（电机与电器专业论文）电气化铁道牵引网基波与谐波模型研究.pdf

a b s t r a c t s i n c et h es p e c i a l t i e so ft r a c t i o nn e t w o r ko fe l e c t r i cr a i l w a y si nn e t w o r k t o p o l o g i e s ， e l e c t r i c a le l e m e n t sa n do p e r a t i o n a lc o n d i t i o n s ，i ti ss i g n i f i c a n tf o rc o m p r e h e n d i n gt h e i r e l e c t r i c a lp r o p e r t i e st or e s e a r c ht h em a t h e m a t i c a lm o d e l sa n de l e c t r i c a lp a r a m e t e r s t h i st h e s i sm a i n l yr e s e a r c h e st h ef u n d a m e n t a la n dh a r m o n i cf r e q u e n c ym o d e l i n g a n dt h ee l e c t r i c a lp a r a m e t e r sc a l c u l a t i o nf o rt r a c t i o nn e t w o r ko fe l e c t r i cr a i l w a y s 1 1 h i sp a p e rg i v e st h ec a l c u l a t i o nm e t h o df o rt h es e r i a li m p e d a n c ea n dp a r a l l e l a d m i t t a n c em a t r i xo ft h et r a c t i o nn e t w o r kb a s e do nt h em a t u r ea l g o r i t h mu s e di np o w e r s y s t e m n es p e c i a l t i e so ft h et o p o l o g ya n dc o n d u c t o r si nt r a c t i o nn e t w o r kh a v eb e e n t a k e ni n t oa c c o u n t t h ec o m b i n a t i o na n dc a n c e l l a t i o no fr e l a t i v ec o n d u c t o r sh a v eb e e n s h o w n , a n da ne x a m p l ei sp r e s e n t e d v a r i o u st r a c t i o nn e t w o r k sc a nb ed e s c r i b e dc o n f o r m a b l yb yac h a i nn e t w o r kw i t h m u l t i c o n d u c t o rt r a n s m i s s i o nl i n e sa si t sf r a m e w o r k a l le l e c t r i c a le l e m e n t sc a nb e c l a s s i f i e di n t ot h es e r i a le l e m e n to rt h es h u n te l e m e n t t h ee q u i v a l e n t - c i r c u i t sa r e a d o p t e df o ru n i f o r mm u l t i - c o n d u c t o rt r a n s m i s s i o nl i n e so ft r a c t i o nn e t w o r k s o t h e r e l e m e n t sa l s ob u i l dm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ac 群p r o g r a mi s d e v e l o p e df o rs i m u l a t i o no ft r a c t i o nn e t w o r km a t h e m a t i c a l m o d e l i n g t h et h e s i sd e s i g n sag o o dh u m a n c o m p u t e ri n t e r a c t i v ei n t e r f a c e b yt h e i n t e r f a c e ，p e o p l ec a ni n p u te l e c t r i c a lp a r a m e t e ra n dl o a do u t e rd a t a ；t h ec a l c u l a t i o n r e s u l tc a nb eo u t p u tb y c s vf i l e t h ea l g o r i t h mo fl u - d e c o m p o s i t i o ni sp r e s e n t e di n d e t a i l f i n a l l y , b a s e do np r a c t i c a lh a r m o n i cm e a s u r e m e n t ，t h ee f f e c to fp a r a m e t e r so f t r a c t i o nn e t w o r ko nr e s o n a n c ei sa n a l y z e d t h er e a s o no fh a r m o n i cr e s o n a n c ea n d s u p p r e s s i o nm e t h o da led e s c r i b e d 1 1 1 ef e a s i b i l i t yo ft h ep r o g r a mi sp r o v e db yt h e s i m u l a t i o nr e s u l t s k e y w o r d s ：e l e c t r i cr a i l w a y , t r a c t i o nn e t w o r k ，m a t h e m a t i c a lm o d e l ，h a r m o n i c m e a s u r e m e n t ，s i m u l a t i o n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：易k 嗡 签字日期：c 2 夕孵年细，钿 导师签名： 名屏州 签字同期：y ，彦年占月形日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：易b 确 签字日期：j 。矿年月形日 致谢 本论文的工作是在我的导师吴命利副教授的悉心指导下完成的，论文的选题、 研究和写作都得到了他的帮助和指导。每当我研究中遇到问题，同吴老师的讨论 总能给我以帮助。在我整个研究生阶段中，无论是专业知识学习、课题研究和论 文写作方面，还是我的个人生活方面，吴老师都给予了极大的关心、指导和鼓励。 他严谨踏实的工作作风和兢兢业业的科研精神都使我受益匪浅。在此衷心感谢两 年来吴老师对我的关心和指导。 在实验室工作及撰写论文期问，电力工程系朗兵、杨少兵老师和耿亮同学对 我论文中的研究工作给予了热情帮助，在此也向他们表示感谢。同时，感谢我的 家人对我生活和学业上的帮助! 向所有曾经给予我帮助的各位师长和学友致以最衷心的感谢! 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 随着我国经济建设的迅速发展，过去的内燃机车不能完全满足铁路部门快速 客运和重载货运的需要，电气化铁道在我国又一次赢得了快速发展的机会。我国 的电气化铁道j 下处在跨越式发展新阶段，至2 0 2 0 年铁路总里程将达到1 0 万公里， 其中电气化铁道5 万公里。 伴随电气化铁道的快速发展，谐波、谐振等电能质量问题也越来越受到人们 的重视。传统的采用二极管或晶闸管整流技术的交直传动电力机车所产生的3 、5 、 7 次等谐波电流含量较大，而客运专线普遍采用交直交传动技术的动车组，网侧 整流器为p w m 控制的四象限变流器，功率管开关频率较高，3 、5 、7 次等谐波含 量大幅度减小，但同时频谱变宽，一直到约1 0 k h z 都有可测谐波，而在变流器功 率管的开关频率附近，谐波成分通常不能忽略。 牵引网则具有连续分布电气参数的特点，当牵引网的结构、导线位置、接线 方式与大地电气特性确定后，因集肤效应牵引网的导线电阻和内电感随频率的升 高而改变，这导致牵引网必然在某些频率下发生谐振。 牵引网存在的高次谐波谐振危险为本文研究背景，建立了牵引网基波与谐波 的数学模型并编制计算机软件，仿真谐波在a t 牵引网和( 带回流线的) 直接供电 牵引网的传播，从而为制定抑制谐波的技术对策打下理论基础。 1 2 国内外现状 从2 0 世纪8 0 年代开始，电牵引负荷谐波问题一直是电气化铁道领域的重要 研究方向之一。国内外研究者从电力机车谐波源仿真、牵引网谐波行为特征、电 牵引负荷谐波在电力系统的分布计算、谐波水平评估及限制值制定等多方面开展 了理论与计算研究。在牵引网数学模型建立方面，我国老一辈的电气化铁道研究 工作者做了不少工作【1 2 别。这些前期基础研究一般把牵引网当作单相均匀输电线， 把供电臂按电力机车( 谐波源) 位置分段，每段都采用基于单相等值兀型电路的 二端口网络来描述。这种方法存在如下问题：( 1 ) 不能刻画复杂的牵引网结构， 对a t 牵引网不适用；( 2 ) 不能用于复线铁路；( 3 ) 没有计及集肤效应对导线阻抗 参数的影响；( 4 ) 不能计及钢轨漏泄电阻的影响。 从掌握的文献来看，日本学者在开发a t 供电技术的过程中，最早把基于多导 体传输线的链式网络模型引入到电气化铁道牵引网的分析计算中，在a t 供电系统 的分析计算中被广泛应用。英国的r e m o r r i s o n 等人曾在l e e 上发表多篇论文探 讨牵引网谐振问题【1 0 ，1 1 , 1 2 1 ，并在津巴布韦进行了工程实施。 1 3 本文的主要工作 本论文的主要内容如下： 第二章研究了牵引网的数学模型。首先，介绍了牵引网的供电方式并说明了 牵引网是基于多导线传输线的链式网络结构，对组成链式网络结构的串联元件与 并联元件也分别建模。 第三章研究了基于多导体传输线模型的电气参数计算方法。首先介绍了带负 馈线的直接供电和a t 供电的牵引网复线悬挂图，然后说明牵引网中并联导线的合 并方法。给出了导线的自阻抗、互阻抗的计算方法和接触线及钢轨在计算内阻抗 时特殊问题的处理方法。最后，给出了计算牵引网的多导体传输线部分，单位长 度的串联阻抗矩阵和电容矩阵的计算实例。 第四章根据牵引网数学模型和电气参数算法，编制了谐波在牵引网分布计算 程序。采用以v i s u a ls t u d i o2 0 0 5 为软件开发平台，c 舟为开发语言，编制人机交互 界面。分别介绍了程序的各个模块及功能，给出了软件的流程图并详细说明了l u 三角分解法求解节点电压方程的原理。 第五章介绍了蓟县南牵引变电所供电区段牵引网高次谐波谐振测试的现场情 况与测试结果，对牵引网的谐振原因与电流放大现象进行了定性分析并简单介绍 了谐振的抑制措施。用自编软件对谐振时刻与加装抑制装置的牵引网分别仿真， 计算结果证实了软件的可用性。 最后对全文工作进行了总结。 2 第二章牵引网数学建模 牵引网是由供电网和回流网构成，为电力机车或动车组输送电能的电气网络。 供电网由接触线、承力索、加强线、正馈线等构成，回流网由钢轨、负馈线、保 护线等构成。牵引网的供电方式不同使得牵引网有不同的拓扑结构，还会含有吸 上线、保护线、自耦变压器等设备。但不论牵引网的结构如何变化，它的拓扑结 构都是链式网络，由串联元件和并联元件构成。牵引网在自然分割处划分成若干 均匀段，作为链式网络的串联元件；各种横向连接和自耦变压器等设备作为并联 元件。对串联元件和并联元件适当建模，即可得到牵引网的节点导纳矩阵。电力 机车或动车组作为理想电流源，求解节点电压方程即可得到各节点不同传输线的 电压量。 2 1 牵引网供电方式 牵引网按结构的划分为直接供电方式( t - r 方式) 、带负馈线的直接供电方式 ( t - r - n f 方式) 、吸流变压器供电方式( b t 方式) 、自耦变压器供电方式( a t 方 式) 和同轴电缆供电方式( c c 方式) 等5 种n 一1 。 我国电气化铁道牵引供电系统早期采用直接供电方式，随着电气化范围扩大， 为减少对通信设施的影响，逐渐采用b t 供电方式。但b t 供电方式存在如下缺点： ( 1 ) 可靠性差；( 2 ) 机车通过b t 时，易产生电弧；( 3 ) 牵引网阻抗偏大，重负 荷下末端网压过低。2 0 世纪9 0 年代后期，随着通信干线的光缆化及通信技术的进 步，开始淘汰b t 供电方式，适合高速、重载的a t 供电方式成为标准模式，原有 的b t 供电方式会被逐步改造成带负馈线的直接供电方式，我国拟修建的运营时速 3 0 0 k m 及以上的客运专线将主要采用a t 供电方式。同轴电缆供电方式是靠沿线路 敷设同轴电缆的内导体和外导体之间较强的互感作用来实现吸流效果的，这种供 电方式在世界上用的极少，在我国也没能得到应用。 目前的主流供电方式是带负馈线的直接供电方式和a t 供电方式，本文也将围 绕这两种供电方式展开论述。 3 2 1 1 带负馈线的直接供电方式( t - r - n f 方式) 2 7 5 k v 负馈线 n f t r 屋 两等值导线之间的金属性短路； 8 ) 导线对地之间的金属性短路等。 图2 9 所示的并联阻抗元件的节点导纳矩阵分别为 y s h ，= oo o oo o一 1 3 0o o一 0o 0 ( 2 1 9 ) k ：| lo ( a ) 导线间连接( b ) 导线一地短路 图2 9 横向连接( a ) 连接两导线 ( b ) 导线一地短路 f i g 2 - 9t r a n s v e r s a lc o n n e c t i o n ( a ) b e t w e e nt w oc o n d u c t o r s ( b ) c o n d u c t o rt oe a r t hs h o r t - c i r c u i t 2 4 2 自耦变压器 自耦变压器忽略励磁支路的节点导纳矩阵为 e 删 4 ( 妇+ 彬) 以为a t 变压器漏阻抗，刀为谐波次数。 2 3 a t 图2 - 1 0 自耦变压器 f i g 2 - 1 0a u t o t r a n s f o r m e r 1 4 ( 2 2 0 ) 一21 1 4 2 l l 一21 l j ( 2 2 1 ) 们刚 0 o o 0 o o 0 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 一 l 。l 上亿爿 1j，- ，_ 2 ，4，一，乞。一乞4也 4乞降 2 l l 。l 生4 ， = 2 4 3 并联阻抗元件 并联阻抗元件用于模拟并联在牵引网中的无源r l c 元件，如： 1 ) 安装于变电所、分区所以及牵引网上的并联补偿装置； 2 ) 安装于变电所、分区所以及牵引网上的无源滤波装置； 3 ) 牵引网上的r c 过电压吸收装置 4 ) 综合接地 5 ) 导线高阻接地故障 6 ) 牵引网端部截断处理 如图2 - 1l 中所示的两种情况，节电导纳矩阵分别为 1 ， 1 j 曲f2 = - z e o 0 o1 oo ol k 2 志 oo 0o 0o o0 o o 01 o o ol 0 0 o o l o 0 o 1 2 3 4 ( 2 - 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( a ) 导线问连接( b ) 导线一地短路 图2 一l l 并联阻抗元件( a ) 两导线之间 ( b ) 接地电阻 f i g 2 - l ls h u n ti m p e d a n c ee l e m e n t s ( a ) b e t w e e nt w oc o n d u c t o r s ( b ) g r o u n d i n gr e s i s t a n c e 2 5 本章小结 本章主要讨论了牵引网的数学建模方法，为计算机仿真计算奠定了基础。以我 国现在主要应用的两种牵引网( 带负馈线的直接供电方式、自耦变压器供电方式) 作为主要研究对象。阐明了任一种牵引网，不论供电方式与单、复线与否，牵引 1 5 网的拓扑结构都是链式网络，其节点导纳矩阵为三对角带状矩阵，且为严格对角 占优矩阵，可用l u 三角解法对节点电压方程进行求解。牵引网上的各种电气元件 和连接都可划分为串联元件和并联元件，给出了串联元件和并联元件的数学模型。 1 6 第三章基于多导体传输线模型的牵引网电气参数 牵引网参数计算的准确与否直接影响工程设计的合理性与仿真分析结果的可 用性。过去设计手册中的手工计算方法和假设条件，已不能完全适应现在工程的 精细化设计及仿真分析的需要。本文采用电力系统多导体传输线模型，研究了牵 引网电气参数计算方法，为后续的仿真分析提供理论基础。 3 1 牵引网悬挂导线 d 1 8 5a w ：l g 7 8 0 0 磊j 一9 。m w ：t j ； ( 留o ， ( 0 7 6 0 0 ) ( 5 0 0 0 ，7 6 0 0 ) q g j l 8 5 ic w ：c r h a 一1 2 0c 霄：c i l i a 1 2 0 。 n f ：l g 5 9 0 0 ) ( o 6 3 0 0 ) ( 5 0 0 0 。6 3 0 0 ) ( 9 0 0 0 ， m w ：承力索 ( 水平，高度)c w ：接触线 单位：衄a w ：加强线 n f ：负馈线 5 0 0 0 r 1 ：p 6 0r 2 ：p 6 0 r 1 ：p 6 0 r 2 ：p 6 0 ( - 7 5 5 。1 0 0 0 )( 7 5 5 ，i o o o ) ( 4 2 4 5 ，1 0 0 0 )( 5 7 5 5 ，：o o o ) i o i f 0m 1 1 0 0 0 坐标原点 1 4 4 0 0 。8 5 0 0 ) ( 9 4 0 p f ：l 6 j 1 8 5 p f ：i (一3600。8000)(8000sooo) 肼：l 6 j 1 2 0 2 0 l o ，7 5 咖，7 、! 州：l g j l 2 0 2 0 t 唧：t j - 9 5娜：t j 一9 5 ? i( 0 ，6 3 0 0 ) ( 5 0 0 0 6 3 0 0 ) 讲：t c c , - 1 0 0c - ：t c 6 - 1 0 0 ( 水甲，商度) ：! ：；霪鑫耋 单位lm m p f ：j e 馈线 一：保护线 5 0 0 0 - p pip60p 6 0 ( - 7 5 5 ，1 0 0 0 )( 7 5 5 1 0 0 0 ) ( 4 2 4 5 1 0 0 0 )( 5 7 5 5 。0 0 0 ) 工 一1 t 。，。，j 气 图3 1 复线电气化铁路导线悬挂( a ) 带负馈线的直接供电 ( b ) 自耦变乐器供电方式 f i g 3 一lc a t a r i e si nad o u b l e - t r a c ke l e c t r i f i e dr a i l w a y ( a ) t - r - n f ( b ) a t 1 7 图3 1 似) 示出了带负馈线的直接供电方式复线牵引网导线悬挂情况；图3 1 ( 6 ) 示出了a t 供电方式复线牵引网导线悬挂情况，图中架空导线的高度已考虑驰度的 影响。 由牵引网的导线悬挂图知，牵引网是一个多导体传输线系统，可采用电力系 统中的多导体传输线模型，研究牵引网电气参数的计算方法。 3 2 多导线线路的导纳 3 。2 1 电位系数矩阵、电容系数矩阵与导纳矩阵 根据电磁场理论，导电媒质中自由电荷的体密度是随时间按指数规律而衰减 的，衰减时间常数产乃提媒质介电系数，堤其导电率。对于金属和大地，f 的数值甚小( 约在1 0 - 8 秒以下) ，因此在电力系统电磁暂态过程实际可能出现的频 率范围内，仍然可以认为电荷集中在导电媒质表面，即认为线路电容可以按照静 电场来计算，不受频率的影响。设有刀条平行架设的导线，又均与地面平行，这 样就和大地共同构成一个多导线系统，并且知道每一导线i 的对地电位啦与该导 线上的线电荷密度缈之间存在下列关系( 参看图3 2 ) ： “l ： “f ： z f n p l 。l - q l ； 8 ； p 加8g f ； 4 ； p 。j 【- g 。 式中： 既：_ l 1 n 堕，导线f 的自电位系数( f k m ) 。l 2 7 r 6 0 p 扩= 荔l n 鲁，导线f 与导线，之间的互电位系数( f 胁) 。1 ”广导线i 的对地电位( v ) g 厂导线i 的线电荷密度( c k i n ) j i i 厂_ 导线i 对地面的平均高度( m ) r 导线i 的半径( m ) d 厂导线i 与导线的镜象之间的距离( m ) 而一导线i 与导线之间的距离( m ) 1 8 ( 3 - 1 ) m ； a ； 鳓；以 p。，。l = 1j 彩一空气介电系数，= 3 6 万l x1 0 6 ( f k m ) 2 r i 睾 1 7 i i i 卜 厶 t 2 l l i l 移 ，。c 图3 - 2 导线及其镜像 f i g 3 - 2c o n d u c t o r sa n dt h e i ri m a g e s 将公式( 3 一1 ) 改写为矩阵方程 u = p q ( 3 2 ) 并且有 b = p 一= q = b u 6 1 。b l ，6 l 。 以。6 f f屯 吃，k k ( 3 - 3 ) ( 3 4 ) p 是电位系数矩阵，b 是电容系数矩阵，由p 求逆得出各种元素b i ，。p 和b 都是对称矩阵。p 矩阵的元素砌均为正值，b 矩阵的各对角元素玩是正值，非对 角元素b f ，均为负值。 电容系数矩阵b 是节点参数，它是电工原理中所称的静电感应系数，直接应 用于节点( 即导线) 对地电位矢量u 参与公式运算，区别于工程上常用的支路电 容即部分电容表示的多相线路的电容模型。导线f 的对地部分电容c ：( g 导线f 与导 线，之间的部分电容。之间已知有下列关系： 1 9 c 名= b i l + 岛2 + + 气，f = 1 , 2 ，y ( 3 5 ) c ；= 一， f ，= 1 , 2 ， ，f 歹 ( 3 6 ) 在多导线线路的计算中一般都将电容系数矩阵b 简称为电容矩阵，并且多用 符号c 表示，其元素也用符号c ：c ，表示，此时c ：f ，的含义是电容系数( 静电感应 系数) ，不是部分电容。 导线电荷矢量q 随时间的变化率就形成了导线横向电流。在正弦稳态的条件 下，若略去线路对地电导，已知电容矩阵就可以得到一个频域中的线路方程： 一旱l ：阅：，以u d x 可写为 一旦l：yu(3-7) y = j 蕊= ，e 。 匕圪 圪 ( 3 - 8 ) 与电容系数和部分电容之间的数学关系类似，导线的自导纳( 导线一地) 、互 导纳( 导线一导线) 与导纳矩阵中的各元素数学关系如下： = l + e 2 + + 瓦， i = 1 , 2 ，以 ( 3 9 ) = 一匕 ， f ，j = 1 , 2 ， ，i 歹 ( 3 - 1 0 ) 大地 钢轨间 互导纳 钢轨大地 问互导纳 图3 - 3 双导线传输线 f i g 3 - 3t w o - c o n d u c t o rt r a n s m i s s i o nl i n e 以两条钢轨作为传输线为例，如图3 3 所示。各导线的导纳为复数，实部为电 导，若为架空导线，其电导很小往往忽略不计，钢轨不是对地绝缘良好的导体， 所以其导纳的实部表示对地泄露电阻；虚部均为电纳。 k ； 3 2 2 消去架空地线后的线路电容h 5 】 高压及超高压线路一般全线有架空地线以防止雷击。设输电线路的导线排列 如图3 4 ，包括地线在内，线路有5 条导线组成，其电容系数也应由5 5 矩阵表 示。交流电力系统的计算分析使用三相线路参数3 3 矩阵最为方便，又知道架空 地线与大地相连具有确定的运行状态对地电位是零，因此可以将地线消去， 使参数矩阵降阶，而得出经过化简以后的实际应用的三相参数矩阵。 宅 丛幽 聋 1 17 i 图3 - 4 有架空地线的输电线路 f i g 3 _ 4e l e c t r i ct r a n s m i s s i o nl i n ew i t hg r o u n d - w i r e 参看公式( 3 - 1 ) 和图3 - 4 ，按照导线和地线将矩阵方程分块： 吕： = 乏乏 篡： 并有： 芝竺 = 三：三： ： 己知地线接地，u 玎= 0 ，将公式( 3 - 11 ) 展开化简后得到 u 儿= p 厶q 址一p 矗p 茅q 比 公式( 3 1 3 ) 简记为 u 址= e q 址 e = 耽一耽r 崭p 纥 c 。= l i 或由公式( 3 1 2 ) 直接得出 c 。= c 址 n 和c p 就分别是消去地线以后的线路电位系数矩阵和电容矩阵。 2 l ( 3 - 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) ( 3 1 7 ) 如果架空地线在i f 常运行时是对地绝缘的，即不满足u 比= 0 的条件，但此时 又必然是q 仃；o ，根据公式( 3 一1 1 ) 则有 c ，= p 左 ( 3 1 8 ) 3 2 3 合并导线后的线路电容 电力传输线中，当导线符合导线合并条件时，为方便计算与分析，需将相关导 线合并成有等值半径的单根导线，使它具有等效的电气特性，并可使参数矩阵简 化。导线的合并可采用两种方式，一种是将符合合并条件的各根导线逐一合并进 而得到一个等效的相参数，另一种是直接取一个等值半径计算出等效的相参数。 应用等值半径计算合并导线的方法，要比逐步合并法简便的多，上述两种方法所 计算出的参数也相差甚微，因此在电力系统一般工程计算中常采用等值半径的方 法计算。然而，导线逐根合并的方法适应性更广，可以不受导线按正多边形排列 的限制，也没有假定相电荷在导线上是平均分布的，计算结果更为精确，适用于 电气化铁道牵引网中的并联导线的合并。 在公式( 3 1 ) 中假设现在想要将四根导线i ，j ，m ，n 合并成为一条导线a ， 并求出它的等值电容参数。在这种情况下，应满足以下两个条件： 1 合并后等值导线的电荷应等于待合并的各根导线的电荷之和，即 g 口2 9 f + g ，+ g m + g n ( 3 1 9 ) 2 各根导线的对地电位应相同，即 u a2 “i2 ”12 “m2u n ( 3 2 0 ) 合并的过程分两步进行。第一步是先将电荷g 口去替换方程( 3 - 1 ) 中的缈。但 根据公式( 3 1 9 ) 的条件，方程( 3 1 ) 右端的第f 列均多出一个误差项p a p 2 p ( q i + g 。+ g 。) ，z = l ，2 ，3 ，n ( 3 2 1 ) 为了保持原公式恒等，必须减掉凹，这就需要从电位系数矩阵l , m ，n 各列元素 中均对应减去i 列元素，这样就将方程( 3 1 ) 改造成为以下形式( 为了表达方便， 将式中l , m ，n 均编于矩阵的最下方) ( 3 - 2 2 ) 合并过程的第二步是从公式( 3 2 3 ) 中消去g ，、铂，根据导线电位相等的 条件【公式( 3 2 0 ) 】，将公式( 3 2 2 ) 系数矩阵的l , m ，挖三行元素中均减去f 行各元 素而得 耠o p y - p 。：三 二f 岛岛锄嘞，幺嘲嘞，之训 0l | 砌_ 岛磊f _ 硌_ 龟- 瑞) 魄，编) 弋_ 硌) o j 慨砩既_ 珞蛾，1 铀弋砌_ 路) 慨m _ 玮f ) 弋忍。_ 岛) 从公式( 3 2 3 ) 中再消去g 卜g 明、劬，这一运算过程与消去地线相同。 至此即将f 、j 、m 、n 四根导线合并为等值导线a 。 3 3 多导线线路的阻抗 3 3 1 多相导线的阻抗参数矩阵 在交变电流的作用下，导线和大地中会出现集肤效应和邻近效应，使输电线 路的电阻和电感成为电流频率的函数，或简称为频变参数，这是计算线路阻抗的 复杂之处。然而在某一确定频率下，沿输电线路单位长度内的压降与导线电流之 间仍然符合由阻抗矩阵相联系的关系，即 g + 所 g ， ，吼；札；吼 g + g “ 拄 盯 p p p p p 一； 一； 一 一 一 h 毫 h 研 研 ：= - 疗 榭 p p p p p 一； 一； 一 一 一 盯 ：譬 罨 毒 p 只 p p p 一； 一； 一 一 一 盯 盯 酊 订 肌 既 砌朋几；既；鳓 l i 1 i肌；办；肌 = 蚝；吩；嘶 d u i d x d u , 出 d u n d x 互，z l ， z n z h 乙。乙 ： i i ： i n ( 3 2 4 ) 式中 阢导线f 的对地电位 j ；导线i 中的电流 乙导线f 的自阻抗 毛导线f 与导线歹之间的互阻抗z 驴 将公式( 3 2 4 ) 改写为 一旦u ：z i( 3 2 5 ) 公式( 2 2 5 ) 就是另一组频域中的线路方程，u 、1 分别为胛相导线的电位和 电流矢量，z 就是n 相导线系统的阻抗矩阵。 3 3 2 消去架空地线后的线路阻抗4 ，田 当输电线路全线有架空地线并且良好接地时，沿地线的回路压降应等于零，与 线路电容的处理方法相仿，此时也可以将地线消去而得出经过化简的阻抗矩阵。 按导线和地线分块改写公式( 3 2 4 ) 为 一丢 ： = 主：主： 医： ( 3 2 6 ， 出l u 玎jl z 死z 7 7 j l i 玎j 又知孚u 玎= 0 ，据此将上式化简后得 一要u 址= z 。i 址 ( 3 2 7 ) d x z 。= z 址一z 7 z g z 7 z ( 3 2 8 ) z p 就是消去地线后的线路阻抗矩阵。 应当指出，公式( 3 2 8 ) 只适用于地线良好接地即地线与大地构成电流通路的 乙；乙；乙 条件。超高压输电线路为了减小电能损失有时采用地线分段一点接地的方式，在 这种情况下，计算条件成为h 尸0 ，因而 z 。= z 儿 ( 3 2 9 ) 3 2 3 合并导线后的线路阻抗 在计算合并导线后的线路阻抗时，合并的方法与计算电容时相似，但计算条件 有所差别，下面只说明计算条件的差别，具体过程不再重述。 假设想要将公式( 3 2 4 ) 中的四根导线f ，六m ，n 合并成为一条导线a 。在这种 情况下，应满足以下两个条件： 1 、待合并的各根导线电流之和应等于流过等值导线a 中的电流 = + + + ( 3 3 0 ) 2 、沿各根导线单位长度的压降相等 丝：堕：一d u t ：亟：盟 ( 3 3 1 ) d x出矗戈d 七d 七 公式( 3 3 0 ) 、( 3 3 1 ) 的条件是与公式( 3 1 9 ) 、( 3 2 0 ) 相对应的，因此，可 以按照线路电容计算中对公式( 3 1 ) 的导线合并过程对公式( 3 2 4 ) 进行导线合 并，最后得到所求的阻抗矩阵。 3 4 牵引网的多导体传输线模型 3 4 1 导线的内阻抗5 1 导体中流过交流电流，导体表面电流密度大于导体内部电流密度的现象称作集 肤效应。集肤效应是由交流电流产生的电磁场在导体内部分布的结果。集肤效应 使得导体有效载流面积较小，导致导线交流电阻增大和内电感的减小。对于规则 的实心及管状圆导线已有解析方法，对于不规则导线，如电气化铁道中的接触线、 钢轨，可以用等效的圆柱形导线计算。 z 。= r 。+ j w l , ( 3 - 3 2 ) 其中足和厶是导线的交流电阻和内电感。对于圆形实心导线 z ：j m p b e r ( m r ) + j b e i ( m r ) ( t w m ) ( 3 3 3 ) = 一一 - 。 2 z c rb e r ( 研厂) + j b e i 7 ( 所r ) 式中， r 导线半径( m ) m = 扣万 口广_ 电流角频率，0 9 = 2 矿 r 导线电导率( q m ) - 1 ，盯：一1 ，动导线电阻率 p 广导线导磁率，对非铁磁性材料，= o 图3 5 管状导线截面 f i g 3 - 5 i u b u l a xc o n d u c t o rc r o s s - s e c t i o n 为了适应更为一般的情况，还可以取管状导线模型来计算导线自阻抗，如图 3 5 。它既能用来计算管状导线，又能用来作为钢芯铝线的近似模型，因为钢芯截 面实际通过的电流甚小。至于实心导线，只不过是管状导线内径为零的特例。采 用管状模型时导线内阻抗按下式计算 z c 咄+ 地= 等啬器篙鬻篇饕糯 ( 3 3 4 ) 其中 痧：一b e r ( m q ) + j b e i ( m q ) ( 3 3 5 ) k e r ( m q ) + j k e i ( 朋g ) r 导线半径 广导线内径 当q = o ，既实心导线时矽= 0 ，公式( 3 3 4 ) 退化为公式( 3 - 3 3 ) 。 式中用到的贝塞尔函数的多项式表达公式： 胁c 加卜南+ 寿+ = 薯一寿+ 痞 k e l - ( x ) = 一( i n 主+ r ) b e r ( x ) + 三4 b e i ( 工) 一赢x 酽4 ( - + 圭) + 寿( t + j 1 + ；1 + 击 拟( 曲= 呐主训妊( 功州+ 争寿( 1 + i 1 + 尹1 + 甄x 1 矛o ( + 丢+ 三+ i 1 + 1 其中丫是e u l e r 常数，等于0 5 7 7 2 1 5 6 6 4 9 。 实际编程计算时，式( 3 3 3 ) 、( 3 3 4 ) 对廊的计笪公卉锌轫i 皂f 1 8 】 ( 3 3 6 ) ( m q 8 ) ( 3 3 7 ) 其中 a = e p x 一4 2 ( 1 + j ) ( m r m q ) 一秒( 朋力+ 烈一所力+ 秒( 聊g ) 一矽( 7 ”g ) 】 烈刁= 一j o 3 9 2 6 9 9 1 + ( o o l1 0 4 8 6 一j o 0 11 0 4 8 5 ) ( 8 x ) 一j o 0 0 0 9 7 6 5 ( 8 x x ) 2 + ( 一o 0 0 0 0 9 0 6 一j o 0 0 0 0 9 0 1 ) ( 8 x ) 3 一o 0 0 0 0 2 5 2 ( 8 二x ) 4 + ( 一o 0 0 0 0 0 3 4 + j 0 0 0 0 0 0 51 ) ( 8 x ) 5 + ( o 0 0 0 0 0 0 6 + j 0 0 0 0 0 0 19 ) ( 8 r ) 6 ( 曲= ( o 7 0 7 1 0 6 8 + j 0 7 0 7 1 0 6 8 ) + ( - 0 0 6 2 5 0 0 1 一j o 0 0 0 0 0 0 1 ) ( 8 形x ) + ( - o 0 0 13 813 + j 0 0 0 13 811 ) ( 8 x ) 2 + ( o 0 0 0 0 0 0 5 + j 0 0 0 0 2 4 5 2 ) ( 8 x ) 3 + ( o 0 0 0 0 3 4 6 + j o 0 0 0 0 3 3 8 ) ( 8 x ) 4 + ( o 0 0 0 0 11 7 一j o 0 0 0 0 0 2 4 ) ( 8 x ) 5 + ( o 0 0 0 0 0 1 6 - j 0 0 0 0 0 0 3 2 ) ( 8 x ) 6 由于所采用的b e s s e l 函数多项式近似公式的相对误差是1 0 。7 数量级，计算公 式的精度能满足大多数的应用需要。 3 4 2 大地回路的内阻抗与互阻抗 ( 一) c a r s o n 公式 导线自阻抗是表示单相导线一大地回路电磁感应关系的阻抗，它包括三个成分 黔 鬲 i ) 一，一形 盟型们一训 一一一一 帅翼一 z 打= j c o l 甜+ z 。+ z g 。z 。为导线的内阻抗，下面分别介绍导线和大地均为理想导 体时的回路电感厶、大地的内阻抗z 窖。 1 、导线和大地均为理想导体时的回路电感厶 厶：磐l n 堕：2 1 0 一4l n 塾( h k i n ) ( 3 3 8 ) z 万 兀疋 式中 o 导线导磁率，s o = 4 x 1 0 。( h k m ) 导线半径( m ) 忽导线对地平均高度( m ) 2 、大地的内阻抗z g 大地的内阻抗同样包括电阻和电抗两部分 z g2 r g + j x g ( 3 - 3 9 ) 导线i 与导线之间的互阻抗z 打由两项组成，一是导线和大地均为理想导体时 的互感岛，二是由于导线i 、j 均以大地为返回回路而呈现出与大地的互阻抗乙， 即 z 驴= j m l o + z 肼 ( 3 - 4 0 ) 1 、导线f 、j 间的互感乞 厶，：丛l n 堡= 2 - 1 0 - 4i n d u ( h k m ) ( 3 4 1 ) ” 2 n d u d u 一 式中 如导线f 与之间的距离 岛导线i 与导线，的镜象距离 2 、导线与大地的互阻抗z 聊 z驰2r弹+jx卵(3-42) 大地回路对于输电线路自阻抗和互阻抗所引起的修正，是通过分析大地回路中 的电磁场而得出解答的。c a r s o n 给出的大地回路导致的单导线一大地回路自阻抗 和两个单导线一大地回路互阻抗的修正项计算公式为 z g - 警嫦每视 ( 3 - 4 3 ) 铲警霹以 ( 3 - 扣4 朽1 0 一国括 4 5 ) 其中。= t 茇二荨薹昱嚣萎筹 卜电流频率( h z ) 矿一土壤电阻率( q m ) 秒= s i n 。1 ( 嘞d ) 0 是导线i 与导线j 的镜象位置所构成的夹角( 对自阻抗日= 0 ) ，参看图3 - 6 。 r g = 4 缈1 0 4 唁7 1 + b 2 【( c 2 一i n k ) k 2c o s2 0 + o k 2s i n2 e l + 6 3 七3c o s3 秒 ( q l ( m ) ( 3 4 6 ) 一d s k 8c o s8 0 x 譬= 4 缈1 0 一 妻( o 6 1 5 9 3 1 5 一t n k ) - i - b l k c o s 口 一d 2 k 2c o s 2 0 + 也j j 3c o s 3 8 一b 4 【( c 4 一h ak ) k 4c o s4 0 + o k 4 s i n4 0 ( d k m ) ( 3 - 4 7 ) + 以k 5c o s 5 0 一d 6 k 6c o s 6 0 + b t k 7 c o s 7 0 6 8 【( c 8 一h ：l k ) k 8c o s 8 0 + o k 8s i n 8 0 + ) 以上二式中含口的各项每隔4 项以重复形式出现，岛、c ；、d ；都是常数 岛也器加譬驴去 s g n = 1 ，每隔4 项改换符号，i = l 、2 、3 、4 时s i g n = 1 ，i = 5 、6 、7 、8 时， s i g n = 一1 ，。 q = + 詈+ 南，c ：= ，舶5 9 3 5 d i 三包 输电线路的几何尺寸确定后，、鼍只是变量k 的函数，而k 又随频率变化， 这就是线路阻抗随频率变化而成为频变参数的主要原因。 当电流频率厂升高时，k 值会增大。当k 5 时取下列近似式 t = 警宁e o s o 丁x 2 c o s 2 0 + 丁c o