（应用数学专业论文）三类gg神经网络稳定性的分析.pdf

s t a b i l i t ya n a l c o h e n g r o s s z h a n g t a i p o b s ( h e b e in o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rz h a n g z h e n g q i u s e p t e m b e r ，2 0 10 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：兽钐刮l日期：加i 口年，口月，乒日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：州。年，d 月，妒日 日期：沸年，o月，笋日 ， 使对 锯l 杪 滋长 z ：罗 名名签签 者师作导 硕士学位论文 摘要 本文利用几类非线性泛函分析的方法，讨论了一类具有多个时滞的中立型g g 神经网络和两类具有多个时滞的c - g 神经网络模型，建立了系统平衡点存在唯一 性的条件和系统全局渐近稳定性以及全局指数稳定性的条件全文分四章，主要内 容如下： 第二章讨论了一类具有多个时滞的中立型d g 神经网络模型，运用同胚映射理 论得到了系统平衡点的存在唯一性的充分条件，并通过建立某种l y a p u n o v 函数得 到平衡点全局渐近稳定性的条件 第三章研究了一类具有多个时滞的g g 神经网络模型，我们采用拓扑度理论 的延拓定理来研究其平衡点的存在性，并证明了其平衡点的唯一性通过建立某 种l y a p u n o v 函数得到平衡点全局指数稳定性的条件 第四章也研究了一类c g 神经网络模型，在这一章里我们运用了与第二章类似 的方法得出了系统全局指数稳定性的充分条件 。 。 在第五章我们给出两个例子来证明本文中得出的重要结果的有效性，并且利 用m a t l a b 作出系统平衡点的演示图形，以更直观的视觉效果验证我们结果的有效 性 关键词：同胚映射；c g 神经网络；中立型神经网络；全局渐近稳定性；全局指数稳 定性：拓扑度理论 c h a p t e rt w oi sa b o u ta c l a s so fc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k so fn e u t r a lt y p e b ya p p l y i n gh o m e o m o r p h i s mt h e o r ya n di n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i - t i o n sa r ed e r i v e df o rt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s so ft h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rs y s t e m ( 2 1 ) t h e na p p l y i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u ea n dl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，s o m en e w s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e df o rt h e 舀o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u m p o i n tf o rs y s t e m ( 2 1 ) c h a p t e rt h r e ei sa b o u tac l a s so fc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s n e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e db yu s i n gi n c q u a l i t yt e c h n i q u ef o rt h eg l o b a le x o p o n e n t i a ls t a b i l i t yr e s u l t sf o rt h es y s t e m c h a p t e rf o u ri sa l s oa b o u ta c l a s so fc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s b yt h e s i m i l a rw a yu s e di nc h a p t e r2 ，s o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e df o rt h ee x i s - t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg e so ft h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rt h es y s t e m i nt h ef i f t hc h a p t e r ，t w oe x a m p l e sa n dt h e i rs i m u l a t i o n sa r eg i v e nt os h o wt h e e f f e c t i v e n e s so ft h eo b t a i n e dr e s u l t s k e yw o r d s ：h o m e o m o r p h i s m ；c o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s ；n e u r a ln e t w o r k s o fn e u t r a lt y p e ；g l o b a ls t a b i l i t y ；a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；d e g r e et h e o r y i i i 学位论文原创性声明和 摘要 a b s t r a c t 第1 章绪论1 1 1 神经网络的研究现状1 1 2 本文的主要内容2 1 3 预备知识4 第2 章一类中立型c g 神经网络稳定性分析6 2 1 引言6 2 2 系统平衡点的存在性唯一性6 2 3 系统的全局渐近稳定性1 1 第3 章一类c - g 神经网络的稳定性分析1 9 3 1 引言1 9 3 2 平衡点的存在唯一性1 9 3 3 系统的全局指数稳定性2 5 第4 章一类c g 神经网络全局鲁棒指数稳定性分析2 9 4 1 引言：2 9 4 2 系统平衡点的存在唯一性3 0 4 3 系统的全局鲁棒指数稳定性分析3 4 第5 章数值模拟4 0 5 1 系统( 2 1 ) 的数值模拟4 0 5 2 系统( 3 1 ) 的数值模拟4 2 结论4 5 参考文献4 7 致谢5 1 i v h o p f i e l d 在1 9 8 2 年提出了h n n 模型【l | 又在1 9 8 4 年提出了h o p f i e l d 神经网络模型【翻，他 的这些开创性的工作极大地推动了神经网络的发展1 9 9 0 年i e e e 神经网络会刊问 世，同时各种期刊也推出了神经网络特刊，这使得人们研究神经网络的热情达到了 高潮，当时也有不少人对于这种热情心存疑虑，但都不能否认神经网络的发展会带 来重大的科学研究成果这一事实 下面我们列举出几类神经网络模型： ( 一) m p 模型【3 l ： ( 1 1 ) 其中a i 为神经元的活性状态，代表神经元之间突触的连接强度，m 为神经元i 的 阈值，是阶跃函数 ( 二) h o p f i e l d 神经网络模型【3 】： a 掣一警+ 喜讹m ，i = 1 , 2 , - - ( 1 2 ) 这个模型是h o p f i e l d ：i 生1 9 8 4 提出的，其中a 0 ，b i 0 ，f 是激励函数 m a r c u s 和w e s t e r v e l t 第一次在系统( 1 2 ) 中引入了时滞7 - ( 7 - o ) ，得到如下形式 的模型： a ；掣= 一警+ 妻讹( ) ) + 厶，i = 1 , 2 , - - - , n ( 1 3 ) 之后又有一些学者对系统( 1 3 ) 进行了改造得到了如下形式的神经网络模型： a 掣= 一警+ 妻拖( 亡一训“t - 1 2 ，m ( 1 4 ) n21 = 讯 一 町 n 触 ， = 毗 三类c g 神经网络稳定性的分析 ( 三) 双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型【3 】： - - x i + t i j f ( y j ) + 五 j = l 一协+ t m ( x t ) + 易 i - - - - 1 ( 1 5 ) 其中，为有界单调递增函数 这里我们只给出了一些基本模型，在过去的半个世纪里，关于神经网络的成果 已经很丰硕了，在这里我们就不一一列举了 1 2 研究背景及本文主要内容 c - g 牢, 经网络模型是由c o h e n 和g r o s s b e r g 在1 9 8 3 年提出的，由于c - g 神经网 络模型在许多领域( 如：信号处理、参数优化、并行计算、联想记忆等) 的成功应 用，使得c - g 神经网络模型备受众多学者的关注 本论文主要研究了两类c - g , 经网络模型和一类中立型c g 神经网络模型： ( 1 ) c g 神经网络 近些年来，很多学者对g g 神经网络做了深入的研究，并且得出过许多很好的 成剽4 - 3 2 如z h a o 和w a n g 4 研究了如下模型的稳定性： 一n ，( z ( ) ) 6 1 ( z t ( ) ) 一凸2 ( z 2 ( ) ) 6 2 ( z 2 ( z ) ) 去伐 甓伐 s j ( s ) x j ( t - - s ) 蚺 ， s ) d s + 如 数，并且满足付o os j ( s ) d s = 1 也( 口) 是连续的有界函数 鬻、一舡以) ) 【坼舡) ) 一争纵叫啪一弘渤卜州叫，( 1 7 ) 1 掣一如鹏( 删一静触) 一磐蒯卜州叫7 f 掣= 飞( 蜊) ，歹= 1 ，2 ，仇 一2 一 黾 盼 u 巧 2触2他 、iz、z 堕 堕 工十u，a一亡喾以可 d d 一 ，ii-i-、l_【 硕士学位论文 f 掣= 一啦( “啪 0 ，a 负定记为：a 0 作连续函数皿： o ，寸】一r 1 ，使它满足： 一4 一 ” 忍 一 嘶 一乃2 一叼 埘 n 触 + ” 吩 一厶1 一u 叫 n 芦 + 啦毗 一 = 硕士学位论文 1 。存在0 口 7 1 7 - ，使得当疟( 盯，t 1 ) 时有皿( r ) = 0 ； 2 。咿 ( 1 l s l l ) d s = 1 定义b r o u w e r ) 变d e g ( f ，q ，p ) 如下： d e g ( f ，q ，p ) = fv ( 1 l ( z ) 一pj i ) 以( x ) d x ， ，n 其中乃( z ) 是，( z ) 在z 处的雅克比行列式 引理1 3 1 设日( p ，z ) ：【o ，1 】万- - 4 形是一个连续映射，如果对于任给的p 【0 ，1 】，z a q 都有日( p ，z ) p ，那么，d e g ( h ( 1 z ，z ) ，q ，p ) ) 是一个常数( v0 p 1 ) 在本论文中我们主要应用d e g ( h ( o ，z ) ，q ，p ) = d e g ( h ( 1 ，z ) ，q ，p ) 引理1 3 2 当币属于集合，( ，) ( ，= x l x q ，以( z ) = o ) ) 时，方程( x ) = p 在开集q ( q 研) 内至多有有限个解：z 1 ，z 2 ，z n ，这时我们有： 引理1 3 3 设h ( z ) ：豆j 形是一个连续映射，如果d e 夕( h ( z ) ，q ，力) 0 ，则方 y 陧h ( x ) = p 在q 内至少有一个解 一5 一 z 以 n 9 s 住甜 = p c = ，9 ed 三类g g 神经网络稳定性的分析 第2 章一类中立型c g 神经网络稳定性分析 2 1引言 本章研究了如下的中立型c - g 神经网络模型： f 掣+ 薹蛳弓( 亡一九) = 一啦( 以啪 0 代表放大函数6 ( 毛( t ) ) ，略( 协( 亡) ) 是表现函数乃，g i 是激励函数五，也是外部输入 量，z 巧，屿i 和是连接权o - 0 ，7 0 ，6 0 ，7 0 是传输时滞h 0 ，d 0 是中立时滞在下文中，我们将运用同胚映射理论讨论系统平衡点的存在性和唯一 性，然后通过构造l y a p u n o v 函数并利用线性矩阵不等式来研究系统平衡点的全局 渐近稳定性 2 2 系统平衡点的存在性唯一性 我们首先给出平衡点的定义： 定义2 2 1 点( z + ，可+ ) t 称作是系统( 2 1 ) 的平衡点如果： a i ( z ；) 慨( z ；) 一乃( 巧，坊) + 厶】= 0 ，i = 1 ，2 ，m ， j = l 勺( 蝣) 心( 谚) 一幻吼( z ；，砑) - 4 - j j = 0 ，歹= 1 ，2 ，m i = 1 为了证明系统平衡点的存在性和唯一性，我们首先引入同胚映射的定义： 定义2 2 2 【3 5 l 设h ：研_ 舻是一个连续映射如果它满足下面两个条件， 则腮一个同胚映射： ( 1 ) h ( u ) 在r n 中是可逆的， ( 2 ) 当忆i l _ 0 ( 3 时，l i h ( u ) l io 定理2 2 1 如果下面假定( 日1 ) 一( 凰) 成立： ( 1 ) 存在下列正的常数：o z j ，岛，已，仇对于：比，y ，乱，u 冗；i ，歹= 1 ，2 ，m 都 有： i 乃( z ，y ) 一乃( 让，u ) l a j l z 一饥i + 岛l y v l ， 一6 一 ( 飓) 存在常数：乜 0 ，厶 o ( i = 1 ，2 ) 使得：比i ，协r ，都有以下两个不等式成 立： 0 七1 a i ( z i ) k 2 ， 0 l l c j c y j ) 1 2 ( t t 3 ) 6 ( z ) 和略( z ) 是可微函数，并且对于任意的z 1 ，x 2 r 都有0 0 ，以及两个常数 e 2 0 ，5 0 使得： 其中? q，=(言0虽e2q2呈0i。，岛一5墨00 00q ei。i)。， q ，= i 。詈e 2 q 2 一i 。， 。 l 。， e 55 一e i l 雪1 = 一2 k 1 r 垦+ e i l 后；1 1 只s q i l s r 芹i i i + g i l ( o 丁o + q p ) + e i l ( ，+ 叩) ， 皿2 = 一2 1 1 p 2 d + i l z ；| i 恳t q 孑1 t t 霹i i i + i 1 ( 矿刀+ 7 7 ) + e i l ( p t p + n p ) ， q = d i a g ( ( 1 l ，0 1 2 ，) ，p = d i a g ( f l l ，岛，风) ， = d i a g ( 6 ，2 ，靠) ，刀= d i a g ( 7 7 l ，啦，) ， 旦= d i a g ( b 1 ，一b 2 ，纽) ，d = d i a g ( 一d 1 ，一d 2 ，血) 那么系统( 2 1 ) 有唯一的平衡点 下面我们利用同胚映射理论来证明定理( 2 2 1 ) 证明：记矿= ( z ；，z 乞) t ，y + = ( 坊，碗) t 是系统( 2 1 ) 的一个平衡点，根 据定义( 2 2 1 ) 我们有： ， m 。t ( z ；) 似z ；) 一 j = 1 ， m 白( 蝣) 略( 蝣) 一 根据假定( ) 可得： m 兢( z ；) 一 s 彬办( 巧，谚) + 厶) = o ， z 巧仇( z ；，醇) + 易) = o s 耍力( z ；，坊) - f 五= 0 ， 幻俄( z ；，醇) + 易= 0 一7 一 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 触m 斟 一 、i ， 坊 ，fl喀 三类c g 神经网络稳定性的分析 的形式： - b ( x ) + s f ( x ，y ) 一i = 0 ， 一d ( 箩) 4 - t g ( x ，y ) 一j = 0 ( 2 4 ) 由( 2 4 ) 我们定义下面的映射： 日c z ，可，= ( 二三 i ；：荔譬：宝二二) ， h + ( z ，y ) = s ( x ，y ) 一h ( o ，o ) 这里：s = ( s j t ) m m ，t = ( 亡巧) m m ，z = ( x l ，x 2 ，x m ) r ，y = ( y l ，抛，) t ， ，= ( ，j 1 2 ，k ) t ，j = ( ，以，厶) t ，b ( x ) = ( b lc x l ) ，6 2 ( z 2 ) ，b m ( x m ) ) t ， d ( y ) = ( d 1 ( 可1 ) ，d 2 ( y 2 ) ，d m ( ) ) t ，( z ，y ) = ( 1 ( x l ，y 1 ) ，f 2 ( z 2 ，耽) ，：厶( z m ，) ) t ， g ( x ，y ) = ( g l ( z 1 ，y 1 ) ，9 2 ( x 2 ，y 2 ) ，g m ( x m ，) ) t 显然，方程h ( x ，y ) = o f i q 解就是系统( 2 1 ) 平衡点因此，系统( 2 1 ) 有唯一的平 衡点仅当y ( x ，y ) 是矽上的一个同胚映射，我们下面的任务就是要证明日( 。，y ) 是一 个同胚映射为了证明这一点，我们首先证明以下两个不等式： ( 1 ) f ( x ，y ) 一f ( x ，可) 】t ，( z ，y ) 一f ( x ，可) 】 ( z 面) t ( 口t q + q p ) ( z 一虿) + ( y 一可) r ( p t 卢+ q p ) ( 可一歹) ， ( 2 ) 9 ( z ，y ) 一夕( 虿，可) 】t b ( z ，y ) 一夕( 虿，可) 】 ( z 一虿) t ( t f + 7 7 ) ( z 一虿) + ( y 一可) t ( 7 7 t 刀+ 7 7 ) ( 秒一可) 由于( 1 ) ，( 2 ) 的证明很类似，这里我们只证明( 1 ) ： 【f ( x ，y ) 一f ( x ，可) 】丁 ，( z ，y ) 一f ( x ，可) 】 ( 口i z 一虿i - i - 卢i 可一可i ) t ( q i z 一虿i + 卢l 可一可1 ) =( 1 z 一虿i t a t + i y 一可i t p t ) ( q i z 一叠i + p i 可一可i ) i z 一虿i 丁q 丁o i z 一虿l + i y 一可i t 卢t 卢i 可一可l + i 1 1 z 一虿l t q t 卢i z 一虿i + i y 一可i t q 丁p 1 秒一歹i 】 + 去 i z 一面i t 卢丁q i z 一虿i + l y 一可l 丁卢丁q i 可一歹l 】 ( z 一虿) t ( q t q + q 卢) ( z 一虿) + ( y 一可) 丁( 卢丁卢+ o p ) ( 一可) 一8 一 硕士学位论文 现在我们来证i t ) j h ( x ，y ) 满足引理( 2 2 1 ) 中的条件( 1 ) ，即：证明映射h ( x ，y ) 是可逆 的对于任意的两个向量：( z ，) t ( 虿，可) t 我们有： 啪m 慨萨( 二高二器：裟兰黧) 亿5 ， 由( 2 5 ) 可得： 2 ( x - 虿, y - y ) t ( 警芝肛川嘶功 = 一2 ( x 一虿) t a ( z ( t ) ) 只( b ( z ) 一b ( - ) ) + 2 ( x 一_ ) t a ( x ( t ) ) p x s f ( x ，y ) 一，( 虿，功】 一2 ( 可一可) t c ( y ( t ) ) p 2 ( d ( y ) 一d ( 歹) ) 4 - 2 ( y 一可) t c ( y ( t ) ) p 2 t g ( x ，y ) 一9 ( 虿，可) 】 一2 ( x 一- ) t a ( z ( ) ) 只b ( z o ) ( z 一虿) + i 1 ( z 一虿) t a ( z ( ) ) p 1 s q i l s t p l t a ( x ( t ) ) t ( z 一虿) - t - e 2 【，( z ，y ) 一，( 虿，可) 】t q 2 【，( z ，y ) 一，( 虿，_ ) 】 一2 ( y 一可) t c ( ( z ) ) 岛d ，( 珈) ( 可一可) + i 1 ( 一可) 丁c ( y ( t ) ) p 2 t q i l t t p t c ( y ( t ) ) t ( 可一可) + e 5 夕( z ，y ) 一夕( 虿，歹) 】r q 5 9 ( z ，y ) 一9 ( 虿，影) 】 一2 ( x i ) t a ( x ( t ) ) p 1b ( z o ) c z 一面) + e i l ( z 一面) t a ( x ( t ) ) p 1 s q i l s t p t a ( x ( t ) ) t ( z 一虿) + e i l ( z 一面) t ( q t 口+ a z ) ( x 一虿) + ( y 一可) r ( p t p + q 卢) ( 可一可) 】 一e i l ，( z ，y ) 一，( 虿，可) 】丁 ，( z ，y ) 一f ( x ，可) 】 + e 2 【，( z ，y ) 一，( 面，可) 】丁q 2 【，( z ，y ) 一，( 至，可) 】 一2 ( y 一可) t c ( y ( ) ) 岛d ，( 珈) ( 可一可) + i 1 ( 可一可) r c ( y ( t ) ) p 2 t q i l 矿蟹c ( 可( t ) ) t ( 掣一可) + 孑1 【( z 一虿) t ( 丁f + 叩) ( z 一虿) + ( y 一可) 丁( 7 7 丁叩+ 叼) 白一可) 】 一；1 【夕( z ，y ) 一夕( 面：可) 】丁【9 ( z ，y ) 一9 ( i ，可) 】 + e 5 夕( z ，y ) 一夕( 虿，可) 】丁q s g ( x ，y ) 一9 ( 虿，可) 】 = ( z 一面) t 【- 2 a ( x ( t ) ) p i b ( z o ) + e i l a ( z ( t ) ) r s q i l s r p t a ( x ( t ) ) t + i 1 ( q 丁q + q p ) + e i l ( r + 7 7 ) 】( z 一虿) + ( 可一可) 丁【一2 c ( y ( t ) ) p ：d ( y o ) + i 1 c ( y ( t ) ) p 2 t q i l t t 鼍c ( 可( t ) ) t + 孑1 ( 7 7 t 7 74 - 7 7 ) + ；1 ( p 丁p + q 卢) 】( 可一可) + 【厂( z ，”) 一f ( x ，可) 】t ( e 2 q 套一e ；1 ，) f ，( z ，y ) 一f ( x ，歹) 】 ( ) = ( z 一虿) ，( y 一可) ，( f ( x ，y ) 一f ( x ，可) ) ，( g ( x ，y ) 一夕( 虿，可) ) 】， 皿1= 一2 k 1 r 旦+ i 1 砖1 1 只s q i l s t 砰0 j + i 1o l t o t + 8 卢) + i 1 ( t + 0 1 ) ， 皿2 = 一2 1 1 1 2 0 + e i l t ；i i p 2 t q z l t t 霹i i i + e i l ( 矿卵+ 刀) + e i l ( p r 卢+ q 卢) ， b 7x o ) = d i a g ( b i ( x o ) ，醍( z o ) ，b 2 ( x o ) ) ， d ( y o ) = d i a g ( 4 ( y o ) ，以( 珈) ，翰( 珈) ) 由定理( 2 2 1 ) 中的假定( 凰) 可知q 1 0 ，即： 、 2 ( x 一虿y 一可) 丁 a ( t ( ) ) 1 1 0 0 c ( 可( ) ) p 2 ) 日c z ，可，一日c 虿，可， 0 ，q 3 0 ，q 4 0 ，q 5 0 和q 6 0 以及两个对角矩阵b 0 ，b 0 和6 个实数g - 1 0 ，e 2 0 ，g - 3 嘎4 0 ，5 0 ，e 6 0 使得以下不等式 成立： 三类c - g * * 经网络稳定性的分析 其中： | 固1 00 = ，一l 00 。一l 0 0 眈q 2 + e 3 q 3 一g i l ， | 0 00 量1 0 s 5 q 5 + c s q 6 一i 1 i 霍：= 一2 k 1 只旦+ e f l 磅i | 只百0 2 i i w q f l w t i i i + i 1 砖0 r s q i l 尹芹i i z + e 1 q 1 + ；1 磅0 只s t q ；1 s 砰w 玎i l ，+ i 1 ( 口t o l + a ) + s i l ( 荨r + ，7 ) ， 皿：= 一2 1 1 p 2 d + i 12 列岛面1 1 2 i l v q 4 1 v t i i z + i 1 磋l l 岛t q i l t 丁霹0 ，+ e 4 q 4 + e i l f ；0 y 恳矿q i l t 霹v t i i i + e i l ( p t 卢+ q 卢) + e 孑1 ( 叩t 刀+ ，7 ) 则系统( 2 1 ) 存在唯一的平衡点，并且这个平衡点是全局渐近稳定的 容易知道，定理( 2 3 1 ) 中条件蕴也含了定理( 2 2 1 ) 中的( 凰) ，所以系统平衡点的 存在唯一性是显然的我们下面主要证明系统( 2 1 ) 平衡点的全局渐近稳定性 证明：首先我们把系统( 2 1 ) 写成矩阵形式： 掣+ 删( t 叫= 叫删陋) 一s f ( 邢一吐绯叫) + 4 掣+ 吲( 卅= 卅删) 一吲雄卅，可( t - - r l * ) ) 叫( 2 7 ) 其中： a ( z ( t ) ) = 出q 夕( n l ( z 1 ( ) ) ，n 2 ( z 2 ( ) ) ，o m ( z m ( t ) ) ) r m m ， s = ( ) m x m ，t = ( t q ) m m ，w = ( t 吩t ) m m ，v = ( t b ) m m ， z = ( z 1 ，x m ) t ，y = ( y 1 ，跏) t ，x ( t 一仃) = ( x l ( 一盯) ，z m ( t 一盯) ) t ， z ( 亡一6 ) = ( z 1 ( t 一6 ) ，z m ( z 一6 ) ) 丁，z 7 ( t h ) = ( g ( t 一九) ，z 幺( z 一，1 ) ) t ， 可( z 一7 ) = ( 玑( 亡一7 ) ，y m ( t 一下) ) t ，u ( t 一叩) = ( y l ( z 一7 7 ) ，y m ( t 一7 7 ) ) t ， 可( 亡一d ) = ( u i ( t d ) ，如( 亡一d ) ) t ， c ( 可( ) ) = d i a g ( o ( y l ( t ) ) ，c 2 ( 沈( ) ) ，c m ( ( ) ) ) r m m ， 量( z ) = ( b l ( z 1 ) ，b e ( x 。) ，b m ( x m ) ) t ，d ( y ) = ( d l ( ) ，d 2 ( y 2 ) ，( ) ) 丁， 厂( z ( z ) ，可( ) ) = ( ( z 1 ( ) ，可1 ( ) ) ，厶( z 2 ( ) ，可2 ( ) ) ，工n ( z m ( ) ，( ) ) ) r m ， 夕( z ( ) ，秒( ) ) = ( g l ( x l ( t ) ，可1 ( z ) ) ，耽( z 2 ( ) ，耽( ) ) ，g m ( z m ( z ) ，( t ) ) ) r m 一12 硕士学位论文 设系统的平衡点为：0 + ，y ) t ( z 。= ( z ；，z ；，z ) t ，y 下平移：令u ( t ) = z ( t ) 一矿，v ( t ) = y ( t ) 一矿那么系统( 害妒+ 量嘶；呓( t 一九) = 一n ；( 他( ) + ) 玩( 啦( ) + z ) 一6 ( z ) m、 一s j , j ( ( u j c t 一盯) + 弓) ，( ( t 一7 ) + 坊) ) 一乃( 矿，y + ) 】 ，t = 1 ，2 ，m ； 掣+ 霎( 一d ) = 一勺( 吻( ) + 坊) i = 1 j = l 。 一1 3 三类g g 神经网络稳定性的分析 + ：勺 ( 办( ( 嘶( z 一口) + 哆) ，( 吩( 一丁) + 坊) ) 一乃( 巧，坊) ) l j = i mm 一 十砌c j ( 吻( 亡) + 谚) ( ( t ) + 优( t d ) ) i 一( 由( ( 亡) + 秒+ ) 一d j ( 秒+ ) ) j = l i = 1 m 一 + 幻( 俄( ( 让i ( 一6 ) + 霹) ，( 忱 一7 7 ) + 西) ) 一仇( z ；，谚) i i = 1 mm 一 = p l i 啦( u i ( 亡) + z ；) ( 地( t ) + 蛳呦( 亡一圳一( 玩( 毗( 亡) + 矿) 一6 ( 矿) ) i = l j = x 竹lmm + s j l 马( 吻( t 一盯) ，( 芒一7 ) ) i + 黝勺( ( t ) + y ) ( v a t ) + 仇( 亡一d ) ) j = xj = l i = 1 m 一 - ( d j ( v j ( t ) + 秒+ ) 一d ( 旷) ) - 4 - 幻g ( 乱t ( t 一6 ) ，v i ( t - - 7 7 + ) ) l = 一u ( ) t a ( x ( t ) ) p 1 8 7 ( 咖) u ( t ) 一u ( ) t a ( x ( t ) ) p 1 8 7 ( u o ) w u ( t h ) + a iu i ( ) + z 跏t 蛳u j ( t 一九) s j f j ( u j ( t - - 口) ，吻( z 一7 - ) ) 1 = i j = xj = 1 + u ( 亡) t a ( x ( t ) ) p 1 s f ( u ( t 一盯) ，v ( t 一7 - ) ) 一可0 ) t c ( 秒( ) ) 尼d 7 ( v o ) v ( t ) 一移( t ) t c ( y ( t ) ) p 2 d 7 ( 伽) y 口( 一d ) + 勺( ( 亡) + 谚) p 巧v i j v i ( t d ) 幻g i ( ( 亡一6 ) ，忱( t 一矿) ) j = l i = 1i = 1 + 口( ) t c ( y ( t ) ) p 2 t a ( u ( t 一6 ) ，v ( t 一，7 + ) ) ( 2 1 2 ) 令：乃= f j ( u j ( t 一盯) ，( 亡一1 - ) ) ，g i = a i ( u i ( t 一6 ) ，仇( t 一矿) ) ，则： 。t ( ( ) ) p l l 蛳u j ( t 一九) s j t b ( ( t - - 。r ) ，吻( z 一丁) ) i = 1 j = lj = l mmm = u j ( t 一九) a i ( z ( ) ) p l i w f i s j t f j ( u j ( t 一盯) ，( t 一7 ) ) j = l i = 1j = l = ( t 一 ) a i ( 孔( ) ) p 1 ( r + 是i 足+ + r ) j = l i = 1 = u j ( t 一九) ( r a i ( 甄( ) ) m w j 川s + f 2 a i ( 鼢( z ) ) m 蛳+ j = l i = 1 i = 1 。 m + 如。i ( ( t ) ) 肌蛳 ) i - - - - 1 = 乱1 ( t 一忍) a i ( 戤( z ) ) p l i w a i s l i 只+ u 1 ( 一 ) a i ( t i ( z ) ) m 伽l i 8 2 l f 2 = 1i = 1 + + 乱1 ( 一 ) a i ( ( ) ) p l i w l i i r i = 1 j l 一1 4 硕士学位论文 + ( 一，| ) n l ( 戤( ) ) p l t t 岛凡+ ( t 一九) n ( 戤( t ) ) p l i 鼠足 = 1 i = 1 + + ( 卜 ) n ( ( t ) ) p 1 岛 i = 1 = u ( 一九) t w a ( x ( t ) ) p 1 s t f ( u ( t 一口) ，v ( t 一7 ) ) 同理我们可以得到： ( 2 1 3 ) mm m 勺( 协( ) ) 砌v o v i ( t d ) ( t i j g i ( u i ( t 一6 ) ，忱( 亡一刀+ ) ) j = 1 i = li - - - - 1 = v ( t d ) t v c ( y ( t ) ) p 2 t t g ( u ( t 一6 ) ，v ( t 一叩) ) ( 2 1 4 ) 把( 2 1 3 ) ；9 1 ( 2 1 4 ) 带入( 2 1 2 ) ，并且令：b 卜u o ) = - b 7 ( 咖) ，d 卜( 咖) = - d 7 ( ) 则： 型! 塑 d t = 一仳( ) 丁a ( 丁( ) ) n 口7u o ) “( ) + u ( ) t a ( z ( ) ) 只b 卜u o ) w u ( t h ) + 钆( ) t a ( z ( ) ) x p 1 s f ( u ( t 一仃) ，v ( t 一7 ) ) - ! - u ( t 一九) t w a ( x ( t ) ) p 1 s t f ( u ( t 一盯) ，v ( t 一7 - ) ) 一口( ) t c ( y ( t ) ) p s d 7 ( 咖) ( 亡) + ( 亡) t c ( 可( 亡) ) 尼d ，一( v o ) v v ( t d ) + 口( t ) t c ( ( t ) ) p 2 t a ( u ( t 一6 ) ，v ( t 一7 7 ) ) + v ( t d ) t y c ( 秒( t ) ) 岛矿g ( 札 一6 ) ，v ( t 一叩) ) 一u ( ) t a ( x ( t ) ) p 1 8 7 ( 札o ) 让( ) + 去f l u ( ) t a ( z ( t ) ) p 1 b 卜( 札o ) q f l w t b 卜t ( u o ) p t a ( z ( t ) ) t 仳( t ) + 去1 u ( t 一 ) r q l u ( t h ) + 去g i l u ( ) t a ( x ( t ) ) p 1 s q i l s t p a ( x ( t ) ) t 乱( ) + 去2 f ( 乱( 一盯) ，v ( t 一7 ) ) t q 2 f ( u ( t 一盯) ，v ( t 一7 ) ) + 去e ；1 u ( z 一九) r w a ( x ( t ) ) p 1 s t q i l s p a t a ( z ( z ) ) t w t u ( t h ) + 去e 3 f ( u ( z 一盯) ，v ( t 一丁) ) r q 3 f ( “( z 一盯) ，v ( t 一7 ) ) 一可( ) t c ( y ( t ) ) p 2 d 7 ( 珈) u ( ) + 去e i l 可( z ) 丁c ( y