（基础数学专业论文）具有时滞生态模型稳定性分析.pdf

哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 具有时滞生态模型稳定性分析 摘要 种群生态学是生态学中的一个重要分支，通过对种群模型的分析和研究来 解释、预测和控制种群的发展趋势。生态系统不仅与当时的因素有关，也受到 历史因素的影响，即时滞效应的影响，因此具有时滞的种群动力学模型能更好 地接近生态背景。稳定性能够描述生态系统的重要的基本特征，通过对种群稳 定性的研究可以更好地指导人们利用自然、改造自然，对保持生态系统的可持 续发展有着广泛的理论和现实意义。 在已有结果的基础上，首先考虑含有时滞和基于比率的功能性反应模型， 对同时具有离散时滞和连续时滞的捕食一被捕食种群作了进一步的研究，利用 比较定理给出了种群的有界性和一致持久性的判别条件；借助代数方程得到正 平衡点存在的条件，通过构造合适的l i a p u n o v 泛函寻找到正平衡点全局稳定的 充分条件。其次在充分考虑时滞因素的同时，将一般的功能性反应函数引入到 模型中，考虑一类具有时滞的捕食一被捕食两种群模型，利用微分不等式得到 种群的有界性、持久性存在条件，利用l i a p u n o v 泛函方法给出正平衡点全局稳 定的判别条件。然后将两种群模型所得结论推广到具有时滞的n 种群模型中， 利用微分不等式给出n 种群模型的最终有界性，通过构造l i a p u n o v 泛函，利用 二次型理论给出正平衡点的全局稳定的充分条件。在对时滞种群模型全局稳定 性的研究中，对l i a p u n o v 泛函的构造方法和构造角度进行了不同的尝试。最后 利用m a t l a b 给出了种群模型的数值模拟结果，发现时滞的微小改变将对种群的 稳定性产生重要影响，同时给出不同时滞下的相空间轨迹和种群数量随时间变 化的曲线，进而更加直观地观察种群的发展趋势，这对于揭示种群的变化规律 有着重要的实际意义。 关键词捕食一被捕食模型；稳定性：持久性：时滞 堕! ：鎏矍三奎兰塞耋堡圭兰堡篁圣 s t a b i l i t ya n a 1 y s i so f t h ee c o l o g i c a lm o d e l w i t ht i m e d e l a y a b s t r a c t p o p u l a t i o ne c o l o g yi sa l li m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h e m a t i c a le c o l o g yw h i c hc a r l e x p l a i n ，p r e d i c ta n dc o n t r o lp o p u l a t i o nd e v e l o p m e n t a lt e n d e n c yt h r o u g ht h ea n a l y s i s a n ds t u d yo fp o p u l a t i o nm o d e l e c o l o g i c a ls y s t e mi si n f l u e n c e db yp r e s e n tf a c t o ra s w e l la sb yp a s tf a c t o r ，t h a ti st os a yt h ee f f e c to fd e l a y ，s ot h ed y n a m i c a lm o d e lw i t h t i m ed e l a yc a nb em o r ec l o s et o e c o l o g i c a lb a c k g r o u n d s t a b i l i t y i st h em o s t i m p o r t a n tb a s i cf e a t u r eo ft h ee c o l o g i c a ls y s t e m t h r o u g ht h es t u d yo f t h i ss t a b i l i t y ， i te a r lg u i d ep e o p l et om a k ef u l lu s eo fa n dr e m o l dt h en a t u r e t h er e s e a r c hh a sg r e a t t h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e f o r t h es u s t a i n a b l e d e v e l o p m e n to ft h e e c o l o g i c a le n v i r o n m e n t ， b a s e do nt h er e s u l t s ，t i m ed e l a ya n dr a t i of u n c t i o nr e s p o n s ei sc o n s i d e r e d ，a p r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hd i s c r e t ea n dd i s t r i b u t e dd e l a yi sf u r t h e rs t u d i e d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h eb o u n d e d n e s sa n dp e r s i s t e n c eo ft h e s o l u t i o na r ee s t a b l i s h e db y u s i n gt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l et h e o r e m ，t h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi s o b t a i n e db ya l g e b r a i ce q u a t i o n s ，a n dg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi s d i s c u s s e db yc o n s t r u c t i n gas u i t a b l el i a p u n o vf u n c t i o n a l s e c o n d ，f u l l yc o n s i d e r i n g t h ef a c t o r so fd e l a y , t h eg e n e r a lf u n c t i o n a lr e s p o n s ei si n t r o d u c e dt ot h em o d e l a p r e d a t o r - p r e ym o d e lo ft h et w og r o u p sw i t hf u n c t i o n a lr e s p o n s ea n dt i m ed e l a yi s c o n s i d e r e d t h ep e r s i s t e n c ea n db o u n do ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r eo b t a i n e db y u s i n gd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y ac r i t e r i o no fg l o b a ls t a b i l i t yi nt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m i so b t a i n e db yu s i n gal i a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d a n dt h e n ，t h ec o n c l u s i o no ft h e t w op o p u l a t i o nm o d e li se x t e n d e dt ot h en - s p e c i e sm o d e lw i t ht i m ed e l a y s u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h eb o u n di se s t a b l i s h e db yu s i n gt h ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt h e o r e m ， a n dg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi si n v e s t i g a t e db ym a k i n gu s eo f q u a d r a t i ct h e o r y i nt h er e s e a r c ho fg l o b a ls t a b i l i t ya b o u tt w os p e c i e sw i t ht i m ed e l a y , t h em e t h o da n ds t r u c t u r eo ft h el i a p u n o vf u n c t i o n a la r ea t t e m p t e df r o md i f f e r e n t i i 堕查量塞三奎耋塞兰堡圭耋堡篁兰 p e r s p e c t i v e f i n a l l y , w - ef i n dt h a tt h es m a l lc h a n g eo f t i m ed e l a ya f f e c tt h es t a b i l i t yo f p o p u l a t i o nm o d e ls e v e r e l yf r o mt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l to fp o p u l m i o nm o d e l w h i c hi so b t a i n e db yu s i n gt h em a f l a bs o f t w a r e p h a s es p a c e sw h i c ha r ea tt h e d i f f e r e n t d e l a ya n dt h ec u r v eo fp o p u l a t i o nw h i c hc h a n g e sb yt i m ea r eg i v e n ， i y l o r e o v e f ，t h ed e v e l o p m e n to fp o p u l a t i o ni si n t u i t i v e l yo b s e r v e d ，w h i c ha r ev e r y i m p o r t a n tt or e v e a lt h ec h a n g eo f p o p u l a t i o n k e y w o r dp r e d a t o r - p r e ym o d e l s t a b i l i t y ；p e r s i s t e n c e ；t i m ed e l a y 一1 1 1 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文具有时滞生态模型稳定性分 析，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工人学攻读硕士学位期l m j 独立进行研究 工作所取得的成果。摒奉人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰 写过的研究成果。对本文研究工作做山贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式注明。本声明的法律结果将完伞由本人承担。 储虢锄确嘿岬年；月j 一日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 具有时滞生态模型稳定性分析系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期 间在导师指导下完成的硕士学位论文。木论文的研究成果归哈尔滨理工大学所 有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大 学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子 版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或 其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密1 。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名 导师签名 杏痧翻 j 穆福 日期：叫年月枷曰 吼碲乡月2 p 日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 1 综述 第1 章绪论 种群生态学是生态学中一个重要分支，在现实生活中发挥着越来越重要的 作用。种群生态学是用数学模型描述种群间相互关系，然后通过对数学模型的 分析、研究，以达到对人们所关心的生态问题的解释、预测和控制的目标。随 着认识的不断深入，人们发现对于生态系统而言，系统在某时刻的状态不仅受 到当时各种群间关系的影响，而且也受到历史因素的制约，即时滞效应的影响， 因而在生态系统中考虑时滞因素，将能更准确的描述种群系统的变化和发展， 所建立的模型能更好的接近实际的生态背景，使得对种群的预测和控制更准确。 稳定性是生态学中的一个重要的研究课题，在稳定的生态系统中，种群间 不仅彼此相互作用并且可以共同生存，稳定性是生态系统巾最重要的基本特征 之一。稳定性的研究不仅可以揭示种群、群落、生态系统的生态规律，而且为 人类保护生态环境、防止生态系统退化、解决生态系统修复等提供了科学的对 策。所以稳定性的研究对保护、改善、开发生态资源和维护生态环境持续、协 调、稳定的发展有着重要的意义。 在生态系统中，捕食关系是种群间的一个主要关系，捕食者通过捕获来消 耗被捕食者的全部或部分身体，直接获得营养来维持自己的生命。在自然界中， 捕食现象是普遍存在的，所以对捕食模型的研究显得尤为重要，通过对捕食种 群模型的稳定性研究，来解释和预测种群的发展趋势，这对于保护生物种群的 多样性，维持生态系统的可持续发展有着重要的指导意义。 1 1 1 发展状况 时滞经常出现在生物的活动中，时滞对生物种群的影响一直是生物学家关 心的问题。自从m a y 发现时滞会破坏l o g i s t i c 模型正平衡点的稳定性并引起周 期振荡以来【1 】，已有大量文献 z 1 1 3 1 1 4 1 5 1 研究时滞对生态模型平衡点稳定性的影响。 在初始阶段，一些学者们将离散时滞引入到单种群模型巾，w r i g h t 证明了 单种群时滞模型正平衡点的全局吸引性1 2 1 ；k u a n gy 得到了具有时滞非自治模型 正平衡点全局吸引的充分条件 3 1 。 随着认识的不断深入，两种群模型的时滞问题也愈来愈被人们所重视。我 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 国对两种群时滞模型的研究起步较晚，但随着非线性微分方程理论方法的发展， 这一领域的研究取得了很大进展，陈兰荪研究了具有无害的常时滞的系统【4 】。由 于无害时滞不改变系统正平衡位置的渐近稳定性特性，所以利用时滞为零时系 统的渐近性去研究时滞不为零时系统正平衡位置的稳定性，进步研究线性近 似系统的特征方程的根有负实部的条件，从而解决了平衡点局部稳定性的判别 问题。对小时滞模型用平均法，对常数时滞以及连续时滞模型的全局稳定性仍 然主要用l y a p u n o v 方法，不过此时构造的l y a p u n o v 函数有更加复杂的形式【4 】。 马知恩进一步总结了研究两种群时滞模型的研究成果，运用主项分析法。研究 了稳定性的开关现象【5 1 。 随着研究的不断深入，人们开始关注时滞对种群持续生存的影响，并得到 了一些很有意义的结果。1 9 8 9 年，通过建立无限维系统的持久性理论，h a l e 和w a l t m a n 发现了具有时滞的两种群竞争系统的持久性1 6 1 ；1 9 9 1 年王稳地和马 知恩利用连续泛函的方法彳导到了具有无限时滞的l o t k a - v o l t e r r a 捕食一被捕食系 统的一致持久性m ；1 9 9 4 年，l u 和t a k e u c h 证明了一个两种群l o t k a - v o l t e r r a 时 滞竞争系统的持久性与时滞无关，构造恰当的l y a p u n o v 泛函得到了正平衡点全 局稳定的条件 s l ；1 9 9 6 年，c a o 和f r e e d m a n 研究了一类在捕食方程中仅被捕食 者具有时滞的捕食一被捕食模型，利用不动点理论得到了正平衡点的全局吸引 性的判别法则删。1 9 9 7 年，k g o p a l s a m y 将离散时滞引入到模型中，考虑的是具 有相同时滞量的模型，利用微分不等式得到系统的持久性，并得到正平衡点全 局吸引的充分条件1 - 。l a n s u nc h e n 等人考虑了具有不同离散时滞的模型，得到 持久性与时滞是无害的c l l 】。1 9 9 8 年，w a n b i a om a 和y a s u h i s as a i t o 将连续时滞 引入到模型当中，利用微分不等式得到了模型的有界性、通过构造合适的 l y a p u n o v 泛函得到了非负平衡点全局稳定的充分条件i l ”。 在对时滞种群模型的研究巾，功能性反应函数的影响越来越受到重视。功 能性反应函数往往都是的非线性的，若将时滞引入到种群的捕食模型的功能性 反应函数中，所描述的问题更能反映实际情况。1 9 9 8 年，y a n gk u a n g 和e d o a r d o b e r e t t a 研究了具有功能性反欧的离散时滞模型，得到了持久性，并通过构造合 适的l y a p u n o v 泛函得到了平衡点全局稳定的充分条件f 1 4 】。2 0 0 2 年，我国学者 r u ix u 等人推广了y a n gk u a n g 和e d o a r d ob e r e t t a 的结论，将离散时滞改为连续 时滞，得到了一致持久性，局部稳定性、正平衡点的全局稳定性等结论。 随着研究的深入，研究的种群数量从两种群到三利噼，甚至多种群模型， 即具有时滞的n 利i 群模型。陈兰荪等人研究了具有时滞的l o t k a v o l t e r r a 模型多 种群系统【1 8 】【1 9 1 1 2 0 1 。2 0 0 2 年，s h e n g q i a n gl i u 等研究了具有变时滞的月种群模 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 型，得到模型的持久性和灭绝性的条件哪! 。d e b a s e sm u k e h e r j e e 研究了具有时滞 的三种群捕食与被捕食模型，绘出正平衡点全局稳定的充分条件】。 1 1 2 存在及解决的问题 国内外学者研究的模型大多数都是以两种群为主，且研究的大部分结果是 针对具有时滞的l o t k a v o l t e r r a 型系统传统的l o t k a v o l t e r r a 捕食模型均假定捕 食者种群的平均捕食率只依赖于食饵种群的密度。但是在自然界中，生物种群 的密度变化是极其复杂的，种群的实际增长率往往不是内禀增长率，而是具有 密度制约效应的。另外，目前研究的模型多数都是较具体的，很少对具有一般 性功能性反应的种群模型加以研究。同时实验表明，在大多数实际情况中，时 滞现象和功能性反应同时对种群产生影响，另外，在某时刻种群的增长率不仅 与该时刻的种群密度有关，而且也与在此之前的某一时刻以及过去所有时刻的 种群密度都有关。因而功能性反应项更为复杂，既有离散时滞又有连续时滞。 所以对同时具有功能反应和时滞的一般的种群模型的研究有着更实际的意义。 ，本文将在已有研究结果基础上，首先将考虑同时具有离散和连续时滞的且 具有功能性反应的两种群模型：其次将特殊模型一般化，研究具有一般功能性 反应的时滞模型，寻找适合新模型的方法，并使其覆盖已有模型；然后考虑一 个具有功能性反应的n 种群时滞模型：最后利用m a t l a b 软件，始出数值模拟的 一些结果。所考虑的生态系统是否在长时间内保持平衡，也就是说，是否所有 种群都不会灭绝，而保持在一个相对稳定的水平之内是研究的主要内容，所以 本文将主要研究种群的持久性，一致持久性，以及稳定性等。 1 2 课题来源 本课题来源于导师的黑龙江省自然基金项目。 1 3 主要研究内容 1 同时具有离散和连续肘滞的功能性反应捕食与被捕食种群模型 裂 哈尔滨理工人学理学碗士学位论文 其中x ( t ) ，y ( t ) 分别表示被捕食，捕食种群密度；a ，b ，c ，d ，f ，g 皆为 正数；a 为被捕食者种群的出生率；d 为捕食者种群的死亡率；f 为离散时滞量； k ( s ) 为连续时滞的核函数，即f k ( s ) d s = 1 。 本文将考虑模型的解是否有界，种群是否持久生存。通过构造合适的 l y a p u n o v 泛函，寻找正平衡点全局稳定的条件。 2 具有时滞的一般功能性反应捕食与被捕食种群模型 l 膏o ) = 工( ，) i 口一搬o - r ) 一c y ( t f ) ( x o ) ) l i 夕( f ) = y ( f ) l d f y ( t r ) + g x ( t r ) h ( x ( t f ) ) i 其中x ( t ) ，y ( f ) 分别代表被捕食者，捕食者种群密度；a ，b ，c ，d ，f ，g 为 正数；a 为被捕食者出生率；d 为捕食者死亡率；f 0 为时滞量；日( s ) = s h ( s ) 为功能性反应函数。 通过对具有时滞的l o t k a - v o l t e r r a 模型的分析，试着将情况1 中的研究方法 和结论推广到上面这个一般的具有时滞的模型中。考虑模型的持久性、稳定性 的充分条件。 3 具有时滞和功能性反应的一类玎种群捕食被捕食模型 鲁= 叫咿x z p z ( 咿一毛鹏) 鲁= 而 _ 吐一而+ 成见( 葺u r ) ) 】 鲁= 矗 一以一+ 成酏) ) 】 其中五表示被捕食者种群密度，t ( = 2 , 3 ，打) 表示捕食者种群密度，r 为离散 型时滞；z 为捕食者种群的死亡率；p t ( x 1 ) 为功能性反应函数；g ( x 1 ) 是被捕 食者的增长率。 本文试用情况1 、情况2 的研究方法，考虑肝种群捕食模型问题，针对_ 类 具有时滞的功能性反应的n 种群捕食一被捕食模型进行稳定性的讨论，得到较 好的结果。 4 数值模拟 通过计算机对上面模型所得到的理论分析结果进行模拟，利用m a t l a b 软件 得到种群模型的相空间轨迹以及种群数量随时间的变化曲线，进而更加直观的 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 观察出时滞对种群发展趋势的影响，通过改变时滞的大小，研究时滞对种群持 久性和稳定性的影响。 啥尔滨理工大学理学硕士学位论文 第2 章预备知识 一 2 1 时滞微分方程的基本概念及定理 2 1 1 时滞微分方程的基本概念 时浠微分万栏 一d x = ，( 葺) (21)dt 其中玉= 毒( f + 口) ，曰 一r ，o 】，设f o ，f ：c ( 卜f ，o 】，r ”- , r ”满足l i p s c h i t z 条 件，其中c = c ( 卜f ，o 】，r “) 是定义在卜l o 】上的连续函数所构成的集合，范数为 l i e u 2 州m 。a x 0 1 舻( 口) i ，| | 足上的任意。个范数。 设i ( ，) 是方程( 2 1 ) 满足初始条件( 厶，) 的一个解，作平移变换： 得到方程 j ，( f ) = 工( f ) 一i o ) d y ：f 瓴) a t ( 2 - 2 ) 则方程( 2 2 ) 有零解y = 0 。 定义2 1 设j ，( f ，庐) 是方程( 2 _ 2 ) 的满足初始条件( f 0 ，) 的任意解，且对一 切f t o ，如果 l i m y ( f ，f 0 ，) = 0 成立，则称时滞微分方程( 2 2 ) 的零解是全局稳定的。 定义2 2 x ( t ，t o ，磊) 和x ( t ，t o ，磊) 分别是满足初始条件( b ，谚) ( 扛1 ，2 ) 的任 意两个解，且对切t t o ，如果 嬲( x ( f ，t o ，畦) 一x ( t ，t o ，办) ) = 0 矍玺篓堡三奎耋矍兰至圭兰堡篁兰 成立，则称时滞微分方程( 2 1 ) 的解是全局稳定的。 定义2 3 1 2 2 1 若点e 肜满足f ( ) ；o ，则称为方程( 2 一1 ) 的一个平衡点 定义2 4 r 2 2 1 设矿：c ( 【一f ，0 】 r ”) 一r 是个给定连续泛函，“加是方程( 2 一1 ) 的过初始点( o ，庐) 的一个解，则称 蝴= 矿瞅洲= 。l i m 憎l l - y ( ( ) 卜矿) ) 为泛函v 沿着时滞微分方程( 2 一1 ) 的解j ( ) 的导数。 定义2 5 1 2 z l 如果矿：c 专r 在g c c 上连续，并且在g 上矿o ，则称 v ：c r 是集合g 上的一个l i a p u n o v 泛函。 2 1 2 时滞微分方程的定理 定理2 1c m 设q ( ) ，q ( ) 是非负连续函数且满足q ( o ) = 她( o ) = o ，对于 ， o 有q ( ，) o ， i d n * c o , ( r ) = 佃，且存在连续可微泛函矿：c ( - r ，o 】，r “) 专胄满 足下列条件 ( 1 ) 矿) q ( i ( o ) f ) ( 2 ) 矿( 妒) s 一吐如( 1 庐( o ) 1 ) 则时滞微分方程( 2 - 2 ) 的零解y = o 是全局渐渐稳定的。 定理2 2 【2 4 ( b a r b a l a t 引理) 设厂是定义在【o ，佃) 上的非负函数，若在 o ，+ o o ) 上是可积的和一致连续的，则! 骢( ，) = o 。 定理2 3 口8 ( 比较定理) 设方程 掣= ( 剐p ) ( 2 3 ) 和 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 字：f 似) ，) ( 2 - 4 ) 出 、 在区域d 上满足条件 力 妒0 ) ，当z 0 ；c j ，赴反映两种群间的相互作用的因素。 定义2 1 l 2 3 1 如果存在m 0 ，t 0 ，使得当f t 时，有x ( f ) 鲁且g 要时，存在7 o ，使得f 丁时，模型( 3 一1 ) 的任意 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 舰s u p 加) 詈皇m i ( 3 - 2 ) 同理由模型( 3 1 ) 的第二个方程，可得 岁0 ) + g - d ) y ( t )( 3 - 3 ) 对式( 3 - 3 ) 从卜s n t 积分，得 y ( t ) y ( r s ) e 7 ”。”o s 0 ) 即 y ( t j ) y ( t ) e _ 7 + 。一4 ”( t j o )( 3 - 4 ) 由模型( 3 1 ) 的第二个方程及式( 3 - 4 ) 可知 j p ( t ) o ，使樽f r 时，x ( t ) c 且厂 詈，g 鲁成立，则模型( 3 1 ) 是一致持久的。 证明若槐 c ，则由模型( 3 1 ) n g - - 个方程，有 胁c 小一云圳r ，) 由比较定理2 3 可得 1 m i n f x ( f ) 璺军二三皇确 ( 3 6 ) 即存在t 0 ，当， t 时 x ( f ) 要 再由模型( 3 1 ) 的第二个方程得 对式( 3 6 ) 从t sn t 积分有 鄙 多( f ) 一d y p ) ) ，( 力e - 4 y ( t s ) ( 3 - 7 ) y ( t j ) sy ( t ) e 一 【j 6 j 由售型( 3 一1 ) 的第二个方程及式( 3 8 ) 可得 姗列r ) ( 卅+ 焘+ e 丽g m i 凼 = y ( _ 石j ；：三三虿一吾+ i = ，爱e s ，( 鬲i i ；：每一号 出) 删( 鲤絮熹字螋 + r k ，虹紫铲叫 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 焉( u 却脚“+ ( g _ d 2 慨f 琊矿西一咖) 。i m i n f y ( t ) 竺二! ! 竺兰二：堡：型! 竺! 兰! 兰：! 皇m 2 ( 3 - 9 ) 。 1 f 二一兰 e a - b x m - 南凳= o ：。 z 馨b d m 娄) 刚 y ：丝生f 口一三+ 1 7 l研肼+ g ) ， 为保证平衡点f 为正的，只需下面条件成立即可 由上面的分析可得 f + g d ，( m a - c ) ( f + g ) + c d 0 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 定理3 4 若，+ g d ，( m a c ) + g ) + 耐 0 ，则模型( 3 1 ) 存在正平衡点 e + ( 工，) 。 3 2 5 正平衡点的全局稳定性 令p ( “) ：上，则有 朋十“ 志= 熹= p ( 势赤= 考老= 炖) y y 由式( 3 11 ) 记法，模型( 3 - 1 ) 可化为 暖灌x ( t - r ) 辫 竺热卜讣) ( 3 _ 聊k 朋m 舻圳一刳埘叫尸( 揣) 一剜出厂 则 再令“= 兰，”= 之 ( 3 1 4 ) y y x工 “= 一了_ ， yy 利用式( 3 1 4 ) ，可将式( 3 1 3 ) 化为 h措 一 别小 学器卜攻 撕 州 坼计 瓣 舻 哈尔滨理工大学理学硕。l ：学位论文 = 牢罴未 隆聊 卿m 杠瑚。) + c 降一半 一， p ( 砸- f ) ) 叫“) - g r 琊) 尸( “( f 叫) 叫“) 凼 令 v l o ) = x ( f ) 一x ，v 2 0 ) = “( ，) 一“，( ) = p ( v 2 ( f ) + “) 一p ( “) ( 3 - 1 6 ) 则由式( 3 - 11 ) 可算得 f ( 毪( f ) ) = p ( v 2 ( f ) + “) 一p ( u ) 且 v ，( f ) + 矿 u =-=-一 m + v 2 ( t 、+ u m + “ 一 竺堡9 2 = 。_ 。_ _ 。”。一 ( m + 屹( f ) 十“) ( 埘+ u 。) ( 3 - 1 7 ) ( 3 1 8 ) 将式( 3 1 6 ) 、式( 3 1 7 ) 、式( 3 1 8 ) 代入模型( 3 1 5 ) ，可得 ，乜。，= ( v ，。，十工) 6 v p ，+ i cf c 吃。， 。， 和州卜+ 云删) ) 一 一f f ( v 2 ( h ) ) 一g f 琊) m ( ) ) 西 经过式( 3 1 6 ) 的交换，将模型( 3 一1 ) 的正平衡点e ( x ，y + ) 转换成为模型( 3 1 9 ) 的平衡点o ( o ，0 ) ，所以只需研究模型( 3 一1 9 ) 的平衡点o ( o ，o ) 的全局稳定性即可。 m 。靠 盘。学等 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 下面研究模型( 3 一1 9 ) 的平衡点o ( o ，o ) 的全局稳定性。 定理3 5 若模型( 3 一1 9 ) 存在正平衡点o ( o ，o ) 且满足 ( ，+ g ) 聊 c ，f r + g c r r a i n 2 b ， c 2 ( f + g ) m 一2 c u + g ) ( 1 + 肌2 ) + 6 + 硎+ 三 j 竹 其中盯= r 足o ) s d s ，n n 垩d ( 3 1 9 ) 的平衡点( o ，o ) 是全局稳定的。 证明考虑函数 巧皇k ( v l o ) ，v a t ) ) ；v , ( t ) - i n 删+ 趔 其中国为待定系数。 m 沿着模型( 3 1 9 ) 关于t 的导数为 圹枷景器圳 = ( 1 1 1 1 1 1 ( t ) ( - - b v l ( f ) + 昙f ( v 2 ( f ) ) + ，( 吃( f ) ) 6v l ( f ) + 云f ( v 2 ( 嘞一，f ( v 2 0 f ) ) 一g f k o ) f ( v 2 ( f 一呦出 = 山脚嵋( f ) + ( 三国一6 ) f 妣( f ) ) v l ) + 云f 2 ( v 2 。” - f f ( v 2 ( t ) ) f ( v z ( t r ) ) - g f ( v 2 ( t ) ) 1 2 k ( s ) f ( v 2 ( t j ) ) 出 = 山棚+ 曙。一6 讹( 啪( f ) + c 。砍咄) ) 、，、，j 堕尘圣矍三查兰矍兰堡圭兰堡兰三一= = = = s = = = = 一 一，( 吃( f ) ) f ，( 屹) 一，户( 屹( v ) ) 咖 一旷( 啷) ) r k ( 。if ( 啷) ) 一i ，- ，户( v 2 ( v ) ) d v d s = 曲脚棚+ 匕枷) 盹( f ) _ ( ，+ g 一f 2 啪” + f f ( v 2 ( 1 ) ) f _ ，f ( v ：( v ) ) 咖+ g f ( v 2 ( f ) ) e 足( s ) l 户( v 2 ( v ) ) 西j 出( 3 - 2 0 ) 又由于 反俐越v 2 ) 等 盹) = l 而君丽j 。5 丽m ( 3 2 ” 则由式( 3 - 2 1 ) ，式( 3 - 2 0 ) 可化为 。 v i i i ；1 9 ) = 句m 彳( 。+ ( 云国一6 ) ，( v 2 ( 嘞v l ( f ) 一( ，+ g 一昙) p 化( f ” + f f ( v 2 ( 呦l 户( 吃) 岛( v ) 西+ g f ( v 2 ( t ) ) f f k ( s ) 。j 二户( v 2 ) 也( v ) 西j 凼 = - 6 。椭+ 匕枷) ，化( f ) ) 喇可+ g 一p ( v 2 0 ” + ，( y 2 ( f ) ) ，户( v 2 k ( v ) l 6 h ( 力+ 云f ( 屹( v ) ) 一f f ( v 2 ( v f ) ) 一g f k ( s ) f ( 屹( v s ) ) d s d v + g f ( v 2 ( f ) ) r 板s ) f l 反匕弦( v ) 句q ( d + 昙f ( v ：( v ) ) 一，f ( 吃( ，一r ) ) 一g r 髟( s ) f ( 叱。一s ) ) 凼 咖 出 = 旬印砰+ ( 云m 一6 ) f ( v 2 ( r ) ) v 一( f ) 一u + g 一争严( 吃( 功 堡查堡矍三奎耋塞兰堡圭兰堡丝苎 + s f , l , p ( v 2 ) 一b f ( v 2 ( f ) ) 心) v l ( v ) + 云m 如) m ( v ) ) 一f f ( v 2 ( t ) ) “( 力，( 心( v r ) ) 一g f k 。) f ( v 2 ( r ) ) “( ，( 吃。一j ) ) d ， 咖， + g r 郧) l 盹) 卜( 删m 川+ 昙他( v ) 他( v ) ) 一厂，( v 2 ( f ) ) “( ，( 匕一一f ) ) 一g f ( s ) f ( v 2 ( f ) ) ”( v ) f ( v 2 ( v j ) ) d s d v d s ( 3 2 2 ) 由重要不等式可得 一，( v 2 ( r ) ) “( v ) v 】( v ) ； f 2 ( v 2 ( f ) ) + ”2 ( v ) 订( d ，( 屹( f ) ) “( v ) f ( v 2 ( v ) ) 墨； ，2 ( 屹( f ”+ “2 ( v ) f 2 ( v 2 ( v ) ) f ( b ( ，) ) “( v ) ，( v ，扣一f ) ) ； ，2 ( 屿( ，) ) + “2 ( v ) f 2 ( 心( v f ) ) ，( 屹p ) ) “( v ) ，( v a v s ) ) ； f 2 ( 也( f ) ) + “2 ( d f 2 ( 屹( v j ) ) 由式( 3 1 6 ) 、式( 3 2 1 ) 以及定理3 1 有 再由式( 3 2 3 ) 、式( 3 2 4 ) 、式( 3 - 2 2 ) n 可得 ( 3 - 2 3 ) 户( v 2 ) 一1( 3 - 2 4 ) m v 1 1 ( 7 _ 1 9 ) - 6 砰p ) + ( 昙。一6 ) ，( 吃( r ) ) v i ( f ) 一u + g 一言) ，2 ( 匕o ) ) + ，i f - ，恃+ 三2 m 2 + 丢+ 。g - 星。- ) ，2 ( 啪帅 ) + 芴c 职咖) ) + f 2f z ( v 2 ( v - f ) ) + 詈r 琊) f 2 ( 咖叫) 出p + g r 邵) l ( 去+ 2 m l 2 + 丢+ 豪) ，2 ( v 2 ( ，) ) + m 巴砰( 卅寺职v 2 ( 呦 + 以咖一r 鹕f 邵伊( 咖叫) 出 舭( 3 - 2 s ) 啥尔滨理工大学理学硕士学位论文 舶2 警，并且令 日2 丽1 ( f i n + g m + b i n + c ) 脚) = 扣v ) + 云职咖) ) 双咖- f ) ) + 墨f 踯) 职嘶叫泌 盯= f x o ) s d s 则式( 3 2 5 ) 可化为 圪1 ( 3 - t 3 ) o 咿警卜凹m 2 + 一+ 守。 鲍( 1 v ( f ) i ) o 则q ( ) 与哆( ) 是非负连续的函数，且 再由v 的表达式得 从式( 3 2 6 ) 可知 q ( o ) 。吐( o ) 2 0 ，觐q ( j ) = 佃 矿q ( 1 v o ) 1 ) 矿乙，喝( 旧 由定理2 1 可得模型( 3 一1 9 ) 的平衡点( 0 ，0 ) 是全局稳定。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 3 3 本章小结 本章讨论了具有离散时滞和连续时滞的功能性反应捕食一被捕食模型，首 先利用比较原理证明了系统的一致持久性，然后通过构造l i a p u n o v 泛函的方法 证明了模型的全局稳定性，得到了持久性和全局稳定的允分条件，推广了已有 的结果【“】【”1 。在证明全局稳定性的时候。能否构造出合适的l i a p u n o v 泛函是关 键，即使可以构造出l i a p u n o v 泛函，全局稳定的条件也很苛刻，所以拓宽全局 稳定的条件是研究的发展方向。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第4 章一类具有时滞和一般功能性反应的捕食模 型的持久性和全局稳定性 4 1 引言 在生物种群的活动中时滞是经常出现的，时滞对生物种群的影响是生物学 家关心的问题。自从m a y 发现时滞会破坏l o g i s t i c 模型正平衡点的稳定性并引 起周期振荡以来，已有大量文献研究时滞对生态模型平衡点稳定性的影响。近 年来人们开始关注时滞对种群持续生存的影响并得到了一些很有意义的结果。 陆征一与t a k e u c h i 考虑了具有离散时滞的两种群l o t k a - - v o l t e r r a 模型 毫( f ) = 五( f ) 【+ a i l 五( f ) + a 1 2 屯o f l ：) 】 i 岛( f ) = 屯( ，) i 吐+ a 2 l 而o i 2 1 ) + 啦2 为】 在该模型中种内竞争不考虑时滞的因素，得到了全局稳定的充分条件【8 l 。 陆征一等将时滞引入到种内竞争项中，考虑了模型 i 童0 ) = x ( ) 【一a l l x ( t 一1 1 ) 一1 7 1 1 2 y ( f f 1 2 ) 】 i 夕o ) = y ( t ) r 2 + a 2 l 工0 一f 2 1 ) 一呸2 少o f 2 2 ) 】 所有参数均为正数，所有时滞均为非负正数，t