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摘要 肇在1 9 6 1 年，a l e d m f f 在第一次带拉椿会淀主靛撼出薅唳瓣方法磷究 空间的设想1 9 6 6 年，a r h a a g e l s k i i 的综合论文“映射与空间”继承、发腱 了这一设想。辍照a l e x a n d r o i f - a f h a n g e l s k i i 思想，熙浃射戮突空间戆主要蠹餐 是借助映射类逢立度量空间与彝有特定精扑性磺的空间爽之间的广泛联系， 研究空间类在备类映射下的象的内在特征以及特定的空间类被怎榉的映射保 穗。 程本文中，我们主要讨论了与度量嶷问和局部可分度量空间的商s 象有 关的蕊子结累。全文主要走五令部分缀嫂t 第一举t 介绍了相关的背景材辩t 发展情况和已敞得的一擅结果 第二颦- 给出了本文涉及到的激要概念和定理 第三帮；孳 入彳弱三诹矗 彰懿穰念，舞耢宠了玄静一薹麓搴毪凌，绘塞 凌 量空间商s 象内部性质的刻画 第四掌t 引入了援对惩的概念，给出了局部霹分度量囊阉商s 象的刿靛定 理，黻及局部可分度爨空f 翮萄# 象的健旋定理。 第五章t 提出部分尚来解决的问题 关键词t 度量空间局部可分度量窝闻、商映射、。映射 首都师范大学硬士学位论文：关于商8 映象的若干结果 a b s t r a c t t r a c i n gt ot h ef i r s tb r a g u em e e t m go f1 9 6 1 ，a l e x a n d r o f fi m a g i n e dt h a ts p a c e s c o u l db es t u d i e db ym a p p i n g s t h e ni n1 9 6 6 ，t h ei m a g i n a t i o nw a sh e r i t e da n dd e - v e l o p e db y c o m p r e h e n s i v ep a p e rn a m e d 。m a p p i n g sa n ds p a c e s ”a n dw r i t t e n b ya r h a n g e l s k i i a c c o r d i n gt ot h ec o n c e p t i o no fa l e x a n d r o f f - a r h a n g e l s k i i ，t h em a i n c o n t e n to fu s i n gm a p p i n g st os t u d ys p a c e si st of o u n dac o m p r e h e n s i v ec o n n e c t i o n b e t w e e nm e t r i cs p a c e sa n ds p a c e s 诵t hs p e c i f i ct o p o l o g yp r o p e r t yb ym e a n so fm a p p i n g s a n ds t u d i n g t h e i n n e r p r o p e r t y o f i m a g e s w h i c h a r e u n d e ra l l k i n d s o f m a p p i n g s o fs p a c e s w h i c hm a p p i n gc a x lp r e s e r v et h es p e c i f i cs p a c e si ss t u d i e da l s o i nt h i sp a p e r w em a i n l yd i s c u s ss o m ep r o p o s i t i o n sa b o u tt h eq u o t i e n t8 一i m a g e s o fm e t r i cs p a c e sa n dl o c a l l ys e p a r a b l em e t r i cs p a c e s t h i sp a p e ri sc o n s t i t u t e db y f i v ep a r t s i nc h a p t e r1 , i ts h o w st h a tt h em a t e r i a lo f r e l a t e db a c k g r o u n dw h i c hi sc o n c e r n e d w i t ht h ed e v e l o p m e n ta n ds o m eg a i n e dp r o p o s i t i o n s i nc h a p t e r2 ，s o m ed e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m sa r ei n c l u d e dw h i c ha r eu s e di nt h i s p a p e r i nc h a p t e r3 ，a f t e rt h ed e f i n i t i o no fw e a kl i n d e l i j fi si n t r o d u c e d ，i t sb a s i cp r o p e r t i e sa r es t u d i e d t h e nw es h o wt h ei n n e rc h a r a c t e rd e s c r i p t i o na b o u tt h eq u o t i e n t s - i m a g e so fm e t r i cs p a c e s i nc h a p t e r4 a f t e ri n t r o d u c i n gt h ed e f i n i t i o no fr e l a t i v ec s - n e t w o r k s ，w eg i v ea j u d g e m e n tt h e o r e ma n dap r o p e r t yt h e o r e mo nq u o t i e n ts - i m a g eo fl o c a h ys e p a r a b l e m e t r i cs p a c e s i nc h a p t e r5 w er a i s es o m eq u e s t i o n s k e y w o r d s ： m e t r i cs p a c e s ，l o c a l l ys e p a r a b l em e t r i cs p a c e s ，q u o t i e n tm a p - p i n g s ，s - - - m a p p i n g s 4 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明t 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由 本人承担 学位论文作者签名：抄惕够 日期：1 踟g 年乡月p 日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版 有权将学位论文用于非盈利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题 和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：j j 自羁形 1 日期；砂一停多月舻日 第一章引言 拓扑学的中心课题是确定和研究拓扑不变量1 9 6 1 年，前苏联伟大的数 学家a 1 e x a n d r o f f 在布拉格。一般拓扑学以及它与现代分析和代数的关系5 的 国际学术会议上提出了用映射研究空间的设想，即将各种各样的拓扑空间类 通过映射类作为纽带将它们联结于一体，通过映射与空间的关系反映拓扑空 间论的研究框架，使映射成为揭示空间类的内部规律的强有力工具 1 9 6 6 年，著名拓扑学家a r h a n g e l s k i i 发表了历史性的文献“映射与空间。， 对如何实施a l e x a n d r o f f 设想给出了一系列建设性的具体步骤，开创了用映射 研究空间的新纪元，成为一般拓扑学中的一种必不可少的研究手段，推动着 一般拓扑学的迅猛发展a r h a n g e l s k i i 指出；一般拓扑学致力于拓扑空间及连 续性的研究，有三个主要的“内在。任务，一是不同拓扑空间类的比较，二是 确定类的研究，三是为上述目的及应用的需要定义出新的概念和空间类实现 任务一的联结空间的映射方法特别重要，该方法是直接建立不同空间类之间 的联系，任务二主要涉及空间类关于运算的性质，而覆盖的方法对完成上述任 务起重要作用 由此可见，映射与覆盖的方法是一般拓扑学中通用的重要工具，通过对度 量化问题、空间与映射的相互分类原则和积空间的仿紧性等一般拓扑学中重 要课题的研究，导致了广义度量空间理论的建立什么是广义度量空间? 粗略 的说，广义度量空间是这样的一些空间，它有益于刻画可度量性，继承了度量 空间的许多优美性质且度量空间的某些理论或技巧能拓广到这些空间类，如 是否关于完备映射或闭映射保持? 是否关于子空间的闭子集遗传? 是否关于 有限积或可数积封闭? 是否具有一定的可和性? 是否具有某种的覆盖性质? h o d e l 指出t 有许多的理由说明为什么广义度量空间是值得研究的，或许最重 要的理由是这些空间类增加了我们对于广义度量空问的理解此外，拓扑学正 不断地寻找更广泛的空间类使得一些特别重要的结果成立正因为如此，从 2 0 世纪6 0 年代起广义度量空间理论一直是拓扑学中活跃的研究方向所涉及 首都师范大学硕士学位论文：关于商s 映象的若干结果 的与公理集合论、数理逻辑、组合数学、泛函分析、拓扑群、动力系统等分支 相互交融而形成的大量问题已列入专著o p e np r o b l e mi nt o p o l o g y 1 9 6 0 年至 2 0 0 0 年间在不同时期内取得的广义度量空间理论的成就已先后总结在一些重 要的论著中许多知名学者不断提出大量有挑战性的问题，汇同一些长期未解 决的经典问题成为广义度量空间理论进一步向前发展的源泉恰如h o d e l 在 总结了广义度量空间理论的阶段性结果后说t “或许更重要的是，广义度量空 间的研究还不是完整的，更确切的说，随着每年许多新的重要成果的出现，它 还在不断地成长壮大” 什么是2 0 世纪9 0 年代广义度量空间理论的主要研究课题? 我们不妨来 看一看这一时期国际上出版的几部拓扑学论著及两次布拉格国际拓扑学学术 讨论会论文集中关于广义度量空间理论方面的论题 1 9 9 0 年由v a i lm i l l 和r e e d 主编的o p e np r o b l e mi nt o p o l o g y 在所列举的 i i 0 0 个问题中属于广义度量空间方面的问题大致有： ( 1 ) 度量化问题与正规m o o r e 空间问题( 问题3 6 至4 1 ，7 9 至8 4 ，9 8 ，2 9 8 至3 1 5 ，3 4 8 ，3 7 6 ，1 0 4 9 ，1 0 5 6 ) ( 2 ) 点可数基空问及相关问题( 问题1 2 0 ，3 1 3 ，3 2 0 ，3 2 2 ，3 6 6 ，3 7 5 至 3 8 0 ) ( 3 ) 尬空间问题( 问题3 2 1 ) ( 4 ) c o s m i c 空间问题( 问题1 9 9 ) ( 5 ) m o b i 类问题( 问题3 6 2 至3 7 2 ) ( 6 ) 紧覆盖映射问题( 问题3 9 2 至3 9 4 ) ( 7 ) 单调正规空间问题( 问题3 8 1 ) 依照a l e x a n d r o f f - a r h a n g e l s k i i 思想，用映射研究空间的主要内容是借助映 射类建立度量空间与具有特定拓扑性质的空间类之间的广泛联系，研究空间 类在各类映射下的象的内在特征以及特定的空间类被怎样的映射保持事实 2 上，蜜爨空趣及霹努度爨空蘑弱镰类浃瓣戆蠹在瓣睡萼l 起了壤 学家缝广琵 兴趣，尤其是对宦们的商s 象，并履已经得到一些简洁的内在特征周部可分 褒量室瓣是奔予瘦量空麓与胃分嶷量空鬻2 藏翡一类重要懿空蘑。涯年来疆 多学者对它的研究也作出了大量的努力林寿在点可数粳盖与序列覆盖映 隽孛一啦牵搔蠹；：。寻求佟为分予这两者乏蓠静舄郝可努霞繁空阐懿商s 浃莉 下的象的内在特征是一个十分有趣的问题” 草在2 0 世纪2 0 年代a l e x a n d r o f f 租u r y s o l m 就证明了如果正砌空间x 具有由可分度量空间组成的点可数开覆盖，则x 是度量空越。1 9 6 0 簪。p o n o - m a r e v 1 2 甩度量空间的歼s 映象剡画了具有点可数基的空间，为a l e x a n d r o f f 的空闻努类思懋蒸定了慕础。特男是，他建立tp o n o m a r e v 系，这是为礤宽度 量空间评映象时使用的方法的一般化此詹，许多辩扑学者用此方法构造度量 空闻。巍予它戆黧要建像，我妇礁第一章审将奔缨它懿概念穰相关缝暴。 我们知道。嫩间的集族性质与适当的映射类是褶互匹配的，如点可数集族 鼹应8 浃葑，4 网辩藏滓爨商淡射，1 9 7 1 年g r u t h r i e 秀藏番空阕 i 入 了网的空闫概念，1 9 7 1 年s i w i e c 定义了序列覆盖映射获得了序列空间和 f r d n c h e t 空间静嚣数形式特征。1 9 7 2 年s t r o n g 话疆了其露珂数隧鹩空闻 可以刻蛹为可分度量空间的序列覆盖映射早在1 9 2 4 年a l e x a n d r o f f 就已把局 裸可分度量空麓分解为萄分度量交间的拓扑和 韦| ：海根据文【2 l 申构造紧集的方法，刘愿。嗣的概念对文盟审定理2 。? 加以改潦，得到了局部- 7 5 r 度量怒间的商$ 映象的内部刻画- 定理；对于廖刭嶷闻x ，下述条终握互等徐； ( 1 ) x 是局部可分度量空间的商s 映象； ( 2 ) x 其凑点霹数覆盏 溉，8 a ，其孛每一墨舞莓霹数凝蓥死满足； 对于x 中任一收敛序列s ，存在芦a ，使得确为s 的某子序列的网； 3 ) x 其窍轰哥致覆菱 黾，a 芒霹，萁孛撼一蜀冀表哥数覆盏瓦满是； 3 首都师范大学硬士学位论文：关于商s 映象的若干结果 对于x 中任一收敛序列s ，存在a ，a “，使得u 。e a ，溉是s 的c s + 网 周丽珍f 1o 】在数学学报上也给出了局部可分度量空间的几类序列覆 盖s 映象的内在刻画这篇文章引起很多拓扑学者的兴趣，并投入到其中的研 究中她的主要结果是； 定理a ：对于序列空间x ，下述条件相互等价t ( 1 ) x 是局部可分度量空间的序列覆盖8 映象； ( 2 ) x 具有点可数覆盖 托，n 埘，其中每一也具有可数网吼且对于x 中 任一收敛序列s ，存在卢a ，使得乃为s 的某子序列的网 定理b t 对于序列空间x ，下述条件相互等价t ( 1 ) x 是局部可分度量空间的强序列覆盖s 映象； ( 2 ) x 具有点可数覆盖 ，n a ) ，其中每一x 。具有可数网且对于x 中 任一收敛序列s ，存在卢a ，使得为s 的网 定理c ：对于序列空间x ，下述条件相互等价： ( 1 ) x 是局部可分度量空间的l 序列覆盖s 映象； ( 2 ) x 具有点可数覆盖 j ，a ，a a ) ，其中每一乳具有可数网且p = u ： a a 满足：对于任意x ，存在a a ，使r 中存在子族或为。的序 列邻域网 定理d t 对于序列空间x ，下述条件相互等价。 ( 1 ) x 是局部可分度量空间的2 序列覆盖s 映象； ( 2 ) x 具有点可数覆盖 乾，口埘，其中每一托具有可数网r 且p = u 咒： a 卅为z 的序列开网 2 0 0 1 年，林寿、燕鹏飞 1 1 获得了局部可分度量空间的序列覆盖的商s 映 象的更为简洁的内在刻画： ( 1 ) x 是局部可分度量空间的序列覆盖的商8 映象； ( 2 ) x 既是局部的n 。空间又是度基空间的序列覆盖的商s 映象； 4 3 ) x 是其青窳可数。涎浆盛瓣鹣懿廖裂空藏+ g g r u e n h a g e ，e m i c h a e l 和y ，t a n a k a 2 l 在度擞空间中也给出了一些结 ；艮 定理；对于空闻x ，下述条件相冀等价： 1 ) x 是度量空间的穿捌覆盖8 映象； ( 2 ) x 是度量空间的商$ 映象； ( 3 ) x 是奄闻，鼠有点可数覆盖芦使得翼中每一个开集玎，都由 p p ：p c 挟：定。 ( 注t 空间x 由覆盖p 决嫩- 若u 是x 中评( 闭) 浆当且仪躺对于p 中任一 p ，u n p 在_ p 中楚橱对秀阕) 集。) 近年来，具有点可数阿的c o s m i c 空间理论迅速发展，摩近金和蔡伟元 阀竞分挖握耨定黛族豹掇 与穿翔覆釜决瓣之麓辩荧系，与度量空麓凌可努 度量空间的经典缨果形成类比，从简简化了周丽珍的难要结槊得到了局部可 分瘦囊空阏在强掺列覆盖( 或1 滓梦j 覆盖) 商s 麟下象空阉静筒溶鹩内在 剡画t 定理a t 对于室阎x ，下述条译籀互等价t ( 1 ) x 是局部可分度量空间的强紧覆盖的寓s 映象； ( 2 ) x 是局部可分度蛩空闻的强序列覆藏的商8 映象； ( 3 ) x 是具有凑n 。子燮闻组成的点可数覆盖的序列空间； ( 4 ) x 是具有幽c o s m i c 子空间织成的点可数m 湖的序列空间； ( 5 ) x 是具蠢蠹蜘子察惩组成艟点可数网鲢廖剃窒耀。 定理b t 对于空间x ，下述条件相互等价t 1 ) x 是局部可分度量空藏懿1 亭列覆藤鳇袁s 浚象； ( 2 ) x 是局部可分度量空间的1 序列覆麓、紧覆谶的商8 映象； 3 ) x 筵曩鸯建c o i v 予空麓缀痰熬赢可数嚣蓦； 5 首都师范大学硕士学位论文：关于商8 映象的若干结果 ( 4 ) x 是具有由r o 子空间组成的点可数弱基 林寿和燕鹏飞【1 1 1 也得到了相关的结果： ( 1 ) x 是局部可分度量空间的序列覆盖的商s 映象； ( 2 ) x 既是局部的k o 空间又是度量空间的序列覆盖的商8 映象； ( 3 ) x 是具有点可数c s 网的局部”o 的序列空间 本文针对度量空间和局部可分度量空间的商8 映象进行讨论，得到了一 些新的结果在第三章中，我们对度量空间的商s 映象进行了深入研究，得到 了关于网和子空间内部性质的联系在第四章中，我们主要讨论如何判断某个 空间是局部可分度量空间的商8 映象同时，我们得到了局部可分度量空间 的商8 映象具有的一个性质 6 第二章预备知识 为了叙述简洁起见，我们约定：本文所论空间均假设满足马分离性公 理，映射均指连续的满映射为自然数集，u = n u o ) 对集合x 中 的一列点。m ) ， 表示x 中的集合 。：n ) ；( - g n ) 表示笛卡 尔乘积x u 中的一个第n 个坐标为。的点，象通常一样 z 。 表示x 中的 个第n 项为z 。的序列以下正文中未定义的术语可参考文献【5 】， 8 ， 9 】 我们先回忆一些基本概念t 定义1 1 ，设x 是空间 ( 1 ) p 称为z 的邻域tp 亡x ，z p ，若存在x 中一个开集o ，使得 oc p 特别的，若p 为开集，则称p 为z 的开邻域 ( 2 ) x 称为局部可分空间：若x 中任一点z ，都存在着z 的某个邻域u ， 矿是可分的 ( 3 ) x 称为序列空间t 若a 是x 中的闭集当且仅当a 中任一含极限点的 收敛序列z 。+ z ，则有z a 定义1 2 ，设连续映射，：x ，y ( 1 ) ，称为商映射一若对于 ，中的任意子集矿，有f - l ( 是x 的开子集， 则u 是y 的开子集 ( 2 ) ，称为s 映射t 若对于y 中任一点y ，有f - 1 ( ) 是x 的可分子集 ( 3 ) ，称为1 一序列覆盖映射t 若对于任意y y ，存在。s - 1 ( ) 满足t 若 在y 中y n y ，则存在。f - 1 ( ) ，使x 中一z ( 4 ) f 称为2 序列覆盖映射t 若对于任意y ，任意z s - 1 ( ) 满足一若 在y 中y n y ，则存在z 。1 - i ( 枷) ，使x 中一z ( 5 ) ，称为序列覆盖映射：若耳是y 中含极限点的收敛序列，那么存在x 中紧集l ，使f ( l ) = k 首都师范大学硬士学位论文：关于商s 映象的若干结果 ( 6 ) ，称为子序列覆盖映射：若是y 中含极限点的收敛序列，那么存在 x 中紧集l ，使f ( l ) = 7 ，k 是耳的收敛子列 定义1 3 ：设_ p 是空间x 的覆盖，pc x ( 1 ) 设x 中的序列 。) 收敛于z ，称 ) 是终于p 的：如果存在m n ， 使得和) u 。：m ) c p ( 2 ) p 称为x 的网t 若对于x 中的每一个点z 及包含z 的开子集u ，存在 p p ，使得z p c u ( 3 ) p 称为x 的k 网：x 中的紧集k ，对任一开集u ，k c u ，都存 在有限集族c p ，且使k c u p c u ( 4 ) - p 称为收敛序列。+ z 的c 8 网：若对于x 中的每一个包含z 的开 子集u ，存在p - p ，使得 z 。) 终于p ，且p c u ( 5 ) p 称为x 的网t 若p 是x 中的每一收敛序列的c 8 网 p o n o m a r e v 系的概念及其它的相关结果： 定义：设p 是空间x 的网，记p = r ：a a ) ；a 赋予离散拓扑； 令m = “= ) ： 构成x 中某点x 。的网) 则m 是度量空间， 并且对于每一a m ，z 。是唯一确定的，于是可以定义函数，：m + x ，使 得，( a ) = 。，我们称( ，m ，x ，p ) 为p o n o m a r e v 系 设( ，m ，x ，即是p o n o m a r e v 系： ( 1 ) 若对于每一z x ，存在p 的可数子族构成。在x 中的网； ( 2 ) 若p 是可数的，贝! lm 是可分度量空间； ( 3 ) 若p 是点可数的，则，是s 映射； ( 4 ) 若p 是x 的点可数。+ 网，则，是伪序列覆盖映射和序列商映射。 8 第拦章度量空间的商8 象的若干缡果 3 , 1 翳l i n d e l 6 f 的定义及其基本性质 在这一章中，我们将给出度萤空闻商8 象的肖郏刻画为了叙述方便，我 们引入丁一个裁定义弱l i n d e l 5 f 空闰针对这个概念。我骶先讨论意的一些 基本性质，以便于后面藏理的讨论 定义t 设x 是空间 o ) x 豫为赣l i n d e t s f 空勰：盖黪强意拜糕篷“，都存在数子集族c 静， 使d ( u “) = x ( 2 溶饕：落蔗郝弱l i n d e l s f 戆空麓，x 孛经一煮# ，罄存凌舔壤u ，使褥u 是弱l i n d e l s f 的 f 3 ) h 稼舞霸三t # 森l 舅子蹇麓；嚣是x 秘予空阉，对戈孛瓣任意羿檠族“， h c 嘣，都存搬可数子黎族叫c “，使d ( u “) n 灯= 日 f 注。交中若pc 互p 静闭包寿蓠稀表示方法：或d x ( ) 。一般，我1 将 d x ( p ) 略写为d ( p ) ) 性质1t 弱l i n d e i s f 空间的任意井予集的闭饿是弱l i n d e l s f 的。 证明：令x 是弱l i n d e z 6 i 的，a 是x 的汗子集， x 鲍任爨拜集族材，袭嘣， 我们容易得到t “u 膏琊是x 的开覆箍 垂x 燕弱硒波l 菇鲍知。存在数集族c 甜使；c f l 彬u 弘、再 ) = x 。 则有 5c f ( l 硝) 那么，万c d ( u “7 ) 受l 互= 矗f 疆，o x i ) n 荟= c f ( 波，) n 五。 瞧囊2 tp 蔗x 静弱三执斑黯泸子鸯褥，弱是x 辩弱l i n d e l s f 手空 首都师范大学疆士学位论文：关予商s 映象的若干络粜 耀。 证明：“是x 中的开集族，有cu u 照然，p c 叫 囊于p 怒弱l i n d e t & 薛，辩毒可数子集族搿c 甜，霞褥p c d ( u u ) 那么不难得到量d ( u ) 掰= c f ( 洌7 ) n 性质3 ；舅，b ，昂是x 的子空间，且均憝弱l i n d e t s f 的，则u t 。最 也是弱l n d e l 彰鳃。 证明：为了叙述方便，我们不妨令p = u t 。只 “是x 巾的开豢族，有p c u h 。驭露。露糍每卞冀c u h ， = l 2 ， 由于只撼弱l i n d e l 6 f 的，则有可数的子集族矾c “，使得r c d ( u u i ) 鄂么，p = 强 。鼹c 强 。c ( 嗽) 一d ( u 瓤( 江酗) 一( q t 。酝羚。 这里u t 。仍然是“的可效子集族 性质4 th ，妫，k ，均是弱l i n d e l 6 f 空间惜o i e n k 是弱l i n d e l 6 f 的空阎 诞明：为了叙述方便，我f 门不妨令y = 日 k ；= “是y 的开覆盏，贝! l 醒一秒n 残：u 班是k 的帮覆盏，i = 1 ，2 ，3 。 由k 是弱l i n d e t 6 f 空间可知，存在可数子集族“7 t c ，使得k = d ( u u 7 t ) ， l = l ，2 ，3 。不难褥到，y = 酝秘x 一娃c l f 嘣i ) 一。f ( 强科删0 ) ) = d ( u ( u 逛v 玑) ) 熊中，u “7 i 魁“可数子集族 _ i 一 令y 是弱l i n d e l 6 f 的，每个残熄y 的既开又闭子集y 的任意开集族 搿，誓c 洌，我察骞瑟褥蘩；掰o 珞怒y 静努覆盏。森y 凳 1 0 弱l i n d e l s f 的知，存在可数集族c “，使c i ( u u u y y d ) = y 则 m = d ( u u u y h ) ) n m = d ( 叫7 ) n m 性质5 ，若x 是弱l i n d e l 6 f 空间，闭映射，：x ，y ，则y 是弱l i n d e l 空间 证明t 由“是y 的开覆盖，可得v = 1 - 1 似) 是x 的开覆盖由于x 是弱 l i n d e l s f 空间，则有可数子集族c y ，使得x = c l x ( u v ) 令，( 矿) = “，则“ 是“的可数子集族那么，y f ( x ) = f ( c l x ( u ) 2 ) ) = c t y ( u v ) = d y ( 嘣) 所以y 是弱l i n d e l s f 空间 3 2 度量空间商。象的内部刻画 由3 1 中的性质，我们进一步可以得出在度量空间中，商8 映象的个内 部刻画 定理：y 是度量空间的商s 映象，以下条件等价一 ( 1 ) y 中对于任意度量子空间h ，都有日是局部弱l i n d e l s f 的 ( 2 ) y 存在点可数k 网p ，任一y y ，任意r r = p p ：y p ) ，r 是 弱l i n d e l s f 的 证明t( 1 ) = ( 2 ) 令m 是度量空间 令，：m y 是商8 映射 m 有一一局部有限基b = u n 既，则p = s ( b ) 是点可数网( 详细证明可参 看第四章定理2 中的证明) 假设：存在铀y ，任意r 日。都不是弱l i n d e l 6 f 的 】 首都师范大学硕士学位论文：关于商3 映象的若干结果 p l 是非弱l i n d e l s f 的，则x 有一个开集族= 以：n n ，h k 1 ) ，使得 尸1cu l l l 但是对于矾任意可数子集族“7 ，都有p l c j ( u “) 0 下证，尸l 中有一个不可数离散子集 ( a ) 对于y o p l u 坼， 则存在u 1 撕，有y o 仉且p l c f ( u 1 ) 0 ( b ) 假设卢 r l ，已有 拈：o t ) o ( 否则任意u 矾，uc c l ( u u a u ) ) ，则尸lcd ( t u ) ) 其中u ) 是地的可数子集族， 此与p l 不是弱l i n d e l f f 的矛盾) 因而不失一般性，我们将满足条件的u 记为 + 1 令琊u ) = 琊+ 1 ，令u 口) = a ：+ 1 有y b + l + l d ( 机1 ) ， 坳+ l = 巩：蚰钙+ 1 且拈 ( c ) 假设卢 n 1 ，已有 ：n 卢) = 满足；任意n a ( 卢) ， y ，d ( k ) ，其中阮一 巩：鄙，6 d ) 成立 这里o 是第一个足码，使得n 7 n l ，且u 0 d ( 眦b ) 0 那么，令a ( 卢) r l ，o ( 卢) 是第一个足码，使得d ( u ：a 0 ) 0 取耶以( 卢) d ( u 以：) ) 令知= 弛：血册，o 妇= ：c f ( u “7 。) ，a 钟 则由超限归纳法可知； 历= u 。h 。a 。= y ：v a 口c y w ( 殴) ， 黪激戆n 一缮。 藩聪c 直：) 辨如= 移邂海蔻努熊( 2 嚣露( 蕊 掰= 式穰u 整) = 西滞基u d ( a ) ， 蠢( 1 ) ( 2 ) 酉辩，y 一妇譬癌蕊 藏。 掰l 鬟峨串箍聚点，蕊跫肇 陵予纂，墓 蕊l k l ， 遽榉毽辩，枣鸯个弹爨u 1g 地，使褥釉班，且诺巩 0 ) 嗣 瓣霞选 鞠”n 敬一彩 邀鼍：y 燕琵鼷懿，耪戮莓撵y 串羿黛碳，搜碍y o 鹾c d ( 馔) c 沈。 a ) 蠢嚣懿定义爵辩，毒程b 1 魏。，浸褥萝 热) 一琏。 令最n ，一瑗= 班，鬟然妖是x 孛舞集，鄂么存在魏蓐。，使褥嚣2 疑+ 粼马= ，( 避) 最n 职c 采鹾) n 琏c 旗。 幽手琏逢不怒弱l i n d e e i f 懿，莓辩存农个不鼙数离散子巢逸c 媳。麓 拜孛，存在一啼y 串舞集阮，洳玩，镶矗硒洒 ) n 娩= 移 鞭为mc 最碱，蔼现c 玩所浚醍n 搦一语。 ( b ) 假设撬不是翡l i n d e l 6 f 翻，存在个不可敬离散予橥瓤最，谈褥 玩n 蛾一l = o 对予魏，存在个y 中开集魄，y o 繇，健c 涵 铀) ) n 哦= 彩。 辔予y 鼹正剥的，存擞y 中歼集磁，使y o 啦c d ( 畋) c 令，一1 ( 壤) n b a = 皈，存张甄+ l 段。，使鼠+ lc u 魏+ l 一，墩+ i ) c 矮n v i c 最n s ( u 1 ) c 巩+ 最1 不憝弱l i n d e l o 鲢，搀造一个不程数裟教子集讯+ lc 最+ l ，矾c 欺酸，褥壕l c 终撵娃敝n 壤+ 1 = 0 ， 王3 首都辉范夭学骠学谴论文：关带商s 浃象的若干络果 圭数学| 簋续泼霉蠡，黠予任意n ，凌不可数蒜数子集溉曼毯n 蕊+ l = 彩令h = ( u 。n h ) u 帅) ，贝4 h 是y 中度量子空间，且只有一个聚点y o 。 下落嚣甭是鼹邦弱l i n d e l 6 f 鹃。 对于y o h ，y o 的任意邻域d ，存在开集0 ，使0 c d ，有r 芦k ，使得 焉c 0 。鑫上嚣鳃褥造可辩，存农乙k ，。敞。( 磊c o c d 都么，d 不是 弱l i n d d d f 的闲此，h 不是局部弱l i n d e l 6 f 的，与已知矛盾 蠢题可辩，蚀馘，( 。) 一y ，一定存在玩g 磁， 令宦，。= b 。+ t ：塌；+ 鼠， e ， 獬存在一个基拶* u 。x t c b ，使对于经意b 拶，( 嚣) 是弱l i n d e l s 的，由予，是商s 映射，出【2 】定理6 1 和命藤2 1 知， ，( 蓐，) 是意可数k 两 ( 2 ) = 寺( 1 ) 令日是y 的度量子空间，则日是笫一可数的 假设：孝在鞠h ，令h o ld0 2 3 d 瑰) 是秘理露串鳇邻域基， 鼠n 。仉一伽) 令= p 尹：y o p ，慧 只：摊蠢 。 对任意o 。，有0 n u i n ，使 b hcb 。且满足：z 蜀。cs - t ( v v ) 所以y ，( b l 。) cu 故p ( r 。) 是 r 。的网由，是商s 映射，则p 是y 的点可数网。 现在我们可以证明p ( p 帕) 是p n 。的可数的相对a 网这是因为tp n 。中 任一包含极限点的收敛序列k = 讣u ：n ) ，取r 。中任意开集o ， 使 鲰：n ) u d ) c o ，其中o = 0 y n r 。且d r 是y 中的开集由于， 是2 序列覆盖映射，所以存在收敛序列 ：n ) u z ) c 最。n f - 1 ( d y ) ， 其中。f - 1 ( ) ，z 。f 。( 鲰) 存在某个f n ，使。岛。n f - 1 ( o y ) 则 。：n ) u ( 5 9 ) b f 。仅有有限个点x l ，x 2 ，x k 存在b r l ，b r 2 i ，耳。c 且。n f - 1 ( o y ) 且和l ，观，一一，z t c u 冬1 i k 所以， l ，y 2 ，一，) c u 坠1 只。 且r p ( r 。) ，i = 1 ，2 ，k 令= b ，毋。) 显然c p ( p n 。) 有 f 。：n ) u0 ) cu p c0 且存在日。p ( r 。) ，使 ( ”。：n ) u v ) 终于只。 第五耄部分尚未解决的问题 本文在度量宅间靼局部可分度量擞闻的商s 映象方面取得了一蝗结果 但是，由于时闻有限，对于弱l i n d e l 彭这个薪定义的性质的讨论还不够充分。 基乎本文的磷究。我# 逐可以扶以下翘题继续讨论t 猜想1 潮寻投局邦可分度量空阕褒8 映彖更簿洼、方便的刻苞，其中有如下 猜想； 空麓x 是两部霹分嶷量塑露窿s 浃象当鼠仅巍x 是发星空趣巍8 姨象虽x 静簿一个第一霹数静子室阉爨局舔莓努鲍 阿藤2 弱l i n d e t s f 整闻对予满爵什么条件懿予集紊遗传经? 闻耱3 设x 和y 是弱l i n d e i s 奎闻，寻求x y 是弱l i n d e l i i f 室闺酶鬼分 必要条件 问题4 寻求弱l i n d e l s f 鲞间在其他映射( 陈商s 映射) 下的好的内在蓟面 参考文献 1 1a a r h a n g e l s k i i ，m a p p i n g sa n ds p a c e s ，r u s s i a um a t h s u r v e y s ，1 9 6 6 ，2 1 ( 4 ) ：1 1 5 - 1 6 2 2 】gg r u e n h a g e ，e 。m i c h a e la n dyt a n a k a ，s p e sd e t e r m i n e db yp o i n t - c o u n t a b l ec o v e r s ， p a c i f i cj m a t h ，1 9