（光学工程专业论文）一维光子晶体的禁带特性研究.pdf

中文摘要 本论文从理论上研究了一维光子晶体周期层状电介质结构、含金属插层的结 构及非周期性结构中的光子禁带和高反带。 首先，在传统传输矩阵的基础上，推导了一维二元光子晶体色散关系原理的 具体表达式，应用该色散表达式分析了相对禁带宽度与各个光学参量的关系。结 果表明，周期层状光予晶体的相对禁带宽度随折射率比的增加而增大，随光学周 期的不同而不变。采用参数调节法讨论了光学厚度比对禁带宽度的影响，计算表 明，当两种材料的光学厚度相差不大时，光学厚度比基本不影响相对禁带宽度。 通过数值模拟也得到了相同的结论。对不同入射方向的研究还表明，两种偏振状 态下相对禁带宽度和入射角有不同的演化关系。 然后，通过数值模拟讨论了在一维厨品q 光子晶体中插入金属彳，层前后的透 射、吸收和反射性能。结果表明，在d ，层中央插入4 f 层，能够提高传输衰减， 降低长波段吸收率，扩宽高反带。一，层越厚，长波段的吸收率越低，高反带越宽。 选f f j 3 0 n m 的4 ，插层在所研究的4 0 0 1 2 0 0 n m 波段获得了比普通的s i l s t 0 2 结构 光子晶体更宽的全角高反带。 最后，在周期性结构中引入了厚度变化。研究发现，在一维介质型光子晶体 中，厚度的阶跃变化和无序变化均能出现禁带展宽现象，展宽程度随阶跃度、无 序度、周期数及禁带中心频率变化。而在金属一介质型光子晶体中，厚度阶跃变 化会增大吸收率，使高反带带宽变窄；厚度无序变化时出现高反带展宽。 关键词；一维光子晶体；色散关系；光学厚度；金属插层；厚度阶跃；厚度无序： j e 峦銮道太望亟堂焦盈塞量s ! ! a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ep h o t o n i eb a n dg a pa n dt h eh i g l ar e f l e c t i o nr a n g eo ft h e o n e - d i m e n s i o n a lp e r i o d i cd i e l e c t r i cs t r u c t u r e s ，s t r u c t u r e sw i t hm e t a ll a y e r s a n d n o n p e r i o d i cs 眦t u r e sa r es t u d i e dt h e o r e t i c a l l y t h ep a r t i c u l a re x p r e s s i o no fd i s p e r s i o nr e l a t i o n sw e r ed e d u c e db a s e do nt h e t r a d i t i o n a lf f a n s f e rm a t r i xm e t h o d b yu s i n gt h ee x p r e s s i o n , t h er e l a t i o nb e t w e e n r e l a t i v eb a n d w i d t ha n de a c ho p t i c a lp a r a m e t e rw a sa n a l y z e d t h er e s u l t si n d i c a t e dt h a t t h er e l a t i v eb a n d w i d t hb e c a m ew i d e rw h e nt h er a t i oo f t w or e f r a c t i v ei n d e x e si n c r e a s e d a c c o r d i n g t ot h e p a r a m e t e rm o d u l a t i o nm e t h o d ，t h er a t i oo ft w oo p t i c a lt h i c k n e s s e s h a r d l ya f f e c t st h eb a n d w i d t hw h e nt h ed i s c r e p a n c yb e t w e e nt h eo p t i c a lt h i c k n e s s e si s n o tt o om u c h t h en u m e r i c a ls i m u l a t i n gs h o w st h es a n l er e s u l t ，t h ei n v e s t i g a t i o no f i n c i d e n c ea n g l es h o w st h a tt h er e l a t i o nb e t w e e nr e l a t i v eb a n d 谢d t ha n di n c i d e n c ea n g l e d i f f e r si nd i f f e r e n tp o l a r i z a t i o n s t h et r a n s m i s s i o n ，r e f l e c t i o na n da b s o r p t i o no f l i g h tw a v et h r o u g ho n e d i m e n s i o n a l m e t a l d i e l e c t r i cp h o t o n i cc r y s t a l sm a d eo fs i ，a ia n ds i 0 2w e r en t t m e r i e a ls i m u l a t e d t h er e s u l t ss h o wt h a tb yi n s e r t i n gt h ea l u m i n u ml a y e r st h er e j e c t i o nl e v e li si m p r u v e d ， t h ea b s o r p t i o no fl o n gw a v e l e n g t hi sd e c r e a s e da n dt h eh i 曲r e f l e c t i o nb a n d w i d t hi s b r o a d e n e d b e t w e e nt h ew a v e l e n g t h4 0 0 1 2 0 0 n m , ah i 曲r e f l e c t i o nr a n g ew i d e rt h a n s i s i 0 2q u a r t e r - w a v em u l t i - l a y e r sw a sg a i n e da f t e ri n s e r t i n g3 0 n ma l u m i n u ml a y e r s t h ev a r i a h l et h i c k n e s sw a gi n t r o d u c e di n t op e r i o d i cs t r u c t u r e s t h en u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o ns h o w st h a tt h eb a n d w i d t h so fb o t ht h ed i s o r d e ra n dl i n eg r a d e dd i e l e c t r i c s t r u c t u r e sa r eb r o a d e n e dc o m p a r e dt op e r i o d i cp h o t o n i c c r y s t a l s a si nt h e m e t a l d i e l e c t r i cp h o t o n i cc r y s t a l s ，l i n eg r a d e dt h i c k n e s s e si n c r e a s et h ea b s o r p t i o na n d r e s u l ti nn a r f o w e rb a n dg a pw h i l et h ed i s o r d e r e dt h i c k n e s s e sb r o a d e nt h eb a n dg a p k e y w o r d s ：o n e d i m e n s i o n a lp h o t o u i cc r y s t a l s ；d i s p e r s i o nr e l a t i o n s ；o p t i c a l l h i c k n e s s ；m e t a ll a y e r ；g r a d e dt h i c k n e s s ；d i s o r d e r e dt h i c k n e s s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 导师签名： 签字日期：年月 e t签字日期：年月 e t j e 毫銮亟盔亟堂鱼途塞鎏剑毽直塑 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 签字日期：年月日 4 j 致谢 本论文的工作是在我的导师王永生教授的悉心指导下完成的，王永生教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢三年来 王永生老师对我的关心和指导。 何大伟教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给 予了我很大的关心和帮助，在此向何大伟老师表示衷心的谢意。 富鸣老师对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心 的感谢。 在实验室工作及撰写论文期间，王东栋、王申伟、邓立儿等师兄姐对我论文 中的计算工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢我亲爱的的家人和朋友，他们的理解和支持使我能够在学校专心 完成我的学业。 j e夏窑垣太堂亟堂僮诠塞绻 途 1 绪论 1 1 引言 1 9 8 7 年，e y a b l o n o v i t h 1 在讨论如何抑制自发辐射以及和s j o h n 2 在讨论光子 局域时，分别独提出介电函数和周期性调制能够影响材料中的光子状态模式，这 种介电函数的周期性结构即光子晶体。此后，光子晶体在理论、实验及应用等方 面得到了全方位深入研究，取得了异常迅猛的发展。尤其是近年来，这一领域发 表的论文数量呈现出几何级数的增长。1 9 9 9 年底，光子晶体的研究还被科学 杂志评选为十大重大进展的领域之一，2 0 0 6 年底，科学杂志的编辑们预测了2 0 0 7 年六大热点科学领域，光子晶体又成为其中之一。因此，对于光子晶体的研究有 重大的理论和实际意义。 1 2 光子晶体的概念与基本特性 光子晶体是一种折射率在空间周期性变化的人工介电材料，根据光( 电磁波) 在空间受到周期性结构的调制作用的方向性，光子晶体可分为一维、二维、三维 结构，如图l 一1 所示。光子在这种介电常数以光波长周期变化的结构中的运动规律 类似于晶体中电子的运动，如果介电系数对光子的周期性调制足够强，在光子晶 体中传播的光子能量也会呈现带状结构，如图1 2 所示，能带与能带之间存在空隙， 也即“光子带隙”或是“禁带”。在这个频率范围内，光子的态密度为零，当入射光 的频率落在其中时被全反射，不能通过光子晶体。如在和图l 一2 色散关系对应的反 射率谱图中，光子禁带的反射率达到极大值，接近l 。在所有方向上任意偏振模式 都存在的光子带隙，被称为完全带隙。在完全带隙中，光子晶体中的原子自发辐 射被禁戒。 图1 - 1 不同的光子晶体结构 0 20 40 80 8 r e f l e c t i v i t y 图1 - 2 一维光子晶体的禁带特性图。左图为色散关系图，右边为反射率一频 率的依赖关系 尽管运动规律相似，都有能带结构，但光子晶体中光子和半导体中电子的性 质并不完全相同。很多方面光子的性能更好，如光子传播速度极快，空间兼容性 好，非电磁性，抗干扰能力强，静止质量为零，不带电荷，可实现交叉通行且具 有并行处理优势等等，光子作为信息载体比电子有更大的应用前景。具体比较如 表1 所示。 表1半导体与光子晶体的比较 半导体光子晶体 研究对象 电子 光子 色散关系抛物线性，e _ ( 2线性，e k 角动量 自旋1 2 ，标量波近似 自旋1 ，矢量波特性 相应能带理论的精度 必须考虑电子一一电子作用 不必考虑光子光子作用 1 3 光子晶体的应用 光子带隙的存在，使光子晶体具有重要的应用前景，可以制作全新原理或以 前所不能制作的高性能器件。 在微波方面，用光子晶体制作的微波天线可以实现无损耗全反射，把能量全 部发射到空中。第一个以光子晶体为基底的偶极平面微波天线1 9 9 3 年在美国研制 成功。此外，利用光子晶体可以抵制某种频率的微波传播的原理，可以在手机的 天线部位制造辐射防护罩，从而避免对人体有害的微波辐射直接照射手机用户的 头部。 在光通信中，用光子晶体制作的光纤优势相当明显，不但能保证能量的基本 完全无损，而且不会出现延迟等影响数据传输率的现象，导波范围和数据传输量 也会增加。利用光子晶体抑制原子或分子的自发辐射还能制作出低阈值甚至是零 阈值的激光器和光子晶体激光二极管。 光子晶体在光电器件方面的应用也相当广泛。光子晶体波导可以解决普通介 质波导在转角处能量损失的问题：用光子晶体制作的超棱镜比常规棱镜的分辨能 力要强1 0 0 到1 0 0 0 倍；用光子晶体制成的偏振器可以在很大的频率工作，体积很小， 且容易在硅片上集成。 用光子晶体制作的滤波器，光延迟器，光开关，光放大器，光聚焦器等等器 件，性能都比传统器件有极大提高。还有一些新型组件也都在探索当中。随着光 子晶体性质的探索和性能的改善，其应用也必将越来越广泛。 1 4 光子晶体的制备 自然界中有天然的光子晶体存在，如一些宝石，蝴蝶翅膀等。还有一种被称 为海鼠的虫状生物毛发，也有光子禁带结构。但是，这些都不是完全禁带，自然界 中没有天然的完全禁带，在实验室和实际应用中，光子晶体都是人为加工得到。 目前光子晶体大多是由无机材料制作。一维光子晶体由于结构相对简单，制 作也较容易，一般来说，用薄膜制备工艺即可完成。目前，薄膜制备技术特别是 光学薄膜制备已经相当成熟，对厚度的控制能达到姗量级，非常适合于制作一维 光子晶体。高维光子晶体的制备相对来说难度较大，方法也比较多，总的来说， 可分为物理方法和化学方法两种。物理方法主要利用半导体微加工工艺及其相关 技术对材料进行机械加工。该方法是最早和最多应用于光子晶体制各的方法，包 括精密加工法【3 - 4 1 ，刻蚀法【5 8 和逐层叠加法 9 1 1 1 等。由于物理方法制作出来的 光子晶体工艺复杂，造价昂贵，又需要多个步骤才能完成，不利于大规模的光子 晶体生产，人们又发展了化学方法，也即现在常用的胶体颗粒( 如硅土颗粒) 自 组织法。此外，蒸气冷凝法 1 2 1 和掠射角沉积法 8 等也能用来制备光子晶体。 1 5 光子晶体的研究现状 光子晶体的概念提出的二十年来，对于它的研究取得了很多的成果，相关领 域的论文逐年增长，有些成果已经实用化，总的来说，光子晶体的研究领域可以 分为三个方面： 一是理论研究方面。目前光子晶体的理论计算方法很多。一些方法限制条件 很多，另一些计算适应性广，但计算过程复杂，计算量大，都不利于光子晶体的 结构设计。因此改进和发展各种新的、更简便、更具针对性的计算光子能带、透 射频谱及电磁场传递的方法，理论设计或优化各种具有完全带隙的光子晶体，也 是光子晶体的重要研究领域。二是三维光子晶体的制备，尤其是引入可控制的点 缺陷或线缺陷的工艺探索。尽管目前光子晶体的制备方法不少，但寻找一种制作 简易、组成单元维度低的制备方法仍然是科学家所追求的目标。如果在光子晶体 中引入点缺陷或线缺陷，它们带来的杂质态，就使导引光波成为可能。引入可控 制的点缺陷或线缺陷，是光子晶体相关领域的重要研究课题。三是设计和制造各 种基于光子晶体的器件。随着研究的深入，光子晶体越来越多的优异性能被发掘 和认识，尽快地将众多“潜在”应用变成现实，对光通讯，微波通讯及光电子集 成发挥作用，也是当前研究的重要课题。 在一维光子晶体理论研究方面，目前大量的研究都集中在新的研究方法的探 索、探讨各种缺陷态的引入所带来的特殊效应、研究新型非电介质材料如负折射 率材料，铁磁性材料等对于光子晶体性能的影响及光子及光波在光子晶体中的行 为，如态密度等。这些研究都取得了一些新的成果，为光子晶体的结构设计提供 了思路，但仍有一些需要进一步探索的领域。如对于扩展禁带方法的探索中，一 般只考虑某个禁带的绝对宽度而忽略了由此而引起的其他禁带变化；全角宽禁带 尤其是可见光和红外波段的全角宽禁带仍然难以实现等等。本论文从这些问题出 发，系统地研究了一维光子晶体的禁带特性及各种材料和结构变化对于禁带宽度 的影响。 1 6 本论文的主要工作 光子晶体尚属于新兴的科研领域，对于光子晶体的研究也还属于初始阶段。 目前光子晶体的工作大都依赖通过数值模拟来定性研究光子晶体的性能，很多结 论往往缺乏相应的物理解释。为从根本上解决光子禁带产生的物理机制及其结构 参数对禁带宽度的影响的问题，本论文从电磁场理论出发推导了普适的传输矩阵 理论和一维二元光子晶体的色散关系原理，得出了计算光子禁带的理论判据。在 此基础上，对一维严格周期层状光子晶体中各结构参数对相对禁带宽度的影响进 行了定量分析，讨论了不同入射方向下的禁带宽度特性，然后以模拟计算进行验 证。传统研究中提到厚度一般采用物理厚度，也即材料的实际厚度值，本论文中， 将直接用与光程相等的光学厚度来表示。对于禁带宽度，也选用了更具参考性的 相对值。 针对实际光子晶体中无法避免的色散和吸收问题，选择将色散和消光系数值 4 j e塞窑垣盍堂亟堂僮迨塞绪论 很高的金属引入到普通介质型光子晶体中形成一维金属一电介质光子晶体，使用 实测值研究了它在可见光和红外波段的光学特性。分别讨论了金属插层引入前后 其反射、透射和吸收率的变化，并且对比分析了其高反带在不同入射方向下的分 布特性。 在一维光子晶体的结构优化设计方面，系统研究了厚度阶跃变化和无序变化。 分析了它们对纯电介质型光子晶体的禁带展宽性。将这两种非周期性结构引入金 属一电介质型光子晶体，讨论了它们对高反带宽度、位置及吸收率的影响。 j e 夏至垣左堂亟堂僮j 金塞= 丝旦塑屋送迸王昌住苤董宽廑的理逾班窥 2 一维周期层状光子晶体禁带宽度的理论研究 2 1 研究方法 光子晶体特性的计算方法很多，如平面波展开法 1 3 1 4 】( p l a n ew a v ee x p a n s i o n m e t h o d ) ，传输矩阵法1 1 5 1 6 1 ( 也叫转移矩阵t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ) ，k k r 方法 1 7 1 8 】( k o r r i n g a - k o h n r o s t o k e rm e t h o d ) ，多重散射理论【1 9 2 0 ( m u l t i p l e s c a t t e r i n g t h e o r y ) ，时域有限差分法 2 1 2 2 】( f i n i t e - d i f f e r e n c e t i m e d o m a i nm e t h o d ) ，n 阶法 2 3 】( o r d e rnm e t h o d ) 等。对于一维光子晶体结构的研究，特征矩阵法计算量相 对较小，精确度好，不但能研究吸收介质和介电常数随频率变化的色散介质，还 能计算反射系数及透射系数，因此得到广泛的应用。 e d 砀 e 1e l e 2h 2 i i n 2 图2 - 1 光在单层介质层中的传播示意目f l 2 4 下面以t e 模( 也即s 偏振光) 为例，用光在介质层中传播的电磁场关系来推 导具体计算公式 2 4 。如图2 - 1 所示，介质层上方空间、介质层及下方空间的折 射率和电磁场分别为( ，e o ，风) ，( n 。，置，q ) 和( n ：，易，吼) ，介质层的厚度为吐。 界面i 上的入射角和出射角分别为岛和q 。 当介质中无自由电荷或传导电流时，根据电磁场边界条件，应用e 、h 的切向 分量在界面两侧连续，可得界面处的电磁场关系： 界面i 处： j 昂2 e - + 晶。巨t + e ：( 2 - 1 ) i h 0 = 皿jc o s o i l 一以lc o s 0 , i = 一lc o s o , l h i r 2c o s e 2 界面i i 处： 易2 e ：+ e 一。巨z + e ：( 2 - 2 ) 【h 2 = 只2c o s 0 , 2 一h ? 3c o s 0 r 32 q 2c o s o f 2 一耳2 c o s o , 2 由于 j b 立銮垣盍堂亟堂焦迨塞 二丝旦翅屋丛蠹王晶佳苤篮宝廑的垄迨硒荭 岛= 谚：= p ：= 目：= 日 e ，2 = e 2 e 嗥 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) 其中4 = 一竺c 一吐c o s q 为两界面间的相位差，毛2 珥为介质层的折射率。 因此( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 式可化为： f 厶= e 。+ e ：扩 k 压扣吩刎刮耻刎 q 。 f 易= e + e ： k 压扣啦虬叫刮驴鸣) q 8 其中。j 意打c o s q 解( 2 8 ) 式可得： b 毋习1e ：吲刚 l e ：= 吾( 易一听1 ) 代入( 2 7 ) 式得： j = 最c o s q 一忉i 1 皿s i n e , 【风= 一i q l 易s i n q + 皿c o s o l 写成矩阵的形式： 阱 慕4 岔点嘲 ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 1 ) 中矩阵 = ! ：! i q 8 , 4 $ 1 n 4c o 研s 三8 i n 点 称为介质层的传输矩阵( 也称为特征l 一 岛岛 j 矩阵) ，它包含了介质层的全部有用参量，为单位模矩阵。其中啊、一是介质 层的折射率和实际厚度，只是光线在介质层中与法线方向的夹角， j e 塞銮垣盔堂亟堂僮盗童二丝旦翅屋达发王晶住筮董宝廑的堡j 盆班荭 4 一知c o s q 一等忡。s q ，吼= j 老石c o s q 。隅可以推模式( p 偏振光) 下的特征矩阵，结果和t e 模式下类似，只是矾2 去百c o s q a 对于有限层介质组成的光子晶体，可用单层介质的特征矩阵连乘，求出整个 介质的特征矩阵。 设光子晶体由n 层介质组成，则入射光场和透射光场可表示成： 圈h o j = k ! = ! t - i q 咂ls i n 。嚣i 1 1 邢j l h “, v + t 休匀酗 矩阵l 尝三l 为n 层介质的特征矩阵。 再结合第1 层和第n + i 层的电磁场方程，即可得反射光子晶体总的反射系数，和 ，：丝! 凸丝1 2 堡坠! l 二丝! 二丝2 2 1 1 1 1( 2 1 3 ) m i l 玎o + m 1 2 叩“+ m 2 l + m 2 2 ，7 + 1 f ： 盈 m l + 肘1 2 q o q + 1 + m 2 l + m 2 2 r , + l ( 仉和叮一为光子晶体两侧的有效导纳) 。 从而光子晶体的透射率t 、反射率r 和吸收率a 分别为 r = ，r ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) t ：t t + ( 2 - 1 6 ) 一= 1 一只一t( 2 - 1 7 ) 对于色散、吸收性材料，要将折射率用相应的对频率有显式依赖关系的复数 来表示。 2 2 一维周期层状光子晶体的光子禁带 对一维周期层状光子晶体结构，一般使用色散关系来计算其禁带。下面从特 韭毫銮垣友堂亟堂焦诠塞二缝周期星趑左王晶链苤堂宽廑的堡论盟殛 考虑两种材料a ，b ( 折射率为别为n a ，b ；实际厚度分别为口，b ) 组成的光 子晶体。对于一束频率为的入射光，由特征矩阵法可得单介质层的特征矩阵为： 托：卜s 皖寺叫 l i t 。s i ns oc o s s o 蚝= 一：三暖一童：三吮 c z 一。， 皖= 一詈厅c o s 吃( 2 - 2 0 ) 一皖= 一詈而c o s 岛( 2 - 2 1 ) 仉2 摇厄c o s 眈m 模) ( 2 - 2 2 ) 2 摇石c o s 见( t e 模) ( 2 。2 3 ) 仉2 按厄c o s 见模 ( 2 。2 4 ) 仉2 按压c o s 吃模) ( 2 _ 2 5 ) 其中乞，毛分别为a ，b 的介电常数，口为入射光在介质中的传输角a e n = 托( 笼卜( 笼 z e ， 其中七为入射波在一个周期中的布洛赫波，d = a + b 为- - 个周期的实际厚度。 其定解条件为：出，( 帆m 一一e 一“) = o 。 j b 立銮垣盔堂亟堂僮盗塞 = 维周翅屋挞当王昌焦筮董宜廑敛醒i 金硒殛 心地一e m = 一i 仉s s i 吒n 皖一奏。s i 皖n 皖 c o s 皖一仉2 - - s i n 皖k “ 一慨s i n 磊c o s 吒j c 。s 皖c 。s 以_ e - “_ 仉r _ z bs i n 色s t n 皖一r ( 竺旦 堕+ 半 、 - f ( 仉c 。s 磊s i n 吒+ c 。s 皖s i n 毛) c o s 吒c 。s 皖一e 一“一薏8 i 1 1 皖s i n 磊， ( 2 - 2 7 ) 削( 虬帆一e 一“) = ( c o s 正一瓯一e ”) 一老s i n 吒咖磊 ( c o s 吒c o s 瓯一e 一“) 一老s i n 吒s 缸五 + r a c o s 磊s m 皖+ f i b c o s 皖s 缸磊) p 翌墅? 竺垒+ 竺旦；监 = + p - ”。一z c o s 屯c m 瓦r “+ 【薏+ 薏j s 血吒s i n 磊e 一“ 地“e o s k a - c o s # o c o s s , + j ( 卺+ 薏 s m 轴叫 ( 2 - 2 8 ) 定解条件可以化为： s 艇= c o s 皖c o s 以一丢l 薏+ 薏j 豳皖咖磊 q 2 ( 2 - 2 9 ) 式即光子晶体的色散关系。 正入射下： 。s k d = c o s 屯口。s 屯a 一三( ：；+ 乏 s 缸吒口s i n 吒。 c z s 。， 其中乞= i 石c ，= , 厄- t o c ( 2 3 1 ) 如果选用钝为参考频率，可以将国对进行归一化：= g 。 归一化后的色散关系为： 一材= c o s ( k 吃) c o s ( 枷s 聃虱嚣筹+ 鲁舞扣* 讣啡胁s 咖他) ( 2 - 3 2 ) 正入射下： c o s k d = c o s 和o s 咿精+ 钞n 枷i n 咿他) ( 2 - 3 3 ) 由于l c o s k d l 1 ，所以l ，( g ) i s l 。当l 厂( g ) 障1 时，色散关系不成立，也就是说 1 0 j e 塞銮垣太堂亟堂鱼途塞= 维厦期屋丛出王晶住茎堂宣廑曲堡迨硒荭 对应频率的光不能在介质中传播，这就是光子禁带区域。 由于乞= 刀。，毛= ，( 2 3 1 ) 式化为： 吒= r a c ，屯= n b c o l c ( 2 3 4 ) 将式( 2 3 4 ) 代入式( 2 - 3 3 ) ，正入射时色散关系可写为： c o s k d s ( n a a 孚) c o s ( n b b 譬) 一；悟+ 刊s i n ( n a 量s i n ( n b b 譬) = s ( g ) c c z h 以j f0 ( 2 - 3 5 ) 口，b 为两种介质的实际厚度，也叫几何厚度或物理厚度，相应的周期d = a + 6 称其为物理周期。n a a ，6 为光在对应介质中的实际光程，称其为光学厚度，对 应的矗= + 6 称之为光学周期。下面将分别讨论各个结构参数对禁带宽度的影 响。 2 3 禁带宽度和光学周期的关系 假设选择的结构周期数大到足以形成禁带结构，下面来讨论相对禁带宽度和 各结构参数的关系。 先讨论两种介质材料光学厚度相同的情况。选取最常用的四分之一波长结构 进行研究。设 口：鱼x n 。 ( 2 - 3 6 ) b ：鱼x ( 2 - 3 7 ) 其中九：2 x 生为参考波长，x 为可调节的参数。那么该结构的光学周期为： 绋 d o = 口+ 6 = 【d - - - x 。考虑正入射的情况，这种结构下的色散关系为： c o s 埘堋( 口了g c o o ) c o s ( n a b g 。o ”。) 一般+ 剖咖( 掣g c r ”o ) s i n ( n a b g 。e a o ) s 等等咿致薏+ 卺 s 访百2 z g 叩咖等咖 。， = c o s 三拖c 。s 三堙一；( 卺+ 芒j s i n j - 豫s i n 詈均 = 厂( 昌) j e 立交道盘堂亟堂鱼论室 二丝周趔屋达出王晶住苤董宽廑的堡丝班冠 上式可化为： 他) c o s 2 三豫一j i 椭2 三姆 小1 1 + - ：”p 三豫 ( 2 3 9 ) 出现杀帝的条件为：_ ，( g ) 1 或，【朗 0 r s i n 2 三z x g 0 所以厂( g ) i 显然无解。 不等式，( g ) 2 ，从而 j i _ 一1 ( 2 4 2 ) 2 + 以 也就是说“判别不等式”有解，光子禁带存在。容易算得解为： 等+ 去g 妄+ ) 一磊u ( 2 - 4 3 ) ( 其中“= a r c c 。s ( 1 一i ，n 为任意整数) 而禁神l , 为g o = 半。 单个周期( 可算得函数c o s 石珞的周期为委) 内的禁带宽度为丛宁。 若考查归一化频率范围( u ，) ，那么( u ，u 2 ) 内的总禁带宽度为： 矿：2 ( i z - _ u ) u t - u x ：z - u ( u ：一u ) ( 2 - 4 4 ) 2 x 死x 7 1 “ 令相对禁带赦为：2 南 那么 2 j k 塞窑适叁堂亟堂焦迨塞二丝周期星达迸王晶签笠堂杰廑笪垄垃班珏 = 垡 其中： “= a r c c o s ( 1 一击) 月：生+ 塑 ( 2 - 4 5 ) ( 2 - 4 6 ) ( 2 - 4 7 ) 由于式( 2 4 5 ) 的表达式中不含x ，也就是说相对禁带宽度不随光学周期 以变化。由光学厚度相同的材料组成的光子晶体材料，不同的光学周期不影响其 相对禁带宽度。 用得到的结果对文献【2 5 】中的结构进行计算，归一化频率和相对禁带宽度的关 系如图2 2 所示。由公式( 2 4 5 ) 式计算出来的相对禁带宽度( 图2 2 系列b ) 为常 数o 1 6 7 。直接用传输矩阵法和色散关系的计算为图2 2 中系列a 。可以看出，归 一化频率0 附近，相对禁带宽度值不稳定，这是由计算机的计算误差造成。随着x 的增大，的值趋向稳定，始终在o 1 6 7 附近做小幅振荡，两种计算结果在误差 范围内一致。 一 ，n l w b 陈 。 一 yy 1 。 2 46 归一化臻搴 图2 2 采用文献 2 4 】中的结构计算出来的归一化频率和相对禁带宽度的关系。其 中a 系列为直接采用色散关系的计算结果，b 系列为采用精简后的公式( 2 4 5 ) 的 计算结果。 以上结果与文献【2 4 】上的结论也相符。取x = 1 ，那么禁带中心频率为g o = 2 n + l ( n 为任意整数) ，也即奇数处。 ! 詈 ! 詈 哪 劐睾# 智罂 j 立窑通太堂亟堂僮监塞= 缍围翅星挞堂王晶住苤堂宝廑曲堡迨班蠹 2 4 禁带宽度和折射率比、光学厚度比的关系 由于“= 8 f c c 0 s ( 1 一- l ) ，而月= 生+ 生，所以对于一维二元光子晶体，增大 2 + n n a 两种材料的折射率比时，“减小，从而相对禁带宽度= ! ! 兰增大。 石 f 。 。 f o15 3 d ，j j 膏折* 率m 折# 图2 3一维二元光子晶体中，折射率与相对禁带宽度的关系。左图保持低折 射率不变，增大高折射率，右图反之。 由于月只与物质的折射率有关，所以如果保持每层介质的光学厚度不变，增加 高折射率物质的折射率( 相应的物理厚度减少) 或减少低折射率物质的折射率( 相 应的物理厚度增大) ，光子晶体的禁带宽度都会增加，如图2 3 所示。 再来讨论光子禁带和光学厚度比之间的关系。由前面的结论，周期层状结构 光子晶体中，光学周期不影响相对禁带宽度，为简化计算，取x = 1 ，也就是保持 】 单周期光学厚度为拿，设a ，b 两种材料的单层物理厚度分别： 口= 鲁( 1 + d ) 6 = 鲁( 1 - 0 ) ， ( 2 - 4 8 ) ( 2 4 9 ) 那么通过调节“。”就能在保持光学周期为或= n a a + 6 = 鲁不变的情况下调 节两种介质的光学厚度比坐，称“d ，为光学厚度比的调节参数，而这种研究方法 l 一0 则称为“参数调节法”。由于a ，6 均大于o ，所以h 1 。此时，色散关系为：。一 1 4 i i 芦 丑 ” ” - * 臀# g 扯壶銮通太堂亟堂焦途塞 二维厘翅屋丛左王晶住茎堂宽廑的堡迨硒蠹 c 。s k 矗= c o s 吒n c 。s 吒。一；c ；：+ 鲁j s 曲屯。s 访吒a s 警咿c o s 等咿圭睁+ 剖s i n 百2 z g 懈i n 等咖 = c 。s 三c ，+ 。，g c 。s 三c - 一。，g 一；【；i + 卺j s i n 詈c + 。，gs i n 三c 一。，g 2 5 。 2 + 月2 一n 2 f 嘶g + f 淄”d g = r r p 、 其中h ：生+ 生。 d c o s z o g 是个偶函数，所以绝对值相同的0 值对应同一个f ( g ) 函数。由于 1 0 i 1 ，所以一段较小的频率范围内，f ( g ) 的值由周期较小的函数c o s z g 决定。” 由两种材料的折射率比决定，受实际材料的限制( 一般用于制备的材料高折射率 不大于2 6 ，低折射率不小于1 3 5 ) ，一般为大于2 小于3 的数，因此l 兰l b o ，所以4 ：6 时有竺 竽，也就出现 o o 了两图中相同阶跃度下图4 - 3 比图4 - 2 中对应的禁带宽的情况。 由于禁带的展宽是由禁带边缘的振荡峰的反射率提高丽引起的，而振荡峰的 个数由周期决定，因此，禁带展宽程度和周期数有关。 7 1 厂广r t t _ 丁 薯枷：必剑；呱幽凸刎。b 出趔l ! i 必凸凸倒! l ! l 选必丛型y l 01 1 5 1 1522 5 3 3 5 5 5 v , h v 0 00 5 522533 5 4 5 5 t y p e 0 k l , q 0 00 51527 - 533 , 544 55 图4 4 严格周期层状结构光子晶体在不同周期下的反射谱 图4 5a a = a b = l o n m 时不同周期下厚度阶跃变化的光子晶体的反射谱。 ，o 帖o e e 鬻黧 哮雩簿 翟翟噩 ，o ， o ，o e e e j e 复銮亟盔堂亟堂焦监塞韭旦翅世左王晶住的苤堂挂世 图4 4 和图4 5 分别为周期结构和阶跃结构光子晶体不同周期的反射谱。对于严 格的周期性光子晶体，周期数仅改变透射带内的振荡峰的个数以及带边的形状， 不改变禁带宽度，并且每个禁带的宽度相同。而在厚度阶跃变化的光子晶体中， 随着周期数的增大，透射区内的振荡峰逐渐增多，禁带边缘由于反射率升高而变 成禁带的振荡峰也增多了，因此禁带得到展宽，并且周期数越大，禁带展宽性越 好，带边也越平滑。因此，厚度阶跃变化对于周期数较大的一维光子晶体的禁带 展宽更有效。 4 3 厚度的阶跃变化与金属一电介质型光子晶体 由前一节的讨论知，厚度的阶跃变化对电介质型光子晶体有禁带展宽性，且 周期数越大，展宽效果越明显。下面来讨论在金属一电介质型光子晶体中，厚度 的阶跃变化对其光学特性的影响。为便于比较，仍然使用第三章中的结构 【s i ( 4 6 n m ) s i 0 2 ( 6 0 h m ) a l ( 3 0 n r a ) $ i 0 2 ( 6 0 h m ) r 进行讨论。 先看平均厚度不变的情况下，各组分的阶跃变化时的反射和吸收谱。计算结 果如图4 - 6 ，4 - 7 ，4 8 所示。 捷 f o i i k c 4 圈t “冒 w 日吲e 时吖n m ) j 。l ” 图4 6 一，层阶跃变化时【豇( 4 6 一m ) 成d 2 ( 6 0 一) ，f s 峨( 6 0 一) 】5 结构的反射谱 和吸收谱。 j e 夏至塑太堂亟堂焦丝塞韭厦期世堂王晶链的苤堂挂世 谱。 匿 4 - 7 s d 2 层 r 7 1 = 二= 了习 “蝗羁 弗f 毒- - - 囱_ 鞫。o ：瓯j 习 磐r 音爿2 分素亏 斜 匿“ 匮 一 w m d f q h ( 帅j 哺叫州忡) 阶跃变化时陋( 4 6 n m ) a l ( 3 0 n m ) s i 0 2 5 结构的反射谱和吸收谱。 匿一；圈 删 - 茹一：严“茹们二y 删 匿一i 西 删 = 茹竹：严“：；k r 。删 n 匿一 匿o i ： o b ：= 三二! ：= 】 1 1 4 - s 层阶跃变化时陋，& d 2 ( 6 0 n m ) a l ( 3 0 一m ) ，d 2 ( 6 0 m ) 】5 结构的反射吸收 图4 6 ， ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 4 7 ，4 8 三个反射、吸收谱组表明： 和严格周期性结构相比，平均厚度相同的金属介质型光子晶体在爿z 层或所d 1 层的分布变成阶跃式时，高反带逐渐缩小，这与前面讨论 过的纯电介质型光子晶体正好相反。 在1 0 0 0 n m 长波方向，反射率随阶跃度的增大而降低，相应的吸收率 则随阶跃度的增大而升高。阶跃度相同时，相对变化越大，吸收率 的增大越明显，这与前面纯电介质型光子晶体一致。 由第二章的讨论，4 0 0 h m 附近的吸收带由威引起，因此当的厚度 阶跃变化时，这个吸收带也发生了变化，逐渐向短波方向移动，阶 跃度越大，移动越快。 j b 立交适盔堂亟堂焦迨塞韭旦期丝迸王晶住的苤董挂丝 图4 9 爿，层阶跃变化时陋( 4 6 一m ) 所d 2 ( 6 0 n , , ) a h s r o ：( 6 0 m ) 】1 1 结构的反射、 吸收谱。 谱。 l 厂e 鞠甚黟 霞 f 4 l 瑚l 1 虱4 - 1 0 d 2 层阶跃变化时阻( 4 6 n m ) s i 0 2 a l ( 3 0 n m ) 研d 2 】1 l 结构的反射、吸收 m 4 - 1 1 研层阶跃变化时【口0 2 ( 6 0 n m ) a i ( 3 0 n m ) 豇d 2 ( 6 0 n m ) 】结构的反射、 吸收谱。 j b 立窑亟太堂亟堂焦迨塞韭围甥丝光王昌盐鲍苤堂挂丝 为了讨论周期的影响，计算了不同周期下，厚度阶跃变化的一维金属一介质 型光子晶体的反射和吸收谱，结果如图4 9 ，4 - 1 0 ，4 - 1 1 所示。 通过对比可以发现，周期同样会影响金属一电介质性光子晶体的特性。彳，层 或s i o , 层分布变成阶跃式时，周期越大，长波方向的反射率下降和吸收率上升越 明显。所层阶跃变化时，周期越大，短波方向的吸收带偏移越快。总的来说，厚 度阶跃变化会影响一维金属一电介质型光子晶体的吸收性能，但不能扩增大其高 反带宽度。 4 4 厚度无序对一维电介质光子晶体的影响 在所研究的结构中，其中一种组分或者所有组分的厚度不固定，而是随机变 化的称之为厚度无序的光子晶体。无序度 3 6 定义为： 斤f 一 d = ，寺( 口( f ) 一口。) 2 + ( 6 ( 力一b o ) 2 ( a 。+ 6 0 ) i ti = l 其中口( f ) 和6 ( f ) 分别是第i 层高，低折射率层的厚度，和分别是第i 层高， 低折射率层的折射率。i 的值从i 至i j n ，n 是总周期数。和b 0 是口( f ) 和6 ( f ) 的平均 厚度。有研究表明 3 4 ，选择合适的结构，一定的无序度将可以使一维光子晶体 禁带出现展宽。如对于0 2 ( n = 1 4 5 ) 【3 7 】和聚苯乙烯( n = 4 6 ) 3 8 组成的光子晶体 材料