（基础数学专业论文）Ⅰ投射模及其性质.pdf

j 一投射模及其性质中文摘要 ，一投射模及其性质 中文摘要 设( r ，仇) 是交换的n o e t h e r i a n 局部环，j 是r 中的理想，m 是有限生成的犀 模在第二章中，作者介绍了交换代数和同调代数的一些基本概念和性质在第三章 第一节中，作者先给出一个重要的命题： 下列条件等价： ( 1 ) s u p p ( e x t k ( m ，) ) v ( i ) 对所有f g 的五- 模 ( 2 ) 对任意的r - 模短正合列p 与三 0 ，其中p i 工是1 g 的导模，j 整数女 0 ，使得对vo p 及任意的皿模同态，：m - + l ，都jh ：m - p 有：o ，= 们 然后给出了j 一投射模的定义： m 是j 二- 投射模，若m 满足上述等价条件中的任何一个 在第二节和第三节中，作者分别定义了，一投射维数、环冗的整体j 一投射维数， 并讨论了它们的性质 定义m 的j 一投射维数为： m i n n i 存在m 的一个一投射予解：0 一r _ p n l _ _ 局_ m _ o 定义冗的整体j 一投射维数为：d r ( r ) = s u p p d r ( m ) im 是，9 的皿模， 最后讨论了j 一投射维数与滤深度”n t j 的关系 关键词：n o e t h e r i a n 局部环，i - 投射模，i 一投射维数，整体i 一投射维数，滤深度 r ，t ，i 作者：汪亚东 指导教师：唐忠明( 教授) j 一投射模及其性质 a b s t r a c t i - p r o j e c t i v em o d u l e sa n dt h e i rp r o p e r t i e s a b s t r a c t l e trb eac o m m u t a t i v en o e t h e x i nl o c a lr i n g ，maf i n i t er - m o d u l ea n dja ni d e a lo f 矗i nt h ec h a p t e rt w o w ew i l lr e c c a l ls o m eb a s i cc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e si nc o m m u t a t i v ea l g e b r a a n dh o m o l o g i e a la l g e b r a i nt h es e c t i o no n eo ft h ec h a p t e rt h r e e ，o n ei m p o r t a n tp r o p o s i t i o n i sg i v e nf i r s t l y ： t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) s u p p ( e x t k ( m ，i v ) ) v ( i ) f o ra l lf g r m o d u l e sn f 2 ) f o re v e r ys h o r te x a c ts e q u e n c ep 与三一0 w i t hp , la r e1 g r m o d u l e s ，t h e r e e x i s t sa ni n t e g e rk 0 , s u c ht h a tf o re v e r y i a n de v e r ym o r p h i s m ，：m _ l ，t h e r e e x i s t sa m o r p h i s mh ：m - p w i t h8 ，= g h t h ed e f i n i t i o no f - p r o j e c t i v em o d u l ei sg i v e n ： mi ss a i dt ob e - p r o j e c t i v e 。i fm s a t i s f i e se i t h e ro ft h ea b o v ee c l n i v a l e n tc o n d i t i o n s i nt h es e c t i o nt w oa n dt h r e e ，t h ed e f i n i t i o n so f - p r o j e c t i v ed i m e n s i o no fma n dg l o b a l - p r o j e c t i v ed i m e n s i o no fr a r er e s p e c t i v e l yg i v e na n dt h e i rp r o p e r t i e sa l ed i s c u s s e d t h el - p r o j e e t i v ed i m e n s i o no fm j 8d e f i n e da s ： m i n ( b it h e r ee x i s t sa l l - - p r o j e c t i v er e s o l u t i o no f 肘：0 一r _ p n l _ _ 局一m _ o ) t h eg l o b a l - p r o j e c t i v ed i m e n s i o no fr i 8d e f i n e da s ： d ，( r ) = s u p p d t ( m ) im i sf i n i t em o d u l e ) f i n a l l yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h e - p r o j e c t i v ed i m e n s i o na n dt h er e l a t i v ef i l t e rd e p t ho n mw r t ii sp r e s e n t e d k e y w o r d s ： n o e t h e r i a nl o c a lr i n g s ；i - p r o j e c t i v em o d u l e s ；i - p r o j e c t i v ed i m e u s i o n s ；g l o b a li - p r o j e c t i v ed i m e n s i o n s ；f i l t e rd e p t h sw r t i i i w r i t t e nb yw a n g - y a d o n g s u p e r v i s e db yp r o f , t a n g - z h o n g m i n g v7 8 1 8 2 0 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究t 作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：e 垒望垄二日 学位论文使用授权声明 期：兰：! ! ! ! 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的伞部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏十i l 大学学位办办理。 研究生签名：| j ：i 墨至煎!日期：哇型丝! 导师签名：础2 警兰2 一日 期：塑：兰 j 一投射模及其性质 一 引言 一引言 设( rm ) 是交换的n o e t h e r i a n 局部环， 想。其中，是r 的真理想 我们已经知道m 一正则元( 【1 6 】) 的概念， 足 m 是有限生成的r 一模。j ，t ，是r 的理 由定义知，j 是m 一正则元，如果满 ( 0 ：mz ) = 0 即s u p p ( 0 ：m 。) = o 其中s u p p ( m ) = p s p e c ( r ) j 0 0 表示m 的支撑集在【1 3 】里面，吕人才推广了 这个定义，得到了m 一滤正则元的概念，由定义知，嚣j 是m 一滤正则元，如果满 足 ( 0 ：mz ) 是有限长度的r 一模 即s u p p ( 0 ：m ) m ) 我们可以看出，作者将( 0 ：m 。) 的支撑集由0 推广为包含在 m 里面我们知道在r 的素谱s p e c ( r ) 中， m 在z a r i s k i 拓扑下是一个闭集，也就是说作者让( 0 ：mz ) 的 支撑集包含在一个闭集里在【别里面，作者进一步推广了这个概念t 将闭集 m 改 为般的闭集y ( n 得到了m 一滤正则元t i ，r t ( w i t hr e s p e c tt o ) i 的概念由定义知。 茁j 是m 一滤正则元 r t i ，如果满足 s u p p ( 0 ：mz ) y ( f ) y ( d 表示r 中所有包含j 的索理想的集合可以看到，若i = 丑，则m 一滤正则元 ”r t j 就是m 一正则元，也就是说m 一正则元是m 一滤正则元 r t i 的一个特例 在本篇论文里，作者运用这个思想推广了投射模的定义，得到了j 一投射模的概 念我们已经知道投射模的定义：m 是投射r 一模，如果对任何r 一模短正合列； 工4n _ 0 ，其中l ，n 是有限生成r 一模对任何同态，：m + ，都存在同态 h ：m 五，使得，= 9o h 即成立交换图 m h o ) 记作以，有以= np 若v ( s ) y ( j ) ，则j 订，若理想i ，是i g 的，则3n 0 ， p e r ( t ) 使p ， 分式环的构造方法以及与它相关联的局部化方法是交换代数中最重要的技术性工 具，它们相当于在代数几何图形里把注意力集中到个开子集上或一点的近旁，这些 概念的重要性是显然的下面介绍局部化的概念： 设月是有单位元的交换环，r 的乘法封闭子集指的是这样一个子集s r ：单位 元l s ，且s 对于乘法足封闭的，即若s ，s ，则s tes 在r s 上按以下方 式定义一个关系： ( a ，3 ) 兰( b ，t ) 斜( a t b s ) i t = 0 ，对某个t s 可以验证这个关系是等价关系将( o ，s ) 所属的等价类记作n s ，并设s r 是所有 等价类组成的集合在”分数”n s 上按初等代数的公式 ( a s ) + ( b i t ) = ( a t + b s ) s t( a s ) - ( b t ) = a b l s t 定义加法和乘法，就在s r 上引进了一个环结构，环s _ 1 r 叫作r 对于s 的分式环 4 ，一投射模及其性质 二 基本概念和性质 设p 是r 的素理想，它的补集s = r p 是乘法封闭的，将s 。r 记作r p ，从r 到岛 的过程叫作在p 处的局部化，有环同态，：r + 耳，它由，( $ ) = 。l 所定义，且 是局部环，唯一的极大理想为p 耳，是p 的象f ( p ) 在耳中生成的理想 设j 是r 中的理想，s 是乘法封闭子集，可为s 在r i 中的象，则 s 一1 r j s 一1 r 型矿1 ( r i ) 于是若p ，q 是r 的素理想，p 譬q ，则p r q = ，即( r p ) g = 0 s 。r 的构造方法可以搬到r 一模m 上来，在m s 上定义关系；： ( m ，s ) 兰( m ，8 ) = 毒| t s ，使t ( s m 7 8 m ) = 0 可以验证这个关系是等价关系将( ”。，s ) 所属的等价类记作m s ，并设s _ 1 m 是所 有等价类组成的集合，在s _ 1 m 上按显然的公式引进加法和乘以标量的乘法使它成为 s _ 1 r - 模若s = r p ，p 是r 的素理想，将s 。m 记作m p 定理2 1 2运算s _ 1 是正合的，即若有r 一模短正合列 0 一m 二m 与m ”- - - - - 40 则有短正合列 0 _ s - 、m | qs 。m 警s - t m ”- - - - - - 40 2 2 e x t 函子和t o r 函子 设r 是环，n 是r 模，考虑左正合逆变函子g = i q o m ( - ，) ，对任意的且一模 m ，任取m 的一个投射予解； 一r 鸟r i _ _ r _ 岛凹_ 0 用h o m ( 一，n ) 作用后得： 0 一g ( m ) 掣g ( p o ) - - - + 一g ( r 一1 ) 唑g ( r ) 一 它的第n 个同调模记为e x t 爱( m ，n ) ，即有： e x t 凳( m ，n ) = k e r g ( 如+ 1 ) i m g ( 矗) vn 0 显然有 e x t o ( m ，n ) 些h o r a ( m ，n ) 且对任意的短正合列 0 一m _ m 叫m ”一0 有长正合列 0 _ e x t o ( m ”，n ) _ e x t o ，n ) - - - 4e x t o ( m ，n ) 一e x t l ( m ”，n ) 一 即有 5 j 一投射模及其性质 二 基本概念和性质 0 _ h o m ( m ”，n ) 一h o m ( m ，n ) 一h o m ( m ，n ) - - + e x t l ( m ”，n ) 一 定理2 2 1 设 _ r 鸟r l 一_ p 1 一p o 与m - - - - 4 0 是m 的一个投射予解，记k o = k e r e ，墨产k e r ( i n ，n 1 ，则有 e x t h ( k n l ，) 竺e x t 爱+ ( m ，) v i l ，n l 定理2 2 2 设m l ：地：，慨是r 一模，则 e x ( 蚤，) 型蚤( ：) v i 0 ，vr一模next m jn e x tm jni0r ( o，) 型02 (：)v ，v 一模 j = lj = l 定理2 2 3 设r 是交换的n o e t h e r i a n 环，a ，b 是1 g r 一模，则 e x t 甍( a ，b ) 是f - g r 一模vn 0 定理2 2 4 设r 是交换的n o e t h e r i a n 环，s 是乘法封闭集，4 是1 g r 一模 b 是冗一模，则 s - 1 ( e x t 瓷( a ，日) ) 竺e x t 3 - t r ( s 一1 a ，8 - 1 日) vn 0 设置是环，m 是咒一模，考虑右正合协变函子f = m 圆r 一，对任意的r 一模n 任取的个投射予解： 一p n 乌r l _ _ p l 叫p 0 与_ 0 用m 0 冗一作用后得 一f ( r ) 嗨f ( r 一1 ) _ - e ( p o ) 掣f ( | ) _ 0 它的第n 个同调模记为w o r 嚣( m ，n ) ，即有： t o r 嚣( m ，n ) = k e r f ( 如) h n f ( d 。+ 1 ) vn 0 显然有t o r o ( m ，n ) 型m o 凡n 且对任意的短正合列 0 一一一”_ 0 有长正合列 一t o r n ( m ，n ) - - - 4t o r 。，n ) _ t o r n ( m ，n ”) 叫 _ t o r 0 ( m ，n ) 一t o r o ( m ，n ) _ t o r o ( m ，n ”) 一0 6 ，一投射模及其性质二 基本概念和性质 定理2 2 5设r 是交换的n o e t h e r i a n 环，s 是乘法封闭集，a ，b 是r 一模，则 s - 1 ( t o r 嚣( a ，b ) ) 型t o r n s - l r ( s 一1 a ，s - 1 b ) vn 0 2 3 正则序列与滤正则序列w r t i 设r 是有单位元的交换环，m 是r 一模z r 叫作m 一正则元，如果不是 m 的零因子，即 ( 0 ：mz ) = 0 换句话说就是 s u p p ( 0 ：m $ ) = 0 称。l ，。2 ，z 。r 是m 一正则序列，如果对v 1 sn ，戤是m ( l ，q 1 ) m 一正 则元，且m ( 轧，z 。) m 设l ，是r 的真理想，中最长的m 一正则序列的长度 被称为是m 在l ，中的深度，记为d e p t h ( j ，m ) ，且有 d e p t h ( j ，m ) = m i n i ie x t 3 ( n j ，m ) o ) 设( r ，m ) 是交换的n o e t h e r i a n 局部环，是r 的理想，$ m 叫作m 一滤正则 元w r t i ，如果 s u p p ( 0 ：m $ ) cv ( x ) 称善l ，$ 2 ，g 。m 是m 一滤正则序列w i r - t i ，如果对v 1 i s ，戤是m ( z 1 ，x i - ! ) m 一 滤正则元”r t i 设j 是r 的真理想，j 中存在个m 滤正则元w r t ，i 当且仅当 s u p p ( h o m ( r j ，m ) ) v ( 1 ) t ，中最长的m 一滤正则序列”r t i 的长度被称为是m 在j 中的滤深度h r ，t i ，记为 f - d e p t h x ( j ，m ) ，且有 f _ d e p t h i ( j ，m ) = m i n i is u p p ( e x t h ( r j ，m ) ) 垡y ( 聊 b d e p t h t j ，m ) = r a i n d e p t h ( t ，且p ，m p ) i p s p p ( 叫j a f ) y ( j ) ) 2 4 投射模，投射维数和整体投射维数 设r 是环，p 是投射r 一模，如果对任何且一模短正合列， m 与n - 0 ，任何 同态，：p + ，都存在同态h ：p + m ，使得，= 9 。h 即有交换图 7 ，一投射模及其性质 二 基本概念和性质 ， h ii msn 壬q 若设r 是交换n o e t h e r i a n 环，p 是，曲凡一模，则p 是投射r 一模等价于对任何 ，9 r 一模m ，成立上述交换图 定理2 4 1设r 是交换n o e t h e r i a n 环，m 是f g r 一模，则下列条件等价 ( 1 ) m 是投射模 ( 2 ) e x t l ( m ，n ) = 0 v 9 n ( 3 ) s u p p ( e x t k ( m ，) ) = vf g n ( 4 ) t o r k ( m ，n ) = 0 v ，g n ( 5 ) s u p p ( t o r l r ( m ，) ) = 0 vf g n 设r 是环，m 是投射r 一模，m 的投射维数定义为： m i n 川有准m 的投射予解0 一r _ r l _ 一p o - - - 4m _ o 记作p d r m 或p d m ，且有 p d n m s 礼铸e x t j ；+ 1 ( m ，) = 0v r 一模n 定理2 4 2设r 是交换n o e t h e r i a n 环，m 是9 r 一模，则下列条件等价 ( 1 ) p d r m s n ( 2 ) b x t 寸1 ，) = 0 vf g n ( 3 ) s u p p ( e x t 盖+ 1 ( m ，) ) = 口 vl , g n 定理2 4 3 设( r ，m ) 是交换n o e t h e r i a n 局部环，m 是f g r 一模，则下列条件 等价： ( 1 ) p d a msn ( 2 ) t o r 。r + t ( m ，r m ) = 0 ( a ) s u p p ( t o r 嚣+ 1 ( m ，a m ) ) = 0 设r 是环，且的整体投射维徽定义为： s u p p d r m i m 是：t 一模 ，一投射模及其性质 二 基本概念和性质 记作p d ( r ) 或d ( r ) 且有 d ( r ) 茎n 骨e x t 盖+ 1 ( m ，) = 0 vr 一模m ，n 定理2 4 4 设r 是交换n o e t h e r i a n 环，则下列条件等价 ( 1 ) d ( r ) 墨n ( 2 ) e x t 岔1 似，) = 0 v1 9 m ，n ( 3 ) s u p p ( e x t 甍+ 1 ( m ，) ) = 0 vfg m ，n 定理2 4 5设( r ，m ) 是交换n o e t h e r i a n 局部环，则 d ( r ) 礼错t o t , r + l ( r m ，r m ) = 0 = s u p p ( r 工b r l ( r m ，r m ) ) = 毋 9 j 一投射模及其性质三 j 一投射模及其性质 三j 一投射模及其性质 3 1i 一投射模 设( r ，m ) 是交换的n o e t h e r i a n 局部环，j 是r 中的理想，m 是有限生成的皿 模本节我f f j 将首先给出j r 一投射模的定义，先看下面的命题： 命题3 1 1以下两个条件等价： ( 1 ) s u p p ( e x t k ( m ，) ) v ( x ) 对所有1 g 的r - 模； ( 2 ) 对任意的尼模短正合列p 与五0 ，其中只三是，g 的昂模，j 整数 0 ，使得对vo j 。及任意的r - 模同态，：m 斗l ，都jh ：m _ p 有：口，= g 即 有交换图成立： m h 1 8 | p 与l 0 证职：( 1j 辛( 2 ) 对任意的b 模短正合列p 与三0 ，其中p 三是f g 的 则有： 0 一一p 与三叫0 其中k = k e r g 是p 的子模，故是1 g 的于是有长正合列： 0 - - - 4h o r n ( m , k ) _ h o m ( m , p ) 与u o m ( m , l ) 与b x t l ( mk ) - - - 4 由于m ，k 是f g 的，所以e x t l ( m ，k ) 是有限生成的，从而 s u p p ( e x t l ( m ，耳) ) = v ( a n n r ( e x t l ( 配世) ) ) 又由( 1 ) 有s u p p ( e x t l ( m ，k ) ) y ( ) 故v ( a n n r ( e x t l ( m ，k ) ) ) y ( j ) 于是，、a n n t t ( e x t ii m ，k ) ) 即j 整数o ，使得： j a n n r ( e x t l ( m ，k ) ) 即j e x t 。( m ，k ) = 0 于是有： 6 ( p h o m ( m ，工) ) = i k 5 ( h o m ( m ，l ) ) 一b x t l ( m ，k ) = 0 即i k h o m ( m ，l ) k e r g = i 嘶 对vo p 及任意的导模同态，：m l ，o ，i m 口，即jh ：m + p 有：n ，= g ( 2 ) 碲( 1 ) 若j1 9 的b 模，使得 s u p p ( e x t l ( m ，) ) 垡y ( j ) 1 0 j 一投射模及其性质 三 j 一投射模及其性质 即 3p 圣y ( j ) ，( e x t k ( m ，) ) ，0 由于j 垡p ，故对vk 0 ，有p 垡p 由于m 是有限生成的b 模，故有短正合列： 0 _ k _ f 与m _ 0 其中f 是f g 的自由皿模对此短正合列用假设条件得： | k 0 ，取n i k ，o 畦p 及恒等同态1 ：m _ m ，则jh ：m 斗f ，使得a 1 = g h 即有交换图： m 九 l 1 0 k f 与m _ 0 令s = 且b 对上图用s 。( 一) 作用得交换图( s 矗1 ( 一) 是正合函子) ： 屿 s i h 0 ( d 1 ) - 1 0 一玛_ 昂曲屿一0 即有：( a 1 1 ) 1 = s g s “h ，这里1 ：- + 知于是1 = s g ( s h ( 1 加) ) 即短 正合列： 0 _ _ 昂啤_ 0 是分裂的从而m p 是自由耳一模昂的直和项，所以蜱是投射岛一模于是 ( e x t k ( 尬) ) p = e x t ( 眸，坼) = 0 矛盾口 定义3 1 2 ： 称m 是i 一投射模，若m 满足命题3 1 1 中的两个相互等价条件中 的任何一个 f 注】：( 1 ) 当，= 冠时，v ( r ) = 织s u p p ( ：e x t k ( m ，) ) = # ，即 b x e 太( m ，n ) = 0 ，对所有，9 的且模 所以此时，一投射模就是我们熟悉的投射模 ( 2 ) 投射模是j 一投射模事实上，若m 是投射模，则 e x t , ( m , n ) = 0 ，对所有，g 的b 模 即 s u p p ( e x t k ( m , ) ) = 0 v ( s ) v ，g n 关于，一投射模与投射模更进一步的关系我们有以下的命题，先看引理 j 一投射模及其性质 三 f 一投射模及其性质 引理3 1 3 设p 是兄中的素理想，对任意有限生成的岛一模l 都存在有限生成 的r 一模，使得l = m ， 证明：设忍一模工的生成元为$ 2 ，则 工= b z l + 霉2 + + 辟z n 令n = r x l + j b 2 + + r z 。，则n 是有限生成的r 一模由于对任意的一模在p 处作局部化仍然是它自身，故对在p 处作局部化得 = ( r x l + r z 2 + - + r x n ) p = 玛z l + z 2 + + 岛z n = l 所以l = 、，； 口 命题3 1 4m 是，一投射模车母v p 隹v ( i ) ，i p 是投射砩一模 证明：对vp 隹y ( j ) 及v f g 的尼模n ，由于屿是投射岛一模，所以 ( e x t l ( m ，) b = e x t ) b ( ，n p ) = 0 即 s u p p ( e x t k ( m ，) ) v ( i ) 对所有1 g 的b 模n 故m 是j 一投射模 令vp 隹y ( n v1 g 琊一模l ，由引理3 1 3 知存在1 g r 一模，使得 上= 于是e x t k ( 坞，工) = b x t k ( ，n p ) = ( e x t k ( m ，) b = 0 ，屿是投射岛一模 口 【例1 】实际上，我们讨论的，一投射模是存在的例如设( r ，m ) 是k r u l 维数为l 的局部整环，且整体投射维数d ( n ) o ( 如离散赋值环) 取有限生成的r 一模m ，满足 m 不是投射模，则对v0 i m ，m 是，一投射模这是因为：对v p 隹v ( o ，p = ( o ) ，吩 是r 的商域，于是珥是上的向量空间，即是自由饰一模，由命题3 1 4 即得 【例2 】设耳是域，考虑k 上的多项式环x 时k 吲是整环，k 中的极大理 想均具有形式扛) ，n k ，且k 的k r u l l 维数d i m ( k x ) = d i m k + l = l _ 设( x - a ) 是k i w i 中的一个极大理想，记r = k n ( 。_ d 1 ，则r 是局部整环，且d i r e r = 1 显然r 不 是域，于是d ( r ) 0 ( 若d ( r ) = 0 ，则冗是域) 取j 是r 中的非零真理想，由【伊j1 1 知存在f 9 r 一模m ，m 是，一投射模，但m 不是投射r 模 命题3 ，1 5 和命题3 1 6 是j 一投射模的两个简单性质 1 2 j 一投射模及其性质 三 i 投射模及其性质 命题3 1 5 下列条件等价： ( 1 ) m 是j - 投射模； ( 2 ) s u p p ( e 蝙( m , ) ) sy 对所有1 9 的犀模； ( 3 ) s u p p ( e x t 斋( m , i v ) ) y ( d 对所有1 g 的r - 模及v 1 证明：( 1 ) 甘( 2 ) ，( 3 ) 辛( 2 ) 显然 下证( 2 ) j ( 3 ) ： 对vl , g 的月模，由短正合列： 0 _ k f m _ 0 其中f 足1 9 ，的自由r 模，有长正合列： 叫e x t “( m ，n ) _ e x t “) ) _ e x t n ( k ，n ) - - _ 4 e x t n + l ( m ，n ) 一e x t 1 ( f i j ) 一e x t n + 1 ( k ，n ) _ 又f 是的自由且模，当然是投射模，故 e x t ( 只n ) = 0v i 1 所以e x t i ( k ，n ) 型e x t 抖1 ( 甄n ) vi 1 由命题3 1 4 知对v p 隹v ( i ) ，朋；是投射琊一模，由短正合列 0 一_ 乃_ m p - - - - 40 知巧是投射岛一模 再由命题3 , 1 4 知s u p p ( e x t1 ( k ，) ) y ( j ) 所以 s u p p ( e x t2 ( m ，) ) y ( j ) 重复此过程得 s u p p ( e x t2 ( k ，) ) cy ( ，) 于是 s u p p ( e x t3 ( m ，) ) cy ( j ) 如此下去可得 s u p p ( e x t ( m ，) ) v ( i ) v 1 ，v 1 g 的皿模n 口 命题3 1 ，6 设吖i ，且如是，9 的r 模，则 觚o 是，一投射模甘m l ，m 2 是j 一投射模 证明：她o m 2 是j 一投射模甘 s u p p ( e x t l ( 尬o m 2 ，) ) cy ( j ) v1 9 的r 模 又e x t1 ( 尬o m 2 ，n ) 竺e x t1 ( 蝎，n ) ee x tl ( m 2 ，n ) 所以 s u p p ( e x t l ( 坼。鹌，) ) y 舒s u p p ( e x t l ( m ，】) cv ( 0 ，s u p p ( e x t l ( 幻，) ) y ( j ) 仁争m l ，m 2 是j 一投射模 1 3 j 一投射模及其性质 三 ，一投射模及其性质 所以m 1 0 m 2 是j 一投射模钳呐，m 2 是，一投射模 口 3 2j 一投射维数 类似于投射模的情形，我们在定义了f 一投射模的概念之后，也可以定义j 一投 射维数，先看j 一投射予解的定义： 定义3 2 1 设m 是有限生成的冗- 模 m 的一个j 一投射予解 p n ，矗) 是一个 正合列 _ p ”鸟p n l _ - - - - - 4p 1 一p o 叫m - - - - - 40 其中，r 是j 一投射模，对v n 0 【注】：( 1 ) 由于m 是有限生成的r 一模，故m 有一个，g 的投射子解又投射模 显然是j 一投射模，所以m 的j 一投射予解是存在的 ( 2 ) 类似投射予解的合冲的定义，也将k e rd “称为第n 个合冲 定义3 2 2 我们定义m 的j 一投射维数为： m m 训存在m 的个i - 投射予解：0 一p n p n 一1 一_ 局_ m _ 0 ) 记作p d ，( m ) 【注】：( 1 ) 若不存在这样的j 一投射予解，则p d r ( m = 0 0 ( 2 ) 显然有：m 是j 一投射模# p d r ( m ) = 0 我们来看j 一投射维数的性质 命题3 2 3下列条件等价： ( 1 ) p d i ( m ) 曼n ； ( 2 ) s u p p ( e x t 甏( m ，) ) v ( i ) vk2n + 1 ，v ，9 的且模； ( 3 ) s u p p ( e x t 焉+ 1 ( m ，) ) v ( 1 ) v g 的体模； ( 4 ) m 的每一个j 一投射予解的第n 1 个合冲是j 一投射的 证明：( 1 ) 号( 2 ) 存在m 的一个j 一投射予解： 0 - r 只一1 - _ r _ m _ 0 1 4 j 一投射模及其性质三 j 一投射模及其性质 v p 盛v ( i ) ，对上述正合列在p 处作局部化得： 0 叫一r l ，- - - - 4 叫昂，一m p _ 0 是 知的一个投射予解且有： e x t k ( v o ，) 型e x t 譬( m p ，虬) v i 1 ，vi g 的r - 模n 由于p n 是j 一投射模，故 即 即 所以 e x t l ( p n 。，) = ov i 1 ，v f 9 的r 一模n ( e x t 对( m ，) ) p = e x t 裂( 屿，珥) = 0vl 1 ，vf g 的b 模 ( g x t 凫( m ，) ) p = ovk ”十1 ，v ，9 的体模 s u p p ( e x t 瓮( m ，) ) 互v ( x ) v 2n + l ，v ，9 的r - 模 ( 2 ) = ( 3 ) 显然 ( 3 ) 号( 4 ) 任取m 的一个j 一投射予解 r ，如) 则有： 0 一1 一p n l 驾r 一2 一一p o - - - + m 一0 其中玩一= k e r 如一v p 隹v q ) ，对上述正台列在p 处作局部化得： 0 - - - + 一1 ，_ r i p _ 叫_ 嗨_ 0 且有： e x t k ( k n l ，坼) 竺e x t 芯1 ( m p ，p ) v ，g 的r - 模 根据( 3 ) 有：( e x t ：分1 ( m ，) ) p = ov ，9 的且模n 即 e x t 譬1 ( 坞，p ) = o v f g 的r - 模 从而 e x t l ( g n l ，p ) = o v l 9 的r - 模n 于是( s x t h c k , , - l ，) ) p = ov ，g 的b 模 即 s p p ( e x t k ( k 一1 ，) ) 至v ( i ) vi g 的皿模 所以一l 是j 一投射的 ( 4 ) 母( 1 ) 任取m 的一个f 一投射予解： _ p n 鸟p n l 一_ p l 一岛一m 叫0 巧；l = k e r d n l 是j 一投射模，于是有： 0 一玩一i p n l 掣r 一2 一一p 0 一m _ 0 是m 的个j 一投射予解+ 从而p d x ( m ) 5n 口 【注】：当j = r 时，s u p p ( e x t 盖+ 1 ( m ，) ) = 0v 1 g 的b 模n 即 e x t 瓷+ 1 ( m ，) 一0 vf g 的r _ 模 于是p d ( m ) n ，从而j 一投射维数就是我们熟悉的投射维数 1 5 j 一投射模及其性质 三 f 一投射模及其性质 下面是j 一投射维数与投射维数的关系 扪l 论3 2 4( 1 ) p d r ( m ) 茎n 错坳隹v ( i ) ，p d ( 如) s n ； ( 2 ) p d r ( m ) = s u pp d ( m p ) p e r ( ，) = s u p p d ( ) l p 隹v ( r ) ，且p 是v ( ，) 。中的极大元) p d ( m ) ； ( 3 ) 若p d r ( m ) = 一，则jp v ( i ) ，使得p d ( 屿) 一p d ，( m ) 证明：( 1 ) 仁= v ，9 的r - 模，因为vp 盛y ( f ) ，p d ( m p ) n 所以 e x t 譬( 屿，绋) = o 即 s u p p ( e x t 铲1 ( m ，) ) v ( i )v ，g 的皿模 于是pdr(m)墨n 毒v p 隹v ( 1 ) ，对vf g 的- 模l ，存在i g 的体模，使得l = 坼由于 p d i ( m ) n ，所以s u p p ( e x t 譬1 ( m ，) ) v ( n 即e x t 苗1 ( m p ，n p ) ) = 0 从而e x t 譬1 ( m p ，l ) ) = 0v p 隹v ( i ) ，vi g 的岛一模工 即p d ( 屿) nv p 隹v ( z ) ( 2 ) 由( 1 ) 知v p 隹v ( x ) ，p d ( 屿) 茎p d r ( m ) ，于是s u pp d ( m p ) _ p d t ( m ) p 壁v 【，j 另一方面，若设s u pp d ( m p ) = n ，则咖隹v ( i ) ，p d ( 肘；) 墨n 由( 1 ) 知 p e r ( ，) p d r ( m ) n = s u pp d ( m p ) 所以p d z ( m ) = s u pv d ( m p ) ， p 星v ( o p y ( j 】 若q p ，贝0 m q = ( a 南) 口r ，p d ( 如) p d ( m p ) ，所以 p d r ( m ) = s u p p d ( a 如) i p 隹v ( x ) ，且p 是y ( j ) 。中的极大元) 由投射维数的性质知p d ( a 如) p d ( m ) ，物y ( n 故s u pp d ( m v ) 茎p d ( m ) p 譬v 【j ) ( 3 ) 由( 2 ) 即得 口 推论3 2 5( 1 ) 若p d ，( m ) = n ，0 n 时，只= 0 ，当 n 时，i m d i 不是j 一投射模 证明：( 1 ) 由推论( 3 2 ，4 ) 知3p 圣v ( r ) ，使得p d ( m p ) 一n 于是 visn ，j1 9 一模l l ，e x t k 。( m p ，l i ) 0 1 6 f 一投射模及其性质 三 - 投射楱及其性质 又对v ”，h 是某个f g r 一模m 在p 处的局部化，即厶= 肌。，于是 v i s n ，3 1 g r 一摸m ，b x t k 。( 嗨，) 0 即 s u p p ( e x t k ( m ，m ) ) 垡v ( 1 ) ( 2 ) = 净根据j 一投射维数的定义，m 有个j 一投射予解( r ，d 。) ： 0 一r 鸟r l 一，一p l p o m 叫0 若存在某个i n ，i m d i 是f 一投射模，即k e r d 扣1 是j 一投射模，于是m 有一个j 一 投射予解 0 _ k e r d i 一1 一p i l 马p i 一2 _ 一p o m 一0 于是p d ( m ) 兰i p d i ( b ) + 1 时 s u p p ( e x t 盖+ 1 ( g ，) ) v ( i ) v ，9 n 当n - - p d r ( a ) p d , - ( b ) 时，由于s u p p ( e x t 矗( b ，) ) c 矿( n s u p p ( e x 唱( a ，) ) gy ( n 所 以 s u p p ( e x t 铲1 ( g ，) ) 垡v ( i ) w g n 否则，v p 簪y ( n 对( ) 在p 处作局部化即得 e x t 笼( 如，) = 0 即 s u p p ( e x t 盈( a ，) ) y ( ) 矛盾于是由命题( 3 2 3 ) 得p d r ( c ) = p d i ( a ) + l ( 3 ) 由( ) 得：当n 2p d ，( a ) + 2 = p d i ( b ) + 2 时 s u p p ( e x t f1 ( 以，) ) y ( d ，s u p p ( e x t 硗( b ， r ) ) v (