（物理化学专业论文）量子耗散动力学的理论发展与应用.pdf

摘要 摘要 本论文致力于量子耗散动力学两方面的研究。一方面是量子耗散理论的发 展，我们系统介绍了通过影响泛函路径积分求导来建立严格的级联量予耗散方 程的方法，给出了在不同方案下的具体形式：另一方面是严格量子耗散理论的 实际应用。这里我们涉及了几种常见的耗散模型体系，包括布居数转移体系、 电荷转移体系和驱动布朗振子体系。另外，由于严格的量子耗散理论所需的计 算量非常巨大，本论文也讨论了我们在数值算法方面所做的一些具体工作。本 论文具体安排如下： 第一章介绍了量子耗散理论的一些背景知识，包括体系的约化描述，相关 函数、响应函数及线性响应理论，重点讨论了其中涉及的一些关键概念以及涨 藩巍散定理。 在第二章，我们首先回顾了影响泛函路径积分公式，然后通过求影响泛函 路径积分时间导数的方法构建了级联耦合运动方程组( h i e r a r c h i c a le q u a t i o n so f m o t i o n ，h e o m ) 。该方法非微扰地处理任意温度下的非马尔可夫量子耗散过程， 并且适用于有含时外场驱动的情况。除此之外，我们还推导了与该级联方程组 等价的格林函数的连分数方程。 在第三章，我们具体应用上述的h e o m 方程研究了受激拉曼绝热转移过程 中纯相位弛豫的影响。在具体应用上，阳三o m 方程包含一组已知定义的辅助密 度算符( a u x i l i a r yd e n s i t yo p e r a t o r s ，& d o s ) ，这些辅助算符将体系一热库的耦合 强度及记忆时间尺度以非微扰、级联的方式处理。为了实现h e o m 理论的数值 计算，我们提出了一种索引机制，该机制可以在复杂的级联结构中方便地实现 下标序列和a d o s 之间的对映关系，从而可以大大加快运算过程中的寻址操作。 另一方面，我们对每一个& d o 都重新做了标度，这样所有的a d o s 都统一到和 约化体系密度矩阵相同的误差范围内。在此基础上，我们可以采用一种有效的 过滤方法，该方法大大减少参与运算的a d o s 的数目。在做完这些准备工作后， 我们利用该严格方法具体计算和分析了在一个简单的三能级受激拉曼绝热转移 过程中，存在纯相位弛豫的耗散动力学问题，并将得到的严格结果同几种微扰 理论的结果进行比较和标定。 上述h e o m 是以玻色一爱因斯坦函数的m a t s u b a r a 展开( m a t s u b a r as p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n ，m s d ) 为基础的。简称为m s d i - i e o m 。在第四章，我们给出了 玻色一爱因斯坦函数的部分分式分解方法o a r t i a lf r a c t i o nd e c o m p o s i t i o n ，p f d ) ，并以此为基础构造了相应的h e o m 方程，简称p f d - - - h e o m 。p f d 分解的一 i 摘要 个特点就是它分解后得到的极点为复极点，这个特点使我们能够更有效、更 准确地展开玻色一爱因斯坦分布函数。为了考察p f d - h e o m 的数值效率，我 们计算了自旋一玻色体系的耗散动力学演化，通过和m s d - h e o m 比较，发现 p f d - h e o m 的计算效率明显优于m s d - h e o m ，计算时间可以缩短一个数量级 甚至更多。 在第五章，我们发展了一种近似的级联量子主方程方法( h i e r a r c h i c a lq u a n t u mm a s t e re q u a t i o n 。h q m e ) 。该方法对d r u d e 热库模型的传统半经典处理进行 改进，所得到的h q m e 方程可以看作是对传统的随机l i o u v i l l e 方程理论的修 正。虽然从形式上看只是很简单的一项修正，但是改进后的方程不仅提高了准 确性而且也极大地扩宽了适用范围；更加难能可贵的是，该修正并不会导致计 算量的增加。这在随后的对两能级电荷转移体系的耗散动力学研究中得到了验 证。同时我们还推导了该电荷转移体系的严格、解析的速率表达式，其中用到 了我们在前面提到的l i o u v i u e 空间的连分数格林函数方法。最后，我们给出了 该近似h q m e 理论的应用判则，它可以用来预估该理论在不同系统中的具体表 现。 第六章中，我们通过w i g n e r 相空间高斯波包演化方法构建了驱动布朗振子 体系的严格量子主方程。该方程充分考虑了驱动和耗散之间的相关效应，并将 这种相关效应归结为有效场修正。通过研究，我们发现在驱动场频率较低和热 库记忆时间尺度为中等大小时，驱动和耗散之间的这种协同效应对体系的影响 明显。 在第七章，我们总结了本论文，并着重讨论了作者接下来的工作计划。 关键词：约化密度矩阵，涨落泉散定理，影响泛函路径积分，级联耦合运动 方程，连分数方程，部分分式分解展开，级联量子主方程，受激拉曼绝热转移 过程，电荷转移体系，驱动布朗振子体系，驱动一耗散耦合 a b s t ra c t a b s t r a c t t h et h e s i sc o m p r i s e st w om a j o rt h e m e so fq u a n t u md i s s i p a t i v ed y n a m i c s o n e i st h ed e v e l o p m e n to fq u a n t u md i s s i p a t i o nt h e o r y ( q d t ) jw es u m m a r i z et h ee s t a b l i s h m e n to ft h ee x a c ta n dn o n p e r t u r b a t i v eh i e r a r c h i c a le q u a t i o n so fm o t i o n ( h e o m ) o fq d t , v i at h ec a l c u l u so nt h ei n f l u e n c ef u n c t i o n a lp a t hi n t e g r a l ：d i f f e r e n tf o r m s o fh e o mo nt h eb a s i so fd i f f e r e n td e c o m p o s i t i o n e x p a n s i o ns c h e m e sa r ep r e s e n t e d a n o t h e ri st h ea p p l i c a t i o no fe x a c tq d ti nv a r i o u sd i s s i p a t i v es y s t e m s ，i n c l u d i n gp o p u l a t i o n e l e c t r o nt r a n s f e rs y s t e m sa n dd r i v e nb r o w n i a no s c i l l a t o r s d u et ot h ee x p e n s i v e n u m e r i c a lc o s to fe x a c tq d t , s o m es p e c i a ln u m e r i c a li m p l e m e n t a t i o na l g o r i t h m sa r e a l s od e t a i l e d t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h et h e o r e t i c a lb a c k g r o u n do fq d t , i n c l u d i n gt h er e d u c e d s y s t e md e s c r i p t i o n ，t h ec o r r e l a t i o na n dr e s p o n s ef u n c t i o n sv e r s u s l i n e a rr e s p o n s e t h e o r y , w i t he m p h a s i so nk e yc o n c e p t sa n df l u c t u a t i o n - - d i s s i p a t i o nt h e o r e m i nc h a p t e r2 ，w er e v i s i tt h ei n f l u e n c ef u n c t i o n a lp a t hi n t e g r a lf o r m u l a t i o na n d c o n s t r u c tt h eh e o m i tc o n s t i t u t e sas y s t e m a t i c ，n o n p e r t u r b a t i v ea p p r o a c ht oq u a n t u m d i s s i p a t i v ed y n a m i c sw i t hn o n m a r k o v i a nd i s s i p a t i o n a ta na r b i t r a r yf i n i t et e m p e r a t u r e i nt i l ep r e s e n c eo ft i m e d e p e n d e n tf i e l dd r i v i n g t h ew e l l - k n o w nc o n t i n u e df r a c t i o n g r e e n sf u n c t i o nf o r m a l i s mi sa l s op r o p o s e df o rt i m e - i n d e p e n d e n tr e d u c e dh a m i l t o n i a n s y s t e m s i nc h a p t e r3 ，w ea p p l yt h eh e o mt os t u d yt h ed e p h a s i n ge f f e c to nt h es t i m u l a t e d r a m a na d i a b a t i cp a s s a g e ( s t i r a p ) t h eh e o mc o u p l e st h ep r i m a r yr e d u c ed e n s i t y o p e r a t o rw i t ha s e to fw e l l - - d e f i n e da u x i l i a r yd e n s i t yo p e r a t o r s ( a d o s ) ，w h i c hr e s o l v e n o tj u s ts y s t e m - b a t hc o u p l i n gs t r e n g t hb u ta l s om e m o r y f o rt h en u m e r i c a li m p l e m e n - t a t i o no fh e o m ，w ep r o p o s eac o n v e n i e n ti n d e xs c h e m et h a ta l l o w sa ne a s yt r a c k i n g o ft h ec o u p l e da d o si nt h eh i e r a r c h i c me q u a t i o n s o nt h eo t h e rh a n d ，w es c a l ea d o s i n d i v i d u a l l yt oa c h i e v e au n i f o 姗e r r o rt o l e r a n c e ，a ss e tb yt h er e d u c e dd e n s i t yo p e r - a t o r a ne f f i c i e n tf i l t e r i n ga l g o r i t h mi st h e na d o p t e d ，b yw h i c ht h ee f f e c t i v en u m b e r o fa d o si sg r e a t l yr e d u c e d u s i n gh e o m ，n u m e r i c a l l ye x a c ts t u d i e sa r ec a r r i e do u t o nt h ed e p h a s i n ge f f e c to ns t i r a p w ea l s om a k ea s s e s s m e n t so ns e v e r a lp e r t u r b a t i v e t h e o r i e sf o rt h e i ra p p l i c a b i l i t i e si nt h ep r e s e n ts y s t e mo fs t u d y t h ea b o v eh e o mi sc o n s t r u c t e do nt h eb a s i so ft h em a t s u b a r as p e c t r a ld e c o m p o - s i t i o n ( m s d ) o fb o s e - e i n s t e i nf u n c t i o n i nc h a p t e r4 ，w ei m p l e m e n tt h ep a r t i a lf r a c m a b s t r a c r r t i o nd e c o m p o s i t i o n ( p f d ) s c h e m e ，a n dd e r i v et h ec o r r e s p o n d i n gh e o m o n ef e a t u r e o fp f ds c h e m ei st h ec o m p l e xp o l e si nt h ed e c o m p o s i t i o no fb o s e - e i n s t e i nf u n c t i o n ， w h i c hl c a dt on o tj u s tt h eb o s ef u n c t i o ne x p a n s i o nm o r ee f f i c i e n ta n da c c u r a t e ，b u ta l s o t h eh e o mc o n s t r u c t i o nm o r ec o m p a c t t h ep e r f o r m a n c eo ft h er e s u l t i n gp f d - h e o m i se x e m p l i f i e dw i t hs p i n - b o s o ns y s t e m s w ef i n di tp e r f o r m sm u c hb e t t e r , a b o u ta l l o r d e ro fm a g n i t u d ef a s t e r , t h a nt h eb e s ta v a i l a b l eh e o mb a s e do nt h em s ds c h e m e i nc h a p t e r5 ，w ep r o p o s eah i e r a r c h i c a lq u a n t u mm a s t e re q u a t i o n ( h q m e ) a p p r o a c h t h et h e o r e t i c a ld e v e l o p m e n t i sr o o t e di na ni m p r o v e ds e m i c l a s s i c a lt r e a t m e n t o fd r u d eb a t h ，b e y o n dt h ec o n v e n t i o n a lh i g ht e m p e r a t u r eo rc l a s s i c a la p p r o x i m a t i o n s i tl e a d st ot h en e wt h e o r yas i m p l eb u ti m p o r t a n ti m p r o v e m e n to v e rt h ec o n v e n t i o n a l s t o c h a s t i cl i o u v i l l ee q u a t i o nt h e o r y , w i t h o u te x t r an u m e r i c a lc o s t i t sb r o a dr a n g eo f v a l i d i t ya n da p p l i c a b i l i t yi se x t e n s i v e l yd e m o n s t r a t e dw i t ht w o - l e v e le l e c t r o nt r a r m f e rm o d e ls y s t e m s ，w h e r et h en e wt h e o r yc a l lb ec o n s i d e r e da 8t h em o d i f i e dz u s m a n e q u a t i o n f o rt h i ss y s t e m ，w ec a l ld e r i v ea na n a l y t i c a lr a t ee x p r e s s i o no nt h eb a s i s o ft h ea f o r e m e n t i o n e dc o n t i n u e df r a c t i o nl i o u v i l l e s p a c eg r e e n sf u n c t i o nf o r m a l i s m ， t o g e t h e rw i t ht h ed y s o ne q u a t i o nt e c h n i q u e f i n a l l y , w ea l s op r o p o s eac r i t e r i o nt o e s t i m a t et h ep e r f o r m a n c eo fh q m e i nc h a p t e r6 ，w ec o n s t r u c ta ne x a c tq u a n t u mm a s t e re q u a t i o nf o rad r i v e nb r o w n i a no s c i l l a t o rs y s t e mv i aaw i g n e rp h a s e - - s p a c eg a u s s i a nw a v ep a c k e ta p p r o a c h i t s h o w se x p l i c i t l yt h a tt h ed r i v i n g 碰s s i p a t i o nc o r r e l a t i o nr e s u l t si na ne f f e c t i v ef i e l dc o t - r e c t i o nt h a te n h a n c e st h ep o l a r i z a t i o n a st h el i n e a rr e s p o n s ea n dn o n l i n e a rd y n a m i c s a r ec o n c e r n e d ，w ed e m o n s t r a t et h i sc o o p e r a t i v ee f f e c ti si m p o r t a n ti nt h el o w f r e q u e n c y d r i v i n ga n di n t e r m e d i a t eb a t hm e m o r yr e g i o n i nc h a p t e r7 ，w ec o n c l u d et h et h e s i s ，a n dd i s c u s ss o m ef u t u r ew o r k k e y w o r d s ：r e d u c e dd e n s i t ym a t r i x ，f l u c t u a t i o n - d i s s i p a t i o nt h e o r e m ，i n f l u e n c ef u n c t i o n a lp a t hi n t e g r a l ，h i e r a r c h i c a le q u a t i o n so fm o t i o n ，c o n t i n u e df r a c t i o ng r e e n sf u n c t i o n ，p a r t i a lf r a c t i o nd e c o m p o s i t i o n ，h i e r a r c h i c a lq u a n t u mm a s t e re q u a t i o n ，s t i m u l a t e d r a m a na d i a b a t i cp a s s a g e ，e l e c t r o nt r a n s f e rs y s t e m ，d r i v e nb r o w n i a no s c i l l a t o rs y s t e m s , d r i v i n 刚i s s i p a t i o nc o r r e l a t i o n i v 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 第1 章量子耗散理论简介 第1 章量子耗散理论简介 在这一章中，我们将介绍量子耗散理论的一些背景知识，包括体系的约化 描述，线性响应理论及相关函数、响应函数等概念。在我们感兴趣的实际体系 中，涨落和耗散是环境效应最重要的体现，它们之间的关系由所谓的涨牡耗散 定理给出。该定理与线性响应理论密切相关，并且由相关函数与响应函数之间 的关系表达。可见，涨牡耗散定理是量子耗散理论的基本原理，也是本章的重 点。 1 1 约化描述与耗散 对于仅含有几个自由度的简单体系，它的状态可以通过s c h r t k l i n g e r 方程 来确定。实际的体系如复杂的材料体系或是溶液中的化学反应往往包含宏观量 级( 1 0 2 3 ) 的自由度，在这种情况下，求解s c h r b d i n g e r 方程是不可能的，同时也 是不必要的。实际上，人们所感兴趣的往往只是整个系统中的一小部分，仅包 含少数的几个自由度，我们可以把它们挑出来作为体系用严格的量子力学来处 理，而余下的则看成是体系所处的环境。环境在某一温度t 处于热力学平衡态， 对体系的影响具有统计性质，因而又称为热库( b a t h ) 。体系一环境相互作用的统 计行为使体系从任意的初始状态最终趋于热平衡态，这一动力学过程就称之为 耗散过程。和经典情况不同，量子耗散并非特指能量的弛豫，它也包括了量子 相干性的耗散，即人们常说的退相干( d e e o h e r e n c e ) 或退相位( d e p h a s i n g ) 。由以上 介绍可知，量子耗散理论与系统的约化描述( 即体系与环境的区分) 紧密相关。量 子耗散理论的研究内容就是在环境作用下的约化体系的运动规律。 量子耗散理论的关键量是约化密度算符，定义为p 兰t r b p t 这里，舳 是体系与环境的总的密度算符，其动力学是由体系与环境的总的哈密顿量 诉= h + h b + h 7 决定，即i 聊= 【协，p t 】。通常，我们用p 表示约化密度算 符，日表示约化体系的哈密顿量，t r 表示只对体系空间求迹，而t r b 表示只对 热库空间求迹，h b 代表热库哈密顿量，日7 则是体系一热库相互作用哈密顿量。 我们知道，对于任一体系中的力学量a ，它的期望值总可以写为 ( a ) 三 i y t o t a l ( a p t ) = t r t r b ( a p t ) 】= t r ( a p ) ， ( 1 1 ) 在上式中我们可以看到，该期望值是由约化密度算符决定的。所以，约化密度 算符的动力学即量子耗散理论是研究复杂体系动力学性质的基础。 量子耗散理论是许多科学领域中的基础理论，例如，核磁共振【1 】、量子光 l 第1 章量子耗散理论简介 学【2 】、固体物理【3 】、非线性光谱 4 】和化学物理【5 - 7 】，等等。量子耗散动力学 的研究也存在多种理论，其中最常用的为b l o c h r e d f i e l d 理论【8 _ 1 1 】和f o k k e r p l a n c k 方程 1 2 ，1 3 1 。它们采用了如下近似，包括体系一热库的弱耦合相互作用， 忽略驱动场与耗散之间的协同效应，忽略热库的色散效应，以及初始时刻体系 和热库相互独立假设。本论文致力于严格量子耗散动力学的级联方程组理论 的发展和应用，将在之后的章节中介绍。此外，人们还发展了一系列半经典方 法【1 4 _ 2 6 】和随机场方法 2 7 - 3 6 来处理量子耗散问题。 在接下来的章节中，如无特别声明，我们取危三1 和卢三t l ( k b t l ，其中， k b 是玻尔兹曼常数，? 是温度，并标记a 三a l & 1 2 线性响应理论与相关函数 1 - 2 1相关函数与响应函数 在这- 4 , 节中，我们将通过线性响应理论引出相关函数( c o r r e i a t i o nf u n c t i o n ) 和响应函数( r e s p o n s ef u n c t i o n ) 的概念。需要注意的是，在第1 2 4 节之前我 们并不涉及体系与环境的约化描述，所有的关系式都定义在整个系统空间。 首先，我们考虑两个一般的力学量a 和b ，简单起见，假设它们都是厄米 算符。系统哈密顿量表示为巩，假设系统在初始时刻处于正则热力学平衡态： 詹= e - 卢n e 一卢幽，并在之后的某一时刻受到外场扰动。这一外加探测场e ( 亡) 通过系统算符b 与系统相互作用：日，= 一b e ( t ) 。这样，我们感兴趣的力学量 a 在某一时刻的测量值就可以写为如下形式： a ( t ) = ( a ( ) ) = t r a p r ( t ) ，( 1 2 ) 其中，阳( ) 是外场作用下整个系统随时间演化的密度算符。将i ( t ) 与初始值 之间的偏离量6 五( t ) = t r a 【卯( 右) 一詹 ) 对外场e ( t ) 做一阶展开，可整理出下 面的关系式： 6 i ( t ) = d t x a b 一7 ) e ( 7 _ ) ( 1 3 ) ，一 其中从b ( t ) 就是系统的响应函数，它的定义式为， x a b 一7 - ) 兰i ( 【a ( t ) ，b ( 丁) 】) m ( 1 4 ) 上式中，( m 三 d r ( p 簧) ，【i t t 表对易子，o ( t ) 三e i h m 2 0 e 一。是任意算符 0 在海森堡表象下的形式。由于因果关系，即响应总是发生在扰动之后，响 应函数地日 ) 的定义区间为t 0 参见方程( 1 3 ) 】。但是，根据它的定义式( 方 程( 1 4 ) ) 我们可以把它的定义域解析延拓到整个空间并得到以下对称性关系： x b ( - t ) = - x b a ( t ) ( 1 5 ) 2 第1 章量子耗散理论简介 对于厄米算符a 和b ，响应函数地日( 亡) 是实函数。接下来，我们给出相关函数 的定义： a b 一7 - ) 三( 4 ( ) b ( 1 - ) ) m ( 1 5 ) 注意，上面我们给出的相关函数和响应函数都只依赖于时间间隔t l 这是因 为【，衍】= 0 ，也就是说我们这里的讨论属于定态统计学的范畴。同理可得， 似( ) ) m = ( a ) m 也是一个与时间无关的量，并且有关系式 ( a ( ) b ( o ) ) m = 一( a ) b ( o ) ) m 。( 1 7 ) 由相关函数的定义我们可以推导出它的对称性关系，即所谓的细致平衡原理： g 日( t ) = 以a ( - t ) = a 口 一印) ， ( 1 8 ) 并且我们还注意到，相关函数和响应函数之间具有如下的关系：x b ( ) = 一2 i m c a 8 ( t ) 相关函数作为统计力学中的函数，应该满足统计力学的基本假 设，即：当亡_ 0 0 时，不同的物理量之间应趋于统计无关，形式上可以写为 文0 ( t - 4o o ) = ( a ) m ( b ) m + 在本论文中我们默认相关函数在定义时已经将该极限 值减去，即a 一( a ) m 和b 一( b ) m 因此我们总有以b ( _ ( 2 0 ) = 0 1 - 2 2 谱函数与色散函数 由于上- - d , 节提到的因果关系，下面我们来考虑变换： ，c _ 日( u ) 三d te t c a b ( t ) = c _ 口( 叫) + i d a b ( u ) ， ( 1 9 ) 这里，瓯b ( u ) 和d a bw ) 分别为谱函数和色散函数，它们各自的定义式为 g 日( u ) 三专【文b ( u ) + 晓 ( 叫) 】一昙厂出e 讹文日( ) ：g ( u ) ， ( 1 1 0 a ) 一 一，- - 0 0 d a b ( u ) 兰击【文b ( 0 0 一岛 ( u ) 】= d ：a ( u ) ( 1 1 0 b ) 从上式中，我们看出谱函数和色散函数分别代表文日) 的厄米和反厄米部分， 而不是实部和虚部。 由方程( 1 9 ) 可知，文b ( 名) 在上半复平面( i m 石 o ) 内是一个解析函数，因此 由柯西积分定理可以得到 c a b ( 归委p 仁咖筹 ( 1 1 1 ) 这里的p 就代表主值积分。由上式我们容易得到谱函数和色散函数之间的 k r a m e r s k r o n i g 关系： 叫归一妻p 仁幽筹 如) = 昙尹仁幽7 筹( 1 1 2 ) 第1 章量子耗散理论简介 类似地，我们给出响应函数的因果变换： 戈a b ( u ) 兰d t e 姒x a b ( ) = 戈蚶( u ) + i 戈姥( ) ， ( 1 1 3 ) 其中戈蚶) = 阪敛) r 和戈姥 ) = 阪铉) r 分别是戈 b ) 的厄米和反厄 米部分，两者之间同样满足k r a m e r s k r o n i g 关系。 由方程( 1 4 ) 、( 1 9 ) 、( 1 1 3 ) 可得 戈赠( u ) = 一b a t 口( u ) + d 口a ( 一u ) 】， ( 1 1 4 a ) 戈斌( 叫) = g 如) 一以 ( - u ) = 去仁出e i w t x a b ( 1 1 4 b ) 因此我们有戈赠( 一叫) = 戈崩) ，戈撼( 一u ) = 一戈故p ) ，其中的 0 时也是一个正定矩阵。 1 2 4 热库相关函数与响应函数 下面我们讨论与热库有耦合的耗散体系。在量子耗散理论中，熟库对体系 的影响是通过热库的随机力算符( 丘( t ) 三e i h b 2 9 a e i h b ) 来描述的。在本节前面 部分所讨论的各种定义式和关系式针对热库空间同样适用。我们首先给出热库 相关函数的定义， 氏( ) 三t r b ( 忘( 舌) 虎( o ) p 翻兰( 忘( t ) 忘( o ) ) b ( 1 1 8 ) 第1 章量子耗散理论简介 为避免混淆，热库响应函数将用符号九b ( ) 表示 九b ( t ) 三i ( 丘( ) ，克( o ) 】) b ， ( 1 1 9 ) 而热库谱密度函数箍( ) 则用厶 ) 表示。前面所给出的各种变换和关系式 对于热库相关函数和响应函数仍然适用，例如，热库相关函数的对称性和细致 平衡关系可写为 ( ) = ( - - t ) = 瓯( 一蛾 ( 1 2 0 ) 同理，有涨落一耗散定理 锄) = 妾仁幽譬掣 m 2 ， 这里，我们定义( t ) 为热库摩擦力函数，它的定义式为 札( ) 三一；y d b ( t ) m ，( u ) = ( o ) 肛+ 如曲( u ) m ( 1 2 2 ) 由上式我们容易得到，摩擦力函数的对称性关系为：( ) = ( 一亡) ，代入上式 后可以得到， 协( 。) = 如( 0 ) m = 土翻r mj 厂- 气o o 型w ( 1 2 3 ) 5 参考文献 参考文献 【l 】m g o l d e n f o r m a lt h e o r yo fs p i n - l a t t i c er e l a x a t i o n zm a g n r e s o n 。1 4 9 ：1 6 0 - 1 8 7 ，2 0 0 1 【2 】wh l o u i s e l l q u a n t u ms t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so f r a d i a t i o n w i l e y , n e wy o r k ， 1 9 7 3 【3 】m b o r na n dk h u a n g d y n a m i c a lt h e o r yo f c r y s t a ll a t t i c e s o x f o r du n i v e r s i t y p r e s s ，n e wy o r k ，19 8 5 4 】s m u k a m e l t h ep r i n c i p l e so f n o n l i n e a ro p t i c a ls p e c t r o s c o p y o x f o r du n i v e r - s i t yp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 9 5 5 】r ef e y n m a na n del v e r n o n ，j r t h et h e o r yo fag e n e r a lq u a n t u ms y s t e m i n t e r a c t i n gw i t hal i n e a rd i s s i p a t i v es y s t e m a n n p h y s ，2 4 ：1 1 8 _ 1 7 3 ，1 9 6 3 【6 】h g r a b e r t ，es c h r a m m ，a n dg l i n g o l d q u a n t u mb r o w n i a nm o t i o n ：t h em n c f i o n a li n t e g r a la p p r o a c h p h y s r e p ，1 6 8 ：1 1 5 - 2 0 7 ，1 9 8 8 【7 】u w e i s s q u a n t u md i s s i p a t i v es y s t e m s w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，1 9 9 9 2 n d e d s e r i e si nm o d e mc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s ，v 0 1 10 【8 】b l o c heg e n e r a l i z e dt h e o r yo fr e l a x a t i o n p h y s r e v ，1 0 5 ：1 2 0 6 ，1 9 5 7 【9 】9 r e d f i e l da g t h et h e o r yo fr e l a x a t i o np r o c e s s e s a d v m a g n r e s o n ，1 ：1 ，19 6 5 【1 0 p o l l a r dw t ，f e l t sa k ，a n df r i e s n e rr a t h er e d f i e l de q u a t i o ni nc o n d e n s e d - p h a s e q u a n t u md y n a m i c s a d v c h e m p h y s ，9 3 ：7 7 ，1 9 9 6 【1l 】k o h e nd ，m a r s o nc c ，a n dt a n n o rd j p h a s es p a c ea p p r o a c ht ot h e o r i e so fq u a n t u r nd i s s i p a t i o n zc h e m p h y s ，1 0 7 ：5 2 3 6 。1 9 9 7 【12 】c a l d e i r aa o a n d l c g g e aa j 。p a t hi n t e g r a la p p r o a c ht oq u a n t u mb r o w n i a nm o t i o n p h y s i c a ，1 2 1 【1 3 】c a l d e i r aa o a n dl e g g e ra j q u a n t u m t u n n e l i n gi nad i s s i p a t i v es y s t e m a n n p h y s ，1 4 9 ：3 7 4 ，1 9 8 3 【1 4 】k g k a y i n t e g r a le x p r e s s i o n sf 6 rt l l es e m i c l a s s i c a lt i m e d e p e n d e n tp r o p a g a t o r zc h e m p h y s ，1 0 0 ：4 3 7 7 - - 4 3 9 2 ，1 9 9 4 【1 5 】k g k a y 1 心u m e r i c a ls t u d yo fs e m i c l a s s i c a li n i t i a lv a l u em e t h o d sf o rd y n a m i c s 7 参考文献 zc h e m p h y s ，1 0 0 ：4 4 3 2 4 4 4 5 。1 9 9 4 【1 6 】k g k a y s e m i c l a s s i c a lp r o p a g a t i o nf o rm u l t i d i m e n s i o n a ls y s t e m sb ya l li n i t i a l v a l u em e t h o d zc h e m p h y s ，1 0 1 ：2 2 5 0 - - 2 2 6 0 ，1 9 9 4 1 7 1x s u na n dw h m i l l e r f o r w a r d b a c k w a r di n i t i a lv a l u er e p r e s e n t a t i o nf o rs e m i c l a s s i c a lt i m ec o r r e l a t i o nf u n c t i o n s j c h e m p h ) 7 s ，11 0 ：6 6 3 5 - - 6 6 4 4 。1 9 9 9 【18 】m t h o s s ，h w a n g ，a n dw ：h m i l l e r g e n e r a l i z e df o r w a r d b a c k w a r di n i t i a lv a l u e r e p r e s e n t a t