（基础数学专业论文）秩2的分圆birmanmurakamiwenzl代数.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：垒生。 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：络杰导师签名： 日期：丛6 日期：趔3 秩2 的分吲b m m a n m u r a i ( a m i _ w e n z l 代数 摘要 在本文中，我们将给出关于参数集合q 的约束条件，使得定义在交换环冗上的 分圆b i r m a n m l l r a k a m i w j i l z l 代数b m 珥2 是秩为3 r 2 的自由品代数 关键词：分网b i r m a n _ m l l r a h l i l i w j i l z l 代数，半单代数，u 一8 d m i s s i b l e 参数 秩2 的分圆b l m 心m u r a k a m l w e n z l 代数3 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ew i l lg i v et h ee x p l i c i t l yc o n d i t i o no nt h ep a r a m e t e r8 e tq8 u c h t h a tt h ec y c l o t o m i cb i r m a n _ m u r a 妇n i w b n z la l g e b r ab m 坼2a v e rac o m m u t a t i v e r i n g i s b f r e e w i t hr a n k3 r 2 k e yw o r d s ： c y c l o t o m i cb i r m a n m u r a l 【a m i - w b n z l 以g e b r a 8 ，s e m i s i m p l ea l g e _ b r ，u a d m i 船i b l ep 盯a i n e t e r 8 秩2 的分圆b i r m a n _ m u r a k a m i w e n z l 代数 5 1 引言 十九世纪末，德国数学家i s d n l r s 研究了复数域卜的一般线性群g 三( 扎，c ) 的自然表示y 的张量空间y 。r 的分解，证明了自同态代数e n d g l ( 。，c ) ( y 。r ) 是对称 群6 。的群代数c 6 。的商代数这使得s c l l u r 能够利用s c h l l r 代数，把对称群的复 表示和一般线性群的表示联系起来这就是著名的s d m r _ w 曲l 对偶 二十世纪三十年代，美匡l 数学家r b r a u e r b r a 利用辛群却( 2 m ，c ) 和正交群 0 ( n ，c ) 替换s c h u r 工作中的一般线性群，证明了辛群和正交群分别和带有特殊参 数的b r a u e r 代数之间的s c h u r w 对l 对偶 二十世纪八十年代，苏联数学家d r i n f e l d 【d 和日本数学家j i l b o j 1 】独立定义 了复半单李代数的包络代数的g 一形变一量子群受到s d m r 工作的启发，j i m b 0 j 2 】 证明了量子一般线性群和a 型h e c k e 代数之间的s c h l l r w j y l 对偶k i r i l l o v 和 r e 8 h e t i k l l i nf kr 证明了量子辛群和量子正交群与b i r m a n _ m l l r a h m i w j n z l 代数 b m w j 之间的s c h u r w 匆l 对偶 二o o o 年，德国数学家h 扯i l l 乎o l d e n b e r g 【h o 在研究扭结不变量理论时，定 义的一类有限维代数一分圆b i r m a n - m 1 l r a b m i w j l l z l 代数日m 彤。当r = 1 时， b m l 孵。就是引m 由于代数闭域上的仿射b i r m a n - m u r 日b 皿j w j n z l 代数百i 孑谚。的有限维表示 可以实现为b m 。的商代数一b m 眦。的有限维表示因此研究b m 坼。的表示 理论，对研究仿射日m w 。的有限维表示分类有重要意义 我们将系统研究分圆b m 坼。的模表示理论我们需要回答的第一个问题是： 定义在交换环上的b m 职。是否是自由r 代数? 受到日本数学家a r i k i 、澳大利亚数学家m a t h 船和芮和兵关于分圆n a z 耻0 v w j i l z l 代数工作的影响【a m r ，我们研究了b m w t 2 ，给出了b 吖眠。是自由r 代 数，且品秩等于3 r 2 时，参数n 满足的充分必要条件这些关系由一些变量的多项 式给出我们猜测，当参数满足上述关系时，定义在交换环上的秩n 的分圆丑m 孵。 也是尼自由的 6秩2 的分圆b i r m a n _ m u r a i 认m i w e n z l 代数 本文的内容组织如下在第二节，我们给出了b m 雎2 的定义和一些相关性质 在第三三节，我们构造b m 职，2 的所有不可约表示利用w j d d e r b l l r n a r t i n 定理，我 们将在第四节给出b m 既2 是自由冗代数且兄一秩等于3 r 2 时，参数n 满足的充分 必要条件 秩2 的分圆b i r m a n m u 咄a m 工- 、v e n z l 代数 7 2 分圆b i r m a n m u r a k a m i w e n z l 代数b m 既2 的定义及相关性质 定义2 1 ( 日打i 螂一0 z d e n 阮r g ) 【h o 设扎l ，札2 ，嘶，q 是z 上的代数独立元令 r ：z k ，2 ，“，g 士1 ；6 = g g ，岫，u l ，坼一l 是r 中的元素，a r ，满 足( 岫一1 ) 6 = a 一a 分圆b i r m a n _ m 1 l r a k 帅i w j l l z l 代数b m 职，2 ( u ) 是一个由 x 1 ，j ，2 ，t ，e 生成的结合r 代数，满足下列关系式： ( 1 ) ( x 1 一“1 ) ( x 1 一坼) = 0 ( 2 ) x 1 弱= 托弱， ( 3 ) 凰= 蹦1 t ， ( 4 ) 2 1 = t 一6 + 6 f ， ( 5 ) t e = a e = e t ， 1 6 1x l x 蠲= e = e x l x 2 ， ( 7 ) e x e = 。e ，b 2 o 定义以为变量札1 ，“一，札，的 次初等对称多项式展开定义2 1 ( 1 ) 可得 从而，碍：基( 一1 ) 一，一t 西一。础当a r 时 = 0 ( 2 2 ) u n e e x ；e = e x ；x e r 一1 r 一1 = e ( 一1 ) “一诉一i 耐”+ e = ( 一1 ) ”1 - 西圳州届 = o = 0 我们可以假设e 0 不是扭元1 则 1 若曰是扭元，则在域上e = o 此时，口m 阱，2 退化为相应的a m 【- k 州b 代数( 参见定义2 1 0 ) o =x t p d 一 ，：l “ 日 叶 卜卜 d卜 ：l = 8秩2 的分唰b i r m a n m u r a i ( a m l w e n z l 代数 从定义2 1 ( 3 ) 可以看出，j ，2 可由t 和墨生成于是b m 眠2 ( u ) 可由x 1 ，t ，e 生成观察b m 阱，2 ( u ) 的生成关系式，可以得到b m 坼，2 ( u ) 上的一个冗一线性反 自同构： 引理2 3 存在唯一的冗一线性反自同构 ：b m 坼，2 ( 岫一口m 坼，2 ( 砷，使得 x f = x l ，驴= e ，t + = ? ，而且 是一个对合 引理2 4 设o 0 ，则有j ( 1 ) 2 。：碍= 砑t + 6 捌( e 一1 ) x ：“ i = l 口 ( 2 ) 砑t = t 碍+ 6 x p ( e 一1 ) 弼 t = 1 证明：对口进行归纳：当o = 1 时，利用定义2 1 ( 3 ) 一( 4 ) t x l = ? 岛t 一1 = 恐( t 一6 + 6 e ) = j 岛? + 6 掘( e 一1 ) 当o l 时，由归纳假设 a t 田+ 1 = 麟? 丑= ( 霹t + 删妲一1 ) 霹一) 五 = 1 = 砑踊+ 6 弼( e = 1 = 霹( 恐t + 6 托( e 一1 ) ) + 渊但一1 ) x r + 1 t = 1 于是( 1 ) 成立作用对合 在( 1 ) 上，就得到( 2 ) 推论2 5 设n o ，则有 d ( 1 ) t x e = a x f 。e + 6 ( “一i 百一x ；一嚣) e ， 乏1 ( 2 ) e x t = a e x f 。+ d e ( 一 酊一研一2 ) i = 1 口 + b l xl一目 2 x五 州斟 +r “ 磁 = 秩2 的分圆b m m a n m u r a k a m i - w e n z l 代数9 证明：在引理2 4 ( 1 ) 等式两边同时右乘e 利用定义2 1 ( 5 ) 一( 7 ) ，即可得到推 论2 5 ( 1 ) 作用对合十在( 1 ) 的等式两边即得( 2 ) 口 推论2 6 e = u 一口e + 6 ( 魄一t 叫一i 一一墨) e = 1 证明：在推论2 5 ( 1 ) 的等式两边左乘e 即得口 假设e 0 不是扭元，则有： 口 ( 2 7 ) = u 一。+ 6 ( 一；u 一 一一班) = l 我们总是要求等式( 2 2 ) 和( 2 7 ) 成立否则，e 是扭元从而，定义在域上的 b m 眠2 就退化为a r j k i k o 龇代数 命题2 8 假设日m 眠2 ( 嘞是定义在交换环矗上的秩2 分圆觑 竹口礼胁m 托m - 肌n 刃代数则噩x 2 在b m 眠2 ( 曲的中心里 证明：根据定义2 1 ( 2 ) ，( 6 ) ，x 1 蜀与蜀，磁，e 交换利用定义2 1 ( 3 ) ，瞰l x 2 = r 墨t x l t = 恐j ，l t = h j 乇于因此命题成立 口 命题2 9 假设b m 阱，2 ( 哟是定义在交换环r 上的秩2 分圆威n 礼a 站一胁m o 删一 肌删代数定义s = t 冒霹，砑霹t ，矸e x ? i o a ，p r 一1 ) 则 ( 1 ) 集合s 线性张成b m 坼，2 ( 哟 ( 2 ) 若r 是域，则d 咖r 日m u 0 2 ( 询3 一 证明：设是由集合s 线性张成的r 一模首先验证w 在b m 啊j 2 ( u ) 的左 作用下稳定由于而，z e 是引m 坼，2 ( u ) 的生成元，故只须对五，t ，e 验证即可 由定义2 1 ( 1 ) ，( 3 ) 可知，x l 稳定w 且：e 矸霹= e x ? 一4 当o 卢时 a 一疗 e x ；x l t = e x ；一。t = ) 、b x 一。+ j 二6 e u 。一b t x _ t x ；一。一甚、w = 1 当q p 时，e x f 霹t = e 砰一4 t 由定义2 1 ( 1 ) 得， r 一1 x f l = ( 一1 ) 1 啄1 ( 一1 ) ”1 一听一，一t x i 1 0 秩2 的分圆b i r m 排m u r a k a m i w e n z l 代数 从而x ? 一4 可以写成1 ，托，矸一1 的线性组合由上一种情况可以得出： e 冒砑t w 又l x f e 砰= e 对，因此，e 稳定最后，我们证 明t 稳定当a 口时 t x x 2 = t x ；一。噼l x 妒 a 一口 = ( x l 施) 4 ( 霹一9 t + 6 雹( e 一1 ) x ? 一4 一) a 一日 x x ；t + ? 芝二嫡x e x ；一。一t 一6 x f x 2 + 、w = 1 同样可证当a 口时，t 矸霹w ，以及对任意的a 和p ，有t 矸霹t w 卿f e 砰于是w 成为了一个左b m 眦，2 ( u ) 模，又注意到1 所以 b m w 0 2 ( u ) = b m 坼，2 ( u ) 1 引订坼2 ( u ) 至b m w ，r 2 ( u ) 因此：引汀2 ( u ) = 于是( 1 ) 成立，又炳= 3 r 2 ，从而( 2 ) 成立 口 定义2 1 0 a k 】a r i k i k o i k e 代数珥2 ( u ) 是一个由n 1 ，0 2 ，t 生成的带单位元的结 合r 一代数，满足下列生成关系式： ( 1 ) 0 1 一仳1 ) ( a 1 一乱2 ) - ( d l 一) = o ， ( 2 ) n 2 = 缸l t ， ( 3 ) 口l 凸2 = 0 2 口1 ， ( 4 ) 口一1 = o 一占 由定义可知，存在一个代数满同态妒：b m 眠2 ( u ) 一珥，2 ( u ) ，满足 妒( j 0 ) = 0 1 ， 妒( 曰) = o ，妒( r ) = t 因此，每个不可约h ，2 ( u ) 模可以通过妒提升为一个不可约引订眦，2 ( u ) 模 反之，利用下列推论可知日m 孵，2 ( u ) 的任何一个被e 零化的不可约模是不可 约h n 2 ( u ) - 模从而，b m 眠2 ( u ) 的被e 零化的不可约模一一对应于不可约 耳2 ( u ) 一模 推论2 1 1 设r 是域，m 是个不h r 约且m 坼2 ( 由模，且f m = o ，则m 是一 个不可约h 2 ( 缸) 模 3 日m 肌，2 ( u ) 的不可约表示 在本节中，我们假设u 1 ，u 2 ，n ，g 是z 上代数独立的，r 是z 阻l ，u 2 ，坼，g 士1 的分式域的代数刚包口m 坼，2 ( u ) 是定义在r 上的代数我们将构造b m 眦，2 ( u ) 的所有不可约模 命题3 1 假设m 是一个不可约的b m w ，2 【钍) 模且e m = o ，则有且仅有以下两 种情况： ( 1 ) m = r m 是维的且日m 眦，2 ( 曲在m 上的作用为j ! m = m ，西n = 0 ， 墨m = 撕m ，恐m = 占2 u m 其中5 = g 1 ，1 i r 特别，在l 剐构意义下 有打个这样的模 ( 2 ) m 是两维的，且b m 眠2 ( 询的牛成元存肘f 的作用对应的矩阵为j t 一去( 墨窨。1 ) ， 证明：由推论2 1 1 ，再根据【ak 中关于a r i k i _ k o i k e 代数的结论即得 命题3 2 假设蛐0 存在唯一的不可约口m 坼2 ( 曲模m 满足e m o 记 d = 出，讯m 则d 并且存在m 的一组基 m 1 ，m 2 ，m d ，螨足? ( 1 ) 五砚= n m ；，恐砚= 町1 帆，1 兰i d ， ( 1 ) 墨砚= 地m t ，恐佩= 叮1 讹，1 1 i 茎d ， 示表样 这 个 生 ， ，有、o岣o地下 o 0 女 u 0 u 0 l 蚤 0 一 h 一 炉 硐 肛 m 跏 在 ( 3 ) 孤2 簧她+ 。曩。杀m j ，1 i d i ( 1 + d _ 1 a ( 碍一1 ) 丑码) 等等 当d 是奇数时， m ： 牟j 出。 【( 一地 1 a ( 谚一1 ) 旦t 。) 器酱当d 是偶数时lj 手t， = 吁1 j 8 o ， ”；dd in 讪 或者一n q 当d 是奇数刚， a - 1 = b 1d k ： i 口- 1n 讪或者一q 饥当d 是偶数时 16 1 入( n 一1 ) + 1 当d 足奇数时， 蛐= 2 ；1d i6 。 ( 兀砰一1 ) + 1 一n 札当d 是偶数时 反之，若= 意哼，n o ，且，a 一1 如上定义，则口，- 俐定义了一个满足 证明：首先假设m 是一个不可约b m 眠2 ( u ) 模，满足e m o 由于 引订阱2 ( u ) 是有限维的，从而m 是有限维的设d = d i m r m 由于“1 ，让2 ，脚 是代数独立的，于是可以取由墨的特征向量 m 1 ，竹k ，m d ) 构成m 的一组基 记蜀讹= 地”k 利用定义2 1 ( 1 ) 可得，地 “1 ，嘶) ，1 i d 因为o ，e 2 = 蛐e ，= 击f b m i k ，2 ( u ) 是一个非零幂等元因为 e m q ，| m q 固定，m 中的一个非零元m 则e m = 咖m ，由于t e = e ，t m = 入m ，又由 于墨魁e = e ，得到甄恐m = m 利用引理2 8 和s d m r 引理p k l ，墨恐标量作 用在m 上从而托m t = 奸1 一町1 m ，1 isd 换言之，结论( 1 ) 成立 断言 m ，j ，1 m ，碍- 1 m 是m 的一组基 秩2 的分例b i r m a n _ m u r a k a h w e n z l 代数 1 3 首先设订是由 m ，墨m ，砰- 1 m ) 张成的r 一向量空间由于对所有的 而o ， e x m = e 对，m = 去e 砰e m = 警e m = u m m 于是m 在e 的作用下稳定又由 t x m = 杀x e m = 去( 埘凯宴讹墒l 胪阍m ： 矸a m + 壹6 ( 。七一；x 一。一嚣一。t m ) ， 利用定义2 1 ( 1 ) 可得到m 在t ，噩的作用下稳定于是m 是m 的一个 口m 眠2 ( u ) 一子模因为m 是不可约b m 坼2 ( u ) 一模，敌m = m 又由于d i ”r m = d ，于是m ，托m ，剧_ 1 m 线性无关从而断言成立从等式 e 对m = 丑耐，m = 去e 对e m = 等e m = u t m 还口 以得出e m = r m d 又由于 m 1 ，m 2 ，m d ) 是m 的另一纽基，于是可设m = n m ，n r 若 对某些i ，r i = o ，兀( 墨一哟) m = o 这与m ，蜀m ，一，x _ 1 m 线性无关矛盾，从 1 籍8 而，对所有的 ，n 0 用佻代替原来的r t m “则 m 1 ，m 2 ，m d ) 仍是由x 1 的特征向量构成 的一组基，且有：x l 讹= 地他，仇 私1 ，坼) ，1 i d 此时m = m 同样的讨论还可以推出五所有的特征值 w l ， 2 ，) 两两不同，否则若 铷= ，则n ( 墨一) m = o ，与_ m ，墨m ，x _ 1 m 线性无关矛盾由于 1 辫8 1 ，也，抛) 如l ，乱2 ，嘶) ，这导致d = d i m r m r ，并且口l ， 2 ，抛是代 数独立的特别，嵋一1 和忱t 。一1 ，i j 是可逆的，从而公式( 2 ) 有意义 由于e m = r m ，于是可以找到r ，1 rsd 使得： 1 4 秩2 的分圆b i r m 蚪m u r a k a m l w e n z l 代数 e m t2 m m = m ( m l + m 2 + + m d ) 设i 2 叠，则由恐= t 托t ，得到甄一墨t = j 咒一d e 恐，于是 直接计算可得 z 配m 一墨t i = 6 磁m l 一6 e 恐m 。 d 町1 m ( m 1 + m 2 + - - + m d ) 比较等式两边的系数可得：毋= 急鲁，其中是k r 。n e c l ( e r 符号函数从而 t m t =6 h 一1 ) 讲一l 换言之，我们证明了( 3 ) 我们将证明( 2 ) 中关于m 的公式假设1 d 利用定义2 1 ( 5 ) ，我们得到 下面的公式： ( 3 3 ) d d 椰叻= a 踟产t e 讹= m t 叻 j = 1 j = 1 = 嘻智”。嘉嘲 d = m ( = 1背+ 妾。喜 因为e m 0 ，所以至少有一个m 不为零，于是： 嘻叻2 墨帮叻+ 妻吾貉 a 叻= 笔半叻+ i 黯m f j = lj = l j j = 1l 蔓兰d j ”5 。 比较上式中两边m 的系数得： 刮。1 a + 南，乩。，d 佻 一吨 f 0 j | 啊毋 。皿 一 毋 。蛆 卫 一q 。柚 秩2 的分例b i r m a n m u r a k a m i _ w e h z l 代数 1 5 我们将证明关于饥的线性方程组( 3 3 ) 有唯一解我们需要证明它的系数矩阵 的行列式d e t ( 南) 1 j ，蜒d o 我们断言 ( 一) 2 ( 3 4 ) d e t ( 击) l 鹏沪等整赢可 1 茎k ，j 茎d 显然i 职 0 令 ，( 名) 当r 是奇数时 当r 是偶数时 则2 蚤r = q 弛) 如= 一州础1 ) r e 踮”m ) 如 当r 是奇数时，m s 。：，( z ) 如= 一；，r e s ；：一，( 。) 如= 一1 学而 定义 刍琏) ( 。) 2 留士谚垂豪等，止( z ) 一等垂撕垂乏当 州z ，= i j 垂豪号，吲z ，一一a 垂她垂象等 掣掣 墨 廿m 响m 胪 忖 盯 嚣 嚣 ，mm m 等 一再 ，南 秩2 的分例b i r m a n m u r a k a m l w e n z l 代数 于是： r e s z = 。，1 ( z ) d = = 尚妒- ( 。) 。一”j z ：。 和 1 ( o 一1 ) 1 1 ( 0 1 ) 1 1 11 一七1 1 11 一而) ( 去严( 垂豪等) 。斗砷k 。 ( 一1 ) ! 兰二掣( 。一1 一) ! q 。一。一。( u ) 鼢删弥) 如= 刍( 洲妒札一一扣1 a 血郴( u ) 一一a 血调和) = 1 l = 1 从而 r e s z ：* ，( z ) d = = r e s 。：o ( 。) d z + 冗e 8 ：o 止( 2 ) d 2 = 一薹掣小 如扣， 注意到= 一( 冗e s ：。，( z ) 如+ 兄e s 。：1 ，( z ) 如+ r e 8 ：一l ，( 2 ) d 2 ) 利用上面得到的 相关公式，我们就得到命题中关于的恒等式 偶数的情况可以类似得到证明因为q 。( x ) 是r 上关于x 的多项式，所以， r 口 根据b m 坼，2 ( u ) 的生成关系容易得到下面的引理： 引理4 4 设u l ，抛，坼，g 是z 上的代数独立元令r = z k ，u 2 ，嘶，g 士1 】， b m 坼2 ( 砷是r 代数 ( 1 ) 若r 是奇数且1 _ 12 县钍i 则存在r 一拟线性代数同构：圣：b m 眦，2 ( 却一 日 彳w - 2 ( 哟，满足? 圣( 地) = 一u t ，1 t r ，中( g ) = g 一1 ，垂( j q ) = 一x 1 ， 篙瘩 一七 一七 “脚脚 q 掣 “脚 2 2秩2 的分圆b i i 州a n m u r a k a m i - w e n z l 代数 垂( 岛) = 一磁，西( t ) = 一t 和西( e ) = e 此时? 圣( 6 ) = 一6 ，圣( a 一1 ) = 一 f _ l 。 ( 2 ) 若r 是偶数且a 一1 = g 一1 她，则有r 一拟线性代数同构：皿：口m 2 ( 哟- b m 阱，2 ( 询，满足皿( 啦) = 地，1 i r ，皿0 ) = 一g 一1 ，皿( 确) = x 1 ， 皿( 恐) = g 一4 拖，皿( t ) = 一g 一2 t ，皿( f ) = 1 + 望二；：；! 孥兰此时：皿( d ) = j ， 卫( a 一1 ) = 一g 兀札f ( 4 5 ) 由引理4 4 ，我们不妨假设 f 由锄 a = k 1 ， iq _ 1 兀铆 l = 1 当r 是奇数时 当r 是偶数时 定义4 6 设r 是任一带单位元的交换环，且u 1 ，抛，u ，q 士1 r 假设( 4 5 ) 成 立设q = u 。r i n 2o ) 称n 是u 一8 _ d m 城b l e 如果： 一 摹：裟嚣二筹耋 受到n a z 8 r o v 畔叫关于b r a u e r 代数的工作的影响，我们也可以引进关于变量 引理4 7 设是不定元，考虑生成函数m ( ) = 地可一则n 是u 一d m i s s 6 拒 噼博：嚣篡 衔，、卜1 + 磊( 生学盯1 纵u ) + 美址乒弘，洲旷8 倚毵 丽沪卜。莓掣州飞小0 毫掣乳小m 戬 当r 是奇数时，我们有下列恒等式 f ! ( 二! 乙：2 _ 急 2 9 f 2 1 赢扩切糊一划。1 萎州可刊 。1 耳孑等，口 0口 0z = 1 9一 磊薹生掣q 一一咖= 萎洲u 扩。喜嘉= 一南垂等等， o 0k = 0 一 a 0t = lf f k l f叫 把上述等式相加，就得到了所要的结论类似，我们可以证明当r 是偶数时，关于 奶( ) 的等式 口 在丽( ) 中，用：代入再与i 两( 可) 比较，容易得到以下恒等式： c 吼卜告寸c 吣一南寸w 2 ：宝一南雪篡黧 定理4 8 设r 是任一带单位元的交换环，且”1 ，u 2 ，坼，q 士1 r 假设等式 佴纠成立，且n 是u o d 删s s 捌e 则引订肼2 ( 砷是秩为3 r 2 的自由r 弋数特 跳s = 研群，矸霹t ，砑e 群i o a ，p r 一1 是它的一组基 证明：首先假设1 ，啦，啡是z 上代数独立的，且鱼= z “l ，“2 ，4 ，萨1 假设等式( 4 5 ) 成立假设 1 2 是讧a d m i 8 8 i b l e _ 记屯是直的分式域的代数闭包，考 虑r o 上的代数b m 肌，2 ( d ) 由于n 是d a d m i 8 8 i b k ，由命题3 2 知道，存在唯一的一个r 维的不可约子模 m 满足e m 0 ，结合命题3 1 和w e d d e r b l l r n _ a r t i n 定理，有： d i m 墙，( b m 坼，2 ( d ) r a d ( b 彳w _ 2 ( 1 1 ) ) ) = 2 r + 2 r p 一1 ) + r 2 = 3 r 2 d i m 砘、( b m 阱，2 ( d ) ) s3 ， 其中第一个等号是因为d ( b m 坼，2 ( d ) ) 零化所有不可约b m 职，2 ( d ) 模最后一 个不等号是根据命题2 9 ，b m - k 2 ( d ) 由集合s 线性生成所以，d i “赢( 口m 阱，2 ( 证) ) = 3 r 2 ，r a d ( b m 眠2 ( 血) ) = o 特别，s 是成一线性无关的，从而也是n 一线性无关的 2 4 秩2 的分剧b i r m a n m u r a k a m i w e n z l 代数 现在考虑一般情况；r 可以作为m 代数，其叶l 也作用相当于数乘地，1 i r 由于b m 坼，2 ( 血) 是自由r 代数，于是r - 代数b m 眠2 ( d ) o a r 是秩3 r 2 的自由 r - 代数；又由于b m 坼，2 ( d ) o 直r 的生成元满足日m 坼，2 ( u ) 的生成关系从而有 满同态： 口：且m 坼，2 ( u ) _ b m 孵，2 ( 血) o ar 又根据线性相关集必映到线性相关集可知：由于满，口( s ) 张成b m 坼，2 ( d ) o 直r ； 又由日m 眠2 ( d ) o 直r 秩为3 r 2 可知口( s ) 是屯一线性无关于是s 是皿线性无关 又i 因为s 张成b m 坼，2 ( u ) ，所以s 是b m 2 ( u ) 的一组基所以，b m 坼2 ( u ) 是 秩为3 r 2 的自由r _ 代数n a k a m r b 、v 】 l b 叫 i d 】 【dk 】 h o j 1 j 2 n a z s 秩2 的分圆b i r m a n - m u r a k a m l w b n z l 代数 参考文献 s a r ( ia n dk k o i k e ，a 丑8 出ed 培e 6 md ，o n dc d n 时r d t d nd ， 拈i 仃谢u c 诌把唧旭s e n t 口“帆，a d v m a t h 1 0 6 ( 1 9 9 4 ) ，2 1 6 - 2 4 3 s a 砒砌ia m a t h a sa n dh r u i ，回c j o 亡d m c 。唧口- 矾删。妇e 6 瑚，n a g o y am a t m j s p b g i a lv o l u m ni nh o n o ro fg l u s z t i g 88 i x t y sb i r t h d a y ，t oa p p e a r j s b i r m a na n dh w e n z l ，腑幽，抽墙p 0 冶n o m i o 妇口n d 口n e 叫口匆e 6 m ，t r a n s a m e r m a t h s o c 3 1 3 ( 1 9 8 9 ) ，2 4 9 2 7 3 r b r 删e r ，o n 幽曲r 锄胁c h 口他n n t e d 城晰t h es e m i 西m p l e m t n u d u 8 卵t 毕a ， a nn | o fm a t h 3 8 ( 1 9 3 7 ) ，8 5 7 _ 8 7 2 v d 壬u n f e l d ，q u d m u m9 m 越p s ，p 阳c e e d i n 9 sd ，t e 嘶抛r 舳梳，伽：n 9 他s s0 ，m o 讥e m n t 驴 c i 帅s ，b e r k e l e y ( 1 9 8 6 ) ，7 9 8 8 2 0 ，a m e 砌a a nm a t 船煳c a ls o g i e t y ，p r o v 卜 d e n c e r i y u y i ja d r o z da n dv l a d i m mv k i r i o h e n k o ，f 汛t 把d i m 执s i o n “a 冶e 6 m 8 ， s p r j n g e r - v e r l a gb e r l i nh e i d e l b e r g ( 1 9 9 4 ) r h 拄r j n g - o l