（基础数学专业论文）量子群uq（f（k））的理想及理想分解.pdf

摘要 本文设u = ( 厂( k ) ) 是量子包络代数( s f ( 2 ) ) 的推广代数在伴随作用下，记 厂( u ) 是u 的局部有限子代数设j 是厂( u ) 的理想，如果j 在伴随作用下是，( u ) 的 u 一子模，则称，是稳定的我们给出厂( u ) 的任一非零稳定理想j 均可由若干最高权向 量的和生成即i = ( g l ( q ) e 毗k 邗 + 仍( c q ) e 毗k 哪2 8 + + 夕t ( q ) e m k - - r i g s ) ，其中 优( q ) 七【q 】，1 i t 矿m 一五，一m 特别地，若f ( k ) = = 三一，其中m n ，q 不是单位根我们研究了u 的非 零理想，进而利用u 的局部有限子代数的结构和有限维不可约模的零化多项式的性质等， 证明了u 的任一非零理想均可由两个最高权向量生成，且可由这两个最高权向量的和生 成即设j 是u 的非零理想，则i = ( e n k 哪5 ，( q ) ，( q ) 9 ( q ) ) = ( e n k 哪8 ，( q ) + ，( q ) 夕( q ) ) ，其中礼0 ，( q ) ，9 ( g ) 七 q ，满足9 ( q ) if o ( c o ，n ( q ) lg ( q ) 在此 基础之上，我们利用u 的理想生成子，给出u 的素理想及极大理想的分类，并证明了它的 任一非零理想在某种意义下均可唯一分解为若干个素理想的乘积 关键词：量子群( ，( k ) ) 最高权向量素理想稳定理想伴随作用 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r , l e tu = ( 厂( k ) ) b eag e n e r a l i z a t i o no ft h eq u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r a ( s 2 ( 2 ) ) ，a n d 厂( u ) b et h el o c a l l yf i n i t es u b a l g e b r ao fu u n d e rt h ea d j o i n ta c t i o n a s s u m e 1i sai d e a lo f 户( 【，) ，t h e nji sc a l l e das t a b l ei d e a l ，i fi ti sau s u b m o d u l eo f 芦( u ) u n d e r t h ea d j o i n ta c t i o n w es h o wt h a te v e r yn o n z e r os t a b l ei d e a lo f 芦( u ) c a nb eg e n e r a t e db ya s u mo fs o m eh i g h e s tw e i g h tv e c t o r s d e n o t eb y1t h en o n z e r os t a b l ei d e a lo f 芦( u ) ，t h e n 1 = ( 9 1 ( q ) e n k n t 5 + 9 2 ( c | 口) e 竹2 k n 2 8 + + 夕t ( q ) e m k 一毗5 ) f o rs o m ep o l y n o m i a l s 夕i ( q ) 南【q a n d1 i t f o rt h ec a s ef ( k ) = 竺 f o rm na n d 口i sn o tar o o to fu n i t y u s i n gt h ew e l l - k n o w nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y ，a n dt h es t r u c t u r e so fl o c a l l yf i n i t es u b a l g e b r aa n dt h ep r o p e r t i e so f a n n i h i l a t o rp o l y n o m i a l so fs i m p l em o d u l e s ，w em a i n l ys t u d yt h en o n - z e r oi d e a l so fua n dp r o v e t h a te v e r yn o n z e r oi d e a lo fuc a r lb eg e n e r a t e db yt w oh i g h e s tw e i g h tv e c t o r su n d e rt h ea d j o i n t a c t i o n ，a n db yas u mo ft h et w oh i g h e s tw e i g h tv e c t o r s 1 e ti b ean o n z e r oi d e a lo fu ，t h e nt h e r e e x i s ta ni n t e g e rr , 0a n d ，( g ) ，夕( q ) 七【q w i t h9 ( q ) s a t i s f y i n g 夕( q ) l 厶o ( q ) a n d 咖n ( q ) l 夕( q ) s u c h t h a ti = ( e n k 咄5 ，( q ) ，( q ) 9 ( q ) ) = ( e n k 咄。，( q ) - + f ( c q ) 9 ( q ) ) o nt h eb a s eo ft h i s ，t h ew e i g h tp r o p e r t ym a k ei tp o s s i b l et og i v eac o m p l e t el i s to fa l lp r i m e ( p r i m i t i v e ，m a x i m a l ) i d e a l so fua c c o r d i n gt ot h e i rg e n e r a t o r s m o r e o v e r , i tt u r n so u t t h a te v e r y n o n z e r oi d e a lo fuc a l lb eu n i q u e l yw r i t t e na sap r o d u c to fp r i m e s k e yw o r d s ：t h eq u a n t u mg r o u p ( ，( k ) ) t h eh i g h e s tw e i g h tv e c t o r t h ep r i m ei d e a l t h es t a b l ei d e a l t h ea d j o i n ta c t i o n i v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文量子群u q ( 厂( k ) ) 的理想及理想分解，是在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：庞彩睡趣 力护扩年弓月砌日 指导教师确认( 舳3 月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：庞彩已磐， 刀口e 年弓月劢日 21名爿 签3 ，l 师骆 导如 擀少 引言 霍普夫代数( h o p fa l g e b r a ) 是2 0 世纪6 0 年代以后迅速发展起来的新学科，是数学 中最活跃的研究领域之一域七上的h o p f 代数是同时具有七代数结构和它的对偶结构 ( k 余代数结构) 并满足一定相容条件的代数系统h o p ：代数理论来源于代数拓扑学及 表示理论的研究，在代数拓扑学的研究中，1 9 4 1 年h h o p ：在研究拓扑群中的上同调时， 构造出了既有代数结构又有余代数结构的代数系【1 】【2 】【3 】，这种相同的代数系在5 0 年代又 被c a r t i e r 和h a r g e r n 等人研究过，当时称为h y p e r a l g e b r a 直到1 9 6 5 年m i l n o r 与 m o o r e 在a n n d ，m a t h 上合作发表题为“o nt h es t r u c t u r eo ，h o p ：a l g e b r a s ”的 文章后，上述的代数系才被正式命名为h o p ：代数对于表示理论，开始于g h o c h s c h i l d 和h m o s t o w1 9 5 1 年对李群表示环的研究m e s w e e d l e r 沿着这个方向建立了非分次 的h o p f 代数理论，推动了h o p ：代数的迅速发展 1 9 7 5 年，k a p l a n s k y 在前人工作的基础之上出版了专著【4 】，总结了当时研究的最新成 果，提出了著名的1 0 个猜想，推动了h o p y 代数的研究特别是近2 0 年以来，h o p f 代数的 研究又获得了重大进展，这主要是由于量子群( 它是数学物理中产生的h o p ：代数) 的兴 起，k a p l a n s k y 某些猜想的解决以及h o p ：代数作用理论的发展( 它统一了以前独立研究 的群作用，李代数作用以及分次代数的作用理论) ，h o p ：代数从而成为代数学中新的研究 热点之一，它不仅限于代数结构理论的研究而且已发展成为与数学其它领域有密切关系 的数学分支特别是在量子力学和数学物理方面，h o p f 代数已获得了重要应用，它已成为 数学家和物理学家十分感兴趣的研究领域 h o p f 代数在物理学中的模型是量子群，因此，它在物理学，特别是量子逆扩散方法和 超对称理论的研究中，占有重要地位量子群这个概念首先是f i e l d s 奖得主d r i n f e l d 在 1 9 8 6 年于b e r k e l e y 举行的i c m 的报告中提出的，最初的例子有两类特殊的h o p ：代数， 一是半单李代数己上的泛包络代数的变形；另一类是仿射代数群g 的坐标环的变形 在量子群或d r i n f e l d j i m b o 量子包络代数理论中，单李代数s l ( 2 ) 的量子包络代 数( s f ( 2 ) ) 起着非常重要的作用它不仅是对一般理论的一个提示，而且也提供了一般 情形中所必需的结果和工具作为代数，( s f ( 2 ) ) 首先由k u l i s h 和r e s h e t i k h i n 在1 9 8 3 年提出 5 】 它是由生成子e ，ek ，k q 和关系式：k k - 1 = k _ 1 k = 1 ，k e k 1 = 9 2 e ，k f k _ 1 = q 2 f 及陋，f 】= e f f e = 竺竺丁生成的k 结合代数后来 s k l y a n i n 给出了它的h o p f 代数结构【6 】 d r i n f e l d 和j i m b o 也分别独立地推广了此种结 构到任意有限维半单李代数g 的量子包络代数( g ) 【7 【8 1 简言之，设a = ( m a ，是不可分 解的可对称化的广义c a r t a n 矩阵，( d i ) i 是它的极小对称化子，记g 是有理数域q 上相应 1 的李代数量子群( g ) 是由生成子邑，易，日，k 1 ，鲍，k f l ，何1 ， 簖1 ，r ，f 2 ，r 和关系式 k t k j = k k t ，k t k i l = k i lk t = 1 ， k t e j = q d i a i # e j k t ，k i f j = q - d i a i jf j k t ， 局乃一弓晟= 5 i j 筝e 箸， r 1 ( 一1 ) tll _ i 磅咄玎。易鹾= 0 ，t 歹， o 一 t 一 l a q l jd t r 1 ( 一1 ) 。ll _ i 碍吨玎- 易碍= 0 ，t 歹， o t s l 一n j l j 出 生成的域上的代数f 9 】【圳其中上面的最后两式称为量子s e r r e 关系 近十几年来，量子群理论的研究已取得了巨大的进展在该理论的研究中，2 0 0 0 年 王顶国教授引进了( s f ( 2 ) ) 的推广代数( ，( k ) ) 1 l 】，它是由生成子e ，ek ，k - 1 和关 系式：k k 一1 = k 一1 k = 1 ，k e k 一1 = q 2 e ，k f k - 1 = q 2 f 及陋，f = e f f e = ，( k ) ，( k ) = a j k j k g ，k 一1 】生成的k 结合代数指出( ，( k ) ) 为h o p ：代数 j = - n 当且仅当f ( k ) = a ( g m k m ) ，其中a k ，m z ，并且给出( ，( k ) ) 的有限维表示 和中心本文基于上述工作，给出了在伴随作用下局部有限子代数芦( ( ，( k ) ) ) 的稳定理 想，并且证明了它的任一稳定理想均可由若干最高权向量的和生成特别地，当q 不是单位 根，( k ) = 箐时，给出了( ，( k ) ) 的理想，进而利用( ，( k ) ) 表示理论的基 本结论，局部有限子代数及其稳定理想的结构，有限维单( ，( k ) ) 一模的零化多项式的 性质等，证明了( ，( k ) ) 的任一非零理想均可由两个最高权向量生成( 在伴随作用下) ； 并且可由这两个最高权向量的和生成，从而得到砜( ，( k ) ) 的任一非零理想均可唯一地表 示成下面两种形式之一： ( 1 ) i = ( e 仃k 哪8 ，( q ) ) ，其中佗0 ，( q ) 七【c q 】是首项系数为1 的多项式； ( 2 ) i = ( e n k - - 1 r l , 8 厂( q ) ，( q ) 9 ( q ) ) ，其中佗1 ，( q ) ，9 ( q ) 南【q 】是首项系数 为1 的多项式，满足夕( g ) i 厶o ( g ) ，9 ( q ) 厶o ( q ) ，九( q ) i 夕( q ) 由于j o s e p h 从环论方面研究了( g ) 的结构 1 2 】【1 3 】，证明了当g 是有限维半单李代数 时，( g ) 是n o e t h e r i a n 整环且其任一本原理想是某v e r m a 模的零化子，所以( 厂( k ) ) 是n o e t h e r i a n 整环利用( 厂( k ) ) 的理想生成子，我们给出了( ，( k ) ) 的任一非零理 想在一定条件下可唯一分解为若干个素理想的乘积 2 1 ( ，( k ) ) 的基本概念和性质 以下恒设k 为复数域，0 q k 不是单位根 定义1 1 【1 1 】作为代数，u q ( f ( k ) ) 是由生成子e ，ek ，k 一1 和关系式： k k = k k = 1 k e k 一1 = q 2 e ，k f k = q 2 e ( 1 1 ) ( 1 2 ) 【e ，f j = e f j e = ，( k ) ( 1 3 ) 生成的结合k 一代数，其中，( k ) = k g ，k 一1 】 j = - n 令( 礼) 口= 1 + 9 2 + 口3 + + g 铲1 = 筹 ，对任意洛朗多项式夕( k ) ：n 舻 口一l 、 7 厶一 。 k k ，k _ 1 1 ，当8 ，m n 时，我们有如下记号： n n 舛( m ) ( k ) = ( 仇) 口：j a j k j ，9 一( m ) ( k ) = ( m ) g 一2 j 印 j = 一n j = - n 引理1 2 1 1 1 】 当m 0 时，在代数u q ( f ( k ) ) 中有如下式子成立： e m k n = q - 2 彻2 r n e m ，f m k n = q 2 m k 饥f m ， 【e ，f m 】= f r o - 1 f - ( m ) ( k ) = ( m ) ( k ) f m 一1 ， e 仇，f 】= e r a - 1 冉( m ) ( k ) = f - ( m ) ( k ) e m 一1 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 引理1 3 【1 1 】代数( ，( k ) ) 是n o e t h e r i a n 环且没有零因子， f j k 。h 歹n ，l z 是 ( ，( k ) ) 的一组基 引理1 4 【1 1 】假定洛朗多项式0 厂( k ) k g ，k 一1 】，则非交换代数( 厂( k ) ) 具 有h o p f 代数结构且满足k 和k _ 1 是类群元，e 和f 是偏本原元的充分必要条件是 f ( k ) = a ( z 仇一k m ) ，其中m = t s ，且满足如下条件： a ( k ) = k k ，a ( k _ 1 ) = k - 1ok ， ( e ) = k 5o e+eo k 。，a ( f ) = k 一of+fok 一5 ， e ( k ) = e ( k - 1 ) = 1 ，( e ) = e ( f ) = 0 ， ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 3 町 巧 一 g 一 =k 9 形 巧 g 一 =k 砖“ 9 s ( k ) = k ，s ( k _ 1 ) = k ， s ( e ) = 一k 一8 e k 一，s ( f ) = - k f 8 令厂( k ) = a j k 。k g ，k _ 1 】，我们定义： j = - n ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 舭卜，三n 南班矧耻歹叁南口 n 圳 引理1 5 【1 1 】元q ( 厂( k ) ) = e f + 付( k ) = f e + 石( k ) 是( 厂( k ) ) 的中心元( 以 后我们简记为q ) 定义1 6 1 1 1 1 令y 是u q ( f ( k ) 一模，非零向量u u j ( k ) ) 称为具有权a 的权向量， 如果满足条件k u = 入钞，其中a k + 一个权向量u 称为最高( 最低) 权向量，如果满足 e u = 0 ( f v = o ) 称一个u q ( f ( k ) 一模为权a 的最高权模，如果它由最高权向量生成 给定礼z + ，设y ( n ) 是具有基为v o ，u 1 ，v n 的n + 1 维七一向量空间，且满足如 下关系： ( 1 ) k v i = q n - 2 i v i ，0 i n ， ( 2 ) f 仇= v i + l ，0 i 佗， f u n = 0 ， ( 3 ) e v i = f - ( i ) ( q nv i 一1 ，0 1 ，i 佗，我们有( a d f ) 2 i + 1 ( 酽k 函) = 0 ，( a d f ) 2 i ( k 一。) = 屯k 乱f 从而由归纳假设， 6 ( a d f ) 2 1 ( 俨k 一8 n ) = q - u s ( n - 1 ) ( a d f ) ( a d f ) 2 礼( e n 一1 k 一8 n + 8 e k 一8 ) 2 n = ( n d f ) ( q 砌q 2 s 2 椭( ( ( o d f ) 2 n - h ( o d k ) “2 舻九( e 加1 k - s n + s ) ) h = 0 ( ( a d f ) ( a d k ) 叫 ) ( e k 叫) ) ) 2 n = ( a d f ) ( e q 2 8 2 n 一 一n + 1 ( ( ( 口d f ) 2 n - h ( o d k ) 一。孙一h ) ( e n 一1 k - s n + s ) h = 0 ( ( a d f ) ( a d k ) 叫 ) ( e k 叫) ) ) 2 n = ( a d f ) ( e q 2 j 2 几一 一时1 q 一2 2 n 一九n 一1 + 8 ( ( n d f ) 2 n - h ( e n 一1 k - s n + , ) ) h = 0 ( ( a d f ) ( e k 叫) ) ) = ( a d f ) ( q 2 3 ( h ( 2 n 一 ) 一n + 1 ) 一2 ( t ( 2 n - h ) ( 仃一1 ) + 8 ) ( ( o d f ) 2 n - - 2 ( e 几一1 k 一8 n + 8 ) ) ( ( a d f ) 2 ( e k 叫) ) ) =( a d f ) ( q 2 s ( ( 2 n - h ) 一n + 1 ) 一2 ( t ( 2 n - h ) ( n 一1 ) + s h ) n 一1 1 k 2 一1 ) f n 一1 k f ) ( n d f ) ( n k 。n f n ) = ( 一k 一k n f n k f k 5 + f k 饥f n k 。) = 0 因此j 在e n k - n 5 上的作用幂零且【e n k 川s 】竺2 n ) 同理我们可以得到k 小f n 是权为g 2 n 的最低权向量因此【e n k n 1 = f k 仃f n 】笺 v ( 2 n ) 口 引理1 8 设1 【j 是歹( ( ，( k ) ) ) 的不可约( 厂( ) ) 一子模，则存在多项式o 9 ( g ) 七【q 和礼n ，使得v = 夕( q ) 驴k 哪! 且1 7 兰 e n k 哪5 证明：设1 厂是，( ( ，( k ) ) ) 的任一r + 1 维不可约( ，( k ) ) 一子模，由 1 1 】知，存在 权为q r 的最高权向量u v ，我们可以假设u = fe i f j k l 由 1 彳。z ( a d k ) v = k e i p k 。k 一1 = q 7 e p l ，j ，fl ，j ，f 得q 2 ( 一j ) v = q r v 我们设i j = n ，则7 = 2 n 此时， u = e 州f 9 i ( k ，k 一1 ) = e n ( e 9 i ( k ，k 一1 ) ) ， 其中9 i ( k ，k - 1 ) 为关于k ，k - 1 的洛朗多项式，n z + 由引理1 5 ，e f = q ( ，( k ) ) 一付( k ) ，因此e i f i 可以写成关于q ，k ，k 一1 的多项式， 这样，将v 重新写成如下形式： v = e n 危( q ，k ，k _ 1 ) ， 其中 ( q ，k ，k 1 ) 是关于q ，k ，k 一1 的多项式因为钉是最高权向量，所以 即 这意味着 ( a d e ) v = 0 ， ( a d e ) ( e n ( q ，k ，k - 1 ) ) = 一k 8 e n 九( q ，k ，k - 1 ) k 叫e k 一+ e e n 允( q ，k ，k 一1 ) k 一 = 0 e 几e k 一 ( q ，k ，k _ 1 ) = e e n 忍( q ，k ，k 。) 。 = k 8 e n 允( g ，k ，k _ 1 ) k 叫e k 一 = q 2 n s e n 九( q ，k ，k - 1 ) e k 7 又因为( - 厂( k ) ) 没有零因子，所以 令 则 e k 一 ( q ，k ，k - 1 ) = q 2 n s ( g ，k ，k _ 1 ) e k h ( c q ，k ，k 。) = 6 谚q i 印， i ，j e k 一b i j c q k j 二q 2 n s b # c q k j e k 一， t ，jt ，j 从而有 b t j e c a k j = b i j q 2 伽+ 巧e q 舻， t ，ji ，歹 贝42 n s + 2 j = 0 ，即j = 一n s 所以 h ( c q ，k ，k 。) = b i c i q k 咄5 i 从而u = 9 ( q ) 伊k 5 ，其中夕( q ) 七 g 这表明m = 夕( q ) 伊k 咄3 】 注意到夕( q ) 是中心元，9 ( q ) e n k 吨5 也是具有权为9 2 n 的最高权向量，因此 囟( q ) e n k 一伽】皇【e n k 一舢】笺v ( 2 n ) h 引理1 9 设口= g i ( c q ) e n k 一 ，其中0 仇( q ) 七【q 】，两两互不相同，则 i - - - - 1 证明：因为对任意i ，仇( q ) 是( ，( k ) ) 的中心元，所以由引理1 8 ，我们有 【吼( q ) e 眦k m 5 】”- - 【e m k 一毗8 】型y ( 2 n ) ， 其中啦两两互不相同因此眈( g ) e n i k 哪t 1 是互不同构的不可约( ，( k ) ) 一子模 这样 h hh 【吼( q ) e n i k 一5 】= o 饥( g ) e n i k 一毗8 呈曰兮 e n i k n 8 】 = 1 i = 1i = 1 显然 h i v 】【仇( q ) e n i k 邗1 8 】 i = 1 8 口 钉 n k 佗 e 九。汹 兰 毗 一 k 毗 e q吼 o 汹 = p 另一方面，不失一般性，我们可以假设n l n 2 0 ，n i 0 ，这里啦不必互不相同这样 鲰( q ) e 毗k - n p 【u 】c ( u ) ， 从而 白1 ( g ) e m k 一毗8 ，夕2 ( q ) e 毗k 一他8 ，仇( q ) e m k 一毗8 ) ( u ) 注意到 t 上 t 正】 ( g l ( c q ) e n - k n 1 8 ，夕2 ( c 岛) e n 2 k n 2 5 ，9 ( c 名) e n 。k - - “t t 8 ) 所以定理得证 d 定理2 3 设，是p 中的y ( u ) 的一个非零理想则存在整数t 0 ，礼1 n 2 吼0 和多项式g l ( q ) ，9 2 ( q ) ，吼( q ) 七 q 】，满足g li9 2i ig t 和 d e g ( 9 1 ) d e g ( 9 2 ) 佗2 吼0 1 i 卵， 眦一 k n e gb 。汹 l | 其次，注意到m 一1 n t 和e k q f ( u ) ，则有 吼( q ) e 吣1 - n 卜” ( 仇( q ) e 毗k 口) ( g t 一1 ( g ) e 7 t - - 1 k 卜，夕t ( q ) 伊k - - n t s ) ， 因此 ( f i t - - 1 ( q ) 酽k 呻5 ，g t ( q ) e 毗k 哪 ) = ( g t 一1 ( q ) e n t - - 1 k n t 一，9 t ( g ) e n t - - 1 k n 一 ，仇( c q ) e 毗k m 8 ) = ( g t - l ( q ) e n t - - 1 k 呻。，吼( g ) e n t - - 1 k _ n 卜) + ( 玑( q ) e 毗k 咄柚) - - , - ( g c d ( g t l ( c q ) ，吼( q ) ) e 1 t - - 1 k m - 1 8 ，吼( q ) e 毗k 一毗。) 这样，我们可以用g c d ( 9 ( q ) ，吼( q ) ) 代替g t l ( c q ) ，于是可以假设9 t 一1lg t 类似地，重 复上述步骤得到9 t 一2g t l ，等等从而我们可将( 2 3 ) 写成如下形式： i = ( g l ( q ) e n l k 一扎，夕2 ( q ) e n 2 k n 垆，g t ( q ) e m k - - 1 t $ ) ， ( 2 4 ) 其中n 1 n 2 钆t 0 以及9 1l9 21 lg t 最后，如果在( 2 4 ) 中存在i 使得 d e g ( g i ) = d e g ( g i + 1 ) ，因为g ig i + l ，可以取9 i = ) _ f f i + l ，其中a k + 则有 ( 吼( q ) e n k m 8 ，f f i t l ( c q ) e n i - i - 1 k 一眦+ 1 s ) = ( 入吼+ 1 ( g ) e 住件t j f m + ，吼+ 1 ( q ) e 1 1 i + 1 k m + 1 8 ) = ( g i + 1 ( q ) e m lk 哪8 ) 这样，我们可以在i 的生成子中去掉