（应用数学专业论文）几类差分方程边值问题的正解.pdf

中南大学硕士学位论文 摘要 关于边值问题的研究，微分方程方面已经有了大量的成果，而差 分方程方面的文献却比较少然而为了数值模拟的需要，常常将微分 方程加以离散化；而一些差分方程又直接来源于医学、物理学等实际 问题中特别是近年来，计算机技术的蓬勃发展使差分方程的应用涉 及到更广泛的领域，同时也提出了许多差分方程边值问题的模型，因 此对这方面的研究也受到了广大专家学者的重视然而由于缺乏研究 离散系统边值问题解的存在性问题的技巧和方法，相应的成果也比较 少因此，对于差分方程边值问题的研究，无论在理论研究还是在实 际应用中都是非常有意义的工作 本文主要研究四阶差分方程边值问题正解的存在性、一类n 阶 差分方程特征值问题的正解和一类2 n 阶差分方程边值问题的多解性 全文共分四章，主要内容如下： 第一章绪论介绍有关边值问题的正解的发展概况，并概述了本文 的主要工作。 第二章直接利用代数理论结合不动点理论的方法代替传统的格 林函数结合不动点理论解决问题的方法，建立了四阶差分方程边值问 题存在正解的若干充分条件 第三章利用锥上的不动点定理对一类n 阶差分方程特征值问题 进行了讨论，得到了存在一个及两个正解的特征值的范围 第四章利用t w i ns o l u t i o n 不动点定理与l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点 定理对一类2 n 阶差分方程边值问题分别进行了讨论，得到了该问题 有两解与三解的结果。其中本章所讨论的2 n 阶差分方程边值问题比 以往讨论的该类问题更一般( 本章方程中非线性项允许含有直到2 ( n - 1 ) 阶差分) 关键词差分方程，边值问题，正解，不动点定理 中南大学硕士学位论文a b s ，n u l c t a b s t r a c t t h e r eh a v eb e e nal o to fr e s u l t so ns m d 如n gb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b u tr a t h e rf e wa c h i e v e m e n t so n d i f f e r e n c ee q u a t i o n s h o w e v e r , s oa st om e e tt h en e e d so fn u m e f i c a l a n a l o g u e ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa l eo f t e nt r a n s f o r m e di n t od i f f e r e n c e e q u a t i o n s ，w h i l eo t h e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n so r i g i n a t e dd i r e c t l yf r o m p r a c t i c a lp r o b l e m ss u c ha sm e d i c i n ea n dp h y s i c s e s p e c i a l l yi nr e c e n t y e a r s ，t h er a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g yh a sm a d et h e a p p l i c a t i o no fd i f f e r e n c ee q u a t i o n si n v o l v i n gi nm o r ew i d e nf i e l d s ，a n d l o t so fm o d e l sa b o u tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa l e b r o u g h tf o r w a r da n dt h e r e f o mf o c u s e do nb ym a n ye x p e r t sa n ds c h o l a r s b u ta sl a c ko ft e c h n i q u e sa n dm e t h o d so ns t u d y i n gt h ee x i s t e n c eo f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rd i s c r e t es y s t e m s ，t h e r ea r ef e wr e l e v a n t r e s u l t s t h e r e f o m ，i ti sm e a n i n g f u lw o r ke i t h e ri nt h e o r yr e s e a r c h e so ri n a p p l i c a t i o n st os t u d yb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e sm a i n l yt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n s f o rf o u r t h - o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，p o s i t i v e s o l u t i o n sf o rn - o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ， m u l t i p l es o l u t i o n sf o r2 n - o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o nb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p e l s m a i nc o n t e n t sa r ea s f o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c eas u r v e yt ot h ed e v e l o p m e n to fp o s t i v e s o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，w ea l s os u m m a r i z em a i nr e s u l t s i nt h ed i s s e r t a t i o n i nc h a p t e rt w o ，w ee x p l o r ean e wa p p r o a c hb ya s s o c i a t i n ga l g e b r a w i t hf i x e dp o i n tt h e o r y , i n s t e a do ft h et r a d i t i o n a lm e t h o do fc o m b i n i n g g r e e n sf u n c t i o na n df i x e dp o i n tt h e o r y , s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f p o s i t i v e s o l u t i o n sa r eo b t a i n e df o rf o u r t h o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yak i n do fn - o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，a n dt h e no b t a i no n ea n dt w os o l u t i o n st h e o r e m b yu s i n gf i x e dp o i n ti nc o n e n 中南大学硕士学位论文 i nc h a p t e rf o u r , w ed i s c u s ss o m e2 n - o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n b o u n o a r yv a l u ep r o b l e m s ，a n dt w oa n dt h r e es o l u t i o n st ot h e s ep r o b l e m s a l eo b t a i n e db yu s i n gt w i ns o l u t i o nf i x e d p o i n tt h e o r e ma n d l e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m t h e2 n o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n i nt h i sp a p e ri sm o r eg e n e r a lt h a np r e v i o u s l yd i s c u s s e ds i m i l a rp r o b l e m s ( t h en o n l i n e a rt e r mi nt h ee q u a t i o nd i s c u s s e di nt h i sp a p e rm a yc o n t a i n z e r ot o2 ( n 1 1o r d e r e dd i f f e r e n c e s ) k e yw o r d sd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，p o s i t i v e s o l u t i o n ，f i x e dp o i n tt h e o r e m i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名： i 盘里! 嘉日期：趁丑咀月监日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅；学校可以公布学位论文的 全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学 校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 名：盥盘导师新型山 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 i i 引言 第一章绪论 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域中有着非常广泛 的应用，尤其在几何学、力学、天文学、物理学等学科中，如核物理、电子技术、 自动控制、星际航行等许多尖端科技领域内已成为强有力的杠杆，推动这些学科 的发展在现代的生物学、人工神经网络动力学和经济学的领域中，微分方程的 理论和方法更是不可缺少的。然而，从生产实际和科学研究中所遇到的微分方程 往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，为了得到近似解或研 究解的性质，这时需要把方程加以离散化，研究相应的差分方程【l 捌另一方面， 我们发现许多差分方程又直接来源于医学、生物数学、统计学、物理学以及矩阵 计算等实际问题中近年来，随着电子计算机的蓬勃发展，差分方程理论已广泛 应用于计算机信息控制、工程控制、神经网络科学和社会经济活动中在过去十 几年里，关于差分方程的定性性质的研究成果已出现于大量的文献 3 - 7 这些研 究涵盖了差分方程的许多分支，如稳定性、吸引性、振动性等，这些研究的成果 所采用的方法大多受到微分方程中有关问题研究方法的启发但由于差分方程 与微分方程的明显差别，许多微分方程所采用的方法并不能完全照搬差分方程， 致使差分方程的研究方法和手段相对较少因此，研究差分方程需要在研究方法 上不断改进，从而促进差分方程理论的发展，同时为其它学科的发展提供基础 1 2 边值问题正解的发展概况 常微分方程的产生已经有三百多年的历史，远在1 7 、1 8 世纪，在力学、天文、 物理和技术科学中，就借助于微分方程，取得了巨大成就在微分方程理论的定 解问题中，除初值问题之外，还有一类同数学物理问题密切相关的所谓边值问题 和特征值问题这一闯题的研究，从1 9 世纪3 0 年代由s t t m n 和l i o u v i l l e 讨论二阶线 性方程边值问题s t u r m - l i o u v i l l e 特征值问题起，到2 0 世纪由h i l b e r t 等人奠定了 常微分方程的边值问题的理论基础，不论在问题的深度和广度方面还是在研究方 法上都有了很大的发展 一般而言，边值问题的解不一定存在，如果存在，也不一定唯一，因此，研 究边值问题的解的存在性及解的个数问题很重要与差分方程相比，微分方程的 边值问题已有许多学者应用多种不同的方法和技巧进行过深入细致的研究，如临 l 中南大学硕士学位论文第一章绪论 界点理论、不动点理论、重合度理论以及拓扑度理论已被广泛地应用于研究微分 方程与偏微分方程各种边值问题的存在性目前，对边值问题的研究，覆盖了常 微分方程、差分方程、泛函微分方程、脉冲微分方程和带有拉普拉斯算子微分方 程尽管人们对边值问题的研究取得了一系列的成果，但有许多问题的理论研究 尚不完善对于这些问题进一步的研究，无论在理论上还是在实际应用中都有很 重要的意义 由于在现实世界中往往需要求解边值问题模型的正解，人们对它进行了广 泛的研究并取得了丰富的成果e r b e 和w 粕g 在文献【8 】首先利用k r a s n o s e l s k i i 不动 点定 里1 9 1 研究了方程u ”+ a ( 0 f ( u ) = o 的正解存在性，其o p a ( t ) 宅e o ，1 】上是连续的并 且f ( u ) 在【o ，佃) 上是连续的此后，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理被广泛利用讨论边值 问题的正解存在性 对二阶边值问题 ，+ ，( y ) = 0 o t 1( 1 2 1 ) y ( o ) = y ( 1 ) = 0 ( 1 2 2 ) 其中f ：r 【o ，) 是连续的赋予f 一些增长条件，a v c r y l l o 】 j m l c g g c t t - w i l l i a m s 不动点定理【l l l 得到( 1 2 1 ( 1 2 2 ) 至少存在三个对称正解。 另一方面，a v 礴a t l 2 】利用孪生不动点定理得到右焦点边值问题 y + ( y ) = 0 o s t l ( 1 2 3 ) y ( o ) = y ( 1 ) = 0( 1 2 4 ) 至少存在两个正解，其中厂：矗斗f o m ) 是连续的 然而，对微分方程( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 及微分方程( 1 2 3 ) ，( 1 2 4 ) 所对应的 差分方程的边值问题的研究则缺乏相应的理论与方法，其工具主要是利用g r e e n 函数结合不动点定理来讨论解的存在性，见文献【1 3 - 2 1 在文献 2 2 1 中作者考虑了一阶非线性微分方程 y ( r ) = 一口( f ) j ，( f ) + ，( f ，) ，o f l ( f ) ，j ，o 一( 力)( 1 2 5 ) 其中口( f ) c ( r ，( o ) ) ，f ( t ，u o ，屿，) 【o ，o o ) “，t ( f ) c ( r ，【o ，) ) 记 盯= f c m ，“= ( u o ，q ，) 【o ，) 取 l u i = m a xu o ，l l i ，) 中南大学硕士学位论文第一章绪论 令 帅l i m 州m 岫a x ) f ( m t , u ) = 眦五， h e ( o ，m ) m 螺l i m m i 。n t e ( o 棚眢一正； l q 一，。) 训 m 咖l 。 枷l i m n 他1 i x n 。，眢锄“m l i m m a 岫x ，眢= 一厶 圳 o-o 作者得到了下面的结论： 定t 垂1 2 1 i ”1 如果满足下列条件之一。 ( 1 ) m 戤五= o ，r a i n 兀= ( 2 ) r a i n 五= ，m 强兀= 0 则方程( 1 2 5 ) 存在正解 上述定理考虑了m 瓤石= o ，r a i n 厶= 或m i n 五= ，m 瓤兀= o 的情形下 ( 1 2 5 ) 存在正解的充分条件，但对m 觚五，r a i n 无，m i l l 五，m 瓤正介于。到 之间的情形未作任何讨论在文献【2 3 】中，罗力军将上述超线性条件和次线性条 件运用到了二阶差分方程的研究中，并加上边值条件，在一个周期内对n 嫩， r a i n 兀，r a i n f o ，m a x 兀介于0 到a o 之间的不同取值做出讨论 对于2 m 阶l i d s t o n e 边值问题 ，2 帕( f ) = 厂( y ( f ) ，y ( f ) ，j ，和。( f ) ) o l l u u ； 或者 ( 2 ) 对甜置n a n 。有0 死8 i m ，x c u 置n a n ：，有刊i s i 酬i 则r 在盖n ( 瓦f 2 ，) 中必有不动点 定理2 1 1 矩阵q 可逆 证明 q = 令q = 知，设4 - 。为4 。去掉第一行和第一列，4 - ：为4 。再去掉第一行和第 一列，依次类推，则口，为a n 去掉前一f 行和一f 列 计算行列式，得： 令 有 a n 。一i 一6 a n _ 2 4 a n 一，一a x _ ， 0 + 3 a s _ i + 3 a n _ 2 + q ) + ( k i + 3 a n _ 2 + 3 a , v 一3 + 口- ) = 0 6 a m + 3 a n t + 3 a n _ 2 + 口， 6 + 一，= 0 计算可得q = - 4 ，呜= 1 0 ，a 3 = - 2 0 ，a 4 = 3 5 当= 2 | 时，6 = k = 1 由 当= 2 k 一1 ，6 = 坟h = - 1 = k = 1 ， 8 o o o o ；6 4 l o o o o ；4 l o o o o o ；l o o 一 o l q 6 ；o o o q 6 o ；o o o o 6 o ，；o o o 6 4 l o ；o o o 中南大学硕士学位论文第二章四阶差分方程边值问题正解的存在性 有 令 则 得 即 令 则 得 从而 他t + 2 吒h + 吒一2 ) + ( 吒t - i + 2 a 2 t - 2 + 吒t q ) = 1 气= a 2 i + 2 吒h + 4 2 t - 2 ， 岛。+ c 2 i - i = 1 c 2 t = 2 k + 1 ( 哆i + 4 2 i - i ) + “1 2 i i + i - 2 ) = 2 k + l ， 畋。= a 2 i + 吗， 畋i + d 2 h = 2 k + 1 d 2 t = ( 2 七+ 1 ) ( 七+ 1 ) ，吐t i = 七( 2 七+ 1 ) 呸t 一口2 i 2 = - 4 - 4 七一i = ( 2 七+ 1 ) 2 ，吒“一i - 3 = 吃b i 一以h = 4 _ j 2 得 4 2 。：1 2 + 3 z + 5 ：+ 7 ：+ + ( 2 k + 1 ) ：! 蔓里l ! 墨；量幽， a 2 k - i ：- 4 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + + _ | 2 ) ：一2 k ( k + 1 = ) ( 2 k + 一1 ) 当为偶数时，：垡丛型幽：t(n+ixn+2xn+3)， 当为奇数时，口=一t2k(k+1)(2k+1)=一塑生里塑譬必 综上所得知= ( 一1 ) 垡生旦坠尝幽o 因此矩阵q 可逆 一 中南大学硕士学位论文第二章四阶差分方程边值问题正解的存在性 定理2 1 2 q 的逆矩阵的元素都小于零 证明由数学归纳法得 旷1 = + 3 n ( n n ( | v + 2 m ，+ 3 ) n ( n 1 ) ( 一2 ) ( + 1 ) ( + 2 x n + 3 ) ： 6 0 ( ，+ 1 + 2 x n + 3 ) 2 4 ( r + 1 ) ( + 2 x n + 3 ) 6 ( + 1 ) ( + 2 x n + 3 ) 3 ( n - 1 ) + 3 4 n ( n 一1 ) ( + 2 ) ( j v + 3 ) 4 n ( n i x n 一2 、 ( | i i ，+ 1 ) ( + 2 x n + 3 ) 2 4 0 ( + l x + 2 x n + 3 ) 9 6 ( + i x n + 2 x n + 3 ) 2 4 ( + i x n + 2 x n + 3 ) 6 ( 一2 ) + 3 3 ( 3 + 1 ) ( ，一2 ) ( + 2 x n + 3 ) t 0 n ( n 一1 x n 一2 1 ( + i x n + 2 】v + 3 ) 6 ( ，+ 1 ) ( | v + 2 x n + 3 ) 2 4 0 ( + l x + 2 x n + 3 ) 6 0 ( + l + 2 x n + 3 ) j v ( n + t ) l 2 ( n + 3 )i n ( n 1 ) i ” 一+ jl 3 ( 一l x 一2 ) i 2 ( + 3 )i i i “一2 )l “ 面万一l 3 ( i v - 0 i ：。至ni i n + 3 j 从q - 1 的表达式易知矩阵的元素都小于零定理得证 设q 一1 = 。，) 。，z = ( “( 1 ) ，( 2 ) ，( ) ) 7 ：( f ) 0 , i z 1 ，n 1 ，对于任 意u = ( “。，”：，) 7 x ，定义范数0 u i i = ( ；) i ，易证x 是b a n a c h 空间 令口= m i n ( - a u ) ，p = m a x ( - a ，) ( 1 i , j ) 万2 南 = ( 蛳训”忙面而， 五2 。糨眢心将眢再恧眢， 兀2 l 瓣眢，f 一= 川l i 川r af ( k 删, u ) ，万2 藏眢 定义算子： 。 s ：x - - h x 为 ( 鼬) o ) + 2 a f f ( r ，u ( r - 1 ) , u ( r ) ，“( ，+ 1 ) ，“( ，+ 2 ) ) = o ( 2 1 2 易证s 为全连续算子 现定义锥k c x 如下： k = j ：u ( o 8 m ，i = 1 , 2 9 19 ) 考虑对v u k ，我们有 中南大学硕士学位论文第二章四阶差分方程边值问置正解的存在性 引理2 1 3 艇c k 证明v u k ，有 0 双，0 = ( 黝) 2 ( 1 ) + ( 砌) 2 ( 2 ) + + ( 砌) 2 ( ) s 厣面磊磊忑瓦丙 ：打和兰，( 删( ，一1 ) ，“( ，) ，“( ，+ 1 ) ，“( ，+ 2 ) ) 脚) ( f ) 触，( r ，u ( r - 1 ) ，“( ，) ，“( r + i ) “( ，+ 2 ) ) 舱黑：ollsvli，4n 丸8 则 s x 0 o l l s v 又( 瓤) ( f ) 0 ，因此双，k ，即s k c k 2 2 正解的存在性 f 咖，我们讨论在个同条件f 爱分万程( 2 1 ) 在边僵条件( 2 2 ) r 正解的 存在性 定理2 2 1 设存在两个不同的正数c ，d 使当i i - i i o c 】时，八七，) s 瓦萧；当 0 【掰，d 】时，m ，甜) 瓦d 菊，则差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 至少存在一个正解u ， 且m i n ( c ，d l i 卅i m 强 c ，d ) 证明不妨假设c d ，令q 。= c ，：【，k ，桫i l c ) 对于v u a 甄，由于 u k 由( 2 1 2 ) 和已知条件有 慨) ( f ) 筇厂( ，u ( r - 1 ) ，“( ，) ，“( ，+ 1 ) ，“( ，+ 2 ) ) s 铆三, t p n 2 c = ， 中南大学硕士学位论文 第二章四阶差分方程边值向量正解的存在性 该不等式表明对任意c 厂ej | 【n a q i ，有 8 s 刎s 再令q 2 = ：，e k ，u | i 捌i 叫l = 彩，i e z 1 ，明 由( 2 1 2 ) 和已知条件，我们有 ( ) ( f ) a 口( ，“( r - 1 ) ，”( ，) ，”( r 十1 ) ，“( ，+ 2 ) ) 刎土2 a n2 d = 此不等式表明对任意u 置n a q 2 有 归硼 很显然q lc q 2 ，由引理2 1 2 知，存在u e 置n ( 酉、q 1 ) ，使得 s 【厂= u 即u 是差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的正解。且c 到卅l s d 定理2 工2 锄。去时蕊r 而一, a n 唧m a x 南f ( u ) ，蜾+ 以，口勰厂 ) 。一。，一“ 则满足“+ 名 时，差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在正解 证明 由甜 0 ，使得 a c 瓦an丽rainf ( k , u ) “ 丽画丽 这表明八| i ，“) 髂八t 甜) 历d f 从而只需要证明c d 即由定理2 2 1 可知，存在一个正解 反设c = d 。则 万蘸丽“ 丽南而 根据口，n g m f ( k ，甜) m a x f ( k ，) ，知 1 2 ! 堕茎童曼主主堡墼 苎三童堕堕苎坌塑望篁塑墨垩篓些查垄丝 a n m l n f ( k ，“) 卢n m a x f ( k ，”) 与假设矛盾。即c d 所以差分方程边值问题( 2 i ) ，( 2 2 ) 存在一正解 定h 2 2 3 如果去 去，则满足壶 _ 了三，由文献【5 5 】知存在一列函数d 斗佃，使得 d 俐 。 4一。 八蠢，啦蕊d n ，【瓯，以】； 同理由题设知万 砀1 丽，d l 文献 ：s 5 】知存在一列函数巳。，使得 似，哪刍，悱【o “ 由定理2 2 1 知，结论成立 注当石，厶存在时，万= 五，厶= 五 舭2 2 l 如果赤 赤，则满足赤 五 击时，差分方程 边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在一正解 注f o = o 厶= m 即为是超线性增长的情形 定理2 。4 如果硒1 赤则满足赤“ 丽1 ，由文献 n 知存在一列函数吒呻o ，使得 m ，啦去，悱隗，以】： 由题设知万 面1 ，由文献 1 1 知存在一列函数q 寸m ，使得 1 3 中南大学硕士学位论文第二章四阶差分方程边值问愿芷解的存在性 f ( k ，哪南，i i , , l l 【0 “ 由定理2 2 1 可知，结论成立 注当石，兀存在时，五= 厶，万= 厶 推论2 2 2 如果孑刍 z 两1，则满足孑刍 a 脚x 岛，先) ，则有： ( 1 ) 对任何名， m a x ，比， 名 刀，则差分方程边值问题( 2 1 ) ，c 2 2 ) 存在两个正解 ( 2 ) 对任何五，若r a i n 岛，比) a m a x 吼，瓦) ，则差分方程边值问题 ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在一个正解 证明令舯巧衫r 而易知州_ 连续， 且有z = s u p p ( r ) ，由五 知，存在o c 1 硒1 ，所以存在。 吐 瓦i 1 面，所以存在包 以 佃t 使得 八芝丽d 2 ，删阿：，如】 在d 。，c l 间及c 2 ，d 2 间分别引用定理2 2 1 可知，差分方程边值问题( 2 1 ) ， ( 2 2 ) 必存在正解“，球。分别满足而” 0 ，那么 ( 1 ) 如果五= 丘= - i - o o ，则满足o a z 时，差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在两个正解 ( 2 ) 如果五= 佃或兀= + a o ，则满足0 互 z 时，差分方程边值问题 ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在一个正解 定理2 2 6 令o p l n 。岛元面1 = 先， l 。两 “a n 时南f ( k 如果，0 瓣p ，“) 一 r a i n 慨，以) ，则有： ( 1 ) 对任何a ，若“ 名 r a i n 俄，以) ，则差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存 在两个正解 ( 2 ) 对任何丑，若r a i n o o ，以) 名 m 瓢纸，氏) ，则差分方程边值问题 ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在一个正解 证明 令矿( ，) = ， 刚，墨。f ( k ，甜) ，毋捌硼i 易知妒：( 0 , + o o ) 啼( 0 ，佃) 连续，且 站+ = i 蝉矿( ，) 由 a 知，存在0 d l d 2 佃，使得 ，加 一一 ”缈( 吐) ，矿( 破) a ， 1 5 中南大学硕士学位论文第二章四阶差分方程边值问题正解的存在性 八i ，“) m i n f ( k ，“) 丽d i ，e 【嘲，破】； f ( k ，“) 2n f m f ( k ，“) 2 丽d 2 ，悱瞍：，屯】 另一方面，由a i ! 三，知存在0 c i 吐，使得 氏斛 j? f ( k ，“) 面c i ，悱【o c i 】； 由名 亏杀，知存在d 2 c 2 佃，使得 。脚 八后， ) 丽c 2 ，雌【o ，c 2 】 在d l ，q 间及畋，c 2 阃分别引用定理2 2 1 ，可知差分方程边值问题( 2 1 ) ， ( 2 2 ) 必存在正解”，甜。分别满足qs 肛1 d i ，d ： l l u l c 2 如果定理2 2 6 条件( 1 ) 成立，则差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在两 个正解+ ，”。 如果定理2 2 6 条件( 2 ) 成立，则差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在一 个正解”或“。 推论2 2 4 若1 4 + - j - o o ，那么 ( 1 ) 若f o = 厶= 0 ，则满足球 名 佃时，差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在两个正解 ( 2 ) 若五= o 或兀= 0 ，则满足“ 五 佃时，差分方程边值问题( 2 1 ) ， ( 2 2 ) 存在一个正解 1 6 中南大学硕士学位论文第三章一类n 阶差分方程特征值问题的正解 第三章一类r l 阶差分方程特征值问题的正解 ( - 0 1 a 4 u 0 ) - - a f ( k ，”( 七) ，缸( 七) ，“( 七) ) k s z 【o ，n 】 ( 3 1 ) a t u ( n + p + 1 1 = 0 ，0 f n - p - i ( 3 3 ) ( a ok e z o ，】，( 甜，“。) e r 4 ， 4 ( 后) ! 铲6 ( j i ) ( a 2 ) 函数4 ( _ i ) 非负，k e z o , n 】，且在z f o 】任意闭子集z 【b 】上不恒 其q a f ：r 【o ，a o ) 连续，4 ，6 ：z 【o ，】- - - * r + 行了研究，见寒献【5 2 】，要枣极限l i n i 单与l 陋单存在，本章在不要求 极限l i m 二筚弓；n 二筚存牲镐甜灸下，芮畜了咝解的存在性 i q o +l “l m + mk i 3 1 预备知识和引理 为了方便起见，本章专记： 五= 牌眢，。f o - l 和l i r af 川( u ) ，万= 画眢， 中南大学硕士学位论文 第三章一类n 阶差分方程特征值问愿的正解 卅l i 川r as 矿( ) 五= 厢a i ms 川( ) ，万= 藏眢 设g ( 七，) 是 a ( 七) = ok e z 【o 】 “( o ) = 0 o f s p - i “( + p + 1 ) = 0o f n - p - i 的格林函数 由文献 5 3 】知 g ( k ，n = 霎 篙1 ( 栉一o 一1 ) 南 ；琵i ! 篇c + 矗一七) ( ”一 ( o m i i g ( ，1 ) i i ( o 册 1 )( k , 0 z p ，n + p i ) z 0 ，】 令彳= f f i 0 g ( ，) 1 1 6 ( d ，口2 。m m i 帅n 】荟( 一1 ) ”g ( t 咖，o 万 妒，则o 万 o 5 r q h 时 ：三s u p 彳 髋厂( “) 这里o 五s 佃营厂( “) 0 o 0 ，8 c m p l l g ( ，1 ) i i b ( 1 ) f ( u ( 1 ) ) 8 i i s u l f f i ok g z p ，n + p 】 所以m i l l 黜( 七) 艿8 u ，k z p ，+ 纠 所以s u e 冒，即舾c e ，且s ：e 专e 全连续 1 9 中南大学硕士学位论文第三章一类n