（基础数学专业论文）阶方程元阶型最高阶元的个数与有限群.pdf

阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群 中文摘要 阶方程，元阶型，最高阶元的个数 与有限群 中文摘要 我们知道在有限群中类方程对群的结构有很大的影响，例如，可由类方程决定阶 最小的单群a ( 见文【1 】6 2 厕如果把同阶的共轭类合在一起就得到了阶方程， 即按阶相等作为等价关系划分群元素得出的方程显然阶方程是群的一种粗划分施 武杰教授在文【2 l 中最早提出阶方程的概念与阶方程相关的是著名的t h o m p s o n 问 题有限群g l 与g 2 称为同阶型群，若i 舰( g 1 ) i = i m , ( g 2 ) i ，t = 1 ，2 ，3 ，其中： 舰( g ) = 扛g ：= 1 ) t h o m p s o n 问题；设g 1 与g 2 为同阶型群，若g 1 可解， 那么g 2 是否也可解? t h o m p s o n 问题自1 9 9 0 年由施武杰教授在文【3 】中公开后，没 有人给出证明，也没有人给出反倒，可见t h o m p s o n 问题的解决将是十分困难的 本文第二章将根据阶方程来刻画某些特殊线性群如( 2 ”) ，其中m = 2 ，3 ，4 ，5 本 文第一章所用的术语回f 1 】，特别地，我们用死( g ) 表示群g 的元素的阶的集合型相 同阶方程必相同，因此本文将有利于t h o m p s o n 问题的解决 文阻7 】研讨了最高阶( k 阶) 元素的个数i m ( g ) i 对有限群的影响，证明了当 i m ( g ) i = 2 ，2 z + l ，印，印2 白素数) ，i m ( g ) l 引理2 4 ( 【1 l 】) 设g 是偶数阶的2 - f r o b e n i u s 群，则g = a b c ，其中a b 为 f r o b e n i u s - 群，a 为其核，b 为其补b c 也为f r o b e n i u s - 群，b 为其核，c 为 其补而且 ( 1 ) t 【r ( g ) l = 2 ，7 r ( b ) = 丌2 和丌( a ) u - ( c ) = 霄1 2 阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群 第二聿某些l 2 ( 2 m ) 的新曩i i 画 ( 2 ) b ，g 都是循环群，而且满足l c l li a u t ( b ) ，a 是幂零的 ( 3 ) g 可解 引理2 5 ( 【1 2 1 ) 设g 是个有限群，它的素图分支大予一个，则g 有下列情形 之一。 ( 1 ) g 为f r o b e n i u s - 群或2 - f r o b e n i u s - 群 ( 2 ) g 由一正规列t1 粤h 璺k 璺g ，使得，日和酬是n l 群，其中吼是含2 的素图分支日是幂零群，且i g k li a u t ( k h ) i 引理2 6 ( f 1 3 】) 设g 是2 4 3 6 7 矿阶单群，p 为素数，p 2 ，3 ，5 ，a b c 0 ， 则g 同构于下列单群之一a 7 ，a ，山，m n ，m n ；厶2 ( g ) ，q = 1 1 ，1 6 ，1 9 ，3 1 ，8 1 ，l s ( 4 ) ， 厶( 3 ) ，岛( 2 ) ，矾( 3 ) ，玩( 2 ) 特别地，p = 1 7 ，则g 笺, 2 ( 1 6 ) 引理2 7 ( p a l ) 设g ：是2 a 1 1 矗矿1 ，阶单群，p ，窖为异子2 和1 1 的相异素 数，口6 甜0 ，则g 同构于下列单群之一，m 1 1 ， 纯，l 2 ( g ) ，g = 1 1 ，2 3 ，3 2 ，2 4 3 ，沈( 2 ) 特别地，伽，g ) = 1 1 ，3 1 ，则g 型如( 3 2 ) 引理2 8 ( 【1 0 1 ) g 为单j g 群，则g 同构于下列群之一一如( 阶为2 2 3 5 ) ， 也( 阶为2 3 3 2 5 ) ，岛( 7 ) ( 阶为2 2 3 7 ) ，厶( 8 ) ( 阶为2 3 3 2 7 ) ，厶( 1 7 ) ( 阶为2 3 2 1 7 ) ， 上，3 ( 3 ) ( 阶为2 t 铲1 3 ) ，现( 3 ) ( 阶为2 5 3 3 7 ) ，矾 ) ( 阶为2 6 3 4 5 ) 引理2 9 ( 【4 】) 设g 是一有限群， 七为g 的最高阶元素的阶， m ( g ) = 扛 a l l i z i = 七) 令g , 0 i 5 ) 是g 中七阶循环子群共轭类的个完全代表系，并且 设k 所在共轭类的轨道长为啦= l g ：g ( k ) 1 于是有i m ( g ) l = 妒( 七) h ，妒是欧 拉函数 引理2 1 0 设z = p l 口- 如是自然数正的标准素因子分解， 则z 的欧拉函数值为妒 ) = 1 - i 慨一1 ) 鼽口t 引理2 1 1 ( 【2 1 1 ) 方程妒( 2 ) = 2 p 0 素数) 的解z 为。 ( 1 ) 当p = 2 时，z = 5 ，8 ，1 0 ，1 2 ( 2 ) 当p = 3 时，z = 7 ，9 ，1 4 ，1 8 ( 3 ) 当p 5 时， 若g = 2 p + l 为素数，则方程垆( z ) = 2 p 有两个解zz = g ，2 吼 若g = 2 p + 1 不是素数，则方程妒0 ) = 助无解 引理2 1 2 ( 4 1 ) 若j m ( g ) j = 妒( 七) ( 即n = 1 日寸) ，g 为超可解群 3 阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群 第二章某些l 2 ( 2 m ) 的新刻画 引理2 1 3 ( 【1 0 】) g 是单飓群，则g 只能同构于下列单群之一， a 5 ( 阶为2 2 3 5 ) ，a ( 阶为2 3 3 2 5 ) ，厶2 ( 7 ) ( 阶为2 2 3 7 ) ， l 2 ( 8 ) ( 阶为2 3 3 2 7 ) ，l 2 ( 1 7 ) ( 阶为2 4 3 21 7 ) ，l 3 ( 3 ) ( 阶为2 4 3 41 3 ) ， 魄( 3 ) ( 阶为2 5 3 s 7 ) ，观( 2 ) ( 阶为2 6 3 4 - 5 ) 引理2 1 4 ( 【1 4 】) 若七为素数，则砷n + 1 引理2 1 5 ( 【1 4 】) 存在正整数n ，使得i c l l m k n 引理2 1 6 ( p 5 1 ) 设i g l = 2 p ，p 为奇素数， ( 1 ) g 垡 ( 2 ) g = ，a p = b 2 = 1 ，b - 1 a b = a g 同构于下列群之一t 引理2 1 7 ( 1 5 1 ) 设i g l = 卸，p 为奇素数，则g 同构于下列群之一 ( i ) g 筌一 ( 2 ) g 皇 x x ，口2 = 铲= = 1 = c l ，6 】= 【口，c 】= 【b ，c 】 ( 3 ) g 筌 ，a 2 p = 1 ，垆= l ，6 1 a b = o - 1 ( 4 ) g = ，口2 p = l ，6 2 = a t ，6 _ 1 a b = 口一1 ( 5 ) - g = ，a p = l = 6 2 ，矿1 a b = 口，孑= 6 西= kc - 1 0 c = 矿， 忌2 兰1 ( 6 ) g = ，口2 = 6 2 = = 1 ，c - 1 口c = b ，c - - 1 6 c = a b = h 此时p = 3 数 引理2 1 8 ( 【1 5 】) 设i g i = 2 矿，p 为奇素数，则g 同构于下列群之一 ( 1 ) g = ，= 1 ， ( 2 ) g = x x ，a p = 6 p = c 2 = l ，【口，6 】= f b ，c l = b 口l = l ， ( 3 ) g = ，扩= 1 = 6 2 ，b - 1 a b = 口- 1 ， ( 4 ) g = 口，6 ，c ，a 尹= 6 p = c 2 = k ，6 | = 1 ，c - 1 口c = 口一1 ，c - 1 b c = 矿1 ( 5 ) g = ，矿= 垆= c 2 = 陋，6 】= l ，c - 1 a c = 口c - 1 b c = 6 1 引理2 1 9 ( 【1 7 】) 设g = ，则其i 阶元的个数为妒g ) ，其中l 】p ( i ) 为欧拉函 引理2 2 0 设g 为有限群，若i 夕l i = n l ，i 鲰i = 扎2 ，1 ，砌) = 1 ，g i 9 2 = 夕2 夕l ，则 l 夕l 夕2 | = n l 嘞 2 3定理的证明 在本节中，我们给出以上定理的证明 4 翻r ：, y s z ，元阶型，最高阶元的个数与有限群 第二章某些l 2 ( 2 m ) 的新刘西 定理3 1 的证明必要性显然，下证充分性因为g 的阶为2 2 3 5 ，g 中必有1 ，2 ， 3 ，5 阶元，于是由阶方程知，丌e ( 回= l ，2 ，3 ，5 ) ，由引理2 1 可知zg 垡l 2 ( 2 2 ) 垒a 5 定理2 2 的证明必要性显然，下证充分性由阶方程知，g 的元素的阶除1 ，2 ， 3 和7 外还有个合数4 ，6 ，1 4 ，2 1 或9 下面我们证明合数阶的阶只能为9 若这个合 数为4 ，6 ，1 4 或2 1 ，则g 的素图分支大子个 首先证明g 不为b r o b e n i u s - 群和2 - f r o b e n i u s 群 若g 为f r o b e n i u s - 群，令g = 艮日，其中为f r o b e n i u s - 核 ( 1 ) 2ii k i ，若3 1 1 h i ，则g 中含9 阶元，矛盾故1 日i = 7 ，由引理2 2 ：l h i i i k l l ， 即7 1 7 1 ，矛盾 ( 2 ) 2fl k l ，同( 1 ) 一样我们有i k i = 7 或l k l = 9 ， 如果l k i 篁7 ，则由引理2 2 ：1 日| l ( i k l 1 ) ，即7 2i6 ，矛盾 如果i k l = 9 ，则由引理2 2 ： 日i | ( i k l 1 ) ，即5 6i8 ，矛盾 所以g 不为f r o b e n i u s - 群 若g 是2 - f r o b e n i u s 群，由引理2 4 ，g 可解则g 存在 3 ，7子群日，且-hall g 中所有 3 ，7 - h m i 子群共轭于是可知g 中的 3 ，7 - h a l l 子群的个数为：l g ： n g ( 日) l i2 3 ，所以g 中7 阶元个数m 为t6 仇4 8 但mg l ，5 6 ，6 3 ，2 1 6 ，1 6 8 ， 矛盾 由引理2 5 知，g 有正规列， 1 璺日旦k 里g ， 其中k h 为一复阶单群由于7 r ( k h ) 丌( g ) ，所以k h 为一单k 3 - 群，且 r ( k h ) = 2 ，3 ，7 ) ， 由引理2 8 可知k h 只能同构于如( 7 ) ，如( 8 ) ，或现( 3 ) 又l g g | l2 3 3 2 7 ， 但2 5i i ( 3 ) i ，故k h 笔b ( 7 ) 或k 日皇l 2 ( 8 ) 但l 2 ( s ) 含9 阶元，这样只能有 k h 垡l 2 ( 7 ) 1 a h i ii o u t ( k h ) i = 2 ，从而31 1 日l ，由丌c ( 叫日) = l ，2 ，3 ，4 ，7 ) 知 3 = 1 日i 又h 璺g ，g 中只含4 髟卜合数阶元故日岛为一f r o b e n i u s - 群，日为核， 由引理2 2 知，l g 2 i l ( 1 日l 1 ) ，即8i2 ，矛盾 由上面的讨论可以知道，g 中不含4 ，6 ，1 4 或2 1 阶元，所以含有9 阶元由引 理2 3 知。g 鲁l 2 ( 2 3 ) 定理2 3 的证明必要性显然，下证充分性 由阶方程知，g 的元素的阶除1 ，2 ，3 ，5 和1 7 外还有个合数，所以g 素图分 支至少为三个由引理2 5 知。g 有如下正规列t l 璺日粤k 望g ， 其中h ，e l k 为丌1 一群，k h 为一复阶单群 5 阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群 第二章某些l 2 ( 2 m ) 的新刻画 由于i 丌( g ) l = 4 ，故k h 为单飓一群或单凰一群若k h 为单盼群， 则k h 星a 或k h 竺凡 又i g k i ii o u t ( k h ) i ，所以1 7i1 日1 又曰幂零，故日中含3 4 阶元，而对 于g 的任一5 阶元y ，由于日幂零，日1 7 是日的特征子群且h 璺g ，所以日1 7 璺g ， 日1 7 为一r o b 钮时群，日1 7 为核，所以5l ( 1 7 一1 ) ，矛盾 从而k h 为某一单群，由引理2 1 3 知k h 只能同构于l 2 ( 1 6 ) 此时 l k h 卜i l 2 ( 1 6 ) l = l g i ，故l h i = 1 , g = k 笺如( 2 4 ) 定理2 4 的证明必要性显然，下证充分性由阶方程知，g 的元素的阶除t 1 ， 2 ，3 ，1 1 和3 1 外还有个合数，则g 素图分支至少为三个由引理2 5 知有如下正规 列， 1 望日璺k 里g 。 其中h ，g k 为巩群，k h 为一复阶单群由于1 7 r ( g ) l = 4 ，故k h 为单爵 群或单珩群但单j 每群阶不1 1 或3 1 被整除，从而k h 为某一单凰一群。且 丌( k h ) = 5 ，且g = 2 p + 1 为素数，由引理2 1 3 ，g 必可解 若m = 7 ，可选适当的a 满足以下条件tl g ：n c ( ) i = 7 ， 考虑g 在子群n g ( ) 上的置换表示7 ：设，7 的核为日，则有g i hs 岛 因p 5 ，且g = 2 p + 1 为素数，所以p 7 ，q 7 ，从而g 的s y l o wp - 子群， s y l o wq - 子群包含在日之中， 由( 1 ) 式，g h 为 2 ，3 ) - 群，从而g h 可解 又l g ( ) ( ) i 和，从而g ( ) ( ) 可解 显然c g ( ) 可解，从而口( ) 可解而日姜小，g ( ) ，从而日亦可 解，所以g 可解 若t t t = 1 4 ，葡理可证g 是可解群 ( 5 ) 下面证明ti m ( g ) i = 2 印，l = p ，此时妒( 七) = 2 8 ，七= 2 9 ，5 8 ，则g 是可解 群 若七= 2 9 ，由引理2 1 4 ，则2 9 1 2 8 p + i ，此与( 2 9 ，2 8 p + 1 ) = l 相矛盾所以七= 5 8 由引理8 ，i g l i 2 2 7 p 5 8 a ， 8 阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群 第三章最高阶元素的个数为2 勋的有限群 若i 丌( g ) i = 3 ，则g 可解所以不妨设i g f = 2 芦7 p 2 妒 由引理2 1 3 ，g 不可能有合成因子同构于飓单群， 再由【1 3 ，定理2 】可知g 不可能有合成因子同构于甄一单群，所以g 可解 ( 6 ) 下面证明：l m ( g ) i = 2 瓴礼= 7 此时妒( 七) = 4 p ，当卸+ 1 = g 为素数时， 矗= 口，2 口当2 p + 1 = g 为素数时，七= 2 口，3 q ，4 口，则g 是可解群 设口是g 的最高阶元，l 口i = 七， 则有 g = l g ：( ) l i n d ) ：俐 ( 口) l ，因g ( ) ( d ) s a 位( ) ， 所以i g ( ) ：( n ) l l l a u t ( ) l = 妒( 七) 又因i 口l = 走，可得7 r ( c g ( 口) ) = 丌( 1 a 1 ) = 霄( 七) 设 ， ， 为g 的7 个七阶循环子群， 令竹l = l g ：g ( ) f = m i n i g ：g ( ) l ，i = 1 ，2 ，7 ) 由n = 7 ，i g ：g ( ) i 鸭可得仇；1 ，2 ，3 ，7 显然( ) 可解，又i g ( ) ( ) i 和，从而g ( ) ( ) 可解从而g ( ) 可解 若m = 1 ，则g 是可解群 若竹l = 2 ，则g b ( ) 可解，所以g 可解 ，若m = 3 ，可选适当的口满足以下条件tl g 二( ) i = 3 考虑g 在子群 r g ( ) 上的置换表示7 ：设，7 的核为日，则有a hs 岛 因岛可解，从而a h 可解 而日耋g ( ) ，从而日亦可解所以g 可解 若m = 7 ，可选适当的a 满足以下条件sl g ：n a ( ) i = 7 ， 考虑g 在子群g ( ) 上的置换表示叩：设叼的核为日，则有a hs 岛 易见口 7 ，从而g 的8 y l o w 牛子群包含在日之中。 由引理2 1 5 可得ti a l l 2 2 7 p 护， 从而若= 3 q ，由g = 印+ l 为素数可得；p 1 3 ，且l g 日1 1 2 2 7 p 。3 a ， 从而a h 可解 因日 r g ( ) ，所以日可解从而g 可解 若七3 q ，则g 日为 2 ，7 ，p ) - 群，从而可解同上g 也可解 ( 7 ) 下面证明si m ( g ) i = 2 8 p ，n = l 卸，此时妒( 七) = 2 ，七= 3 ，4 ，6 ，则g 是可解 群 若七= 3 ，则g 为 2 ，3 ) 群，从而由矿矿定理，g 可解 若七= 4 ，同理可证 若七= 6 ，则7 r ( g ) 2 ，3 ，7 ，p 若否，取h 丌( g ) 一 2 ，3 ，7 ，p ) ，于是 他， 从而h l l m ( a ) l = 2 助，矛盾所以7 r ( g ) 2 ，3 ，7 ，p ) 9 阶方程，元阶型，最高阶元番寺个数与有限群 第三章最高阶元素的个数为2 8 p 的有限砰 又因七= 6 ：p 5 ，所以丌( g ) 2 ，3 ) ，从而可解 ( 8 ) 下面证明；i m ( g ) l = 2 印，n = 瓴此时妒( 危) = 4 ，七= 5 ，8 ，1 0 ，1 2 ，则g 是可 解群 设d 是g 的最高阶元，l 口f = 七， 则有蚓= l g ：g ( ) i i 盹( ) ：( ) l l ( ) l ( 1 ) i 因为 盹( ) ( ) sa u t ( ) ， 所以i a b ( ) ：c 台( ) l l l a u t ( ) = 妒 又因i 口l = 七，可得7 ( c g ( ) ) = 7 r ( 1 口| ) = ，r ) 若七= 5 ，由( 1 ) 式，则g 是 2 ，5 ) - 群，从而可解 若k = 8 ，由( 1 ) 式，则g 是 2 ，5 ，力一群，从而可解 若七= 1 0 ，由( 1 ) 式，则g 是 2 ，5 ，7 ，p ) - 群， 由p 5 且七；1 0 可得tp = 7 ，从而可解 若七= 1 2 ，由( 1 式，则g 是 2 ，3 ，7 ，p ) i 群， 由p 5 且七盎1 2 可知p = 7 ，1 1 设马，马分别为( ) 的s y l o w2 - 和 s y l o w3 - 子群， 因k = 1 2 ，故马中元素最高阶为3 ，恳中元素最高阶为4 因二2 ( 8 ) ，砺( 3 ) 中有9 阶元，故g 不可能有合成因子同构于l 2 ( 8 ) ，现( 3 ) 由f 1 3 ，定理2 可知g 不可能有合成因子同构于j 已单群又g 无合成因子同 构于厶( 7 ) ，所以g 可解： 由以上定理我们可得t h o m p s o n 问题成立的个条件，即。 设g 与膨是同阶型群，如果g 是最高阶元素的个数为2 印的有限群， 其中素数p 5 ，且g 无合成因子同构于l 2 ( 7 ) ，则m 可解 1 0 第四章几类有限群的元阶型刻画 4 1主要结果 g 为有限群，尬( g ) 是g 的t 阶元素的集合，若g l 和g 2 为有限群，满足 舰( g 1 ) = m t ( c 2 ) ，则称g l 和g 2 为同阶型群t h o m p s o n 提出了著名的问题t 设g l 与g 2 为同阶型群，若g l 可解，那么g 2 是否也可解? 有一些群论专家对此进行了颇 有意义的研究，如施武杰教授在中【1 6 】提出了猜想。设g 为有限群，日为有限单群， 则g 垡日当且仅当( 1 ) 丌c ( g ) = 巩( 日) ，其中亿( g ) 表示的阶的集合，( 2 ) i g l = l h i 本章讨论与同阶型群密切相关的另个问题，怎样的群可由其元阶型唯一确定? 设g 为有限群，仇表示g 中七阶元的个数，记a ( c ) = ( o i ，岛，玩) ，称a ( g ) 为g 的 元阶型本章利用几种有限群的分类，证明了这几种群可由其元阶型唯一确定显然 在某个有限群可由其元阶型唯一确定的情况下，t h o m p s o n 问题可得到一定程度的解 决 下面是本章的主要结果， 定理4 1 若g 为下列有限群之一 ( 1 ) i g l = 2 p ( n = 1 ，2 ，3 ，p 为奇素数) ( 2 ) i g i = 2 p 2 ( p 为奇素数) ( 3 ) l g l = 6 p 2 ( p 3 ，p 为素数) 则g 可由其元阶型唯一确定 4 2定理的证明 在本节中，我们给出定理4 1 的证明 定理4 1 的证明当，l = 1 时，此时g 有两种类型 若为第一种类型，则由引理2 1 9 可得：a = 1 , 0 2 = 妒( 2 ) = 1 ，岛= 妒( p ) 兰 p 一1 ，= p 一1 若为第二种类型，由s y l o w 定理易知：a = 璺g 且g = a + a b ， 因为旷1 a b = 口，6 2 = l ，所以( 6 ) 2 = 1 ，i = 1 ，p 一1 ， 所以m 中的p 个元素均为2 阶由引理2 1 9 ，a 中p 阶元个数为妒0 ) = p 一1 ， 从而此时有o i = l ，岛= p ，岛= p 1 综上可得，当n = 1 时，a ( a ) = ( o i ，岛，讳，岛p ) = ( 1 ，1 ，p 一1 ，p 1 ) ， a ( c ) ；( a ，岛，讳，岛p ) = ( 1 ，p ，p 一1 ，o ) 所以n = l 时，g 可由其元阶型唯一确定 阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群第四章凡类有限群的元阶型刻画 当n = 2 时，g 有6 种类型若g 为第一种类型，同上可得。 o l = 1 ，0 2 = 1 ，鼠= 2 ，o p = p 一1 ，0 2 尹= p l ，o , p = 2 p 一2 若g 为第二种类型，此时g 为交换群，由引理2 1 9 ，引理2 2 0 可得。 a l = l ，岛i - - 3 ，岛= p 一1 ，0 2 p = 3 ( p 1 ) 若g 为第三种类型，同上可得：0 1 = l ，岛一2 p + 1 ，岛= p 一1 ，岛p = p 一1 若g 为第四种类型，同理可得；0 1 = 1 ，0 2 = l ，反= 2 p ，岛= p l ，岛p = p 1 若g 为第五种类型，则g = a + a c , a = ，a p = l = 6 2 ，b - x a b = a 一1 ( 1 ) 由关系式6 1 a b = 口- 1 得：( 6 ) 2 = 1 ，所以l 6 l = 2 ，i = 1 ，2 ，p 1 ( 2 ) 由关系式c - 1 a c = a k 得；c - 1 a i c = ，故c = 于是( a i c ) 2 = 6 扩一由( 1 ) 得f c l = 4 ( 3 ) 由关系式西一6 c 可得t 口i 6 c = o 扩6 从而( b e ) 2 = a i + i l c b ， 则由( 1 ) 可得；l a i b e i = 4 所以血：中2 p 个元素均为4 阶元 易知a - - - _ + 6 ，显然 中除单位元外，其余p 一1 个元素均为 p l 阶；由( 1 ) 知t 6 的p 个元素均为2 阶 所以此时o l = 1 ，0 2 = p ，0 4 = 2 p ，磊= p 一1 若g 为第六种类型，由【1 5 】知：a 璺g ，其中a = 口，6 ) ，d 2 = 垆= 1 ，a b = b a ，则 g = a + a c + a d 易知a = l ，岛占，口磅，且i d = f a b l = 2 先计算a c = ka c b e , c a , c 中元素的阶 由关系式得；a d = d a ，所以( 口c ) 3 = 1 ，即i o c i = 3 ，同理i b c i = 3 由关系式得；( 曲c ) 2 = a c 2 = d a b , 所以( a b e ) 3 = 1 ，即l a b , , i = 3 再计算a c 2 = p ，a c 2 ，6 c 2 ，a b c 2 中元素的阶 由关系式得，( 口孑) = 鸭因为l a c i = l i = 3 ，所以i a d i = 6 ，同理i b c 2 i = 6 由关系式得；d 舻= c 2 6 ，因为i c 26 i = 1 6 c 2 l = 6 ，所以l 口6 c 2 l = 6 所以此时有0 1 = l ，岛= 3 ，0 3 = 5 ，o e = 3 综上可得t 当馆= 2 时，g 的元阶型为以下几种情况： 烈g ) = ( o l ，0 2 ，0 4 ，讳，0 2 , ，) = ( 1 ，1 ，2 ，p 一1 ，p 一1 ，2 p 一2 ) ， o ( a ) = 慨，0 2 ，0 4 ，岛，) = ( 1 ，3 ，o ，p 一1 ，助一3 ，o ) ， o ( a ) = 慨，0 2 ，反，讳，) = ( 1 ，助+ 1 ，o , p 一1 , p 一1 ，o ) ， a ( g ) = ( o l ，0 2 ，0 4 ，讳，0 2 p ，) = ( 1 ，l ，2 p ，p 一1 ，p 一1 ，o ) ， o ( c ) = ( o l ，0 2 ，0 4 ，岛，) = ( 1 ，p ，印，p 一1 ，0 ，o ， o ( a ) = ( o l ，0 2 ，0 4 ，o p ，锄，) = ( 1 ，3 ，0 ，5 ，3 ) 最后一种情况时，p = 3 所以l r t , = 2 时，g 可由其元阶型唯一确定 当n = 3 时，由【1 7 l 知，g 可由其元阶型唯一确定 阶方程。元阶型，最高阶元的4 l t - 与有限群 第四章几类有限群的元阶型刻画 若l g i = 2 p 2 ，p 为奇素数，由引理2 1 8 知，g 有5 种类型 若为g 第一，二种类型，和前面的方法一样分别可得； o l = 1 ，0 2 = p 一1 ，0 2 p = p 一1 ，如= p 0 一1 ) ，侥矿= p 一1 ) o l = 1 ，0 2 = 1 ，讳= p 0 1 ) + p 一1 ，0 2 p = p 加一1 ) + p 1 若为g 第三种类型，由s