（应用数学专业论文）模糊粗糙理论及其模态逻辑的研究.pdf

摘要 粗糙集作为一种处理不精确，不确定与不完全数据的新的数学理论，该 理论与概率论，模糊数学，信息论和证据理论等其他处理不确定和不精确性 问题的理论有很强的互补性，本文就粗糙集和模糊集的交叉领域进行了研究。 本文结合模糊集的构造性质和模糊性，对模糊粗糙集的构造性质和模糊 性进行了深入研究，首先给出了模糊粗糙集的分解定理和表现定理，然后给 出了模糊粗糙集的熵、区别度、贴近度的概念及其之间重要的关系，最后研 究了模糊粗糙集和l 一模糊集合的关系。 f 粗糙集理论用粗糙隶属度函数来刻画知识的模糊性。对于只建立在一般 二元关系r 下的近似空间a = ( u ，r ) ，粗糙隶属函数为 删= 铲 其中当r 是等价关系时，r 。( z ) = z 】本文结合模糊集合中熵的概念，讨论了粗 糙集的模糊性，在模糊集的最近普通集和最远普通集两个方面给出一种新的 粗糙集的模糊度量，并给出这种度量的一些特征。 随着对粗糙集理论的研究的不断深入，这一新数学分支与其他数学分支 的联系也更加紧密。本文在模态逻辑这一方向做了一些研究，给出了在新的 模糊关系下的粗糙集合的定义，并讨论了有关的模态逻辑的重要性质。v 论文分4 章： 第一章前言 第二章，给出了模糊粗糙集的分解定理及表现定理，模糊粗糙集的熵、 区别度、贴近度之间的关系，讨论了它和l 一模糊集合的关系。 第三章，给出了新的粗糙集的模糊度量。 第四章，提出了新的模糊关系下粗糙集的概念，给出有关的模态逻辑的 重要性质。 关键词：粗糙集、模糊粗糙集、熵、l 一模糊集、模态逻辑 x 1 i a b s t r a c t r o u g h s e t sa r ea c t e da san e wm a t h e m a t i c a lt h e o r yt od i s p o s ei n a c c u r a c ya n d i n d e t e r m i n a c ya n du n p e r f e c t e dd a t a ，t h e r ei s as t r o n gc o m p l e m e n t a r i l yb e t w e e n r o u g h s e t sa n do t h e rt h e o r i e sw h i c h d i s p o s ei n d e t e r m i n a c y a n d i n a c c u r a c y q u e s t i o ns u c ha sp r o b a b i l i t y ，f u z z ys e t s ，i n f o r m a t i o nt h e o r ya n dt e s t i m o n yt h e o r y t h i sa r t i c l eh a sar e s e a r c hi ni n t e r s e c tf i e l da b o u tr o u g hs e t sa n df u z z ys e t s t h e r eh a sa p r o f o u n dr e s e a r c ha b o u t t h es t r u c t u r en a t u r ea n df u z z i n e s so f f u z z y r o u g h s e t sw i t ht h es t r u c t u r en a t u r ea n df u z z i n e s so ff u z z ys e t s f i r s t ，t h e d e c o m p o s i t i o n t h e o r e ma n d r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e mo f f u z z yr o u g h s e t sa r e g i v e n ，s e c o n d ，t h e r e l a t i o n s a m o n ge n t r o p y ，d i s t a n c e m e a s u r ea n d s i m i l a r i t y m e a s u r eo ff u z z yr o u g hs e t s ，t h i r d ，t h er e l a t i o nb e t w e e nf u z z yr o u g hs e t sa n d l f u z z ys e t sa r ed i s c u s s e d r o u g h s e t sd e s c r i b et h e f u z z y m e a s u r eo f k n o w l e d g e w i t h m e m b e r s h i p f u n c t i o no fr o u g hs e t s l e t ( u ，r ) b ea na p p r o x i m a t i o ns p a c ea n dd e g r e eo fr o u g h b e l o n g i n g n e s so f xi nxi sg i v e nb y 州= 皆 s p e a k i n gm o r eg e n e r m l y ，l e tr b ea ne q u i v a l e n c er e l a t i o nd e f i n e do nx l e tu s d e n o t et h ee q u i v a l e n c ec l a s so fxi nxi nt h es e n s eo fr b yr 5 ( z ) f u z z i n e s si n r o u g hs e t si sd i s c u s s e d w i t ht h ef u z z y e n t r o p y ，a n da n e wm e a s u r eo ff u z z i n e s si n r o u g h s e t si si n t r o d u c e dw i t ht h ef a r t h e s tc r i s ps e ta n dt h en e a r e s tc r i s ps e t ，s o m e c h a r a c t e r i z a t i o n so ft h i sm e a s u r ea r em a d e t h e r ei sac l o s er e l a t i o nw i t ho t h e rm a t h e m a t i c a lb r a n c h ，t h r o u g h t h e c o n t i n u o u sr e s e a r c ha b o u tt h er o u g hs e t s s o m ew o r ka b o u tm o d a ll o g i ci sd o n e ， ac o n c e p to fr o u g hs e t si s g i v e nt h r o u g h an e wf u z z yr e l a t i o n ，t h ei m p o r t a n t c h a r a c t e r i z a t i o n sa b o u tt h em o d a ll o g i ca r ed i s c u s s e d t h e r ea r ef o u r c h a p t e r si nt h i sp a p e r ： 1 1 1c h a p t e r1 ，i n t r o d u c t i o n i i i i n c h a p t e r2 ，t h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e ma n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo f f u z z yr o u g hs e t sa r eg i v e n ，s e c o n d ，t h er e l a t i o n sa m o n g e n t r o p y ，d i s t a n c em e a s u r e a n d s i m i l a r i t ym e a s u r eo ff u z z yr o u g hs e t s ，t h i r d ，t h er e l a t i o nb e t w e e nf u z z y r o u g h s e t sa n d l f u z z ys e t sa r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r3 ，an e wm e a s u r eo f f u z z i n e s si nr o u g hs e t si si n t r o d u c e d i nc h a p t e r 4 ，ac o n c e p to fr o u g hs e t si sg i v e nt h r o u g han e w f u z z yr e l a t i o n ，t h ec h a r a c t e r i z a f i o n sa b o u tt h em o d a l l o g i co r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：r o u g hs e t s ；f u z z yr o u g h s e t s ；e n t r o p y ；l f u z z ys e t s m o d a l l o g i c i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对研究所做的 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名：日期：年月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文的作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部分内容 编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。 签名导师签名： 日期：年月日 皇王型堇查堂堡主堂垡堡塞一 第1 章前言 粗糙集作为一种处理不精确，不确定与不完全数据的新的数学理论，最初 是由波兰数学家z p a w l a k 1 1 9 8 2 年提出的。由于最初关于粗糙集理论的研 究大部分是波兰语发表的，因此当时没有引起国际计算机学界和数学界的重视， 研究地域也仅局限在东欧一些国家，直到2 0 世纪8 0 年代末才逐渐引起各国学 者的注意。近几年来，由于它在机器学习与知识发现 2 ，3 】，数据挖掘 4 ，5 】，决 策支持与分析 6 ，7 ，8 】等方面的广泛应用，研究逐渐趋热。1 9 9 2 年，第一界关于 粗糙集理论国际学术会议在波兰召开。1 9 9 5 年，国际信息科学杂志( i n f o r m a t i o n s c i e n c e s ) 还为粗糙集理论的研究出了一期专辑。 粗糙集理论是建立在分类机制的基础上的，它将分类理解为在特定空间上的 等价关系，而等价关系构成了对该空间的划分。粗糙集理论将知识理解为对数 据的划分，每一被划分的集合称为概念。粗糙集理论的主要思想是利用已知的 知识库，将不确定或不精确的知识用己知的知识库中的知识来刻画。该理论与 其他处理不确定和不精确问题理论的最显著的区别是它无需提供问题所需处理 的数据集合之外的任何先验信息，所以对问题的不确定性的描述或处理可以说 是比较客观的，由于这个理论未能包含处理不精确或不确定原始数据的机制， 所以这个理论与概率论，模糊数学和证据理论等其他处理不确定或不精确问题 的理论有很强的互补性。 粗糙集理论的研究由于其历史较短，所以至今为止，对粗糙集的概念的定 义还没有完全统一，一种就是原始的p a w l a k 1 意义下的，也有由上，下近似 构成的一对集合来命名的，还有下近似和上近似构成的区间来定义的 9 ，定义 观点的不同往往带来研究的侧重面的不同。目前，对粗糙集理论的研究主要集 中在：粗糙集的模型的推广，问题的不确定的研究，与其他处理不确定性，模 糊性问题的数学理论的关系与互补，纯粹的数学理论方面的研究，粗糙集的算 法研究和人工智能其他方向关系的研究等。如果把模糊集合中的隶属度看作是 粗糙集理论中的属性值，则信息系统中知识表达的模糊性依赖于对象的可用属 性值描述，数据库中病态描述的对象可以用属性值的集合的可能性分布来表达， 这些可能性分布构成模糊集合模型，由此可见，在知识表达与获取方面，粗集 与模糊集合有它们的类似之处；但它们各自的着眼点不同；首先r s 不需要先 验知识，模糊集和概率统计方法是处理不确定信息的常用方法，但这些方法需 第1 页共4 9 页 电子科技大学硕士学位论文 要一些数据的附加信息或先验知识，如模糊隶属函数和概率分布等，这些信息 有时并不容易得到。r s 分析方法利用数据本身提供的信息，无需任何先验知识。 其次，它是一个强大的数据分析工具，它能表达和处理不完备信息；能在保留 关键信息的前提下对数据进行兼并求得知识的最小表达；能识别评估数据之间 的依赖关系，揭示出发年简单的模式；能从经验数据中获取以证实的规则知识， 特别是与智能控制。在次，它与模糊基分别刻画了不完备信息的两个方面：r s 以不可分辨关系为基础，侧重分类，模糊集基数元素堆积和隶属程度的不同， 强调集合本身的含混性，从r s 的观点看，粗糙集合不能清晰的定义的原因是 缺乏足够的论域知识但可以用一对清晰集合逼近。两种方法不能简单的取代。 而且，对于一个粗糙集描述的系统，它是有有序对( 彳，圪) 构成，且属性值是确 定的，这就存在一些缺点：首先是论域中的对象必须统一表达，属性值要归一 化，离散化，其次是要准确知道该对象的属性值，并且不考察这些属性值的可 信度问题。因此要把两者有机的结合。本文主要是将粗糙集理论和模糊理论相 结合进行研究，二者的结合将更具有优越性和科学性。模糊粗糙集理论是用模 糊集合概念来研究粗糙集的模糊划分相似性问题，模糊粗糙集合的概念丰富了 对信息系统中不完善，不确定知识的描述，处理。 对于粗糙集的模型的推广中的模糊粗糙集 1 0 ，它和模糊集有哪些相似的 特征? 本文结合模糊集的性质，在这一方面做了一些研究。首先给出了模糊 糙集的分解定理和表现定理，然后给出了模糊粗糙集的熵，区别度，贴近度之 间的关系，最后给出了模糊粗糙集和l 一模糊集合的关系。 在粗糙集理论与其他处理模糊性或不确定性方法的理论研究中，主要集中 在它与概率统计，模糊数学，和信息论的相互渗透与补充。粗糙集理论用粗糙 隶属度函数来刻画知识的模糊性。对于只建立在一般二元关系r 下的近似空间 a = ( u ，r ) ，粗糙隶属函数为 删= 铲 其中当r 是等价关系时，r 。( x ) = 本文结合模糊集合中熵的概念，讨论了粗糙 集的模糊性，在模糊集的最近普通集和最远普通集两个方面给出一种新的粗糙 集的模糊度量，并给出这种度量的一些特征。 随着对粗糙集理论的研究的不断深入，与其他数学分支的联系也更加紧密。 例如，从算子的观点看粗糙集理论，与之关系较紧的有拓扑空间，数理逻辑， 第2 n 共4 9 页 电子科技大学硕士学位论文 模态逻辑，格与布尔代数，算子代数等。本文在模态逻辑这一方向做了一些研 究，给出了在新的模糊关系下的粗糙集合的定义，并讨论了有关的模态逻辑的 性质。 本文首先给出了模糊粗糙集的分解定理，表现定理模糊粗糙集的熵，贴近度 和区别度的关系模糊粗糙集和l 一模糊集的关系：其次讨论了粗糙集的模糊性： 最后讨论了模糊粗糙集的模态逻辑这些理论的研究完善了模糊粗糙集的构造 性质，促进了和其他学科的融合。 第3 页共4 9 页 电子科技大学硕士学位论文 第2 章模糊粗糙集的性质 本章主要讨论了模糊粗糙集的构造性质和它的模糊性，及模糊粗糙集和直 观模糊集的关系。 21 引言 定义2 1 1 令x u ，当x 能用属性子集b 确切地描述( 即是属性子集b 所确定的u 上的不分明集的并) 时，称x 是b 可定义的，否则称x 是b 不可 定义的。b 可定义也称b 精确集，b 不可定义集也称b 非精确集或b r o u g h 集。 定义2 1 2 给定知识表达系统s = ( u ，r ，v ，f ) ，对于每个子集x u 和不分 明关系b ，x 的上近似集和下近似集分别可以由b 的基本集定义如下： b ( x ) = u 彬| ( r u i i n d ( b ) ay z ) 曰( z ) = u j ( f u 1 1 n d ( b ) a y n x 中) 其中，u j l n d ( b ) = 工k z u v x v y v b ( b ( x ) = 6 ( ) ) ) ) 是不分明关系b 对u 的 划分，也是论域u 的b 基本集的集合。 上近似集和下近似集的概念也可以通过集合来定义： 定义2 1 3 给定一个非空集合u 称为论域，r 为u 上的一族等效关系。二 元对s = ( u ，r ) 构成一个近似空间。设x 为u 一个子集，x 为u 中个对象， h 】。表示所以与x 不可分辨的对象所组成的集合，即由x 决定的等效类。关于 r 的下逼近定义和上逼近定义为： 占( y ) = x u ：【工 。x ) 曰( x ) = x u ：【石 。n 。v 中) 定义2 1 4 对近似空间s ：( u ，r ) 两粗糙集a = ( a ，a l b = ( b ，b ) 有： a u b = ( a k 9 b ，a u b ) ( 1 ) a n b = ( a n b ，a n b ) ( 2 ) a c b 亡争ar 、b = a( 3 )一a = ( u a ，u a )( 4 ) a b = a n ( 一b ) = ( a 一b ，a 一b ) ( 5 ) 定义2 1 5 集合删。( x ) = 口( x ) 置( 爿) 称为x 的b 边界；p o s 。( x ) = b ( x ) 称 为x 的b 正域；n e g 。( x ) = u 置( z ) 称为x 的b 负域。 定义2 1 6 设r 为粗糙集之集合，x = 忸。，x 。) e r ，l 是格，则x 中一个模糊粗 集a = 0 ，a u ) 由一对映射t t 山来刻划 ：z 。斗上九：x ( ，寸上且 对v x x 。 第4 页共4 9 页 电子科技大学硕士学位论文 2 2 模糊粗糙集的分解定理及表现定理 2 2 1引言 粗糙集理论和模糊集理论都是研究信息系统中知识的不完善，不准确问 题。但粗糙集理论的解决问题的出发点是信息系统中知识的不可分辨性，而模 糊集理论着眼于集合的模糊性，其解决问题的出发点是信息系统中知识的模糊 性。将二者结合形成了模糊粗糙集。本文目的是讨论模糊粗糙集构造性质，给 出其分解定理和表现定理。 2 22 几种新的截集定义： 论域x 上的模糊集a 的截集和强截集定义成： a 。= 扛jx x ，a ( x ) a a 。= 扛i x e x ，a ( x ) a 从“领域”和“重域” 的观点看，模糊点x 与模糊集a 有下列领域关系： ( 1 ) x 属于a ( 记作x a 一( z ) 五) j 强属于a ( 记作x a 爿( j ) 丑) ( 2 ) j 强重于a ( 记作x a 一( z ) 1 一丑) z 重于a ( 记作x a 营爿( j ) 1 一旯) ( 3 ) x 不属于a ( 记作硼! a 爿( ，) 1 一a c x 。 则( a z i , q , a 州) 称v r 集( a 。，a 。) 的五一下重截集0 。，爿。) 称f r 集0 。，a 。) 的旯一强下重截集 定义2 2 3 4 若a ：z 。斗l ( 记为a l x ) a v ：x 。l ( 记为a u l x “) ， ：，蜀，) 为粗糙集，l 为格，v 2 三定义 一p 1 = 扛z 。j 一。( x ) 1 一五 x 。彳p 1 = b x 。i a u g ) 1 一兄 z 。 爿pj = b x 。| 一。( z ) 1 一旯 c x 。爿pj = 扛x 。，j a l l 0 ) 1 一五 c x 。， 则0 p 】，爿p 1 ) 称f r 集，a 。) 的a 一上重截集0 灶一p 】) 称f r 集0 。，a 。) 的五 强上重截集 若a = 0 。，a 。) 是x 上的f r 集，i = o ，1 ，对于丑，及x 上的子集b = p 。，) 分别定义x 的模糊子集船及a 占如下： 胁悟甾胁 ；鬟 则有下列的分解定理。 定理2 2 3 1 如果l 是完备格，a ，l x , ，a ，一胪，则 a c = 仓五- ： _ u2 金五- 爿： a l 2 仓l a - a 2a u 。金l a 第6 页共4 9 页 ( 1 ) ( 2 ) 皇王型垫盔堂堡主兰焦堡皇一 = l , v a ： 彬2 兰爿： 一；2 兰爿： 爿i2 兰钟 ( 3 ) ( 4 ) 证明( 1 ) 搬e 。，( 金 - 爿：) g ) = ( 。岔( ，) 丑爿：b ) ) n ( 。；2 ( ，) 旯- 爿：g ) ) 2 ln ( 。：岔( ，) 丑爿：g ) ) 2 。：五。a 。g ) 故一c2 金五 同理可证彳u = 企五- 一：。 ( 2 ) 因彳：彳：有a 4 ：五4 ：所以念兄爿：2 一。兰金a 一： 同理爿。5 金 - 月：。 而工是稠密格时v x e x 。时，( 企a 爿：) g ) = ( 。；2 。n 五。名g ) ) n ( 。( ，) 旯爿：g ) ) 1 n ( 。a 一：g ) ) 2 。a 2 一c g ) 故爿c 2 金旯爿：。 同理可证月u = 金旯爿：。 ( 3 ) v x x 。，( 兰刀一：) g ) = ( 。z ( ；) 爿：g ) ) v ( 。：z ( ，) 爿：g ) ) = 。；y ( ，) 牙爿：g ) ) 。；z 【，) ( 、一：) g ) 5 。：y ( ，) 。4 g ) 故。恐刀一：。 同理可证筋= 兰彳：。 ( 4 ) 因爿；呈爿：有刀爿：c 刀爿： 同理兰刀彳：a a g , 。 所以兰石爿：恐彤爿：= 一： 第7 页共4 9 页 皇王型垫查堂堕主堂堡笙塞 一 而l 是稠密格时v x x 。时，( 兰一：) g ) = ( 。；z ( ，) z 一：b ) ) v ( 。，z ( ，) 五爿：b 如= 。，z ( ，) 刀4 ：( x ) ) 2 。 v ( ，) 刀 n n n i i e a ；= 兰名。 g ) 故= 兰刀爿：。 定理2 2 3 2 如果l 是稠密的完备格a 。c ，a u l x u ，r = 忸。：伍。，x u ) e rr 。；口。：。，j 。) e r 影射h 。：l 寸尸慨l 仃。：三一p ( r 。) p 表示幂集) 且适合：v 旯三彳：c _ h 。 ) 爿：， a ：。以) 爿：，则有 = 兰h 。0 )彳；= 兰日u 以) ( 1 ) a ，= 丑h ，) a u = 垒l x _ h 。吣 ，乇， 五：j 日。以，) h 。以：) h 。0 ，) h 。魄) 4 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。川= a 。 同理可证a u 三盟刀a 。n 】a 当三是稠密完备格时， ( 遗一。1 1 ) g ) = ( 。z 。爿。“i ) g ) = ( 、，z 。( 。) 爿t n l g ) ) v ( 。z 。 ，) 彳。d 1 g ) ) = ，。v 小) 刀a 。u 】g ) 2一。五( ，f a a 。) g ) 。五( ，) 2 爿c b ) 故爿z5 兰彳z b 同理可证如= a ￥l - 3 5 a 。i j 】_ ( 3 ) 瞰吼j 1 _ 啪蛐圹k 涮篡猫 ( 仓丑一。川) g ) = ( h 盒( ，) 五_ 爿t g ) ) ( 盒( ，产。爿z g ) ) = 1 ( 盒( ，) 五彳c g ) ) = a = 4 ；( x ) a i ( ，) e 故= 金五a q a 同理筲= 念五a u 州a ( 4 ) 因一。u 1 _ c a 。有五a 。咒a 。所以会五a 。u l 三一：2 念五- a c “ 同理金五a 。kj 筲2 金兄a u n 当上是稠密完备格时 ( 金五爿。“1 ) g ) = ( 一。0 。( 。) 五4 。h 】g ) ) ( 。盒( ，) a - 爿。p 】g ) ) 2 l ( 。金( ，) 五爿c i a 】g ) ) 2 t 岔。五2 氍g ) 故爿i2 金五 第1 0 页共4 9 页 皇王型塾盔兰堡主兰焦兰苎一 同理筋2 金a - u p 】。 定理2 2 3 4 若三是稠密的完备格时，爿。工“，以乩r = 忸。：。，x u ) r ，r 。： 。：。，。) 。月 影射峨：上j p 魄l 。：l _ p ( ) ( p 表示幂集姐 适合：v 旯工a l i a 日。( a ) ga 。 a u , i c h u 协) e4 u l a 】，则有 4 = 兰刀口。0 ) 爿u = v l i # h u 以) ( 1 ) “2 念五 筋= 金五，巩0 ) 丑 a ：jh 。0 、) h 。0 ：) h 。0 ，) 日。q ：) 4 。l 。1 - 金巩q ) a v - l - 企风缸) 爿。【i 】= l h 。0 ) 一。= 兰风 ) ( 5 ) 证明：( 1 ) v 上，i s a o c - t t ( t ) g a 。”知i 。a l k 】爿c n ) 刀a j 爿。= 兰4 。兰日。以) 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兰州_ i 】) ( x ) = ( “x 。刎p 1 g ) ) v ( “x 。朋j 】g ) ) = 州簟。五2 筏0 ) 故爿：- m vt , t 。 1 j 。 同理可证一；= 兰埘p 1 。 定理2 2 3 6 若工是稠密的完备格时，a 。l “，a 。l 置 记月= 。，鼻。 伍。，x 。) 为粗集) r 。= 口。：。，x 。，) e r ) r 。= 扭。：口。，x 。) e j r 影射日。：l - - + p ( r 。lh 。：l - - + p 。) p 表示幂集狙适合：v 亢工 一。u 】h l 0 ) 一。i 川，4 u 【工】h u ) a u 。1 则有 = 兰埘。以)氍= 恐胴“n ) a l 2 仓l 艽 h 。以) 爿。= 企日。0 ) t 。 a ：j h 。以) h 。 ：) h 。帆) 三h 。n ：) 第13 页共4 9 页 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 皇王型垫盔兰堡主兰垡墼 月p 1 = 巩仁) 爿即：v 日，k ) 证明：( 1 ) v 旯l ，因一掣日。以) 4 p 1 ， 金玩p ) 一圳= 兰吼缸) 知埘p 】c _ a 。以) 从? 1 j = 兰州p v m 。0 ) 兰州p 】= 爿：j 爿：= 兰册。以) 同理可证筋= 兰艚。0 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 2 ) v 旯工因一。k 】h 。o ) 爿。川，知彤爿p 】2 - 日。以) 3 彤- 彳p 1j 以= 金刀一p 兰h 。0 ) 兰州p = 4j = 兰胴t 以) 同理可证筋= 兰艚。以) ( 3 )五。 丑a l g ) 1 一a j z 5 企彳“1 g ) 金日。0 ) ( 5 ) v a 五h l ( 0 0 c ：a 口】a ，。v h 。缸) 一掣，x 一p 培口爿。g ) c 1 一兄选择厶 适合不等式爿。g 。) 1 一九c l 一兄于是z 爿p 吼) 互兰巩 ) 所以爿掣兰风缸) 即彳掣= 葛h 。缸) 同理可证爿= 。vh u q ) 注：上边的分解定理主要有两类。 1 )由反序集合套表示a 及a ，如 五。) = 箍z i - i 。以) 互( 巩) = 墨艚u 0 ) 第1 4 页共4 9 页 电子科技大学硕士学位论文 疋t ) = 念彤_ h t a )t c ，) 2 金矿。h u 0 ) 2 )由顺序集合套表示a 及4 。，如 t ( h 。) = 兰牙h 。以)i 。) = 兰z 。 ) l 。) = 企五日c n )t ( h 。) = 会旯- h 。以) 3 ) 正。) 互。lt 。) t 。l 五。)正。lt 。)e 。) 分别对应一种表现定理。 2 2 4 模糊粗糙集的表现定理 定义2 2 4 1 如果r 为粗糙集族，l 为完备格，映射h 。：l 寸v ( r ，) h 。：l 哼p ( a 。) 适合：( 1 ) 若五，l 五 l 8 , g ，备格，丁( 日) = 仓丑。( 五) 其中 t ( h l ) ，t ( h u ) 分别为：州片。) = 念。( z ) t ( h 。) = 垒h 。( 丑) 则 t ( h ) b 1 h z ( a ) g t ( h z ) t ( h v ) h h v ( 2 ) t ( h v ) l - r r ( 日c ) “1 = 会日。 ) t ( h 。) = 念日。( 口) 1 l t ( h 。) 虬兰h 。( a ) t ( h 。) k l 。v h 。( a ) t 是一个满同态，即t 是一个满射且 第1 5 丽其4 9 玎 ( 1 ) ( 2 ) 皇王型堇查堂堡圭堂垡堡茎一 ( t ( r u r h l r ) = * r ( h 却) 丁( * 月) - 一vr ( h u r ) ( 3 ) l 丁( 盆h 卸) 2 盒r ( h “)r ( 盆打脚) 2 念r ( 日脚) ( 4 ) b ( 州。 丁( 或) ；，( 片 ( 5 ) 证明： ( 1 ) 首先对任何z t ( h 。) n j 有，( h 。) ( z ) l 一旯j 金 h 。 ) ) ( j ) l 一五v 口三有 口h m ) ( x ) l 一五j1 一口 1 2 h x ) 又日( a ) h l ( 五) 所以x h l ( 兄) 这样 得至日了丁( 丑。) n 1 _ c h 。( 丑) 其次对任何x 日。( a ) 有日z ( 兄) ( x ) = 1 于是r ( h 。) ( x ) 2 金 h 。位) o ) ) 刀c ( 旯) ( x ) ：刀所以x t ( h 。) 这样得到吼( 旯) t ( h 。) 即证r ( h 。) d 】h 。( 旯) t ( h l ) “ 同理可证，( q ，) n 】疗。( 五) r ( f 0 ) 。 ( 2 ) t ( h 。) h 。( 五) t ( h z ) 1 3 】t ( h v ) 1 1 l ( 五) t ( h v ) 1 1 】 根据分解定理2 2 3 6 可知 t ( h 。) “1 = a g ；q ) t ( h 。) “1 = a h 。仁) t ( h 。) i q = 兰日。( 口) t ( h 。) 虬尚日。( 口) 对w = ( 4 ，a u ) l r ，令日( 旯) = 爿妒，h 。( 2 ) = a i r a l ，五【0 ，1 】0 s 旯 1 一五j j 口。l使口o 。 日( a o ) ) ( 工) l 一五j 口。 旯且x h ( 口。) 又h o ) h ( 五) 所以z 日( 旯) 这样得到r ( 日。) d 】h 。( 丑) 其次对任何x 日z ( 旯) 有h t ( a ) ( z ) = 1 于是 t ( h 。) ( x ) = 兰( a 。 h 。( 口) ( x ) ) 彤、h c ( 旯) ( z ) = 所以xe t ( h c ) l 】这样得到 h 。