（基础数学专业论文）尺度向量的整体支撑.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 摘要 设( 功= ( 办( x ) ，欢( x ) ，痧o ) ) r 是尺度向量，即满足矩阵加细方程 o ) ：羔g 痧( 2 x n ) ( 1 ) ，且它是紧支撑在1 9 9 8 年d k r u c h ，w s 。和j w a n g 【a p p l c o m p h a r n l o n i ca n a l 1 9 9 8 ，5 ，4 9 3 - 4 9 8 】研究了尺度向量的支撑和整体线性无关的联 系，得到了当矽( x ) 是一个整体线性无关的尺度向量时，s u p p ( ) = 【o ，】的一个充要条 件是c o 和c 都不是幂零矩阵本文在矽 ) 是一个整体线性无关的尺度向量条件下， 考虑了c o 或c 。为幂零矩阵时尺度向量的支学，并找到了s u p p ( ) = 孑与， 的一 个充要条件本文所作的工作可视为对d k r u c h ，w s o 和j w a n g 所作研究结果的推 广 关键词：尺度向量；支撑；整体线性无关 a b s t r a c t a v e c t o 卜v a i u e d 角n c t i o n ( 功= ( 磊( 力，欢( x ) ，谚( 功) 7 ( x 又) ，i s s a i dt 0b ea s c a l i n gv e c t o ri f i t i s c o m p a c t l ys u p p o m da i l d s a t i s f i e sf o l l o w m gm a t r i xr e f i n e m e n t e q u a t i o n 矿( x ) = q 矿( 2 x 一聆) w i 廿l 1 h = o d k r u c h ，w ：s oa n dj w r a n g 【a p p l c o m p h a n l l o n i ca n a l 5 ( 19 9 8 ) ，4 9 3 - 4 9 8 】h a v e a d d r e s s e dt h er e l a t i o n s h i pb e 咐e e nc o n v c xs u p p o r t 觚dg l o b a l l yl i n e a ri n d e p e n d e n c eo fa s c a l i n gv e c t o ra i l df i n das u 伍c i e n ta i l dn e c e s s a 叮c o n d i t i o n sf o rs u p p ( ) = o ，】i f 锄d o n l yi fc 0a n dc a r en o tn i l p o t e n t ，w h e n( x ) i sag l o b a n yl i n e a r l yi n d e p e n d e n t s c a l i n gv e c t o r i nt h i sp a p e r 、w i ue 】( t e n dt h e i rr e s u l tt ot h ec 嬲et h a tgo rc i sn i l p o t e n ta n d f m das u 伍c ；e n t 舭dn e c e s s a 巧c o n d “；。n sr o r s u p p ( ) = 歹与， t h e 曲t a j n e d r e s u l t sc 锄b ev i e w e da u ss u p p l e m e n t st ot h ew o r ko fd k r u c h ，w s oa n dj w - a n g k e y w o r d s ： s c a l i n gv e c t o r ；s u p p o r t ；g l o b a l l yl i l l e a ri n d e p e n d e n c e 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 冲垮蚕 i 魄舻岛日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作槲：撕耋 b 翔：豸辞f 蜀b 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回意途塞握銮后溢卮；旦圭生i 旦二生；旦三生发查! 名：郯唿 嘲：渺咖日 导师鲐厶每缸 硕士学位论文 m a s t r st h e s i s 第一节引言及主要结果 小波分析是近三十年来发展起来的一个新兴学科，为了获得兼有连续性、正则 性和短支撑的小波，g e r o n i m o j s ，h a r d i n d p 和m a s s o p u s t p 【a p p m x t h e o 叫，1 9 9 4 ，7 8 ( 3 ) ： 3 7 3 4 0 1 】使用分形插值函数构造出g h m 一多重小波其中，由于多重小波具有优良的 特性而被广泛应用在图像压缩，信号处理，积分方程求解，微分方程求解等方面 多重小波的分解是满足矩阵加细方程的尺度向量来完成的，尺度向量的支撑以 及线性无关性在多重小波的分析研究中起着至关重要的作用当我们讨论， 1 的小 波时，两个常见的向量加细方程变成了一个，厂阶矩阵加细方程，且向量函数变成了 尺度向量，即向量函数( x ) = ( 办( x ) ，唬( x ) ，方 ) ) 7 ( x 尺) 是紧支撑的，并满足下 面的矩阵加细方程 ( x ) = g ( 及一一) ( 1 ) ， j ，：o q 为r x r 阶矩阵，则称向量函数( 功为尺度向量 而支撑是研究尺度向量的一个重要手段，定义( x ) 的支撑为 s u p p ( 痧) = x r ：( x ) o 在19 9 8 年，d k r u c h ，w s o 和j w a n g 在这方面做了以下工作，即 引理1 假设( x ) 是一个整体线性无关的尺度向量时，s u p p ( ) = o ，】当且仅当 g 和c 都不是幂零矩阵。本文考虑当c o 或c 为幂零矩阵时的情形，这里只考虑c o 为具有以下j o r d a n 标准型形式，即 c o = 这里“) ：= 。是j o r d 锄块矩阵，即 以+ l o 10 并且，五，五0 1 ) 都是m m 阶矩阵 记 f ，搬 i，】 见= 1 ：1 m l ： ( 2 ) 其中出是矩阵c 1 的第i 行，第j 列值 下面就是本文所得到的相关结论 定理2 假设( x ) 是一个整体线性无关的向量，c o 为m 次幂零矩阵，且具有( 1 ) 的形式，见具有( 2 ) 的形式，则 唧附) = 击， 当且仅当d m 和c 都不是幂零矩阵 特别地，当s - l 时， 唧形) 击， 当且仅当嗽o 且c 不是幂零矩阵 定理3 若矽( 功是一个整体线性无关的尺度向量，c o 具有( 1 ) 的形式，且s _ 1 ，矩 阵c l 的第一行c 搿o 且础= o ( 2 f ，) ，并且c 不是幂零矩阵，则 哪= 击， 2 ， 朋 小 如故；也譬 第二节预备知识 为了证明主要结论，我们需要下面的一些基本定义及引理作知识准备 定义2 1 设向量函数( 力= ( 孬( 曲，杰( 力，力( 瑚7 为x 天上的紧支撑，并满足下面 的矩阵加细方程 矽( x ) = g ( 2 x 一刀) ( 3 ) 则称向量函数( x ) 为尺度向量，这里c 为r r 阶矩阵，且1 定义2 2 定义矽( x ) 的支撑为 s u p p ( 矽) 2 x r ：( x ) o ) 定义2 3 如果 o 一七) ) 二的线性组合为o ，即 ： 一七) = o 则有所有系数 ) 均为o ，这里为r 维向量，即 = o 且对任意的k 都成立，那么就称矽( x ) 是整体线性无关的 定义2 4 对矩阵c ，若有 c 一1 0 且c = o 则矩阵c 为七次幂零矩阵 设兄o ，域，d 为矩阵，这里d 第一列具有加r = 【见o 0 】的形式。给 定整数七0 ，都能够找到一个整数f ，使得后 2 ，我们定义一个行向量 鳓= ( 护区排， 3 这里 硕士学位论文 m a s l e r st i 1 匠s i s 础力= 一，”喜吡。砖) d ( j j ，f ) = ( 毛，毛) ：毛2 卜= 七，o 砖 l ，= l j 因为七 2 ，l ，则有d ( 七，f ) 矽 汪葸，如果七 21 2 町，则有 d ( 七，乞) = ( o ，o ，墨，氏) ：( 毛，毛。) d ( 后，f 1 ) ) ， 此时有： 蚴= ( 舻r 陬硼 = ( 去) 屯p r 。咄吨，d d 一d 一 = ( 去) 屯饥巩】( f 2 1 ) 。”，巩一巩一 = ( 北) p r 陬鹕 = ( 舭，陬梆 = ( f 1 ) 即有：当后 2 1 2 也时， ( f 2 ) = ( f 1 ) 。 由此可知( f ) 只与七有关而与芒无关 当七= o 时，取乒1 ，有d ( o ，1 ) = 1 ) ，则 = 丢p 7 1 巩= p r 0 4 引理2 5 如果甲满足 甲( x ) = 砬甲( 2 x 一七) 当x ( 一万，) 时( 0 j o 或者r 我们将用引理2 5 的思想来证明当r o 与的整体线性无关相矛盾的证据与之相似) 因为 c 不是幂零矩阵，就存在一个可逆矩阵s ，使得矩阵踞s 。1 的第一行为 知r = mo o 】这种形式，这里元o 令 甲( 力= - 跏( z ) ， 则 s u p p ( 甲) = s u p p ( 剐) 二s u p p ( ) = 【厶刚 甲( x ) = 砬甲( 2 x 一后) 七= 0 8 硕士学位论文 m a s t f r st h e s l s 这里砬= 瞩s 一因为r ，存在0 万 l 时， s u p p ( ) = 害鲁，鲁 c i 和气不是幂零矩阵 当且仅当c i 和c 2 不是幂零矩阵 证明：过程与引理2 9 相似，这里略去不证 硕士学位论文 m a s r e r st h e s l s 第三节尺度向量的整体支撑及相关证明 若向量函数( x ) = ( 办( x ) ，唬( x ) ，力( x ) ) 7 ，( x r ) 是紧支撑的，并满足上而的矩 阵加细方程( 3 ) ，则称向量函数矽( 功为尺度向量尺度向量主要是通过支撑来研究的 记( 砖的支撑为 s u p p ( ) = x 尺：( x ) o ) 。 1 9 9 8 年，d k r u c h ，w s o 和j w a n g 在这方面做了以下工作，即 引理l 假设( x ) 是一个整体线性无关的尺度向量时，s u p p ( ) 一【o ，】当且仅 当c o 和c 都不是幂零矩阵本文考虑当c o 或c 为幂零矩阵时的情形，这里只考 虑c o 具有( 2 ) 的形式设 ) 是一个整体线性无关的尺度向量时，找到了 s u p p ( ) = 虿与， 的一个充分必要条件，即定理2 定理2 假设( x ) 是一个整体线性无关的尺度向量，c o 为m 次幂零矩阵，且具 有( 1 ) 的形式，见具有( 2 ) 的形式， s u p p ( 俨 击， 当且仅当见和c 都不是幂零矩阵 特别地，当s = 1 时，时， 呻_ 击， 当且仅当叱o 且c 不是幂零矩阵 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 证明：由引理2 1 0 有 甲 ) = 掣甲( 2 ”工一口) 这里 q 哪= 四= o ，c f ”1 = 四q = o q 奠。) = 簖不是幂零矩阵， 并且矩阵q ”= 叮1c l 的第m 行，第2 m 行，第s m 行是矩阵c l 第m + 1 行，第( s 1 ) m + l 行对应的值，其它行为0 很容易得到： s u p p ( 惦 击， 由引理2 1 1 知道，q ”和q 奠物都不是幂零矩阵时，当且仅当 唧咄) _ 击， 这里，矩阵d 卅有非零的特征值时，当且仅当 q 呐= 凹一c l 不是幂零矩阵 本文还迸一步阐述了当g 不是幂零矩阵时的情况，设o ) 是一个整体线性无 关的尺度向量时，找到了s u p p ( ) = 可与， 的一个充分必要条件，即定理3 3 定理3 3 若矽( 功是一个整体线性无关的尺度向量，c o 具有( 1 ) 的形式，且s _ l ， 矩阵c l 的第一行哪o 且四= o( 2 f r ) ，并且c 不是幂零矩阵则 呻形) 南， 证明：由引理2 1 0 可以得到 1 3 注意到 ( 矿一1 ) 矽( 功= 掣( 2 ”x 一口) 口= 0 a ”d = 四”= o q ” = g c l = o c 卅+ 1 = g c 2 + 四一q c 0 = c 孑一c l c o = o 其中g - 1 c l 的第m 行是c l 的第一行，曰_ 1c 1 的其它行为o 另外我们有 c 5 删) ：四c 3 + 曰一一c l ：四一一砰：r ( 出) 2 lo 不是幂零矩阵并且q 爿! 。) = 四“也不是幂零矩阵 由引理2 1 1 可以得到： s u p p ( ) = 3 2 m “一1 1 4 硕士学位论文 m s t e r st h e s l s 参考文献 1 】p r m a s s o p u s t ，d k r u c h ，p j v a nf l e e t o nt h es u p p o r tp r c i p e r t i e so fs c a l i n g v e c t o r s 【j 】。a p p l c o m p u t h a r m o n i ca n a l 1 9 9 6 ，3 ，2 2 9 2 3 8 【2 】d r u c h ，w s o ，j w a n g g l o b a ls u p p o r to fas c a l i l l gv e c t o r 【j 】a p p l c o m p u t h 删o n i ca n a l 19 9 8 ，5 ( 4 ) ：4 9 3 4 9 8 【3 】d r u c h ，j w a n g c o n n e c t i o n sb e t w e e nt h es u p p o r ta n dl i n e a ri n d e p e n d e n c eo f r c f m a b l ed i s t r i b u t i o n s 【j 】j a p p r o x 7 n l c o 巩19 9 8 ，2 ( 3 ) ：4 7 2 4 8 5 【4 】w s o ，j w a n g e s t i m a t i n g t h e s u p p o r to fas c a l i i i gv e c t o r ，s i a m 四j ma _ 仃i xa n a l a p p l 19 9 7 ，18 ( 1 ) ：6 6 - 7 3 【5 】c h u i ck 小波分析导论 m 】程正兴译西安：西安交通大学出版社，1 9 9 4 6 】z h a n gn ，w ux l o s s l e s sc o m p r e s s i o no fc o l o rm o s a i ci m a g e s 叨 i e e e1 h n s i m a g ep r o c e s s i n g ，2 0 0 6 ，1 5 ( 1 6 ) ：1 3 7 9 - 1 3 8 8 【7 】e 缸1 0 m o v i c hs ，l a k e yj ，p e r e y i am ，e ta 1 d a t a d i v e n a n do p t i m a ld e n o i s i n go fa s i g n a lu s i n gm u l t i 、v a v e l e t s 【j 】i e e e1 r a n ss i g n a lp r - 0 c e s s i n g ，2 0 0 4 ，5 2 ( 3 ) ：6 2 8 6 3 5 8 】k a n e k oh ，n o r e nd 心n o v a p r a t e e pb w a v e l e ta p p l i c a t i o n st o 廿l ep e t m v g a l e r k i n m e t h o df o rh a m m e r s t e i ne q u a t i o n s 【j 】a p p ln u m e r m a t h ，2 0 0 3 ，4 5 ( 2 ) ：2 5 5 2 7 3 【9 】g e r o n i m o j s ，h a r d i n d p ，m a l s s o p u s t p f r a c t a lm n c t i o n sa n dw a v e l e te x p 锄s i o n sb a s e d o ns e v e r a lf h n c t i o n sp 】a p p r o x t h e o q ，l9 9 4 ，7 8 ( 3 ) ：3 7 3 - 4 01 【1o 】x i axg ，s u t e rbw v e c t o r - v a l u e dw a v e l e t s 锄dv e c t o rf i t e r b 觚l 【sr j l i e e et r a n s s i g n a lp r o c e s s i n g ，19 9 6 ，4 4 ( 3 ) ：5 0 8 5l8 【l l 】c h e nq ，c h e n gz ，w a n gc ，e x i s 钯n c e 锄dc o n s t m c t i o no fc o m p a c t l ys u p p o r t e d b i o r t h o g o n a im u l t i p i ev e c t o r - v a l u e dw a v e l e t s 【j 】j o 啪a lo fa p p l i e dm a m e m e a t i c s a n dc o m p u t i l l g ，2 0 0 6 ，2 2 ( 3 ) ：1 0 l - 1 1 5 ， 1 5 硕士擘住论文 m a s t f r s