（基础数学专业论文）交错素纽结的三元素表示及环面链环连通和的辫指数.pdf

i i i ii ir lli i iir l ll lliii 18 0 5 7 9 8 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 捻瓠 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：捻齑&指导教师签名：弛 日 期：迎幽l 踊日期：浏啤岁i | 目眵因 篇蒿戳黜巍话： 工作单位】翅! 随蒸：i 舔i 盈强痤时霉龟话： 摘要 本文首先研究了交错素纽结是否存在质数p ，在所有交叉点满足x + y 一2 z = 0 ( r o o dp ) 其中工，y ，z 分别代表交叉点处的两个下垮与一个上垮弧线的数值，并证明了该性质是在r e i d e m e i s t e r 移动下保持不 变的性质。然后进一步推广环面链环的辫指数我们知道任意链环都可也成辫形式，辫指数是链环的重 要不变量，是研究链环的重要手段，通常情况下链环的辫指数很难准确计算，只能确定辫指数的上下边 界。应用辫指数不等式和环面链环辫指数的结论，从而得到两个环面纽结链环做连通和后的辫指数，并 进而推广到疗个环面链环连通和辫指数 关键词：t h ep r o p e r t yo f t h r e ee l e m e n t s ；b r a i di n d e xo f t h et o r u sl i n k ；j o n ep o l y n o m i a l ；t h em i n i m a l n u m b e ro fs e i f e r tc i r c l e s i a b s t r a c t t h i sp a p e rf i r s t l ys t u d i e st h ee x i s t e n c eo f p r i m en u m b e ro na l t e r n a t i n gp r i m ek n o l s u c ht h a tx + y 2 z = 0 ( m o dp ) o ne v e r yc r o s s i n g ，w h i l ex ，yl a b l et w ou n d e r s t r a n da n dzl a b l e st h eo v e r s 仃a n d a n dip r o v et h a t k n o t sr e m a i nt h i sp r o p e r t yu n d e rt h er e i d e m e i s t e rm o v e s t h e nip r o m o t eb r a i di n d e xo ft h et o r u sl i n k w e k n o wt h a ta l ll i n kh a v et h ef o r mo fb r a i d , b r a i di n d e xi sa ni m p o r t a n ti n v a r i a n to fl i n k , a n di ti s 觚i m p o r t a n t m e a n st os t u d yl i n k s i ti sd i f f i c u l tt oc a l c u l a t et h ea c c u r a t eb r a i di n d e xo ft h el i n k , b u tw ec a l lc a l c u l a t et h e u p p e ra n dl o w e rb o u n d a r i e so ft h eb r a i di n d e x w ec a l lg e tt h eb r a i di n d e xo ft h ec o m p o s i t i o no ft w ol i n k s u s i n gt h ec o n c l u s i o na b o u tt h eb r a i di n d e xo fi n e q u a l i t ya n dt h ec o n c l u s i o n so ft h eb r a i di n d e xo ft o r u s l i n k , a n dw ec a na l s og e tt h et h eb r a i di n d e xo ft h ec o m p o s i t i o no fnl i n k s k e yw o r d s ：；j o n ep o l y n o m i a l ；三元素性质；环面链环辫指数；琼斯多项式；最小s e i f e r t 圆数 n 目录 中文摘要 英文摘要 目录 1 引言 2 预备知识 3 交错纠结的三元素表示 4 环面链环连通和的辫指数 5 讨论与总结 参考文献 致谢 i i i 东北师范大学硕士学位论文 l 引言 纽结理论历史久远，但从数学上研究纽结，始于德国数学家卡尔弗里德里希高斯，高 斯研究电磁场的性质，认为与纽结有关十九世纪末叶，产生拓扑学，纽结理论再次成为热 点研究课题，今日纽结理论应用在弦理论，d n a 复制和统计力学等领域 本文是对纽结和链环的三元素性质及辫指数的研究，纽结和链环的三元素性质及辫指 数都是纽结和链环的不变量，它们是区分纽结和链环的重要性质本文给出三元素表示的 定义，称纽结k 是具有三元素表示的，是指如果存在纽结k 的一个投影图g 与一个质数 p ( p 3 ) ，使得在g 的每个交叉点处均有满足j + y 一2 z = 0 ( m o dp ) 的整数x , y ，z 存在其中 0 x , y , z p 一1 ，x , y 分别表示该交叉点处下跨的两股弧上的值，z 是上跨弧的值记i x ，只习 为该交叉点处的三元素，并证明纽结的三元素表示性质是在r e i d e m e i s t e r 移动下保持不变的 性质，应用构造法给出定理3 3 ( 交错的素纽结具有三元素表示，即若k 是一个交错的素纽结， 则存在质数p ，使它在每个交叉点处有满足x + y 一2 z = 0 ( r o o dp ) 的代数表示b ，y ；z 】) 的证明 纽结和链环辫指数的研究应用了m o r t o n f r a n k s w i l l i a m s 和y a m a d a 给出辫指数上下界得 出最后的结论并证明定理4 3 4 两个环面链环连通和的辫指数等于两个链环辫指数的和减 1 ，即环面链环连通和的辫指数b ( l l 牡2 ) = n l + n 2 1 = 姬1 ) + b ( l 2 ) 一1 东北师范大学硕士学位论文 间 中 点 在 进 2 预备知识 东北师范大学硕士学位论文 而是一组平面圆( 通常情况下它们不是圆，但是在拓扑学中可以将之变形为圆) ，我们称这些 圆为s e i f e r t 圆。投影图k 的s e l f e r r 圆的个数记为s ( k ) 如图5 图6 5 定义2 7 1 8 环面纽结 环面纽结位于一个不打结的环面上，并且在环面上没有交叉。例如环面上的三叶结，如 6 定义2 8 8 】琼斯多项式和h o m f l ) ，多项式 在认识琼斯多项式之前先了解一下尖括号多项式和x 多项式 尖括号多项式 1 ) ( o ) = 1 2 ) ( ) = 彳( ) ( ) + a 一1 ( ) 3 ) ( luo ) = ( a 2 a 一2 ) ( l ) 这三条规则还能够保证尖括号多项( 上) 是无向投影图的正则合痕不变量，即在r e i d r m e i s t e r 移动、下保持不变 黜多项式 坝三) = ( 卅3 ) 一叫工( l ) 它是给定方向的链环多项式，其中，( ) 是给定方向的链环投影图上 的拧数即投影图中的交叉代数和w ( l ) = 1 坝三) 多项式在r e i d r m e i s t e r 移动，下都保持不变，它是纽结和链环的不变量 琼斯多项式 用厂 代替x 多项式中的4 ，就有琼斯多项式h ) = ( - t j ) 一“ ) ，它是纽结和链环的不 3 么|， 么 一 东北师范大学硕士学位论文 变量并有如下关系式厂1 以厶) 一t v ( l 一) + ( f _ 一r ) 矿o ) = 0 国) h o m f l y 多项式 满足下面两个关系式 1 ) p ( o ) = 1 2 ) r 1 p + ) 一x p ( l 一) 一y p ( l o ) = 0 将f = x , y = 一( 厂一f ) 爿d m 咒y 多项式就变为琼斯多项式，h o m f l y 多项式是比琼斯多 项式更好用的多项式，本文中提到的琼斯多项式也就是h o m f l y 多项式 其中厶、三一、工。分别表示三个已定向链环的投影图，它们除图7 中画出的部分不相同 外，其余地方均一样图7 厶上一厶 定义2 9 【8 】辫 辫是两个水平木棒间的以股绳，并且每股绳与两个木棒的任一水平面只交一次如图8 8 闭辫 在辫的一侧将绳的两端连接就形成一个闭辫如图8 一个闭辫就对应了一个纽结和链 环，并且任意一个纽结和链环都可以用闭辫表示本文的纽结或链环的辫就是指它的闭辫 4 厶 东北师范大学硕士学位论文 3 交错纽结的三元素表示 引理3 1 【9 】交错纽结如果有一个具有疗个交叉点的约化交错投影图，则其交叉数c ) = ，1 定义3 1 三元素表示 称纽结k 是具有三元素表示的，是指如果存在纽结k 的一个投影图g 与一个质数p p 3 ) ，使得在g 的每个交叉点处均有满足工+ y 一2 z = 0 ( m o dp ) 的整数x , y ，z 存在其中0s 工，y , 2 p 一1 ，x , y 分别表示该交叉点处下跨的两股弧上的值，z 是上跨弧的值记【工，y ；z 为该 交叉点处的三元素 定理3 2纽结的三元素表示性质是在r e i d e m e i s t e r 移动下保持不变的性质 证明：设纽结k 是具有三元素表示的，即存在纽结k 的一个投影图g 与一个质数p ( p 3 ) ，使得在g 的每个交叉点处均有满足x + y 一2 z = 0 ( r o o dp ) 的整数x , y ，z 存在，其中0 x , y ，z p 一1 , x ，y 分别表示该交叉点处下跨的两股弧上的值，z 是上跨弧的值 ( 1 ) 三元素性质在移动j ，下保持不变 一在g 中某一段初始弧线上标记a ( 0s 口p 一1 ) ，移动后产生的i 交叉处的上、下跨弧 线上都标记为a ，则在这个新交叉点处满足a + a 一2 a = 0 ( r o o dp ) ，卜若g 中某个i 交叉点中 的上跨弧与两段下跨弧全部标记为口，其满足x + y 一2 z = 0 ( r o o dp ) 移动后交叉消失，弧线仍 标记为a ，故其不会扰乱g 中其它交叉点处的三元素性质因此，在移动i 下x + y 一2 z = 0 ( m o dp ) 保持不变 ( 2 ) 三元素性质在移动下保持不变 一在初始弧线上标记口，b ，移动后产生两个新的交叉点只需在新产生的两个交叉之间 的下跨弧线上标记的数字，设其为c ，使之满足a + c 一2 b = 0 ( m o dp ) 这样的c 总是可以找到 的因为0 a ，6 ，c p 一1 ，0 2 b 2 ( p 一1 ) ，所以一2 ( p 一1 ) 一2 b p 一1 故当一p 一1 ) a 一2 b 0 时，取c = 2 b 一口则口+ c 一2 b = 0 ( r o o dp ) 成立 当0 a - 2 b p i 时，取c = p 一0 2 b ) ，于是1 c p 且a + c 一2 b = p ，从而a + c 一2 b = 0 ( m o d p ) 成立 当一2 p 1 ) 口一2 b 一p 一1 ) 时，我们有一q 一1 ) a - 2 b + p 一1 仁jd 一= ，一ld i 含+ 厂一2 c = 0 ( r o o dp ) l 又有由( 2 ) 、( 3 ) 式知 2 b e 一2 a = 2 a e 一2 c ( r o o dp ) y 搴= 亭2 b + 2 c 一4 a = 0 ( m o dp ) 6 + c 一2 a = 0 ( m o dp ) 这恰是( 1 ) 式，因此垂满足会+ 厂一2 c = 0 ( m o dp ) 。同理可证故在移动i n 下保持x + y 一2 z = 0 ( r o o dp ) 综上可知，在r e i d e m e i s t e r 移动下保持工+ y 一2 z = 0 ( r o o dp ) 证毕# 定理3 3交错的素纽结具有三元素表示，即若k 是一个交错的素纽结，则存在质数p ， 使它在每个交叉点处有满足z + y 一2 z = 0 ( m o dp ) 的代数表示k 只司 证明：本定理采取构造性的办法给出证明，设g 是实现该纽结的极小交叉点数的那个 投影图，在投影图g 中任找一个交叉点标记为彳l ，彳的上跨线标记为1 ，两个下跨线标记为 0 ，2 标记为0 ，1 ，2 的弧线中的两股弧线必在除彳l 外的另一交叉点处相遇，标记此交叉点 为爿2 若弧线1 。2 相遇，此时取值为1 的弧线为下跨线，取值为2 的弧线为上跨线，则应用 x + y 一2 z = 0 计算出另一下跨线上标记的数字y = 3 若弧线0 ，1 相遇，此时取值为0 的弧线为 7 攀2 ，羚陶 东北师范大学硕士学位论文 上跨线，取值为1 的弧线为下跨线，则应用x + y 一2 z = 0 ( r o o dp ) 计算出另一下跨线上标记的 数字y ，得y = n p 一1 q z + ) 按照此种方法进行下去，在交叉点处若是两股标记确切数字( 除 0 外) 的弧线相遇，则应用x + y 一2 z = 0 计算第三股弧线上的数值；若在交叉点处的三股弧线 中，其中有一股标记为0 或n p + i k n ，k z + ，0 k p ) 的弧线，则应用x + y 一2 z = 0 ( r o o dp ) 去计 算第三股弧线上的值由于g 是实现纽结极小交叉点数的投影图，则g 的交叉点个数是有限 的，记为c ( g ) 。那么，我们一定可以在某个交叉点处有形如( 聊l p + 口) + ( 肌2 p + 6 ) 一2 ( m 3 p + c ) = 0 ( m o dp ) ，( a + b 一2 c o ；，口，玩c z ，m 1 ，聊2 ，m 3 忉的等式出现此时就有口+ b 一2 c = 0 ( r o o dp ) y ， 则p 是整除口+ b 一2 c 的质数。 注意：在标记交叉点么】时，若这个交叉点的三股弧线通向4 个不同的交叉点，则此交 叉点不可以标记为彳在交错纽结中，我们总能找到这样的一个交叉点记为a l ，它的三股 弧线中的两股弧线在另一个交叉点处相遇 例3 1 ：如图所示，纽结| | 具有三元素表示 a 1 ：0 + 2 2x 1r a m , 0 a 2 ：1 + 妮一2 2 = 0j 妮= 3 a 3 ：2 + 妁一2 0 = 0 ( m o dp ) j 乃= n 3 p 一2 a 4 ：3 + 0 2x ( n 3 p 一2 ) = 0 ( m o dp ) jp = 7 于是k 在x + y 一2 z = 0 ( r o o d7 ) 中的三元素表示为a i = o ，2 ；1 】a 2 = 1 ，3 ；2 a 3 = 2 ，5 ；o a 4 = 0 ，3 ；5 例3 2 ：a 1 ：0 + 2 2x1 = 0 a 2 ：1 + 此一2x2 = 0 考妮= 3 a 3 ：0 + 粥一2x3 = 0 ( m o d 力jy 3 = n 3 p + 6 a 4 ：2 + 姐一2x ( n 3 p + 6 ) = 0 ( m o dp ) jy 4 = n 4 p + l o a 5 ：n 3 p + 6 + y 5 2x ( n 4 p + l o ) = 0 ( r o o dp ) jy 5 = n s p + 1 4 a 6 ：3 + n 4 p + 1 0 2x ( n s p + 1 4 ) = 0 ( m o dp ) j3 + 1 0 一2 8 = 0 ( r o o dp ) jp = 3 或5 于是当x + y 一2 z = 0 ( m o d3 ) 时，k 的三元素表示为a i = o ，2 ；1 】a 2 = 1 ，0 ；2 】a 3 = 0 ，o ；0 】 a 4d e 【2 ，1 ；0 a 5 = 【0 ，2 ；1 】a 6 = 0 ，l ；2 】a 7 = 【1 ，2 ，o 】 于是当x + y 一2 z = 0 ( m o d5 ) 时，k 的三元素表示为a l = o ，2 ；1 】a 2 = 【l ，3 ；2 a 3 = 0 ，1 ；3 】 a 4 = 【2 ，0 ；1 】a 5 = 1 ，4 ；0 】a 6 = 【3 ，0 ；4 a 7 = 1 ，4 ，0 】 图1 3 8 图1 4 1 i 东北师范大学硕士学位论文 定理3 4 设三是两个交错素纽结连通和，则l 具有满足x + y 一2 z = 0 ( r o o dp ) 的三元素 性质 证明：考察由两个素纽结k ，j 构成的纽结的连通和l ，由上面办法可以找到纽结k ，在 所有交叉处满足x + y 一2 z = 0 ( r o o dp ) 的p ，分别记为p l , p 2 设是切开纽结上标记为的弧， 则只需将纽结，上的各股弧线都标记为卫，则连通和上的所有交叉处就都满足工+ y 一2 z = 0 ( r o o dp 1 ) 同理，先标记纽结，也可使纽结连通和的每个交叉点处满足x + y 一2 z = 0 ( r o o d 见) 例3 3 ：八字结和三叶结连通和 图1 5 图1 5 先标记八字结图1 6 先标记三叶结 9 图1 6 图 的 东北师范大学硕士学位论文 c 和c 7 是2 维球面s 2 上给定方向的圆周，彳是s 2 上以c 和c ，为边界的环 带c l ，c 2 g 是s 2 上给定方向的互不相交的圆周，每个圆周都有一个权值记为w ( c f ) a l ，a 2 口r 是s 2 上的给定方向的互不相交的简单圆弧，对所有的乃都满足，如果工 ( oaa j ) u 0 a ，那么x 的邻域与图2 0 的一种情况相符 c i i c l f i 我们规定c 1 g ；a l 口，是带权值的s e l f e f t 圆的系统。如图2 1 w ( c i 户1 w ( c z ) = 2 。w ( c 3 ) = 2 ，w ( c 4 ，= l ，w ( c 5 户l ，w ( c 6 ) = 3 ，w ( c 产l 2 1 妒是带权值的s e i f c r t 圆的所有系统的集合s = c 1 g ；口口r l 是妒中的一 个元素下面将给出从s 中得到一组链环投影图的方法 第一步，用任意的w r ( g ) 股绳的闭合辫取代每个c i ；第二步，用任一【w r ( g ，) + 州c j 胛) 】 取代口，使其嵌入w r ( g , ) 股绳的辫巳中，其中州g ，) 瓯是s 中与口，相交的圆此时 我们从s 中得到一组链环的投影图图2 6 是从图2 l 的系统得到投影图的一个例子 例如：图2 l 中弧a 4 连接圆c 5 ，g ，在图2 6 相应的位置上，a 4 是w r ( c 5 ) + w r ( c 6 ) = 4 股绳 的辫，它分别有四个顶端和底端，其中一个顶端和一个底端构成圆c 5 ，其余的三个顶端和底 端构成圆c 6 东北师范大学硕士学位论文 ，。 i ， & b 、一一 ， 定义勿( s ，f ) 为从s 得到的一组链环投影图的集合，9 ( s ，力= de9 ( s ) 1w r ( d ) = f t 是正整数定义p ( s ，t ) 为勿( s ，t ) 中投影图所代表的所有给定方向的链环的集合 对任意个给定方向链环的投影图d 都可以找到一个系统s 夕，使得d 勿( s ) 选 择s = l c l ，c n ；o l 卿 ，其中c l g 是图d 的s e i f e r t 圆，a l 口，是放置在每 个交叉点上的简单圆弧并且w ( c i ) = i ( 1 i 一) 记s 的总权值为w ( s ) = w ( c 1 ) + + w ( g ) 昂= f s 夕1w ( s ) = p l ，p 是正整数乃= i c 昂，其中w ( c ) = p 9 ( 乃) 是所有p 股绳的 闭合辫投影图的集合称为总权值为p 的平凡系统。 4 1 2 【3 】b u n c h i n go p e r a t i o n s ( 1 ) b u n c h i n go p e r a t i o n i s = c l c n ；a l 口r l 是妒中的一个元素，设有两个同向的圆周c f 和c j ，a 是 1 2 东北师范大学硕士学位论文 s 2 上以c f 和c ，为边界的环带，并且满足i n t ( a ) n c 1u ug = 妒，按照如下方法定义 一个新的系统s ：彳- c 是一个连续映射，c 是一个抽象圆周，满足fi c , 和fi c j 是同 胚映射如果彳na k 妒，那么剐na k ) = i 一点l ；如果gna k 妒，c ，na l 妒，a k a l ，那么 f ( c fna k ) f ( a k 口，) ，则( s 2uc ) y ( x ) 一工是2 维商空间 定义s = ( suc ) f ( x ) 一x 且w ( c ) = w ( c ，) + w ( c ) ，我们称此过程为对s 中的c f 和9 ，应 用t h eb u n c h i n go p e r a t i o n ，从而得到s7 如图2 2 ss b u n c h i n go p e r a t i o n l ls 中有两个方向相同的圆周c j ，0 和s 2 上的带子b ， 满足bn s = o bn ( c fu c j ) = 西u 西和bn a lu _ ua r l = ，其中4 和办分别是g 和0 的子弧。 定义s = f c i 岛，c ，g ，c ；a l ，口r l ，其中e ，e ，表示删除这两个圆周， c = ( c iuc ，u o b ) 一i n t ( d iud ) c 的方向由g 和c 的方向决定，且w ( c ) = 似c f ) + 以e ，) 我 们称此过程为对s 中的g 和c ，应用历pb u n c h i n go p e r a t i o n 从而得到s 如图2 3 1 3 一 纠 2 3 引理4 1 1 1 3 1s 和s7 是夕中的元素，若对s 应用b u n c h i n go p e r a t i o n l 和得到s ，那 么似s ) = w ( s ) ，且髟( s ，f ) c 髟( 以f ) ，是整数 证明：由b u n c h i n go p e r a t i o n 的定义易知w ) = w ( s ，) 只需证明后半部分。 在b u n c h i n go p e r a t i o n l 中，易见勿( s ，t ) c9 ( s ，f ) ，因此乡( s ，t ) c 乡( s ，力 b u n c h i n go p e r a t i o n h ，c i 和c ，是s 中应用b u n c h i n go p e r a t i o n h 的两个圆，6 ，西，d j 定义同 上m 是q 的i t i 贝u 邻域，满足n kn ( c lu ug ) = c k ，k = f ，jg 是叭与b 相交的那个圆，c - 是制，中与b 不相交的圆b 1 是连接c i 与c 7 的薄带，b 2 是连接0 与g 的宽带如图2 4 = c fu 吁uo b l 一i n t l ( c fuc 7 ) no b l ；q = i c j u c tuo b 2 一j n t ( c ju c + ) no b 2 l d l = c in b l d j = c j 一1 , 2 e i = c i c i e j = c j c j s ”= i c l ，c f ，白，g ，c ；a l a r ，定义c l 和q 的方向与c i 和0 的方向相 同，w ( c ) = w ( g ，以q ) = w ( q ) 如图2 5 1 4 东北师范大学硕士学位论文 2 5 对勿( s ，o 中的任意元素d ，我们都可按照图2 6 的r e g u l a ri s o t o p y 将d 变形为勿岱”，t ) 中 的元素d 7 ，我们称这个变形为b u n c h i n g 变形 图2 6 可以这样理解，在z 和z 位置上放置平凡辫，记两个平凡辫为f ，和f ，首先伸长 勺为了：，将其放置在e j ，在伸长f ，为t 并放置在e i 设e 为e ，( 或勺) ，1 - 为t ，( 或勺) 如果s 的一 个圆弧口与e 相交，则对口的辫声进行下面的映射 夕：b p 叼一b p + q + r 叽ht r k 1 k p 一1 d + r 矿p 卜p - i t r p p ， 其中p = 1 l - io - i i - - p + 1 以卜o k + 1 p + 1 k p + q 一1 巩是辫的生成元，它由第k 股绳和第k + 1 股绳右旋得到的，如图9 1 5 东北师范大学硕士学位论文 9 昨岬1 - r 峋 p =呱oq = w ( c ) c n a 毋c a sc n 口“毋，c s 其中口( 或口，) 为a e ，包含有向圆弧a 的始点( 或终点) ，且，= n ( r ) s 是对应用b u n c h i n go p e r a t i o n ，得到的，因此d 9 ( s ，f ) 定理4 1 2 1 3 若s 是一个非平凡系统，那么可以对s 中的一对圆应用b u n c h i n go p e r a t i o n l 昶l l 。 证明：s = i c l ，g ；a l 口，) 我们沿着c l ，a 切割s 2 由于s 是非平凡的，那 么至少有一个非圆盘的p c a s e l 尸是一个环带，定义q u c j = o p 若g ，同向，则可以应用b u n c h i n go p e r a t i o nj 。 若g ，c ，反向，则可以应用b u n c h i n go p e r a t i o n1 1 c a s e 2尸不是个环带，沿a 1 口r 切割p 。假定每一片都是圆盘，因为若有一片不 是圆盘，那么我们可以在s 中添加一个有向圆弧将其切割为圆盘因为尸或者是环带或者 是圆盘，那么会有一片q 满足# ( a qn ( c 1u g ) ) 4 注意：由于圆弧的方向，# ( a q n ( c lu g ) ) 是偶数 定义a qn ( c lu g ) = e lu 厶，其中e l 厶都在o q 上，肌4 , m 是偶数让 1 6 ii、ik _ _ 东北师范大学硕士学位论文 毋cc b ，那么c f ，和c f + ，( 1 jsm 一1 ) 同向，g ，和c j + ：( 1 j m 一2 反向注意c i ，c i 3 ，或 q 巳假定c i ，= c i 3 和c f 2 = c f 4 定义岛是由g ，围成的圆盘它不包括q ( j = 1 ，2 ) ，那么 q u d lu 仍包含g e n u s 为1 的曲面，矛盾 因此，对( c f l c f 3 ) 和( c i 2 ，c f 4 ) 可以应用b u n c h i n go p e r a t i o n ，证毕 由引理4 1 1 和定理4 1 2 ，可以得到定理4 1 3 定理4 1 3 【3 】对任意的s 昂和整数t ，有乡岱，t ) cp ( ，f ) 此定理说明对任意给定方向的链环k ，都有b ( l ) s 犯) 我们得到了链环辫指数6 ( 三) 与 最小s e i f e r t 圆数s ( l ) 的关系 2 链环辫指数与琼斯多项式的关系 定义4 2 1 f 2 c o m p u t a t i o n t r e e sc o m p u t a t i o n t r e e s 是一棵根部在上的，有方向的连通二 进制树图，它的每个节点处都标记一个辫的字，每一个分支标记一个单项式，并且要满足 p ( b ) = p o 以b o ) + p l p ( b 1 ) 如图3 1 ，辫b 所在的节点不是终结点，它有两个子节点，分别标记 b o ，b l ，且两个分支上分别标记单项式p o ，p 1 r o o t n p 。 定义4 2 2 【2 i n v a r i a n t m a r k o v m o v e ( i ) ( 6 ，疗) 代替( 6 ，刀) ，其中b = c r i b 矿7 1 1 2 8 辫( 6 ， ) ，有b = 口矿，其中p = 1 对盯f 处进行c o n w a y 分裂，得到两个新辫( b o ，刀) 和 ( 6 一，刀) ，其中b o = 邵，b 一= 口矿_ 印由琼斯多项式的关系式，我们就有以( 6 ，胛) ) = p o p ( ( b o ，行) ) + p p ( ( 6 一，刀) ) ，其中当e = - 1 时，p o = 一砂- 一j r 2 ；当e = 1 时，p o = 一x - 1 y , p 一= 一x - 2 定义4 2 5 【2 】 i n v a r i a n tc o m p u t a t i o nt r e e s i n v a r i a n tc o m p u t a t i o nt r e e s 是满足以下两条性质的c o m p u t a t i o nt r e e s ( 1 ) 若一个节点标记( b ，疗) ，它的子节点则标记( 6 0 ，刀o ) 和( 6 l ， 1 ) ，那么( b ，n ) 先经过i n v a r i a n t m a r k o vm o v e 后，再对其c o n w a y 分裂从而得到( 6 0 ，刀o ) 和( b l ，n 1 ) ( 2 ) 每个终节点处辫的字都是空字( 平凡链环) 引理4 2 1 【2 】如果7 - 是一个i n v a r i a n tc o m p u t a t i o nt r e e s ，y 不是终节点，其上标记辫为 ( 6 行) ，是其子节点，标记( b ，胛) ，那么有影( 6 ，疗) = 影( 6 ，n ) + 白，其中白是连接y 与y 的分 支上的单项式的工的次数 证明：( 6 ， ) 是( 6 ，n ) 经过i n v a r i a n tm a r k o vm o v e 和c o n w a y 分裂后得到的辫i n v a r i a n tm a r k o vm o v e 不改变彤( 6 ，刀) 的结果( 6 ，) 经过c o n w a y 分裂后得到的两个辫( b o ，n ) 和( b - l , 刀) 在( 6 0 ，珂) 上，c 改变了l ，而连接y 与的分支上的单项式的x 的次数为午1 同样，在( 6 ，玎) 上，c 改变了 2 ，而单项式的工的次数为干2 定义4 2 6 【2 】7 - 是根为t o 的i n v a r i a n tc o m p u t a t i o nt r e e s , 9 是其中一个节点记附) 为连 接，和9 o 路径的单项式它等于路径上各单项式的乘积尸( y ) = p o ) ”0 一) ” 由引理4 2 1 和定义4 2 6 易得下面引理4 2 2 引理4 2 2 1 2 17 - 是i n v a r i a n tc o m p u t a t i o nt r e e s ，它的根为( 6 ，1 ) ，其中一个节点是( 6 ，行) 。彩( 6 ，玎) = 。彩( 6 ，n ) + d e g x p ( 9 ) 引理4 2 3 1 2 辫( 抚刀) 是一个正辫，经过一系列i n v a r i a n tm a r k o vm o v e ，可将( 6 一) 变为 ( 矿胛) ，其中b 或是空字或b = 口一 证明：定义正辫的权w 为w ( c r i ) = f ，w ( q 酌= w ( a ) + 妒) 1 8 东北师范大学硕士学位论文 归纳法：权值为0 的辫为空字，结论成立 假设b 的权值为t 当权值小于k 时，结论成立 设，是b 的生成元o - i 下脚标的最大值若c r r 在b 中只出现一次，那么b 通过 i n v a r i a n tm a r k o vm o v ej ，变为形式为昕的辫，其中口是正辫在经过i n v a r i a n tm a r k o vm o v e1 1 变为a ，并且w k 由假设结论成立 因此我们假设c r r 不仅出现一次设盯r a o o - ，是辫b 的子辫，蛳不含c r r 三种情况 c a s e l ：口。中没有听1 - 我们可以将听与o t o 的任意生成元交换，得到砖a 0 0 - r _ 口。砖，再 通过i n v a r i a n tm a r k o vm o v e ( 1 ) 变换为所要求的形式 c a s e 2 ：o - r l 在蛳中出现一次c r r 与o t o 中除c r r l 外的生成元都可交换，则o - r 口o o - r 一 口：听昕一1 矿，口：，又有口：听听一lo - r t r ：叶口：仃r - l0 r r 听一la ：，辫的权值减小，由归纳法结论成立 口。听乃一l 以口o ，义伺口。听听一lo 叶口o 口r - l 听听一l a o ，辫阴仪但城月、，田归训琢绡化戚且 c a s e 3 ：o r - 1 在1 2 o 中出现多于一次我们选择口。的个子辫c r r l f f l o r l ，口l 中没有o - r - i ( t r l 中没有o - r ) 对于o r 一。口l 矿r - 1 按照上述三种情况考虑o - r - 2 的出现次数。重复上述步骤，在每一 步我们或得到一个较小的权值的辫，或下脚标，值变小证毕 定理4 2 4 1 2 对于任意辫( 6 ，n ) 都存在一它为根的i n v a r i a n tc o m p u t a t i o nt r e e s 9 - 证明：归纳法证明： 如果辫是空字，那么结论成立 假设辫b 的字的长度小于k 时，结论成立 经过一系列c o n w a y 分裂，我们将辫( 6 ，n ) 变为正辫( 占，刀) 每个节点经过c o m v a y 分裂 都会产生两个子节点，其中一个标记为( 6 0 ，行) ，b o 的字长度为k 一1 根据假设从( b o ，n ) 出发的 树存在另一个子节点标记( 6 一，刀) ，b 一的字长度为k ，b 一离占进了一步重复上述步骤，我们 完成了出节点( 占，n ) 的其他i n v a r i a n tc o m p u t a t i o nt r e e s 由引理4 9 ，任意正辫( 占， ) 都可由i n v a r i a n tm a r k o vm o v e 变换为( 6 ，n ) ，b 或是空字或 b = 口一若b = 耐，我们对辫b 上矿f 处的交叉应用c o m v a y 分裂，将会得到标记为( a o - i ，肟) 和( 疗) 的两个子节点，这两个字的长度都小于k 由假设i n v a r i a n tc o m p u t a t i o nt r e e s 存在 定理4 2 5 1 2 1 辫( 6 ，n ) 的琼斯多项式为j ( x ，力，c 是辫的交叉代数和，那么j ( x ，力= ，”1 q 以厂1 ，1 + p ) ，其中q 是三元多项式 证明：7 - 是根为( 6 ，刀) 的i n v a r i a n tc o m p u t a t i o nt r e e s 如果节点y 标记为( 妒，“，) ) ，则它的琼 斯多项式为( 一( r 1 + 功仂晰) 一，( ，) 是( 妒， ) ) 的组件个数若p 是从根到节点y 的路径单项 式，那么n c = 影( 6 ，n ) = 彤( 驴，r ) + d e g x p ( , ) = 嘶) + d e g x p ( y ) 因此，只y ) = 击y ) ，呻- r ( r ) 所以尸( y ) ( 一o 一1 + 工) 伪 y ) 一1 = 主矿( 沪，( ，) + 1 ，一1 ( 1 + x - 2 ) 一y ) ，辫( 6 ，n ) 的琼斯多项式为 1 9 东北师范大学硕士学位论文 j ( x ，力= p ( y ) ( 一( x - 1 + 砷m 晰) ，丁是矿上所有终节点的集合 v 7 因此，j ( x ，力= y ) 叫y ) + 1 x n - c - i ( 1 + 1 f - 2 ) r ( ，) 一1 y e t 推论4 2 6 【2 】如果辫( 6 ，”) 的交叉代数和为c , e 和e 分别是其琼斯多项式j ( x ，力中x 的最大 和最小次数，那么1 一万一csese 刀一c 一1 证明：j ( x ，力= y ) 叫伽1 ，一c - 1 ( 1 + x - 2 ) “y ) ，考虑多项式土广( y ) 叫小1 矿一c - 1 ( 1 + r 2 ) ，( 小1 ， 1 ，7 当二项式展开式矿川只与1 相乘时，得到工的最大次数为行一c 一1 当，- c - 1 与x 2 ( 晰卜1 ) 相乘时 得到x 的最小次数，又，( y ) n ，则有刀c12 ( ，( y ) 一1 ) 1 - n c 所以有”一c 一1 e e 芝1 一刀一c 推论4 2 7 【2 设卢是链环的辫子数，j ( x ，力为链环的琼斯多项式，e 和e 分别是j ( x ，y ) 的工 最大和最小次数，那么卢掣+ 1 证明：由推论4 1 2 n c 一1 e e 1 一n c ，得到卢一c 一1 e ，卢+ c 一1 一e ，两式相加 即得结论 现在我们得到辫子数与琼斯多项式的关系卢骘巫+ 1 链环辫子数的上下边界都已 经找到型+ 1s6 ( l ) j ) 3 环面链环连通和的辫指数 定理4 3 1 【8 】 尸( du l ) = x - 1 。- * p ( 一l ) ，u 表示两个链环的无交并 p ( l 1u - , 2 ) = p ( l i ) p ( l 2 ) ； 户( l l 牝2 ) = ，伍1 ) p ( l 2 ) 该定理在参考文献【8 】中未给出证明，本文利用建立计算树( c o m p u t a t i o n t r e e ) 的方法给出 了证明 证明： d u l uu 由h o m f l y 关系式x - i p ( l + ) 一x p ( l 一) = y p ( l o ) x - l p ( 0 0 ) 一碳o o ) ：y p ( oo ) x - 1 p + ) 一x p ( l 一) = y p ( ou 三) p ( oul ) = x - 。l - x p ( 、l ，) 先对l l 的交叉点进行c r o s s i n g c h a n g 和s m o o t h i n g 建立l iul 2 的计算树直到各节点是平 凡链环与三2 的无交并如图2 9 2 0 t