（应用数学专业论文）细胞自动机和符号动力系统.pdf

j 岩骘 如，塑堕鱼塾垫照堡墅量茎壁i 第一章绪论 ( 一) 、细胞自动机的研究与发展 细胞自动机( g 。l l u l a ra u 七o m a t a ，又称元脆自动机) 烧一种特殊的有限状态机，是 与连续c a n t o r 映射动力学系统相对应的离散动力学系统，具有时间、空间和状杰的 离散性嚏细胞自动桃是由j o h nv 踺e u m n 于1 9 5 1 年避武提出的，但是其思想起源 于& a n j 或氇wu l 辫1 蛆8 年，j o b nv o nn e u m a n 丑在研究“什么逻辑缎织结构的啻动枫 具有图篼机一样的自我复制特性的问题时，在s t a n 瑚a wu 】a m 的建议下，他聚用具 有2 9 个状恋的二维细胞空间建立了一个具有自我复制特性和通用计算能力的细胞自动 辊，j nv o nn e u m h 之嚣，a w + b u b 继续了这方露静辑究，毽主簧王 筝只是袋予瑾 论方面且由于提出的细胞自动机的结构复杂性限制了箕应用因此从那时以詹芙于 细胞自动机的研究陷入了一个很长的休眠期但从2 0 世纪7 0 年代开始随着计算机的 营及，跌e o & 节鳇生命游戏( g 8 m e l i f e ，摹孛缝够进霉亍蛰遗计算数嚣黎篱单懿2 个状 态8 个邻麟的细胞自动机) 为代表，细胞自动机的研究再度袋起2 0 世纪8 0 年代，s t e p h e n w o i f r a m 母召对细胞自动机进行简化，建议细胞自动机应具有简单规则性、局部连接 性爱高艘劳行性，并照提出了状态数为2 邻域拳径为i 的蔟本细胞自动枧f e l e m e n t 目y e 或l u h ra u t o m 8 土a ：驺c a l 强。筒纯后的细貔舞动机不莰其有适合v l 疆层次的衡单规 则结构和信息并行处理的局部直涟结构，而熙具有复杂的动力学特性卜1 3 l ，s t e p h e n w o r a m 对基本细胞自动机的性质进行了深入的研究，提出了基本细胞自动机的规则 及运焉条舞，并逶遘糕察特定燕羹簦产生酶行为将基本缨藏囊动瓿按褥为模式分为鲡下 四类1 1 圳： 1 ，状淼转移进入一个固定的状态 2 ，状淼转移进入简单的周期敬恋 3 状态转移进入漓沌状态模式； 4 毛爰客演纯为更鞠复杂翁模式， s t e p h e nw o l f r a m 对细胞自动机的简化极大的推动了细胞自动机理论及其应用的发 展特别德褥一提的燕，在2 0 0 2 年，经又在大爨的计算机模搬帮经验j 薅察的基础上翻造 性建穗基本细魏自动机为一种新辩学( a e wk i n d 8 e i e n e e ) 瑚【“、瑟b ，o c h u a 等a 结 合他们的细胞神经网络的研究成果用非线性动力学的思想对w o l f r a m 的计算机模拟结 2 塑堡塑篓丕堂壁圭堡塞：星二墼蟹建 果给予了一系列数学上的刻划 1 8 2 2 1 ，极大地推动了人们在理论上进一步对蒸本细胞自 动机的磷究 ( 二) 、基本细胞自动穰的一些基本概念 构成细胞良动机的四个基本要素为细胞( c e l l ) 、黼格( 1 融t l c e ) 、邻城( n e i g h b o 戎d ) 及规则( r u l e ) 【2 3 _ 2 5 1 细胞是级成细胞自动机的基本元素，可存储状态最简单情况下细 胞育o 秘l 两个妖态，复杂情况下也可以有多个状态嘲格是指细胞所占据的空间，最简 单的一维网格彤式为赝有纲胞排列在一条赢线上邻域一般指某个细胞自身及其赢接 相邻的细胞，常见的邻域一般为v b nn e u m 8 n n 邻域及m o o r e 邻域援更则规定了细胞之 问以何种方式相互作用 最篱单的一维细胞自动机即基本细胞自动帆( e c a ) 的状态集会为两个元素0 和l ，邻 膜是一个半径为l 的区域，也就是每个方格的左右两个方格是它的邻居f 2 6 | f 见闰1 1 1 圈1 1 状态为2 半径为i 的基本细施自动机 如果熙蒜色方格代裘状态“1 ”，自色方格代表状态守( 以下都如此定义) a b 共有8 种 情形( 见豳1 2 ) 一 射 】 皿 图1 2 所有8 种基本细臆自动撬状态缀合 假设当翦考虑的细脆为q ，在t 时刻的状态为哦，两个邻居的状泰为一。和嚎。在 下一时刻纲脆状态域“用函数表示为“：+ 1 = ，( 。，蟛+ 1 ) ，其中 o ，1 ) ，对任意 的t 和t 示意图觅翻1 3 童三蔓! ) 一= 2 舞1 3 输入输出示意鼹 ( 三2 ：薹查塑些旦塑垫塑二些墨查塑查3 对于所有状态组合可用布尔函数真值表表示( 见表1 1 ) 味。珥嘛。暖“ 0000 阮 1001 8 1 2 010 岛 3妄： 娄 毒i薹l 蒋 ；i葺i 譬 !ii 墼 至：； 藉 每，l 邕篙啊扛趸趔襄孝品裂程 暹孺篓重型耋呻囊嚣甄整州鬟：$ i 跨誊j 日；皆霉；刚矧；! 摹容 2 登篓：“5 茹 墅? ；j 萄蠹r i 。妻i ；j j | ；i i ，；： 映射也是连续的，且对任意u ，口 2 有d ( g ( “) ，9( ) ) = d ( “， ) ，d ( ( “) ， ( ) ) = d ( u ， ) 因此有 定理2 2 1 映射g 与 是保距离的同胚映射 ( 三) 、 局部规则映射拓扑共轭分类 先引入拓扑共轭的定义 定义2 3 1 m 设( x ，) 是紧致系统，如果存在同胚映射$ ：x - x ，使得。 = ( 三2 ：堕盟国艘垂丝旦塑基丛二些些璺1 3 由于映射 。，五 彼此之闯拓扑共辘；它们有相同的动力学行为因此不翳 选择映射 讨论对五0 2 有 命题3 2 3对任意 = ( ，“蟊，缸l ，e 2 ，若船2 ：2 一口( 一，“岫谲 ，“l ，) 一( r ，一。，南，w l ，) ，蕊中“，”袭示n 次，1 0 2 避代贝i j 毗= 置哦u 一o f m 。d2 ) ，确z 。 证明用数学归纳法证明若n 黑1 ，则显然商”，= u ，+ 撕十1 ( m o d2 ) ， v i 牙假 设n = m 时命题成立，则当”= m + 1 时，饥2 磊镰吣e + 蚕碟+ t 吣e2 蓦镌+ t s f m 。d2 ，说z ，命籁证举 定理3 2 4设礼揣2 m l ( m 2 ) ，u = ( ，u l ，谲，饥，) e 则下述三条等 价 ) “是轰。馥广义n 一藕麓赢。 蛳) 对任意。z 有砒+ 1 十+ 2 + + 地竹= 0 ( m o d2 ) ，z ( m 沁是移位映射 ，o 的他一周期点且妣+ 让2 + + u n = o ( m o d2 ) ，w z 证甓t t ( i ) = ( i i ) ” 壶广义髑期点豹定义及 瑾3 2 i 帮螽疆3 ，2 。3 容易褥窭戳下 证明“( i ) ( i 对 “( i ) = 琦( i i i ) ”若魁 0 2 的广义n 一周期点，由( i ) = 辛( i i ) 的结论，对v e z 有 “抖l “件2 + r t + 翟冲2 m l = 0 f n o d2 j “ + 2 + 啦+ 3 + 一+ u 件2 m = 0( m o d2 ) 嚣瑟一毽2 。( 氆。d2 ) ，巍就是毽+ l 一+ ，碱z 。濒戮是移袋波 射 7 0 的( 2 m 一1 ) 一周期点上述第一斌中取i 慧i 则有“l + 珏2 十+ = o ( m o d2 ) ，v i 巨 嚣 ( i ) 一( h 妒如祟 是移位映射矗鲍( 1 ) 一周期点，烈有镶一+ p 自戡z ， 站合蛳+ “2 + + 撕懈一1 = o ( h 珊d2 ) ，确z 有缸件1 十辘+ 2 + 十“m m l 0 ( m o d2 ) ，v z 即是 的广义n 一周期点 定理证毕 对于2 m 一1 的情形，也总可以拽到满足条件的有任意n 一周期的周期点因此映 射 o 。也是具有任意n 一周期点的映射 o 。中蕴宙的丰富的动力学行为也值得进一步 勰究 1 4 堑婆燧蕊杰堂餮主擦塞：萋璺窒堑齄蕉羹= 凌羹鏊 第四章总结及进一步展望 ( 一) 、总结 本文将溅本细胞自动机拓展出原来的霄限的满足周期边界条性的扭始配鬟展成 双边无穷，幽此对应予耱哥动力系统的双边蠢掰镣号序列零l 搦鲴照鱼动撰届部援刘 及“模2 加”避算鞘“逻辑麓”运算构造了2 5 6 个妫部规则映射，矮避找到的2 个阕躯姨瓣实 现了这2 5 6 个映射的拓扑麸轭分类螭果表明w o l f r 1 基于计算机模拟鞠犬援经验观察 静对于萋本缩稳自动祝的分类在符鼍动力系统观点下仍然成立，此辨，零克也对几个 鲡法纲藏自韵税局部蕊掰竣射周期赢豹些基举性质作了探讨，发现姨射及，1 。2 鹰 经意的一周期煮 ( 二) 、滋一步展鎏 本文将细胞自动椒与符号动力裂统缝合越来，偌助符号动力系统羔其掰究了基本 细腿自动规蒸零捆臆鱼魏槐的每一静蠛妥哇映瓣避巍一秽符号动力学籍冀。爨懿轰簿 为传统的e 2 上黝移位映瓣，此外，除去兄个平咒映射( 妇不变姨魁，4 及蠢藤氖；等) 辨， 对于太部分映射的动力学性质仍育待于避一步研究本文对几个加法细胞自动机局部 蕊潮映射周期点的耪移探讨旺显示器这拨局部规则映射中蕴禽率富的动力举行为，鞭 就勋何进一疹挖掘这些纲聪自动瓤局帮魏嬲浃射动力学性斌f 搬周期点、拓扑熵、巍 各种意义下韵灌沌等等) 无疑是一个稚常有意义的且又是极其挑战性的课鼹。 参考文献 参考文献1 5 f 1 w j l 打a m8 u n i v e r s i t yb n dc o m p l 毋【l 时i no e l l u l a ra u t o m a t a p 】p h y 萄c bd ，1 9 8 氐1 0 ( 1 ) ：1 - 3 5 嘲b u r k saw e s 8 斜o nc 枷u i 雎a u t o i i i a t a 【m u r b a i i ii l ：u n i 憎8 t y 。f1 1 1 l n o i sp r 啪，1 9 7 0 f 3 1n e u m a n n j v t h e o r y o f 8 稿“岫d u c i n g a u t o m 砒a l m 】( e d i t e da n dc o m p 】e t e d 埘a w b u r k b u n i v o fi 强诲p e s s ，e b 8 出蝌瞥i l k1 9 6 6 f 4 w 0 1 舟a ms 。s t a t i s t i c a im e c h a n k so fg 甜l u l 盯a u t o m a t a i 耳r e “e wm o d 韶np 吣i 档，1 9 8 3 ，5 5 ( 3 ) ： 6 0 1 6 4 4 斟c a t t a n e og ，f 。r m e n t ie ，m 耻g 篮8l t 雠越o nt d y n a m i c a lb e h 吖i o ro fc h a o t l cc 日1 u l 猷- o m 曩t 3 瓣1 ，薯h r e t 沁a l1 0 0 臻p 啦e r 糕啦，i 9 斡，2 1 7 1 ) ：翻5 1 f 6 1c a t t 姐e og ，可研m e 雠ib ，m 8 r g 吖bl e t8 i 噩啪8 耗m 嘶。衄o fn 撺o n e _ d i m e 黼i o n 8 1c e u u l a r * t o m a t ar “o8 p a c e 【j 】p a r a l l e lc o m p u t i h g ，1 9 9 7 ，2 3 ( 1 1 ) ：1 5 9 3 _ 1 6 1 1 e 1 1 r i c o 默m e n t i ，a 一8 t i d eg r 8 n g e n u 舢e rc 0 i 珥e r v i 嘴c e l l u ka u t o m a t 8i i ：d ”8 m i c s t h e o i m 斌铂m p 鼢s c i ，2 嬲3 ，3 0 4 ( 1 3 ) ：蕊鲫冀 8 j 日r k k ok 甜t h e o 玎o e e l l u l a r 锄t o m 舢8 ：as u r v e y 【盯t h e o r e t i c 蛆c o n p u t e r8 d e n c e ，2 0 0 5 ，3 3 4 ： 3 - 3 3 科p a b 沁d 龇七n e l l ，a l 哪8 i l d r om a a 8 s ，& r 她n 如s c h w 时t g o 蜮n a t o r i a l 瑚打u c 蜘n 88 8 c i a 乞e d 电o t h e 曲h 黼i c $ o 骆 掰e 畦e 醴n l 舒弧o 黼g 妞翻，2 鞠3 ，3 髓l 3 4 8 5 一曲7 。 f 1 0 d u b a c qj g ，d u r a n d b ，f o r m e n t i b k o 帅g 。r o vc 。m p l e x i t y a n dc e l l u l 8 r 卸t o m 8 屯ac l a s 8 i 矗c a t l 。n i 川 t h e o r e t i c a lc o m p u t e r8 c i e n c e ，2 0 0 l ，2 5 9 ( 1 - 2 ) ：2 7 1 2 8 5 l l l lg e n a r oj 幽r e om a r i n e # a n d 糟wa d a m a t z k y ，h 拽r 0 1 dvm d n c 0 8 h p h e n o m e n 0 】o 科o fg l ；d 柙 c 。l l 菇瓣$ 赶e 畦l n l 越8 畦。臻8 如n 彘导48 磷8 蹲o c i 8 酶dl o 季e 8 圭9 8 髂漆】，柏s ，s 。l i t o 黔 h e # 斑， 2 0 0 8 ，2 8 ( 1 ) ：1 0 0 - n 1 f 1 2 fb 1 8 n c h a r df tc e r v e i i ej ，f o r m e n t ie s o m er e s u i t sa b o u tt h ec h a o t kb e h a v i o r0 fc e j i u 岫b u - t o m a t a j 1 t h e o r e t k 8 lg o m p u t e rs d e n c e ，2 0 0 5 ，3 4 9 ( 3 ) ：3 1 8 3 3 6 l3 r 姻拓舂b n s o - s 8 诖2 。驴h 8 s et 强盎蠡赫n 8 魏船e l e “艳撼姆p f 出8 b l l l 雏 e 穗沁j 牲鞠o 班8 l 鞠蛾h 1 e m 衄y p h y s 油a ：s t a t i s t i c 8 1a n d 帕e o r e t i 嘲p h 辩i c s ，2 0 0 5 ，3 4 7 ：3 8 3 4 。l 【1 4 】w j l 矗a m8 t h e o r ya n da p p u c 砒i o n so fg e l l u l 衄a u t o m a t a 【m js i n g 印o r ew o r l d8 如七近cp r 蝴， 1 9 8 6 【l 翻耳赋扫哦8 ，锚l 越8 # t o 鞴或88 s 瓣o 妇啦。皤l 牟磷y 譬l 。n 砒u 糟，1 9 醛，3 l 4 1 9 堪2 4 。 i 6 | w b i 矗8 msan e wk i n do f8 c l e i l c e f m j w o l f r 心im e d i a ，2 0 0 2 阻7 】w o l 打a ms c e l i u l a ra u t o m 8 t a dc o m p l “i 计叫j p 栩：s e u 8b o o l = 8g r o u p ，2 0 0 2 f 1 跳c h u l o 1 蜘0 ns ，d o g 州ran o n l i n e 缸d y a m 酶p e r s p e c t i v eo f w b l 丘a m sn e w k l n do s d 黜憾 p 蛙i ：瓿 档轴醅。fe o 鞠) l e 蠢母鬣k t 髂躲t 1 8 ll o w n 毫】o fb 巍聪撕o n 缸畦礴8 。8 ，垒2 ，1 2 ( 2 ) ： 2 6 5 5 _ 2 7 6 8 【1 9 1g h u al0 ，s b i t n e vvi jy j o nsan o n i i n e a rd y n a m l c 8p e r s p e c t i v eo fw 0 1 舟a m si 地wk i n do f s c l e c e p 甜ti i ：u n 鹅a in e u r o n 【j l ，i n t e r n 砒i o 8 lj o u r n 以o fb i h 惴t i o na n dc h 8 0 s 2 0 0 3 ，1 3 ( ： 2 3 7 2 4 9 1 i 2 创g h u alo ，s b i t n e vvi y o o ns a n l i n e 8 rd y n “m i c sp e r s p e 枞v e w 甜m sn e wk i n do f 8 c i e n c e p h “i i i ：p r e d 妣i 雌t h eu n p r e d i 嘶出k mi n t e r n a t i o n b lj 。u r n 柚o fb i 妇c 砒i o na n dc h 蝴 2 4 ，1 4 ( 1 ) ：3 6 8 9 - 3 8 2 0 辫l 】0 h 5 l o ，s b 主鼬v v i ，蜘啦s ，a b 。h | l 赫撼r 鸯瓿n 描辨噼“孝畦i v e o f w o l 矗b m 8 舶帮韬n d 鲥e # 糖 p a 础i v ：舟o mb e r n o u l l i8 h i 托t ol 一8 p 扰栅u m j i n t e r n a t i o n a lj o l 螽10 fb i f u r c h i o na dc h 8 ， 如0 5 ，1 5 ( 4 ) ：1 0 4 5 - 1 1 8 3 埔塑蓬蠖疆煎堂壁童浚奎i 窆麦塞夔 f 2 越e h alo s b i t n e vvl ，y 蛐ns an o m i 聃甜d y n a m l c 8p e r 8 淤e i v eo fw o 撩8 m s 艚w 韬n d 威 s c l e n c ep 瓣t 取t a 8e 郴w h e 糟辩1 斌e r n a 渤n 柚j o m n 甜o fb i f u r 妊虹a n dc h a o s ，翔0 6 ， l # 1 2 ) ：3 粥i - 3 9 档 f 2 观g u t o w 蚍h ，0 e l l u l 吖a u 协l n 蚰n ：t h e o r y 拍d 奶【p e n m e n t | m 1 c 啪b r i d 鹣m a 8 8 ：心tp r e 鼯，1 0 9 1 翊孙d def ，黝l u l 趾a h t o 撇毗8 l m l n 蝴y 钟k ：a c 甜e m cp p 娜，1 9 6 8 2 秘p 醚赫h 鼬妇，ab 痢fk 啦。2 y 。f u 啦孵姐t o m 酬露a g m 蕊m p u # ；冁s 虹v 哟塔( g s u r ) ，2 0 0 0 ， 3 2 i 鼯1 0 t 【2 6 l0 婶c 麒e r ems ，s i p p 删m ，1 b m 8 s 8 i n im at 、8 t 艄er 篇l 捌】“蚪糊t o a t o at h 蚰c l 躺或矗髓d e n m 孵岍脚$ r e 玑l e ，1 9 9 8 ，7 7 ：4 9 6 姒9 7 1 f 2 鹌羰筑生。擞努动兜系统菔瑾戳 匏京：辩常出鞭社，j 辨孰 辫j 蛰瓣a 技，g 8 滞净a ，d 目8 肾j 批& a ，# 七器燕c ；托也麟粥错缸砒 o n 喜r 抽t o # 撼a 溺l 嚣勰 p r o c e e d i n 鳓1 9 9 0 1 3 7 ( 1 ) ：8 l - 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