（应用数学专业论文）关于有限群可解性的研究.pdf

关于有限群可解性的研究 作者简介：余海洋，男，1 9 7 4 年1 0 月出生，2 0 0 4 年9 月师从于成都理工大学魏 贵民教授，于2 0 0 7 年6 月获得硕士学位。 摘要 有限群论是群论的基础部分，可解群是群论中一类比较常见的群，也是一类 极其重要的群。许多群论专家已经得到诸多关于有限群可解的充分条件，有许多 结论是研究有限群结构时有用的工具。本文的出发点就是在这些结论的基础上结 合s y l o w 子群、h a l l 子群、共轭置换子群、c - 正规子群等对有限群的可解性进行 研究，得到以下主要结论； ( 1 ) 若g 的s f l o w2 一子群为交换群，且对g 的任意s y l o w2 一子群 q ( q p ) ，p n q 在p 中极大，则g 为可解群。 ( 2 ) 设g 是偶阶群，p c s y l 2 ( g ) ，若p 在g 中c 一正规，则g 为可解群。 ( 3 ) 设m 是g 的极大子群而且是幂零群，如果m 的s y l o w2 一子群在g 中 是c 一正规的，则g 为可解群。 ( 4 ) 设g 是有限群，h 是g 的偶阶幂零h a l l 子群，m 是何的极大子群，- 若m 的s y l o w2 一子群在g 中是c 正规，则g 是可解群 ( 5 ) 设日是g 的偶阶石一胁盯子群，若日及日的每个s y l o w 子群均在g 中 共轭置换，则g 可解。 ( 6 ) 设p 为有限群g 的s y l o w p 一子群，若p 在g 中共轭置换且g ? 的极 大子群为l ，则g 为可解群。 ( 7 ) 设日是g 的偶阶石一h a h 子群，且h 的每个s y l o w 子群都是正规的， 又日在g 中共轭置换，则g 可解。 ( 8 ) 设日是g 的，r h a h 子群，且2 e 石，h 幂零且在g 中共轭置换，则g 可解。 关键词：可解群；s g o w 子群；c 一正规：共轭置换子群 t h er e s e a r c ho nt h es o l v a b i l i t yo ff i n i t eg r o u p a b s t r a c t f i n i t eg r o u pt h e o r yi st h eb a s i cp a r to f g r o u pt h e o r y t h es o l v a b l eg r o u pi sak i n d o f o r d i n a r ya n di m p o r t a n tg r o u p m a n yg r o u pe x p e r t sh a v eg o ts o m es u f f i c i e n c ya b o u t t h es o l v a b i l i t y , m a n yo fw h i c ha r eu s e f u lt o o l si nr e s e a r c h i n gt h es t r u c t u r eo ff i n i t e g r o u p s i nt h i sp a p e r , t h es t a r t i n gp o i n ti sr e s e a r c h i n gt h es o l v a b i l i t y , i nt h eb a s eo f t h ec o n c l u s i o n s ，c o m b i n i n gs y l o w s u b g r o u p s ，h a l l 一飘l b g r o u p s ，c o n j u g a t e - p e r m u t a b l e s u b g r o u p sa n dc n o r m a lg r o u p s w eg e tt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： ( 1 ) i fg i ss y l o w 2 s u b g r o u p sa r ea b e l i a n ，a n dp n qi se n o m l o u si n pf o r a n y s y l o w2 一s u b g r o u p sq ( q n , t h e ngi ss o l v a b l e g r o u p ( 2 ) l e tgb eag r o u po fe a t e no r d e r ，p s y l 2 ( g ) ，i f 尸i sc n o r m a li n g ，t h e ngi ss o l v a b l eg r o u p ( 3 ) l e tmb eam a x i m a ls u b g r o u pa n dn i l p o t e n tg r o u po fg ，i ft h es y l o w 2 - s 1 1 b g r o u po fmi ngi sc n o r m a l ，t h e ngi ss o l v a b l eg r o u p ( 4 ) l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，hi sn i l p o t e n th a l l s u b g r o u p sw i t he v e no r d e ro f g m ss y l o w2 - s u b g r o u pi sc n o r m a li ng t h e ngi ss o l v a b l eg r o u p ( 5 ) l e thb ea 万一h a l ls l l b g r o u pw i t he v e no r d e ro fg ，i f 日a n di t se v e r y s y l o w - s u b g r o u pa r ea l lc o n j u g a t e - p e r m u t a b l e ，t h e ngi ss o l v a b l e ( 6 ) l e tpb eas y l o wp s u b g r o u po fg ，i fpi sc o n j u g a t e p e r m u t a b l ei n ga n do 尸sm a x i m a ls u b g r o u pi s1 ，t h e ngi ss o l v a b l e ( 7 ) l e thb ea 石一h a l ls u b g r o u pw i t he v e no r d e ro fg r o u pg ，i fh e v e r y s y l o w s u b g r o u po fhi sc o n j u g a t e - p e r m u t a b l ei ng , t h e ngi ss o l v a b l e ( 8 ) l e thb ea 石一h a l ls u b g r o u po fg ，a n d2 石，i fhi sn i l p o t e n ta n d c o n j u g a t e - p e r m u t a b l ei ng ，t h e n gi ss o l v a b l e k e y w o r d s ：s o l v a b l e g r o u p ；s y l o w - s u b g r o u p ；c n o r m a l ；c o n j u g a t e - p e r m u t a b l e s l l b g r o u p n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑堡王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者导师签名彬久 学位论文作者签名：白海争军 加，年占月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解虞嫠堡王太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛壑堡王太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：鑫岁刍7 军 卅年占月1 日 第l 章引言 1 1 绪论 第1 章引言 有限群是代数学中一个古老的分支，它有着十分悠久的历史。它是由解代数 方程的需要，也就是由伽罗瓦( e g a l o i s ) 理论的需要而产生的。十九世纪初，在 天才的法国数学家伽罗瓦解决。五次方程能否用根式解”的过程中，就创造了 “群”、“域”这样的代数体系。他的工作可以看成是近世代数的开端，这不仅是 因为他解决了方程根式可解这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代 数学在对象、内容和方法上的深刻变革。1 9 世纪后半叶，数学家们又认识到，“群” 可以是一个更加普遍的概念，而不必仅限于置换群。凯莱( a c a y l e y ) 在1 8 4 9 1 8 5 4 年问指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都构成群，人们还发现高斯 ( k f g a u s s ) 在数论中研究过的具有同一判别式的二次型类 f = 2 a 2 + 2 b x y + c y 2 ( a ，b ，c 为整数，x ，y 取整数值，d = b 2 一a c 取固定值) 对于型的合成运算也构成群，从而引进了有限抽象群。1 8 6 8 - - - 1 8 6 9 年问，若尔 当( c j o r d a n ) 在物理学家布拉维斯( a b r a v a i s ) 关于运动群的理论的启发下，开 展了无限群的系统研究。若尔当的工作又影响到克莱因( f k l e i n ) 关于几何分类 中的无限变换群的研究。1 8 7 4 1 8 8 3 年间，挪威数学家李( s l i e ) 又研究了无限 连续变换群。 在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说都占据 着更为突出的地位，它有十分悠久的历史，是代数学中一个古老的分支，同时， 它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支。在爱丁堡举行的国际数学会上 由维兰德( h w i e l a n d t ) 作的题为有限群构造之发展的报告，以及由居里亨 在全苏第三届代数会上作的题为近年来有限群发展的若干方向的报告，并由 虎拍( b h u p p e r t ) 的巨著，都足以说明有限群研究的盛行。 最近2 0 多年来，经过很多数学家的努力，在有限群的研究中取得了一连串 的突破，并终于在1 9 8 1 年2 月解决了著名的有限单群分类问题，这项重大的科 学成果的得来是很不容易的，如果从1 8 3 2 年伽罗瓦( e g a l o i s ) 证明交错群以是 成都理丁火学硕十学位论文 单群开始算起，整整经历了1 5 0 年。参加这项工作的数学家前后共达几百人，为 了证明单群分类定理，即有限单群共有1 8 个无限族和2 6 个零散单群，人们使用 了抽象群论的、表示论的、几何的以及组合论和图论的方法，在杂志上发表的文 章数千页至上万页。由于这项重大的成果以及有限群论几乎遍及各个科技领域的 应用性，在数学界及其他相关领域中形成了“有限群热”，使有限群成为了一般 科技工作者乐于掌握的一个数学工具。 有限群的研究大体上可分为群构造与群表示两个方面，各自都具有非常丰富 的内容。群构造在于解决各种抽象有限群的结构问题，主要包括p - 群的性质， 循环群、交换群、幂零群、可解群能唯一分解为p 一群之直积的问题，有限单群 的分类问题，有限群的扩张问题等。而群表示理论的建立主要用于研究有限群的 结构，主要包括：有限群的常表示，有限群的模表示，拓扑群的表示理论等。 有限群的理论现在已发展得很成熟，应用也极广泛。它不仅对研究数学的其 它分支是重要的，而且是研究某些自然科学学科比如理论物理，量子力学、量子 化学，光谱学、结晶学、原子物理、粒子物理等的有力武器，对计算机科学等也 有深刻的影响和广泛的应用。 可解群亦属活跃的研究领域。由于众多群论工作者的努力，这一领域在近二 十几年有崭新的变化：新概念的引入，新工具、新方法( 包括纯群论方法与表示 论方法) 的采用，新方向的开拓等不断地充实着它的生命力，在它当中至今还有 很多有待解决且可能解决的令人感兴趣的课题，随着研究的发展，这样的课题还 会不断产生。由m w e i a 3 t e i n 等编著的( b e t w e e n tn i l p o t e n t a n ds o l v a b l e 一书是可解群领域近几十年状况的一个反映，它基本上概括了该领域的几个主要 研究方向，描绘了这些方向的轮廓，给出了一些较新的成果，指出了若干尚待解 决的问题。 1 2 研究背景 群是现代数学核心领域之一一抽象代数的最基本的概念，在群论的众 多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说都占据更为突出的地 位。同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支。对有限群论的研究 大体可以分为群表现与群构造两个方面，也是广大群论爱好者涉及最多的问题。 2 第1 章引言 有限群的理论现在已经发展得很成熟，最近二十多年来，经过很多数学家的努力， 在有限群论中取得了一连串的突破，并在1 9 8 1 年完成了有限单群的分类问题 群论的应用也极其广泛，它不仅对于研究现代数学本身及其其它分支是极其重要 的，而且是研究某些自然科学比如理论物理、量子力学、量子光学，光谱学、结 晶学、原子物理、粒子物理、理论物理、密码学、图论等有力的武器，而且对 计算机科学也有深刻的影响和广泛的应用。 可解群是群论中一类比较常见的群，也是一类极其重要的群。可解群的一般 定义为：g 是一个群，如果存在正整数n 使得g 。i ，则称群g 为可饵群。可解 群的“可解”一词来源于代数方程的根式可解性。可解群的构造在群论中占有重 要的地位。可解群在其它的学科，特别在方程式论中也有重要的应用。研究可解 群的目的就是为了更好地了解有限群的构造。因此有必要在现有结论的基础上对 可解群的某些方面进行研究，以便更多、更好地认识有限群的构造。 在群论的研究过程中，有许多群论专家从群论的不同的构造和应用不同的工 具得到了许多有用的关于有限群可解性的结论。例如1 9 6 3 年w f e l t 及 j g t h o m p s o n 得到了一个深刻的定理，即 f e i t - t h 唧s o n 定理：奇数阶群可解。 得到这个定理以后，于是有限群可解性的研究就归结为对偶数阶群的讨论。 研究者主要是想利用有限群的一些性质和相关构造去寻找有限群可解的充分条 件。 著名数学家b u r n s i d e 有以下著名定理： b u r n s i d e p q 期：设p ，q 是素数，a ，b 是正整数，则，q 阶群必可解。 另外一些常见而且有用的结论还有： ( 1 ) 交换群都是可解群； ( 2 ) 可解群的子群和商群都是可解群； ( 3 ) 有限p 一群g 是可解群； ( 4 ) 设i g i = 2 n ，n 是奇数，则6 是可解群； ( 5 ) 四元数群q 是可解群；s ，及叉都是可解群； ( 6 ) 设n 是群g 的正规子群，n 和g n 均可解。则群g 是可解群。 成都理i ：人学硕十学位论文 国内群论专家徐明曜在该问题上也作出了深刻的研究，他在s y l o w 定理的应 用中研究以及归纳了以下的一鳖常见、有用的结论： ( 1 ) p q ( 设p ，q 是素数) 阶群g 是可解群； ( 2 ) p9 ( 设p ，q 是素数，a 是正整数) 阶群是可解群； ( 3 ) p q r ( 设p ，q ，r 是素数，p q r ) 阶群g 是可解群： ( 4 ) 只要群g 的所有s y l o w 子群皆循环，则g 可解。 群论专家王萼芳利用次正规群列、正规群列及合成群列等工具来研究有限群 的可解性和超可解性，得到了以下一些结论： ( 1 ) g 有一个正规群列，其因子都是交换的，则群g 是可解群； ( 2 ) g 有一个次正规群列，其因子都是交换的，则群g 是可解群： ( 3 ) g 合成因子都是素数阶循环群，则群g 是可解群； ( 4 ) 如果有限群g 的所有极大子群的指数都是素数或者素数的平方，那么 g 是可解的。 m u k h e o e e 和b h a t t a c h a r g a 提出了极大子群的0 一子群偶的概念，并且证明了 g 可解当且仅当对每个极大子群m ，o ( m ) 中每个极大0 一子群偶( c ，d ) 使得 c d 可解。赵耀庆，李世荣，郭秀云教授等也利用极大子群0 子群偶来研究有限 群的结构和有限群的可解性。利用真子群的日一子群偶与群的结构问的关系，也 得到了一些关于群可解性的一系列新结果： ( 1 ) 设p 是l g l 的一个素因子，p 是群g 的s y l o w - p 子群，若p 存在一个极 大日一子群偶( c ，d ) 使得c d 幂零，其s y l o w p 子群的类数不超过2 ，则g 可 解 ( 2 ) 设p 是l g l 的一个素因子，尸是群g 的s y l o w p 子群，若p 存在一个极 大0 予群偶( c ，d ) 使得c d 奇阶幂零群，则g 可解。 在国内外还有很多的群论专家在研究有限群的结构时，利用群的不同的刻画 和工具对有限群的可解性的一些结论进行了不同的分析和证明，也会有许多重要 的结论，他们对有限群研究起到了重大的作用。 本论文的题目是关于有限群可解性的研究，论文首先总结了有关有限群 4 第1 章引言 可解得诸多结论，在此基础上再结合有限群的一些特殊子群如s y l o w 子群、h a l l 予群、共轭置换子群、c 一正规子群等，利用这些子群的性质来研究有限群成为 可解群的充分条件。而且利用了国内外较新的理论和方法。这种利用特殊子群来 研究有限群的可解性，在理论上极大地丰富了有限群可解的知识结构，特别地， 为研究有限群的可解性以及其他性质如超可解提供了很好的素材和研究方向。因 为有新的子群概念的不断引入，我们都可以仿照本文的研究思路对有限群进行研 究。 5 成都理：大学硕+ 学位论文 第2 章相关定义和引理 本文采用通用的记号，为了叙述的方便和统一，特将本文中所用的一些符号 作如下说明： g表示一个有限群 i g i 表示群g 的阶 h s g表示日是群g 的一个子群 h g表示日是群g 的一个真子群 h q r ) 阶群g 是可解群。 引理2 1 4 t 1 1 ( s y l o w - p 定理) ( 1 ) i 殴1 g i = p “m ，其中p 是一个素数，a - i ， p ，埘) 2 l ，则g 必有o = l ，2 ，a ) 阶子群。特别的，g 有习玎d w p 子群。 ( 2 ) g 的咖一p 子群都是共轭的。设g 共有n p + s y t o w - p = ：群，则m l l g i ，且m - = l ( m o d p ) 。 ( 3 ) g 的任一个p 一子群都包含在一个s y l o w - p 群中。 引理2 1 5 t 2 1设_ p 是g 的一个咖一p 子群，则p 司g 的充分必要条件是p 是g 的唯一的咖一p 子群。 引理2 1 6 t 4 1有限p - 群是幂零群，有限群g 是幂零群当且当g 可以表示成 它的咖子群的直积。 成都理工大学硕士学位论文 引理2 1 7 1 4 1g 的砂f d w 子群都是循环群，那么g 是可解的。 引理2 1 8 ”幂零群必为可解群。 引理2 1 9 2 只要群g 的所有跏一p 子群皆循环，则g 可解。 引理2 2 0 设p 是g 的一个s y l o w p 子群，则p 司g 的充分必要条件是p 是g 的唯一的s y l o w p 子群。 第3 章主要研究成果 第3 章主要研究成果 通过有限群论知识得知，有限群可以分为两大类：可解群与非可解群，可解 群又可以分为幂零群和非幂零群，而交换群是幂零的，循环群是交换的。本文主 要讨论的是有限群的可解性问题。国内外的许多群论专家已经得到了诸多关于可 解群的结论。 可解群的“可解”一词来源于代数方程的根式可解性。根据g a l o i s 理论， 每个域，上的刀次代数方程f ( x ) = o n 伴一个群g 。( x ) = 0 的根能由有限次f 的根式表示出来的充分必要条件是g 为可解群，从纯群论的角度看，一个群g 叫 做可解的，如果满足：g 睁g d g 争争g ( 。】= 1 ，其中群g ( 是前一个群的换位 子群，s 为有限数，每个因子群g ( ”1 g ( 1 都为交换群。故可解群可以看作有限 步交换群，是交换群的推广，它是“多重”交换群。与单群一样，可解群是群论 中一类极其重要的群。 我们知道可解群的子群和商群都是可解群，而f e i t t h o 叩s o n 定理指出 奇数阶群可解，得到这个定理以后，有限群可解性的研究就归结为对偶数阶群的 讨论。研究者主要是想利用有限群的一些性质和相关构造去寻找有限群可解性的 充分条件。研究可解群的工具很多，而且也有很多有用的结论，本文的出发点就 是在这些结论的基础上结合s y l o w 子群、h a l l 子群、共轭置换子群、c 一正规子 群等特殊子群得到一些关于可解群的新的结论。 3 1s y l o w 子群与有限群的可解性 有限群的s y l o w 子群在有限群的结构控制中起着重要的作用。p h a l l 证明 了有限群g 可解的充分必要条件是g 存在一个s y l o w 基，即g 的每个s y l o w 子 1 3 成都理丁大学硕十学位论文 群可补的经典结果。1 9 8 2 年，z a r a d 和m bw a r d 将这个结果改进为：g 可解的 充分必要条件是g 的每个s y l o w2 - 子群和每个s y l o w3 一子群在g 中可补。这 些结论都充分说明了s y l o w 子在研究有限群可解性中的重要作用。本节的主要 目的在于利用跏f d ，子群的相关性质结合c 一正规子群、h a l l 子群等来研究有限 群的可解性，得到一些结论。 引理3 1 1 1 7 1 设g 是有限群，、足是g 的予群。 ( 1 ) 如果圩在g 中c 一正规，h 茎k s g ，则日在足中。- - 正规。 ( 2 ) 如果置司g ，k 日，则日在g 中c 一正规当且仅当驯k 在g k 中c 一 正规。 ( 3 ) g 是c 一单的充要条件是g 是单群。 引理3 1 2 泖设g 为有限群，f g f = 2 。玎。，后1 为整数，啊为奇数，尹是g 的 s y l o w 一2 子群，若p 为循环群，则g 可解。 引理3 ，1 3 i s 设g 是有限群，p m i n z ( g ) ，p s y l p ( g ) ，若p 循环，则g 可解 定理3 1 1 设只，只，置为g 的三个给定的s y l o wp 一子群，h = 只n 弓， _ r e 司g ，则存在g 的一个s y l o wp 一子群q ，使得只n 口= h 。 证明因为最= x 一1 p , x x g 又 x - 1 只x n x _ 1 弓x = 只n = h ， 事实上，日= x - j h x x - 1 只x ，h = x - 1 溉x - 1 弓x ， 所以 只n 己= 日x p , x n x - 1 e z 。 又从另一个方面来说，若x - t 黟x 一1 只x n x - 1 只工， 则 g ，g 弓，所以 g en 0 = h 1 4 第3 章主要研究成果 所以x - i g x x - i h x = 日 所以 工一p 工n 工一1 p j x 日 证必。 定理3 1 2 z 设g 为有限群，p 是素数，g 的s y l o w p 一子群为交换群，那 么g 的所有s y l o wp 一子群的交就与其中某两个s y l o wp 一子群的交是等同的。 证明设g 的所有跏p - 子群为s l ，岛，分两部分来证明。 ( 1 ) 若sn 岛n s 。= p ，p 不为单位元群。若p 是某一个墨时，结论即 ， 成立，现不妨设p 墨。 由墨是交换群知p 一定是交换群，故p 司g 。 所以，g p 的所有$ ，f o wp - 子群为s l p ，岛p ，s m p 。 又墨p 不为单位元群，1 e s t p 是交换群。 对群g 用归纳法： 所以s l ip n s ! i p o s m p = s i p n s i p ， 而上式左端为单位元群，故s p n 马p = i ， 甄以 s i n s i = p 所以结论成立。 ( 2 ) 若n s = 1 设七是最大的自然数，k 是使得交不为1 的篷咖w p 一子群的最多个数。 即：& n & n n 瓯= d 1 ，且& n & n n & + ，= 1 。 令 瓯n 墨，& x g 一，瓯为交换群。 所以d z ( g i ) ， 而z ( g 1 ) q g 成都理_ t 大学硕十学位论文 所以d 司q 这时就可以断定g l 中没有异于s ，( - ，= 1 ，2 ，i ) s y l o wp 一子群。 如若不然，那么 d _ s j j ，y l a s 。a = d l ，口g ， 所以d = a - 1 d a 口一s j l a = d i 。 而这又与k 是最大自然数相矛盾， 于是g 。的所有妙f d wp - 子群为瓯，s ，瓯。 阻为s 、n s i 2 n n s k = d 1 故可由( 1 ) 的证明知，存在g 的两个s s t o w p 一子群& ，黾，使得 s i , n s i 2 = d 。r - i n d = l ，其中i 是g 的一个不含于g l 的$ f d w p 一子群。 若i n 墨= 1 ，= 1 2 ，k ，则问题已经证明。 设s n s 。1 ，_ ，= 1 2 七；于是，故i ng l 1 ，若- s n g l 是g 的某个 s y l o wp 一子群。 由& n & = d ，且只= 口1 瓯4 ，a e g l 则由定理3 1 i 有只n a s b a = a s l i a n a - 1 瓯口= & n s = d ， 再令口一s a = s 所以 p n 丘p n g , a & 茎丑n 甄= d 。 设p n = d l ， 则d l _ ，d isd ，d i i ， 这与d n p = i 矛盾。 所以 p n 曩= 1 故( 2 ) 也证明完毕。 1 6 第3 章主要研究成果 定理3 1 3 若g 的s y l o w2 一子群为交换群，且对g 的任意s y l o w2 - 子 群o ( op ) ，p n q 在p 中极大，则g 为可解群 证明若存在g 的某个s y l o w2 - 子群只，使得p n 只= 1 因为e c 、e , 在p 中极大， 所以l 叫= 2 由引理3 1 2 知g 可解 若g 的任意两个s y l o w2 - 子群的交均不为1 ，则由定理2 3 2 知g 的所有 s y l o _ 2 - 子群的交不为1 设g 的所有s y l o w2 一子群的交为h 1 ， 由定理3 1 1 ，定理3 1 2 ，可设日= 只n p 。 因为h a g , 且h 在尸中极大，所以i 乡刽= 2 ，l | = 2 拧。， ( 伟为 奇数) 所以可解，而日显然可解， 由引理2 8 知g 为可解群。 定理3 1 4 设g 是偶阶群，p s y l 2 ( g ) ，若尸在g 中c 一正规，则g 为可 解群。 证明因为p 在g 中f 一正规，存在置司g ，使得g = 麒且尸n 足昂，若 易= 1 ，则g = p k 且尸n 足= 1 ，g k 兰尸是2 一群，可解，y k 是奇数阶群， 故可解，所以g 可解。 若圪1 ，则考虑商群g 圪，因为p 在g 中f i f r ，由引理3 1 1 ， 在g 尼中c 一正规，又p 岛e s y t , ( c , p o ) ，商群g 尼满足定理假设。由归纳法 知g 尼可解，圪可解，故由引理2 8 知g 为可解群。 定理3 1 5i t m 是g 的极大子群而且是幂零群，如果肘的s y l o w2 - 子 1 7 成都理一f 大学硕+ 学位论文 群在g 中是c 一正规的，则g 为可解群 证明设m 2 s y z ( m ) ，由凹幂零知m 2 司m 若肘：, a g ，令百：g m ：，厨= m m ：，则面是虿的奇阶幂零极大子群， 由引理2 1 知，g 可解，再由引理2 8 知g 是可解的。 若m 2 不是g 的正规子群，因m s 6 ( 肘2 ) g ，由m 的极大性有 m = g ( 肘2 ) ，从而必有m 2 s y t 2 ( g ) ；否则：存在g 2 s y l 2 ( g ) 使m 2 g 2 ， 于是肘2 g ，( 吖2 ) = g 2 n g ( 肘2 ) = g 2 n m = 肘2 ，矛盾，所以鸩洲g ) ， 由定理定理3 1 4 知g 为可解群。 定理3 1 6 设g 为有限群，m 是g 的极大子群，且满足旧：m i = r ，这里 ，是一个素数，假设p 是整除i m l 的最小素因数，且存在肘的一个s y l a wp 一子 群j p ，使得p 在g 中c 一正规，则g 是可解群。 证明如果i g i 是一个奇数，则显然是可解的。假设i g i _ 2 qp ；2 p ；，这里 的p p ，是素数，并且a l - a ，是自然数。 ( 1 ) 如果，= 2 ，那么m 日g ，由引理3 1 1 知p 在m 中c 一正规，因此由 定理3 1 4 和引理2 1 知m 可解，由此得到g 可解。 ( 2 ) 如果，2 ，则由已知条件可知p 为g 的s y l o w2 - 子群，由定理3 1 4 和条件，可得g 可解。 综合( 1 ) 和( 2 ) ，g 是可解群。 定理3 1 7 设g 是有限群，日是g 的偶阶幂零h a l l 子群，肘是日的极 大子群，若m 的s y l o w2 - 子群在g 中是c 一正规，则g 是可解群 证明对g 的阶归纳： ( 1 ) 若g 是单群，由引理3 1 1 知，g 是c 一单的，从而肘2 剐：( m ) 为1 由幂零知，旧：m 】- p 素数，从而g 2 剐：( g ) 循环，由引理2 知g 可解。 1 8 第3 章主要研究成果 ( 2 ) 若g 非单，由条件存在正规子群k 使得g - m 2 k ，b m 2 n k 墨( m 2 ) g 若( 肘2 ) g 一1 ，则g x i m 2 ，因为【日：m 】- p ，如果尸- 2 ，则如循环， 由引理2 知k 可解，从而g 可解若p 一2 ，则j 】l f 2 e s y l 2 ( g ) ，从而足是奇阶群， 由f e i t t h o m p s o n 定理知k 可解，从而g 可解。 若似：) 。一1 ，作g g 似：) g ，驯似：) 。是g 眦：) 。的偶阶幂零h a l l 子 群，m i ( m ：) 。是驯( m ：) 。的极大予群。m i ( m ：) 。是m ( 膨：) 。的s y l o w 2 一子 群由条件知石满足定理条件，从而万可解，从而g 可解。 以上的这些结论就是利用了s y t o w 子群的相关性质，并且结合了c 一正规子 群、h a l l 子群等来研究有限群的可解性。 成都理j l ：大学硕士学能论文 3 2 共轭置换与可解群 最近二十多年来，经过很多数学家的努力，在有限群论中取得了一连串的突 破，并在1 9 8 1 年完成了有限单群的分类问题从此以后，许多群论工作者开始着 手研究有限群的子群对它本身结构的影响，通过对予群性质的研究来探索有限群 本身的结构，特别是对一些特殊子群的性质的研究来探索有限群本身的结构更具 有实际意义。 很多群论学者利用极小子群、半正规子群、拟正规子群等子群来研究有限群 的结构获得大量结果。例如王燕鸣教授引入了c 一正规子群的概念并利用极大子 群c 一正规性确定了一些有限群的结构。王品超、郭秀云、李德玉等群论学者进 一步研究了c 一正规子群对有限群结构的影响，从而推广了王燕鸣教授的结果。 事实表明，利用子群的正规性、拟正规性、半正规性等性质来研究群的可解性是 群论中一个很重要的内容，是一项既有科学价值又有实际意义的工作，而且已获 得许多成果。 共轭置换子群的概念最早是由t f o g u e l 教授于1 9 9 7 年在文 ( c o n j u g a t e p e r m u t a b l es u b g r o u p s 中加以定义的，研究了它的相关性质，并 利用一些特殊子群的共轭置换性刻画了有限群结构，得到了大量好的结果。他证 明了如下几个结果： ( 1 ) 设g 为有限群，如果g 的任意s y l o wp - 子群的任意循环子群在g 中 共轭置换，那么g 是幂零的： ( 2 ) 设g 为局部有限群，若对某一素数p ，所有阶为p 的幂的循环子群在g 中共轭置换，那么p $ 咖( g ) ，p 司g ； ( 3 ) 设g 为群，p e s y l p ( a ) ，i 尸l 为有限，且p 在g 中共轭置换，f j j i a p g ； ( 4 ) 设g 为有限群，存在h 为g 的共轭置换予群，如果h 是g 的s y l o wp 一子群的极大子群，那么日司g 或p 司g 。 郭鹏飞教授利用子群的共扼置换性概念，给出了共轭置换子群的一些性质和 2 0 第3 章主要研究成果 有限群成为可解群的几个充分条件，并且推广了t f o g u e l 教授的部分结果。张 勤海教授利用子群的共扼置换性概念及极小反例法，获得了一个群为超可解的若 干充分条件。他证明的几个结果如下： ( 1 ) 设群gs y l o w q ：群的极大子群均在g 中共轭置换且g 的任何截断均 不同构于内交换群，则g 超可解： ( 2 ) 设g 为有限群，m 为g 的极大子群且循环，若m 。一，g ，则g 超可解； 设群g 的2 一极大子群均在g 中共轭置换，若防( g ) l 2 ，则g 幂零； ( 3 ) 设g 为有限群，g ：h k ，其中日超可解，x 幂零，若的极大子群 ， 在苴中共轭置换，足的极大子群在日中共轭置换，则g 超可解； ( 4 ) 设g 为有限群，g ：h k ，h ，k 超可解，g 幂零，若口的极大子群 在鬈中共轭置换，定的极大子群在胃中共轭置换，则g 超可解。 从以上一些群论专家对共轭置换的研究来看，利用子群的共轭置换性来研究 有限群的可解性和超可解性，是一个较新的课题，十分具有研究价值。对它的研 究在更好地了解有限群的结构时有很大的作用。本节的主要目的就是尝试在已有 结论的基础上利用共轭置换予群作为工具，通过讨论某些子群的共轭置换性来研 究群的可解性，得到了有限群成为可解群的几个充分条件，获得了一些初步结 果。 引理3 2 1 嘲 若日 ，pg 且s 置s g ，9 l l | h 。，k 引理3 2 2 【1 1 l 设h 是有限群g 的j 捌子群且日 ，g ，则日司g 。 证明：任取g e g ，由h c - p g ，有h h 。= 日。日，故删5 g 。又 鼢h a n 子群，且日嬲。，a l h l = i h n 5 l ，从面日= 日8 ，由g 的任意性知 h 司go 引理3 2 3 1 6 设g 为有限群，如果p 妙f p ( g ) 且p ，。g ，则p 司g 。 引理3 2 4 【6 1 设g 为有限群，日是g 的极大共轭置换予群，则日司g 。 2 l 成都理1 ：大学硕+ 学位论文 引理3 2 5 f 6 j群g 的共轭置换子群必为次正规子群。 引理3 2 6 t l o l 设g 为有限群，s y l p ( g ) ，若p 的极大子群均在g 中共轭 置换，则对任意nqg ，均有蹦的极大子群在g n 中共轭置换。 引理3 2 7 t 1 1任意两个可换的幂零群之积都是可解的。 定理3 2 1 设日是g 的偶阶万一h a l l 子群，若日及圩的4 9 阶$ y l o w 予群均 在g 中共轭置换，则g 可解。 证明因为日 c p g ，h 是g 的万一h a l l 子群，由引理3 2 1 可得，h q g ， 又2 兀( 日) ，所以g 日为奇数阶数，故g 可解。由于日的每个s y l o w 子群都 在g 中共轭置换，由引理3 2 1 知日的每个s y l o w 子群都在好中共轭置换，因而 由引理3 2 2 知，对任意p s y t p ( h ) ，p 日g ，故h 幂零，日可解，从而g 可解。 定理3 2 2 ：设p 为有限群g 的s y l o w p 一子群，若p 在g 中共轭置换且g p 的极大子群为1 ，则g 为可解群 证明由引理3 2 3 知p 4 g ，设i g p | - 钟簟，其中e 为素数，若 s 1 ，则由s y l o w 定理知g p 中存在s y o w 真子群，即g p 中存在非l 的极大子 群，与条件矛盾，所以s = l ，设a e 为只群，由p 一群的性质知g p 的极大子 群的阶为印。1 ，故印一= 1 ，即e 。= 1 ，m 此l g ? l = 平= 毋，故g ，p 为素数阶群， 从而g e 为可解群，又p 为可解群，所以g 可解。