（应用数学专业论文）低相关区域序列集设计.pdf

福建师范大学林富春硕士学位论文 中文摘要 本文对一种适用于准同步码分多址通信系统的( 扩频码) 低相关区域序列集进 行研究主要内容有： 1 总结和介绍了低相关区域序列集的应用背景和已有的构造方法，以方便对此课 题感兴趣的人了解该课题 2 用序列对交织的结构对一种探索中的新构造方法进行证明和分析新证明不仅 大大简化了原来的证明，还揭示了该构造的原理此外，从对交织结构的角度 出发我们还论证了用这种方法无法构造出f 2 上的最优低相关区域序列集 3 利用对交织结构构造出具有新参数类型的最优低相关区域序列集我们把对交 织结构用到z 4 上去，利用z 4 上序列与f 2 上序列的g r a y 映射用一条具有理 想自相关性质的f z 上序列构造出z 4 上的具有新参数类型的最优低相关区域序 列集 织 关键词：准同步码分多址，低相关区域序列。子域分解序列，交织序列，对交 中文文摘 随着用户数量的急剧增加，传统的多用户共用通信资源系统频分多：瞰f d m a ) 与时分多址( t d m a ) 已无法满足需要，而理论上能容纳无限多用户的新型多用 户共享系统码分多址( c d m a ) 技术应运而生所有第三代的通信系统都已采用 了码分多址技术它的原理不是象传统频分多址和时分多址那样把通讯资源细分再 分配给不同的用户，而是多用户同时使用全部的通信资源，不同用户之间通过使用 不同的码进行区分这种多用户共享方案能容纳用户的数量由多址干挠( m u l t i p l e a c c c s si n t c r f c r c n c c ) 与多途衰减( m u l t i p a t hf a d i n gi n t e r f e r e n c e ) 决定本文探讨 的是直扩扩频通信中的码分多址，这种码分多址的多址干挠和多途衰减都是由所使 用的扩频( 码) 序列的相关值决定的，因此要求所使用的扩频序列两两之间的相关值 越低越好1 9 9 2 年，r d g a u d e n z i 等提出了一种准同步码分多址( q s - c d m a ) 系统1 3 】在这种新系统中，允许有少数几个码片的时延这就要求这种系统中使用 的扩频序列不仅要两两之间相关值很低，还要两两之间在存在少数几个码片的相对 移位的情况下相关值也要很低用序列的语言描述即我们需要一种在原点附近具有 低相关值区域的序列集，这个序列集里的序列在零点附近有低的互相关值和异相自 相关值1 9 9 8 年，龙必起等用g m w 序列【4 】构造出了一种低相关区域序列集， 有效地提高了准同步码分多址系统的效率【5 】随后低相关区域序列集设计引起了 广泛的关注，开始有研究序列设计的工作者介入，并逐渐发展为序列设计中的一个 课题 本文共有三章，每章各有三节以下是f r j 章节的内容梗概： 本文的第1 章对扩频通信和扩频通信中的码分多址作简略的介绍以作为低相 关区域序列集设计的应用背景，然后给出低相关区域序列集的定义其中1 1 节介 绍扩频通信系统的一些基本原理，扩频调制是一种通过牺牲一定的带宽和能量来换 取安全通信的凋制模式它能很好地隐藏信息不容易被第三方发现和识别并且具有 强抗干扰能力，它能抵抗来自同一信道中其它用户的无意干扰，或者来自第三方的 攻击干扰1 2 节介绍不同的码分多址系统需要的具有不同性质的扩频码，其中提 到同步码分多址( s y n c h r o n o u sc d m a ) 及其中使用的正交( 码) 序列集，非同步 l i l 5 分多址( a s y n c h r o n o u sc d m a ) 及其中使用的低相关信号集( s i g n a ls e t sw i t h l o wc o r r e l a t i o n ) 和准同步码分多址( q u a s i - s y n c h r o n o u sc d m a ) 及其中使用的 低相关区域序列集( l o w - c o r r e l a t i o n z o n es e q u e n c es e t s ) 1 3 节开始介绍低相 i l l 福建师范大学林富春硕士学位论文 关区域序列集先是介绍了序列设计中的一些基本概念，如有限域上的迹函数及其 性质，序列的函数表示法，序列相关函数的定义等；接着给出低相关区域序列集的 定义和最优低相关区域序列集所要满足的一个界最后罗列了低相关区域序列集设 计发展过程中的一些主要结果 本文的第2 章对已有的一种基于有限域子域分解的构造方法进行总结和分析 其中2 1 节介绍子域分解结构和子域分解序列，交待了这种构造法得到的序列的类 型，另外还提到了一类在这种构造法中起关键作用的具有二平衡性质的有限域上的 函数并给出几例这类函数2 2 节给出这种构造法的构造定理，为了方便阅读我们 把原文的证明译成中文接在定理的下方接下来通过对该定理结论的分析，归纳出 低相关区域序列集的基序列集所要满足的条件从而把低相关区域序列集的设计与 一类任意两行( 看成序列) 都移位不等的h a d a m a r d 矩阵的设计对应起来，这类 h a d a m a r d 矩阵一般称为完全非循环h a d a m a r d 矩阵2 3 节列举了较有代表性的 几倒完全非循环h a d a m a r d 矩阵的构造，并给出简短的评注其中的构造主要来自 两篇文章1 1 3 1 4 】对第一、二章内容感兴趣的人请参考我们整理的综述【 本文的第3 章开始进行低相关区域序列集新构造方法的探索，这部分内容构 成本文的主体，它由我们的两篇研究论文组成【2 1 矧第二章的基于有限域子域分 解的设计所得的低相关区域序列集的参数都受有限域子域分解结构限制，即必须是 ( q “一l ，r ，m 一1 ，籍鲁，1 ) - 低相关区域序列集实际应用中我们需要的是f 2 和甄上的 参数更有弹性的低相关区域序列集故在第三章中我们探讨具有新参数的f 2 和z 4 上的最优低相关区域序列集设计类似于第二章第一节，3 1 节介绍了对交织结构 与对交织序列，交待了这类构造法得到的序列的类型同时，由于下文论述的需要， 该节还推导了移位与相关函数的公式，移位与采样的转换公式以及对交织序列的相 关函数公式3 。2 节首先描述了y o u n g - s i kk i m 等提出的一种可以调整区域长度与 序列条数的低相关区域序列集的新构造方法，然后我们用对交织的结构来对他们的 构造进行分析和证明得出他们的构造法实际上是用条周期为n = 2 n 一1 的具有 理想自相关( 又称二级自相关) 性质的如上的序列作为基序列进行对交织来构造 周期为2 n 的f 2 上的低相关区域序列接着我们从对交织结构的角度对y o u n g - s i k k i m 等的构造作进一步的分析，得出对交织构造法无法构造出砸2 上的最优低相关 区域序列集3 3 节我们把3 2 节的构造方法应用到z 4 上，利用z 4 上序列与如 上序列的一种称为g r a y 映射的对应关系得到一种用一条f 2 上具有理想自相关性 质的序列通过类似对交织的方法来构造z 4 上的最优低相关区域序列集的方法这 种方法构造出了首例的不具有子域分解结构的参数的最优低相关区域序列集本节 i v 福建师范大学林富春硕士学位论文 的后半部分介绍了s a n g - h y ok i m 等提出的另一种z 4 上的最优低相关区域序列集 的构造方法，并对两种构造法进行了比较，总结了它们的异同和交待了我们的构造 法之所以能得到具有新参数的最优低相关区域序列集的原因 v 福建师范大学林富春硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t hat y p eo fs e q u e n c es e t sc a l l e dl o w - c o r r e l a t i o n z o n er e - q u e n c es e t su s e d ( a st h es p r e a d i n gc o d e s ) i nq u a s i - s y n c h r o n o u sc o d ed i v i s i o nm u l - t i p l ea c c e s sc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s t h ec o n t e n t si n c l u d e da r ea sf o l l o w s 1 as u r v e yo fl o w - c o r r e l a t i o n - z o n es e q u e n c es e t s w h i c hw i l le n a b l et h er e a d e r s t og e tt ok n o wp r o b l e mu n d e rd i s c u s s i o n 2 an e wp r o o fo fac o n s t r u c t i o nu n d e r d e v e l o p m e n tt h r o u g hp a i r - i n t e r l e a v i n gt e c h - n i q u e ，w h i c hh a sg r e a t l yr e d u c e dt h eo r i g i n a lp r o o fa sw e l l 嬲b r o u g h to u tt h e s t r u c t u r eo ft h ec o n s t r u c t i o n ，a n dm o r e o v e r ，a na s s e r t i o nt h a tn oo p t i m a ll o w - c o r r e l a t i o n z o n es e q u e n c es e to v e rf 2c a nb ea t t a i n e dt h r o u g ht h i sc o n s t r u c t i o n i nt h el i g h to ft h ep a i r - i n t e r l e a v i n gs t r u c t u r e 3 ac o n s t r u c t i o nf o ro p t i m a ll o w - c o r r e l a t i o n z o n es e q u e n c es e t so v e rz 4w i t h p a r a m e t e r sn o tk n o w nb e f o r eb ya p p l y i n gt h ep a i r - i n t e r l e a v i n gt e c h n i q u et o s e q u e n c e so v e rz 4 ，u t i l i z i n gt h eg r a ym a pf r o ms e q u e n c e so v e rf 2t os e q u e n c e s o v e rz 4t oc o u s t r u c to p t i m a ll o w - c o r r e l a t i o n - z o n es e q u e n c es e t so v e rz 4f r o m as e q u e n c ew i t hi d e a la u t o c o r r e l a t i o np r o p e r t yo v e rf 2 k e y w o r d s ：q s c d m a ，l o w c o r r e l a t i o n - z o n es e q u e n c e s ，s u b f i e l dr e d u c i b l e s e q u e n c e s ，i n t e r l e a v e ds e q u e n c e s ，p a i r - i n t e r l e a v i n g 。 i i 福建师范大学学位论文使用授权声明 本人( 姓名林富春学号星qq 昼q 鱼z 垦专业应用数学) 所呈交 的论文( 论文题目：低相关区域匿列笠盟计) 是我个人在导 师指导下进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果本人了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交的学位论文并允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容；学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名越魁 指导教师签名 签名日期2 望翌翌。亟! 圣 第1 章应用背景及发展概况 第1 章应用背景及发展概况 1 1 扩频通信 大部分数字通信系统的设计关注的是带宽和能量的使用效率，但有些时候为了 使通信系统具有某种特性以适应特殊应用需求，我们不得不牺牲通信中的这两个主 要资源比如说为了得到一种能在恶意环境中有效做到安全通信的调制模式，为了很 好地隐藏信息不容易被第三方发现和识别，我们把承载信息的信号通过事先设定的 码进行扩频，然后让这信息在比所需带宽大得多的信道中传播，最后再用刚才使用的 码进行解扩恢复为原来的序列这类信息调制模式称为扩频调制( s p r e a d - s p e c t r u m m o d u l a t i o n ) ，使用这类调制模式的通信系统就称为扩频通信系统扩频通信最大 的优势是其强抗干扰能力，它能抵抗来自同一信道中其它用户的无意干扰，或者来 自第三方的攻击干扰 下面把扩频调制的保密原理作个简单介绍，同时也让我们看到扩频码在其中是 怎么起作用的首先，承载信息的信号通过具有伪随机( p s e u d o - r a n d o m ) 1 6 1 性质 的( 码) 序列扩频后在比实际需要带宽大得多的信道中传播，这时的信号看起来就 象是噪声，很容易与有噪声的环境溶合从而被隐藏起来不容易被发现换句话说， 扩频起到了伪装的作用再来看抗干扰，记承载信息的信号序列为6 ( z ) ( 这里的序 列都是 1 ，一1 序列) ，用来扩频的( 码) 序列为c ( t ) 我们把这两条序列逐点相 乘得到的序列记为m ( t ) ，即m ( t ) = c ( t ) b ( t ) 这时的信号序列m ( ) 已经是宽带信 号了小( f ) 在信道中传播会受到干扰，记受干扰而增加的部分为i ( t ) ，则在接收 端接收到的序列7 ( t ) 将是r ( t ) = m ( t ) + i ( t ) = c ( t ) b ( t ) + i ( t ) 接下来对接收到的 信号进行解扩我们在接收端产生一条与发送端使用的序列c ( t ) 一模一样的序列来 与接收到的序列r ( ) 相乘，假设发送端与接收端保持精确的同步记相乘后的序列 为z ( ) ，则有z ( t ) = c ( t ) r ( t ) = c 2 ( t ) b ( t ) + c ( t ) i ( t ) 注意到c 2 ( t ) = 1 ，t = 0 ，1 ， 上式可化简为z ( t ) = f j ( ) + c ( t ) i ( t ) 式中的! ( t ) 是原来的未扩频前的承载信息的 信号序列，它是窄带信号，而c ( t ) i ( t ) 是宽带信号最后我们只需用一个简单的滤 波器就可把c ( ) i ( ) 滤去得到6 ( ) 1 福建师范大学林富春硕士学位论文 以上提到的这种扩频方法一般称为直序列扩频( d i r e c t s e q u e n c es p r e a ds p e c - t r u m ) ，简称直扩；还有一种扩频方法叫跳频扩频( f r e q u e n c y - h o ps p r e a ds p e c - t r u m ) 本文讨论的序列集是用于直序列扩频中的 1 2 扩频码与码分多址 扩频调制最初是为军事应用而开发的。后来却发现有很多的民用应用得益于这 种技术，比如说码分多址 码分多址就是通过使用不同的扩频码来区分不同的用户的一种多址技术一个 码分多址系统能容纳用，、的数量由多址干挠( m u l t i p l ea c c e s si n t e r f e r e n c e ) 与多 途衰减( m u l t i p a t hf a d i n gi n t e r f e r e n c e ) 决定本文探讨的直扩扩频通信中的码 分多址的多址干挠和多途衰减都是由所使用的扩频( 码) 序列的相关值决定的，因 此婴求所使用的扩频序列两两之问的相关值越低越好为适应不同的应用环境，码 分多址又有几种变形 第一节中在介绍扩频调制的原理时。在从接受到的信号中恢复出传播信息处， 有个假设t 假设发送端与接收端保持精确的同步满足这个假设的码分多址系统 称为同步码分多址( s y n c h r o n o u sc d m a ) 系统在这种系统中我们可以使用正 交( 码) 序列集，使任意两条序列的相关值最小 但要保持精确的同步需要很大的代价，在有些情况下甚至是不可能的这时可 以使用一种非同步码分多址( a s y n c h r o n o u sc d m a ) 在这种系统中完全不需要 同步的要求，在这种系统中使用的( 码) 序列集就不仅需要任意两条序列的相关值 要尽量小，还需要任意两条序列在任意的移位下相关值也要尽量小序列设计中把 这种序列集称为低相关信号集( s i g n a ls e t sw i t hl o wc o r r e l a t i o n ) f 6 1 在参考文 献【6 】中有专门一章讨论这种序列集的设计 然而这种低相关信号集的条件太强，这些序列的相关值不可能都很小。实际上 所有相关值的最大值是一个相当大的值这就使得这种系统的容量很小1 9 9 2 年， r d g a u d e n z i 等提出了一种准同步码分多址( q u a s i - s y n c h r o n o u sc d m a ) 系统 i 珊在这种新系统中，有要求同步，但允许有少数几个码片的时延在这种系统中 使用的( 码) 序列集需要两两之间相关值尽量小，且两两之间在存在少数几个码片 2 第l 章应用背景及发展概况 的相对移位的情况下相关值也尽量低用序列的语言描述即我们需要一种低相关区 域序列集( l o w - c o r r c l a t i o n - z o n es e q u c n c es e t s ) ，序列集里的任意两条序列在零点 附近有低的互相关值和异相自相关值由于允许一定的不同步，可大大地降低成本 和扩大使用范围；又由于有一定的同步保障而不用考虑所有的移位，使得序列集设 计的条件减弱了，序列集在所要求的移位范围内的相关值就可以非常小，从而使系 统有较大的容量显然，同步的程度与序列集的大小之间是一种“此消彼长”的关 系，在低相关区域序列集设计的参数里就表现为最大相关值固定时低相关区域的长 度与序列集所含序列的条数的关系了当同步性很差。即允许较多码片的不同步也 就是说序列集的低相关区域长度要很长时，可能得到的序列条数就会减少，即码分 多址的容量就会减少；当可以实现很好的同步时，我们只需考虑较少的移位，即序 列集的低相关区域的长度可以较短，可能得到的序列条数就多了，码分多址的容量 就大了本文探讨的就是如何构造具有尽可能多的参数类型的能使资源达到最高效 利用的扩频( 码) 序列集 以上两节应用背景的介绍参考了一本通信系统课程的教材【2 】 1 3 低相关区域序列集 本文中第一、二章考虑周期为g n 一1 的有限域g f ( q ) 上的序列。其中q = p 为质数方幂；第三章最后一节增加考虑了g a l o i s 环z 4 上的序列首先给出有限域 上的迹函数的定义与性质f 矧 记有限域g f ( q ”) 为f 。n ，其中q = p 2 为质数幂。n 为任意正整数若存在正 整数r n 使得r n 胁，则虬m 为蜘n 的子域记f q n 的本原元为q ，t = 豆q m 竺- i ，则 = r ，灶f 。，的本原元 ”到，”的迹函数定义为： n 三( z ) = z + x q + + x q 卜1 ，q = q m , n = l m 迹函数具有以下基本性质： t 嚅( a x + b y ) = a t r 三( x ) + 6 7 - 磊( y ) ， a ，b f 口m ，z ，y f 口n 3 福建师范大学林富春硕士学位论文 t r ：( x e ) = n 三( z ) ，z f q 迹函数与序列密切相关比如周期为矿一1 的上的m 一序歹f j 8 a = n j 可 以用迹函数表示为啦= 7 r ? ( q 七o ) ，其中ke z q 一1 更一般地设a = 吸 是周 期为矿一1 的f 。上的序列，由离散傅利叶变换及其逆变换可以得到一个从f 。n 到 f 口的函数( z ) 使得厂以) = a i ( 约定( 0 ) = 0 ) ，函数，0 ) 称为序列a 的迹表 示；序列a 则称为函数，( z ) 的取值序歹l j ( e v a l u a t i o n ) b 本文中有时也把序列看 成函数，如称“序列( x ) ”指的是函数( x ) 的取值序列 如果一条序列通过移位与另一条序列完全相同，则称这两条序列是移位相等 的；否则称为移位不等的在个序列集里默认任意两条序列是移位不等的，而 移位相等的序列看成是同一条序列 f 口上的序列a 与b 的相关函数定义为： g ，b ( r ) = u 4 t + r 6 1 = 0 其中下标i + 7 模矿一1 ，u 为p 次本原单位根 z 。上的序列的相关函数的定义与b 上的序列相关函数的定义一样，u 相应 的改为口次本原单位根 n 上序列的相关函数至少有三种不同的定义【6 】本文中采用以下定义： g ，b ( 下) = u p ( ) 一p ( 6 ) i = 0 其中下标i + 7 模q “一1 ，u 是q 次本原单位根j d ( z ) 是f q 与z ，之间的双射雨 数：记( 扇，臃，屈一1 ) 为f 口在上的一组基，z = ：三：z i a ，而睇，则 ( 上) = ：三扣。，z le f p 当= l 时，即口= p 时，约定p ( ：l ：) = z ，此时这三 个相关函数的定义就统一为一个定义了 类似地，序列a 与b 的迹表示，与g 的相关函数定义为： 4 第1 章应用背景及发展概况 q ，9 ( a ) = 叫彬( 圳叫俐 xefp“ 显然。这两种相关函数的关系为： q g ( a ) = g b ( 7 _ ) + 1 ，入= q 7 下面可以给出低相关区域序列集的定义了 设s 是由m 条周期为的序列组成的序列集，当s 中任两条序列a 与b 的 相关函数满足以下条件时。称5 为一个( ，m ，l ，) 低相关区域序列集： ii g ，bc t - i l ，0 i r l l ，a = b ； 【i g 。bc t ) i e ，l 丁i l ，a b 唐小虎等利用w e l c h 的内积公式【7 】给出了低相关区域序列集的个界【8 】t 定理1 3 1 i s 设s 是一个似，m ，l ，e j 一低相关区域序列集，则 m l l 舄 这个界一般称为t a n g - f a n m a t s u f u j i 界因为本文中主要探讨的是低相关 值为1 的低相关区域序列集，所以需要推导当= 1 时这个界的4 徘形式： 把= 1 代入上面定理的不等式得t m 掣 容易验证当l 是n 的非平凡的因数时，( ，譬，l ，1 ) - 低相关区域序列集即为最优 低相关区域序列集 作为本节结束部分我们把低相关区域序列集设计的些重要结果按时问顺序罗 列如下，详细阐述可参考我们整理的综述文章【1 | 1 9 9 2 年r d g a u d c n z i 等提出q s - c d m a 通信系统f 3 】 1 9 9 8 年龙必起等提出f 2 上低相关区域序列集的概念与原始构造1 5 】 2 0 0 0 年唐小虎等提出t a n g - f a n - m a c h u f u j i 界【8 1 福建师范大学林富春硕士学位论文 2 0 0 1 年唐小虎等把龙必起等的构造推广到f p 上【9 】 2 0 0 5 年s a n g - h y ok i m 等在z 4 上得到首例最优低相关区域序列集【1 0 | 2 0 0 6 年j n w o o n gj a n g 等得到耳，上最优低相关区域序列集【1 1 1 2 0 0 6 年y o u n g s i kk i m 等提出f 2 的低相关区域序列集的新构造方法【1 2 1 2 0 0 7 年1 i w o o n g j a n g 等得到睇上的最优低相关区域序列集【圳 2 0 0 7 午g u a n gg o n g 等得到f 口上的最优低相关区域序列集【1 4 】 6 第2 章基于有限域子域分解的设计 第2 章基于有限域子域分解的设计 近年来低相关区域序列集的研究引起了广泛的注意，构造方法不断推陈出新， 经国内外学者的努力，到目前为止已得到了批较好的研究成果本章将对这种比 较成熟的构造方法以及较有代表性的几个构造实例做一个介绍这一部分内容同样 亦可参考综述【1 1 2 1 子域分解序列 设a = n i 是周期为q ”一1 的k 上的序列，其迹表示为( x ) 若存在正整 数7 ，i 、7 l 。，叫儿，使得，( z ) 可分解为一个f 口n 到f 口m 的函数h ( x ) 与一个f 口m 到 f 。的函数9 ( 小) 的复合，即： ( x ) = g ( x ) oh ( x ) 则称序列a 或，( ：) 为子域分解序歹1 ( s u b f i e l dr e d u c i b l es e q u e n c e s ) 倒 序列，( _ ) 称为平衡的，若函数f ( x ) 函数值分布均匀 设，( z ) 是f q n 到f g m 的函数，令 n t ( a ) = ( ，( 妇) ，( z ) ) i z 日n ) ，1 入譬 若函数，( z ) 满足以下两个条件： 1 当1 a f 缸时，存在一个1 pe f ；。使得对任意de f q m ，元素对 口，口) 在q ，( 入) 中出现g n 一”次； 2 当a r n f q m 时，任意元素对( 口，肛) f 2 。在q ，( a ) 中出现g n _ 2 ”次 则称( x ) 具有二平衡性质( 2 - t u p l eb a l a n c ep r o p e r t y ) 1 6 比如说第一章提到的f 口”到f q m 的迹函数t r 景( z ) 就具有二平衡性质【6 】，还有 g m w 序列与级联g m w 序列等；此外，g u a n gg o n g 等还证明了这样的一类函数 具有二平衡性质：设m 和礼为正整数满足仇i n ，h ( x ) 为f p n 到f p m 的f p m 上的 d - f o r m 函数【1 7 j ，且h ( x ) 具有差分平衡【1 3 】性质，则h ( x ) 具有二平衡性质 i s , 1 6 1 7 福建师范大学林富春硕士学位论文 2 1 2 构造原理 定理2 2 1 1 4 1 设m 和n 为正整数满足r a i n ，f ( x ) 和g ( x ) 为f q m 到 的函数，h ( x ) 为f 口n 到f 口m 的具有二平衡性质的函数；则口( z ) = ，( ( z ) ) 与 b ( x ) = 9 ( ( z ) ) 的相关函数瓯 6 ( a ) 为： a “壮悟逖暖，支主急伽 其中，当a = 1 时，l = 1 ；当1 a f ；m 时l p f ；m 证明：因为 ( z ) 具有二平衡性质， g ，6 ( a ) = 卫r 。w p c f ( h ( 一p ( 窖( ) fq 俨”9 即w p ( y ( v ) ) ) - p ( g ( u ) ) ， a = 1 ； = g ”1 ”蚯即u 州“”- p b 佃) ) ， 1 a 吩； 【q n - 2 m 舭凡。u 刚蝴叫出) ) ，a r n b m 一，q - m c i ，9 ( p ) ， 入蹄； iq n - 2 m v r 。u p ，) ：f 口。u p 9 ( 。) ) ， 入f f b 其中，当a = 1 时p = 1 ；当1 a f ：。时1 肛f ；。证毕 根据这个公式，c a ，b ( o ) = - 1 当且仅当q 。b ( 1 ) = 0 ，只需c f ，9 ( 1 ) = 0 ； g b ( 1 - ) = - 1 ，0 l7 - i 寻若当且仅当昨r 。u p ( 几) ) = 0 或：凡。w - p ( 9 ( 。) ) = 0 ，只需f ( y ) 或9 ( ! ，) 是平衡的如果我们能够构造出一批周期为q m 一1 的序列使 得这些序列两两之间都满足这两个条件，再把这些序列与同一个f 。n 到f q m 的具 有二平衡性质的函数h ( x ) 复合之后即可得到一批周期为q n 一1 的序列，这些序列 两两之间的相关甬数在原点两边长度为t = 筘昌的区域的函数值都为一1 这就 得到了一个区域长度为丁的低相关区域序列集我们把满足这两个条件的周期为 一l 的序列组成的序列集4 用序列的语言描述如下： i4 中的所有序列移位不等； a 中的所有序列都是甲衡； i4 中任两条序列的同相互相关值为一1 8 第2 章基于有限域子域分解的设计 称满足上述条件的序列集为低相关区域序列集的基序列集之所以称为基序列集 是因为如果把定理中的序列a 、b 看成交织序列( 第三章将给出定义) 的话，序 列i ( u ) 、g c y ) 就是交织序列a 、b 的基序列 根据t a n g - f a n m a c h u f u j i 界在e = 1 时的特殊形式，( q n 一1 ，口m 一1 ，昙，二号，1 ) - 低相关区域序列集是最优低相关区域序列集如果我们采用上述的构造方法，则构 造一个( 口n 一1 , q ”一l ，暴昙昌，1 ) - 低相关区域序列集就相当于构造一个由矿一l 条 周期为叮一1 的序列构成的序列集a g u a n gg o n g 等把这样的序列集4 的设 计与一类任意两行( 看成序列) 都移位不等的h a d a m a r d 矩阵【1 8 】的设计对应，他 们把这类h a d a m a r d 矩阵称为完全非循环h a d a m a r d 矩阵1 1 4 】1 4 2 3 完全非循环h a d a m a r d 矩阵的设计 j i w o o n g 1 a n g 等构造出了最优的f 2 上的低相关区域序列集f 1 3 1 其基序列集 设计如下： 定理2 3 1 1 3 l 设m 1 ( t ) 与m 2 ( ) 为两条( 可相同) 具有理想自相关性质的周 期为2 一1 的f 2 上的序列，且它们的线性复杂度l 1 与l 2 满足：l 1 + l 2 + r , a ：r ( l 1 l 2 ) 2 m 一1 ( 当m l ( t ) 与m 2 ( t ) 移位不等时) 或l 1 = l 2 2 m - 1 ( 当 m i ( t ) 与m 2 ( t ) 移位相等时) ；定义： j 0 i 2 ”72 l 仇l ( + i ) ，0 t 2 ”一2 ； s t ( ) = 0 ，t = 2 “一1 ； 1m 2 ( t 一1 一t ) ，2 “t 2 m + 1 2 2 ”一l i一3 + t ) ， 0 t 2 ”一2 ； t = 2 “一1 ： 2 ” t 2 m + l 一2 3 i = 2 m + l 一2 s t c t ，= ：2 0 。 一t 。 2 。- - 2 2 m ；+ 。一2 则s i ( t )( 0 i 2 m + 1 2 ) 构成一个f 2 上的低相关区域序列集的基序列集 9 卜，l， 件“ “ 矿m l m 一，i【 福建师范大学林富春硕士学位论文 注记：记序列7 n l ( t ) 与1 1 2 ( ) 对应的循环h a r d a m a r d 矩阵为矾与凰，约化 型为f 与何这个构造相当于是把z f 与三e 并排，中间用个全0 列隔开， 作为上半部分；中间部分为日f 与乒e ( 矩阵的所有元取补) 并排，用个全1 列隔 开；最底下再加一条2 m 一1 个0 与2 ”个1 相接而成的序列。构成了个2 m + 1 1 乘以2 ”十l 一1 的矩阵这个矩阵的行都是平衡的，行之间内积都是一1 。行与行都 是移位不等的，故它是完全非循环h a r d a m a r d 矩阵的约化型【1 8 l ( r e d u c e df o r m ) j i - w o o n gj a n g 等构造出了最优的b 上的低相关区域序列集【圳其基序列集 设计如下t 定理2 3 2 【1 3 】设序列m 俐为周期m = p m l 的具有理想自相关性质的f p 上的序列，线性复杂度为l m ，定义( 0 i m 一1 ) ： 碳归m ( m m - 1 - n t “lz 丢兰羔j 式中常数k 满足3 l 仇一1 k 丁m ；则8 i( 0 i m 一1 ) 构成一个上的 低相关区域序列集的基序列集 注记；这个构造相当于是把序列m ( t ) 对应的循环h a r d a m a r d 矩阵的约化型的 前一k 列倒序，以破坏其行与行的移位等价性，同时保持行的平衡性与行之间 内积为一1 ，得到一个完全非循环h a r d a m a r d 矩阵的约化型 g u a n gg o n g 等用函数的方法构造出了虬上的低相关区域序列集 【1 4 】 定理2 3 3 1 1 4 】 f 把f q t ，- 的元写成元对( z ：y ) 。其中ze f q ，ye f q m t 2 选择一个n 到f 旷t 的函数l “( z ) ，0si 口m 一一1 满足。 f ，砂i i i ( x ) 0 ，0 i 2 ) 或t ( x ) = z ( 当q = 2 ) 1 0 第2 章基于有限域子域分解的设计 彳构造f 。t - - 到n 的函数集s 如下( 式中的指向量的内积) t 5 = t ( z ) 垂( j 5 ，) - t - o ( z ) i o i q m 一1 1 ，口日) u b t c = ) l b 碍) 则s 中所有函数的取值序列构成一个f 口上的低相关区域序列集的基序列集 1 1 福建师范大学林富春硕士学位论文 第3 章基于对交织结构的设计 第二章的基于有限域子域分解的设计无论从理论上还是从实际构造方法来讲都 很完善了。但这种构造所得的低相关区域序列集的参数都受有限域子域分解结构限 制，即必须是( q n 一1 ，矿一lq - 1 l ，1 ) 一低相关区域序列集另一方面，这种构造虽 然理论很完整，涵盖了所有有限域上的序列，但是在实际应用中我们用的比较多的 是f 2 和z 4 上的序列从而考虑f 2 和z 4 上的参数更有弹性的低相关区域序列集的 构造是更有意义的 y o u n g s i kk i l n 等提出了一种不依赖于有限域子域结构的构造法来构造f 2 上 的可调整区域长度和序列条数的低相关区域序列集 1 2 1 s a n g - h y ok i m 等提出了 一种构造z 。上最优低相关区域序列集的方法 1 0 1 在本章中我们将对他们的构造 进行分析，把它命名为基于对交织( p a i r - i n t e r l e a v i n g ) 【1 9 ，2 0 】结构的构造法。并 把这种构造进行改进i l 支终得到具有新参数类型的最优低相关区域序列集这部分结 果由本人的两篇文章组成1 2 1 2 1 a 屯董8 1 第3 章基于对交织结构的设计 a ( a ，e ) 1 6 】 特别地， ( k ，2 ) 交织序列也称为对交织序列本文中把对交织序列s 的方阵 型记为( 驴，( a ) ，- ( a ) ) 。其中胪( a ) 表示序列a 左移七位得到的序列 接下来推导几个下文将用到的计算公式，结论都是显然的故不提供证明 对交织序列方阵型的移位公式为： 州铲协肛他翳徽圳，耋：篡 序列移位后的相关两数公式为： ( 乞( 。) ，( 、，) ( 7 - ) = 瓯，、，( f + k 1 ) 因此对交织序列s k = ( l k o ( a ) ，l 七t ( a ) ) 与s l = ( 舻( a ) ，l ( a ) ) 的相关函数公式为： = 溉 莩竽云兰) f s 搿撵_ 匕，耋臻： 当b = a 时，上述公式变为： 当丁为偶； 当7 _ 为奇 设a 是周期为的序列。定义序列a 的8 采样序列b = a o ) 如下t b i = a s t ，i = 0 ，1 ， 则移位与采样的关系为： ( 七( a ) ) m ) = 己去( a ( m ) ) 其中m z n 且( m ，n ) = 1 ，丧为模n 运算 3 2 f 2 上的几乎最优低相关区域序列集 y o u n g s i kk i m 等提出了一种可以调整区域长度与序列条数的低相关区域序列 集的新构造方法1 1 2 1 下面我们将用对交织的结构来对他们的构造进行分析并简化 1 3 u 、门 一 h 一 孚 吣坛 h u b 一 一h + p 孚 q g ，j一， = pe 福建师范大学林富春硕士学位论文 他们的证明他们的构造实际上是用一条周期为n = 矿一1 的具有理想自相关( 又 称二级自相关) 性质 6 1 的f 2 上的序列作为基序列进行对交织来构造周期为2 n 的 f z 上的低相关区域序列理想自相关序列的定义如下：a 是周期为的序列， 为奇数 ) = 薹r r 加= 0r o o dn ； y o u n g - s i kk i m 等的文章是用序列的支撑集( 又称特征集) 来表示序列的对 于一条f 2 上的序列a = 啦) ，它的支撑集就是啦= 1 的下标i 组成的集合，原序 列也称为该集合的特征序列下面先给出y o u n g - s i kk i m 等的构造方法 设d o 为一条周期为n = 2 n 一1 的f 2 上的序列a 的支撑集，或者用集合符号 表示 d o = 引n f = l ，0 i n 一1 ) 记序列a 的一t 上移位序列l 叫( a ) 的支撑集为d 牡，则有d v = d o + u ，其中 ，) o + u = i + u k d o ，u6 z n 且。+ ”表示模加法 由中国剩余定理1 2 8 】有z 2 j 竺z 2 z ，其中 表示直积同构映射为西：伽h ( wr o o d2 ，叫m o dn ) ，故本节中记号叫与mr o o d2 ，伽r o o dn ) 可互换使用 对任意似z ，。定义z 2 的子集瓯如下： g 垒 o a uu 1 qd 1 一札 其中月。可取d 。或其在z 中的补集瓦：，也就是z v k 记“的特征序列为s u ，记所有序列s u ，1 u 与b ub cz 矛盾证毕 1 8 第3 章基于对交织结构的设计 结论：y o u n g - s i kk i m 等的构造已经使用了一条序列a 对交织所能生成的所有 移位不等的序列，同时为了增加移位不等的序列的条数他们还巧妙地使用了a 的补 序列荟对交织生成的序列但尽管如此还是无法得到最优的低相关区域序列集，可 见使用对交织结构在如上是无法构造出最优低相关区域序列集的值得注意的是 这里甜1u 甜2 中序列的表达式是具有对称性的 s 。= ( l 芋( b ) ，l 詈( b ) ) 这使得序列相关函数的高值点对称地出现在原点两侧 3 3 z 4 上的最优低相关区域序列集 本节我们将通过一种类似对交织结构的方法用一条f 2 上具有理想自相关性质 的序列来构造z 4 上的最优低相关区域序列集 z 4 上序列与f 2 上序列有着密切的联系在工程类文献中经常把一条z 4 上序 列一( t ) 看成是两条f 2 上序列u ( t ) 和口( ) 组成的( 这个关系也称为g r a y 映射) s u ，( ) ：吾( 1 + u ) ( 一1 ) u ( ) + 吾( 1 一u ) ( 一1 ) v ( “ 其中u ( ) 和u ( ) 分别称为5 ( ) 的i n - p h a s e 分量和q u a d r a t u r e 分量 2 3 1 故本节中 将把序列s 记为【u ，v 】 显然我们也可以用下面这个简单的方法把z 4 上序列s ( t ) 分解为两条f 2 上序 列n ( t ) 和i ，( ) “相加” s ( t ) = 2 a ( t ) 田6 ( z ) ， 其中田表示z 。上的