（应用数学专业论文）相交体和混合相交体的不等式.pdf

摘要 本文首先介绍凸体几何的发展历史和主要分支本硬士论文主要以对偶b r u n n - m i n k o w s h 理论中的基本事物t 相交体和混合相交体为研究对象，利用几何分析的渐进理论、局部理论和 积分变换方法来讨论它们的度量不等式和极值问题，以更好地揭示经典凸性理论与对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论之间的关系 投影体是凸几何理论在解决问题时强有力的工具，并在过去三十年中成为众多数学家研究 的焦点我们在第二章对它的对应物混合相交体的积分定义和基本性质进行了讨论，如正齐次 性、正多线性性、正交变换下的变化等并在对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论的指导下建立了混合 相交体的一些经典不等式，如对偶m i n k o w s k i 不等式，对偶a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式和对偶 b r u n n m i n k o w s k i 不等式b r u n n m i n k o w s k i 不等式是凸几何经典理论中最核心的内容，本文第 三章建立了相交体及其星体极关于p 次径向和与调和b l a s c h k e 和的对偶b r u n n - m i n k o w s k i 不等 式，还讨论了有关商星体的混合相交体的一些不等式对偶的b r u n n - m i n k o w s k i 理论是上世纪 7 0 年代产生的新兴研究领域，是l u t w a k 引入星体的对偶混合体积的基础上建立起来的，而对偶 均质积分是对偶混合体积的一种特殊情况第四章首先引入了对偶调和均质积分的概念，找到 了原点中心对称的凸体的对偶均质积分和对偶调和均质积分之间的关系式；并利用b u s e m a n n 相交体不等式重新证明了星体的两个对偶均质积分之间的一个经典不等式 关键词：星体，相交体，混合相交体，极值，不等式对偶均质积分，对偶调和均质积分。对 偶b r u n n m i n k o w s k i 理论 i i a b s t r a c t t h ed e v e l o p m e n ts u r v e ya n dm a i nr e s e a r c hd i r e c t i o n s o fc o n v e xg e o m e t r ya r ep r e s e n t e di nt h e p r e f a c e ，t h i sp h m d i s s e r t a t i o nr e s e a r e h s t h ei n e q u a l i t i e sa n de x t r e m u np r o p e r t i e sf o ri n t e r s e c t i o n b o d i a n dm i x e di n t e r s e c t i o nb o d i e s ，w h i c h & r et h eb a s i cc o n c e p t si nt h ed u a lb r u n n - m i n k o w s k i t h e o r y , b ya p p l y i n gt h ea s y m p t o t i ct h e o r y , l o c a lt h e o r ya n di n t e g r a lt r a n s f o r m ，i no r d e rt om a k e t h ed u a l i t yb e t w e e nt h ec l a s s i c a lc o n v e xt h e o r ya n dd u a lb r u n n - m i n k o w s k it h e o r yc l e a r p r o j e c t i o nb o d i e sa r et h ep o w e rt o o l st os o l v ep r o b l e m so fc o n v e xg e o m e t r yt h e o r y , a n dh a v e b e e nt h eo b j e c t so fi n t e n s ei n v e s t i g a t i o nd u r i n gt h ep a s tt h r e ed e c a d e s ，i nc h a p t e r2 w ed i s c u s s t h ei n t e g r a ld e f i n i t o aa n ds o m eb a s i cp r o p e r t i e so f t h e i rc o r r e s p o n d i n g s - m i x e di n t e r s e c t i o nb o d i e s ， s u c ha sp o s i t i v e l yh o m o g e n e o u s ，p o s i t i v em u l t i l i n e a r ，m o n o t o n en o n d e c r e a s i n g ，c h a n g eu n d e rt h e o r t h o g o n a lt r a n s f o r m a t i o n ，a n ds oo n a n ds o m ei n e q u a l i t i e sf r o mt h ed u a lb r u n n - m i n k o w s k i t h e o r y ( s u c ha st h ed u a lm i n k o w s k ii n e q u a l i t y , t h ed u a la l e k s a n d r o v f e n c h e li n e q u a l i t i e sa n dt h e d u a lb r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t i e s ) a r ee s t a b l i s h e df o rm i x e di n t e r s e c t i o nb o d i e s t h ec l a s s i c a l b r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t yi st h eh e a r to fc o n v e xb o d i e st h e o r y i nc h a p t e r3 t h ed u a lb r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t i e sa b o u tp - t hr a d i a la d d i t i o na n dh a r m o n i cb l a s e h k ea d d t i o n ，f o ri n t e r s e c t i o n b o d i e sa n dt h e i rs t a rd u a lb o d i e s ，a r ee s t a b f i s h e d m o v e r o v e r ，w ef i n dt h ei n e q u a l l t i e sf o rt h e q u o t i e n ts t a rb o d i e so fm i x e di n t e r s e c t i o nb o d i e s d u a lq u e r m a s s i n t e g r a li sbs p e c i a lc a s eo ft h e d u a lm i x e dv o l u m e ，o nt h eb a s i co fw h i c ht h ed u a lb r u n n - m i n k o w d dt h e o r yw a sd e v e l o p e dt o an e wr e s e a r c hf i e l di nt h e7 0 so ft h el a s tc e n t u r y i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f d u a lh a r m o n i cq u e r m a s s i n t e g r a l s ，a n de s t a b l i s ht h ei n e q u a l i t i e sb e t w e e nd u a lq u e r m a s s i n t e g r a l s a n dd u a lh a r m o n i cq u e r m a s s i n t e g r a l so ft h ec e n t e r e dc o n v e xb o d i e s m o r e o v e r ，b yb u s e m a n n i n t e r s e c t i o ni n q u a l i t y ，w er e p r o v e dt h ec l a s s i c a li n e q u a l i t yb e t w e e nt h ed u a lq u e r m a s s i n t e g r a i so f s t a rb o d y k e y w o r d s ：s t a rb o d i e s i n t e r s e c t i o nb o d i e s ，m i x e di n t e r s s c t i o nb o d i e s ，e x t r e m u m ， i n e q u a l i t i e s ，d u a lq u e r m a e s i n t e g r a l s ，d u a lh a r m o n i cq u e r m a s s i n t e g r a l s ld u a lb r u n n - m i n k o w s k i t h e o r y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：盔盘壁日期：墨竺：! ：! ! 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：型她日期：赵列- l 旦 第一章绪论 1 1 学科综述 凸体几何是以凸体和星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它是以徽分几 何、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基础的现代几何学而经典凸性的核心在于包括m i n k o w s k l 滢合体积理论的b r u a n - m i n k o w s k i 理论成为理想的研究体系 b r u n n m i n k o w s k l 理论起源于1 8 8 7 年h b r u n n 的论文和h m i n k o w s k i 开创性工作的实质 部分，1 9 3 4 年b o n n e * e n 和f e n c h e l 的著名论著收集了当时已出版的主要结果r s c h n e i d e r 的专 著【4 9 】是一部最近出版的极其优秀的参考书如果把驮氏空间中的向量加( 通常称为m i n k o w s k i 加) 和体积联系起来，就产生了混台体积的记号和b r u n n - m i n k o w s k l 理论由于混合体积记号 的灵活性，它满足的一系列不等式被广泛用于解决极值问题，而局部意义下的混合体积则可产 生混合面积冽度均质积分、m i n k o w s k i 函数、表面积测度、曲率测度都是摁合体积和混合两 积测度的特殊情形，与微分几何及积分几何密切相美 b r u n n m i n k o w s k i 理论最核心的定理是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式：设a 和_ b 是r “中的肇 集，劂 v ( ( 1 一a ) a - t - a b ) 音( i a ) y ( a ) 寺+ a y ( 口) 古，v 【0 ，1 1 ， 由于它基本的几何内涵，它被认为是b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基石，是处理各类涉及体积、表 面积、宽度等度量关系难题的有力工具上世纪中叶，l u s t e r n i k 、h a d w i n g e r 、o h m a n n 、 h e n s t o e k 和m a e b e a t h 等人建立b r u n n - m i n k o w s k l 不等式的一个推广形式及它对l e b e s g u e 可 测集等号成立的条件后，它就进入了分析的领域，往后的二十年它就成为了分析领域内强有力 的工具b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的积分形式常被称为p r k u p a - l e l n d l e r 不等式一一h 6 1 d e r 不 等式的逆形式，在b r a s c a m p 和l i e b 的努力下，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式又可看成卷积范数 的 y o u n g 不等式的加强形式的特殊情形a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式是b r u n n m i n k o w s k i 不 等式的一种最强的形式，它与代数几何紧密联系，k h o v a n s k i i 和t e i s s i e r 独立地令人惊讶地发 现了a l e k s a n d r o v - f e n e h e l 不等式可与代数几何中的h o d g e 指标定理相联系。b o r e l l 窖积不等 式也包含在b r u n n - m i n k o w s k i 不等式之中，它被用来解决容积的m i n k o w s k i 问题，m i l m a n 的 逆向b r u n n - m i n k o w s k i 不等式是在b a n a c h 空间局部理论中的特殊形式，g a r d n e r 和g r o n e h i 的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的离散形式与涉及离散等周不等式的离散数学、组合理论和图论组 合理论和图论联系密切以b r u n n m i n k o w s k i 不等式为核心，联系着一系列与之有关的仿射等 周不等式，如p e t t y 投影不等式、z h a n g 的仿射s o b o l e v 等周不等式和k 仿射s o b o l e v 等周不 等式b r u n n - m i n k o w s k i 不等式在球面、双曲空间、m i n k o w s k i 空间、g u a s s 空间等均有不同 的形式 1 9 7 5 年，著名数学家e l u t w a k 引入星体的对偶混合体积的概念f 叫，并开创了对偶的 l 2 0 0 5 上毒大学硕士学位论文2 b r u n n - m i n k o w s k i 理论它与经典凸体理论的体系非常相似，用。径向和”对应m i n k o w s h 和”，用。径向函数”对应。支撑函数“，用对偶强合体积5 对应混舍体积”，并且相对于经 典理论研究凸体的投影，它研究星体的截面该理论在2 0 世纪8 0 年代空前繁荣，解决了一系 列经典理论未解决的问题 1 2 ，1 4 ，1 5 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，5 4 ，5 5 1 例如1 9 5 6 年提出的b u s e m a n n - p e t t y 问题【1 0 】就是其中之一：b u s e m a n n 9 1 首先通过中心对称星体和非中心对称凸体两个反饲给出 了j 1 3 中的否定答案而h a d w l g e r l 2 2 1 和g i e r z f l9 】得到了对于冒3 中的同轴中心对称的凸体 b u s e m a n n p e t t y 同题成立解决b u s e m a n n p e t t y 问题的主要突破来自于l a r m a n 和r o g e r s ， 他们利用概率论巧妙地证明了当n21 2 时b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立【27 】；下一个进展同样 令人惊讶，b a l l 利用立方体和球的截面和体积的美系证明了当n 1 0 时，b u s e m a n n - p e t t y 问 题不成立【2 】；g i a n n a p o u l o si l s 和b o u r g a i n 6 】分别独立地利用适当的圆柱体和球的任意小的 摄动体取代立方体，改进b a l l 的证明得到了当n 7 时b u s e m a n n - p e t t y 问题的否定回答当 n 5 和n 6 时b u s e m a n n - p e t t y 同题不成立的结论分别由p a p a d l m l t r a k i s 4 3 和g e r d n e r 1 3 】 发现后来，e ，l u t w a k 引入相交体( i n t e r s e c t i o ub o d y ) 的概念。发现了b u s e m a n n - p e t t y 同题 的解与相交体的关系，为在所有维致空间中彻底解央该问题开创了新的局面【3 3 1 g a r d n e r 对 n = 3 时的b u s e m a n n p e t t y 问题给出了肯定的回答；旅美华人数学家g a o y o n gz h a n g ( 张高勇) 1 9 9 9 年发表在a n n a l sm a t h 上论文的【5 4 ，57 】解决了b u s e m a n n - p e t t y 同题最后遗留的来解决 情形一即n = 4 的情形，最近，a k o l d o b s k y 用调和分析的方法给出了b u s e m a n n - p e t t y 问题 n = 4 情形的一个简短证明【2 6 】 不可不提的还有现代几何学的另一重要分支t 几何断层学它作为凸几何理论与医学c t 、 体视学、几何刺探等的交叉学科，主要通过对几何对象的藏面，投影等数据的分析来获得几何对 象本身的信息a r i s t o t l e 的论断；在月食时因为地球在月球的阴影是圆形的，所以地球定是 椭球形的是几何断层学的精神所在几何断层学覆盖了凸性问题，吸收了凸体的支撑两数、 常宽度和亮度集、投影体和带体、投影函数婷概念。吸收了a l e k s a n d r o v 投影理论和s h e p h a r d 问题解决方法等结果，更是吸收了a l e k s a n d r o v 面积测度、a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式、余弦变 换等工具在分析有关过固定点的截面数据时，研究对象突破了凸体，变为更为恰当的星体集 几何断层学还吸收了星体的径向函数、常截面集、相交体、截面函数等概念，吸收了f u n k 藏面 理论、b u s e m a n n p e t t y 问题的解决方法等结论，还吸收了i - 弦函数、对偶a l e k s a n d r o v - f e n e h e l 不等式、球形r a d o n 变换等工具，以便更好地重构几何对象或对几何对象的性质作出判断在 1 9 6 3 年，p c h a m m e r 教授在美国数学会上提出了这样一个同题，平面上的个凸体最少能 被几张x - 射线图片确定? 大约2 0 年后，r j g a r d n e r ，k j f a l c o n e r ，p c ，m c m u l l e n ，a v o l c i c 等一大批数学家积极投入到这个问题的研究，并且获得了确切的答案t 平面上的一个凸 体能被不是某个仿射正多边形边的方向集的子集的4 个方向上的x 一射线完全确定当今世界 上对几何断层学的研究可分为两大群体，其一是以r j g a r d n e r ，a v o l c i e 等为代表的完全理 论研究者，他们获得了一大批令人羡慕的成果1 9 9 5 年，r j g a r d n e r 教授综合了这方面的 所有成果，撰写了专著( ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) ) 1 2 ，其二是由于几何断层学有很强的实际应 用背景，以m i t 大学计算机与电子工程系的a l a nw i l l s k y 为代表的应用研究者，自8 0 年代以 2 0 0 5 上海大学硬士学位论文3 来，一直致力于计算机图形与模式识别研究，实现了几何断层学在计算机上的应用 1 2 研究课题和主要工作 凸体几何的经典理论和对偶b r u n n - m i n k o w s l d 理论有着相似的体系，它们之间的对偶关系 一真是研究的热点问题本课题主要利用几何分析的渐进理论，局部理论和积分变换方法对对 偶b r u n n m i i l l c o w s k i 理论中的基本事物t 相交体和混合相交体的度量不等式和极值问题进行讨 论，更进一步地揭示蒴个理论之间的对偶关系 投影体是凸几何的经典理论研究的主要对象投影体的概念在十九世纪初由m i n k o w s k i 褪 出( 【4 l 】，p 5 0 ) ，是b r t m n - m i n k o w s k i 理论在解央问题时强有力的工具，并在6 0 年代后期通过 b o l k e r ，p e t t y 和s c h n e i d e r 三篇具有重要影响力的文献【4 ，4 4 ，5 0 】激起人们对它的兴趣在过 去的三十年中，投影体巳成为众多数学家研究的焦点仿射相同的凸体有仿射相同的投影体的 事实使m i n k o w s k i 映射在b a n a c h 空间理论中变褥非常有意义。投影体的基本不等式是p e t t y 投 影不等式，在所有固定( 单位) 体积的凸体中，椭球的投影体的极体有最大体积，这也被认为是 最基本的仿射不等式之一描述投影体的极体有最小体积的凸俸是单形的不等式是z h a n g 投影 不等式投影体与带体的等价关系由l i n d q u i s t 清楚阐述( 3 1 l 。并受到来自泛函分析、随机几何 等学科的数学家的关注b o n n e s e n 和f e n e h e l 提出混合投影体的定义和基本性质，c h a k e r i a n 和s c h n e i d e r 分另u 给出它的支撑函数和一个包含混合投影体的球的有意义的特征化而l u t w a k 系统地给出b r u n n - m i n k o w s k i 理论中对混合投影体及其极的一些经典不等式【3 5 ，3 6 ，3 7 1 而相交体是对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论中的基本事物，其概念出现的玩_ 授影俸晚得多1 3 3 】 它的思想起源于b u s e m a n n 定理f 8 】，此定理对f i n s j e t 空间中的b u s e m a n n 面积理i e 具有重要的 意义相交俸对b u s e m a n n - p e t t y 问题的最终解决起到了关健性的作用1 1 3 。1 4 ，1 7 ，2 4 ，2 5 ，2 6 】。 而且它与投影体之间的对偶关系也得到一定的说明【1 2 ，3 3 1 ，但我们对它的了解远远少于投影 体混合投影体的概念出现在近期文献【2 8 1 中，但对它的性质和经典不等式的讨论和研究仍是 一片空白所以积极地研究相交体和混合相交体，不仅能充实对偶b r u n n - m i n k o w a k i 理论的内 容，丽且对于更好的理解两个理论的对偶关系有着重要的意义 本硕士论文共分四章，以相交体和混合相交体的性质和不等式为重点研究内容，下面对各 章内容作一简要介绍 第一章介绍本学科领域的发展概况和本文的主要工作 第二章主要工作是研究了混合相交体的积分定义和一些基本性质，如正齐次性、正多线性 性、正交变换下的变化等，建立了混合相交体在对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论中的几个经典不等 式，如对偶m i n k o w s k l 不等式，对偶a l e k s a n d r o v f e n c h e l 不等式和对偶b r u n n m i n k o w s k i 不等 式，并探讨了不等式等号成立条件( 该成果已被c h i n aa n n a l so f m a t h 录用) 2 0 0 5 上海大学硬士拳位论文4 对偶m i n k o w s k i 不等式：如秉k ，k 7 舒酽中包含原点在英内部的星体的桌合上那么 y m ( k ，k ，) ) “一1 y ( f k ) r , - - 2 v ( i k ) 等号成立当且权当k 和耳王为伸靖似k 删 对偶a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式t如果1 ，一1 四，1 i n 一1 ，那么 v ( f ( 耳m j k 1 ) ) shy ( j ( 玛，i ；k i + 1 ，j k 一1 ) ) ， j = l 等号成立当且仅当k i ，甄互为仲墙 对偶t j r u r m - m i n k o w s k i 不等式；如果k ，l 毋，那么 y ( f ( 耳千二) ) 小sy ( j x ) 粕+ y ( f 二) 相， 等号成立当且仅当k 和l 互为伸缩 第三章主要工作是建立了关于调和b l a s c h k e 和与p 次径向和的相交俸及其星体楹( d u a l i t yo f s t a rb o d y ) 的对偶b r u n n - m i n k o w s k i 不等式，并单独讨论了有关商星体( q u o t i e n ts t a rb o d y ) 的混合相交体的一些不等式 众所周知，对e “中的凸体耳和工有经典的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 v ( g + l ) 吾y ( k ) 告+ 矿( l ) 吾， 等号成立当且仅当和l 是同位相似( h o m o t h e t i c ) 而相交体关于两种和的对偶b r u n n - m i n k o w s k i 不等式在本文中给出；( 该结果已被t m j ( 台 湾数学杂志) 录用) 令k ，l 2 ，n 2 ，则有 访( ，( 工) ) 措、访( ，k ) 措。 诱( 儿) ；圭 v ( k 4 - l ) 2 v ( k )v ( l ) 等号成立当且仅当k 和l 互为伸缩 令k ，l c ：，n 22 ( i ) 如果1 p 茎n 一1 ，那么 v ( j ( 罩p l ) ) 布兰咕sy ( 工k ) 而兰磅+ 矿( j 工) 秭知， ( i i ) 如果p 2 一1 ) ，那么 v ( ( 耳罩p l ) ) 耳兰砖y ( j 耳) 而兰矗+ y ( j l ) 耳 以上两个不等式的等号成立条件是工和k 互为伸缩 第四章主要工作是引入了对偶调和均质积分的概念，并建立了关于原点中心对称的凸体的 对偶均质积分和对偶调和均质积分之间的不等式此外，还利用b u s e m a n n 相交体不等式重新 证明了星体的两个对偶均质积分之阿的一个经典关系式主要结论如再 卿5 上海大学硬士学位论文 5 如果k ? 俾点中心对称的凸体的桌台j ，且0 t n 一1 ，t 是t t l t ，那么 厩+ l ( k ) ”觑( 耳r 一。s - 2 1 等号成立当且仅当k 是球心在原点的球 如果k 毋，t ，j 是整数，且0 l j 0 ，那么 矿0 二l + b l ，三2 ，工。) = 8 矿( 工l ，二2 ，二。) + 6 矿( 工，工孙，厶) ( ) 浅性变换下的变化) 对于线性变换，有 矿( 事正1 ，l 2 ，多l 。) = i d e t i 矿( l 1 ，。k ，l 。) 。 ( ) 弹调性) 如果工lc ，那么 v ( l 1 ，l 2 ，l 。) 曼y ( l ，l 2 ，二n ) ( i v ) ( 非f h 性) v ( l i ，l 2 ，l n ) 0 若l i ( 1sj n ) 毋，对偶混合体积矿( 工1 ，k ) 还可用径向函敷进行定义； 矿( 三1 - ，“) 2 ；0 。p l ，阶忆( 砷8 u ， ( 2 1 3 ) 其中扎表示s “一1 上在u 方向的面积微元通常用识( 1 ，k 2 ) 表示矿( g ! ：坚3 - 墅：型， 用m ( k l ) 表示y 鬯o 羔，丘曼二。卫) 2005上海大学硕士学位论文8 若le 四，i r ，l 的对偶体积识( l ) 和对偶均质积分藏一 ) 定义为； 识( 工) = 谛j t ( 工) = v ( l , i ；b , n - i ) = l f 8 _ xp l ( u ) d m ( 2 1 4 ) 当i ；n ，上式就成为体积的极坐标公式： m ) = j 上硝u ) ( 2 1 5 ) 若厶四“= 1 ，) ，则混合体积的对偶a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式( f 1 2 】，p 3 7 3 ) 有 v ( l l ，工。) ”i i 铲( l i ，m ；l m + 1 ，工”) ， ( 2 1 - 6 ) 当且仅当l 0 = 1 ，m ) 互为伸缩( d i l a t e s ) 时取等号 2 。2 混合相交体的定义和性质 本节的主要任务是给出混合相交体的积分形式的定义和它的基本的性质在混合相交体的 性质和极值问题的讨论中，球面m l d o n 变换是重要而不可或缺的工具 假设，是定义在p 一1 上的b o r e l 函数，则，的球面l ：h d 0 1 1 变换r ，定义为，对所有 “s “。有 ， ( r ，) ( “) = ，( v ) n n 一2 ( t ) ) ，s n u l 球面r , d o n 变换具有以下性质： ( i ) 球面r a d o n 变换是从掣( s ”1 ) 映到四。( “) 的双射 ( ) 球形p l b c l o n 变换具有自共轭性( 1 2 1 ，p 3 8 2 ) 也就是说，如果，和g 是定义在s ”1 上 的有界可测函数，那么 j s - 一。m ) 励( ) 如一j s 彤( ”) g ( ”) 4 “ 一l 一l ( ) 如果是单位正突变换，鄢么( 【5 3 l ，p 6 3 5 ) # ( 置，) 托) ；r ， _ 1 t ) = 正。) 。，。) 幽 定义2 2 1 - 令k 一1 c n ，n 22 则k 1 ，一l 的混合棚交体j ( k l ，一l ，是 一中心对称星体，其径向函数满足 p ，( 耳l ，一，j h 一，) ( u ) = 石( 耳1n u 上，。k n 一1n u 土) ， ( 22 1 ) 英中酽，蕃是n 一1 维对偶混合体积 根据定义， p i ( k 1 ，k ，) ( u ) = p i ( k 。一1 ) ( 一“) 2 0 0 5 上海大学磺士学位论文9 成立，因此i ( k l ，一1 ) 的中心对称性可得 2 0 0 3 年，g a r d n e r 将对偶混合体积进行推广，将适用对象扩大到所有星体1 1 5 】即岛( 1 jsn ) 俨，对偶 戛合体积v ( l i 、，三。) 定义为 矿( 工1 f ，k ) 。：上一( 砖。( u ) p + 扣) 一p ：，( u ) p 瓦( u ) ) d u t 其中p + 。( u ) = m o 口 0 ，p l ( u ) ) ，p _ i ( u ) = m a x o ，一p z , 。( 一u ) ) ，1si n 根据对偶混合体积的定义，混合相交体的径向函数也可用积分形式来表示，于是我们得到 混合相交体的第二种定义形式z 定义2 2 2 令耳l t ，一l c “，n 2 则j ，j 矗一1 的混合相交铱的径向函数满足 州。_ 1 ) ( “) = 不1 玎z 。0 嘉。( u ) p 毛一。( v ) 一藤。) p 五。一。( ”) ) d n 一。( ”) = r ( 击( 吨p kl - p - l 嚏- 1 ) ) ( u ) ， 陋2 ) 其中p 壹。( 口) ，p 最( 口) 如前所述 若k i ，如毋，定义( 2 , 2 2 ) 简述为： 州n ，k 。灿) = i 马上一。职- ( ”) p “- l ( ”) 姒n z ( ”) = r ( 击眦p _ 1 ) ( u ) 取k l = 立一t 一，= k ，一t = = 以一1 = 工，那么混合相交体，廷蜡，蟛) 将 “一i - - ii 被记为五( k ，l ) 如果l = 日，那么丑( 耳，b ) 叫做k 的t 次相交体，并记为厶k 特别的， i k = 而k 为方便起见，我们将研究对象限制在包含原点在其内部的星体集内进行讨论下面将得到 混合相交体的一些基本性质，当然大部分性质在扩充到星体集时仍然成立 性质2 2 1 ( 正弃次性) 若炳，西。一i 舒，且o t l ，n n - 120 ，那么 ，( 0 l j n ，q p l 一1 ) = ( 1 1 o ”i i ( k _ l ，一1 ) 性质2 2 2 ( 正多线性性) 如果f ，耳j “一i ：，且a ，卢0 ，那么 k 1 邓k ，k 2 ，一i ) = a i ( k 1 ，k 2 ，一1 ) 邗i ( k ，k 2 ，一1 ) 性质2 2 3 ( 单调不减性) 如果k 。，k ，耳2 ，墨。一1 四，且kck ，那么 j 陇鲍，一1 ) c ，( 一硒，一1 ) 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文1 0 性质2 2 4 ( 在正交变换下的变化) 如果耳“，k n 一1 ：，s d 。，咖。代表变换的转i 的逆，那么 x ( 曲k x ，毋f 一1 ) = 币一l ( k z 一，一1 ) 证明令u 扩利用线性变换的性质： z 却= t x v ，我们可知u = 0 当且仅 当一l $ 扩= 0 因此，如果l ，是扩“方向上的单位向量，那么一= 曲- i u l 如果e 是f t 中n 一1 维子空问1 中的a 。一l 一可测子集，并且o e ，妒是e ”空间的 一个线性变换，那么我们有( f 1 2 1 p 2 7 4 ) a 一，( 币e ) 2 采j 丘。一，。啼奢( u ) 如= “u 雌d e 驯 n - 1 ( e ) 容易看到如果l l ，k 一】是包含在一中的h 一) 一可测星体，且o l 1 ，二。一l ，那么 # ( 蛳，妒l n 一1 ) 2 甚i 上似眦t ( ) p 口l - z ( 啪，；渺- t 1 1 1 d e t t f 1 4 ( l i ，, l n - 1 ) 因此， p l ( k l ，母k ) ( u ) = 硪币l n 上，一，一1n “上) = i ( 口( f “n 毋一1 u 1 ) ，( 1n 妒- 1 u 1 ) ) = 0 妒一。u l | 烈k l n 毋一1 u 上， h 一1 n 曲一1 u 上) = n - 占l l 。u | 1 上一。，。，p * - ( ”) p 一，( ”) 如 = 了。刮上。( t ) p x - ( _ ) t p 1 ( ) 如 = i ii l l 妒。训z 。一，n ( ( 怕叫妒) - 。p 盹。) p n 一，( ”) 咖 利用球形r a d o n 变换的性质( m ) ，因为是单位正交变换，我们有 州币，手n _ 1 ) ( u ) = 怕叫u 叫i 庐叫( i = 1 了厶一。p 耳。( ”) p 一，( 勘) 幽) = “胁，“一。) ( u ) ) 证毕 口 性质2 2 5 假设m 一( k i ，一i 一1 ) ，9 v f - ；5 i i ( m , f ) = i ( m , 墨：二二兰) 如果，厶k i 一1 ：，那么 ( f ，k n 工) 干 ( m ，k u 工) = 五( f ，k ) - t r i ( m , l ) 2 0 0 5 上海大学顼壬学位论文 i i 证明 因为m l ( “) = m a x p 石( “) ，儿( “) ) ，p k o l ( u ) = m l t l 职( t ) ，p l ( ) ，并结合径向函 数的性质( 2 。i 1 ) ，我们有 p 1 ( 村k n l ) - ； ( m ，耳u l ) c u ) = p i | ( m 。k ) - h ( m 工) 扣) ， u 酽一1 因此，很容易得到性质2 2 5 口 2 3 混合相交体的一些恒等式 假设三g ，且u s ”1 则星体l 关于原点0 的l 弦函数俄l 定义为 “小，= p l ( u ) + p l ( - - u r = 同时，星体l 的 弦对称形亏t l 是一个中心对称体且满足 p t 寻。l ( 舢) = p i 。l ( t 上) 等式2 , 3 1 如果k 是一个中心对称星体。且工c ：，0 ( t n 一1 ，那么 ( 2 3 1 ) 五( k 寺i 二) = 五( 托工) ( 2 3 2 ) 证明 令乱p ，利用( 2 3 1 ) ，得到p 玩l ( u ) = ( 塑生坐掣) 因为耳是中心对 称的，所以p ( 一u ) = p k ( “) 因而 气( 旃( u ) = i j l j ( 一眦肌( 妒。隐扣) 咖 = i 南( z 。一，。肼( ”) ”t - 1 儿( 幽+ 厶一，。船( ”) ”t _ 1 以( 一 如) = 瓦丽1 ( j ( 彬州妒“。仲) i d v + 上哪。州刊”p 1 州叫咖) ：= 兰 即( 口) n 4 l p l ( 口) 幽 2 i j 上一m p “( ”) 8 1 p ( ”) ” = p l 。( 耳l ) ( u ) 证毕 口 等式2 3 2 如果k 1 ，砥一1 ，州，聪一1ec n ，且i ( k i ，一1 ) = ( k i 。，碟一1 ) m 是原羔中心对称的星体，那么 e ( k 1 ，一1 ，m ) = 矿( 叫，磁一l ，m ) ( 2 3 3 ) 2 , 0 0 5 上海大学硕士学位论文 证明因为m 是原点中心对称的星体，所以p m ( ( p _ 1 ) 因此，一定存在，g ( 伊“) 使得p m = 冠，1 3 3 ，5 l 】 不难看到对每一个 s ”1 ，有p ( k ，一。) ( ) = 以( x i ，心。) ( u ) ， 因此， r ( p r , p k 一，) = 矗( 腑卜p 心一，) 另一方面， 矿( k ，玩“m ) = 元1 上一p k 。( n 肛一( u ) 肌( u ) 机 = ；上一帆( n 似一( 啦小) 也 由于球形m d o n 变换具有自共轭性，于是我们有 矿( 耳”，- h 吖) = ：f 。一。r 。耳。p x 一) ( u ) ，( “) 砒 = ：上一踯即p h l ) ( 讲( u m = ：f s - - , p k ；( “) p 心，( u ) 肌( “) 扎 = y ( 删，磁一】，m ) 证毕 口 等式2 3 3 如果k 1 ，托一l ，l 1 i ，l n l c n ，那么 p ( k 1 ，耳。一l ，( 三l ，三。一1 ) ) = 矿( 三1 ，三。一l ，( 尬，耳n 一1 ) ) ( 2 3 4 ) 证明令u s ”1 哥( k 1 ，一1 ，i ( l 1 ，l 。一1 ) ) ：三，p ，( u ) p 片。一，( u ) p