（计算数学专业论文）欧拉法对时滞微分方程tb分歧的保持性.pdf

、 lij_一 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东：i k n 范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 ：l k j f l 范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 一 日期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 日期： 电话： 邮编： 一， 考虑具有t - b 奇性的时滞微分方程 摘要 戈( f ) = a x ( t ) + b x ( t 1 ) + ，( 颤r ) ，x ( t 1 ) ，口) ，口r 2 ， 其欧拉格式为 x n + 12x n + ，以为l + h b x n 朔+ h f ( x n ，而，一m ，a ) 已知此数值格式含有1 ：1 共振，即欧拉法保持了上述时滞微分方程的t - b 奇性本文参照时滞微分方程的中 心流形约化与规范型计算方法，将上述数值格式约化为中心流形上的二维映射，得出约化形式与欧拉格式之 间参数的关系，通过对该规范形式的分析，得到上述格式在参数平面上的分歧结构：由原点出发的n e i m a r k - s a c k e r 分支( 映射的h o p 盼支) 和离散同宿轨分支，且证明了该n e i m a r k s a c k e r 分支和离散同宿轨分支为原 时滞微分方程相应的h o p f 分支和同宿轨分支的d ( 1 1 ) 扰动，即欧拉法保持了时滞微分方程在t - b 点附近的分 歧结构 关键词：时滞微分方程；欧拉法：t - b 分歧：保持性 a b s t r a c t c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft w op a r a m e t e r sw i t ht - bs i n g u l a r i t y ： 颤f ) = a x ( t ) + b x ( t 一1 ) + f ( 工( f ) ，x ( t 1 ) ，a ) ，口r 2 ， b ya p p l y i n gf o r w a r de u l e rs c h e m ew eg e t x n + 12x n + h a x n + b 而l 埘+ h f ( x n ，翰i m ，口) w eh a v ek n o w nt h a tt h i sn u m e r i c a ls c h e m eh a sa1 ：1r e s o n a n c e ( t h et - bp o i n to fm a p ) ，t h a ti s ，t h ee u l e r m e t h o dp r e s e r v e st h es i n g u l a r i t yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e rw er e d u c et h en u m e r i c a l s c h e m em e n t i o n e da b o v et oap l a n a rm a po nt i l ec e n t e rm a n i f o l db a s e do nt h ec e n t e rm a n i f o l dr e d u c t i o na n d n o r m a lf o r mc a l c u l a t i o n ，w i t c hh a sb e e nu s e df o rt h ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m e a n w h i l e ，w ef i n dt h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h ep a r a m e t e r so ft h er e d u c e df o r ma n dt h ee u l e rs c h e m e ，a n dt h e no b t a i nt h eb i f u r c a t i o n s t r u c t u r eo ft l l ee u l e rs c h e m eb ya n a l y z i n gt h en o r m a lf o r mw eh a v e ：t h e r ee x i s tan e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a - t i o n ( t h eh o p fb i f u r c a t i o nf o rm a p s ) b r a n c ha n dad i s c r e t eh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o nb r a n c he m a n a t i n gf r o mt h e o r i g i no ni t sp a r a m e t e rp l a n e ，f i n a l l yw ep r o v et h a tt h e n e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o na n dd i s c r e t eh o m o c l i n i c b i f u r c a t i o na r er e s p e c t i v e l yt h eo ( h ) p e r t u r b a t i o no ft h eh o p fb i f u r c a t i o na n dh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o nt h a t f o rt h ei n i t i a le q u a t i o n ，t h a ti s ，t h ee u l e rm e t h o dp r e s e r v e st h et - bb i f u r c a t i o ns t r u c t u r eo fd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；e u l e rm e t h o d ；t - bb i f u r c a t i o n ；p r e s e r v a t i o n t 目录 中文摘要i 英文摘要i i 目录0 00 00 i l l l 前言1 2 预备知识3 2 1 常微分方程的t - b 奇性3 2 2 时滞微分方程的t b 奇性及t - b 点附近的分歧性质3 2 3 映射的1 ：1 共振5 2 4 欧拉离散近似0 00booooo 5 2 5 欧拉法对时滞微分方程的t - b 奇性的保持6 3 欧拉法的分歧结构分析7 - 二 3 2 引言7 3 2 时滞微分方程的欧拉格式及其约化形式j “7 3 3 欧拉法对t - b 分歧的保持性1 6 4 结论1 9 参考文献：2 0 致谢2 2 i l l 东北师范大学硕士学位论文 1 - 一 1月i j 吾 微分动力系统理论中，若系统状态的发展不仅仅依赖于当前的状态，也依赖于系统在过去某些时刻 或时间段的状态，则称此类动力系统为时滞微分动力系统。例如时滞微分方程 戈( f ) = f ( t ，f ) ，x ( t 一- r ) ，a ) 其中x r n ，a r e 若右端函数不显含时间t ，则称为自治的时滞微分方程。 时滞微分方程普遍存在于自然科学与社会科学的许多领域中。 对于依赖于参数的非线性动力系统，当参数历经某一临界值时，动力系统的行为与解( 集) 的结构往 往会发生显著的变化，这就是动力系统的分歧理论所要研究的对象。此临界的参数值称为分岔值，也称 分歧。微分方程的分歧行为是一种非线性现象，往往是由方程的奇异性引起的，而且形态多样，其中人 们非常关注的一个课题是关于b o g d a n o v t a k e n s 奇性和相关分支结构的研究。 常微分方程的分歧理论已经相对完善，而对于含一个甚至多个时滞量的时滞微分方程，由于其结构 和相空间都更加复杂，研究起来就要困难得多。研究时滞微分方程的有效方法，一般是先将系统线性化， 改写为如下形式的滞后型泛函微分方程 之o ) = l ( 口) z f + g ( z t ，口) ，g ( z t ，口) = o ( 1 l z f i l 2 )( 1 2 ) 借助特定的算子将( 1 2 ) 表示为抽象的常微分方程组。然而，尽管我们可以对时滞微分方程进行约化，把 问题转化为相关的常微分方程组进行讨论，但是由于微分系统的复杂性，无论是对其分歧行为的研究还 是求解它的分歧解，离散的数值方法都是一个必不可少的工具，如今数值方法的分歧理论也越来越受到 学术界的重视。 数值方法能否保持微分方程的分歧性质，这一点对动力系统的数值计算是十分重要的。如果数值方 法最终改变了系统解的性态，相关的数值计算就毫无意义。 对于常微分方程的情况，已经有学者针对离散格式对分歧结构性质的保持性做了大量工作，并已 取得实质性的进展。l a j o sl o c z i 和j o s e p hp a e zc h a v e z 在文【1 冲着重讨论t r u n g e k u t t a ( 以下简称r k ) 方法对一般的常微分方程f o l d 分歧，c u s p 分歧和t - b 分歧的保持性，说明了方程在r k 方法离散化之后， 上述各类奇点均得以重现，同时得出关于中心流形局部性态的一些结论。对于t - b 分歧的情形，系统的 离散格式在原点存在一个非退化的1 ：l 共振。文章最后用一个具体的数值算例得到的分歧结构图说明离 散格式的l ：1 共振与连续情形的t - b 点出现在同一位置。最近j o s e p hp a e zc h a v e z 在文 2 】中对离散的分 歧结构进行了进一步的研究，指出在p 阶单步法离散化之后，连续系统的f o l d h o p f 分歧点发生偏移，并 且转化为f o l d n e i m a r k s a c k e r 点。作者还画出连续系统在t - b 点附近的局部分支图，对比相应的离散化 格式在奇点附近的分歧图指出：在参数平面内存在t - b 点的某个与数值方法步长无关的邻域使得离散格 式n e i m a r k s a c k e r 点的路径以数值方法的阶逼近于相应连续系统的h o p 盼支，并且两条分支曲线相交于 东北师范大学硕士学位论文 对应的t - b 点，离散化之后t - b 点的位置未发生变化。文章最后用一个具体例子基于m a t l a b 的计算验证了 结论的正确性。 由于常微分方程是时滞微分方程的一个特例，自然地，我们关心这样一个问题：上述关于常微分方 程的结论能否平移到时滞微分方程? 也就是说，对于一个具有t - b 奇性的时滞微分方程，它的离散格式是 否保持了原方程的分歧结构? 考虑含参数的时滞微分方程 ， ， x ( t ) = ，( 工( f ) ，x ( t 1 ) ，a ) ，工妒，五r a ( 1 3 ) 徐英祥博士在文【3 】中较为详尽地描述了具有t - b 奇性的这类时滞微分方程，包括它在t - b 点附近的同宿 轨与i - l o p f 9 歧结构。文章不仅给出了具有t - b 奇性时滞微分方程组的刻画与判定方法、中心流形约化与 规范形式，通过计算得到并证明了含双参数的时滞微分方程在其参数平面上存在由t - b 点出发的h o p f 分 支和同宿轨分支，而且研究了时滞微分方程的离散化与数值模拟方法，并证明了离散化对特征结构的保 持性：将欧拉法应用于具有t - b 奇性的时滞微分系统时，t - b 点的特征结构能够被数值格式有效的继承下 。 来。 连续系统的离散格式可以看成是一个多维的映射。有关具有t - b 奇性的微分同胚映射的理论，请参 见文【4 ，5 ，6 ，7 】。这里要特别指出的是，在文【7 】中v a s s i l ig e l f r e i c h 证明了平面微分同胚映射与平面向量场 的情况类似，都存在由t - b 点出发h o p f f f f 支和同宿轨分支，而对于映射的情况，同宿分支不再是一条单一 的曲线，而是一个类似扇形的区域，称为同宿区( h o m o c l i n i cz o n e ) 。当参数在这个区域内时相应的微分 同胚映射具有同宿轨分歧点( h o m o c l i n i cp o i n t s ) 。 那么，对于这类具有t - b 奇性的离散格式，它在奇点附近的分歧结构性质是否也被保持下来? 也就 是说，离散格式是否同样存在由t - b 点出发的h o p f 分支和同宿分支? 如果是，它们和相应的连续情形在参 数平面上分支结构是否以数值方法的阶近似? 本文将针对一类含双参数的时滞微分方程在数值方法作用下的离散格式展开讨论，关心数值方法应 用于求解具有t - b 奇性的时滞微分方程时，其是否保持连续问题的分歧结构，或者有什么新的分歧产生。 为此本文还将从最简单的欧拉法出发，对一个具有t - b 奇性的时滞微分方程进行探讨，尝试得到类似常 微分方程或者更加丰富的结论，结果有望进一步拓展时滞微分方程分歧闯题的数值分析理论。 2 i 东北师范大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1 常微分方程的t - b 奇性【3 】 考虑含参数常微分方程 j = f f x ，口) ，z 瞅，口r p ， ( 2 1 ) 其中连续可微，且满足f ( x o ，c r o ) = 0 ，即当 = a o ) 时，绚为( 2 1 ) 的平衡点如果 ( 1 ) o 是a ( x o ，a o ) 的代数重数为2 ，几何重数为1 的特征值， ( 2 ) a ( x o ，a o ) 的其它特征值均不具有零实部， 此时称( x o ，口o ) 为系统( 2 1 ) 的t - b 点，并称( 2 1 ) 具有t - b 奇性 。 若要方程( 2 1 ) 具有t - b 奇性，贝j j ( 2 1 ) 至少是二维的，但对时滞微分方程来说，情况并非如此，一维的时滞微 分方程亦可出现t - b 奇性 2 2 时滞微分方程的t - b 奇性及t - b 点附近的分歧性质【3 8 】 考虑如下含双参数的n 维时滞微分方程 颤f ) = ，( 工( r ) ，x ( t 一1 ) ，口) ， 其中工，口r 2 ( 2 2 ) 的状态空间为c = c ( 卜1 ，0 】，r n ) ， 假设，：时r n r 2 _ 础为光滑函数，且有： f ( o ，0 ，a ) = 0 ， a ：掣( o ，0 ，o ) ，b ：掣( o ，0 ，o ) o x咖 经过简单计算，可将( 2 2 ) 写成如下形式： 颤f ) = a x ( t ) + b x ( t 一1 ) + ，( 颤f ) ，x ( t 1 ) ，口) ， ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其特征方程为 ( ：= d e t ( m 一a b e 一“) = 0 ( 2 6 ) 称时滞微分方程( 2 5 ) 具有t - b 奇性，如果 ( 1 ) 五= 0 为方程( 2 5 ) 的代数重数为2 ，几何重数为1 的特征根， ( 2 ) 方程( 2 5 ) 除0 以外的其他特征根均不具有零实部 此时称( 工，口) = ( 0 ，0 ) 为时滞微分方程( 2 5 ) 的t - b 点 设妒i ，妒2 分别为( 2 5 ) 相应于特征值0 的特征向量及广义特征向量，砂2 ，砂1 分别为相应于特征值0 的特征 向量及广义特征向量，若记( 2 5 ) 的关于特征值。的链征空间为p ，则驴l ，妒2 ，砂l ，砂2 满足如下引理： 东北师范大学硕士学位论文 引理2 1 空间p 与其对偶空间p 的基底有如下表示： p = s p a n 西，口吖d = pj ( d ，晚( d ) ， p = s p a n 罗，罗( j ) = c o l ( 够q ( s ) ，砂2 ( s ) ) ， 一1 口剑 ( 2 7 ) 0 s 1 其中妒l ( 回= 鳄舯 o ，2 ( d = 醒+ 妒0 日，鳄，而砂2 ( 5 ) = 蠼r n + o ，沙l ( j ) = 钟一s 皑，蜩科+ ， 它们满足 ( 1 ) 似+ b ) ? = 0 ，( 2 ) + 口) 妒? = ( b + ，) 妒? ， ( 3 螵乏+ 动= o ，n。( 4 ) 蜩似+ 聊= 皑( b + ，) ，(28)1 ( 5 ) 理庐? 一芝甲，o b 妒? + 砂? 即? = 1 ， 、 ( 6 ) 妒? 驴2 一夏1 缈0 l b 妒? + 妒? 曰2 + 石1 妒0 2 占? 一互1 缈2 0 曰驴2 = 0 这里，除相差一个常数因子外由( 1 ) 和( 3 ) 可唯一地确定向量妒? ，职，进而由( 2 ) 、( 4 ) 两式又可确定锻，砂? ， 而( 5 ) 、( 6 ) 两式则用于确定向量钟和蛆的系数因子o 由 8 】和上述引理可知，具有t - b 奇性的时滞微分方程( 2 5 ) 在中心流形上可约化为 其中 则有 之l 。z 2 之2 = k l z l + k 2 2 2 + 口z + b z l z 2 + 1 1 1 d t ， 七l = 鹋( a l + b 1 ) 妒? 口l + i 沙2 ( a 2 + b 2 ) 妒? 口2 ， k 2 = 砂? ( a l + b 1 ) 钟+ 砂2 ( ( a l + b 1 ) 庐2 一曰l 妒? ) 】口l + 【砂? ( a 2 + 眈) 妒? + 缈2 ( ( a 2 + b 2 ) 妒2 一b 2 妒o ) o r 2 ， 口= 镀( 历+ 局+ g f 渺o l 缈o l f ， i = l 刀 6 = 2 4 b o i e ( e i + f i + g f ) 妒o l 妒o l ， + 啦【( 毋+ f i + g f ) ( 妒溉) + 删f 一( 历+ 2 g 脚。俐o 。j j 一 f = lf = l 记 n = 0 0 ( a ! + b i ) 菇 i ! 麓：二1 了：，鹋一b 。钾， p 0 ( a 2 + b 2 ) 钟 1 蜩( a 2 + 既) 驴? + 理( ( a 2 + b 2 ) 庐! 一b 2 ? ) j 睁叱】 关于方程时滞微分方程t - b 点附近的分歧性质，有如下定理： 4 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 东北师范大学硕士学位论文 定理2 1f 8 】 设时滞微分方程( 2 5 ) 具有弘b 奇性，并且满足f ( 妒量f r 2 ，r n ) ( 七2 ) ，关 于七l ，七2 和口l ，口2 的线性变换( 2 11 ) 非奇异，目t j d e t f l 0 ，且由( 2 9 ) 定义的a ，6 满足a b 0 ，那么 j 存在留 0 ，使当o k l ( 0 1 ，0 2 ) 0 ，使当o ( e f + + 1f 妒i 乏1 j一 一妒0 f 妒嘶+ 驴2 ，鳄1 ) + 一( 鹋l f 庐：2 + 妒茏，鹋1 ) + g f 够1 f ( 妒2 1 f 妒茏一m ：l f 鳄l + 妒茏，f 鳄l 一，l 鹋1 ，f 鹋1 ) ) 乙i z 2 n + ( 西( 妒! f 妒：厂m 妒! ，妒：1 ) + f f 如。f 如+ g r ( 如，如一删茏，f 妒：l m 鳄1 ，如+ m 2 of 妒2 1 ) ) 兹2 f 1 1 4 、j o 以 0 d 剐。 20 d 0 d 驴 e 剖。州 忍+ 20 d 矿 o l 妒l e 洲。斟 + 东北师范大学硕士学位论文 根据上面的计算可以算出爿( 乙，0 ，a ) ，并由g ! = ( i - p ；2 ) 爿求得g ! ，代入( 3 2 2 ) 并整理可得如下定理： 定理3 1具有t - b 奇性的n 维时滞微分方程( 2 5 ) 的欧拉格式( 2 1 7 ) 在点( ，口) = ( 0 ，0 ) 处存在j ：共 振，并且它在中心流形上可以约化为如下二维映射： 其中 则有 乙+ l ，1 = 磊，1 + 磊2 ， 磊+ 1 2 = 乙，2 + k d l z n ，l + k d 2 z n 2 + 砌z 主l + b d z n 1 乙，2 + | l z d t ， 幻l = 砂2 2 h ( al + b 1 ) 妒o l 口l + 班0 2 h ( a 2 + b 2 ) 妒0 1 0 ：2 ， k d 2 = t o , o l h ( a l + 曰1 ) 鳄l + 砂嶷( ( a l + b 1 ) 妒茏- b l 妒0 i ) 】a l + 【砂：l h ( a 2 + 励) 鳄1 + 砂0 2 ( h ( a 2 + 占2 ) 庐戋一b 2 妒：1 ) 】口2 ， 口d = 蜴j i z ( 毋+ f i + g f ) 鳄l 靠，。 g i ) 驴0 】鹋1 f + 鹋：而( 历( 妒2 l f f 如一鳄，钙。m + 妒2 2 ，鹋。) + 毋( 妒：妒受+ 妒如，钙，) f = l + g f 鹋l f ( 以l ，f 如一删潲l + 如。f 鳄l - m ：1 f 妒：1 ) ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 以d 2 h ( a l + b 1 ) 钙l屹 似2 + 历) 鳄l 1 + b 1 ) 鳄j + f f o ( h ( a l + b 1 ) 如一召l 钙1 ) 帕l h ( a 2 + b 2 ) 鳄l + 嵋2 ( h ( a 2 + b 2 ) 如一b 2 ：l 陆 nh i 口2 j ( 3 2 5 ) 在约化系统( 3 2 3 ) q b 系数k d l ，k d 2 将看成新的参数为了保证它们是无关的，( 3 2 5 ) 要求是一个非奇异的线性 变换，为此我们假设d e t f l 0 对比( 2 1 0 ) 与( 3 2 4 ) ，并由( 3 1 0 ) 9 将系统( 3 2 3 ) 转化为如下形式? 乙+ 1 12 乙。1 + 乙，2 ， z ；+ l ，22 乙，2 + h k l z n ，l + k 2 z n ，2 + h a z 。2 1 + 1 z ；2 + d t ， 其q h k l ，k 2 ，a ，易为时滞微分方程( 2 5 ) 在中心流形上的约化形式( 2 9 ) 中定义的系数o 1 5 ( 3 2 6 ) ， + 厅 +e 刨。匹矧。 砂 ，二 = a l 矗 0 j 沙 记 = 若 p 东北师范大学硕士学位论文 3 3 欧拉法对t - b 分歧的保持性 我们知道约化形式( 3 2 6 ) 关于点( 七l ，k 2 ，磊。1 ，乙，2 ) = ( o ，0 ，0 ，o ) 的局部分歧行为是由其中的线性项和 二次项所决定，忽略高次项可得： 乙+ l ，l 。乙l + 乙，2 ， ( 3 2 7 ) 乙+ 1 2 = 乙2 + h k l 乙，1 + k 2 z n ，2 + 蛔z 差l + 易乙，1 乙2 对于欧拉格式的约化形式( 3 2 7 ) ，我们有如下引t l - 引理3 1令舻( 七l ，如) 是映射( 3 2 7 ) 在不动点f k l ，o ) 处j a b i 口，z 的特征值则当口易o ，七l o ，且 o 是( 3 2 7 ) 于参数平面( k l ，k 2 ) _ 1 2 篚j n e i m a r k - s a c k e ，分支f 映射的日碱分支，曲线o 证明：易验证( 3 2 7 ) 有两个不动点( 0 ，o ) 和( 一k _ 口l ，o ) ，；g o o ( o ，o ) 当七i 0 时是双曲不动点，而系统在( k _ 口l ，o ) 处 的j a c o b i 粕为 ，c 七一，七z ，= 一二。+ 乜1 _ 龛忌。 因为七l 0 , h 0 ， 当娩一 - - k l + 眦l = 0 时， 舻( “乜) ：1 一牛f 下4 h k l - h 2 层l l 为，( 七l ，幻) 的特征值，其模为1 + ( 幻一兰七l + 舭1 ) ，从而( 1 ) ( 2 ) 成立 从( 2 ) 可知当( 足l ，如) 由f 一侧移动到另一侧时，特征值舻 l ，k 2 ) 将穿越单位圆 4 眦l h 2 砰 令0 = a r c t a n 立二，则必存在使得v 矗 0 ，h o o ，使得当o 七l 缸l ，o r 2 ) 王 ) ( 2 口口 ，l 七 、，、j2 口口 ，l，l d+ 、j 3 2 矗 、j2 口口 ，l 3i 七 d+ 、j2 aa l 七 忍 5 7 一 、j2 口 口 l 七 6 一口6 7 = 、，2 口 口 ，l2 七 、j2 口a l ，l = k 东北师范大学硕士学位论文 对比原时滞微分方程的h o p 份支表达式( 2 1 2 ) 与同宿轨分支表达式( 2 1 3 ) ，我们得到本文的主要结论： 定理3 j设时滞微分方程( 2 5 ) 具有t - b 奇性，其欧拉格式( 2 1 7 ) 在参数平面上存在由原点出发笆j n e i m a r k - s a c k e r 分支磊和离散同宿轨分支k ，其分别为原时滞微分方程在参数平面上由原点出发的h o p f 爿) 支如和 同宿轨分支k 的d ( | 1 1 ) 扰动，即 l h = l h + d ( ) + d ( i ( 口l ，a s ) 1 ) ， z o o = k + d ( 矗) + o ( 1 ( a l ，口2 ) i ) ， 即欧拉法保持时滞微分方程的t - b 分歧结构一 f h 3 7 ，1 5 i n 知，含有l ：1 共振的映射的分歧结构