（动力机械及工程专业论文）船用柴油机和试验台耦合振动模态分析.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 振动在动力系统中是普遍存在的，可以说振动问题在实际工程中是无处不在的。内 燃机作为一种用途广泛的动力机械，是内燃机车、船舶、汽车、拖拉机、工程机械等动 力装置的主要振动源。理论研究表明，内燃机缸内气体压力和运动件的未平衡的惯性力 和力矩是整机振动的主要激励源。它们使机器产生整体的横向及纵向的往复振动，以及 绕各个坐标轴的回转摆动。严重的振动会对机器和设备以及人员带来各种危害，强烈而 持续的振动会导致结构的疲劳和破坏，造成严重的事故。某柴油机制造厂在新建试验台 试车过程中主机经历了严重的结构振动，其振动之剧是前所未有的。然而目前针对柴油 机试验台与柴油机的匹配特征( 即能否产生共振) ，在其设计布置阶段并无针对性的计 算，所以经常对产生的共振现象缺乏明确的认识。为了分析产生共振的原因，本文运用 模态分析理论及a n s y s7 0 大型有限元结构分析软件，通过建立大型船用柴油机和试验 台的有限元模型，采用子空间迭代法( s u b s p a c e ) ，对其模态( 即频率和振型) 进行分 析计算，并将其计算结果与模态试验结果进行分析对比。通过本文的振动计算，使 m b d 5 s 6 0 m c 机的共振根源得以清晰呈现：该机安放在新厂房上自由振动频率与激励频率 相接近，因而振动剧烈。而将该机安放在老厂房就不发生共振，进一步说明了试验台结 构对其所起的决定性作用不应忽视。通过本文的计算对比并结合试验结果能够找出柴油 机试验台运转过程中产生共振的原因，排除柴油机自身振动过大的错误认识。本文建立 的船用柴油机和试验台耦合振动的有限元分析模型能够为柴油机制造厂试验台的布置优 化设计方案。通过优化设计，从而改进设计布置的薄弱环节，避免产生相类似的共振问 题。并且在试验台设计布置阶段，能够为柴油机的选配布置提供更加准确的参考依据， 对生产效率的提高有着重要的意义。 关键词：模态分析；有限元法；柴油机；试验台；共振；动态特性 大连理工大学硕士学位论文 c o u p l e dv i b r a t i o nm o d a la n a l y s i so fm a r i n ed i e s e le n g i n ea n d t e s t i n gp l a t f o r m a b s t r a c t v i b r a t i o ni su b i q u i t o u si nt h ed y n a m i c a ls y s t e m ；w ec a r ls a yt h a tv i b r a t i o nq u e s t i o ni s u b i q u i t o u si na c t u a lp r o j e c t s t h ei n t e r n a l c o m b u s t i o ne n g i n ei sak i n do fw i d e l yu s e dp o w e r m a c h i n e ；i ti so n eo fm a i nv i b r a t i o ns o u r c eo fm o t i v ee q u i p m e n ts u c ha sd i e s e ll o c o m o t i v e s ， s h i p p i n g ，a u t o m o b i l e ，t r a c t o r , e n g i n e e r i n gm a c h i n e r y ，e t c t h et h e o r e t i c a lr e s e a r c hi n d i c a t e st h a t u n b a l a n c e dm a s sf o r c ea n dm o m e n to nt h ei n t e r n a l c o m b u s t i o n e n g i n e a r et h em a i n e n c o u r a g e m e n t s o u r c eo fc o m p l e t em a c h i n ev i b r a t i o n s 仕o n g v i b r a t i o nw i l lc a u s et h e e q u i p m e n tt ol o s ee f f i c i e n c y ，a n dw i l lc a u s ed a n g e rt ot h ep e r s o n a ls e c u r i t yd u r i n gs o m e e n g i n em a k e rm a k es h o pt e s to nn e w l yb u i l tt e s tp l a t f o r m ，e n g i n eg o e st h r o u g hs e r i o u ss t r u c t u r e v i b r a t i o n ，t h ed r a n l ao fi t sv i b r a t i o ni su n p r e c e d e n t e d i no r d e rt oa n a l y s e st h er e a s o nf o r p r o d u c i n gr e s o n a n c et h i sp a p e ru s e st h et h e o r yo ff e ma n da n s y s7 0s o r w a r ei nl a r g e s c a l e s t r u c t u r e ，t h r o u g hs e t t i n gu pt h ef i n i t ee l e m e n tm o d e lo f l a r g e s c a l em a r i n ed i e s e la n di t st e s t i n g p l a t f o r m ，a d o p tt h em e t h o do fs u b s p a c e ，c a l c u l a t i n ga n da n a l y z i n gt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c ( n a m e l yf r e q u e n c ya n dv i b r a t i o nd e f o r ms h a p e ) ，a l s oi tc o m p a r e sc a l c u l a t i o nr e s u l t sw i t ht e s t m o d a lr e s u l t r i h r o u g ht h i sv i b r a t i o nc a l c u l a t i o n ，m a k er e s o n a n c es o u r c eo nm b d 5 s 6 0 m cc a nb e c l e a r l yp r e s e n t ：t h ee n g i n ep o s i t i o n e di nn e wf a c t o r yo fi t sn a t u r a lf r e q u e n c ya p p r o a c ht h e e x c i t e df r e q u e n c y ，c a u s e dv i o l e n tv i b r a t i o n v v l l e nt h ee n g i n ep o s i t i o n e di nt h eo l df a c t o r yn o r e s o n a n c eh a p p e na n y m o r e ，i t 如r t h e ri n d i c a t e st h a ts t r u c t u r eo f t e s t i n gp l a t f o r mm a k ei m p o r t a n t r o l eo nv i b r a t i o n ，i ts h o u l dn e v e rb ei g n o r e d w i t ht h i sp a p e rc a l c u l a t i o na n dc o m b i n e dw i t ht e s t r e s u l tc a dt r a c eo u tt h er e a s o no fr e s o n a n c ed u r i n ge n g i n en m n i n gt e s t ，e x c l u d i n gt h e m i s u n d e r s t a n d i n go fe x c e s s i v ev i b r a t i o no nd i e s e le n g i n ei t s e l f t h i sp a p e re s t a b l i s h e st h e c o u p l e df i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sm o d a lo nm a r i n ed i e s e le n g i n ea n dt e s t i n gp l a t f o r mc a r l o p t i m i z et h ed e s i g np r o p o s a l sf o r t h ee n g i n em a k e r t h r o u g ht h eo p t i m i z e dd e s i g n ，m a ya v o i d p r o d u c i n gs i m i l a rr e s o n a n c ec a s e s t h u si n t h et e s tp l a t f o r md e s i g na r r a n g e m e n ts t a g e ， i m p r o v e dd e s i g nc a ns e l e c ta n dm a t c ht h ea r r a n g e m e n tf o rt h ed i e s e le n g i n et op r o v i d em o r e a c c u r a t er e f e r e n c e ，a n dh a st h ev i t a ls i g n i f i c a n c eo ni m p r o v i n gp r o d u c t i o ne f f i c i e n c y k e yw o r d s ：m o d a la n a l y s i s ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；d i e s e le n g i n e ； t e s t i n gp l a t f o r m ；r e s o n a n c e ；d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谓j 的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名： 鎏( 立堇! 日期：塑竺! ! ! ! ! ! ! 船用柴油机和试验台耦合振动模态分析 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件平u 电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：童圃壅 导师签名：塞董鏖塾攫 2 0 0 5 年堕月盟日 4 。膨坼 乔旆孕 大连理工大学硕士学位论文 引言 船d 5 s 6 0 m c 二冲程柴油机是m b d 公司研究开发的大型船用柴油机，其中一台是某柴 油机制造厂为6 5 0 0 0 吨油轮配船建造的主机。该主机是某柴油机厂总装车间新试验台上 进行台架试验的首台机。在主机台架试验第一次试运转时，发现7 5 负荷时( 9 2 7 r p m 转速) 的工况下，机体有强烈的振动现象发生，其振动程度之剧烈是前所未有的，经初 步推断，其振动主要是由于发动机的横向力与力矩激励引起的机体振动。也正是基于这 - - n 断，对试验台的底座进行了加固：将分别独立的两个底座用若干槽钢焊接为一体成 为框架结构( 增加了系统的刚度，即提高了系统可能发生共振时的转速) ；同时采取措 施相应提高了底座的预紧力。重新试车后发现主机结构振动的共振转速提高到9 0 负 荷时( 9 8 5 r p m ) 的转速，但并未如预期的那样将共振移出到主机的工作转速之外，并 且振动程度比第一次的还要大。事实说明，这次改动是失败的。最后一次，按照船东的 要求将主机移回到老厂房进行台架试验，测量结果表明主机结构振动的情况是比较令人 满意的。共振转速出现在6 9 负荷时的对应转速( 9 0 0 r p m ) ，振动幅值已明显低于前两次 试车共振时的振动水平，并且主机在各考核负荷运行时的结构振动测量值均满足m b d 公 司对机体结构振动的限制要求。以往试验台设计布置阶段，通常的做法是只考虑结构强 度满足要求，并无振动特性方面的针对性的计算。为了分析产生共振的根本原因，澄清 柴油机自身振动过大的错误认识。本文运用有限元模态分析理论及a n s y s7 0 大型结构 分析软件，首先通过建立大型船用柴油机和试验台的有限元模型。建模过程：整个柴油 机用实体( b l o c k ) 单元来模拟、水力测功器简化为刚度与之相当的梁单元，地基用实体 单元来处理，而试验台机座用壳体单元来简化。利用a n s y s 的前处理功能分别对其进行 网格划分，并确定单元的材料特性、载荷工况、边界条件。并采用子空间迭代法 ( s u b s p a c e ) ，对其模态( 即频率和振型) 进行分析计算，得到结构的低阶振动频率和 振型。并将其计算结果与模态试验结果进行分析对比。对比结果表明有限元计算的分析 结果与试验结果十分吻合，进一步验证了有限元模型的有效性。因此针对船用柴油机和 试验台耦合振动计算使m b d 5 s 6 0 m c 的共振根源得以清晰呈现( 即试验台结构对其所起的 决定性作用不应忽视) ，排除了柴油机自身振动过大的错误认识。本文通过分析产生共 振的原因，找出设计布置的薄弱环节，从而通过改进设计，避免类似共振问题的再次发 生。因此在试验台的设计布置阶段，对试验台设计进行有限元模态分析计算能够为柴油 机制造厂试验台的布置提供合理的方案，并对生产效率的提高有着重要的意义。 大连理工大学硕士学位论文 1 概论 机械、交通、建筑、航空、航天等工业技术的发展，对产品的经济性、可靠性及舒 适性都提出了很高的要求。保证产品具有优良的经济性、可靠性及舒适性，当然要靠多 种学科及技术的协同配合才能达到。在机械、交通等工业技术领域中，总是不可避免地 遇到振动问题。 1 1 柴油机结构振动的起因和振动方式 发动机是一种用途广泛的动力机械，在内燃机车、船舶、汽车、拖拉机和工程机械 等领域中，更被用作原动力。而发动机也是内燃机车、船舶、汽车、拖拉机、工程机械 等动力装置的主要振动源。发动机振动有以下几个基本概念： 十任何工作中的机械( 或物体) 都存在不同程度的振动。 十系统的振动频率仅与系统自身的结构形式及质量有关。 $ 系统刚度( 刚度是指物体抵抗弹性变形的能力或度量) 越低者越容易在工作转速 范围内引起振动。 2 1 1 作中的机械( 或物体) 在共振时( 此时，激励的频率与物体的固有频率相同或 相近，俗称合拍) 振动最为强烈。 女避免机械共振的方法是或者使用减振装置衰减或吸收振动能量使共振的幅值减 小，或者通过改变整个系统的结构形式来改变系统的固有频率，使之远离激励频 率。 发动机曲柄连杆机构的往复与旋转质量在工作循环中产生周期性的一次和二次自由 力。这些自由力的矢量和对于发火间隔有规律的发动机而言，通常可以当作零来考虑。 但由此产生的一次垂直力矩m ，。、一次水平力矩m i 和二次垂直力矩池是引起机体不平衡 振动的原因。其振动现象是伴随有较大机械噪声的、从低负荷开始即存在的机体振动。 通常，这种振动是由曲轴自身和飞轮或调频轮上的不平衡配重以及发动机前、后端安装 的二次不平衡力矩补偿器来消除。发动机上未平衡的惯性力和力矩是整机振动的主要激 励源之一，它们使机器产生整体的横向及纵向的往复振动，以及绕各个坐标轴的回转摆 动。在发动机的工作过程中，整个曲柄连杆机构的重心位置相对机体不断变化，其运动 轨迹为椭圆，也会引起柴油机的整机振动。对多缸机来讲，这种重心的变化还可能导致 机器绕铅直轴的回转摆动。 自从内燃机诞生以来，改善其动力性能，降低其振动强度，一直是内燃机设计人员 大连理工大学硕士学位论文 努力的目标。但是，采用曲柄连杆机构的内燃机，结构复杂，气缸的做功过程不连续， 其惯性力和气缸气体力都具有强烈的冲击和宽频带激振作用；此外，内燃机还有各种系 统和部件，它们都存在各式各样的作用力。所以，由此产生的内燃机振动，其特点是多 振源，宽频带，形态复杂，不可能用一种振动类型加以概括。 内燃机振动可划分为下述四种类型： 整机振动：研究整机振动时，将内燃机及其支承简化为单质量多弹性支承系统，假 设内燃机为绝对刚体，在激振力作用下，作六个自由度的刚体运动。其激振力为气体压 力各曲柄连杆机构产生的惯性力和力矩，以及由往复惯性力和气体压力引起的倾倒力 矩。严重的整机振动会降低内燃机的工作可靠性和寿命，损坏各种连接管道，并对周围 环境产生振动噪声。 结构振动：结构振动主要是指实际上具有弹性的内燃机结构部件，如活塞、连杆、 曲轴、机体等，在燃烧气体力和惯性力作用下所激起的多种形式的弹性振动。它是诱发 发动机燃烧噪声和活塞敲击噪声的根源，是近二十余年来出于降低内燃机噪声的需要而 得到重视的一种振动类型。因为只有掌握结构振动的基本规律，以改善其振动品质，才 能为研制低噪声内燃机创造条件。 轴系扭转振动：多缸内燃机轴系包括曲轴，凸轮轴，传动轴等。它们的扭转刚度较 小，在周期性曲轴扭矩( 包括从动机械的不均匀阻力矩) ，凸轮轴阻力矩等的激振下， 出现扭转振动。严重的扭转振动除引起轴段的断裂外，还破坏各缸工作的相位关系，恶 化内燃机的工作状况和平衡性能，导致内燃机功率下降，振动噪声加剧。 虽然轴系扭转振动是人们研究最早，研究得最多的内燃机振动类型，但随着生产， 特别是高速、重载、大功率内燃机的发展，新的问题新的研究领域，扭转与轴向的耦合 振动等也不断扩展，因此，扭转振动的研究仍然非常重要”。 部件振动：内燃机的部件很多，它们的振动形式更是多种多样，最常见的是配气系 统振动和缸套振动。前者会破坏气门的正常工作，后者要引起缸套的穴蚀。 对于燃料系统的振动，出于完善喷射过程的需要，过去比较重视高压油管中燃油压 力波的研究，对喷油泵本身的机械振动，较少注意。 进排气管的气流振荡是部件振动的另一种形式，它对进气过程，乃至内燃机的整个 工作性能都有较大影响。 此外还有增压器等部件的振动。各种部件振动的特点不同，研究方法也不一样。过 去研究部件振动主要是为了改进部件和内燃机的性能。但应该看到，这些振动都会产生 噪声，其中配气机构噪声在内燃机总噪声中还占有相当大的比重。因此，在内燃机低噪 一3 大连理工大学硕士学位论文 声化的进展中“，减少这些部件振动和噪声的任务，需要而且已经开始提到研究日程上 来了。 1 1 1 发动机横向力与力矩引起的机体振动 机体横向振动是指柴油机机体在水平面作左右方向的振动。横向力是每个气缸按照 曲柄转角变化的燃气压力和质量惯性力产生的，分别作用在主机的十字头导板和曲轴主 轴承处( 亦称倾倒力与力矩) 。按照缸数及激振谐次的不同，这些横向力可以引起主机 的h 型或x 型的振动。所谓h 或x 型振动是因其振型与大写的英文字母h 和x 相似而得 名的，见图l _ l 。 x 型 图1 1h 和x 振动 h 型振动是最大振幅出现在主机顶部并且所有振幅具有相同的横向振动，通常在4 7 缸机上发生。x 型振动也是最大振幅出现在主机顶部，但从l 号缸到最后气缸的振幅 反相位1 8 0 0 ( 即节点在主机中心位置) 的横向振动，多发生在8 1 2 缸主机。 其振动特点是仅在某一负荷转速情况下才出现较为明显的振动现象( 共振) ，并且 高负荷时的振动量级要大于低负荷时的振动量级。 尽管这种横向振动对主机本身并不造成损坏，但它可能危及上层走台或增压器支架 的安全，并可能引起机舱和双层底结构的局部振动。通常的解决方法是在主机的排气侧 4 删 谴 呲 豫 ： ： 够啊黟霞彰 大连理工大学硕士学位论文 ( 或操纵侧) 安装顶部支撑“，改变主机周边结构的局部刚度，从而将系统的固有频 率提高到主机工作转速范围以外。 1 1 - 2 发动机轴系耦合振动引起的机体振动 发动机纵向振动“的激振力是由作用在曲柄销上的径向燃气和往复运动件的惯性形 成的。其振型主要与推力轴承的刚度和机座双层底结构的情况有关。这种激振力同时 也是轴系纵向的主要激励。从理论上来说，轴系的纵向振动和扭转振动对机体的结构振 动应该是没有什么影响的，但扭转振动可能引起曲轴的纵向变形，即产生所谓的耦合振 动，而这种耦合振动在共振的条件下将引起主机的纵向振动。实际上，由于广泛采用了 纵向减振器及转速禁区的划分，主机轴系的纵向振动对机体振动的影响是很小的。 1 25 s 6 0 m c 柴油机结构振动的特点 5 s 6 0 m c 主机是主机制造厂新总装厂房试验台上进行台架试验的首台机。在该主机 第一次试运转时发现7 5 负荷( 9 2 7 r p m 转速) 工况下，机体有强烈的振动现象发生。 9 0 和1 0 0 负荷时振动现象仍存在，但较之7 5 负荷的振动隋况要略好一些。对比前面 提到过的主机的三种振动形式，与第二种，郎由发动机横向力与力矩引起的机体振动现 象相符。随后进行的结构振动测量也证明了这一判断，见表1 1 。也正是基于这一判 断，对试验台的底座进行了加固，将分别独立的两个底座用若干槽钢焊接为一体成为框 架结构( 增加了系统的刚度，亦即提高了系统可能发生共振时的转速) 同时采取措施相 应提高了底座的预紧力。重新试车后发现主机结构振动的共振转速提高到9 0 负荷时 的转速( 9 8 ，5 r p m ) 但并未如预期的那样将其移出到主机的工作转速之外，并且振动量 级比第一次的还要大。事实说明，这次改动是失败的，见图1 2 。最后一次，按照船东 的要求将主机移回到老厂房进行座台试验。测量结果表明主机结构振动的情况是比较令 人满意的。共振转速出现在6 9 负荷的对应转速( 9 0 o r p m ) ，振动幅值已明显低于前两次 试车共振时的振动水平，并且主机在各考核负荷运行时的结构振动测量值均满足m b d 公 司机体结构振动的限制要求，见图1 3 和表1 2 ： 表1 15 s 6 0 m c 主机新厂房试验台各负荷下振动幅值测量值，单位：衄s 主机转速负荷5 谐次振动 r p m ( )横向垂直纵向 8 1 o5 01 28 71 o o1 6 6 9 2 7 7 55 1 ，7 45 1 7 5 4 4 5 一 大连理工大学硕士学位论文 9 8 59 05 0 9 25 9 24 8 5 1 0 21 0 04 65 l4 8 05 2 3 注：1 ) 表中仅列出气缸顶部某一测点的测量值，单位：m m s 。2 ) m b d 限制值：5 0 m m s 。 ，、 | i l 频率f h z 图1 25 次h 型振动。频率8 2 5 h z ( 或5 1 8 r a d s ) ，相当于9 9 o r p m 、 。 l 1 )l ? 一， 246 频率f h z 图1 35 次h 型振动。频率7 5 h z ( 或4 7 1 r a d s ) ，相当于9 0 o r p m 阳 ； o sujev遥罂臀鞋 5 ； 阳 的 加 o 一宅e】v埋罂餐蜡 大连理工大学硕士学位论文 表1 25 s 6 0 m c 主机老厂房试验台各负荷下振幅测量值，单位：m m s 主机转速负荷5 谐次振动 r d m( )横向垂直 纵向 6 4 3 2 5 3 7 8 1 o5 02 0 o 9 2 67 54 5 6 9 6 68 53 4 5 9 8 59 03 1 o 1 0 5 31 0 02 2 8 注：1 ) 图中仅列出气缸顶部某一测点的测量值，单位：m m s 。2 ) m b d 限制值：5 0 珊n s 。 1 3 有限元和模态分析技术发展和展望 有限元作为一种典型的求解连续场微分方程的数值方法，是包括内燃机行业在内的 机械工业领域中最主要的现代设计手段之一”。现代c a d 并行工程要求分析模型 能充分利用设计主模型，并与其相关一致，建立基于实体的有限元模型成为业界的主 流。然而尽管基于实体的有限元网格自动生成技术已拥有诸如映射法、布点及三角化 法、拓扑分解法和几何分解法等不同的实现方法，但是所有这些方法( 特别是映射法) 在复杂结构内燃机零部件分析中仍存在诸多困难。这些困难多是由于现有硬件及软件条 件无法满足计算工作量所造成的。因此研究如何在保证目标求解精度的前提下尽量减少 有限元模型的求解规模，便成为直接关系到问题求解成功率的重要课题。 目前试验模态分析和有限元解析方法相结合已成为解决内燃机工程结构振动的常用 方法“8 25 。3 9 , 4 3 , 6 2 , 6 7 。这在国内外学者都作了大量的研究工作。 机械结构的动力学分析通常采用试验模态分析和有限元计算进行。用试验模态分析 8 ”- 2 。3 3 地3 结果来修正有限元分析的结果以完善有限元分析模型，并准确地预测结构的 动态特性和振动响应，从而实现机械结构的动态设计和结构修改。振动响应分析不仅能 体现结构的动态特性，而且能预估工程结构的实际动力响应，反映结构的工作特性，因 此振动响应分析较动态特性研究更为有实用价值。 近年来在这个方面的研究主要集中在模型的精确化和激励力的确定上，以期改善动 力响应的分析精度”。”1 。 模态分析技术发展到今天已趋成熟，特别是线性模态理论方面的研究已e l 臻完善 “5 ，2 2 ，。1 13 7 j 的6 ”，但在工程应用方面还有不少工作可做。首先是如何提高模态分析的精度 大连理工大学硕士学位论文 “1 。”1 ，扩大应用范围。增加模态分析的信息量是提高分析精度的关键，单靠增加传感器 的测点数目很难实现，目前提出的一种激光扫描方法是大大增加测点数的有效办法，测 点数目的增加随之而来的是增大数据采集与分析系统的容量及提高分析处理速度，在测 试方法、数据采集与分析方面还有不少研究工作可做。对复杂结构空间模态的测量分 析、频响函数的耦合、高频模态检测、抗噪声干扰等等方面的研究尚需进一步开 展。模态分析当前的一个重要发展趋势是由线性向非线性问题方向发展。非线性模态的 概念早在1 9 6 0 年就由r o s e n b e r g 提出，虽有不少学者对非线性模态理论进行了研究， 但由于非线性问题本身的复杂性及当时工程实践中的非线性问题并未引起重视，非线性 模态分析的发展受到限制。近年来在工程中的非线性问题日益突出，因此非线性模态分 析亦目益受到人们的重视。最近已逐步形成了所谓非线性模态动力学“。“。关于非线 性模态的正交性、解耦性、稳定性、模态的分叉、渗透等问题是当前研究的重点。在非 线性建模理论与参数辨识方面的研究工作亦是当今研究的热点。非线性系统物理参数的 识别、载荷识别方面的研究亦已开始。展望未来，模态分析与试验技术仍将以新的速 度，新的内容向前发展。 8 一 大连理工大学硕士学位论文 2 有限元分析和动力学模态分析的理论及特点 2 1 结构动特性有限元法基本原理及特点 2 1 1 系统动力方程的建立 在运用有限元法( f e m ) 对一个具有连续质量的模型进行动特性模态分析汁算时， 通常将该模型连续结构体离散为有限个单元组成的子元素，求出单元 | | 4 度矩阵k 和单元 质量矩阵m 。按照节点自由度序号，对各单元的质量矩阵和刚度矩阵进行组集，得到总 刚度矩阵k 和总质量矩阵m 。对于小阻尼结构，可以采用复合阻尼c ，得出模型的振动 微分方程( 动力方程) ： m q 。+ c q + 1 i q f ( t ) = 0 ( 2 1 1 ) 式中：m 为总质量矩阵；c 为复合阻尼；k 为总剐度矩阵：q 为节点位移i q 量；f ( t ) 为整体载荷向量。 2 1 2 无阻尼自由振动 当结构系统无外部载荷作用，即式( 2 1 1 ) 中f ( t ) = o 时，系统由初始状态开始的 振动称为自由振动，其相应的振动方程为： m q + c q + k q = 0 在不考虑阻尼的情况下，对大型结构进行剖分离散，自由振动方程为 m q + k q = 0 2 1 3 固有振动频率与固有振型 设式( 2 1 3 ) 解的形式为 6 = 矗s i n ( u t + a ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 即系统偏离平衡位置作自由振动时，系统上各质点自由度均以同一频率u 和同一 9 船用柴油机和试验台耦合振动模态分析 相位角q 做简谐振动。将式( 2 1 4 ) 代入式( 2 1 3 ) 并消去公因子s i n ( t + o ) ，于 是：整个结构固有频率与振型的特征方程为： k 一 m j 西= 0 ( 21 5 ) 式中d 为系统自由振动固有频率：缸为特征向量，即结构的正则化模型。 k 一 ( 0 2 m 仍为一个矩阵，称之为系统的特征矩阵，用 a 表示，即 a = k 一 0 3 2 m 。式( 2 1 5 ) 为齐次线性方程组，该方程组有非零解的条件是其特征矩阵的行列 式必须等于零，即ia | = o 将上式展开，可得到关于2 的n 次代数方程式 2 n + a i ( 1 ) 2 ( n - j ) + + 锄一l ( 0 2 + a n = 0 ( 2 1 6 ) 该方程称为结构系统的特征方程。对其求解可得到n 个特征值i ( 或用 i 表示 c o i ) ，而0 3 1 ，m 2 ，即为几个结构系统固有振动频率。将各阶固有振动频率c 1 ) i 分 别代入式( 2 1 5 ) 后可得到相应于该阶固有振动频率的齐次线性方程组，各方程组中只 有( n k ) 各方程是独立的，其中k 表示( 0 ，是式( 2 15 ) 的k 重根。由此可以得到一系 列相互成比例的向量矗( 其中j = 1 ，2 ，) ，这些向量均对应于固有振动频率c o l ，任取 其中某个向量，用v i 表示，该向量描述了结构系统在第i 阶固有振动频率i 下的振动 型态，称其为固有振型( 也称主振型) 。由此可见，某阶固有振型仅表示出该阶同有振 动情况下结构上各点相对振动的大小，它并不是各点振动的实际值。将结构系统在某一 同有振动频率下所表现出的振动形态称为模态，其由相应的同有振动频率利同有振型描 述。在数学上，将与特征值 i ( f f 口c o i ) 相对应的向量v ，称为特征向量。可见结构同 有振动频率及其相应振型的计算实际上就是特征值与特征向量的求解问题。 将获得的i 和v i ( i = 1 ，2 ，n ) 代回式( 2 1 4 ) 中得到r l 组特解，由这几组特 解线性叠加即可得到结构系统自由振动的通解 彝2 a ，伊，s i n ( c - o t + q ) 一1 0 一 ( 2 1 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 2 1 4 同有振型的正交性与系统坐标变换 1 多自由度系统n 个固有振型之间，存在着对质量矩阵m 和刚度矩阵k 的正交 性，称为固有振型的正交性。 由特征方程式( 2 1 5 ) 得 k v = 岔 m v 从n 个固有振型中任取两个，例如v i 和vj 分别代入上式，得 k v i = i m v i k v j = ( 。j m v j 将式( 2 1 9 ) 两边左乘v j 的转置矩阵y j l ，得 yj k v 】= v j t 1 2 m v 1 将式( 2 1 1 0 ) 两边左乘v i 的转置矩阵v i 7 ，得 v 1 1 k yj = v i t o ) j 2 m v j 由 k 、 m 都是对称矩阵，不难证明 y j l k v i = v ，1 k v j yj 1 m v ，= v i t m 可j 将上式代入( 2 1 1 1 ) 和( 2 1 1 2 ) 得 1 1 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) 船用柴油机和试验台耦合振动模态分析 y j l k v ，= j 2 y j m v j v i + 。 m v j = i 2 v i 7 m vj 上两式相减得 ( 0 ) j 2 一c o i 2 ) v i 7 m v j = 0 当i jo i ( 0 j 时，下式必然成立 v ，1 m v j = 0 同理可推导出 v 1 。 k v j = 0 ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) 以上两式分别称为振型向量关于质量矩阵和刚度矩阵的正交关系式，即4 i 同同有振 动频率所对应的振型向量关于质量矩阵和刚度矩阵加权正交。它表明第i 阶振型的惯性 力( 或弹性力) 在第j 阶振型上不做功，也就是说在线性振动时，各阶同有振动之间小 互相传递能量。 i jo ) i = ( o j 时为系统特征方程的重根，此时不能直接由式( 2 1 1 7 ) 推出武( 2 1 1 8 ) 和( 2 1 1 9 ) 两式，不过这种情况下完全可以利用这正交性关系获得与( o ，和c o j 相应的彳i 同固有振型v i 和v j 并使它们满足正交性。 对式( 2 19 ) 两边乘v i 。得 v 1 1 】【 v i = i 2 v 】 m v 冈为质量矩阵是正定的，刚度矩阵是正定或半正定的，令 1 2 ( 2 1 2 0 ) 大连理工大学硕士学位论文 v 1 1 m v 1 = m i v i l k v i = k i( i = 1 ，2 ，n ) ( 2 1 2 1 ) 血总是正实数，称它为第i 阶模态质量；k i 则为非负实数，当系统作刚体运动，即 处于刚体模态时，相应的k 为零，其他固有振动模态对应的k i 为正实数，称k i 为第i 阶模态刚度。 由式( 2 1 2 0 ) 和式( 2 1 2 1 ) 可得 i = i 2 = v 1 7 k v 1 v i 7 m v i = k i m i ( 2 1 2 2 ) 即第i 阶固有频率的平方值o ) i 2 等于第i 阶模态刚度k i 与第i 阶模态质量m l 的比 值。 2 坐标变换与方程解耦 用物理坐标描述系统运动微分方程式( 2 1 1 ) 中，若质量矩阵是非对角矩阵，则式 ( 2 1 1 ) 中各个方程之间存在由质量项引起的耦合，这种耦合称为动力耦合或惯性耦合。 若刚度矩阵是非对角矩阵，则称由此产生的各方程之间的耦合，为静力耦合或弹性耦合。 如果选取的坐标恰好使微分方程组中质量与刚度矩阵既无惯性耦合也无弹性耦合，其相 当于由n 个相互独立的单自由度系统构成。通过坐标变换使耦合方程组变成无耦合方程 组的过程称为方程组的解耦。由于解耦方程组可看成由n 个单自由度系统组成，可通过 求解各个单自由度系统，再利用叠加原理即可获得系统的动态特性。 下面介绍通过坐标变换使方程组解耦的基本过程。 对系统自由振动微分方程式( 2 1 3 ) ，其 m 和 k 一般不同是对角矩阵，设己 求出系统同有振型组成固有振型矩阵 v = 1 l r l ，v 2 ，1 l ，n 。利用 v 作如 下的坐标变换 x ) = v q ) q ) 为引进的一组新坐标，称为模态坐标。将该式代入式( 2 1 3 ) 可得 1 3 ( 2 1 2 3 ) 船用柴油机和试验台耦合振动模态分析 m 儿v q + i i v q = 0 用 v 7 左乘上式可得 ( 2 1 2 4 ) v m v q + v k v q = 0 ( 2 1 2 5 ) 该式是在模态坐标下的一组解耦方程组。每一行可以看成单自由度系统自由振动微 分方程。可像解单一自由度一样求解。将得到的q i ( i = 1 ，2 ，1 3 ) 组成向量 q ) ， 代入式( 2 1 2 4 ) 即可求得振动系统物理坐标下的振动值 x ) 。 2 1 5 阻尼系统复模态分析 实际结构往往是有阻尼的，而且并非都是比例阻尼。因此在结构振动时，各点除了 振幅不同外，相位亦不尽相同，即相位差不一定是0 0 或1 8 0 。这样，模态系数便成为 复数，即成为复模态。 对结构阻尼系统，其运动方程可写成 m + l 【j + j r y = f 式中眉为结构阻尼矩阵。 对上式两边进行拉氏变换，得 ( m s 2 + k + j r ) y ( s ) = f ( s ) 阻抗矩阵为 z ( s ) = m 。2 + k + j r = m 。2 + ( i + j g ) k 式中6 为结构损耗因子矩阵，矗- k = 尼( ，+ j g ) j | r 称为复刚度矩阵。 传递函数矩阵为 h ( s ) = m s + ( i + j g ) k 一1 4 一 ( 2 1 2 6 ) ( 21 ，2 7 ) ( 2 1 2 8 ) ( 2 1 2 9 ) 大连理工大学硕士学位论文 频响函数矩阵则可写为 h ( ) = ( i + j g ) k 一2 m 对结构阻尼系统，其特征解具有同样的正交性，可用下列方程定义 1 l r 。m v = ， 平。( k 十j r ) l r = 缸 ( 2 1 3 0 ) ( 2 1 3 1 ) ( 2 1 3 2 ) 式中1 l r 为复模态矩阵。此时的模态质量厨，与模态刚度矗均为复数，其数值依赖 于模态向量v ，的幅值的正则化方法。但下列关系始终是成立的： r 2 = i r ，蔚，= ( 1 + j g r ) k , i m , = ( 1 + j g r ) 岔 ( 2 1 3 3 ) 若取m r 对模态向量进行正则化，则有 中r = r m r l 雎 则式( 2 1 3 3 ) 的正交性条件可改写为 中m 中= i 0 1 ( i + j g ) ko = r 2 则有 r 2 = ( 1 + j g r ) 对式( 2 1 2 9 ) 两边求逆，左乘o ，右乘，并由正交性条件可得 一1 5 一 ( 2 1 3 4 ) ( 2 1 3 5 ) 船用柴油机和试验台耦合振动模态分析 1h 一1 ( ( 0 ) m = 1 ( i + j g ) k 一气僵 中= r 2 一2 则h ( ) = m r 2 一o ) 2 叫0 7 f 2 1 3 6 ) r 2 1 3 7 ) 对于一般粘性阻尼系统( 非比例粘性阻尼) ，由于阻尼矩阵不能在n 维主空间中解耦， 因此采用状态空间法来建立系统的运动方程。 假设粘性阻尼力与速度成正比，因此运动方程为 m y 4 + c y + k y = f 又一m y = o 将上式与( 2 1 3 8 ) 联立，并以矩阵形式表示，可得 三等 ( 2 n 2 n ) ，y、 令亍= ty ，( 2 n x l ) 称为状态向量。 式( 2 1 3 9 ) 可改写为a i ，+ b 亍= f 上式称为状态方程。 先研究自由振动，这样上式则为 a y + b y = o 式中 a ： 暑警n = 笳 1 6 一 ：) ( 2 n x l ) ( 2 1 3 8 ) ( 2 1 3 9 ) ( 2 1 4 0 ) ( 2 1 4 1 ) 、l， y r 慨 犯 大连理工大学硕士学位论文 它们都是( 2 n 2 n ) 阶矩阵。 设式( 2 1 4 1 ) 的解为 i = e “叠，= 平xe 1 式中矽= ，雌。删1 ，将它代入式( 2 1 4 0 ) ，得 f v、 (