（基础数学专业论文）几类特殊构形的特征多项式和区域个数.pdf

i i l l l li iiii i i ii i i i i i 1 1 i y 18 0 5 7 9 9 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意 、h 学位论文作者签名：龌日期：- 二巡事目，j 匀 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即；东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名缘翠指导教师签名= 垄丞吁 日 期：专厶啷日期：4 址u 学位论文 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 摘要 本文利用w h i t n e y 定理和有限域的方法求得几类超平面构形的特征多项式和 区域个数首先，本文在自由构形的基础上定义了两类新的构形：平行自由构形 和类自由构形，如果保持自由构形的处于一般位置的要求不变，用平行组代替 自由构形中的单个超平面，可以得到平行自由构形，运用w h i t n e y 定理可以求出 平行自由构形的特征多项式及区域个数，这项工作推广了刀维向量空间中自由 构形的相关结论 本文将平行自由构形中的等个数的超平面推广为任意个数的超平面，但仍 保留平行的结构特点，得到了另外一种新的超平面构形，即类自由构形，运用 w h i t n e y 定理可以求出 维向量空间中的类自由构形的特征多项式及区域个数，这 项工作又推广了疗维向量空间中平行自由构形的相关结论 本文还利用有限域的方法求出s k i 构形、c a t a l a n 构形以及低维空间中两种构 形的推广构形的特征多项式这种方法对于求超平面构形的特征多项式非常有 效 关键词：超平面构形；自由构形；平行自由构形；类自由构形；s h i 构形； c a t a l a n 构形；特征多项式；区域个数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec a l c u l a t et h ec h a r i c t e r i s t i cp o l y n o m i a la n dt h en u m b e ro ft h ea r e a so fs o m ek i n d so f h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t f r e e f i r s tw ed e f i n ean e wk i n do fh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t p a r a l l e lf r e ea r r a n g e m e n t ，w h i c hm a i n t a i n st h e r e s t r i c t i o n i ng e n e r a lp o s i t i o n s ”a n dw ec a l c u l a t et h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a la n dt h en u m b e ro ft h e a r e a so ft h i sn e wk i n do fh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n ti nn d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c eu s i n gt h ew h i t n e yt h e o r e m ， w h i c hp o p u l a r i z et h er e l a t e dc o n c l u s i o n0ft h enf r e ea r r a n g e m e n ti nn d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c e a n dw ea l s od e f i n e da n o t h e rn e wk i n do fh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s p e c i e sf r e ea r r a n g e m e n t ，c a l c u l a t - i n gt h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a la n dt h en u m b e ro ft h ea r e a so ft h es p e c i e sa r r a n g e m e n ti nn d i m e n s i o n a l v e c t o rs p a c eu s 啦t h ew h i t n e yt h e o r e m ，a n dp o p u l a r i z e dt h er e l a t e dc o n c l u s i o no ft h ep a r a l l e lf r e ea r r a n g e m e r i ti nn d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c e a n d w ec a l c u l a t et h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a la n dt h en u m b e ro f t h ea r e a so f t h es h ia r r a n g e m e n ta n d t h ec a t a l a na r r a n g e m e n ta n dt h ee x t r a c t e da r r a n g e m e n t so f t h e s et w o a r r a n g e m e n t si nt h el o w e rd i m e n s i o n a l v e c t o rs p a c eb yt h et h e r e a m so f t h ef i n i t ef i e l d k e yw o r d s ：h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s ；f r e ea r r a n g e m e n t ；s p e c i e sf r e ea r r a n g e m e n t ；s h ia r r a n g e m e n t ； t h ec a t a l a na r r a n g e m e n t i i 目录 中文摘要i 英文摘要i i 目录i i i 1 引言1 2 预备知识3 2 1 一些记号和定义3 2 2 一些将用到的定理及其证明9 3 平行自由构形1 4 4 类自由构形1 6 5 有限域法求构形的特征多项式2 l 5 1n 维空间中s h i 构形和c a t a l a n 构形的特征多项式2 1 5 2 低维空间中s h i 构形和c a t a l a n 构形的推广构形的特征多项式2 3 参考文献2 5 硕士期间发表的文章2 8 致谢2 9 i i i 东北师范大学硕士学位论文 l 引言 超平面构形学科起源于1 9 4 3 年，j l w o o d b r i d g e 在美国数学月刊上提出了 “证明切疗刀后的奶酪最多有i n + 1 ) i n 。2 - n + 6 ) 块”的问题f 3 】这个问题用数学归纳法可以 证明，有趣的是刀点可以将一条直线分为 + 1 部分，玎条直线最多可以将一个平 面分为1 + ，+ ( ：) 部分，刀个平面最多可以将一个空间分为1 + 胛+ ( ：) + ( ：) 部分l s c h l a f l i 得到了一般分隔m 维奶酪后得到最多块数的公式：1 + ”+ ( ：) + ( 菊+ + ( ：) 为了使分得的块数最大，问题中的超平面构形必须在“一般位置 ，这就是 说任何两个平面有一条公共直线，任何三个平面有一个公共息如果不要求超平 面构形在“一般位置”，将使计数问题变得困难得多而研究并解决不处于一般 位置的超平面构形分空间所得的区域个数问题也成为了超平面构形学科的核心 问题之一早期的许多学者均致力于此类问题的研充 1 9 7 5 年，t z a s l a v s k y 作过一个有意义的推进，他在a m s 学术年会上做了以“面 向构形：超平面分空间所得块数的计算公式竹为题的报告，他引入删除限制方 法，得到了计数问题的循环运算公式1 4 相似的结果也被m l a s v e r g u a s 独立的得到 超平面构形贸的元的交集l ( 贸) 也是被t z a s l a v s k y 定义的他还有反包含定义了l ( 贸) 上的偏序关系，以此来定义, 9 1 上的莫比乌斯函数，这项工作为超平面构形的研 究打下了基础，借助于莫比乌斯函数函数，我们将超平面划分空间问题与代数 问题联系了起来，这是研究超平面构形的基本方法之一，他使用了l ( 贸) 的莫比 乌斯函数定义了l ( j i ) 的特征多项式，并证明了超平面构形的三元组之间的庞加 莱多项式的关系，得出了余集块数的漂亮结果：i c ( 两i = 丌( 贝，1 ) 【6 1 随着时间的推移，更多的工具被用于研究超平面构形e o f l i k 和l s o l o m o n 用组 合的方法研究了复构形, 7 1 的余集m ( 舅) 的拓扑结构他们利用b r i e 立k o n 的结果计算 任意复构形余集的庞加莱多项式：p o i n ( m ( 珂，f ) = 丌( 贝，1 ) 7 1 因此，余集的b e t t i 数仅 依赖于超平面的相交偏序集 e o l i k 和l s o l o m o n 也定义了分次代数a ( 贸) ，它是仅用l ( 贝) 构造的，a ( 舅) 是基 于舅的外代数e 何) 与齐次理想i 旧) 的商：躲代数方法主要研究超平面构形的 自由性和退化性，进而得到超平面构形的特征多项式和区域个数的相关结论同 时，两位学者还用生成元的关系给出了复构形余集的上同调环的一种表示，并 把相关结论推广到了复反射构形领域【7 】 模元也是研究超平面构形的非常有利的工具，超平面构形是否是超可解的 取决于其h a s s e 图是否有一条全部由模元组成的链s t a n l e y 给出了几何格中关于模 元的贸的庞加莱多项式的因式分解公式，而a r n o l d 通过一个齐次理想构造了作为 东北师范大学硕士学位论文 外代数的商的分次代数，称为o r l i k - s o l o m o n 代数，记为o s ( 舅) 超平面构形的研究 可以从o r l i k - s o l o m o n 代数入手【2 1 本文的第5 节则是借助有限域的理论方法解决了s h i 构形、c a t a l a n 构形以及低 维空间中两种构形的推广构形的特征多项式和区域个数的问题 随着研究的深入，学者们相继提出了不同类型的超平面构形，而对这些构 形的研究也是超平面构形理论研究的热点比如g m z i e g l e r 定义了重构形( 巩m ) 【1 5 】，h t c m o 及其学生解决了重构形自由性的相关问题【2 0 】；由m g o r e s k y 和r m a c p h e r s o n 定义了子空间构形，c h r i s t e sa t h a r a s i o d i s 解决了其组合性质和拓扑性质；以及混合 构形、标记图构形等等解决各种构形的特征多项式、自由性、代数性质、拓扑性 质、组合性质等一时成为超平面构形学科研究的热点 本文的第3 、4 节也分别定义了两种新的构形，并独立解决了这两种构形的特 征多项式、区域个数等问题 国内目前对超平面构形理论进行研究的讨论班有东北师范大学裴东河教授 的讨论班以及北京化工大学的姜广峰、余建明老师的讨论班东北师范大学的讨 论班最近的主要的研究成果有： ( 1 ) 解决了借助计算机算法实现对中心超平面构形的特征多项式和超可解性 的计算【3 8 】； ( 2 ) 讨论了秩为3 的一类超平面构形的超可解性质【4 2 】 ( 3 ) 定义了两类新的超平面构形，并借助于w h i m e y 定理解决了其特征多项式 和区域个数的问题 删【4 l 】 ( 4 ) 定义了一类球构形并给求出了一类特殊构形的特征多项式 4 3 】 北京化工大学讨论班最近的主要成果有： ( 1 ) 借助于o r l i k - s o l o m o n 代数解决了关于中心超平面构形的可约性的一个充分 必要条件，并给出了将构形分解成不可约分支的直和得一个有效算法 3 0 1 ；( 2 ) 给 出了仿射构形、中心本质构形的可约性的充分必要条件等 本文的主要结果有： ( 1 ) 定义了平行自由构形，并运用w h i t n e y 定理求出了平行自由构形的特征多 项式及区域个数 ( 2 ) 定义了类自由构形，并运用w h i t n e y 定理求出了类自由构形的特征多项式 及区域个数 ( 3 ) 给出了利用有限域的方法求s h i 构形、c a t a l a n 构形以及低维空间中两种构 形的推广构形的特征多项式 2 东北师范大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1 一些记号和定义 设v 是数域k 上的刀维向量空间，一般我们研究特征数为0 的域上的空间。其 中的超平面是余维数为1 的仿射子空间空间v 中的超平面构形贝是超平面的一 个有限集合例如在3 维欧氏空间内，直线即为空间内的超平面，有限条直线组 成的集合就是一个超平面构形 例如，若( 口f 1 鲍，口加) ，其中1 i k 超平面构形贸= 凰，1 - 1 2 ，h k 其中 仿射子空间如下： h i ：口1 1 工l + 口1 2 x 2 + + 口1 h x n = b 1 ； 1 - 1 2 ：g 2 1 x i + 口2 2 x 2 + + 口h h2b 2 ； h k ：锹l x i + 口鸵娩+ + 口七玎x n = b k 此时，若用 l ( a i ) = b i 定义h i ，1 i k 则可定义超平面构形贸的定义多项式如下： q ( j i ) = ( ( 口1 ) 一b 1 ) ( l ( a 2 ) 一6 2 ) ( l ( a d 一6 女) 若超平面构形中所有超平面相交非空，即若 丁( 贸) = nh 非空，贝叫做中心构形 当舅为中心构形时，可设构形中超平面都过原点，即b i = o ，1 i k 若d i m t ( 贝) = 0 ，则称舅为本质构形本质构形的维数与秩相等 构形的维数d i m 贸= d i m v , 构形的秩为舅中所有超平面的法向量张成的线性空 间的维数 若已知域k 上的向量空间y 内超平面构形贸是非本质的，我们可以通过构 造，找出贸的一个本质子构形凡，具体方法如下： 令x 为超平面构形贸的所有超平面的法向量张成的线性空间，y 为x 的补 空间定义 w = v v ：v y = 0 ，v y 】厂 东北师范大学硕士学位论文 如果c h a r ( k ) = 0 ，那么w = 置我们容易发现 c 。d i m ( hr e ) = 1 则hn 为内的超平面，我们令 凡= ( 日n 彬v 日舅 那么凡就是我们需要的超平面构形舅的本质子构形 例2 1 由多项式q ( 贝) = y ( x + y ) 一y ) 定义的超平面构形舅是r 2 中由过原点的 三条直线构成的中心的本质的构形见图2 1 例2 2 由多项式q 仰) = 一1 ) + 力 一y ) 定义的超平面构形, 7 1 是尺2 中由三条 直线构成的非中心的本质的构形见图2 2 例2 3 由多项式q ( 贝) = y 0 一1 ) 一2 ) 定义的超平面构形舅是r 2 pe h - - 条直线 构成的非中心的非本质的构形见图2 3 图2 3 4 东北师范大学硕士学位论文 一个空间两个超平面构形舅。，贝：，若有, 7 1 ，翻：，则称贸t 为舅z 的子构形 令k = r ，定义超平面构形贸的区域为贸中超平面的补集中的连通区间般 x = 瞅一u h e 月 令欠仰) 表示贸的区域的集合令，- 何) 表示贸的区域个数则 ，( 贝) = # 穴( 舅) 例如：例2 1 中的超平面构形的区域个数为6 ；例2 2 中的超平面构形的区域 个数为7 ；例2 1 中的超平面构形的区域个数为4 给定一个集合p 和一个在p 上 定义的二元关系，若有序对( 只) 满足下列偏序公理： ( 1 ) ( 反身性) 对任意x p ，都有x 工 ( 2 ) ( 反对称性) 对任意x , y p ，若x y 及y z ，则x = y ( 3 ) ( 传递性) 对任意x , y ，z p ，若x y 及y y ，则x z 则称( 只) 为一个偏序集，而二元关系称为这个偏序集的序如果x , y p ，并 且不存在z p 满足x y z ，则称y 覆盖x ，记为x y 设p 是一个偏序集，将其中每一个元素用一个顶点表示，对于x , y 只若x y ， 就将x 对应的顶点放在y 对应的顶点下方，若有y 覆盖x ，就用一条线段将z 对应 的顶点和y 对应的顶点连接起来，当把p 中所有元素按照上述方法连接完成后， 得到的图叫做哈斯( h a s s e ) 图 例2 4 如图2 4 ( a ) ，( b ) ，( c ) ，( d ) 分别为q ( 舅) = x y , q ( 舅) = y ( x + ) ，) o y ) ，q ( 贸) = y ( y 一1 ) ， g 贸) = 吠y 一1 ) 伍一力的h a s s e 图 图2 4 ( 口) 5 东北师范大学硕士学位论文 图2 4 ( c ) 图2 4 ( 力 c 是偏序集p 中的一个子偏序集，则c 是p 的一条链 链c 的长度是t ( c 3 = lci 1 若c 是偏序集p 的一条链而且对任意的x p c ，cux 都不是p 中的链，则c 称为一条极大链 对任意的元素a 尸，定义p ( 口) = i x p ：x a l 及 矗( 口) = m a x l ( c ) ：c 是p ( 力中的链 偏序集p 的高度定义为厅( p ) = s u p h ( a ) ：口尸 若对x , y p ，子偏序集 z p ：z x 和z y j 有最小元xv y ep ，则称之为x 和y 的并 z p ：z x 和z y l 有最大元xa y p ，则称之为x 和y 的交 若对p 中任意两元素都有交和并，则称p 为格 令l ( z n ) 为及中所有相交集按照集合的反包含关系定义的偏序集则三( 贸) 是 格 定义三何) 中秩函数 ( 1 ) 如果x 是p 中的最小元，则暇z ) = 0 ( 2 ) 如果xv y p ，则瞰柏= c o d i m ( x ) = 刀一d i m ( x ) 定义p 上的莫比乌斯函数 如下： ( 1 ) p = p 尸：i n t ( p ) _ z y x 只p ( x ，x ) = 1 ， 6 东北师范大学硕士学位论文 ( 2 ) v x x 定义超平面构形贸上的特征多项式肋如下： 肋= p ( x ) 删对 x l ( y o 例2 5 贸是搿中的超平面构形，其定义多项式 q 瓢z ) = x i x 2 粕 z 贸( f ) = o 1 ) ” 证明令y 泖) ，o ) = t 则p = ( 一1 ) 当y = 6 时，显然有r k ( y ) = o ；令y o ，只需证： ( 一1 ) = 0 x g t y ) y j 设表示l ( 舅) 兰l ( 曩) 上的莫比乌斯函数由莫比乌斯反演公式有， 取工= o ，则 证毕 甙z ) = y u ( x ，彬= y u ( x ，力g 删甙z ) = ，咖代力= 2 ，力g 珊删 g ( o “) = y p 产= 疋舅( g ) ) = p 矿”= 胞( g ) j - _ 一 1 3 东北师范大学硕士学位论文 3 平行自由构形 我们的主要思路是用一族互相平行的超平面组来代替自由构形定义中的单 个超平面，并要求平行组与平行组之间满足处于平行位置的限制条件这样定义 的平行自由构形是自由构形的一个推广，换言之，自由构形是平行自由构形的 一个子构形经过检验得到，s t a n l e y 给出的引理1 1 已经不能够适用于平行自由构 形运用w h i t n e y 定理我们可以得到有关平行自由构形的特征多项式以及区域个 数的一般性结论【矧 定义3 1 如果两个超平面的法向量互相平行，我们就称这两个超平面互相平 行 在超平面的这种平行意义下，我们给出刀维向量空间中的平行自由构形的定 义 定义3 2 如果刀维向量空间中的超平面构形舅由一些法向量互相平行的玎一1 维超平面组组成，每组超平面组中所含的超平面个数相等，且这些超平面组是 处于平凡位置的，那么，我们称贝为胛维向量空间中的平行自由构形 例3 12 维向量空间中的2 维平行自由构形是指这样的一类超平面构形：贸 中含有m 组平行线，每组平行线与其他组平行线处于平凡位置，如图所示 定理3 1 若舅为1 1 维向量空间中的平行自由构形，贝中含有m 个超平面组， 每组含有k 个超平面，则 x z ( t ) = ( 叫o t ( n - o ) + 坼1 ) i t ( - 1 ) 4 _ k m ( k m 争生( 卅柚) + + 业型爿竽业二塑( 哪川 ( 3 1 ) ，僻) = 1 + 砌+ k m ( 可k m 一- k ) + + k m ( k m - k ) 丁( k m - 一( n - 1 ) k ) ( 3 2 ) 证明设, 7 1 为行维向量空间中的类自由构形，, 7 i 中含有m 个超平面组，每组含 1 4 召，并求出# 男和r a n k ( 当) ，见 男 # 万r a n k ( 召) 000 一个超平面，共m 种情况 11 两个相交超平面，共生迎2 丝种情况 22 三个相交超平面，共j “n c k m - k ，) c k m - 2 k ) 种情况 33 刀个相交超平面，共丝坠址竽业种情况玎 一 由于这些超平面组处于平凡位置，那么由平凡位置的定义有：# 易刀设 z = n h 朗，因此，r a n k ( 够) = 胛一枷( 男) 另一方面，由于当中的超平面是处于平凡 位置的，因此由平凡位置的定义我们知道：斫所( 召) = 力一# 召进而，r a n k ( 召) = # $ 其次，我们运用w h i t n c ) 定一- - w ，哿容易求小v 办、：一 (一1)。fn-o)+砌(一1)1一n-i)+tkin(kin-k)(一1)2f(眦+ 进而运用定理2 3 得： k i n ( k i n k ) ( 饥t 、 1 ， 1 ) n t ( n 一 ，( 贸) ：l + k m + k m ( k j m 丁- k 一) + + k m ( k m - k ) ( r k m - ( n - 1 一) k ) z !疗! 例3 2 如图，三维向量空间中超平面构形贸含有2 组平行的超平面组，每组 平行的超平面组中含有3 个互相平行的超平面，则由定理2 1 我们有： 多 ， ：乡 ，( 贸) = 1 + 砌+ k m ( 酉k m 一- k ) = l + 3 2 + _ 6 ( 6 r - 3 ) = 1 6 注：根据平行自由构形的定义，【1 】中的自由构形就是当k = 1 情况下的平行 自由构形，并且将k = 1 代入( 4 ) 和( 5 ) 得到与引理1 1 中关于自由构形的特征 1 5 东北师范大学硕士学位论文 多项式及区域个数的结论完全一致的结论这说明自由构形是平行自由构形另 外，比较定理3 1 与定理2 4 ，容易看到，当超平面个数相等时，定理2 4 求得的区 域个数恒大于或等于平行自由构形的区域个数，即定理2 4 已经不再能够适用于 平行自由构形这说明，将自由构形推广到平行自由构形是必要的 1 6 东北师范大学硕士学位论文 4 类自由构形 前面我们已经将自由构形进行了推广，得到了平行自由构形的很好的结果， 但是平行自由构形定义中关于每个平行组中含有相同的超平面的约定仍然有很 大的局限性，本节主要思路是将平行自由构形进行进一步的推广，得到更一般 的构形，进而将已有的结论推广到更普遍的构形当中1 4 1 定义4 1 如果两个超平面的法向量互相平行，我们就称这两个超平面互相平 行 在超平面的这种平行意义下，我们很容易定义疗维向量空间中的类自由构形 定义4 2 如果疗维向量空间中的超平面构形舅由一些法向量互相平行的行一 1 维超平面组组成，且这些超平面组是处于平凡位置的，那么，我们称贸为疗 维向量空间中的类自由构形记为s f 构形如果类自由构形贸中含有m 组平 行的超平面组，并且第i 组超平面组内含有岛个互相平行的超平面，则我们用 s f ( k l ，1 , 2 ，k i ，k m ) 来表示贝 例4 1 下图为2 维向量空间中的类自由构形s f o ，2 ，3 ) 关于n 维向量空间中的类自由构形的特征多项式和区域个数我们有下面的 定理 定理4 1 若贝为刀维向量空间中的s f ( k 。，恕，岛) 构形，则 ，仞( d = ( 一1 ) 。f ( n 。) + 岛( 一1 ) 1 _ f ( ”一1 + 岛砖( 一1 ) 2 f ( ”一2 + + 岛乃岛( 一1 ) ”f ( ”一哪( 4 1 ) i = 1 l j q s 州l 蔓f q f s 脚 ，( 舅) = 1 + 岛+ + + 岛 ( 4 2 ) i = 1 1 i j s ml f q r s 册 证明设贸为刀维向量空间中的类自由构形，贸中含有m 个超平面组，第i 组 含有岛个超平面首先，我们找出舅的所有中心子构形召，并求出# 男和r a n k ( 召) ， 见下表： 1 7 东北师范大学硕士学位论文 召 # 召r a n k ( _ = b ) 00 0 一个超平面，共岛种情况 11 两个相交超平面，共k i k j 种情况 2 2 1 f q 蔓所 三个相交超平面，共k , k j k s 种情况 33 刀个相交超平面，共触，岛种情况n 刀 ls ， ， 由于这些超平面组处于平凡位置，那么由平凡位置的定义有：# 召刀设 z = n 。当h ，因此，r a n k ( 男) = 聍一d i m ( 皇3 ) 另一方面，由于$ 中的超平面是处于平凡 位置的，因此由平凡位置的定义我们知道：d i m ( 皇3 ) = 胛一邶进而，r a n k ( 皇3 ) = # 召。 其次，我们运用w h i t n e y 定理，很容易求出肋( f ) = ( 一1 ) 。，俨。+ 岛( 一1 ) 1 f 俨1 + k i k j ( - 1 ) 2 ，”一2 + + 岛巧k t ( - 1 ) ”f ( ”一 进而运用定理2 3 得： ，( 贸) = 1 + 岛+ + + 岛 i = 1 1 i j ml s j ， 1 时的类自由构形就是平行自由构形， 并且将k l _ 乜= = = 代入( 4 ) 和( 5 ) 得到与定理3 1 中关于平行自由构形 的特征多项式及区域个数的结论完全一致的结论这说明平行自由构形是类自由 构形并且平行自由构形是类自由构形的一个子构形，类自由构形是平行自由构 形的推广 比较定理4 1 与定理2 4 ，容易看到，当超平面个数相等时，定理2 4 和定理 3 1 求得的区域个数已经不再等于类自由构形的区域个数，即定理2 4 和定理3 1 已经不再能够适用于类自由构形这说明，将自由构形推广到类自由构形是必要 的 回顾超平面构形理论中的一个著名的问题：由j l w o o d b r i d g e 在1 9 4 3 年给出 的”刀最多可把一块奶酪切成( n + 1 ) ( n 。2 - n + 6 ) ”的结论，今天看来，我们有了”当所含超 平面个数相同时，自由构形的区域个数最大”的结论，并且已经得到了自由构形 区域个数的公式，这个问题便迎刃而解了。关于类自由构形的结论，也可以帮助 我们解决很多类似的实际问题，下面就是一个简单的例子 例4 4 现有1 9 人分一张饼，厨师双刀齐下( 即每次切两刀，并且这两刀平 行) ，问厨师至少要切几次? 解该题是一个类自由构形的应用，可以把饼看成一个平面，厨师切饼的过程 就相当于在平面上画平行线组，由前面的介绍我们知道，只有各平行线组处于 平凡位置时，切相同次数饼被分成的块数最多这样，问题转化为求e f ( m ，2 ) 构 形区域个数的问题，由推论2 1 ，“舅) = 1 + 2 朋+ 2 m ( m 一1 ) = 2 m 2 + 1 取2 所2 + i 1 9 ， 则m 3 ，那么至少需要切3 次 2 0 东北师范大学硕士学位论文 5 有限域法求构形的特征多项式 2 1 n 维空间中s h i 构形和c a t a l a n 构形的特征多项式 定义5 1s h i 构形品中超平面满足：x i 一巧= 0 ，1 ，1 i y 珂 定理5 1s h i 构形的特征多项式为： ( f ) = t ( t 一胛) 川 ( 5 1 ) 证明由定理2 5 ， x s x p ) = # 口l ，口。f p 一：i 贝o a i 口j ，口i 口，+ 1 建立一个与f ”中的点对应的m 的一个弱有序划分： 丌= ( b 1 ，b p 一竹) 满足：ub f - 珂】并且b ，nb ，- 0 如i ，同时1 b 1 求出丌的所有弱有序划分的个数即可 以p = 11 ，甩= 6 为例，将f ，中的1 1 个点顺时针标记于圆周内圈，将7 r 中个数 按下面的方法标记在圆周的外圈： ( 1 ) 1 对应f ，中的任意的口l ； ( 2 ) 丌中同组元素按顺时针顺序依次对应f p 中各点； ( 3 ) 7 r 中同组间空一点标记； ( 4 ) o 不占用点，但与其前、后组间各空一点标记； 如图，取7 r = ( 1 ，4 1 ，1 5 1 ，0 ， 2 ，3 ，6 ，o ) 贝0 ( 口l ，口2 ，口6 ) = ( 6 ，1 ，2 ，7 ，9 ，3 ) 所以胎。( f ) = t ( t 一丹一1 ) ( f 一2 n + 1 ) 这样，建立了从丌= ( b 一，b 胛) 到彤一u h 嗵咖h 的双射因此，标记方式的个 数即为口l 一，口。f ；的个数，易证有p p - n ) ”1 种标记方式 定义5 2c a t a l a n 构形g 中超平面满足：x i 一巧= - 1 ，0 ，1 ，1 i _ ，刀 2 1 东北师范大学硕士学位论文 定理5 2c a t a l a n 构形的特征多项式为： 证明由定理2 5 ， x c ( t ) = t ( t 一刀一1 ) ( f 一2 n + 1 ) 疋岛p ) = # 口l ，口。f ；：i ，贝0 口f 町，口f q + l ，町a f + 1 1 建立一个与f ”中的点对应的 行】的一个弱有序划分，方法与定理5 1 中的方法 相同，但在圆的外圈标记时须满足 胛】中连续两个数不能在同一个b ，中，以满足 口，町，口f l q 。口j + l 的限制条件，以1 ，2 为例，如下图： x 2 f i g 5 2 满足条件的标记方法共有p ( p 一胛一1 ) p 一刀一2 ) p 一力一一1 ) 】种 j 听以灭岛( f ) = t ( t 一刀一1 ) ( f 一刀一2 ) p 一玎一( 聆一1 ) 】 东北师范大学硕士学位论文 2 2 低维空间中s h i 构形和c a t a l a n 构形的推广构形的特征多项式 我们把s h i 构形在2 维空间中的推广构形记为：砩构形，定义如下： 定义5 3 砩中超平面满足：x 1 一x 2 = 0 ，1 ，2 ，m ( m 2 ) 定理5 3 砩构形的特征多项式为： z 。靠( r ) = t ( t 一刀一m + 1 ) ( 5 3 ) 证明由定理2 5 ， z 岛p ) = # 口l ，口2 f ；贝0 口l 口2 ，口l 口2 + 1 ，口l 口l + ，竹 建立一个与f 2 中的点对应的 2 】的一个弱有序划分，方法与定理5 1 中的方 法相同，但在圆的外圈标记时须满足2 中不能在1 的前m 一1 个块中，以满足 口l 口2 ，a l 啦+ 1 ，a l 口j + m 的限制条件，以1 ，2 为例，如下图： 2 满足条件的标记方法共有p ( p 一玎一沏一1 ) ) 种 所以疋岛( 力= t ( t 一聆一m + 1 ) 用同样的方法定义s h i 构形在3 维空间中的推广构形：文 定义5 4 砩中超平面满足：x ，一巧= 0 ，l ，2 ，m ( m 2 ，1 i 3 ) 定理5 4 砩构形的特征多项式为： z 印) = 产一3 ( 朋+ 1 ) f + ( 2 肌+ 1 ) 2 一沏一1 ) ( ；m + 1 ) ( 5 4 ) 证明由定理2 5 ， 又礴p ) = # 口l ，口2 ，口3 f ；：i - ，贝0 0 f 町，口f 哟+ 1 ，口f 町+ ，竹 建立一个与f ：中的点对应的 丌 的一个弱有序划分，方法与定理5 1 中的方法 相同，这里不再赘述，得到：搬( r ) = 产一3 ( m + 1 ) f + ( 2 m + 1 ) 2 一( 所一1 ) ( ；小+ 1 ) 我们把c a t a l a n 构形在2 维空间中的推广构形记为：砩构形，定义如下： 定义5 5 砩中超平面满足：x l x 2 = 一m ，一m + 1 ，一l ，0 ，l ( i m l 2 ) 东北师范大学硕士学位论文 定理5 5 砩构形的特征多项式为： 彳礴( 力= t ( t 一甩+ ， ) 证明由定理2 5 ， 彳矗0 ) = # 口l ，口2 f ；贝4 a i i f 2 ，口l 口2 + 1 ，a 2 口l + l ，口2 口l + 2 ，口 建立一个与f 2 中的点对应的 2 的一个弱有序划分，方法与定理 相同，但在圆的外圈标记时须满足2 中不能在1 的后i m l 一1 个块中， 1 同块，以满足a l a 2 ，口l 口2 + 1 ，口2 口l + l ，眈口l + 2 ，口2 口j + 所的限制条件， 以1 ，2 为例，如下图： 满足条件的标记方法共有p ( p 一拧+ 肌) 种 所以掀( f ) = t ( t 一玎+ 朋) 用同样的方法定义c a t a l a n 构形在3 维空间中的推广构形：砩 定义5 6 岛中超平面满足：x f x j = 一聊，一m + 1 ，0 ，1 ，( i m l 2 ，1 i _ ，3 ) 定理5 6 岛构形的特征多项式为： 义礴p ) = # a l ，口2 ，口3 f p 3 ：i ，贝i a j 町，口f 即+ l ，町a f + 1 a j 口，+ m l 建立一个与f 2 中的点对应的 丌】的一个弱有序划分，方法与定理5 1 中的方法 相同，这里不再赘述，得到：搬( f ) = f 2 + ( 3 m 一6 弦+ ( ；脚2 一孚所+ 9 ) 2 4 659+所 丁 一所 2 5 + p 6 一m3+产 = 力 岛 v 52 理 定 由 明证 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【l 】s t a n e l yr p ，a ni n t r o d u c t i o nt oh y p e r p l a n e a r r a n g e m e n t s m ，i a s p a r kc i t ym a t h s e r i e s ，2 0 0 4 【2 o r l i kp , t e r a oh , a r r a n g e m e n t s o f h y p e r p l a n e s m ，b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 2 ：1 - 1 6 0 【3 】w o o d b r i d g ej l ，p r o b l e me5 5 4 ，a m e r m a t h m o n t h l y ，5 0 ( 19 4 3 ) 5 9 ：9 【4 】z a s l a v s k yt ，f a c i n gu pt oa r r a n g e m e n t s ：f a c e c o u n tf o r m u l a sf o rp a r t i t i o n so f s p a c eb yh y p e r p l a n e s ，m e r e a m e r m a t h s o c ，1 ( 1 9 7 5 ) 1 ：1 5 4 【5 z a s l a v s k yt ac o m b i n a t o r i a la n a l y s 括o f t o p o l o g i c a ld i s s e c t i o n s ，a d v i nm a t h ，2 5 ( 19 7 7 ) ：2 6 7 2 8 5 【6 】z a s l a v s k yt ，t h em o b i u sf u n c t i o na n d 肪已c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l , i nn l w h i t e ，e d i t o r , c o m b i n a t o r i a l g e o m e t r i e s c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，19 8 7 【7 】o r l i kp i n t r o d u c t i o nt oa r r a n g e m e n t s c b m ss e r ，a m e r m a t h s o c ，p r o v i d e n c e ( 19 8 9 ) 【8 】o r l i kpa n ds o l o m o nl ，c o m b i n a t o r i c sa n dt o p o l o g yo fc o m p l e m e n t so fh y p e r p l a n e s ，i n v e n t m a t h ，5 6 ( 1 9 8 0 ) ：1 6 7 - 1 8 9 【9 】o r l i kpa n dt e r a oh ，c o m m u t a t i v ea l g e b r a s f o ra r r a n g e m e n t s ，n a g o y am a t l l j ，13 4 ( 1 9 9 2 ) ：6 5 7 3 【1 0 】o r l i k p a n d t e r a h ，a r r a n g e m e n t s a n d h y p e r g e o m e t r i c i n t e g r a l s ，i n t e r n a t m a t h r e s ，n o t i c e s1 8 ( 1 9 9 8 ) ：9 3 7 9 5 6 【11 o r l i kpa n ds o l o m o nl ，u n i t a r y r e f l e c t i