滞系统和奇异时 滞系统，本质上是由矩阵时滞微分方程和矩阵微分代数方程构成的系统， 在宇宙飞船姿态控制，大型化工系统，大型电网控制及无线传输线路等 各种工程系统中有着非常广泛的应用。另外，由于对系统某些特性或环 节缺乏足够的了解、建模误差、环境的变化以及某些物理参数的漂移等 因素的作用下，系统的不确定性是客观存在的。而且人们有时在某些实 际控制问题中，为了有效地进行控制系统设计，往往会采用一个相对简 单的模型来描述一个复杂的动态系统，而模型的简化又常常会导致系统 不确定性的产生。因此为了使广义时滞系统理论能在实际应用中发挥更 有效的作用，有必要对不确定广义时滞系统进行研究。研究不确定广义 时滞系统，将为科学技术、工程实际提出新的理论方法与解决问题的途 径，具有重要的理论意义和实用价值。 经过几十年的发展，关于不确定广义时滞系统的研究已经有了长足 的进步，并出现了很多有价值的成果。其中有关广义时滞系统稳定性方 面的成果可分为两类：一类是时滞独立型结论，一类是时滞相关型结论。 一般来说，时滞独立的稳定性条件比较保守，特别是对于滞后时间较小 的系统情形。 文献 1 1 是较早研究广义时滞系统的专著，通过初始函数无穷次可 微的条件，讨论了线性定常广义时滞系统的解的存在性和唯一性问题， 并给出了系统存在无穷次可微解的充分条件。不足之处是这一初始条件 要求太强。文献 12 注意到了这个问题，并将初始条件减弱为只要求连 续即可。文献 13 通过广义逆矩阵的方法讨论了线性广义时滞系统的可 解性问题，并建立起了线性广义时滞系统的基本理论，得到了较为系统 的结果。在文献 14 中，x u 等人通过矩阵分解的思想将广义时滞系统的 解的存在唯一性与正则无脉冲性和系统矩阵的性质联系起来，得到了更 为直观的结果。文献 1 1 14 对广义时滞系统解的存在唯一性进行了研 2 第一章绪论 究，这是对广义时滞系统进行分析与综合时需要解决的一个难点问题。 另一个难点是广义时滞系统的稳定性问题。文献 15 在文献 6 的基础上 首次对广义系统的鲁棒稳定性及鲁棒镇定问题进行了研究，并指出当系 统存在参数扰动时，广义系统的正则性及脉冲模对系统参数的变化非常 敏感。因此，在讨论不确定广义时滞系统鲁棒稳定性的时候，还应该考 虑系统的正则性和无脉冲性。文献 12 还在假定系统正则、无脉冲的情 形下，将传统意义下的l y a p u n o v 稳定性定义推广到了广义时滞系统，给 出系统关于解的向量函数稳定及渐近稳定的定义。在此基础上，解决了 线性定常广义时滞系统在几种特殊情形下的稳定性问题。文献 16 在假 定系统正则，无脉冲的前提下，利用矩阵测度和矩阵范数理论，研究了 两类不确定广义时滞系统，即含结构参数不确定性的广义时滞系统和广 义时滞区间系统的鲁棒稳定性问题，在未知扰动很小的情形下，给出了 这两类系统鲁棒稳定的充分条件。在文献 17 中，x u 等人则将正常系统 中“二次稳定”及“二次可镇定”的概念推广到不确定广义系统，提出 “广义二次稳定”及“广义二次可镇定”的概念。x u 等人还在文献 14 中通过研究系统的广义二次稳定和广义二次能稳定研究了具有参数不确 定性的时滞广义系统的鲁棒稳定性和鲁棒镇定问题，并得到了基于l m i 的控制器的设计方法。另外，文献 18 - 2 2 对广义时滞系统的矾控制问 题进行了研究。 以上的结果均为时滞独立型，对滞后时间常数特别小的控制系统而 言是具有较大保守性的。目前有关广义时滞系统时滞相关的鲁棒稳定性 分析和镇定的结果还不多，并且主要还是一些局部性的结果。 以色列学者f r i d m a n 是较早对广义时滞系统进行时滞相关鲁棒性分 析的研究者之一，他在文献 2 3 中以l m is 的形式得到了广义时滞系统的 时滞相关稳定性判据，并指出当= 0 时，系统是渐近稳定的。在文献 2 4 中，f r id m a n 在假定系统正则、无脉冲的前提下，研究了具有多时滞和 分布时滞的时滞广义系统的稳定性问题，通过构造适当的广义 l y a p u n o v k r a s o v s k ii 泛函，得到了基于l m i 的系统稳定的时滞相关充 分条件。同样地，文献 2 5 也是在假定系统正则、无脉冲的情况下，将 系统分解成等价的快、慢子系统，得到了基于l m i 的时滞相关稳定和镇 广东工业人学理学硕士论文 定的充分条件，并给出无记忆状态反馈控制器的设计方法。文献 2 6 则 在文献 2 5 的基础上给出了不确定广义时滞系统的时滞相关稳定性判 据。然而文献 2 5 ，2 6 的结果存在很大的保守性，因为在得到结果前， 需要事先选定一个矩阵来描述快慢子系统之间的关系，这样如果选择了 不适当的矩阵，那么就会导致结果的错误，文献 2 5 中例3 1 便说明了 这个问题。文献 2 7 在假定对应的广义时滞系统正则、无脉冲的条件下， 将原系统转化为一个带约束条件的中立型系统，利用一个二次型积分不 等式 5 8 1 ，采用l y a p u n o v k r a s o v s k ii 泛函方法，获得了一个保守性较小 的基于l m i 的时滞相关稳定性充分条件。不过，文献 2 7 的结果很难推 广到含参数不确定性的广义时滞系统。主要原因还是在于文献 2 7 的结 果是在假定系统正则、无脉冲下得到的，并且处理过程中还涉及系统矩 阵的分解，过程复杂繁锁。文献 2 8 ，2 9 基于l m is 的形式得到广义时滞 系统正则、无脉冲的时滞相关充分性条件，比之上述结果，保守降低了 很多。文献 3 0 通过对系统进行模型变换，利用m o o n 不等式 3 h ，基于 l m i 方法获得了一类具有参数不确定性的广义时滞系统的正则、无脉冲 且鲁棒稳定的时滞相关判据，并得到系统鲁棒镇定状态反馈控制器存在 的时滞相关充分性条件，还利用锥补线性化思想 3 2 1 ，处理了文中求解控 制器的不等式中含有的非线性项，将求解问题转化为求解一个凸优化的 线性矩阵不等式问题。在此基础上，文献【3 3 研究了输出反馈控制问题， 得到了使闭环系统正则、无脉冲且鲁棒稳定的输出反馈控制器存在的条 件和设计方法。文献【3 4 将文献 3 5 ，3 6 】的方法推广到了广义时滞系统， 给出了广义时滞系统一个新的正则、无脉冲且鲁棒稳定的时滞相关充分 条件。与上述文献比较，该文有了较大的进步，表现在结果直接以线性 矩阵不等式的方式表达，应用起来更为方便。并且推导过程不涉及系统 矩阵的分解。文献 3 7 发展了文献 3 4 】的结果，不需要进行模型变换，直 接对原系统构造广义l y a p u n o v 泛函，获得了广义时滞系统正则、无脉冲 且鲁棒稳定的时滞相关判据和鲁棒镇定状态反馈控制器存在的时滞相关 充分条件。文献 3 7 的结论显示结论具有较小的保守性，并且控制器的 设计也相对简便。文献 3 8 ，3 9 研究了广义时滞系统的时滞相关玩控制 问题，文献【4 0 】则对一类不确定离散广义时滞系统的时滞相关鲁棒稳定 4 第一章绪论 性问题进行了研究，利用线性矩阵不等式技术和自由权矩阵方法1 4 1 1 ，给 出了系统鲁棒稳定的时滞相关条件。不过，对于不确定离散广义时滞系 统的时滞相关鲁棒镇定问题，目前相关的结果还很少。 1 2 广义时滞系统的保性能控制 不确定系统保性能控制( g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ，g c c ) 问题是由 c h a n g 和p e n g t 4 ：】于七十年代初在自适应控制中首次提出，它是解决线性 二次调节器( l q r ) 缺陷的一种有效方法。其基本思想就是针对不确定 系统设计一个反馈控制器，使得其闭环系统不仅是稳定的，而且对于所 有容许的不确定性，其相应的性能指标不超过某个确定的上界。这样就 保证了由系统的不确定性引起的恶化后的性能指标仍小于事先估计的性 能指标上界，使得人们对系统性能的恶化程度有了一定程度的了解。经 过近几十年来众多国内外学者的努力，关于不确定线性时滞系统的鲁棒 g c c 问题的研究已日趋成熟，文献 4 3 4 8 分别讨论了几类系统的保性 能控制器存在的时滞独立型及时滞相关型条件，并且给出了状态反馈与 输出反馈控制器设计。关于不确定广义时滞系统的g c c 问题的研究却还 有待继续挖掘。文献 4 9 是公开发表较早的讨论不确定广义时滞系统 g c c 方面的文章，通过l m i 技术，得到了问题可解的一个充分条件和保 性能控制律的设计方法以及相应的可保性能指标。文献 5 0 通过给定一 个合适的稳定性定义，在此基础上，利用l m i 方法研究了一类具有参数 不确定性的广义时滞系统的g c c 问题，并给出了基于状态反馈最优保性 能控制律的设计方法。文献 5 1 针对一类同时具有状态和控制时滞的不 确定奇异时滞系统，基于状态观测器研究其保性能控制问题。不过该文 没有考虑系统的正则性和无脉冲模特性，只是简单的将正常系统的稳定 性方法推广到广义系统而已。文献 4 9 5 1 给出的均为时滞独立型状态反 馈保性能控制器的设计。关于不确定广义时滞系统的时滞相关保性能控 制的研究成果到目前为止还不多【5 2 州】，这正是本文研究工作的动机。 1 3 本文的主要工作 本文主要研究了不确定广义时滞系统的保性能控制问题。基于一个 s 广东t 业大学理学硕士论文 新给出的二次型积分不等式，直接采用l y a p u n o v 泛函分析方法，结合 l m i 技术，使得原系统在不需进行模型变换的情况下，研究了几类不确 定广义时滞系统的时滞相关保性能控制问题，并得到了保守性较小的结 果。全文的结构安排如下： 第一章，较为详细介绍了广义时滞系统的鲁棒分析与综合问题的历 史背景、研究现状以及存在问题。其次，简要介绍了本文所要用到的基 本数学知识以及广义时滞系统的基础知识，并给出了几个本文常用的引 理。 第二章，针对一类具有范数有界参数不确定性的广义时滞系统，利 用一个新的二次型积分不等式，不需对模型进行变换，研究了不确定广 义时滞系统的时滞相关保性能控制问题，并给出了状态反馈保性能控制 器存在的时滞相关充分性条件和设计方法。 第三章，针对一类具有范数有界参数不确定性的广义时滞系统，基 于l m i 方法，研究了具有玩干扰抑制的保性能控制问题。所得到的玩 保性能控制器是时滞相关的，对比之前的此类文献，结果的保守性有了 一定的降低。 第四章，针对一类含范数有界参数不确定性的广义时滞系统，考虑 了关于两类不同的控制器增益摄动的时滞相关弹性保性能控制问题。利 用l m i 技术讨论了控制器增益存在的条件以及设计方法，得到的结果是 以矩阵不等式的形式表示的，可以用m a t l a b 中相应的l m i 工具箱方便 地进行求解。 最后是全文的总结与展望。 1 4 预备知识和数学基础 首先介绍本文将要用到的一些数学符号： x r “：x 为n n 维实空间矩阵；x r “：x 为n 维向量； x t ：矩阵x 的转置；x t ：向量x 的转置； x 一科”：n xn 维矩阵彳的逆；，：表示适当维数的单位矩阵； q o ( 0 ) ：表示q 为正定矩阵( 半正定矩阵) ； q ：表示块对角矩阵； d e g ( f ( x ) ) ：表示多项式f ( x ) 的次数： 九。( x ) ：表示矩阵x 的最大特征值； i i x t i ：表示向量x 的2 范数，即l i x l l = x t x ； 0 x | 1 表示矩阵x 的2 范数，即0 x 0 = k ( x t x ) ； j 薹 ：表示对称矩阵 y x t 三 。 1 4 1 线性矩阵不等式 本节介绍线性矩阵不等式的一些基础知识，下面给出线性矩阵不等 式的定义： 定义1 4 1 1 5 4 1 下面的矩阵不等式称为线性矩阵不等式( l m i ) f ( x ) = f o + 鼻+ + x 。f m 0 ， ( 1 1 ) 其中_ ，是个实数变量，称为线性矩阵不等式( 1 1 ) 的决策变量， x = ( x l ，) t 瓞m 是由决策变量构成的向量，称为决策向量， f = f t 风“，i = o ，1 ，m 是一组给定的实对称矩阵，( 1 1 ) 式中的不等号 “ 指的是矩阵f ( x ) 是负定的，即对所有非零的向量v r 。，v t f ( x ) v 0 ， 或者f ( x 1 的最大特征值小于零。 若下式成立 f ( x ) = f o 1 - x 1 f 1 + + r 0 ， ( 1 2 ) 则称不等式( 1 2 ) 为非严格线性矩阵不等式。 显然，对多个l m i 可以用一个l m i 来表示，即： e ( x ) 0 ，e ( x ) 0 ，二( x ) 0 ， 等价于： e ( x ) e ( x ) ( x ) 0 。 通常，在控制理论研究中所遇到的二次非线性矩阵不等式，可以用 7 广东t 业大学理学硕上论文 下面的s c h u r 补引理将其转化为线性矩阵不等式，这也是线性矩阵不等 式在控制理论研究中能得到广泛应用的主要原因之一。 引理1 1 1 5 5 1 ( s c h u r 补引理) ：设s ，s 为适当维数的矩阵，则分块对称矩 阵 霹s 1 量 负定当且仅当 s o ，s 一霹耳1 是 o 或s 0 ，使得对任意满足 s u p ( f ) 0 6 ( ) 的相容性初始条件巾( ，) ， 系统( 1 3 ) 的解满足 忙( f ) ，v t 少 o ，并且熄x ( f ) = o ，则广义时滞系统( 1 3 ) 是零解( 渐近) 8 第一辛绪论 稳定的。 1 4 3 几个引理 f 面给出本文需要的几个引理。 引理1 4e 5 6 1 ：给定适当维数矩阵f ，e 和e ，且f t ( ，) f ( f ) ，则对任意的 标量，矩阵不等式( 1 4 ) 成立 y z f y 3 + 墨t f t e t e e t + 。e t y 。 ( 1 4 ) 引理1 5 1 5 6 ：给定鬈= x t ，以及适当维数矩阵e 和e ，则不等式 x + e 码+ e t f t e t 0 ，使得i + k k t + 一e t 巧 0 为给定的对称正定加权矩阵。关于系统( 2 1 ) 的鲁棒保 性能控制器，引进定义2 1 。 定义2 1 ：对于系统( 2 1 ) 和性能指标( 2 3 ) ，如果存在一个控制器 u ( f ) = k x ( f ) ，k r ”， ( 2 4 ) 和一个正数，使得对所允许的不确定性和任意满足0 h 乃的滞后时 间常数h ，闭环系统都是正则、无脉冲、渐近稳定的，并且闭环性能指 标( 2 3 ) 是有界的，即j o ，z l 。o ，z 2 2 = z 乏，以及适当维数矩阵e ，x ，e ，z 1 2 ， 且满足： ixk艺i l 幸 z 1 。 z 1 ：f o ， ( 2 6 ) l 木 木 z 2 ：jl - 一 则有 o e 嘲蛐一矿墨鬃- 叫y l a e 匕j 亏+ 撑 乏1 卦m 其中：芎t ( ，) = lx t ( f ) x t o h ) l 。 广东工业大学理学硕十论文 证明：根据l e i b n i z n e w t 。n 公式：x ( ，) 一x o 一乃) = j ：，_ 。戈 ) a s ， 贝u e x ( t ) 一e x ( t 一办) = i 。e y c ( s ) d s 成立， ，f n 故对v n , ，2 r “，有 o = 2 e 川) w + 砌一五) m | e x ( t ) 一e x ( t 一乃) 一j ：，_ 。e y e ( j 渺l = 亏t ， j e ：e t l e t n e ：一- e n t t m e 亏。，一2 j ：- 。号t 。r ， 瓮；1 戥c s ，出， ( 2 7 ) 令v 粥2 ，叫x 吼z = 降甜自引理1 6 有 一2 儿t 砌凼q 。胃球卜z 忡jl 亏( t ) 卜 = f f - 。戈t ( s ) e t x e y c ( s ) d s + i t t 一。咖) z 凼+ 2f f ic t ( f ) ( 】，t e n t e ) y c ( s ) d s ，f 一一 = f ，- 戈t ( s ) e t x e i c ( j ) 幽+ 埏t ( f ) z + 2 亏t ( t ) e y t e n t e 。 ，一小( f ) = 正 戈t ( j ) e t x e x c ( s ) a s + h e t ( f ) z + 亏t ( f ) y i t e - - e t y l 二w e e t 1 一e 珂t y e 2 - 一y e j t t e 蔓- + e 孵t n e 2 + + e n t t 2 ej q 亏。) ， ( 2 8 ) 将( 2 8 ) 代入式( 2 7 ) 中，移项整理，即可证得引理2 1 ，证完。 注2 1 ： 若令e = ，互。= 研r - 1 m ，z 1 2 = m t r m 2 ，z 2 ：= 珥r 1 鸩，x = r ， i = m ，艺= m 2 ，即得到文献 5 8 中的命题3 。这里由于乞，r ( f = l ，2 ) 只需满 足式( 2 6 ) ，对比文献 5 8 中的命题3 的条件，显然这里的二次型关系式 更为宽松，因此保守性也会相对较小。 定理2 1 ：给定常量h 0 ，广义时滞标称自治系统( 2 5 ) 对任意满足 0 h h 的滞后常数h 都是正则、无脉冲且稳定的，如果存在矩阵 x o ，q 0 ，z l 。0 ，以及适当维数的矩阵p ，x ，e ，z l ：，z 2 ：，其中尸是非奇异 1 2 第二章不确定广义时滞系统的保性能控制 pke 【麓乏j 0 川 lr 1 1 p t 4 + e t k k t e + h z j 2 h * a t x i 乖 一巧e e t e q + h + z 2 2 办a t xi 0( 2 9 c ) l 宰 凇 一h x 成立，其中：f 1 1 = p t a + a t p + x t e + e t 巧+ q + 办z l l 。 p t a + a t 户+ x t e + e t i 0 ， ( 2 1 0 ) m e n = ， = 陵甜刷= 匮珈即= 瞪玢弦 p ：舅o ， l 置-墨z j 磁彳2 2 + 砭最2 o ，互 o ，m l 0 ，以 及适当维数的矩阵厶形，m ：，鸠：，其中三是非奇异的，使得矩阵不等式 1 4 第二章不确定广义时滞系统的保性能控制 q = f m l l 争m 1 2 q 】lq 1 2q 1 3r 墨形t 恐 木 q 2 2 办* l t 纨t 00 ( 2 17 a ) ( 2 17 b ) o ，q 0 ，z i ，0 ，以及适当维数的矩阵 p ，巧，e ，z l ：，z e 2 ，其中p 是非奇异的，使得式( 2 9 a ) 、( 2 9 b ) 以及线性矩 阵不等式 f _ r ：。p t 以+ e t e k t e + h z 1 2 矿管x i 牛 一霹e e t e q + h + z 2 2办+ 彳j xi 0 ) 积分，则有 一rt p ) ( 墨+ k t 矿( t ) 一 ，(n x r 2v ( x o )24)j o 1 p ) ( 墨+ k 1 r 2 k ) x ( t ) d t 矿( t ) 一v ( x o ) ， ( 2 2 4 由于系统是渐近稳定的，因此，当f 一佃时，有v ( x ，) 斗0 ，再利用初始 条件，所以 ，嚣嬲毫裟v 舫( x o ) x e ( o ( o ) a o & ，弦2 5 ， 伊t ( o ) 尸t e 缈( o ) + f 。伊to ) q 矽( s ) 凼+ f ”rf ”驴t ( p ) e t ， 下面还需证明( 2 17 c ) 成立保证( 2 2 0 ) 成立，并且( 2 2 5 ) 的右端和 ( 2 18 ) 右端是相同的。 由( 2 2 0 ) 成立，令t = d a g - 1- - | x 1 ，对( 2 2 0 ) 进行合同变换， 左乘丁t ，右乘丁，记 = p - l , j = - - 1 誓。毛p ，艺= 占2 尸，w = 艘，耍= p t 鲈， ( 2 2 6 ) m 1 1 = p 。z 1 1 p - l , m 2 = p 。z 1 2 - 1m 2 2 = p 。z 2 2 p ， 经计算和整理，并由矩阵的s c h u r 补引理可以证明，( 2 。17 c ) 与( 2 2 0 ) 是等价的。 同理可证，( 2 。17 a ) 、( 2 17 b ) 分别与( 2 9 a ) 、( 2 9 b ) 等价。 将( 2 2 6 ) 的相关表达式代入( 2 2 5 ) 即得到( 2 18 ) ，证毕。 基于定理2 2 ，我们可以得到不确定广义时滞系统( 2 1 ) 的鲁棒保性 能控制器存在的时滞相关条件以及设计方法。 定理2 。3 ：给定常量h o ，岛，s 2 ，如果存在矩阵贾 o ，耍 o ，m 1 1 0 ，以 及适当维数的矩阵厶矽，m ：，m ：，其中三是非奇异的，使得对所有满足 f t ( ) f ( ) i 的不确定矩阵f ( f ) ，矩阵不等式( 2 17 a ) 、( 2 t7 b ) 和( 2 2 7 ) 1 6 第二章 不确定广义时滞系统的保性能控制 成立， q 1 1q 1 2 枣 q 2 2 枣宰 f 2 1 3r 墨w t 恐 6 d ( 巨三+ 历形) t h d a j 000c e 2 t 一办j00o o h + d 0 乖 一兄00 0 木 宰 一见0 0 幸 牛幸 一占，0 幸 宰枣木 - s i 0 ，( 2 2 7 ) 其中，q q 。：，q 1 3 ，q ：与定理2 1 中定义相同。则不确定广义时滞系统( 2 1 ) 对任意满足0 h h 的滞后常数h 都是鲁棒稳定的，且 材( f ) = k x ( t ) = w l - 1 x ( f ) 是系统( 2 1 ) 的一个鲁棒保性能控制器，相应的性 能指标函数( 2 3 ) 满足： ，伊t ( 0 ) l - t 砌( o ) + 缈t ( s ) l - t 豇1 妒( s ) a s + f t ( 臼) e t 牙e ( o ( o ) d o a s 。 证明：在( 2 1 7 c ) 中分别用a + d f e l ，4 + d f e 2 ，b + 唱代替a ，a d ，b ， 则有 q + 0 1 f ( t ) 0 2 + j f t ( f ) o j 0 ，使得下式成立 q + 羽1 0 j + 占- 1 0 2 t o ， 0 ，( 2 2 9 ) 再根据s c h u r 补引理，( 2 2 9 ) 等价于( 2 2 7 ) ，证毕。 2 4 数值算例 本节将给出两个例子来说明上述结果的有效性。 例1 考虑广义时滞标称系统( 2 5 ) ，取其中的系统参数值为 e = 三吕 ，彳= 苫三 ，鸽= 1 怎 ， 对比不同的4 ，应用定理2 1 计算得的结果和以往文献结论对比如 表2 1 所示，结论显示我们的结果具有更小的保守性。 1 7 表2 1系统( 2 5 ) 时滞相关稳定条件的时滞上界h + 对比 t a bie2 1 ：c o m p aris o n so fm a xim u malio w e dd eia yh f o re x a m pie 1 4 1 11 11 5236 3 0 1 o o o o0 9 0 9 10 6 6 6 70 5 0 0 0o 3 3 3 3o 1 6 6 7 【5 2 】 o 9 1 4 90 8 7 0 8o 7 3 2 10 6 1 2 5 0 4 2 2 6 5 9 1 1 5 4 41 0 4 2 30 7 9 9 10 6 3 1 90 4 3 6 10 2 2 6 3 定理2 1 1 15 4 71 0 6 6 0o 8 1 6 4o 6 3 2 4 0 4 3 6 4 0 2 2 6 4 例2 考虑不确定广义时滞系统( 2 1 ) ，取系统参数为 e = 三暑 ，彳= 二。三 ，4 = 一尝5 苫孑 ，b = 宇 ， 厂o 2 0 o 1 qf 1 o 1 o 2 一 厂o 1 0 3 1 1 1 d 2 l o1ol ，巨2l1oo 1l ，易5ioo 1 ll ， 毛= o 1 o 】1 ，9 ( f ) = 【l1 j ，t e - 1 2 ，o 取性能指标函数( 2 3 ) 的加权矩阵为：r 1 = 乞，r 2 = 2 ，选取s 。= - 0 2 ， 2 =