（基础数学专业论文）weighted+sharing+with+unicity+of+meromorphic+functions(1).pdf

a b s r r a c t t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si m p r o v e ss o m er e s u l t sf r o m ”c m ”s h a r et o ”w e i g h t e d ”s h a r e ，s e e 【l ，2 ，3 ，4 】i nt h es e c o n dc h a p t e lw eh a v et r e a t e daq u e s t i o n d u et oi l a h i r i ，a n dw eh a v eg i v e na l la n s w e rf o ri ta n di nt h es a m ec h a p t e rw e h a v ed o n es o m ei m p r o v e m e n t sf o rs o m er e s u l t sd u et oh x y i ，m o z a w a ，h u e d a ，i l a h i r ia n do t h e ra u t h o r s i nt h et h i r dc h a p t e r , w eh a v ep r o v e ds o m e t h e o r e m sw h i c ha r ei m p r o v e m e n ts o m er e s u l t sd u et oh x y i ，i l a h i r i ，g b r o s c h a n do t h e ra u t h o r s w h i l et h ef o r t hc h a p t e rh a v e d e m tp r o b l e m m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r eo n es e ta n dp r o v e ds o m er e s u l t s w h i c ha r e i m p r o v e m e n tr e s u l t sd u et of r a n ka n dr e i n d e r s ，f a n ga n dh u aa n do t h e ra u t h o r s k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，s h a r i n gv a l u e ，u n i q u e n e s st h e o r y 摘要 本文的主要的目的是将有关“c m ”分担的一些结果改进为( 权) 分担 ( 见 1 ，2 ，3 ，4 ) ，在第二章，我们研究了i l a h i r i 的一个问题，并对其 作了回答，此外，我们还改进了h ix y i ，m o z a w a ，h u e d a ，i l a h r i 等人的 些结果。 在第三章我们证明了几个定理，它们分别是对h x y i ，i l a d i r i ，g b r o s c h 等人的些结果的改进。 在第四章，我们研究了具有一个分担值集的亚纯函授唯一性问题，证明 了一些结果，它们分别是对f r a n k ，r e i n d e r s ，方明亮和陈怀惠等人结果的 改进。 关键词：亚纯函数，公共值，唯一性定理。 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。- 除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被奁阅 和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：哒! ! 坐导师签名： 幺滢铷日 a c k n o w l e d g r e m e n t 1w i s ht oe x p r e s sm y v e r yd e e pg r a t i t u d et om ys u p e r v i s o rp r o f e s s o r h o n gx u ny 1w h od e v o t e ds om u c ho fh i st a l e n t ，t i m ea n de f f o r t p r o v i d i n gv a l u a b l es u g g e s t i o n sa n dc o n s t r u c t i v ec o m m e n t s t h a n k sa r ed u et ot h ed e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e m s c i e n c ea ts h a n d o n gu n i v e r s i t y f i n a l l yt h a n k sa r ed e v o t e dt oa l lf r i e n d sa n dc o l l e a g u e sa n dt oa l l p e o p l ew h oc o n t r i b u t e di naw a y o ra n o t h e rt ot h i sw o r k t h a m i rc s h n a w e r a l z a h a r y ， t h ec o l l e g eo fm a t h e m a t i c sa n d s y s t e ms c i e n c e s ， s h a n d o n gu n i v e r s i t y , s h a n d o n gp r o v i n c e ， j i n a nc i t y2 5 0 10 0 ， p r c h i n a i n t r o d u c t i o n i nt h i st h e s i s 骶d e a lt h ep r o b l e mo fu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，t h et e r m ”m e r o m o r p h i c w i l la l w a y sm e a i lm o r o m o r p h i ci nt h ec o m p l e xp l a n e i nt h i sw o r ki s u s e dt h ei d e aw e i g h ts h a r ew h i c ha r ei m p r o v e m e n ts o m ek n o w nr e s u l t ss e e 【i ，2 ，3 ， 4 】f o rs t a n d a r dn o t a t i o n sa n dd e f i n i t i o n so fv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yw er e f e r 【1 2 】 o rf 2 7 lh o w e v e r ，i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ep r e s e n tak n o w l e d g et on e v a n l i n n at h e o r y o fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nt h ec o m p l e xa n a l y s i sa n ds o m ed e f i n i t i o n s ，l e m m a sa n d t h e o r e m sw h i c ha r ek n o w n ，s e ef 1 2 】o rp t f o rt h es e c o n dc h a p t e ra n dt h i r da n df o u r t ha r ea s s i g n m e n tf o ri m p r o v ek n o w nr e s u l t s r e s p e c t i v e l y w es t a t et h ed e t a i l si nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s c h a p t e rt w o ：t h i sc h a p t e r 啪h a v ed i v i d e di n t ot w os e c t i o n sw h i c ha r et h ef o l l o w i n g ： s e c t i o no n e ：i nt h i ss e c t i o nh a sd e a l ti n v e s t i g a t i n g8q u e s t i o no fi l a h i r i 1 5 】f o rt w o m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n g ( 1 ，1 ) i nf a c th eh a sp r o v e dt h ef o l l o w i n g t h e o r e mb l e tf ，9s h a r e ( 1 ，2 ) t h e no n eo ft h ef o l l o w i n ge a s e sh o l d s ： ( 1 ) t ( r ) s 2 ( r ，) + n 2 ( r , ) + n 2 ( r , 9 ) + 2 ( r 1 ；) + s ( r ) ； ( i i ) ，兰9 ；( i i i ) f g 罩1 t h e o r e mc l e t ，gs h a r e ( 1 , 2 ) a n dn ( 0 ，1 ，o 。) b eac o m p l e xn u m b e r t h e no n e o ft h ef o l l o w i n gc a s e sh o l d s ： ( i ) 2 t ( r ) 2 ( r ，) + 2 ( r l ) + n 2 ( r ，9 ) + 9 2 ( r ，；) + 尥( n n ) + s ( r ) ， w h e r en 2 ( r ，) = m 凹 2 ( r ，志) ，n 2 ( r , 7 与) ) ； ( i i ) 导疥( i i i ) g 誊1 ；( i v ) + ；兰2 ；( v ) + g 兰2 ；( v i ) 9 ( 口一，) 三a 2 ；( v i i ) ，( b 一9 ) 兰a 2 t h ec a s e ( i v ) m a yo c c u ri f8 = ，c a s e ( v ) m a yo c c u ri fa = 2a n dc a s e s ( v i ) a n d ( v i i ) m a yo c c u r i f a 兰一u ，一u 2 ，w h e r e u i san o nr e a lc u b i cr o o to f u n i t y i nh i sp a p e r ，h eh a sa s k e dt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n i si tp o s s i b l et or e l a xs 妇i n g ( 1 , 2 ) t os h a r i n g ( 1 ，1 ) i nt h e o r e mba n dt h e o r e mc ? w eh a v eg i v e na n 抽墙懈f o rt h i sq u e s t i o nb yt h ef o l l o w i n g ，( s e e p ) ： t h e o h e m 2 1 1 s u p p o s e ，a n dgs h a r e ( 1 ，1 ) i f ，ga n d ，9 1 ，t h e n l m ( r i 了) + t ( r ，) 墨2 ( n ，) + 2 ( n ) + 2 ( r ，9 ) + 2 盯，；) + 丙， 2 ( r ，杀可) + s p l ， t h er e s u l th o l d st r u e 让t h er o l e so f9a n d ，8 x ei n t e r c h a n g e dw i t ho n ea n o t h e r - w es e et h a tt h e o r e m2 1 1i m p r o v e st h e o r e mb t h e o r e m2 1 。2 s u p p o s e ，a n d 9s h a r e ( 1 ，1 ) ，a n d 8 ( 0 ，l ，o 。) b eac o m p l e x n u m b e r i “h ep o s s i b i l i t i e s ( i i ) ( i i i ) ，( i v ) ，( v ) ，( v i ) ，( v i i ) o ft h e o r e mc d on o to c c u r ，t h e n 州r ，由) + 2 t o ( r ) 2 ( r ，) + 2 ( r 1 ) + 肌( r ，9 ) + 2 ( r 1 ；) + 2 ( 。n ) + h i 2 ( n 南) + s i r ) ， w h e r et o ( r ) = m 口窑 ； 丁( r ，) + t ( n 9 ) ，丁( r t ，) ) a n dn 2 ( r ，。) = m o z 2 ( r ，南) ，2 ( r ，击) ) t h er e s u l th o l d st r u ei ft h er o l e so fga n d a l ei n t e r c h a n g e dw i t ho n ea n o t h e r w es e et h a tt h e o r e m2 1 2i m p r o v e st h e o r e mc i nh i sp a p e ra l s oh a sp r o v e dt h ef o l l o w i n g t h e o r e m e l e t ，gs h a r e ( 1 ，2 ) i ff o rs o m ec o m p l e xn u m b e r n ( 0 ，l ，；，2 ，一u ，一u 2 ) 5 2 ( 0 ，f ) + 如( o c ，f ) 十如( o ，g ) + 如( o 。，g ) + m t n 如，) ，如( 0 ，g ) ) 3 ， t h e n ，3 9o r f 9 兰1 w eh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t ，w h i c hi so ni m p r o v e m e n tt h e o r e me t h e o r e m 2 1 3 【l 】l e t ，gs h a r e ( 1 ，1 ) i ff o rs o m ec o m p l e xn u m b e r n ( 0 ，1 ，；，2 ，一u ，一【，2 ) s u c h t h a t d 2 ( o ，) + d 2 ( o 。，) + 如( o ，9 ) + d 2 ( o 。，g ) + m 讯 如( ，) ，5 2 ( a g ) + d 3 ， t h e ne i t h e r f 兰go r ，g 三1 ， w h e r e j ：l i 。u p 型坐越墨坐蒜掣直垫坐趔 a l s o ，i l a h i r if 1 5 】h a sp r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l tw h i c hi sh ni m p r o v e m e n to fr e s u l t s o fo z a w af 2 1 】a n du e d af 2 2 】 t h e o r e m f l e t ，gs h a r e ( 1 ，2 ) ，( o ，1 ) a n d ( o c ，1 ) i f2 d 2 ( 0 ，) + 2 6 2 ( o o ，) + m i n 6 2 ( a ，) ，5 2 ( a ，9 ) ) 3 ， f o rs o m ec o m p l e xn u m b e r 口( 0 ，l ，。) ，t h e ne i t h e r ，5 go ry 9 三1 i np a p e r 【1 1w eh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e mw h i c hi sa ni m p r o v e m e n tt h e o r e m f t h e o r e m2 1 4 l e t ，tgs h a r e ( i ，1 ) ，( 0 ，1 ) a n d ( 0 ( 3 1 ) i ff o rs o m ec o m p l e xn u m b e r 2 n ( 0 ，l ，o 。) 2 5 2 ( 0 ，) + 2 5 2 ( o o ，) + m i n 5 2 ( a ，) ，5 2 ( a ，9 ) ) + d 3 ， t h e n ，兰go r ，g i l ，w h e r ed i s i n t h e o r e m2 1 3 a sa na p p l i c a t i o no ft h e o r e m2 1 _ 1 w eh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e mw h i c hi s a l li m p r o v e m e n tt h et h e o r e mo fy i 2 4 1 t h e o r e m2 1 5 【1 】l e ts = a + b ，n + “，+ b ”一1 ，w h e r en 9 ，“= e x p ( 2 r i n ) ，na n d6 ( 0 ) a r ec o n s t a n t s i f 毋( s ，2 ) = 马( s ，2 ) ，t h e ne i t h e r ，oi ( 9 一n ) ，w h e r e t ”= 1o r ( ，一o ) ( g a ) s ，w h e r es “= b 2 “ s e c o n ds e c t i o n f o rt h es e c o n ds e c t i o no ft h es e c o n dc h a p t e rh a sd e a l tt h et h e o r e n to f g f r a n ka n dm r e i n d e r s 8 】s u c ht h e yh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n g t h e o r e mh l e tn 1 lb ea ni n t e g e ra n dc 0 ，lac o m p l e xn u m b e r t h e nt h e p o l y n o m i a lp d e f i n e db y p ( ”) = ! 掣”n n 加一2 ) w n - 1 + 兰垫i 坐w n 一。一c ，( + ) h a so n l ys i m p l ez e r o sa n di f fa n d ga x et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss a t i s f y i n g 毋( s ) = 马( s ) ，w h e r es = f ：p ( w ) = o ，t h e n ，言g i nt h i ss e c t i o n ，w eh a v ep r o v et h ef o l l o w i n gb yu s i n gt h e ”w e i g h t ”s h a r i n g t h e o r e m2 2 1 l e ts = ( 叫：p ( ) = o ，w h e r ep ( 叫) i sg i v e nb y ( ) a n d ，gh e n o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ( i ) i f e f ( s2 ) = 岛( s2 ) ，t h e n ，兰gw h e nn 1 1 ( i i ) i f 毋( s 1 ) = 岛( s 1 ) ，t h e n ，兰gw h e nn 1 3 c h a p t e rt h r e e f o rt h et h i r dc h a p t e rw ea l s oh a v ed i v i d e di n t ot w os e c t i o n s f i r s ts e c t i o n ：w eh a v ep r o v e ds o m er e s u l t sw h i c ha r ei m p r o v e m e n tr e s u l t so fy i 2 5 ， t h e o r e m4 】a n dl a h i r i 1 6 i n1 9 9 5 ，y i 2 5 】p r o v e dt h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m a l e t | a n dgb et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n g 0 ，1 ，o 。c m ，a n d l e t 口( 0 ，1 ) b ea f i n i t ec o m p l e xn u m b e r i f ( r ，矗) ? ( n ，) + s ( r ，) j 3 t h e ndi sap i e a r de x c e p t i o n a lv a l u eo f ，a n dfa n dgs a t i s f yo n eo ft h ef o l l o w i n gt h r e e r e l a t i o n s ： ( i ) ( f o ) ( g 十一1 ) n ( 1 一q ) ； ( i i ) f + ( a 一1 ) g ea ； ( ) f 蔓a g i n1 9 9 5 ，y ia n dy a n g 2 7 ，t h e o r e m5 1 3 p r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e mb l e tfa n d gb et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n g 0 ，1 ，o oc m i f ，i sn o taf r a c t i o n a ll i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ( m 5 b i u st r a n s f o r m a t i o n ) o f g ，t h e n f o ra n y8 ( 0 ，1 ，。) ( i ) n o ( r ，专) = n 0 ( r ，专) + s ( n ，) ，( 专) = 丙o ( r ，步) + s ( r ，) ， t h es a u l ei d e n t i t i e sh o l df o rg ； ( i ) ( 3 ( r ，i ) = s ( ，) t ( 3 ( i ) = s ( r ，) ； ( f “) t ( n ，) = n ( r ，古) + n o ( r ) + s ( r ，) ，t ( r ，9 ) = ( t ，专) + n o ( f ) + s ( r ，) ， i ( r ) = n o ( r ) + s ( r ，) ； ( i ”) 丁( 。，) = ( r i = ) + s ( ，) ，丁( r ，9 ) = ( r 杀= ) + s ( ，) ； ( ) t ( n ，) + 丁( n 9 ) = ( r ， ) + 丙( r ，了) + ( r ，) + n o ( r ) + s ( n ，) ： ( 州n ( r ，7 与) = n ( r ，南) + s ( r ，) ， w h e r e o ( r ， r ) ( 砜( r ，) ) d e n o t e st h ec o u n t i n gf u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h ez e r o s o ff 7t h a ta r en o tz e r o so f ，a n d ，一1 ( i g n o r i n gm u l t i p l i c i t i e s ) a n d n 0 ( r ) ( 丙o ( r ) ) i s t h ec o u n t i n gf u n c t i o no ft h ez e r o so f ，一gt h a ta r en o tz e r o so fg ，g 一1a n d ；1 ( i g n o r i n g m u l t i p l i c i t i e s ) n o wo n em a y kt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：i si t r e a l l yi m p o s s i b l et or e l a xi na n yw a y t h en a t u r eo fs h a r i n go fa n yo n eo f0 1 ，a n d 。i nt h ea b o v et h e o r e n l s ? b yu s i n gt h ei d e aw e i g h t e ds h a r i n g ，w eh a v ea n s w e r e dt h i sq u e s t i o na n do b t a i n e dt h e f o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m 3 1 1 【2 】l e tfa n dgb et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r 0 1 2 1 0 r p h i cf u n c t i o l l s s h a r i n g ( a l ，1 ) ，( a 2 ，) a n d ( 0 3 ，o 。) ，w h e r e o l ，8 2 ，0 3 ) = 0 ，1 ，。) t h e ne i t h e rt h e r e 眈j 8 5a ne n t i r ef u n c t i o n7s u c ht h a tfa n d ga r eg i v e na so n eo ft h ef o l l o w i n gt h r e e e x p r e s s i o n s ： 4 ( a ) ，= 灶e - - i a n dg = 暑 ； ( b ) ，= 黠a n dg = 崩； ( c ) ，= 尚击a n dg = 辫； f o rs o i i l ec c 0 ，1 ) ，o re l s ef o ra n yo c 0 ，1 ) ，e a c ho f ( i ) 一( 口i ) m e n t i o n i ! di n t h e o r e mbh o l d s b vt h e o r e m3 1 1w ec o u l do b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t sw h i c ha r ei m p r o v e m e n t so f t h e o r e maa n dt h e o r e mbr e s p e c t i v e l y t h e o r e m3 1 2 l e tfa n dgb et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o l m s h a r i n g ( d l ，1 ) ，( 6 2 ，。o ) a n d ( d 3 ，o o ) ，w h e r e a l ，0 2 ，0 3 = o ，1 ，o o i f 2 ) ( r ，亡) t ( n ，) + s ( 7 n w h e r en c 0 ，l ，t h e nt h ec o n c l u s i o n so ft h e o r e ma s t i l lh o t d t h e o r e m3 1 3 l e tfa n dgb et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s s h a r i n g0 l ，1 ) ，( a 2 ，。c ) a n d ( 0 3 ，) ，w h e r e n l ，a 2 ，a 3 ) = ( 0 1 ，。c ) i f i sn o t a f r a c t i o n a l l i n e a rt r a n s f o r m a t i o no fg ，t h e nf o ra n y c 0 ，1 ) ，e a c ho f ( i ) 一( v i ) m e n t i m m di n t h e o r e mbs t i l lh o l d s i n2 0 0 1 ，i b a h i r i 1 6 】h a sp r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e o r e md l e t ，a n dgb et w od i s t i n c tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n g ( 0 ，1 ) ， ( 1 ，o 。) a n d ( o c ，。) ，a n dl e tg ( 0 ，1 ) b eaf i n i t ec o m p l e xn u m b e r t h e n 丙( 3 ( r ，忐) = s ( r ) i n 【2 ，w eh a v ep r o v e df o l l o w i n gr e s u l t w h i c hi sa ni m p r o v e m e n tt h e o r e md t h e o b l g m3 1 4 l e t ，a n dgb et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s s h a r i n g ( d l 、1 ) ，( d 2 ，。o ) a n d ( n 3 ，o 。) ，w h e r e 叭，d 2 ，0 3 = ( o ，1 ，o 。 ，a n dl e to ( 0 ，1 ) b e af i n i t ec o m p l e xn u m b e r t h e n g s ( r , 矗) = s ( ) t a p p l y i n gt h e o r e m3 1 2 ，w eh a v ep r o v e df o l l o w i n gr e s u l t 5 t h e o r e m 3 1 5 【2 】l e t ，a n dgb et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf l m c t i o n s s h a r i n g ( n l ，1 ) ，( a 2 ，o 。) a n d ( d 3 ，。o ) ，w h e r e 吼，a 2 ，a 3 = ( 0 ，l ，o 。) ，a n d l e tn 2 ) ( r ，击) t ( r ，) + s ( r ，) ，w h e r e c o ，1 ) ( i ) i f n l ) ( r ，) t ( r ，) + s ( r ，) ，t h e n 口a n d 。oa r e p i c a r de x c e p t i o n a lv a l u e so f ， 1 一aa n d 。a r ep i c a r de x c e p t i o n a lv a l u e so f g ，a n d ( ，一n ) ( g + n 1 ) g = n ( 1 一) ； ( i i ) i fn 1 ) ( r ， ) t ( r ，) + s ( r 1 ，) ，t h e n a n d0a r ep i c a r de x c e p t i o n a lv a l u e so f ， n a l a n d0a r ep i c a r de x c e p t i o n a lv a l u e so fg ，a n d ，十( o 一1 ) gin ： ( i i i ) i f n l ) ( r ，壬了) t ( r n + s ( t ，) ，t h e noa n d1a r ep i c a r de x c e p t i o n a lv a l u e so f ，：a n d1a r ep i c a r de x c e p t i o n mv a l u e so f9 ，a n dfea g i n2 0 0 1 ，a l s oi l a h i r if 1 6 h a sp r o v e dt h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m e l e t ，a n dgb et w od i s t i n c tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n g ( 0 ，1 ) ，( 1 ，。x ) a n d ( o o ，。) i f o i 0 ，1 ) i sa f i n i t ec o m p l e xn u m b e rs u c h t h a t3 6 2 1 ( n ，) + 2 6 1 ) ( 。，) 3 ， t h e noa n d 。oa r ep i c a r de x c e p t i o n a lv a _ l n e so f ，i aa n d 。a r ep i c a r de x c e p t i o n a l v a l u e so f g ，a n d ( ，一口) 0 + 。一1 ) 兰a ( 1 一口) b yt h e o r e m3 1 5 ，w ei m m e d i a t e l yo b t a i nt h e f o l l o w i n gc o r o l l a r y w h i c hi sa ni m p r o v e m e n to ft h e o r e me ， c o r o l l a r y l e t ，a n dgb et w od i s t i n c tn o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a x i n g ( a l ，1 ) ，( a 2 ，o 。) a n d ( ，。) ，w h e r e a l ，a 2 ，a 3 = o ，1 ，o o i f a ( 0 ，1 ) i sa f i n i t ec o m p l e x n u m b e rs u c l l | t h a t 嗡( ，) 0a n d6 i 1 ( ，) 0 t h e nt h ec o n c l u s i o n so f t t l e o r c me s t i l lh o l d s e c o n ds e c t i o n f o rt h es e c o n ds e c t i o no ft h ec h a p t e rt h r e e w eh a sp r o v e ds o l er s l l i t s w h i c ha r ei m p r o v e m e n tr e s u l t so fb r o s e h 【6 _ i nf a c t ，i n1 9 8 9h ep r o v e dt h ef o l l o w i n g t h e o r e ma l e t ，a n dgb et w on o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss u c ht h a t f a n dgs h a r e0 ， 1 ，。og ma n dl e tna n dbb et w of i n i t ec o m p l e xn u m b e r ss u c l lt h a t n ，bg 0 ，1 ) i ff = a g = 6 ，t h e n ，i sam s b i u st r a n s f o r m a t i o nf f r a c t i o n a ll i n e a r t r a n s f o r m a t i o n ) o fg n o wo n em a ya s kt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：i si t r e a l l yi m p o s s i b l et or e l a xi na n yw a y t h en a t u r eo fs h a r i n go fa n yo n eo f0a a d1 i nt h et h r e ma ? w eh a v ea n s w e rt h i sq u e s t i o na n dh a v ee x t e n d e dt h e o r e m ab yt h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： 6 t h e o r e m3 2 1 【3 | l e t ，a n dgb e ( w oi l i n o o n , r a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s s a t i s f y i t t z , a tl e a s to n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( ；) ，a n dgs h a r e ( 0 ，1 ) ， j 。) a n d 0 0 ，) ： ( i z ) ，a n d9s h a r e ( 1 ，】) ，( 0 ，。) a n d ( 。，) ( z z i ) fa n d9s h a r e ( o o ，1 ) ，( 0 ，0 0 ) a n d ( 1 ，) o ) l e toa n dbb et w of i n i t ec o m p l e xn u m b e r ss u c ht h a ta g 0 ，1 ) i f = a 锌g = b ， t h e nfi sam s b i u st r a n s f o r m a t i o no fg m o r e o v e rfa n dgs a t i s f ye x a c t l yo n eo ft h e f o l l o w i n gr e l a t i o n s ： ( i ) ，三9 ；( i i ) g 兰l ；( t t i ) ，兰0 9 ；( ) ，十9 兰l ；( 1 ) + ；三1 ：( ) ，三百a = - 了 9 + 耳b - =